-
1/3
ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 09/02/2008
PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: se permite la
consulta de las normativas, pero ningn otro tipo de texto o
apuntes.
El prtico de la figura corresponde a una vivienda unifamiliar en
Sevilla. El prtico est sometido a las cuatro acciones de la figura.
No hay viento. La fuerza ssmica puede ir hacia la derecha (como en
el dibujo) o hacia la izquierda. Para responder a las preguntas
siguientes, se dan como datos auxiliares las leyes de momentos
flectores de dos de las acciones.
a) Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto en la base
del pilar izquierdo, y a qu combinacin de hiptesis corresponde,
segn el CTE.
b) Se quiere dimensionar la viga con un perfil de acero doble T.
Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto que se produce
en la viga, en qu seccin, y a qu combinacin de hiptesis
corresponde, segn el CTE.
c) Con carga permanente la viga tiene una flecha de 10 mm en la
seccin central. Calcular cul es la flecha mxima que hay que
considerar en esa seccin para realizar la comprobacin de la
apariencia de la obra segn el CTE, e indicar si cumple dicha
comprobacin.
Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total.
SOLUCIN Paso previo 1: Hiptesis simples y leyes de flectores Hay
5 hiptesis simples. Las leyes de flectores que no estn en el
enunciado, las obtenemos por proporcionalidad: HS1: G HS2: QU HS3:
QN HS4: S1 HS5: S2
QU sobrecarga de uso QN sobrecarga de nieve S sismo
Momentos flectores (kNm) de G Momentos flectores (kNm) de S
G carga permanente
30 kN/m 15 kN/m 5 kN/m
20 kN
77,8
57,1
33,6
33,6 28,3 28,3
12,3 12,3
4 m
6 m
30 kN/m 15 kN/m 5 kN/m 20 kN 20 kN
77,8
57,1
33,6 16,8 5,6 28,3
28,6 9,5
38,9 38,9 77,8
16,8 5,6 28,3 28,3 28,3
13,0 13,0 12,3 12,3 12,3 12,3
77,8
33,6
FranSin aprobar
-
2/3
Paso previo 2: Combinaciones de hiptesis para comprobaciones con
momentos flectores Para comprobaciones con momentos flectores
empleamos estados lmite ltimos (ELU), segn art. 4.2.2 de CTE-DB-SE.
Tipo de combinacin de acciones correspondiente a una situacin
persistente o transitoria: En este caso a partir de ese tipo de
combinacin obtenemos estas combinaciones:
Combinacin 1: G G + QU QU + QN 0,QN QN = 1,35 G + 1,5 QU + 1,5
0,5 QN
Combinacin 2: G G + QN QN + QU 0,QU QU = 1,35 G + 1,5 QN + 1,5
0,7 QU
Los coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los
coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas
4.1 y 4.2 respectivamente. Tipo de combinacin con accin ssmica: En
este caso a partir de ese tipo de combinacin obtenemos estas
combinaciones: Combinacin 3: G + S1 + 2,QU QU = G + S1 + 0,3 QU
Combinacin 4: G + S2 + 2,QU QU = G + S2 + 0,3 QU No hemos
considerado la accin de la nieve en estas combinaciones porque 2
vale 0 para altitudes por debajo de 1000 m, como este caso. A)
Momento flector mximo en base del pilar izquierdo, y combinacin que
lo produce Viendo las combinaciones y los valores de los flectores,
se deduce fcilmente que el flector mximo en valor absoluto lo
produce la combinacin 1. Es flector positivo: Combinacin 1: M =
1,35 33,6 + 1,5 16,8 + 1,5 0,5 5,6 = 74,76 kN Si tenemos dudas,
hacemos tambin las dems combinaciones. En el caso de las
combinaciones de sismo, si las acciones variables son favorables,
no las consideramos: Combinacin 2: M = 1,35 33,6 + 1,5 5,6 + 1,5
0,7 16,8 = 71,4 kN Combinacin 3: M = 33,6 - 28,3 + 0,3 16,8 = 10,34
kN Combinacin 4: M = 33,6 + 28,3 + 0,3 16,8 = 66,94 kN
Efectivamente, la combinacin ms desfavorable es la 1. Respuesta: M
= 74,76 kN para la combinacin 1 descrita en el apartado anterior.
B) Momento flector mximo en la viga, y combinacin que lo produce
Viendo las combinaciones y los valores de los flectores, se deduce
fcilmente que el flector mximo en valor absoluto lo produce la
combinacin 1, en los extremos de la viga. Es flector negativo:
Combinacin 1: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-38,9) + 1,5 0,5 (-13,0) =
-173,13 kN
-
3/3
Si tenemos dudas, hacemos tambin las dems combinaciones, igual
que antes. Vamos a hacerlo para el extremo izquierdo. Combinacin 2:
M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-13,0) + 1,5 0,7 (-38,9) = -165,38 kN
Combinacin 3: M = -77,8 + 12,3 + 0,3 (-38,9) = -77,2 kN Combinacin
4: M = -77,8 - 12,3 + 0,3 (-38,9) = -101,86 kN En la combinacin 3
si comprobamos el extremo derecho se obtiene -101,86 kN
Efectivamente, al igual que antes, la combinacin ms desfavorable es
la 1. Respuesta: M = -173,13 kN para la combinacin 1 descrita en el
anteriormente. C) Comprobacin de flecha en el centro de la viga
para la apariencia de la obra Las comprobaciones de flechas son
estados lmite de servicio (ELS). En el art. 4.3.3.1-3 se indica:
Cuando se considere la apariencia de la obra, se admite que la
estructura horizontal de un piso o cubierta es suficientemente
rgida si, para cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinacin
de acciones casi permanente, la flecha relativa es menor que 1/300.
Luego la flecha mxima permitida, o flecha lmite es:
frelativa = flmite/L = 1/300 flmite = L/300 = 6000 mm /300 = 20
mm Acabamos de ver que segn el CTE-DB-SE la apariencia de la obra
se comprueba con combinaciones del tipo casi permanente, que se
recogen en el art. 4.3.2-4: En este caso se obtiene una sola
combinacin de hiptesis a partir de este tipo. El sismo no
interviene. Combinacin 1: G + 2,QU QU + 2,QN QN = G + 0,3 QU La
flecha de G es 10 mm, segn el enunciado. Por proporcionalidad, la
flecha de QU es 5 mm. Combinacin 1: fmxima = 10 + 0,3 5 = 11,5 mm
Se cumple que fmxima < flmite ya que 11,5 mm < 20 mm. Luego
la comprobacin es vlida.
-
ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 09/02/2008 PROBLEMA 2 3,33
puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: se permite la consulta de las
normativas, pero ningn otro tipo de texto o apuntes.
+ + + + PC3+ + + + PC2+ + + + PC1
5 m 5 m 5 m
4 m
4 m
4 m
3 m
3 m
3 m
3 mF5
+ + + + PC3+ + + + PC2+ + + + PC1
5 m 5 m 5 m
4 m
4 m
4 m
3 m
3 m
3 m
3 mF5El edificio de la figura est situado en Almera. La
estructura es de hormign armado con vigas de cuelgue y su
ductilidad es alta. El forjado tiene un canto de 29 cm. La
cimentacin es de pilotes sobre suelo granular denso. El
amortiguamiento es del 4%. La cubierta es plana, invertida con
acabado de grava. El peso de los pretiles, de los tabiques, de los
cerramientos y la sobrecarga de nieve se pueden considerar
despreciables a efectos del clculo ssmico. El uso de todas las
plantas, inclusive la cubierta, es comercial.
a) Determinar, mediante el mtodo simplificado de la norma
NCSE-02, el peso necesario para calcular la accin ssmica en la
ltima planta.
b) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente F5 en la ltima
planta.
c) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente a aplicar a
cada prtico de carga en la ltima planta, sabiendo que el prtico de
carga central (PC2) tiene el doble de rigidez que los extremos (PC1
y PC3).
Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total. SOLUCIN A)
Peso necesario para calcular la accin ssmica en la ltima planta
Tabla C.5 de CTE-DB-SE-AE Forjado unidireccional, grueso total <
30 cm 4,0 kN/m2 Cubierta plana invertida con acabado de grava 2,5
kN/m2Tabla 3.1 de CTE-DB-SE-AE Uso comercial (categora D1) 5,0
kN/m2Nota: el uso comercial en una cubierta con acabado de grava no
es frecuente, pero es posible (por ejemplo, una zona comercial con
exposicin de productos de playa y montaa). Coeficiente de reduccin
de la sobrecarga de uso comercial para clculo de la fuerza ssmica
segn apartado 3.2 de NCSE: 0,6. Superficie en planta = 815 = 120 m2
Peso total en planta de cubierta: Forjado unidireccional, grueso
total < 30 cm 4,0 kN/m2 120 m2 = 480 kN Cubierta plana invertida
con acabado de grava 2,5 kN/m2 120 m2 = 300 kN Uso comercial
(categora D1) 0,6 5,0 kN/m2 120 m2 = 360 kN Peso total 1.140 kN B)
Fuerza ssmica esttica equivalente en la ltima planta 1. Aceleracin
ssmica bsica y aceleracin ssmica de clculo En este edificio,
situado en Almera, segn el anejo 1 de NCSE:
ab = 0,14g (aceleracin ssmica bsica) K = 1,0 (coeficiente de
contribucin)
Aceleracin ssmica de clculo: ac = S ab (apartado 2.2 NCSE)
ab: Aceleracin ssmica bsica : Coeficiente adimensional de riesgo
S: Coeficiente de amplificacin del terreno
1/3
FranSin aprobar
-
2/3
En este caso el coeficiente adimensional de riesgo es: = 1,0
segn apartado 2.2, para construcciones de importancia normal; el
edificio es de importancia normal segn la clasificacin del art.
1.2.2. Entonces ab = 1,00,14g = 0,14g
Segn el apartado 2.2, para 0,1g < .ab < 0,4g, el
coeficiente S toma el valor:
S = C / 1,25 + 3,33 ( ab / g 0,1) (1 C / 1,25)
Siendo C, el coeficiente del terreno, que viene detallado en el
apartado 2.4.
Segn el apartado 2.4, para suelo granular denso el terreno es de
tipo II, y en la tabla 2.1 se obtiene C = 1,6.
Sustituyendo en las expresiones anteriores obtenemos:
S = 1,3 / 1,25 + 3,33 (1,00,14g / g 0,1) (1 1,3 / 1,25) = 1,035
ac = S ab = 1,03 1,0 0,14g = 0,145g
2. Periodo fundamental y modos de vibracin a considerar Periodo
fundamental, art. 3.7.2.2. Edificio de prticos de hormign armado
sin pantallas rigidizadoras.
TF = 0,09 n siendo n el nmero de plantas TF = 0,095 = 0,457 s
Segn art. 3.7.2.1 en el mtodo simplificado empleamos slo el primer
modo si TF 0,75 s En este caso TF = 0,45 s < 0,75 s, luego slo
consideramos el primer modo de vibracin. 3. Coeficiente ssmico
adimensional Coeficiente ssmico adimensional correspondiente a la
planta k en el modo i, de valor: sik = (ac/g) i ik Siendo: ac:
Aceleracin ssmica de clculo determinada en el apartado 2.2. En este
caso: ac = 0,145g g: Aceleracin de la gravedad, expresada
igualmente en m/s2. : Coeficiente de respuesta, definido en el
apartado 3.7.3.1. ik: Factor de distribucin correspondiente a la
planta k, en el modo i, definido en el apartado 3.7.3.2. i:
Coeficiente de valor (Figura 3.3): Para Ti TB B i = 2,5 Para Ti
>TB B i = 2,5 (TBB/Ti) siendo: Ti: Periodo del modo considerado
TB: Periodo caracterstico del espectro definido en 2.3. B En
nuestro edificio podemos considerar un solo modo de vibracin, el
fundamental. Segn el apartado 2.3:
TB= KC/2,5 = 1,01,3/2,5 = 0,52 s B Por tanto, aplicando el
apartado 3.7.3:
T1 < TB (0,45 s < 0,52 s) y entonces: B 1 = 2,5 El valor
de lo tomamos de la tabla 3.1. En este caso, el enunciado indica
que la ductilidad es alta, = 3, y el amortiguamiento es del 4%.
Obtenemos = 0,36.
-
Segn el art. 3.7.3.2 el valor del factor de distribucin ik,
correspondiente a la planta k en el modo de vibracin i, tiene el
valor: Para el primer modo de vibracin los valores de tambin se
pueden obtener, de modo aproximado, a partir de la tabla C3.1. Segn
esta tabla: Quinta planta 15 = 1,2 Sustituyendo tenemos los valores
del coeficiente ssmico:
s15 = (ac/g) 1 15 = 0,145 2,5 0,36 1,2 = 0,157 4. Fuerza ssmica
esttica equivalente Segn el art. 3.7.3: Fik = sik . PK En este
caso: F15 = s15 . P5 = 0,1571140 kN = 178,98 kN C) Fuerza ssmica
esttica equivalente en cada prtico de carga de la ltima planta 1.
Coeficientes de reparto a cada prtico Segn el enunciado el prtico
PC2 tiene el doble de rigidez que los prticos PC1 y PC3. R1 = R3 =
1 R2 = 2 Rigidez relativa de cada prtico o coeficiente de
reparto:
ri = Ri / Rj r1 = r3 = 1 / 4 = 0,25 (25%) r2 = 2 / 4 = 0,50
(50%) 2. Reparto de fuerzas entre prticos de carga en ltima planta
PC1 FPC1-5 = r1 F15 = 0,25 178,98 kN = 44,75 kN PC2 FPC2-5 = r2 F15
= 0,50 178,98 kN = 89,49 kN PC3 FPC3-5 = r3 F15 = 0,25 178,98 kN =
44,75 kN 3. Fuerzas considerando efectos de rotacin Segn el art.
3.7.5 de NCSE, la excentricidad adicional puede considerarse
multiplicando cada fuerza por el factor:
a = 1 + 0,6 x / Le En PC1 y PC3: a1 = 1 + 0,6 4 / 8 = 1,3 En
PC2: a2 = 1 + 0,6 0 / 8 = 1,0 Fuerzas ssmicas estticas equivalentes
a considerar en cada prtico en ltima planta: PC1 FPC1-5-k = a1
FPC1-5 = 1,3 44,75 kN = 58,18 kN PC2 FPC2-5-k = a2 FPC2-5 = 1,0
89,49 kN = 89,49 kN PC3 FPC3-5-k = a3 FPC3-5 = 1,3 44,75 kN = 58,18
kN
3/3
-
ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN FINAL PRIMER PARCIAL 08/07/2008
PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: solamente se
permite la consulta de las normativas.
Dada la viga de la figura, se pide:
a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce.
b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce.
c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Combinacin de acciones que
la produce (indicando coeficientes, pero no se pide el valor de la
flecha), cuando se considere el confort de los usuarios.
Nota: seguir este criterio de signos: M+
36 kN/m - Carga permanente
6 m 2 m
A B C D
12 kN/m - Sobrecarga de uso
8 kN/m Viento (hacia arriba o hacia abajo)
36 kN/m - Carga permanente
6 m 2 m6 m 2 m
A B C D
12 kN/m - Sobrecarga de uso
8 kN/m Viento (hacia arriba o hacia abajo) SOLUCIN Paso previo
1: Momentos flectores en funcin de q Calculamos los flectores en
funcin de una carga continua genrica q. Esto nos va a facilitar
despus el clculo de los valores numricos para cada hiptesis simple.
Carga en vano (AC)
A B C D
q (kN/m)
6 m 2 mA B C DA B C D
q (kN/m)
6 m 2 m
A B C D
q (kN/m)
6 m 2 m6 m 2 mA B C
DA B C DA B C D MB = qLB 2AC / 8 = q6 / 8 = 4,5q 2
A B C D
q (kN/m)
6 m 2 mA B C DA B C D
q (kN/m)
6 m 2 mA B C DA B C D
q (kN/m)
6 m 2 m6 m 2 mA B C
Carga en voladizo (CD)
DA B C DA B C D
MC = -qL2CD / 2 = -q22 / 2 = -2q
MB = MB C / 2 = -q Carga en toda la viga (AD)
6 m 2 m
A B C D
q (kN/m)
A B C D6 m 2 m
A B C D
q (kN/m)
6 m 2 m6 m 2 m
A B C D
q (kN/m)
A B C
DA B C DA B C D Es la superposicin de los dos casos anteriores.
MC = -2q
MB = 4,5q q = 3,5q B
1/3
-
Paso previo 2: Hiptesis simples, con valores de los momentos
flectores Cmo vamos a considerar la alternancia de cargas?
Carga permanente: al ser permanente est siempre, por tanto no
consideramos alternancia de cargas. Sobrecarga de uso: el art.
3.1.1-7 de CTE-DB-SE-AE dice: Los valores indicados ya incluyen el
efecto de la alternancia de carga, salvo en el caso de elementos
crticos, como vuelos, o en el de zonas de aglomeracin. Como en este
caso tenemos una viga con voladizo, s consideramos alternancia de
cargas.
Viento: cuando acta, presiona o succiona a toda la viga, no a
parte de ella. No consideramos alternancia. De este modo
consideramos 5 hiptesis simples. Obtenemos los flectores a partir
de las expresiones anteriores; slo calculamos los flectores en B,
que es lo que piden. Hiptesis simple 1: G (carga permanente)
2/3
6 m 2 m
A B C D
36 kN/m
A B C D6 m 2 m
A B C D
36 kN/m
6 m 2 m
A B C D6 m 2 m6 m 2 m
A B C D
36 kN/m
A B C DA B C DA B C
MB = 3,5q = 3,536 = 126 kNm B Hiptesis simple 2: Qu1 (sobrecarga
de uso en vano AC)
D
A B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
MB = 4,5q = 4,512 = 54 kNm B Hiptesis simple 3: Qu2 (sobrecarga
de uso en voladizo CD)
A B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
MB = -q = -12 kNm B Hiptesis simple 4: Qv1 (viento de presin,
hacia abajo)
A B C D
8 kN/m
A B C DA B C D
8 kN/m
A B C DA B C DA B C D
8 kN/m
A B C DA B C D
MB = 3,5q = 3,58 = 28 kNm B Hiptesis simple 5: Qv2 (viento de
succin, hacia arriba)
A B C D
8 kN/m
A B C DA B C DA B C DA B C D
8 kN/m
A B C DA B C D
MB = -3,5q = -3,58 = -28 kNm B
-
a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce Los momentos flectores se emplean en
Estados Lmite ltimos (En Estados Lmite de Servicio se emplean los
corrimientos y deformaciones). El apartado 4.2.2 de CTE-DB-SE
contiene los tipos de combinaciones que podemos considerar. En este
caso no hay acciones accidentales ni sismo, luego empleamos la
expresin 4.3, correspondiente a una situacin persistente o
transitoria: Buscamos el mximo momento flector positivo en B. Las
hiptesis simples que producen flector positivo son desfavorables, y
las que producen flector negativo son favorables. Las hiptesis
favorables, si son acciones variables, no las consideramos. Los
coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los
coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas
4.1 y 4.2 respectivamente. Combinacin ms desfavorable:
G G + QU Qu1 + QV 0,QV Qv1 = 1,35 G + 1,5 Qu1 + 1,5 0,6 Qv1
Valor de mximo momento flector positivo en B:
M+mx-B = 1,35 126 + 1,5 54 + 1,5 0,6 28 = 276,3 kNm
b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce Estamos en el mismo tipo de combinacin de
acciones que antes. Pero ahora buscamos el mnimo flector positivo
en B. Las hiptesis simples que producen flector negativo son
desfavorables, y las que producen flector positivo son favorables.
Igual que antes, las hiptesis favorables, si son acciones
variables, no las consideramos. Ahora la hiptesis simple de carga
permanente es favorable, luego segn tabla 4.1 tomamos G = 0,8 en
vez de 1,35. Combinacin ms desfavorable:
G G + QV Qv2 + QU 0,QU Qu2 = 0,8 G + 1,5 Qv2 + 1,5 0,7 Qu2
Valor de mnimo momento flector positivo en B:
M+mn-B = 0,8 126 + 1,5 (-28) + 1,5 0,6 (-12) = 46,2 kNm
c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Combinacin de acciones que
la produce (indicando coeficientes, pero no se pide el valor de la
flecha), cuando se considere el confort de los usuarios
Se trata de un Estado Lmite de Servicio. Las combinaciones se
recogen en el art. 4.3.2. Segn art. 4.3.3.1-2, para las
limitaciones de flecha, cuando se considere el confort de los
usuarios se toma una combinacin de acciones del tipo caracterstica.
En el art. 4.3.2 el tipo de combinacin denominado caracterstica es
el de la expresin 4.6: Combinacin ms desfavorable:
G + Qu1 + 0,QV Qv1 = G + Qu1 + 0,6 Qv1 El CTE en el art.
4.3.3.1-2 indica que se empleen solamente las acciones de corta
duracin, pero esto se contradice con el texto del art. 4.3.2-2, en
donde se consideran todas las acciones, que es lo ms lgico.
3/3
-
1/4
ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN FINAL PRIMER PARCIAL 08/07/2008
PROBLEMA 2 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: solamente se
permite la consulta de las normativas.
El edificio con la estructura de la figura tiene las siguientes
caractersticas:
Situacin: Algeciras (Cdiz), en zona urbana.
Uso: Viviendas.
Estructura: Prticos de hormign armado bien arriostrados entre s
en todas las direcciones. Los prticos de carga extremos tienen
doble rigidez que el central.
Cubierta: Plana, accesible slo para conservacin.
Se pide:
a) Calcular el valor caracterstico de las acciones variables
verticales y horizontales, por plantas, que sean necesarias para el
clculo del prtico de carga 1 (PC1), aplicando la normativa
correspondiente.
b) Para el prtico de carga 1 indicar las hiptesis simples que
son de aplicacin para las acciones variables de la cuestin a),
dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando
valores.
SOLUCIN
a) Calcular el valor caracterstico de las acciones variables
verticales y horizontales, por plantas, que sean necesarias para el
clculo del prtico de carga 1 (PC1), aplicando la normativa
correspondiente
Segn el captulo 3 de CTE-DB-SE-AE hay cinco clases de acciones
variables:
- Sobrecarga de uso - Acciones sobre barandillas y elementos
divisorios - Viento - Acciones trmicas - Nieve
Segn el art. 3.2 las acciones sobre barandillas y elementos
divisorios son fuerzas horizontales que deben resistir estos
elementos. Estas fuerzas no se consideran en el clculo del prtico,
que es lo que piden en el enunciado. Segn el art. 3.4.1-2 En
edificios habituales con elementos estructurales de hormign o
acero, pueden no considerarse las acciones trmicas cuando se
dispongan juntas de dilatacin de forma que no existan elementos
continuos de ms de 40 m de longitud. El prtico del ejercicio tiene
18 m de longitud, luego no consideramos acciones trmicas. Por tanto
debemos calcular tres tipos de acciones variables, dos de ellas
verticales (uso y nieve) y una horizontal (viento).
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
6 m 6 m 6 m
5 m
5 m
4 m
3,5 m
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
6 m 6 m 6 m
5 m
5 m
4 m
3,5 m
-
2/4
Sobrecarga de uso Tabla 3.1 de CTE-DB-SE-AE
Planta primera. Uso residencial (categora A1) 2,0 kN/m2
Cubierta. Plana, accesible slo para conservacin (categora G1)
1,0 kN/m2
Nota 1: las cargas concentradas de la tabla 3.1 son para
comprobaciones locales de capacidad portante (resistencia del
forjado o losa que recibe la carga). No las consideramos en el
clculo del prtico.
Sobrecarga de nieve Segn la Tabla 3.8 de CTE-DB-SE-AE, la
sobrecarga de nieve es de 0,2 kN/m2 en todas las capitales de
provincia costeras de Andaluca. Por similitud, para Algeciras
tomamos el mismo valor.
Cubierta plana en Algeciras 0,2 kN/m2
Nota 2: Para localidades que no son capitales de provincia
podemos emplear la tabla E.2, del Anejo E. Segn esta tabla, para
altitud 0 m y zona climtica 6 (mapa de figura E.2) la sobrecarga de
nieve es de 0,2 kN/m
2, el mismo valor que hemos tomado antes.
Nota 3: el art. 3.5.1-1 indica que En cubiertas planas de
edificios de pisos situados en localidades de altura inferior a
1.000 m es suficiente considerar una carga de nieve de 1,0 kN/m
2. Por consiguiente podemos
considerar el valor de 1,0 kN/m2, que es una aplicacin directa
de este artculo del CTE. Para ciudades de
poca altitud en Andaluca, es ms realista el valor de 0,2
kN/m2.
Accin del viento Segn art. 3.3.2-1 de CTE-DB-SE-AE, la presin
esttica qe de la accin del viento: qe = qb ce cp Siendo:
qb la presin dinamica del viento. De forma simplificada puede
adoptarse 0,5 kN/m2.
ce el coeficiente de exposicin. En edificios urbanos de hasta 8
plantas puede tomarse 2,0.
cp el coeficiente elico.
El coeficiente elico se obtiene en la tabla 3.5 a partir de la
esbeltez del edificio en el plano paralelo al viento. Segn lo que
nos piden en el enunciado, en este caso nos interesa nicamente la
direccin de los prticos de carga.
esbeltez = altura / anchura = 7,5 m / 18 m = 0,42
Tabla 3.5: cp = 0,7 (presin)
cs = -0,4 (succin)
Por tanto:
Accin del viento de presin: qe = qb ce cp = 0,5 kN/m2 2,0 0,7 =
0,7 kN/m2
Accin del viento de succin: qe = qb ce cs = 0,5 kN/m2 2,0 0,4 =
0,4 kN/m2
Nota 4: Para la esbeltez hemos tomado las distancias entre ejes
de barras que dan en el enunciado. No conocemos los valores reales
de altura y anchura, pero los podemos estimar suponiendo valores
razonables para los pilares y cerramientos de los extremos y para
el canto del ltimo forjado y altura del pretil de azotea. En
cualquier caso, esto apenas influye en los resultados. Nota 5:
Podemos calcular los valores de qe con ms precisin si tomamos:
qb = 0,52 kN/m2, segn Anejo D
ce = 1,33 para altura de 4 m en zona urbana, segn tabla 3.4
(forjado de planta primera)
ce = 1,55 para altura de 7,5 m en zona urbana, segn tabla 3.4
(forjado de planta segunda)
-
3/4
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
6 m 6 m 6 m
3 m
2 m
3 m
2 m
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
6 m 6 m 6 m
3 m
2 m
3 m
2 m
b) Para el prtico de carga 1 indicar las hiptesis simples que
son de aplicacin para las acciones variables de la cuestin a),
dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando
valores
Sobrecarga de uso
Vamos a calcular la carga que transmite el forjado a las vigas
del prtico por el procedimiento simplificado de los anchos de
influencia, que en estructuras regulares como sta, da buena
aproximacin.
Tenemos dos opciones:
Opcin a). Suponemos que las viguetas del forjado son biapoyadas,
no tienen continuidad. El reparto se hace al 50% en todos los
vanos.
Opcin b). Suponemos que las viguetas del forjado s tienen
continuidad. El reparto se hace al 50% en los vanos interiores y al
40/60 % en los vanos exteriores. En esta opcin b) a veces tambin se
toma el reparto al 50% en los vanos exteriores, aunque es menos
exacto.
Como no conocemos si hay continuidad, cualquiera de las dos
opciones puede ser vlida para hacer el problema. Vamos a tomar la
opcin del 40/60 %.
El ancho de influencia de 2 m para PC1 es a eje de pilares. A
esta distancia le sumamos la distancia exterior de medio pilar ms
emparchado del pilar, unos 0,2 a 0,3 m. Vamos a tomar en este caso
0,2 m, ya que slo hay dos plantas.
Planta primera (uso de categora A1) 2,0 kN/m2 2,2 m = 4,40
kN/m
Cubierta (uso de categora G1) 1,0 kN/m2 2,2 m = 2,20 kN/m
Sobrecarga de nieve
Cubierta (nieve) 0,2 kN/m2 2,2 m = 0,44 kN/m Accin del
viento
En la direccin de los prticos de carga tendremos dos fuerza
horizontales de viento, a la altura de planta primera y de
cubierta. Vamos a suponer un forjado de cubierta de 0,3 m, y un
pretil de 0,3 m (la azotea slo es accesible para conservacin).
Superficie de fachada para planta primera: s = (0,2 + 5 + 5 +
0,2) (4 + 3,5)/2 = 39 m2
Superficie de fachada para planta de cubierta: s = (0,2 + 5 + 5
+ 0,2) (3,5/2 + 0,3/2 + 0,3) = 22,88 m2 Nota 6: Si omitimos los
espesores extremos el error que cometemos es pequeo.
Vamos a calcular una fuerza nica, de presin ms succin, que es lo
habitual en edificios de plantas. La carga de viento total en cada
planta, en direccin de los prticos de carga, es:
Planta primera F1 = qe s = (0,7+0,4) kN/m2 39,00 m2 = 42,9
kN
Planta de cubierta F2 = qe s = (0,7+0,4) kN/m2 22,88 m2 = 25,2
kN
Rigidez relativa del prtico PC1 o coeficiente de reparto: ri =
Ri / Rj r1 = 2/(2+1+2)= 0,4 (40%) Carga de viento del prtico PC1 en
cada planta:
Planta primera FPC1-1 = r1 F1 = 0,4 42,9 kN = 17,2 kN
Planta de cubierta FPC1-2 = r1 F2 = 0,4 25,2 kN = 10,1 kN
-
4/4
10,1 kN
17,2 kN
10,1 kN
17,2 kN
Hiptesis simples de acciones variables en el prtico de carga 1
El art. 3.1.1-8 indica: A los efectos de combinacin de acciones,
las sobrecargas de cada tipo de uso tendrn la consideracin de
acciones diferentes. Los items dentro de cada subcategora de la
tabla 3.1 son tipos distintos. Hiptesis simple 1. QU1 Sobrecarga de
uso de vivienda
Hiptesis simple 2. QU2 Sobrecarga de uso de cubierta
Hiptesis simple 3. QN Sobrecarga de nieve
Hiptesis simple 4. QV1 Viento hacia derecha
Hiptesis simple 5. QV2 Viento hacia izquierda
4,40 kN/m4,40 kN/m
2,20 kN/m2,20 kN/m
0,44 kN/m0,44 kN/m
-
1/3
ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN DE SEPTIEMBRE PRIMER PARCIAL
10/09/2008
PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos.
Nota: solamente se permite la consulta de las normativas.
El prtico de la figura corresponde a una vivienda unifamiliar en
Sevilla. El prtico est sometido a las cuatro acciones de la figura.
No hay viento. La fuerza ssmica puede ir hacia la derecha (como en
el dibujo) o hacia la izquierda. Para responder a las preguntas
siguientes, se dan como datos auxiliares las leyes de momentos
flectores de dos de las acciones.
a) Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto en la
seccin superior del pilar izquierdo, y a qu combinacin de hiptesis
corresponde, segn el CTE.
b) Se quiere dimensionar la viga con un perfil de acero doble T.
Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto que se produce
en la viga, en qu seccin, y a qu combinacin de hiptesis
corresponde, segn el CTE.
c) Con carga permanente la viga tiene una flecha de 15 mm en la
seccin central. Calcular cul es la flecha mxima que hay que
considerar en esa seccin para realizar la comprobacin cuando se
considera el confort de los usuarios segn el CTE, e indicar si
cumple dicha comprobacin.
Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total.
SOLUCIN Paso previo 1: Hiptesis simples y leyes de flectores Hay
5 hiptesis simples. Las leyes de flectores que no estn en el
enunciado, las obtenemos por proporcionalidad: HS1: G HS2: QU HS3:
QN HS4: S1 HS5: S2
33,6
30 kN/m 20 kN/m 5 kN/m 20 kN 20 kN
77,8
57,1
33,6 22,4 5,6 28,3
38,1 9,5
51,9 51,9 77,8
22,4 5,6 28,3 28,3 28,3
13,0 13,0 12,3 12,3 12,3 12,3
QU sobrecarga de uso QN sobrecarga de nieve S sismo
Momentos flectores (kNm) de G Momentos flectores (kNm) de S
G carga permanente
30 kN/m 20 kN/m 5 kN/m
20 kN
77,8 77,8
57,1
33,6 33,6 28,3 28,3
12,3 12,3
4 m
6 m
-
2/3
Paso previo 2: Combinaciones de hiptesis para comprobaciones con
momentos flectores Para comprobaciones con momentos flectores
empleamos estados lmite ltimos (ELU), segn art. 4.2.2 de CTE-DB-SE.
Tipo de combinacin de acciones correspondiente a una situacin
persistente o transitoria: En este caso a partir de ese tipo de
combinacin obtenemos estas combinaciones:
Combinacin 1: G G + Q QU + Q 0,QN QN = 1,35 G + 1,5 QU + 1,5 0,5
QN
Combinacin 2: G G + Q QN + Q 0,QU QU = 1,35 G + 1,5 QN + 1,5 0,7
QU
Los coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los
coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas
4.1 y 4.2 respectivamente. Tipo de combinacin con accin ssmica: En
este caso a partir de ese tipo de combinacin obtenemos estas
combinaciones: Combinacin 3: G + S1 + 2,QU QU = G + S1 + 0,3 QU
Combinacin 4: G + S2 + 2,QU QU = G + S2 + 0,3 QU No hemos
considerado la accin de la nieve en estas combinaciones porque 2
vale 0 para altitudes por debajo de 1000 m, como este caso. A)
Momento flector mximo en seccin superior del pilar izquierdo, y
combinacin que lo produce Viendo las combinaciones y los valores de
los flectores, se deduce fcilmente que el flector mximo en valor
absoluto lo produce la combinacin 1. Es flector negativo:
Combinacin 1: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-51,9) + 1,5 0,5 (-13,0) =
-192,63 kNm Si tenemos dudas, hacemos tambin las dems
combinaciones. En el caso de las combinaciones de sismo, si las
acciones variables son favorables, no las consideramos: Combinacin
2: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-13,0) + 1,5 0,7 (-51,9) = -179,03 kNm
Combinacin 3: M = -77,8 + 12,3 + 0,3 (-51,9) = -81,07 kNm
Combinacin 4: M = -77,8 - 12,3 + 0,3 (-51,9) = -105,67 kNm
Efectivamente, la combinacin ms desfavorable es la 1. Respuesta: M
= -192,63 kNm para la combinacin 1 descrita en el apartado
anterior.
-
3/3
B) Momento flector mximo en la viga, y combinacin que lo produce
En qu seccin se produce el mximo flector? Viendo las leyes de
flectores de las hiptesis simples, los flectores en la viga son
siempre mayores en los extremos que en el centro. Luego las
secciones ms desfavorables son las de los extremos. Qu valor tiene
el mximo flector y qu combinacin lo produce? Viendo las leyes de
flectores de las hiptesis simples, observamos que el flector en
cada extremo de la viga es igual al flector de la seccin superior
de cada pilar (con el mismo signo para el pilar izquierdo, y con
distinto signo para el derecho). Por tanto la respuesta de este
apartado es la misma que la del apartado anterior. Respuesta: M =
-192,63 kNm para la combinacin 1 descrita anteriormente. C)
Comprobacin de flecha en el centro de la viga para el confort de
los usuarios Las comprobaciones de flechas son estados lmite de
servicio (ELS). En el art. 4.3.3.1-2 del CTE-DB-SE se indica:
Cuando se considere el confort de los usuarios, se admite que la
estructura horizontal de un piso o cubierta es suficientemente
rgida si, para cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinacin
de acciones caracterstica, considerando solamente las acciones de
corta duracin, la flecha relativa, es menor que 1/350.
Luego la flecha mxima permitida, o flecha lmite es:
frelativa = flmite/L = 1/350 flmite = L/350 = 6000 mm /350 =
17,1 mm Acabamos de ver que el confort de los usuarios obra se
comprueba con combinaciones del tipo caractersticas, que se recogen
en el art. 4.3.2-2: En este caso se obtienen dos combinaciones de
hiptesis a partir de este tipo. El sismo no interviene. Combinacin
1: G + QU + 0,QN QN = G + QU + 0,5 QN Combinacin 2: G + QN + 0,QU
QU = G + QN + 0,7 QU La flecha de G es 15 mm, segn el enunciado.
Por proporcionalidad: QU = 10 mm QN = 2,5 mm Combinacin 1: f1 = 15
+ 10 + 0,52,5 = 26,3 mm Combinacin 2: f2 = 15 + 2,5 + 0,710 = 24,5
mm
fmxima > flmite ya que fmxima = 26,3 mm > 17,1 mm.
Luego la comprobacin no es vlida.
-
1/4
ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN DE SEPTIEMBRE PRIMER PARCIAL
10/09/2008
PROBLEMA 2 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos.
Nota: solamente se permite la consulta de las normativas.
El edificio con la estructura de la figura tiene las siguientes
caractersticas:
Situacin: Conil de la Frontera (Cdiz), en zona urbana.
Uso: Viviendas.
Estructura: Prticos de hormign armado, con vigas planas, bien
arriostrados entre s en todas las direcciones. Los prticos de carga
extremos tienen la mitad de rigidez que el central.
Cubierta: Plana, con terraza accesible para las viviendas.
Suelo: Roca compacta.
Se pide:
a) Calcular el valor caracterstico de las acciones variables
verticales y horizontales, por plantas, que sean necesarias para el
clculo del prtico de carga 2 (PC2), aplicando la normativa
correspondiente.
b) Para el prtico de carga 2 indicar las hiptesis simples que
son de aplicacin para las acciones variables de la cuestin a),
dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando
valores.
SOLUCIN
a) Calcular el valor caracterstico de las acciones variables
verticales y horizontales, por plantas, que sean necesarias para el
clculo del prtico de carga 2 (PC2), aplicando la normativa
correspondiente
Segn el captulo 3 de CTE-DB-SE-AE hay cinco clases de acciones
variables:
- Sobrecarga de uso - Acciones sobre barandillas y elementos
divisorios - Viento - Acciones trmicas - Nieve
Segn el art. 3.2 las acciones sobre barandillas y elementos
divisorios son fuerzas horizontales que deben resistir estos
elementos. Estas fuerzas no se consideran en el clculo del prtico,
que es lo que piden en el enunciado. Segn el art. 3.4.1-2 En
edificios habituales con elementos estructurales de hormign o
acero, pueden no considerarse las acciones trmicas cuando se
dispongan juntas de dilatacin de forma que no existan elementos
continuos de ms de 40 m de longitud. El prtico del ejercicio tiene
18 m de longitud, luego no consideramos acciones trmicas. Por tanto
debemos calcular tres tipos de acciones variables, dos de ellas
verticales (uso y nieve) y una horizontal (viento).
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
6 m 6 m 6 m
5 m
5 m
4 m
3,5 m
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
6 m 6 m 6 m
5 m
5 m
4 m
3,5 m
-
2/4
Sobrecarga de uso
Planta primera. Uso residencial (categora A1) 2,0 kN/m2
Cubierta. Plana, accesible para el uso residencial (categora A1)
2,0 kN/m2 La sobrecarga de uso de la cubierta es igual que en la
planta primera, pues la cubierta es accesible para las viviendas
(nota 2 de tabla 3.1). No es una cubierta accesible slo para
conservacin.
Nota 1: las cargas concentradas de la tabla 3.1 son para
comprobaciones locales de capacidad portante (resistencia del
forjado o losa que recibe la carga). No las consideramos en el
clculo del prtico.
Sobrecarga de nieve Segn la Tabla 3.8 de CTE-DB-SE-AE, la
sobrecarga de nieve es de 0,2 kN/m2 en todas las capitales de
provincia costeras de Andaluca. Por similitud, para Conil de la
Frontera tomamos el mismo valor.
Cubierta plana en Conil de la Frontera 0,2 kN/m2
Nota 2: Para localidades que no son capitales de provincia
podemos emplear la tabla E.2, del Anejo E. Segn esta tabla, para
altitud 0 m y zona climtica 6 (mapa de figura E.2) la sobrecarga de
nieve es de 0,2 kN/m
2, el mismo valor que hemos tomado antes.
Nota 3: el art. 3.5.1-1 indica que En cubiertas planas de
edificios de pisos situados en localidades de altura inferior a
1.000 m es suficiente considerar una carga de nieve de 1,0 kN/m
2. Por consiguiente podemos
considerar el valor de 1,0 kN/m2, que es una aplicacin directa
de este artculo del CTE. Para ciudades de
poca altitud en Andaluca, es ms realista el valor de 0,2
kN/m2.
Accin del viento Segn art. 3.3.2-1 de CTE-DB-SE-AE, la presin
esttica qe de la accin del viento: qe = qb ce cp Siendo:
qb la presin dinamica del viento. De forma simplificada puede
adoptarse 0,5 kN/m2.
ce el coeficiente de exposicin. En edificios urbanos de hasta 8
plantas puede tomarse 2,0.
cp el coeficiente elico.
El coeficiente elico se obtiene en la tabla 3.5 a partir de la
esbeltez del edificio en el plano paralelo al viento. Segn lo que
nos piden en el enunciado, en este caso nos interesa nicamente la
direccin de los prticos de carga.
esbeltez = altura / anchura = 7,5 m / 18 m = 0,42
Tabla 3.5: cp = 0,7 (presin)
cs = -0,4 (succin)
Por tanto:
Accin del viento de presin: qe = qb ce cp = 0,5 kN/m2 2,0 0,7 =
0,7 kN/m2
Accin del viento de succin: qe = qb ce cs = 0,5 kN/m2 2,0 0,4 =
0,4 kN/m2
Nota 4: Para la esbeltez hemos tomado las distancias entre ejes
de barras que dan en el enunciado. No conocemos los valores reales
de altura y anchura, pero los podemos estimar suponiendo valores
razonables para los pilares y cerramientos de los extremos y para
el canto del ltimo forjado y altura del pretil de azotea. En
cualquier caso, esto apenas influye en los resultados. Nota 5:
Podemos calcular los valores de qe con ms precisin si tomamos:
qb = 0,52 kN/m2, segn Anejo D
ce = 1,33 para altura de 4 m en zona urbana, segn tabla 3.4
(forjado de planta primera)
ce = 1,55 para altura de 7,5 m en zona urbana, segn tabla 3.4
(forjado de planta segunda)
-
3/4
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
6 m 6 m 6 m
3 m
2 m
3 m
2 m
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
6 m 6 m 6 m
3 m
2 m
3 m
2 m
b) Para el prtico de carga 2 indicar las hiptesis simples que
son de aplicacin para las acciones variables de la cuestin a),
dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando
valores
Sobrecarga de uso
Vamos a calcular la carga que transmite el forjado a las vigas
del prtico por el procedimiento simplificado de los anchos de
influencia, que en estructuras regulares como sta, da buena
aproximacin.
Tenemos dos opciones:
Opcin a). Suponemos que las viguetas del forjado son biapoyadas,
no tienen continuidad. El reparto se hace al 50% en todos los
vanos.
Opcin b). Suponemos que las viguetas del forjado s tienen
continuidad. El reparto se hace al 50% en los vanos interiores y al
40/60 % en los vanos exteriores. En esta opcin b) a veces tambin se
toma el reparto al 50% en los vanos exteriores, aunque es menos
exacto.
Como no conocemos si hay continuidad, cualquiera de las dos
opciones puede ser vlida para hacer el problema. Vamos a tomar la
opcin del 40/60 %.
Por tanto el ancho de influencia es de 6 m para PC2.
Planta primera (uso de categora A1) 2,0 kN/m2 6,0 m = 12,0
kN/m
Cubierta (uso de categora A1) 2,0 kN/m2 6,0 m = 12,0 kN/m
Sobrecarga de nieve
Cubierta (nieve) 0,2 kN/m2 6,0 m = 1,2 kN/m Accin del viento
En la direccin de los prticos de carga tendremos dos fuerza
horizontales de viento, a la altura de planta primera y de
cubierta. Vamos a suponer un forjado de cubierta de 0,3 m, y un
pretil de 1 m.
Superficie de fachada para planta primera: s = (0,2 + 5 + 5 +
0,2) (4 + 3,5)/2 = 39 m2
Superficie de fachada para planta de cubierta: s = (0,2 + 5 + 5
+ 0,2) (3,5/2 + 0,3/2 + 1) = 30,16 m2 Nota 6: Si omitimos los
espesores extremos, el error que cometemos es pequeo. Y si
suponemos que hay barandilla, en vez de pretil, entonces no tomamos
su altura, pues no se opone al paso del viento.
Vamos a calcular una fuerza nica, de presin ms succin, que es lo
habitual en edificios de plantas. La carga de viento total en cada
planta, en direccin de los prticos de carga, es:
Planta primera F1 = qe s = (0,7+0,4) kN/m2 39,00 m2 = 42,9
kN
Planta de cubierta F2 = qe s = (0,7+0,4) kN/m2 30,16 m2 = 33,2
kN
Rigidez relativa del prtico PC2 o coeficiente de reparto: ri =
Ri / Rj r2 = 2/(1+2+1)= 0,5 (50%) Carga de viento del prtico PC2 en
cada planta:
Planta primera FPC2-1 = r2 F1 = 0,5 42,9 kN = 21,5 kN
Planta de cubierta FPC2-2 = r2 F2 = 0,5 33,2 kN = 16,6 kN
-
4/4
12,0 kN/m
12,0 kN/m
1,2 kN/m
16,6 kN
21,5 kN
16,6 kN
21,5 kN
Hiptesis simples de acciones variables en el prtico de carga 2
Hiptesis simple 1. QU Sobrecarga de uso de vivienda
Hiptesis simple 2. QN Sobrecarga de nieve
Hiptesis simple 3. QV1 Viento hacia derecha
Hiptesis simple 4. QV2 Viento hacia izquierda
-
36 kN/m - Carga permanente
3 m 2 m
A B C D
12 kN/m - Sobrecarga de uso
8 kN/m Viento (hacia arriba o hacia abajo)
5 kN Carga permanente (pretil)
3 m
ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN DE DICIEMBRE PRIMER PARCIAL
29/11/2008
PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Ambos problemas se
entregarn por separado. Nota: solamente se permite la consulta de
las normativas.
Dada la viga de la figura, se pide:
a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce.
b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce.
c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Combinacin de acciones que
la produce (indicando coeficientes, pero no se pide el valor de la
flecha), cuando se considere el confort de los usuarios.
d)
e)
Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total.
Nota: seguir este criterio de signos: M+
SOLUCIN Paso previo 1: Momentos flectores de la carga puntual
Carga en vano (AC)
MB = 0,5MC = 0,5PLCD = 0,552 = 5 kNm
-
2/4
A B C D
q (kN/m)
6 m 2 mA B C DA B C D
q (kN/m)
6 m 2 m
A B C DA B C D
q (kN/m)
6 m 2 m6 m 2 mA B C DA B C DA B C D
6 m 2 m
A B C D
q (kN/m)
A B C D
6 m 2 m
A B C D
q (kN/m)
6 m 2 m6 m 2 m
A B C D
q (kN/m)
A B C DA B C DA B C D
Paso previo 2: Momentos flectores de las cargas continuas, en
funcin de q Calculamos los flectores en funcin de una carga
continua genrica q. Esto nos va a facilitar despus el clculo de los
valores numricos para cada hiptesis simple. Carga en vano (AC)
MB = qL
2AC / 8 = q6
2 / 8 = 4,5q Carga en voladizo (CD)
MC = -qL
2CD / 2 = -q2
2 / 2 = -2q
MB = MC / 2 = -q Carga en toda la viga (AD)
Es la superposicin de los dos casos anteriores. MC = -2q
MB = 4,5q q = 3,5q Paso previo 3: Hiptesis simples, con valores
de los momentos flectores Cmo vamos a considerar la alternancia de
cargas?
Carga permanente: al ser permanente est siempre, por tanto no
consideramos alternancia de cargas. S consideramos si su efecto es
favorable o desfavorable para la comprobacin que hacemos. En este
caso la carga puntual y la carga continua pueden tener efectos
distintos. Las vamos a considerar dos hiptesis simples
diferentes.
Sobrecarga de uso: el art. 3.1.1-7 de CTE-DB-SE-AE dice: Los
valores indicados ya incluyen el efecto de la alternancia de carga,
salvo en el caso de elementos crticos, como vuelos, o en el de
zonas de aglomeracin. Como en este caso tenemos una viga con
voladizo, s consideramos alternancia de cargas. Por tanto tenemos
dos hiptesis simples; carga en vano, y carga en voladizo.
Viento: cuando acta, presiona o succiona a toda la viga, no a
parte de ella. No consideramos alternancia. Hay dos hiptesis
simples: presin y succin. De este modo consideramos 6 hiptesis
simples. Obtenemos los flectores a partir de las expresiones
anteriores; slo calculamos los flectores en B, que es lo que
piden.
A B C D
q (kN/m)
6 m 2 m
A B C DA B C D
q (kN/m)
6 m 2 m
A B C D
q (kN/m)
6 m 2 m6 m 2 m
A B C DA B C DA B C D
-
3/4
6 m 2 m
A B C D
36 kN/m
A B C D
Hiptesis simple 1: G1 (carga permanente)
MB = 3,5q = 3,536 = 126 kNm Hiptesis simple 2: G2 (carga
permanente: pretil)
MB = -5 kNm
Hiptesis simple 3: Qu1 (sobrecarga de uso en vano AC)
MB = 4,5q = 4,512 = 54 kNm
Hiptesis simple 4: Qu2 (sobrecarga de uso en voladizo CD)
MB = -q = -12 kNm
Hiptesis simple 5: Qv1 (viento de presin, hacia abajo)
MB = 3,5q = 3,58 = 28 kNm
Hiptesis simple 6: Qv2 (viento de succin, hacia arriba)
MB = -3,5q = -3,58 = -28 kNm
A B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
A B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
12 kN/m
A B C DA B C D
A B C D
8 kN/m
A B C DA B C D
8 kN/m
A B C DA B C DA B C D
8 kN/m
A B C DA B C D
A B C D
8 kN/m
A B C DA B C DA B C DA B C D
8 kN/m
A B C DA B C D
-
4/4
a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce Los momentos flectores se emplean en
Estados Lmite ltimos (En Estados Lmite de Servicio se emplean los
corrimientos y deformaciones). El apartado 4.2.2 de CTE-DB-SE
contiene los tipos de combinaciones que podemos considerar. En este
caso no hay acciones accidentales ni sismo, luego empleamos la
expresin 4.3, correspondiente a una situacin persistente o
transitoria: Buscamos el mximo momento flector positivo en B. Las
hiptesis simples que producen flector positivo son desfavorables, y
las que producen flector negativo son favorables. Las hiptesis
favorables, si son acciones variables, no las consideramos.
Los coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los
coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas
4.1 y 4.2 respectivamente. Combinacin ms desfavorable:
G1 G1 + G2 G2 + QU Qu1 + QV 0,QV Qv1 = 1,35G1 + 0,8G2 + 1,5Qu1 +
1,50,6Qv1 Valor de mximo momento flector positivo en B:
M+mx-B = 1,35126 + 0,8(-5) + 1,554 + 1,50,628 = 272,3 kNm
b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce Estamos en el mismo tipo de combinacin de
acciones que antes. Pero ahora buscamos el mnimo flector positivo
en B. Las hiptesis simples que producen flector negativo son
desfavorables, y las que producen flector positivo son favorables.
Igual que antes, las hiptesis favorables, si son acciones
variables, no las consideramos. Ahora la hiptesis simple de carga
permanente es favorable, luego segn tabla 4.1 tomamos
G = 0,8 en vez de 1,35. Combinacin ms desfavorable:
G1 G1 + G2 G2 + QV Qv2 + QU 0,QU Qu2 = 0,8G1 + 1,35G2 + 1,5Qv2 +
1,50,7Qu2 Valor de mnimo momento flector positivo en B:
M+mn-B = 0,8126 + 1,35(-5) + 1,5(-28) + 1,50,6(-12) = 41,25
kNm
c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Combinacin de acciones que
la produce (indicando coeficientes, pero no se pide el valor de la
flecha), cuando se considere el confort de los usuarios
Se trata de un Estado Lmite de Servicio. Las combinaciones se
recogen en el art. 4.3.2. Segn art. 4.3.3.1-2, para las
limitaciones de flecha, cuando se considere el confort de los
usuarios se toma una combinacin de acciones del tipo caracterstica.
En el art. 4.3.2 el tipo de combinacin denominado caracterstica es
el de la expresin 4.6: Combinacin ms desfavorable:
G1 + G2 + Qu1 + 0,QV Qv1 = G1 + G2 + Qu1 + 0,6Qv1 El CTE en el
art. 4.3.3.1-2 indica que se empleen solamente las acciones de
corta duracin, pero esto se contradice con el texto del art.
4.3.2-2, en donde se consideran todas las acciones, que es lo ms
lgico.
-
1/4
ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN DE DICIEMBRE PRIMER PARCIAL
29/11/2008
PROBLEMA 2 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: se permite la
consulta de las normativas, pero ningn otro tipo de texto o
apuntes.
PROBLEMA 2 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: solamente se
permite la consulta de las normativas.
El edificio de la figura est situado en Mlaga. La estructura es
de hormign armado con vigas de cuelgue y su ductilidad es alta. El
forjado tiene un canto de 29 cm. La cimentacin es de pilotes sobre
suelo granular denso. El amortiguamiento es del 4%. La cubierta es
plana, invertida con acabado de grava. El peso de los pretiles, de
los tabiques, de los cerramientos y la sobrecarga de nieve se
pueden considerar despreciables a efectos del clculo ssmico. El uso
de todas las plantas, inclusive la cubierta, es comercial.
a) Determinar, mediante el mtodo simplificado de la norma
NCSE-02, el peso necesario para calcular la accin ssmica en la
ltima planta.
b) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente F5 en la ltima
planta.
c) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente a aplicar a
cada prtico de carga en la ltima planta, sabiendo que el prtico de
carga central (PC2) tiene la mitad de rigidez que los extremos (PC1
y PC3).
Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total.
SOLUCIN A) Peso necesario para calcular la accin ssmica en la
ltima planta Tabla C.5 de CTE-DB-SE-AE Forjado unidireccional,
grueso total < 30 cm 4,0 kN/m2 Cubierta plana invertida con
acabado de grava 2,5 kN/m2 Tabla 3.1 de CTE-DB-SE-AE Uso comercial
(categora D1) 5,0 kN/m2 Nota: el uso comercial en una cubierta con
acabado de grava no es frecuente, pero es posible (por ejemplo, una
zona comercial con exposicin de productos de playa y montaa).
Coeficiente de reduccin de la sobrecarga de uso comercial para
clculo de la fuerza ssmica segn apartado 3.2 de NCSE: 0,6.
Superficie en planta = 815 = 120 m2 Peso total en planta de
cubierta: Forjado unidireccional, grueso total < 30 cm 4,0 kN/m2
120 m2 = 480 kN Cubierta plana invertida con acabado de grava 2,5
kN/m2 120 m2 = 300 kN Uso comercial (categora D1) 0,6 5,0 kN/m2 120
m2 = 360 kN Peso total 1.140 kN
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
5 m 5 m 5 m
4 m
4 m
4 m
3 m
3 m
3 m
3 m
F5
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
5 m 5 m 5 m
4 m
4 m
4 m
3 m
3 m
3 m
3 m
F5
-
2/4
B) Fuerza ssmica esttica equivalente en la ltima planta 1.
Aceleracin ssmica bsica y aceleracin ssmica de clculo En este
edificio, situado en Mlaga, segn el anejo 1 de NCSE:
ab = 0,11g (aceleracin ssmica bsica) K = 1,0 (coeficiente de
contribucin)
Aceleracin ssmica de clculo: ac = S ab (apartado 2.2 NCSE)
ab: Aceleracin ssmica bsica : Coeficiente adimensional de riesgo
S: Coeficiente de amplificacin del terreno
En este caso el coeficiente adimensional de riesgo es: = 1,0
segn apartado 2.2, para construcciones de importancia normal; el
edificio es de importancia normal segn la clasificacin del art.
1.2.2.
Entonces ab = 1,00,11g = 0,11g
Segn el apartado 2.2, para 0,1g < .ab < 0,4g, el
coeficiente S toma el valor:
S = C / 1,25 + 3,33 ( ab / g 0,1) (1 C / 1,25)
Siendo C, el coeficiente del terreno, que viene detallado en el
apartado 2.4.
Segn el apartado 2.4, para suelo granular denso el terreno es de
tipo II, y en la tabla 2.1 se obtiene C = 1,3.
Sustituyendo en las expresiones anteriores obtenemos:
S = 1,3 / 1,25 + 3,33 (1,00,11g / g 0,1) (1 1,3 / 1,25) = 1,039
ac = S ab = 1,039 1,0 0,11g = 0,114g
2. Periodo fundamental y modos de vibracin a considerar Periodo
fundamental, art. 3.7.2.2. Edificio de prticos de hormign armado
sin pantallas rigidizadoras.
TF = 0,09 n siendo n el nmero de plantas TF = 0,095 = 0,457 s
Segn art. 3.7.2.1 en el mtodo simplificado empleamos slo el primer
modo si TF 0,75 s En este caso TF = 0,45 s < 0,75 s, luego slo
consideramos el primer modo de vibracin. 3. Coeficiente ssmico
adimensional Coeficiente ssmico adimensional correspondiente a la
planta k en el modo i, de valor: sik = (ac/g) i ik Siendo: ac:
Aceleracin ssmica de clculo determinada en el apartado 2.2. En este
caso: ac = 0,114g g: Aceleracin de la gravedad, expresada
igualmente en m/s2. : Coeficiente de respuesta, definido en el
apartado 3.7.3.1. ik: Factor de distribucin correspondiente a la
planta k, en el modo i, definido en el apartado 3.7.3.2. i:
Coeficiente de valor (Figura 3.3):
-
3/4
Para Ti TB i = 2,5 Para Ti >TB i = 2,5 (TB/Ti) siendo: Ti:
Periodo del modo considerado TB: Periodo caracterstico del espectro
definido en 2.3. En nuestro edificio podemos considerar un solo
modo de vibracin, el fundamental. Segn el apartado 2.3:
TB= KC/2,5 = 1,01,3/2,5 = 0,52 s Por tanto, aplicando el
apartado 3.7.3:
T1 < TB (0,45 s < 0,52 s) y entonces: 1 = 2,5 El valor de
lo tomamos de la tabla 3.1. En este caso, el enunciado indica que
la ductilidad es alta, = 3, y el amortiguamiento es del 4%.
Obtenemos = 0,36. Segn el art. 3.7.3.2 el valor del factor de
distribucin ik, correspondiente a la planta k en el modo de
vibracin i, tiene el valor: Para el primer modo de vibracin los
valores de tambin se pueden obtener, de modo aproximado, a partir
de la tabla C3.1. Segn esta tabla: Quinta planta 15 = 1,2
Sustituyendo tenemos los valores del coeficiente ssmico:
s15 = (ac/g) 1 15 = 0,114 2,5 0,36 1,2 = 0,123 4. Fuerza ssmica
esttica equivalente Segn el art. 3.7.3: Fik = sik . PK En este
caso: F15 = s15 . P5 = 0,1231140 kN = 140,67 kN C) Fuerza ssmica
esttica equivalente en cada prtico de carga de la ltima planta 1.
Coeficientes de reparto a cada prtico Segn el enunciado el prtico
PC2 tiene la mitad de rigidez que los prticos PC1 y PC3. R1 = R3 =
2 R2 = 1 Rigidez relativa de cada prtico o coeficiente de
reparto:
ri = Ri / Rj r1 = r3 = 2 / 5 = 0,4 (40%) r2 = 1 / 5 = 0,2 (20%)
2. Reparto de fuerzas entre prticos de carga en ltima planta PC1
FPC1-5 = r1 F15 = 0,40 140,67 kN = 56,27 kN PC2 FPC2-5 = r2 F15 =
0,20 140,67 kN = 28,13 kN PC3 FPC3-5 = r3 F15 = 0,40 140,67 kN =
56,27 kN
-
4/4
3. Fuerzas considerando efectos de rotacin Segn el art. 3.7.5 de
NCSE, la excentricidad adicional puede considerarse multiplicando
cada fuerza por el factor:
a = 1 + 0,6 x / Le
En PC1 y PC3: a1 = 1 + 0,6 4 / 8 = 1,3
En PC2: a2 = 1 + 0,6 0 / 8 = 1,0 Fuerzas ssmicas estticas
equivalentes a considerar en cada prtico en ltima planta:
PC1 FPC1-5-k = a1 FPC1-5 = 1,3 56,27 kN = 73,15 kN
PC2 FPC2-5-k = a2 FPC2-5 = 1,0 28,13 kN = 28,13 kN
PC3 FPC3-5-k = a3 FPC3-5 = 1,3 56,27 kN = 73,15 kN
-
30 kN/m - Carga permanente
15 kN/m - Sobrecarga de uso comercial
10 kN/m Viento (hacia arriba o hacia abajo)
A B
2,5 m
D EC
2,5 m 2,5 m 2,5 m
A B D EC
1 kN/m
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m
A B D EC
1 kN/m
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 mA B D EC
A B D ECA B
2,5 m
D EC
2,5 m 2,5 m 2,5 m
1 kN/m
A B
2,5 m
D EC
2,5 m 2,5 m 2,5 m
A B D EC
1 kN/m
Es la superposicin de los dos casos anteriores. MB = 2,13 0,5 =
1,63
ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 31/01/2009
PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 60 minutos. Nota: Solamente se
permite la consulta de las normativas. Ambos problemas se entregarn
por separado.
En la viga de la figura el uso es comercial y podran producirse
aglomeraciones, por lo que se debe considerar la alternancia de
cargas. Se pide:
a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce.
b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce.
c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Valor y combinacin de
acciones que la produce, cuando se considere la apariencia de la
obra. Indquese si se cumplen las limitaciones establecidas en el
CTE.
Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total.
Nota: seguir este criterio de signos: M+ Datos auxiliares: RA =
2,1 kN fB = 0,3 mm RC = 3,1 kN fD = -0,1 mm RE = -0,2 kN
SOLUCIN Paso previo 1: Momentos flectores en B con carga q = 1
kN/m Calculamos los flectores en B en funcin de una carga continua
q = 1. Esto nos va a facilitar despus el clculo de los valores
numricos para cada hiptesis simple. Carga en vano AC
MB = RALAB - qL
2AB / 2 = 2,12,5 12,5
2/2 = 2,13 Carga en vano CE
MB = RALAB = -0,22,5 = -0,5
Carga en los dos vanos
-
A B
2,5 m
D EC
2,5 m 2,5 m 2,5 m
A B D EC
30 kN/m
A B D EC
15 kN/m
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 mA B D EC
A B D ECA B
2,5 m
D EC
2,5 m 2,5 m 2,5 m
15 kN/m
A B
2,5 m
D EC
2,5 m 2,5 m 2,5 m
A B D EC
10 kN/m
A B
2,5 m
D EC
2,5 m 2,5 m 2,5 m
10 kN/m
A B D EC
Paso previo 2: Hiptesis simples, con valores de los momentos
flectores Cmo vamos a considerar la alternancia de cargas?
Carga permanente: al ser permanente est siempre, por tanto no
consideramos alternancia de cargas.
Sobrecarga de uso: el art. 3.1.1-7 de CTE-DB-SE-AE dice: Los
valores indicados ya incluyen el efecto de la alternancia de carga,
salvo en el caso de elementos crticos, como vuelos, o en el de
zonas de aglomeracin. En este caso en el enunciado se aclara que
puede haber aglomeraciones, y que se debe considerar la alternancia
de cargas.
Viento: cuando acta, presiona o succiona a los dos vanos, no a
uno de ellos. No consideramos alternancia. De este modo
consideramos 5 hiptesis simples. Obtenemos los flectores a partir
de las expresiones anteriores; slo calculamos los flectores en B,
que es lo que piden. Hiptesis simple 1: G (carga permanente) MB =
301,63 = 48,90 kNm
Hiptesis simple 2: Qu1 (sobrecarga de uso en vano AC)
MB = 152,13 = 31,95 kNm
Hiptesis simple 3: Qu2 (sobrecarga de uso en vano CE)
MB = 15(-0,5) = -7,50 kNm
Hiptesis simple 4: Qv1 (viento de presin, hacia abajo)
MB = 101,63 = 16,30 kNm
Hiptesis simple 5: Qv2 (viento de succin, hacia arriba)
MB = 10(-1,63) = -16,30 kNm
-
a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce Los momentos flectores se emplean en
Estados Lmite ltimos (En Estados Lmite de Servicio se emplean los
corrimientos y deformaciones). El apartado 4.2.2 de CTE-DB-SE
contiene los tipos de combinaciones que podemos considerar. En este
caso no hay acciones accidentales ni sismo, luego empleamos la
expresin 4.3, correspondiente a una situacin persistente o
transitoria: Buscamos el mximo momento flector positivo en B. Las
hiptesis simples que producen flector positivo son desfavorables, y
las que producen flector negativo son favorables. Las hiptesis
favorables, si son acciones variables, no las consideramos.
Los coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los
coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas
4.1 y 4.2 respectivamente. Combinacin ms desfavorable:
G G + QU Qu1 + QV 0,QV Qv1 = 1,35 G + 1,5 Qu1 + 1,5 0,6 Qv1
Valor de mximo momento flector positivo en B:
M+mx-B = 1,35 48,90 + 1,5 31,95 + 1,5 0,6 16,30 = 128,61 kNm
b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de
acciones que lo produce Estamos en el mismo tipo de combinacin de
acciones que antes. Pero ahora buscamos el mnimo flector positivo
en B. Las hiptesis simples que producen flector negativo son
desfavorables, y las que producen flector positivo son favorables.
Igual que antes, las hiptesis favorables, si son acciones
variables, no las consideramos. Ahora la hiptesis simple de carga
permanente es favorable, luego segn tabla 4.1
tomamos G = 0,8 en vez de 1,35. Combinacin ms desfavorable:
G G + QV Qv2 + QU 0,QU Qu2 = 0,8 G + 1,5 Qv2 + 1,5 0,7 Qu2 Valor
de mnimo momento flector positivo en B:
M+mn-B = 0,8 48,90 + 1,5 (-16,30) + 1,5 0,7 (-7,50) = 6,80
kNm
c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Valor y combinacin de
acciones que la produce, cuando se considere la apariencia de la
obra. Indquese si se cumplen las limitaciones establecidas en el
CTE.
Se trata de un Estado Lmite de Servicio. Las combinaciones se
recogen en el art. 4.3.2. Segn art. 4.3.3.1-2, Cuando se considere
la apariencia de la obra, se admite que la estructura horizontal de
un piso o cubierta es suficientemente rgida si, para cualquiera de
sus piezas, ante cualquier combinacin de acciones casi permanente,
la flecha relativa es menor que 1/300. En el art. 4.3.2 el tipo de
combinacin denominado casi permanente es el de la expresin 4.8: Las
hiptesis simples 1 (G), 2 (Qu1) y 4 (Qv1) son las que producen
flecha hacia abajo. Combinacin ms desfavorable:
G + 0,QU Qu1 + 0,QV Qv1 = G + 0,6 Qu1 + 0 Qv1 = G + 0,6 Qu1
-
El valor de la flecha de cada hiptesis lo obtenemos por
proporcionalidad y superposicin, aplicando los datos del enunciado,
tal como hemos hecho anteriormente con los flectores: fmx-B =
30(0,3-0,1) + 0,6150,3 = 9,7 mm flm = L / 300 = 5000 / 300 = 16,7
mm Sucede que fmx-B < flm, luego la comprobacin de flecha es
vlida.
-
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
6 m 6 m 6 m
5 m
5 m
4 m
3 m
PA1 PA2 PA3 PA4
ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 31/01/2009
PROBLEMA 2 3,33 puntos Tiempo: 60 minutos. Nota: solamente se
permite la consulta de las normativas.
El edificio con la estructura de la figura tiene las siguientes
caractersticas:
Situacin: Valencia, junto al mar.
Uso: Viviendas.
Estructura: Forjados unidireccionales de hormign, de 27 cm de
canto. Prticos de hormign armado bien arriostrados entre s en todas
las direcciones. En las dos direcciones los prticos extremos tienen
doble rigidez que los centrales.
Cerramientos: Dos hojas de fbrica, espesor total 24 cm. Pretil
de 1 m, de fbrica, con espesor 12 cm.
Pavimentos: De terrazo tomado con mortero de cemento, sobre cama
de arena, grueso total 10 cm.
Cubierta: Plana, a la catalana, accesible slo para
conservacin.
Suelo: granular denso.
Se pide:
a) Calcular el valor caracterstico de todas las acciones, por
plantas, que sean necesarias para el clculo de los prticos,
aplicando la normativa correspondiente.
b) Para el prtico de atado 1 indicar las hiptesis simples que
son de aplicacin para las acciones obtenidas en la cuestin a),
dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando
valores.
Nota: cada apartado vale 1/2 de la puntuacin total.
SOLUCIN
a) Calcular el valor caracterstico de todas las acciones, por
plantas, que sean necesarias para el clculo de los prticos,
aplicando la normativa correspondiente.
Segn CTE-DB-SE y CTE-DB-SE-AE hay tres tipos de acciones:
permanentes, variables y accidentales. Acciones permanentes
Segn art. 2.1-1 de CTE-DB-SE-AE para las acciones permanentes,
vamos a considerar el peso propio del forjado, pavimentos,
tabiquera y cerramientos (de fachada y pretiles de azotea).
Planta primera
Forjado unidireccional, luces de hasta 5 m; grueso total <
0,28 m (tabla C.5) 3,0 kN/m2
Pavimento de terrazo (placa de piedra, grueso total < 0,15 m)
(tabla C.5) 1,5 kN/m2
Tabiquera (art. 2.1-3, uso viviendas) 1,0 kN/m2
Cerramiento de dos hojas, grueso total < 0,25 m, 3 m de
altura (tabla C.5) 7 kN/m
Planta de cubierta
Forjado unidireccional, luces de hasta 5 m; grueso total <
0,28 m (tabla C.5) 3,0 kN/m2
Cubierta a la catalana (tabla C.5) 2,5 kN/m2
Pretil, grueso total < 0,14 m, 1 m de altura (tabla C.5) 7
kN/m x 1m/3m = 2,3 kN/m
-
Acciones variables
Segn el captulo 3 de CTE-DB-SE-AE hay cinco clases de acciones
variables:
- Sobrecarga de uso - Acciones sobre barandillas y elementos
divisorios - Viento - Acciones trmicas - Nieve
Segn el art. 3.2 las acciones sobre barandillas y elementos
divisorios son fuerzas horizontales que deben resistir estos
elementos. Estas fuerzas no se consideran en el clculo de prticos,
que es lo que piden en el enunciado. Segn el art. 3.4.1-2 En
edificios habituales con elementos estructurales de hormign o
acero, pueden no considerarse las acciones trmicas cuando se
dispongan juntas de dilatacin de forma que no existan elementos
continuos de ms de 40 m de longitud. Los prticos del ejercicio
tiene 18 m de longitud (prticos de carga) y 12 m (prticos de
atado), luego no consideramos acciones trmicas. Por tanto debemos
calcular tres tipos de acciones variables, dos de ellas verticales
(uso y nieve) y una horizontal (viento). Sobrecarga de uso Tabla
3.1 de CTE-DB-SE-AE
Planta primera. Uso residencial (categora A1) 2,0 kN/m2
Cubierta. Plana, accesible slo para conservacin (categora G1)
1,0 kN/m2
Nota 1: las cargas concentradas de la tabla 3.1 son para
comprobaciones locales de capacidad portante (resistencia del
forjado o losa que recibe la carga). No las consideramos en el
clculo del prtico.
Sobrecarga de nieve
Segn la Tabla 3.8 de CTE-DB-SE-AE, la sobrecarga de nieve para
Valencia es de 0,2 kN/m2.
Cubierta plana en Valencia 0,2 kN/m2
Nota 2: Tambin podemos utilizar la tabla E.2, del Anejo E. Segn
esta tabla, para altitud 0 m y zona climtica 5 (mapa de figura E.2)
la sobrecarga de nieve es de 0,2 kN/m
2, el mismo valor que hemos tomado antes.
Nota 3: el art. 3.5.1-1 indica que En cubiertas planas de
edificios de pisos situados en localidades de altura inferior a
1.000 m es suficiente considerar una carga de nieve de 1,0 kN/m
2. Por consiguiente podemos
considerar el valor de 1,0 kN/m2, que es una aplicacin directa
de este artculo del CTE. Para ciudades costeras
como Valencia, es ms realista el valor de 0,2 kN/m2.
Accin del viento
Segn art. 3.3.2-1 de CTE-DB-SE-AE, la presin esttica qe de la
accin del viento: qe = qb ce cp Siendo:
qb la presin dinamica del viento. De forma simplificada puede
adoptarse 0,5 kN/m2.
ce el coeficiente de exposicin. En edificios urbanos de hasta 8
plantas puede tomarse 2,0.
cp el coeficiente elico.
El coeficiente elico se obtiene en la tabla 3.5 a partir de la
esbeltez del edificio. Tenemos dos direcciones. Vamos a llamar x a
la direccin de los prticos de carga.
Direccin x (paralela a los prticos de carga)
esbeltez = altura / anchura = 8 m / 18 m = 0,44
-
Tabla 3.5: cp = 0,7 (presin)
cs = -0,4 (succin)
Direccin y (paralela a los prticos de atado)
esbeltez = altura / anchura = 8 m / 10 m = 0,8
Tabla 3.5: cp = 0,8 (presin)
cs = -0,4 (succin)
Por tanto:
Direccin x
Accin del viento de presin: qe = qb ce cp = 0,5 kN/m2 2,0 0,7 =
0,7 kN/m2
Accin del viento de succin: qe = qb ce cs = 0,5 kN/m2 2,0 0,4 =
0,4 kN/m2
Direccin y
Accin del viento de presin: qe = qb ce cp = 0,5 kN/m2 2,0 0,8 =
0,8 kN/m2
Accin del viento de succin: qe = qb ce cs = 0,5 kN/m2 2,0 0,4 =
0,4 kN/m2
Nota 4: Para la esbeltez hemos tomado las distancias entre ejes
de barras que dan en el enunciado, con la altura de pretil de 1 m.
No conocemos los valores reales de altura y anchura, pero los
podemos estimar suponiendo valores razonables para los pilares y
cerramientos de los extremos y para el canto del ltimo forjado. En
cualquier caso, esto apenas influye en los resultados. Nota 5:
Podemos calcular los valores de qe con ms precisin si tomamos:
qb = 0,52 kN/m2, segn Anejo D
ce = 2,3 para altura de 4 m en borde de mar, segn tabla 3.4
(forjado de planta primera)
ce = 2,6 para altura de 7 m en borde de mar, segn tabla 3.4
(forjado de planta segunda)
Acciones accidentales
Segn el captulo 4 de CTE-DB-SE-AE, en este caso con uso de
viviendas, slo aplicamos accin de sismo, si as lo prescribe la
NCSE-02. Segn apartado 1.2.3 de NCSE-02, la aplicacin de esta norma
es obligatoria en las construcciones recogidas en el apartado 1.2.1
(edificios de nueva construccin), excepto:
- En las construcciones de importancia moderada. - En las
edificaciones de importancia normal o especial cuando la aceleracin
ssmica bsica ab sea
inferior a 0,04g, siendo g la aceleracin de la gravedad. - En
las construcciones de importancia normal con prticos bien
arriostrados entre s en todas las
direcciones cuando ab sea inferior a 0,08g. No obstante, la
norma ser de aplicacin en los edificios de ms de siete plantas si
la aceleracin ssmica de clculo ac (Apartado 2.2) es igual o mayor
de 0,08g.
Para determinar si la norma NCSE-02 es de aplicacin a este
edificio, necesitamos conocer la aceleracin ssmica bsica y la
importancia del edificio. Segn el Anejo 1 de NCSE-02 la aceleracin
ssmica bsica de Valencia es de 0,06g. Segn el apartado 1.2.2 de
NCSE-02 la clasificacin de este edificio, de viviendas, es de
importancia normal.
En este caso el edificio es de importancia normal con prticos
bien arriostrados entre s en todas las direcciones, con dos plantas
de altura. La aceleracin ssmica bsica es 0,06g, menor que 0,08g,
luego no es de aplicacin la norma NCSE-02.
-
2,3 kN/m
7,0 kN/m
17,8 kN
24,9 kN
17,8 kN
24,9 kN
b) Para el prtico de atado 1 indicar las hiptesis simples que
son de aplicacin para las acciones obtenidas en la cuestin a),
dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando
valores.
Las acciones verticales sobre los forjados se transmiten a los
prticos de carga. Al prtico de atado 1 slo le afecta directamente
la carga permanente de cerramientos y pretiles que apoyan sobre sus
vigas, y el viento. Accin del viento
En la direccin de los prticos de atado tendremos dos fuerza
horizontales de viento, a la altura de planta primera y de
cubierta.
Simplificadamente, vamos a omitir el espesor de forjados y
pilares extremos. El error que cometemos es pequeo.
Superficie de fachada para planta primera: s = (3x6) (4 + 3)/2 =
63 m2
Superficie de fachada para planta de cubierta: s = (3x6) (3/2 +
1) = 45 m2
Vamos a calcular una fuerza nica por planta, de presin ms
succin, que es lo habitual en edificios de plantas. La carga de
viento total en cada planta, en direccin de los prticos de atado,
direccin y, es:
Planta primera F1 = qe s = (0,8+0,4) kN/m2 63 m2 = 75,6 kN
Planta de cubierta F2 = qe s = (0,8+0,4) kN/m2 45 m2 = 54,0
kN
Rigidez relativa del prtico PA1 o coeficiente de reparto:
ri = Ri / Rj r1 = 2/(2+1+1+2)= 0,33 (33%)
Carga de viento del prtico PA1 en cada planta:
Planta primera FPA1-1 = r1 F1 = 0,33 75,6 kN = 24,9 kN
Planta de cubierta FPA1-2 = r1 F2 = 0,33 54,0 kN = 17,8 kN
Hiptesis simples en el prtico de atado 1 Hiptesis simple 1. G
Carga permanente
Hiptesis simple 2. QV1 Viento hacia derecha
Hiptesis simple 3. QV2 Viento hacia izquierda
-
1/3
ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 06/02/2010 Nota: solamente se
permite la consulta de las normativas; ningn otro texto. Ambos
problemas se entregarn por separado.
PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos.
El prtico de la figura corresponde a una vivienda unifamiliar en
Sevilla. El prtico est sometido a las cuatro acciones de la figura.
No hay viento. La fuerza ssmica puede ir hacia la derecha (como en
el dibujo) o hacia la izquierda. Para responder a las preguntas
siguientes, se dan como datos auxiliares las leyes de momentos
flectores de dos de las acciones.
a) Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto en la
seccin superior del pilar izquierdo, y a qu combinacin de hiptesis
corresponde, segn el CTE.
b) Se quiere dimensionar la viga con un perfil de acero doble T.
Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto que se produce
en la viga, en qu seccin, y a qu combinacin de hiptesis
corresponde, segn el CTE.
c) Con carga permanente la viga tiene una flecha de 15 mm en la
seccin central. Calcular cul es la flecha mxima que hay que
considerar en esa seccin para realizar la comprobacin cuando se
considera el confort de los usuarios segn el CTE, e indicar si
cumple dicha comprobacin.
Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total.
SOLUCIN Paso previo 1: Hiptesis simples y leyes de flectores
Hay 5 hiptesis simples. Las leyes de flectores que no estn en el
enunciado, las obtenemos por proporcionalidad: HS1: G HS2: QU HS3:
QN HS4: S1 HS5: S2
33,6
30 kN/m 20 kN/m 5 kN/m 20 kN 20 kN
77,8
57,1
33,6 22,4 5,6 28,3
38,1 9,5
51,9 51,9 77,8
22,4 5,6 28,3 28,3 28,3
13,0 13,0 12,3 12,3 12,3 12,3
QU sobrecarga de uso QN sobrecarga de nieve S sismo
Momentos flectores (kNm) de G Momentos flectores (kNm) de S
G carga permanente
30 kN/m 20 kN/m 5 kN/m
20 kN
77,8 77,8
57,1
33,6 33,6 28,3 28,3
12,3 12,3
4 m
6 m
-
2/3
Paso previo 2: Combinaciones de hiptesis para comprobaciones con
momentos flectores Para comprobaciones con momentos flectores
empleamos estados lmite ltimos (ELU), segn art. 4.2.2 de CTE-DB-SE.
Tipo de combinacin de acciones correspondiente a una situacin
persistente o transitoria: En este caso a partir de ese tipo de
combinacin obtenemos estas combinaciones:
Combinacin 1: G G + Q QU + Q 0,QN QN = 1,35 G + 1,5 QU + 1,5 0,5
QN
Combinacin 2: G G + Q QN + Q 0,QU QU = 1,35 G + 1,5 QN + 1,5 0,7
QU
Los coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los
coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas
4.1 y 4.2 respectivamente. Tipo de combinacin con accin ssmica: En
este caso a partir de ese tipo de combinacin obtenemos estas
combinaciones: Combinacin 3: G + S1 + 2,QU QU = G + S1 + 0,3 QU
Combinacin 4: G + S2 + 2,QU QU = G + S2 + 0,3 QU No hemos
considerado la accin de la nieve en estas combinaciones porque 2
vale 0 para altitudes por debajo de 1000 m, como este caso. A)
Momento flector mximo en seccin superior del pilar izquierdo, y
combinacin que lo produce Viendo las combinaciones y los valores de
los flectores, se deduce fcilmente que el flector mximo en valor
absoluto lo produce la combinacin 1. Es flector negativo:
Combinacin 1: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-51,9) + 1,5 0,5 (-13,0) =
-192,63 kNm Si tenemos dudas, hacemos tambin las dems
combinaciones. En el caso de las combinaciones de sismo, si las
acciones variables son favorables, no las consideramos: Combinacin
2: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-13,0) + 1,5 0,7 (-51,9) = -179,03 kNm
Combinacin 3: M = -77,8 + 12,3 + 0,3 (-51,9) = -81,07 kNm
Combinacin 4: M = -77,8 - 12,3 + 0,3 (-51,9) = -105,67 kNm
Efectivamente, la combinacin ms desfavorable es la 1. Respuesta: M
= -192,63 kNm para la combinacin 1 descrita en el apartado
anterior.
-
3/3
B) Momento flector mximo en la viga, y combinacin que lo
produce
En qu seccin se produce el mximo flector? Viendo las leyes de
flectores de las hiptesis simples, los flectores en la viga son
siempre mayores en los extremos que en el centro. Luego las
secciones ms desfavorables son las de los extremos. Qu valor tiene
el mximo flector y qu combinacin lo produce? Viendo las leyes de
flectores de las hiptesis simples, observamos que el flector en
cada extremo de la viga es igual al flector de la seccin superior
de cada pilar (con el mismo signo para el pilar izquierdo, y con
distinto signo para el derecho). Por tanto la respuesta de este
apartado es la misma que la del apartado anterior. Respuesta: M =
-192,63 kNm para la combinacin 1 descrita anteriormente.
C) Comprobacin de flecha en el centro de la viga para el confort
de los usuarios
Las comprobaciones de flechas son estados lmite de servicio
(ELS). En el art. 4.3.3.1-2 del CTE-DB-SE se indica: Cuando se
considere el confort de los usuarios, se admite que la estructura
horizontal de un piso o cubierta es suficientemente rgida si, para
cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinacin de acciones
caracterstica, considerando solamente las acciones de corta
duracin, la flecha relativa, es menor que 1/350.
Luego la flecha mxima permitida, o flecha lmite es:
frelativa = flmite/L = 1/350 flmite = L/350 = 6000 mm /350 =
17,1 mm Acabamos de ver que el confort de los usuarios obra se
comprueba con combinaciones del tipo caractersticas, que se recogen
en el art. 4.3.2-2: En este caso se obtienen dos combinaciones de
hiptesis a partir de este tipo. El sismo no interviene. Combinacin
1: G + QU + 0,QN QN = G + QU + 0,5 QN Combinacin 2: G + QN + 0,QU
QU = G + QN + 0,7 QU La flecha de G es 15 mm, segn el enunciado.
Por proporcionalidad: QU = 10 mm QN = 2,5 mm Combinacin 1: f1 = 15
+ 10 + 0,52,5 = 26,3 mm Combinacin 2: f2 = 15 + 2,5 + 0,710 = 24,5
mm
fmxima > flmite ya que fmxima = 26,3 mm > 17,1 mm.
Luego la comprobacin no es vlida.
-
1/4
ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 06/02/2010 Nota: solamente se
permite la consulta de las normativas; ningn otro texto. Ambos
problemas se entregarn por separado.
PROBLEMA 2 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos.
El edificio de la figura est situado en Mlaga. La estructura es
de hormign armado con vigas de cuelgue y su ductilidad es alta. El
forjado tiene un canto de 29 cm. La cimentacin es de pilotes sobre
suelo granular denso. El amortiguamiento es del 4%. La cubierta es
plana, invertida con acabado de grava. El peso de los pretiles, de
los tabiques, de los cerramientos y la sobrecarga de nieve se
pueden considerar despreciables a efectos del clculo ssmico. El uso
de todas las plantas, inclusive la cubierta, es comercial.
a) Determinar, mediante el mtodo simplificado de la norma
NCSE-02, el peso necesario para calcular la accin ssmica en la
ltima planta.
b) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente F5 en la ltima
planta.
c) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente a aplicar a
cada prtico de carga en la ltima planta, sabiendo que el prtico de
carga central (PC2) tiene la mitad de rigidez que los extremos (PC1
y PC3).
Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total.
SOLUCIN
A) Peso necesario para calcular la accin ssmica en la ltima
planta
Tabla C.5 de CTE-DB-SE-AE Forjado unidireccional, grueso total
< 30 cm 4,0 kN/m2 Cubierta plana invertida con acabado de grava
2,5 kN/m2 Tabla 3.1 de CTE-DB-SE-AE Uso comercial (categora D1) 5,0
kN/m2 Nota: el uso comercial en una cubierta con acabado de grava
no es frecuente, pero es posible (por ejemplo, una zona comercial
con exposicin de productos de playa y montaa). Coeficiente de
reduccin de la sobrecarga de uso comercial para clculo de la fuerza
ssmica segn apartado 3.2 de NCSE: 0,6. Superficie en planta = 815 =
120 m2 Peso total en planta de cubierta: Forjado unidireccional,
grueso total < 30 cm 4,0 kN/m2 120 m2 = 480 kN Cubierta plana
invertida con acabado de grava 2,5 kN/m2 120 m2 = 300 kN Uso
comercial (categora D1) 0,6 5,0 kN/m2 120 m2 = 360 kN Peso total
1.140 kN
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
5 m 5 m 5 m
4 m
4 m
4 m
3 m
3 m
3 m
3 m
F5
+ + + + PC3
+ + + + PC2
+ + + + PC1
5 m 5 m 5 m
4 m
4 m
4 m
3 m
3 m
3 m
3 m
F5
-
2/4
B) Fuerza ssmica esttica equivalente en la ltima planta
1. Aceleracin ssmica bsica y aceleracin ssmica de clculo En este
edificio, situado en Mlaga, segn el anejo 1 de NCSE:
ab = 0,11g (aceleracin ssmica bsica) K = 1,0 (coeficiente de
contribucin)
Aceleracin ssmica de clculo: ac = S ab (apartado 2.2 NCSE)
ab: Aceleracin ssmica bsica : Coeficiente adimensional de riesgo
S: Coeficiente de amplificacin del terreno
En este caso el coeficiente adimensional de riesgo es: = 1,0
segn apartado 2.2, para construcciones de importancia normal; el
edificio es de importancia normal segn la clasificacin del art.
1.2.2.
Entonces ab = 1,00,11g = 0,11g
Segn el apartado 2.2, para 0,1g < .ab < 0,4g, el
coeficiente S toma el valor:
S = C / 1,25 + 3,33 ( ab / g 0,1) (1 C / 1,25)
Siendo C, el coeficiente del terreno, que viene detallado en el
apartado 2.4.
Segn el apartado 2.4, para suelo granular denso el terreno es de
tipo II, y en la tabla 2.1 se obtiene C = 1,3.
Sustituyendo en las expresiones anteriores obtenemos:
S = 1,3 / 1,25 + 3,33 (1,00,11g / g 0,1) (1 1,3 / 1,25) = 1,039
ac = S ab = 1,039 1,0 0,11g = 0,114g
2. Periodo fundamental y modos de vibracin a considerar Periodo
fundamental, art. 3.7.2.2. Edificio de prticos de hormign armado
sin pantallas rigidizadoras.
TF = 0,09 n siendo n el nmero de plantas TF = 0,095 = 0,457 s
Segn art. 3.7.2.1 en el mtodo simplificado empleamos slo el primer
modo si TF 0,75 s En este caso TF = 0,45 s < 0,75 s, luego slo
consideramos el primer modo de vibracin. 3. Coeficiente ssmico
adimensional Coeficiente ssmico adimensional correspondiente a la
planta k en el modo i, de valor:
sik = (ac/g) i ik Siendo: ac: Aceleracin ssmica de clculo
determinada en el apartado 2.2. En este caso: ac = 0,114g g:
Aceleracin de la gravedad, expresada igualmente en m/s2. :
Coeficiente de respuesta, definido en el apartado 3.7.3.1. ik:
Factor de distribucin correspondiente a la planta k, en el modo i,
definido en el apartado 3.7.3.2. i: Coeficiente de valor (Figura
3.3):
-
3/4
Para Ti TB i = 2,5 Para Ti >TB i = 2,5 (TB/Ti) siendo: Ti:
Periodo del modo considerado TB: Periodo caracterstico del espectro
definido en 2.3.
En nuestro edificio podemos considerar un solo modo de vibracin,
el fundamental. Segn el apartado 2.3:
TB= KC/2,5 = 1,01,3/2,5 = 0,52 s Por tanto, aplicando el
apartado 3.7.3:
T1 < TB (0,45 s < 0,52 s) y entonces: 1 = 2,5 El valor de
lo tomamos de la tabla 3.1. En este caso, el enunciado indica que
la ductilidad es alta, = 3, y el amortiguamiento es del 4%.
Obtenemos = 0,36. Segn el art. 3.7.3.2 el valor del factor de
distribucin ik, correspondiente a la planta k en el modo de
vibracin i, tiene el valor: Para el primer modo de vibracin los
valores de tambin se pueden obtener, de modo aproximado, a partir
de la tabla C3.1. Segn esta tabla: Quinta planta 15 = 1,2
Sustituyendo tenemos los valores del coeficiente ssmico:
s15 = (ac/g) 1 15 = 0,114 2,5 0,36 1,2 = 0,123 4. Fuerza ssmica
esttica equivalente Segn el art. 3.7.3: Fik = sik . PK En este
caso: F15 = s15 . P5 = 0,1231140 kN = 140,67 kN
C) Fuerza ssmica esttica equivalente en cada prtico de carga de
la ltima planta
1. Coeficientes de reparto a cada prtico Segn el enunciado el
prtico PC2 tiene la mitad de rigidez que los prticos PC1 y PC3. R1
= R3 = 2 R2 = 1 Rigidez relativa de cada prtico o coeficiente de
reparto:
ri = Ri / Rj r1 = r3 = 2 / 5 = 0,4 (40%) r2 = 1 / 5 = 0,2 (20%)
2. Reparto de fuerzas entre prticos de carga en ltima planta PC1
FPC1-5 = r1 F15 = 0,40 140,67 kN = 56,27 kN PC2 FPC2-5 = r2 F15 =
0,20 140,67 kN = 28,13 kN PC3 FPC3-5 = r3 F15 = 0,40 140,67 kN =
56,27 kN
-
4/4
3. Fuerzas considerando efectos de rotacin Segn el art. 3.7.5 de
NCSE, la excentricidad adicional puede considerarse multiplicando
cada fuerza por el factor:
a = 1 + 0,6 x / Le
En PC1 y PC3: a1 = 1 + 0,6 4 / 8 = 1,3
En PC2: a2 = 1 + 0,6 0 / 8 = 1,0 Fuerzas ssmicas estticas
equivalentes a considerar en cada prtico en ltima planta:
PC1 FPC1-5-k = a1 FPC1-5 = 1,3 56,27 kN = 73,15 kN
PC2 FPC2-5-k = a2 FPC2-5 = 1,0 28,13 kN = 28,13 kN
PC3 FPC3-5-k = a3 FPC3-5 = 1,3 56,27 kN = 73,15 kN
-
ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN FINAL PRIMER PARCIAL 09/07/2010 Nota:
solamente se permite la consulta de las normativas. LOS PROBLEMAS
SE ENTREGAN POR SEPARADO. ESCRIBA SU NOMBRE EN TODAS LAS HOJAS.
PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Se quiere dimensionar la
viga de la figura con un perfil de acero doble T. La distancia
entre apoyos es de 6 m, y la luz de los voladizos de 2 m. Los
valores caractersticos de las acciones se indican en la figura. Se
pide:
a) Mximo momento flector positivo: Valor, seccin en la que se da
y combinacin de acciones que lo produce.
b) Mximo