Ejercicios de límites resueltos .- Resolver el limite: solución: 2.- Resolver el limite solución: La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos: 1 er Método Por lo que aplicando la factorización:
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Ejercicios de límites resueltos
.- Resolver el limite:
solución:
2.- Resolver el limite
solución:
La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos:
1er Método
Por lo que aplicando la factorización:
2odo Método
Un segundo método, que requiere del conocimiento de uso de fórmulas de derivación, para solucionar este tipo de problemas es la famosa ley de L ´Hospital. Para los estudiantes que abordan por segunda vez el tema de límites les será de mayor utilidad, sin embargo, para los estudiantes que lo abordan por primera vez se les sugiere retomar el tema una vez que se hayan cubierto los ejercicios de derivadas. (Video 17MB )
Mediante la regla de L´Hospital
Derivamos tanto el numerador como el denominador, antes de evaluar el limite, obteniendo:
aplicando el limite a esta última expresión obtenemos:
3.- Resolver el siguiente limite:
Solución: Como el limite queda indeterminado debido a la división:
entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x7:
4.- Solucionar el siguiente limite:
Solución:
Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:
5.- Encontrar el
Solución:
6.- Encontrar la solución de la siguiente expresión:
solución:
Multiplicando por
3232
323222
22
xxxx
xxxx
tenemos:
22
4
321
321
4lim
321
321
4lim
321
321
4lim
3232
3232lim
3232
32323232lim
2222
2
2
2
222
22
22
2222
xxxxxxx
xxx
x
xxx
xxx
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxx
xx
xx
x
7.- Encontrar la solución del siguiente limite
Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma cero entre cero. Al igual que el ejercicio 2 podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes:
1er Método
Debido a que se puede expresar como
por lo que:
2odo Método
Mediante la regla de L´Hospital tenemos:
por lo que:
8.- Resolver el siguiente limite:
Solución: Como el limite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero dividiremos entre x100
con lo que:
por lo tanto:
9.- Obtén el siguiente limite:
Solución: Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productos
Aunque aun la solución no es tan inmediata si podemos plantear dos diferentes métodos de solución:
1er Método
Dividiremos entre la variable de mayor potencia:
por lo tanto
2odo Método
Mediante regla de L´Hospital
como esta fracción aun mantiene la indeterminación entonces se deriva nuevamente:
por tanto:
10.- Resolver el siguiente limite:
Solución:
Indeterminación 0/0 . Ejercicios de límites resueltos 6.2
Límite de una función en un punto
DERIVADAS DE PRIMER NIVEL
Derivada de una constante
Tipo nº 1
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Derivada de una función potencial: Forma simple
Tipo nº 2
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual
al exponente por la variable elevado a una unidad
menos.
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
<!--[endif]-->
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Sol:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
Ejercicio nº 30)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple
Ejercicio nº 31)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: Forma simple
Ejercicio nº 32)
Sol:
Ejercicio nº 33)
Sol:
Ejercicio nº 34)
Sol:
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 36)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio nº 37)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio nº 38)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
Ejercicio nº 39)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple
Ejercicio nº 41)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: Forma simple
Ejercicio nº 40)
Sol:
DERIVADAS DE SEGUNDO NIVEL
Regla nº 1
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA
FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada de
la función
Derivada de una función potencial: Forma simple
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº
Sol:
POTENCIAS
Sigue recordando:
y
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
Regla nº 2
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual
a suma de las derivadas de las funciones
Ejercicio nº 22)
Solución:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:
Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Sol:
Regla nº 3
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es
igual a la derivada de la primera función por la
segunda función menos la primera función por la
derivada de la segunda función
Ejercicio nº 30)
Solución:
Ejercicio nº 31)
Solución:
Ejercicio nº 32)
Solución:
Ejercicio nº 33)
Solución:
Regla nº 4
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es
igual a la derivada de la función del numerador por
la función del denominador menos la función del
numerador por la derivada de la función del
denominador, dividido todo ello por el denominador