Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal 1 Dada la parábola f(x) = x 2 , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. 2 Dada la curva de ecuación f(x) = x 2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°. 3 Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b 2 x 3 + bx 2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas. 4 Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 es paralela al eje OX. 5 Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x 3 , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia. 6 Buscar los puntos de la curva f(x) = x 4 + 7x 3 + 13x 2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX. 7 Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas. 8 Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
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Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal
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Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal
1Dada la parábo la f (x ) = x 2 , ha l lar los puntos en los que la
recta tangente es para le la a la b isect r i z de l pr imer cuadrante .
2Dada la curva de ecuac ión f (x ) = x 2 − 3x − 1 , ha l la las
coordenadas de los puntos de d icha curva en los que la tangente
forma con e l e je OX un ángulo de 45° .
3Determinar los va lores de l parámetro b , para qué las
tangentes a la curva de la func ión f (x ) = b 2 x 3 + bx 2 + 3x + 9 en los
puntos de absc isas x = 1 , x = 2 sean para le las .
4Calcu lar los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 −
3x 2 − 9x + 5 es para le la a l e je OX.
5Se ha t razado una recta tangente a la curva y= x 3 , cuya
pendiente es 3 y pasa por e l punto (0 ,−2) . Ha l lar e l punto de
tangenc ia .
6Buscar los puntos de la curva f (x ) = x 4 + 7x 3 + 13x 2 + x +1,
para los cua les la tangente forma un ángulo de 45º con OX.
7Dada la func ión f (x ) = tg x , ha l lar e l ángulo que forma la
recta tangente a la gráf ica de la func ión f (x ) en e l or igen, con e l
e je de absc isas .
8Calcu lar la ecuac ión de la tangente y de la normal a la
curva f (x ) = ln tg 2x en e l punto de absc isa : x = π /8 .
9Hal lar los coef ic ientes de la ecuac ión y = ax 2 + bx + c ,
sab iendo que su gráf ica pasa por (0 , 3) y por (2 , 1) . , y en este
ú l t imo punto su tangente t iene de pendiente 3 .
10La gráf ica de la func ión y = ax 2 + bx + c pasa por los
puntos (2 , 3) y (3 , 13) . s iendo la tangente a la misma en e l punto
de absc isa 1 para le la a la b isect r i z de l pr imer cuadrante . Ha l lar e l
va lor numér ico de a , b y c .
11Dada la func ión f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , determina a , b ,
c y d ; sab iendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2 , 3) , y
que las tangentes a e l las en los puntos de absc isa 1 y −2 son
para le las a l e jes de absc isas .
12¿En qué punto de la curva y = ln x , la tangente es para le la
a la cuerda que une los puntos (1 , 0) y (e , 1)?
13Dada la ecuac ión 9x 2 + y 2 = 18, ha l lar la ecuac ión de la
recta tangente que sea para le la a la recta de ecuac ión 3x − y + 7
= 0 .
14Hal lar e l área de l t r iángulo determinado por los e jes de
coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en e l punto x = 1 .
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
1
Dada la parábo la f (x ) = x 2 , ha l lar los puntos en los que la
recta tangente es para le la a la b isect r i z de l pr imer cuadrante .
y = xm= 1
f ' (a) = 1 .
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
2
Dada la curva de ecuac ión f (x ) = x 2 − 3x − 1 , ha l la las
coordenadas de los puntos de d icha curva en los que la tangente
forma con e l e je OX un ángulo de 45° .
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
3
Determinar los va lores de l parámetro b , para qué las
tangentes a la curva de la func ión f (x ) = b 2 x 3 + bx 2 + 3x + 9 en los
puntos de absc isas x = 1 , x = 2 sean para le las .
Para que sean para le las se t iene que cumpl i r que las
der ivadas en x = 1 y x = 2 sean igua les .
f ' (1) = f ' (2)
f ' (x ) = 3b 2 x 2 + 2bx + 3
f ' (1) = 3b 2 + 2b + 3
f ' (2) = 12b 2 + 4b + 3
3b 2 + 2b + 3 = 12b 2 + 4b + 3
9b 2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
4
Calcu lar los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 − 3x 2
− 9x + 5 es para le la a l e je OX.
y ' = 3x 2 − 6x − 9; x 2 − 2x − 3 = 0 (s impl i f i cando por 3)
x 1 = 3 y 1 = −22
x 2 = −1y 2 = 10
A(3, −22) B(−1, 10)
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
5
Se ha t razado una recta tangente a la curva y= x 3 , cuya
pendiente es 3 y pasa por e l punto (0 ,−2) . Ha l lar e l punto de
tangenc ia .
Sea e l punto de tangenc ia (a , f (a ) )
f ' (x )= 3x 2 f ' (a )= 3a 2
3a 2 =3a = ±1
Las ecuac iones de la rectas tangentes son:
a = 1 f (a) = 1
y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f (a) = −1
y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
E l punto (0 , −2) pertenece a la recta y = 3x−2.
Por tanto e l punto de tangenc ia será (1, 1) .
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
6
Buscar los puntos de la curva f (x ) = x 4 + 7x 3 + 13x 2 + x +1,
para los cua les la tangente forma un ángulo de 45º con OX.
m = 1
f ' (x ) = 4x 3 + 21x 2 + 26x +1
4x 3 + 21x 2 + 26x +1 = 1
x = 0 x = −2 x z= 13/4
P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
7
Dada la func ión f (x ) = tg x , ha l lar e l ángulo que forma la
recta tangente a la gráf ica de la func ión f (x ) en e l or igen, con e l
e je de absc isas .
f ′ (x ) = 1 + tg² x f ′ (0 ) = 1 = m
y = x
α = arc tg 1 = 45º
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
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Calcu lar la ecuac ión de la tangente y de la normal a la curva
f (x ) = ln tg 2x en e l punto de absc isa : x = π /8 .
E
jercicios resueltos de la ecuación de la recta tangente
y normal
9
Hal lar los coef ic ientes de la ecuac ión y = ax 2 + bx + c ,
sab iendo que su gráf ica pasa por (0 , 3) y por (2 , 1) . , y en este
ú l t imo punto su tangente t iene de pendiente 3 .
Pasa por (0 , 3) 3 = c
Pasa por (2 , 1) 1= 4a + 2b + c
y ' = 2ax + b 3 = 4a + b
Reso lv iendo e l s i s tema se obt iene:
a = 2 b = −5 c = 3
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
10
La gráf ica de la func ión y = ax 2 + bx + c pasa por los puntos
(2 , 3) y (3 , 13) . s iendo la tangente a la misma en e l punto de
absc isa 1 para le la a la b isect r i z de l pr imer cuadrante . Ha l lar e l
va lor numér ico de a , b y c .
Pasa por (2 , 3) 3 = 4a + 2b + c
Pasa por (3 , 13)13 = 9a + 3b +c
y ' = 2ax + b 1 = 2a + b
Reso lv iendo e l s i s tema se obt iene:
a = 3 b = −5 c =1
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
11
Dada la func ión f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , determina a , b , c y
d ; sab iendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2 , 3) , y que
las tangentes a e l las en los puntos de absc isa 1 y −2 son para le las
a l e jes de absc isas .
f (−1) = 2 −a + b − c + d = 2
f (2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3
f ′ (−1) = 0 3a + 2b + c = 0
f ′ (2) = 0 12a − 4b + c = 0
a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9
Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta
tangente y normal
12
¿En qué punto de la curva y = ln x , la tangente es para le la a
la cuerda que une los puntos (1 , 0) y (e , 1)?
La pendiente de la cuerda t iene que ser igua l a la der ivada de
la func ión.
Ejercic
ios resueltos de la ecuación de la recta tangente y
normal
13
Dada la ecuac ión 9x 2 + y 2 = 18, ha l lar la ecuac ión de la recta
tangente que sea para le la a la recta de ecuac ión 3x − y + 7 = 0 .
Sea e l punto de tangenc ia (a , b )
y = 3x + 7 m = 3
Der ivando impl íc i tamente tenemos:
Ejercicios resueltos
de la ecuación de la recta tangente y normal
14
Hal lar e l área de l t r iángulo determinado por los e jes de
coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en e l punto x = 1 .