43 Ejercicios complementarios sobre: 14.1 Varias variables 14.3 Derivadas parciales 14.4 Planos tangentes y aproximaci´ on lineal 3.1. Hallar las segundas derivadas parciales, incluyendo las mixtas, para las funciones: (a) f (x, y)= 1 sin 2 x + 2e y (b) f (x, y , z)= e xyz (c) f (x, y , z)= x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 (d) f (x, y , z)= xyz 3.2. El operador diferencial ∆ es conocido co- mo el laplaciano. En coordenadas cartesia- nas este operador aplicado a una funci´ on f = f (x, y , z) de clase C 2 tiene la siguiente estructu- ra: ∆ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 La ecuaci´ on de Laplace para una funci´ on f de clase C 2 es: ∆ f = 0. Una funci´ on de clase C 2 se llama arm´ onica si satisface la ecuaci´ on de la Laplace. Determine si las fucniones dadas son arm´ onicas. (a) f (x, y , z)= x 2 + y 2 + z 2 (b) f (x, y , z)= x 2 + y 2 − 2z 2 (c) f (x, y , z)= x 2 − y 2 + z 2 (d) f (x, y , z)= 1 x 2 + y 2 + z 2 3.3. Encuentre la ecuaci ´ on del plano tangente a la superfcie x 2 − 2y 2 + 5xz = 7 en el punto P −1, 0, − 6 5 . 3.4. Encuentre la ecuaci ´ on del plano tangente a la superfcie x 3 + y 3 + z 3 = 7 en el punto P (0, −1, 2). 3.5. Encuentre la ecuaci´ on de la recta normal a la superfcie ze y cos x = 1 en el punto P (π , 0, −1). 3.6. Encuentre un punto sobre la superficie x 3 − 2y 2 + z 2 = 27 donde el plano tangente sea perpendicular a la recta x = 3t − 5 y = 2t + 7 z = 1 − √ 2t 3.7. Encuentre todos los puntos sobre el hiper- boloide 9x 2 − 45y 2 + 5z 2 = 45 donde el plano tangente sea paralelo al plano x + 5y − 2z = 7 3.8. Considere la superficie definida por la ecuaci´ on x 3 z + x 2 y 2 + sin (yz)+ 3 = 0 En el punto P (−1, 0, 3) halle (a) La ecuaci´ on del plano tangente. (b) La ecuaci´ on de la recta normal. 3.9. Demuestre que la recta normal a la super- ficie x 2 + y 2 − z 2 = 1 en el punto P (x 0 , y 0 , z 0 ) intersecta el eje z. 3.10. Encuentre una expresi´ on en coordenadas cil´ ındricas x = r cos θ y = r sin θ z = z para la ecuaci´ on de Laplace. 3.11. Las figuras dadas a continuaci´ on corres- ponden a los gr´ aficos y las curvas de nivel de ciertas funciones. Llene la siguiente tabla es- cogiendo adecuadamente para cada funci´ on su gr´ afico y sus curvas de nivel (C.N.). Tenga algu- na estrategia v´ alida para argumentar el porqu´ e lo hace.