Ejercicios 1 - ciencias.bogota.unal.edu.cociencias.bogota.unal.edu.co/fileadmin/Facultad_de_Ciencias/Areas_curriculares/... · Curso Matematicas B´ asicas para ciencias, ciencias

Curso Matematicas Basicas para ciencias, ciencias economicas e ingenierıas.

Autora: Margarita Ospina Pulido

Coleccion notas de clase

Facultad de Ciencias Sede Bogota

Editorial Universidad Nacional de Colombia, 2016

Solucionario

Elaborado por Brayan David Escobar Lopez

(Estudiante de Matematicas y Monitor del curso en el segundo semestre de 2016)

Ejercicios 1.1

1. Contenencia

B P B ⊆ P B ( P B + P

I N I ⊆N I ( N I + N

P C P * C P + C

C B C * B C + B

I D I * D I ⊇ D I ) D

A B A * B A ⊇ B A ) B

D E A ⊆ E A ⊇ B

F P F ⊆ P F ( P F + P

A E A * E A + E

F F F ⊆ F F ⊇ F

2. Pertenencia.

N P I A B C D E F

4 ∈ ∈ /∈ /∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈

12 ∈ ∈ /∈ ∈ ∈ /∈ /∈ /∈ /∈

5 ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈ ∈ ∈ /∈

0 ∈ ∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈ ∈

3 ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈ ∈ ∈ /∈

1 ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈

18 ∈ ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈

6 ∈ ∈ /∈ ∈ ∈ ∈ /∈ /∈ /∈

15 ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈

Ejercicios 1.2

1. C = {a, b, c}

(a) ℘ (D) = ℘ (C) ∪ {{d}, {a, d}, {b, d}, {c, d}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, D}(b) ℘ (E) = ℘ (D) ∪ {{e}, {a, e}, {b, e}, {c, e}, {d, e}, {a, b, e}, {a, c, e}, {a, d, e},{b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}, {a, b, c, e}, {a, b, d, e}, {a, c, d, e}, {b, c, d, e}, E}

2. verdadera

1

Ejercicios 1.3

1. complementos

P′ = IA′ = I ∪ {0, 2, 4}B′ = {x|x es mayor que 12} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11}C′ = {0, 3, 5, 7} ∪ {x|x es mayor que 8}D′ = {x|x es par y menor que 16} ∪ {x|x es mayor o igual a 16}E′ = {0, 1, 2, 4} ∪ {x|x es mayor o igual a 6}F′ = {x|x es mayor o igual a 1}U′ = ∅

2. Algunos ejemplos:

P ∪ I = U P ∪ A = P I ∪ E = I

P ∩ I = ∅ P ∩ A = A I ∩ E = E

A ∩ B = B B ∩ C = {6, 8} U ∪ P = U

U ∩ E = E B ∪U = U A ∩U = A

3. H denota cualquier conjunto

∅ ∪ H = H ∅ ∩ H = ∅

Ejercicios 1.5

15. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

A ∪ B (A ∪ B)′

A B

U

A B

U

2

A′ B′ A′ ∩ B′

A B

U

A B

U

A B

U

16. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

A ∩ B (A ∩ B)′

A B

U

A B

U

A′ B′ A′ ∩ B′

A B

U

A B

U

A B

U

Ejercicios 1.7

2. B = {1, 8}

3. B = {1, 2, 4, 5, 7, 9}

3

Ejercicios 1.8

U: pacientes de cardiologıaA: pacientes con presion altaF: pacientes que fumanC: pacientes con colesterol alto

A ∩ C′ ∩ F′

C ∩ A′ ∩ F′ F ∩ C′ ∩ A′

A ∩ C ∩ F

A

C F

A ∩ F ∩ C′A ∩ C ∩ F′

C ∩ F ∩ A′

A′ ∩ F′ ∩ C′

U

A

C F

8

9 12

2

67

4

4

U

A ∩ C ∩ F:pacientes que tienen la precion alta, que tienen el colesterol alto y que fuman

A∩ F∩C′:pacientes que tienen la precion alta, que fuman y que no tienen el colesterol alto

A∩C∩ F′:pacientes que tienen la precion alta, que tienen el colesterol alto y que no fuman

C∩ F∩A′:pacientes que tienen el colesterol alto, que fuman y que no tienen la precion alta

A′∩ F′∩C′:pacientes que no tienen la precion alta, que no fuman y que no tienen el colesterol alto

A∩C′∩ F′:pacientes que tienen la precion alta, que no tienen el colesterol alto y no fuman

C ∩ A′ ∩ F′:pacientes con colesterol alto, que no tienen la precion alta y que no fuman

F∩C′∩A′:pacientes que fuman, que no tienen el colesterol alto y que no tienen la precion alta

d) 1 es falsa y 2 es verdadera

4

Ejercicios 2.2

1. Divisores

natural divisores cantidad natural divisores cantidad

1 1 1 9 1 3 9 3

2 1 2 2 10 1 2 5 10 4

3 1 3 2 11 1 2 2

4 1 2 4 3 39 1 3 13 39 4

5 1 5 2 60 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 12

6 1 2 3 6 4 77 1 7 11 77 4

7 1 7 2 153 1 3 9 17 51 153 6

8 1 2 4 8 4 0 N ∞

Ejercicios 2.3

1. m.c.d(34, 148) = 2

2. m.c.d(17, 384) = 1

3. m.c.d(8, 148, 384) = 4

4. m.c.d(17, 148, 384) = 1

5. m.c.d(120, 20) = 20

6. m.c.d(120, 20∗n) = 20donde 2,3 y 5 no son divisores de n

7. m.c.d(4,n) = 4 donde n es tal que, 2 no es divisor de n

Ejercicios 2.5

1. M.C.M.(34, 10) = 170

2. M.C.M.(17, 38) = 646

3. M.C.M.(8, 9, 6) = 72

4. M.C.M.(17, 14, 38) = 4522

5. M.C.M.(20, 120) = 120

6. M.C.M.(20, 24) = 120

7. M.C.M.(8, 5) = 40M.C.M.(4, 10) = 20

8. M.C.M.(11, 3) = 33M.C.M.(33, 1) = 33

9. M.C.M.(25, 4) = 100M.C.M.(20, 50) = 100

5

10. no es posible

Ejercicios 2.6

1. −9

2. −9

3. −9

4. 480

5. 480

6. 5

7. −24

8. −16

9. −16

10. −26

11. −11

12. 39

Ejercicios 2.7

grupo expresion simplificada1216 = −9

−12 = 34

34

−721 = 4

−12 = −13 = 8

−24−13

25 = −4

−10 = 3485

25

−2−4 = 1

212

−11−33 = 1

313

−152 = 45

−6−15

2

Ejercicios 2.8

1. 7760

2. 7760

3. 715

4. 715

5. −715

6. −715

7. −715

8. 715

9. 715

10. 15

11. −83

12. 215

13. 215

14. −215

15. −215

16. −215

17. −215

18. 210

19. 118

20. 118

21. −118

22. −118

23. −120

24. −120

25. −790

26. −259900

Ejercicios 2.9

1. −78 ≤

−56 ≤

−37 ≤

23 ≤

32 ≤

125 ≤

125 ≤

235

6

2. −235 ≤

−32 ≤

−310 ≤

−15 ≤

7100 ≤

516 ≤

37 ≤

178

Ejercicios 2.11

Forma decimal periodica Expresion como cociente de dos enteros

2, 35 = 23399

1, 358 = 1357999

5, 624 = 5568990 = 928

165

8, 631 = 7768900 = 1942

225

3, 0524 = 302199900 = 10073

3300

2, 9 = 31 = 3

3, 29 = 3310

1, 569 = 157100

Ejercicios 2.12

1. 1, 897 ≤ 1, 89 ≤ 2, 345643 ≤ 2, 349

2. −2, 349 ≤ −2, 345643 ≤ −2, 345622 ≤ −1, 89 ≤ −1, 897

Ejercicios 2.14

1. 12, 545545554...

2. 3, 3

3. 1, 1

4. 1, 113311133311113333...

5. 2

6.√

6

7.√

2

8. 53

9. NO

10. NO

11. NO

12. NO

7

Ejercicios 3.1

0

−4.12 −14

23

75

π

3.25 4

−23−23−23−23−23−23

−0.3

2710

1 +√

3

2.75

3.20

8

Ejercicios 3.3

1.

{x|x < 7

}= (−∞, 7) 7

R

{x|x ≤ −1

}= (−∞,−1] −1

R

{x|x < 0

}= (−∞, 0) 0

R

{x|x ≥ −3

}= [−3, ∞) −3

R

{x|x > 5

}= (5, ∞) 5

R

{x|−4 ≤ x ≤ 2

}= [−4, 2] −4 2

R

{x|−2 < x ≤ 3

}= (−2, 3] −2 3

R

{x|−5 ≤ x < 8

}= [−5, 8) −5 8

R

{x|−12 < x < 3

}= (−1, 3) −12 3

R

2. a) 8, 20, 200, 4, 5 no pertenecen a (−∞, 7)−π, 5,−10,−8,−100 pertenecen a (−∞, 7)

b) −.05,−π

4, 7, 90, 789 no pertenecen a (−∞,−1)

9

−e,−5.98,−7,−98,−56

pertenecen a (−∞,−1)

c) 8, 20, 200, 4, 5 no pertenecen a (−∞, 0)−π, 5,−10,−8,−100 pertenecen a (−∞, 0)

d) −4.05,− π

0.3,−7,−90,−π no pertenecen a [−3, ∞)

−e, 5.98, 7, 98,eπ

pertenecen a [−3, ∞)

e) 4.98,−3π

2, 5,−90, π no pertenecen a (5, ∞)

2e, 5.98, 7, 98,7eπ

pertenecen a (5, ∞)

f) −3.9999,−π2,−92

,−2e, e no pertenecen a [−4, 2]

−3.9,√

π,52

, 0,−4 pertenecen a [−4, 2]

g) −1.9,−π2,−92

,−2e, π no pertenecen a (−2, 3]

−1.98,√

π,52

, 0,−0.0001 pertenecen a (−2, 3]

h) −8.8888,−π2,−19−2

,−2e, 2πe no pertenecen a [−5, 8)

−3.66459, 4√

625,52

, 0, 7.004 pertenecen a [−5, 8)

i) −0.9999,2π2

7,

52

, 1.98, e pertenecen a (−1, 3)

−3.9,−√

π, 5−2 , 050.00,−4.0 no pertenecen a (−1, 3)

3. otros ejemplos{x|−4 ≤ x ≤ 2

}∩{

x|−12 < x < −3}= [−4, 2]{

x|x ≤ −1}∩{

x|x > 5}= ∅

Ejercicios 3.4

1. a = 5, b = 10; a = −8, b = −100; a = −5469.2, b = −0.125; a = 139.12, b = 93.111...

2. a = 5, b = −10; a = −8, b = 100; a = 5469.2, b = −0.125; a = −139.12, b = 93.111...

10

Ejercicios 3.7

1. (a) 2−83 × 3

−34 × 5

−12

(b) 224 × 3−31

4 × 54

2. 211720

3. d

4. b

5. a

6. b

Ejercicios 3.8

1. 3.21× 10−2

2. 5.76× 107

3. −2.1× 10−5

4. −3.64× 106

5. 6.1× 1012

6. −3.47× 10−11

7. 4.56× 10−14

8. −8.9× 10−12

Ejercicios 3.9

1. 3.75× 10−16 2. 4.1667× 10−5

Ejercicios 4.1

1. x = −125

2. x = 33

3. x = 0

4. ∅

5. R

Ejercicios 4.2

1. t = 8 2. x = 1 3. p = −315

Ejercicios 4.4

a) verdadero

b) f also

c) f also

d) verdadero

e) verdadero

f) f also

11

Ejercicios 4.5

1. {−3, 7}

2.{−13

,12

}3.

{1−√

32

,1 +√

32

}

4.{

1,43

}5. x = −5

6. ∅

Ejercicios 4.9

PROBLEMA 17. n: cantidad de un ingrediente para la receta de 12 muffins.

Ingrediente n32512

n : cantidad ingrediente para preparar 325 muffins

Avena 132512

= 28

Huevos 23256

= 55

Azucar14

32548

= 7

Aceite12

32524

= 14

Manzanas 23256

= 55

Leche condensada12

32524

= 14

PROBLEMA 18. Carro al oeste 60km y carro al norte 80km

PROBLEMA 19. Telon grande: 40m ; Telon mediano: 20m ; Telon pequeno: 10m.

PROBLEMA 20. Los numeros son 15 y 17.

PROBLEMA 21. Se necesitan 50 ninos

PROBLEMA 22. Equivalen a 46250 pesos

PROBLEMA 23. Invirtieron 2.600.000

PROBLEMA 24. Bajara 1200 gramos

PROBLEMA 25. Largo 15 y ancho 10

PROBLEMA 26. Las longitudes son 7 y 24

12

PROBLEMA 27. Subira 2100 pesos

PROBLEMA 28. 100 asistentes

PROBLEMA 29. 3.6L

PROBLEMA 30. V = 60km/h

PROBLEMA 31. 8.83kg luna

PROBLEMA 32. Alcanza 18m

PROBLEMA 33. su diferencia es de 2.3

PROBLEMA 34. Ancho 15 +√

145 y largo 30 + 2√

145

PROBLEMA 35. Costara 97.500 pesos

PROBLEMA 36. La presion es de 100 libras por pulgada cuadrada

PROBLEMA 37. La distancia entre C y D es 292.5km

PROBLEMA 38. una medida d a escala es realmented ∗ 1UA23.6m

Ejercicios 5.2

1.[

25

, ∞)

2.(−∞,

13

)3.[

13

, ∞)

4.(−∞,

−52

)

5.[−52

, ∞)

6.[−2,

73

)7.(−83

,53

]8.(−17

3,−43

]

9.(

53

,83

]

10. (1, 5)

11. ∅

Ejercicios 5.3

1. R 2. ∅ 3.{−12

}

Ejercicios 5.4

13

1. ∅ 2. R 3. R

Ejercicios 5.5

1. R

2. ∅

3. ∅

4. R

5. R

6. ∅

Ejercicios 5.6

1.(−∞,

15

)∪ (−4, ∞)

2. (−∞,−3] ∪[

12

, ∞)

3.(−∞,

−25

)∪(−13

, ∞)

4.(−∞,

−23

)∪(−23

, ∞)

= R −

{−23

}5. ∅

6. ∅

7.(−√

2√

5 + 6,√

2√

5 + 6)

8. (−∞, 1) ∪ (5, ∞)

Ejercicios 5.7

1.(−3,−23

]∪ (0, 5]

2. (−∞,−2) ∪(

1,52

]3. [−3, 3) ∪ (4, ∞)

4.[−13

, 0)

5.[

0,12

]∪ [1, ∞)

6. (−∞,−2] ∪ (1, 3]

7.(−2,

12

]∪ [1, 5)

8. (−1, 0) ∪ (1, ∞)

9.

[−√

10 + 13

, 1

)∪[√

10 + 13

, 3

)10. [−3, 3]

11. c)

12. b)

13. c)

Ejercicios 5.8

14

1.(−43

, 2)

2. [1, 4]

3. (−∞,−1) ∪(

57

, ∞)

4. (−∞, 1] ∪ [11, ∞)

5. ∅

6.{−25

}7. ∅

8. R = (−∞, ∞)

9. R

10.[−58

, 0)∪(

0,5

16

]

11.(−73

,−13

]∪ [1, 3)

12. (−5, 5)

13. R− {0, 1}

14.[−57

,−12

)∪(−12

,−27

]

15.(−∞,

23

)∪ (2, ∞)

16. [−30,−10] ∪ [10, 30]

17.{

13

}

Ejercicios 5.9

1. condicion para una temperatura T no sana: |T − 98.6| ≥ 1.5solucion de la inecuacion: (−∞, 97.1] ∪ [100.1, ∞]

2. V : voltaje real representado por la inecuacion |V − 115| ≤ 5solucion de la inecuacion: [110, 120]

3. se encuentra en el intervalo:[23.520.000, 24.780.000]

4. puede agregar a cada lado una distancia menor o igual a 5 metros

5. valores en el intervalo [58.6, 79.21]

6. [59, 95]

7. [168, 192]

8. [8192.8, 9313.9]

9.(−1,

12

]∪ [1, 3)

Ejercicios 6.1

15

2. (3x + 5)2

3. (2x− 6)(

4x2 + 6x + 9)

4. (4x + 1) (16x2 − 4x + 1)

5. (x− 2)3

6. (5x− 3)2

7. (2x + 3)3

8. (10x− 7)(10x + 7)

9. (√

3x−√

5)(√

3x +√

5)

Ejercicios 6.2

5. p(x)÷ t(x) = (−2x2 − 8x− 31)(x− 4)− 125p(x)÷ w(x) = (−2x2 + 6x− 17)(x + 3) + 50

p(x)÷ z(x) = (−x2 − 32

x− 74)(2x− 3)− 25

4t(x)÷ w(x) = (1)(x + 3)− 7

6. r(x)÷ t(x) = (5x3 + 20x2 + 78x + 312)(x− 4) + 1245r(x)÷ w(x) = (5x3 − 15x2 + 43x− 129)(x + 3) + 384

r(x)÷ z(x) = (52

x3 +154

x2 +378

x +11116

)(2x− 3) +28516

q(x)÷ z(x) = (x2− 9

4)(2x− 3)− 19

4

Ejercicios 6.3

1. (x + 1)(x− 5)(x− 3) 25(x + 1)(x− 5)(x− 3)

2. (x− 2)(x + 1)2 (x− 2)2(x + 1)2 (x− 2)3(x + 1)2

3. x2(x + 1)2

4. No es posible

5. (x + 1)(x− 2)(x + π) (x + 1)2(x− 2)

Ejercicios 6.5

1. (x− 2)(x+ 1)3 tiene dos ceros, x = 2 es un cero racional de multiplicidad 1 y x = −1es un cero racional de multiplicidad 3.

16

2. 3(x − 2)(x − 1)(x + 2)2 tiene 3 ceros, x = 2 es un cero racional de multiplicidad1, x = 1 es un cero racional de multiplicidad 1, x = −2 es un cero racional demultiplicidad 2.

3.19(3x + 1)(3x− 2)(x + 2)(x− 3) tiene 4 ceros, x =

−13

es un cero racional de multi-

plicidad 1, x =23

es un cero racional de multiplicidad 1, x = −2 es un cero racionalde multiplicidad 1, x = 3 es un cero racional de multiplicidad 1.

4. (x + 3)3 tiene un cero, x = −3 es un cero racional de multiplicidad 3.

5. (2x− 1)(4x + 1)(x2 + 2) tiene dos ceros reales, tiene un factor cuadratico x2 + 2 que

no se puede factorizar en los reales, x =12

es un cero racional de multiplicidad 1,

x =−14

es un cero racional de multiplicidad 1.

6. (x + 2)2(2x − 1)(4x2 + 2x + 1) tiene dos ceros reales, tiene un factor cuadratico

4x2 + 2x + 1 que no se puede factorizar en los reales, x =12

es un cero racionalde multiplicidad 1, x = −2 es un cero racional de multiplicidad 2.

7. (x − 2)(x + 1)

(x +

√21− 5

2

)(x +−√

21− 52

)tiene 4 ceros, x = 2 es un cero

racional de multiplicidad 1, x = −1 es un cero racional de multiplicidad 1, x =(−−√

21− 52

)es un cero irracional de multiplicidad 1, x =

(−√

21− 52

)es un

cero irracional de multiplicidad 1.

Ejercicios 7.1

Hay 15 conjuntos de dos elementos:

15 = (62)

{a, b}{a, c}{a, d}

{a, e}{a, f }{b, c}{b, d}

{b, e}{b, f }{c, d}{c, e}

{c, f }{d, e}{d, f }{e, f }

Hay 20 conjuntos de dos elementos:

20 = (63)

{a, b, c}{a, b, d}{a, b, e}

{a, b, f }{a, c, d}

{a, c, e}{a, c, f }

{a, d, e}{a, d, f }

17

{a, e, f }{b, c, d}{b, c, e}

{b, c, f }{b, d, e}{b, d, f }

{b, e, f }{c, d, e}{c, d, f }

{c, e, f }{d, e, f }

Ejercicios-observaciones 7.3

1. (n0) = (n

n) = 1

2. (n1) = ( n

n−1) = n

3. (41) = (4

3)

(54) = (5

1)

(235 ) = (23

18)

(40) = (4

4)

(52) = (5

3)

(184 ) = (18

14)

(50) = (5

5)

(62) = (6

4)

(159 ) = (15

6 )

4. a) (153 )x12y3

b) (1713)x4y13

c) (109 )xy9

d) (220 )x22

e) (84)x4y4

f) (4223)x19y23

g) (2422)x2y22

h) (1313)y

13

Ejercicios 7.5

1. a) −(149 )x5y9

b) −(149 )x5y9

c) 7

d) −(147 )x7y7

2. a) −2537(127 )x5y7

b) −2339(129 )x3y9

c) 6

d) 2636(126 )x6y6

3. a) −23(83)x10y−3

b) −25(85)x3y−5

c) 4

d) −2(81)x14y−1;−23(8

3)x10y−3;−25(8

5)x6y−5;−27(87)x2y−7;

Ejercicios 8.1

1. 25.5

2. 30

3. 25

4. α = 80 y su complemento 10

5. entre 60 y 70

6. δ esta entre 28.33 y 33.33

18

Ejercicios 8.2

Con los siguientes datos es posible determinar la medida de los demas angulos de losliterales a. y b.

a. El valor de x es 25 y los angulos senalados miden 43 grados.

b. El valor de x es 56 y los angulos senalados miden 74 y 106 grados.

Ejercicios 8.3

1. es un triangulo rectangulo cuyos angulos son: 30 , 60 y 90

2. es un triangulo acutangulo cuyos angulos son: 40 , 55 y 85

3. es un triangulo obtusangulo cuyos angulos son: 34 , 38 y 108

Ejercicios 8.4

1. Sı

2.104

y214

3.145

y245

5. AA

Ejercicios 8.72. a. F

b. Vc. V

d. Ve. Ff. V

g. Vh. Vi. V

j. Fk. Fl. F

m. F

Ejercicios 8.8

1. 18

2. 12 + 6√

2

3. 15

4. = 58

5.

6. Perımetro = 68Area = 252

7. 8

8. 1230m

9. 8424cm2

10. 6

11. la proporcion de precio por centımetro cuadrado es de 2 a 1, es decir, la pizza dediametro 20 cm es dos veces mas costosa por centımetro cuadrado que la pizza dediametro 40 cm.

19

12. (a) 9

(b) 12

(c)9π

2− 9

(d) Cuadrado circunscrito en circunferencia.

Area del cuadrado = 18Perımetro del cuadrado = 12

√2

Area sombreada = 18− 9π

2

13. 32 + 48π

14. Area =L2

4cm2

15. Area = 32√

3Volumen = 8

√3cm3

16. Silo con techo conico: C ; Silo con techo esferico: S

2VC =

323

πm3

2

2

2VS =

403

πm3

2

2

17. Se necesitan 5 galones de pintura por cada silo.

20

Ejercicios 9.1

1. Plano cartesiano

X

Y

(-3,2)

(2,-1)

(5,3)

(0,5)

(4,0)

(-2,-4)

(3,1)

(7,-2)

(1,1)

(-1,-1)

(0,0)

2. Q) (-3,1)R) (2,2)

S) (0,-2.5)T) (-3,-3)

U) (-1,4)W) (2,-4)

Z) (4,0)

3. a) a > 0 y b > 0

b) a < 0 y b > 0

c) a < 0 y b < 0

d) a > 0 y b < 0

e) b = 0

f) a = 0

Ejercicios 9.2

1. Por ejemplo la distancia entre los puntos (2,-1) y (-3,-6) es 5√

2

2. Para 3 unidades una pareja es: (1,1) y (2, 1− 2√

2)Para 4 unidades una pareja es: (1,1) y (2, 1−

√15)

Para 5 unidades una pareja es: (1,1) y (2, 1− 2√

6)

3. Por ejemplo: (7, 7); (3, 7); (−2, 2); (−2, 12)

21

Ejercicios 9.3

1. a.(−12

, 2)

b.(

32

,12

)c. (3, 3)

d.(−32

,32

)e.(

12

,72

)f.(

12

,52

)g.(

4,−52

)

h.(−52

,92

)i. (0,−3)

2. a. (4,−4) b. (0,−6) c. (−6, 6)

Ejercicios 9.4

1. i) pendiente-corte: y = 3x− 1 ; ecuacion lineal general: 3x-y-1=0

ii) pasa por los puntos (0,−1) y(

13

, 0)

; pendiente-corte : y = 3x− 1

iii) pendiente-corte: y = 3x ; lineal general: 3x− y = 0 ; pasa por: (0, 0) y (1, 3)

2. i) pendiente-corte: y = −2x− 1 ; ecuacion lineal general: 2x+y+1=0

ii) pasa por los puntos (0, 3) y(

32

, 0)

; pendiente-corte : y = −2x + 3

iii) pendiente-corte: y = −2x− 2 ; lineal general: 2x + y + 2 = 0 ; pasa por: (0,−2)y (−1, 0)

3. i) pendiente-corte: y = 5 ; ecuacion lineal general: y-5=0

ii) pasa por los puntos (56,−3) y(

13

,−3)

; pendiente-corte : y = −3

iii) pendiente-corte: y = 0 ; lineal general: y = 0 ; pasa por: (0, 0) y (1, 0)

4. i) pendiente-corte: x = 5 ; ecuacion lineal general: x-5=0

ii) pasa por los puntos (2,−1) y(

2,13

); pendiente-corte : x = 2

iii) pendiente-corte: x = −1 ; lineal general: x + 1 = 0 ; pasa por: (−1, 0) y (−1, 3)

5. i) pasa por los puntos (2,−2) y (0, 2) ; pendiente-corte: y = −4x + 2

ii) pasa por los puntos (4, 0) y (0, 4) ; pendiente-corte: y =x4− 1

6. i) pasa por los puntos (−1,−1) y (0,−13) ; pendiente-corte: y =

23

x− 13

ii) pasa por los puntos (1, 2) y (0,72) ; pendiente-corte: y =

−3x2

+72

22

7. i) pasa por los puntos (2,13) y (0,

13) ; pendiente-corte: y =

13

ii) pasa por los puntos (72

, 0) y (72

, 4) ; pendiente-corte: x =72

8. i) pasa por los puntos (2, 5) y (0, 1) ; pendiente-corte: y = 2x + 1

ii) pasa por los puntos (4,−11) y (0, 1) ; pendiente-corte: y = −3x + 1

Ejercicios 9.5

1. x =−113

; y =−913

2. ∅ 3. {(x, y) ∈ R2 : y = 3x− 2}

Ejercicios 9.6

1. a) k =−23

b) k =32

2. k =145

y l =215

3. a) y =−34

x

b) y =43

x

c) y = 3x

e) y =−34

x− 34+ 3

f) y =43+

233

d) Por ejemplo: y = 2x + 1 ; y = 3x ¿ Existe una forma general de expresar todas lasrectas que satisfacen la condicion pedida ?

Ejercicios 9.7

1. Si lo son, ya que hay dos parejas de puntos tal que la distancia entre puntos de cadapareja es 2

√17

2. Una vez que demuestre que el triangulo es retangulo el area es de 5 unidadescuadradas.

3. -40ºC = -40ºF

4. Presion a 20 metros es 2.988 y a 50 metros es 5.97

23

5. Los numeros son: 128 y 37.

6. Se deben mezclar23

L de la solucion al 15% y13

L de la solucion al 12%

7. Se invirtio 1.400.000 en la cuenta de ahorros.

8. No es posible. Sin embargo si reemplazamos 68.000 pesos por 69.000 pesos habrıan45 monedas de 200 y 120 monedas de 500.

Ejercicios 10.1

1. Plano cartesiano

X

Y

(1,-1) (6,-1)

(6,3)(1,3)

2. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧−1 ≤ y ≤ 3

3. p(x, y) = 4 ≤ x ≤ 9∧−1 ≤ y ≤ 3

4. p(x, y) = −1 ≤ x ≤ 4∧−1 ≤ y ≤ 3

5. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧ 4 ≤ y ≤ 8

6. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧−2 ≤ y ≤ 2

7. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧ −12≤ y ≤ 3

2

8. p(x, y) =13≤ x ≤ 2∧−1 ≤ y ≤ 3

9. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧−3 ≤ y ≤ 9

10. p(x, y) = 4 ≤ x ≤ 24∧−1 ≤ y ≤ 3

11. p(x, y) = −6 ≤ x ≤ −1 ∧ 2 ≤ y ≤ 4

X

Y

(-6,2) (-1,2)

(-6,4) (-1,4)Simetrıas con respecto a:

Eje x:p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧−4 ≤ y ≤ −2Eje y:p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧ 2 ≤ y ≤ 4Recta y=x:p(x, y) = −6 ≤ y ≤ −1∧ 2 ≤ x ≤ 4

24

12. p(x, y) = −1 ≤ x ≤ 7 ∧ −3 ≤ y ≤ 2

X

Y(7,2)

(7,-3)(-1,-3)

(-1,2)Simetrıas con respecto a:Eje x:p(x, y) = −1 ≤ x ≤ 7∧−2 ≤ y ≤ 3Eje y:p(x, y)=−7 ≤ x ≤ 1∧−2 ≤ y ≤ 3Recta y=x:p(x, y) = −1 ≤ y ≤ 7∧−3 ≤ x ≤ 2

13. Simetrıas Triangulo

Triangulo base:

XY

(1,-2)

(3,-4)

(5,-1)

Simetrıa con respecto al eje Y:

XY

(-1,-2)

(-3,-4)

(-5,-1)

Simetrıa con respecto al eje X:

X

Y

(1,2)

(3,4)

(5,1)

Simetrıa con respecto a la recta y = x:

XY(-2,1)

(-4,3)

(-1,5)

14. Simetrıas Triangulo

25

Triangulo base:

X

Y

(-4,-1) (1,-1)

(1,3)

Simetrıa con respecto al eje Y:

X

Y

(4,-1)(-1,-1)

(-1,3)

Simetrıa con respecto al eje X:

X

Y

(-4,1) (1,1)

(1,-3)

Simetrıa con respecto a la recta y = x:

X Y

(-1,-4)

(-1,1) (3,1)

Ejercicios 11.1

1. Centro = (3,−1) ; Radio = 2

X

Y

2. Centro = (3, 0) ; Radio = 2

X

Y

3. Centro = (0,−1) ; Radio = 2

26

X

Y

4. Centro = (3,−1) ; Radio =

√3

3

XY

5. Centro = (3,−1) ; Radio = 5

X

Y

6. Centro = (3,−1) ; Radio = 2

X

Y

7. Centro = (3,−1) ; Radio = 2√

5

X

Y

8. Centro = (0, 2) ; Radio = 1

X

Y

9. Centro = (1, 0) ; Radio = 2

27

X

Y

10. Centro = (1,−1) ; Radio =√

3

X

Y

11. x2 + y2 + 6x− 4y− 12 = 0

12. x2 + y2 + 6x− 4y + 8 = 0

13. x2 + y2 − 6x + 4y− 3 = 0

14. x2 + y2 + 6x− 4y− 108 = 0

15. x2 + y2 − 2y− 8 = 0

16. x2 + y2 + 14x + 48 = 0

17. x2 + y2 − 2πx− y + π2 − 154

= 0

18. x2 + y2 + 2y = 0

19. Las ecuaciones son: x2 + y2 − 6x − 16 = 0 ; x2 + y2 − 4y + 3 = 0 ; x2 + y2 − 8x +4y + 16 = 0

Ejercicios 11.2

Puntos Extremos:

Caso 2: (−2, 0); (2, 0); (0, 1); (0,−1)

Caso 3: (−1, 0); (1, 0);(

0,13

);(

0,−13

) Caso 4: (−1, 0); (1, 0); (0, 3); (0,−3)

Caso 5:(−1

2, 0)

;(

12

, 0)

; (0, 3); (0,−3)

Ejercicios 11.3

1. centro: (2, 0) ; vertices: (−1, 0), (5, 0), (2, 5), (2,−5) ; focos: (2, 4), (2,−4)

2. centro: (0, 1) ; vertices: (−6, 1), (6, 1), (0,−3), (0, 5) ; focos: (2√

5, 1), (−2√

5, 1)

3. centro: (4,−7) ; vertices: (0,−7), (8,−7), (4,−15), (4, 1) ;focos: (4,−7− 4

√3), (4,−7 + 4

√3)

28

4. centro: (−3, 1) ; vertices: (−10, 1), (4, 1), (−3,−4), (−3, 6) ;focos: (−3− 2

√6, 1), (−3 + 2

√6, 1)

5. Caracterısticas de dos de las elipses:

Centro: (2,−3)vertices: (−1,−3); (5,−3); (2,−2); (2,−4)Focos: (2− 2

√2,−3); (2 + 2

√2,−3)

Eje focal: Horizontal de longitud 6.Eje transverso: Vertical de longitud 2.

Ecuacion:(x− 2)2

9+

(y + 3)2

1= 1

Centro: (−4, 2)vertices: (−4, 6); (−4,−2); (−5, 2); (−3, 2)Focos: (−4, 2 +

√15); (−4, 2−

√15)

Eje focal: Vertical de longitud 8.Eje transverso: Horizontal de longitud 2.

Ecuacion:(x + 4)2

1+

(y− 2)2

16= 1

Ejercicios 11.7

1. Algunos datos caracterısticos.

a) Elipse con centro en (0, 0) y eje focal vertical.

b) Elipse con centro en (2,−3) y eje focal horizontal.

c) Hiperbola con centro en (−5, 0) que abre hacia arriba y abajo.

d) Parabola que abre hacia arriba con vertice en (−4,−3).

e) Representa al conjunto {(2,-1)}.f) Elipse con centro en (1,−1) y eje focal vertical.

g) Parabola que abre hacia la derecha con vertice en (−3,−1).

h) Hiperbola con centro en (−1, 1) que abre hacia arriba y abajo.

i) Representa al conjunto {(−3, 1)}.j) Elipse con centro en (0, 2) y eje focal vertical.

k) Elipse con centro en (3, 0) y eje focal vertical.

l) Parabola que abre hacia arriba con vertice en (−1,−1).

m) Parabola que abre hacia la derecha con vertice en (−2,−3).

n) Hiperbola con centro en (−3, 2) que abre hacia la derecha y la izquierda.

o) Representa a las rectas y = x ; y = −x.

29

2. a) Interior y grafica de la elipse 9x2 + 4y2 − 18x + 8y + 4 = 0

X

Y

b) Interior (zona sombreada) de la hiperbola 4x2 − 9y2 + 8x + 18y + 4 = 0

−4 −3 −2 −1 1 2

−2

2

4

c) Interior (zona sombreada) y grafica de la hiperbola 3x2 − y2 + 30x + 78 = 0

−7 −6 −5 −4 −3

−4

−2

2

4

3. i) a) α 6= 19

30

b) α = 19

ii) a) β < 100 b) β = 100 c) β > 100

iii) a) γ < 9 b) γ = 9 c) γ > 9

4. b)

5. b)

6. b)

7. a)

8. b)

9. a)

10. a)

11. b)

Ejercicios 12.1

Enumerando de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.

1. Sı

2. No

3. Sı

4. No

5. No

6. Sı

Ejercicios 12.2

[−3.5] = −4[−π] = −4

[−437] = −7

[−1.87] = −2[−6] = −6

[−125] = −3

[−0.4567895] = −1[−5.99] = −6

[− 4108

] = −1

Ejercicios 12.3

1. Grafica f1

−6 −4 −2 2

−2

2

4 Dominio: R

Imagen: (−3,−1) ∪ [0, ∞)

31

2. Grafica f2

−4 −2 2 4

−3

−2

−1

1

2

Dominio: R

Imagen: [−3, ∞)

3. Grafica f1

−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−1

1

2 Dominio: R− {1}

Imagen: R− {0}

4. Grafica f1

−2 −1 1 2

−4

−2

2

4

Dominio: R

Imagen: {−4} ∪ [1, ∞)

32

Ejercicios 12.4

1. Enumerando de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.

i) Unicamente inyectiva

ii) Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

iii) Unicamente sobreyectiva.

iv) Ninguna.

2. Ninguna 3. Ninguna 4. Ninguna 5. Ninguna

Ejercicios 12.5

1. Ninguna

2. Ninguna

3. Ninguna

4. Ninguna

5. Ninguna

6. par

7. Sı, solo una

1 Ejercicios 12.9

1. Calcule:log2 128 = 7log4 256 = 4log 1

2256 = −8

log 110

100000 = −5log3 81 = 4

log 12

16 = −4

log 14

1256

= 4

log101

10000= −4

log10 10000 = 4

log 15

1125

= 3

log 15

125 = −3

log81

64= −2

2. a) (−∞,−1) ∪ (1, ∞)

b) (−3,−1) ∪ (3, ∞)

c) R− 0

d) (−3, ∞)

3. Graficas:

33

−4 −2 2 4

−3

−2

−1

1

2a) u(x)

−1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3 b) v(x)

−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5

0.5 c) w(x)

34

5 10 15 20

1

2

3

4

5

d) g(x)

Ejercicios 12.10

1. Dominio

Dom( f ) = (−∞, 0]Dom(k) = (−∞,−1] ∪ (1, ∞)Dom(m) = (0, ∞)Dom(g) = (−∞, 0) ∪ [1, ∞)

Dom(l) =(−∞,

12

]Dom(n) = R

Dom(h) = [0, 25]Dom(j) = R

2. Graficas de l y j respectivamente, ambas no son inyectivas ni pares ni impares.

−4 −3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

Dominio: R

Imagen: (−∞, 1]

35

−4 −2 2 4

2

4

6

8

Dominio: R

Imagen: [0, ∞)

3. Numeral 2)

−1 1 2 3 4

−4

−2

2

y = g(x)− 1

−1 1 2 3 4

−4

−2

2

y = g(x + 1)

−1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

y = g(x) + 1

−1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

y = g(2x)

36

−1 1 2 3 4

−4

−2

2

y = g(x− 1)

−1 1 2 3 4

−4

−2

2

y = g(

12

x)

5. Sean f y g funciones no cero, en las siguientes tablas se expresa si la operacion entredos funciones pares o impares da como resultado una funcion par (P) , impar (I) ,nunca par nunca impar (N)

¿ Hay cambios en las siguientes tablas si f es cero o g es cero?

Tabla f + g

+ g par g impar

f par N

f impar

Tabla f × g

× g par g impar

f par

f impar P

Tabla f ◦ g

◦ g par g impar

f par P

f impar

6. a) Dom( f ) = R ; Im( f ) = [1, ∞)

Dom(n) = [0, ∞) ; Im(n) = [0, ∞)

Dom(j) = R ; Im(j) = (0, ∞)

Dom(g) = R ; Im(g) = [0, ∞)

Dom(k) = R− {0} ; Im(g) = R− {0}

Dom(l) = (0, ∞) ; Im(l) = R

Dom(h) = R ; Im(h) =(−∞,

498

]Dom(m) = R ; Im(m) = {1,−1}

b) dominios composiciones

37

1) (0, ∞)

2) (0, ∞)

3) R− {0}

4)[−12

, 3]

5) R− {0}

6) R

7) [0, ∞)

8) [e−2, ∞)

9)(−12

, 3)

10) R

7. a) Area =

√3

4L2 ; Perimetro = 3L

b) l =√

2s

d ; Area =d2

2c) Area = 6L2 ; Volumen = L3

8. Es una funcion escalonada que vale 2500 hasta 2, luego cada 500 (eje y) hay escalones

de14

de ancho (15 min , eje x)

En total hay 18 escalones de14

de ancho, finalmente a partir de 6.5 (6h 30 min) hay

un escalon a la altura 12000, es decir la funcion vale 12000 en (6.5, ∞).

9. x = 50

10. Logra llegar con una ventaja de aproximadamente medio minuto.

11. a) 3200

b) 100× 2t/3

c) Sı

d) Entre 24 y 27 horas

12. a)18

gr

b) 2× 12

t/15

c) Entre 0.0.gr y 0.1gr

d) Entre 105 y 120 horas

Ejercicio 13.4

Alcanza un altura de 7.52 metros y su base esta a una distancia del edificio de 2.74 metros.

Ejercicios 13.7

1. T. Coseno. 2. T. Coseno. 3. T. seno. 4. T. seno.

Ejercicios 13.9

38

1. verdadero 2. Falso 3. verdadero 4. Falso

Ejercicios 13.10 (pag 468)

−6 −4 −2 2 4 6

−2

−1

1

2k(x) = 2 sin

(x− π

4

)Dominio: R

Imagen: [−2, 2]

Amplitud: 2

Desplazamiento de fase:π

4

Periodo: 2π

−6 −4 −2 2 4 6

−1

1

2

3

4

l(x) = |1− 3 sin (2x− π)|

Dominio: R

Imagen: [0, 4]

Ejercicios 13.12 (pag 476)

1. b)

2. b)

3. c)

4. b)

5. b)

6. c)

7. a)

8. a)

9. b)

10. Por ejemplo sen(θ) =817

; cos(θ) =1517

11. AB = 6 y BC = 2√

3

12. Por ejemplo sen(α) = −√

154

13. Por ejemplo sen(α) = −2√

55

39

14. α = β = 0∨ α = 2π − β 17. α =π

4∨ α =

54

π

18. d) 19. c) 20. a) 21. 33.7 22. 2.83Km 23. 39542

40