1 Técnicas de derivación Ejercicio nº 1.- Las gráficas 1, 2 y 3 corresponden, en otro orden, a las funciones derivadas de las gráficas a), b) y c). ¿Cuál es la derivada de cuál? Razona tu respuesta: Ejercicio nº 2.- Asocia cada una de las siguientes gráficas [a), b), c)] con la de su derivada. Justifica tu respuesta:
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Transcript
1
Técnicas de derivación Ejercicio nº 1.- Las gráficas 1, 2 y 3 corresponden, en otro orden, a las funciones derivadas de las gráficas a), b) y c). ¿Cuál es la derivada de cuál? Razona tu respuesta:
Ejercicio nº 2.- Asocia cada una de las siguientes gráficas [a), b), c)] con la de su derivada. Justifica tu respuesta:
2
Ejercicio nº 3.- Asocia cada gráfica [a), b), c)] con la de su función derivada. Razona tu respuesta:
Ejercicio nº 4.- ¿Cuál de las gráficas 1, 2, 3 representa la derivada de f (x)? ¿Y la de g (x)? ¿Y la de h (x)? Justifica tus respuestas:
3
Ejercicio nº 5.- La gráficas 1, 2 y 3 son las funciones derivadas de las gráficas a), b) y c), pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cuál? Justifica tu respuesta.
Ejercicio nº 6.- Obtén el valor de f '(3), utilizando la definición de derivada, para la función:
Ejercicio nº 7.-
Halla la derivada de la función f (x), en x0 1, utilizando la definición de derivada:
Ejercicio nº 8.-
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(2). Ejercicio nº 9.-
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1).
1
2
x
xxf
2
14 2
xxf
., hx
xf
22 interv alo el en 3
1 función la de T.V.M. la Hallaa)
2
., hx
xf
11 intervalo el en 1
3 función la de T.V.M. la Hallaa)
4
Ejercicio nº 10- Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo:
f (x) = 2x2 + 5x Ejercicio nº 11- La función f (x) está definida por:
Estudia su continuidad y su derivabilidad. Ejercicio nº 12- Dada la función:
estudia su continuidad y su derivabilidad. Ejercicio nº 13-
Halla los valores de m y n para que la siguiente función sea continua y derivable en :
Ejercicio nº 14-
Calcula los valores de a y b para que f (x) sea continua y derivable en :
Ejercicio nº 15- Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
2si5
20si1
0si22
x
xxx
x
xf
x
4si62
40si2
0si2
2 xxx
xx
x
xf
1si
1si32
2
xnxx
xmxxxf
1si12
1si22
2
xxbx
xaxxxf
1si13
10si2
0si22
2
xx
xx
xx
xf
5
Ejercicio nº 16- Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Ejercicio nº 17- Halla la derivada de:
Ejercicio nº 18- Deriva las siguientes funciones:
Ejercicio nº 19- Halla la derivada de las funciones:
Ejercicio nº 20- Obtén la función derivada de cada una de las funciones siguientes:
Ejercicio nº 21- Obtén la derivada de estas funciones:
Ejercicio nº 22- Deriva estas funciones:
xe
xxxfxsenxxxf
32b)a)
223 2
2
12b)35a)
2
x
xxxfexxf x )(
xlnxcosexfx
xxf x
b)
1
4a)
2
23
1b)a)
3
2
x
xyexxy x
2
254
1
3b)3a)
x
xxyxlnxxy
2322 3b)23a) xexfxlogxf x
2
22
13
4b)3a)
)(
x
xyxseny
6
Ejercicio nº 23- Halla la derivada de estas funciones:
Ejercicio nº 24- Calcula la derivada de:
Ejercicio nº 25- Calcula la derivada de estas funciones:
Soluciones Técnicas derivación Ejercicio nº 1.- Las gráficas 1, 2 y 3 corresponden, en otro orden, a las funciones derivadas de las gráficas a), b) y c). ¿Cuál es la derivada de cuál? Razona tu respuesta:
13
2b)43a)
52
x
xlnyxy
x
xlnexfxcosxf x
2
14b)3a) 432
xxlnxfx
xxf 3b)
3
2a) 3
7
Solución:
La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece. Por tanto:
a) 2
b) 1
c) 3 Ejercicio nº 2.- Asocia cada una de las siguientes gráficas [a), b), c)] con la de su derivada. Justifica tu respuesta:
8
Solución:
La derivada vale cero en los puntos de tangente horizontal es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece. Por tanto:
a) 2
b) 3
c) 1 Ejercicio nº 3.- Asocia cada gráfica [a), b), c)] con la de su función derivada. Razona tu respuesta:
9
Solución:
La derivada vale cero en los puntos de tangente horizontal es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece. Por tanto:
a) 3
b) 1
c) 2 Ejercicio nº 4.- ¿Cuál de las gráficas 1, 2, 3 representa la derivada de f (x)? ¿Y la de g (x)? ¿Y la de h (x)? Justifica tus respuestas:
Solución:
10
La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece. Por tanto:
1) h '(x)
2) f '(x)
3) g '(x)
Ejercicio nº 5.- La gráficas 1, 2 y 3 son las funciones derivadas de las gráficas a), b) y c), pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cuál? Justifica tu respuesta.
Solución:
La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece. Por tanto:
a) 3
b) 1
c) 2
11
Ejercicio nº 6.- Obtén el valor de f '(3), utilizando la definición de derivada, para la función:
Solución:
Ejercicio nº 7.-
Halla la derivada de la función f (x), en x0 1, utilizando la definición de derivada:
Solución:
Ejercicio nº 8.-
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(2). Solución:
1
2
x
xxf
)4(4
4444
1
4
1
4
1
13
23
3)3(3
0000 hh
hhlím
h
h
h
límh
h
h
límh
fhflímf'
hhhh
16
3
)4(4
3
)4(4
3
00
hlím
hh
hlím
hh
2
14 2
xxf
h
hh
límh
h
límh
fhflímf'
hhh
2
5
2
1)21(4
2
5
2
1)1(4
1)1(1
2
0
2
00
4)42(2
)42(2
2
84
2
51484
00
2
0
2
0
hlím
h
hhlím
h
hhlím
h
hhlím
hhhh
., hx
xf
22 interv alo el en 3
1 función la de T.V.M. la Hallaa)
2
h
hh
h
h
h
fhfh
3
31)44(3
)3(
3
1)2(
)2()2(2,2 T.V.M.a)
2
2
3
4
3
)4(
3
444 2 h
h
hh
h
hh
12
Ejercicio nº 9.-
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1). Solución:
Ejercicio nº 10- Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo:
f (x) = 2x2 + 5x Solución:
Ejercicio nº 11- La función f (x) está definida por:
Estudia su continuidad y su derivabilidad.
3
4
3
)4(2)2(2b)
00
hlím
h
fhflímf'
hh
., hx
xf
11 intervalo el en 1
3 función la de T.V.M. la Hallaa)
h
h
h
h
h
h
h
h
fhfh
)2(2
)2(36
2
3
2
3
2
3
11
3
)1()1(1,1 T.V.M.a)
)2(2
3
)2(2
3
)2(2
636
hhh
h
hh
h
4
3
)2(2
31)1(1b)
00
hlím
h
fhflímf'
hh
h
hhhlím
h
hhlím
h
fhflímf
hhh
18510)44(218)2(5)2(2)2()2(2'
2
0
2
00
13)132()132(13218510288
00
2
0
2
0
hlím
h
hhlím
h
hhlím
h
hhhlím
hhhh
2si5
20si1
0si22
x
xxx
x
xf
x
13
Solución:
Continuidad:
Si x 0 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 0:
- En x 2:
Derivabilidad:
Si x 0 y x 2 f (x) es derivable, y su derivada es:
En x 0: Como f '(0-) ln 2 f '(0+) 1, f (x) no es derivable en x 0.
En x 2: No es derivable, pues no es continua.
Ejercicio nº 12- Dada la función:
estudia su continuidad y su derivabilidad. Solución:
Continuidad:
Si x 0 y x 4: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
.0 en continua es
10
11
12
2
00
00
xxf
f
xxlímxflím
límxflím
xx
x
xx
.2 en continua es no
55
71
22
2
22
xxf
límxflím
xxlímxflím
xx
xx
2si0
20si12
0si22
x
xx
xln
xf
x
4si62
40si2
0si2
2 xxx
xx
x
xf
14
En x 0:
En x 4:
Derivabilidad:
Si x 0 y x 4: f (x) es derivable, y su derivada es:
En x 0: No es derivable, pues no es continua.
En x 4: Como f '(4-) 1 f '(4+) 6, f (x) no es derivable en x 4.
Ejercicio nº 13-
Halla los valores de m y n para que la siguiente función sea continua y derivable en :
Solución:
Continuidad:
Si x 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
Para que sea continua, ha de ser m 2 n 1, es decir: m n 3
.0 en continua es no
22
22
00
00
xxfxlímxflím
límxflím
xx
xx
.4 en continua es
24
262
22
2
44
44
xxf
f
xxlímxflím
xlímxflím
xx
xx
4si22
40si1
0si0
'
xx
x
x
xf
1si
1si32
2
xnxx
xmxxxf
21
1
23
2
11
2
11
mf
nnxxlímxflím
mmxxlímxflím
xx
xx
15
Derivabilidad:
Si x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:
En x 1: f '(1) 1; f '(1+) 2 n
Para que sea derivable, ha de ser 1 = -2 - n, es decir: n = -3
Uniendo las dos condiciones anteriores:
(En este caso quedaría f (x) x2 3x para todo x).
Ejercicio nº 14-
Calcula los valores de a y b para que f (x) sea continua y derivable en :
Solución:
Continuidad:
Si x 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
Para que sea continua, ha de ser 2 + a b + 1, es decir: a b - 1
Derivabilidad:
Si x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:
En x 1: Para que sea derivable, debe ser:
1si2
1si32'
xnx
xxxf
3
0
3
3
n
m
n
nm
1si12
1si22
2
xxbx
xaxxxf
af
bxbxlímxflím
aaxxlímxflím
xx
xx
21
112
22
2
11
2
11
1si22
1si4'
xbx
xaxxf
16
Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:
Ejercicio nº 15- Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
Solución:
Continuidad:
Si x 0 y x 1 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 0:
En x 1:
Derivabilidad:
Si x 0 y x 1 f (x) es derivable, y su derivada es:
En x 0: Como f '(0-) 0 f '(0+), f (x) es derivable en x 0; y f '(0) 0.
22224
221'
41'
baba
bf
af
0122122
1
abbb
ba
ba
1si13
10si2
0si22
2
xx
xx
xx
xf
.0 en continua es
20
22
22
2
00
2
00
xxf
f
xlímxflím
xlímxflím
xx
xx
.1 en continua es no
41
413
32
11
2
11
xxf
f
xlímxflím
xlímxflím
xx
xx
1si3
10si2
0si2
'
x
xx
xx
xf
17
En x 1: No es derivable, pues no es continua. Ejercicio nº 16- Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Solución:
Ejercicio nº 17- Halla la derivada de:
Solución:
Ejercicio nº 18- Deriva las siguientes funciones:
Solución:
xe
xxxfxsenxxxf
32b)a)
223 2
xcosxxsenxx
xf 2
32
3
2'a)
xx
x
x
xx
e
xx
e
xxxe
e
exxexxf
372
)(
)3234(
)(
)32()34('b)
2
2
2
2
2
2
12b)35a)
2
x
xxxfexxf x )(
xxx exx
exex
xf
35
2
535
2
5'a)
2
22b)
2
2
x
xxxf
22
2323
22
22
)2(
444284
)2(
2·)22()2()24('
x
xxxxx
x
xxxxxxf
22
2
)2(
482
x
xx
xlnxcosexfx
xxf x
b)
1
4a)
2
18
Ejercicio nº 19- Halla la derivada de las funciones:
Solución:
Ejercicio nº 20- Obtén la función derivada de cada una de las funciones siguientes:
Solución:
22
22
22
2
22
2
)1(2
4161
)1(
1
28
2
1
)1(
2·)4()1(2
1
'a)xx
xxxx
x
xxx
x
x
x
xxxx
xf
22
2
)1(2
1163
xx
xxx
x
xsenexcosexf xx 1'b)
23
1b)a)
3
2
x
xyexxy x
xxx exxx
exxex
y
2
11
2
11'a)
23
24
23
244
23
223
)23(
493
)23(
9946
)23(
9·)1()23(2'b)
x
xxx
x
xxxx
x
xxxxy
2
254
1
3b)3a)
x
xxyxlnxxy
x
xxxln
xx
xxxxln
xxy
53
5 4
354
5 4
3 35
112
1·3
5
112'a)
22
2323
22
22
)1(
623322
)1(
)2(·)3()1()32('b)
x
xxxxx
x
xxxxxy
22
2
)1(
323
x
xx
19
Ejercicio nº 21- Obtén la derivada de estas funciones:
Solución:
b) f '(x) 2 (ex + 3x3) · (ex + 9x2) Ejercicio nº 22- Deriva estas funciones:
Solución:
a) y ' 2 sen (x2 3) cos (x2 3) · 2x 4x sen (x2 3) cos (x2 3)
Ejercicio nº 23- Halla la derivada de estas funciones:
Solución:
2322 3b)23a) xexfxlogxf x
2)23(
66·
2
1·
23
1'a)
22 lnx
xx
lnxxf
2
22
13
4b)3a)
)(
x
xyxseny
3344
2
)13(
412
)13(
24412
)13(
]24)13(4[)13(
)13(
3·)13(2·4)13(4'b)
x
x
x
xx
x
xxx
x
xxxy
13
2b)43a)
52
x
xlnyxy
4242 43306435'a) xxxxy
222 )13(2
2·)13(
)13(
626·
2
)13(
)13(
3·2)13(2·
13
2
1'b)
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xy
xxxx
23
1
)13(
1
20
Ejercicio nº 24- Calcula la derivada de:
Solución:
a) f '(x) 2 cos (3x) (sen (3x)) · 3 6 cos (3x) sen (3x)
Ejercicio nº 25- Calcula la derivada de estas funciones:
Solución:
x
xlnexfxcosxf x
2
14b)3a) 432
2
43
2
43
)2(
288·
14
23
)2(
2·)14(2·4·
2
14
13·'b)
x
xx
x
xe
x
xx
x
xexf xx
xxe
xxe xx
2
4343
4
13
)2(·)14(
23
xxlnxfx
xxf 3b)
3
2a) 3
2222
)3(2
33
)3(22
36
)3(
262·
22
3
)3(
2)3(2·
3
22
1'a)
xx
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xxf
xx
xx
xxxf
3
3333·
3
1'b)
3
22
3
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