ESTUDIO DE VIGAS 1.1 DEFLEXIÓN DE UNA VIGA 1.1.1. VIGA.- En ingenieríayarquitecturase denoina !iga a un e"eento constructi!o "inea" que tra#a$a %rinci%a"ente a &"e'i(n. En "as !igas "a "ongitud %redoina so#re "as otras dos diensiones y sue"e ser )ori*onta". En "as !igas "a "ongitud %redoina so#re "as otras dos diensiones y sue"e ser)ori*onta". E" es&uer*o de &"e'i(n %ro!oca tensionesde tracci(n y co%resi(n+ %r oduci,ndose "as 'i as en e" cord(n in &erior y en e" cord(n su %eri or res%ec ti!aente+ "as cua"es se ca"cu "an re"acionando e" oento &"ectory e" segundo oento de inercia. En "as *onas cercanas a "os a%oyos se %roducen es&uer*os cortantes. a#i,n %ueden %roducirse tensiones %ortorsi(n+ so#re todo en "as !igas que &oran e" %eríetro e'terior de un &or$ado. Estructura"ente e" co%ortaiento de una !iga se estudia ediante un ode"o de %risa ecnico.Figura /1. 1.0 EE DE 2I3E 45A Un e$e de sietría es una "ínea iaginaria que a" di!idir una &oracua"quiera+ "o )ace en dos %art es cuy os %untoso%uestos son equidistantes entre sí+ es decir+ quedan si,tricos 1
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1.1 DEFLEXIÓN DE UNA VIGA1.1.1. VIGA.- En ingeniería y arquitectura se denoina !iga a un e"eento constructi!o
"inea" que tra#a$a %rinci%a"ente a &"e'i(n. En "as !igas "a "ongitud %redoinaso#re "as otras dos diensiones y sue"e ser )ori*onta".En "as !igas "a "ongitud %redoina so#re "as otras dos diensiones y sue"e ser
)ori*onta".E" es&uer*o de &"e'i(n %ro!oca tensiones de tracci(n y co%resi(n+%roduci,ndose "as 'ias en e" cord(n in&erior y en e" cord(n su%erior res%ecti!aente+ "as cua"es se ca"cu"an re"acionando e" oento &"ector y e"segundo oento de inercia. En "as *onas cercanas a "os a%oyos se %roducenes&uer*os cortantes. a#i,n %ueden %roducirse tensiones %or torsi(n+ so#retodo en "as !igas que &oran e" %eríetro e'terior de un &or$ado.Estructura"ente e" co%ortaiento de una !iga se estudia ediante un ode"ode %risa ecnico.
Figura /1.
1.0 EE DE 2I3E45A
Un e$e de sietría es una "ínea iaginaria que a" di!idir una &ora cua"quiera+ "o)ace en dos %artes cuyos %untos o%uestos son equidistantes entre sí+ es decir+quedan si,tricos
6ara una !iga e"stica en "a que se a%"ican s("o oentos M 1 y M 0+ "a &ora de "acur!a e"stica de%ende s("o de dos %aretros inde%endientes+ "a &oraa%ro'iada de "a de&orada de%ender de" !a"or y signo re"ati!o de estosoentos+ siendo un caso tí%ico e" ostrado en "a &igura adyacente. Escri#iendo "a"ey de oentos &"ectores %ara "os %untos interedios de "a !iga y escogiendo "as
condiciones de contornos ""egaos a "a ecuaci(n di&erencia" siguiente7
2
2 112
( ) 1
z
M M d v x M x
dx EI L
− = + ÷
2 1
2 1
( ) (0)
( ) (0)
v L v
v L v L
δ δ δ
δ θ θ
− = − = ′ ′− = − =
La so"uci(n ana"ítica de ecuaci(n anterior con cua"quiera de "os dos %osi#"ese"ecciones de contorno+ se o#tiene coo7
3 2 3 2
2 1 23 2 3 2
3 5 2 3( ) ( )
x x x x x xv x L L
L L L L L Lθ θ θ
= − − + − + − + ÷ ÷
CAPÍTULO II: ECUACIONES DIE!ENCIALES LINEALES
0.1 E8UA8I9NE2 DIFE4EN8IALE2 LINEALE2De "a ecuaci(n Di&erencia" Linea" de orden n7
( ) ( 1)
1 1 0( ) ( ) ... ' ( )n n
n na x y a x y a y a y f x−−+ + + + = : 1( )α
Donde( ) 0na x ≠
8uando n;1+ se o#tiene7
1 0( ) ( ) ( )dy
a x a x y f xdx
+ = + 1( ) 0a x ≠ :. 2( )α
L"aada E8UA8IÓN DIFE4EN8IAL LINEAL DE 64I3E4 94DEN+
Donde 1 0, ,a a f son &unciones so"aente de ' o constantes.
&#&#( ECUACI'N DIE!ENCIAL DE )E!NOULLI 2i "a ecuaci(n di&erencia" no es "inea"+ se de#e )acer "a trans&oraci(n a "inea"+ uno de"os ,todos es reso"!er una ECUACI'N DIE!ENCIAL DE )E!NOULLI# >ue es de "a&ora siguiente7
( ) ( ) ndy
p x y q x ydx
+ = + 1n ≠ :.. 5( )α
( ) ( )
dy
p x y q xdx + = : 3( )α
8oo se o#ser!a dic)a ecuaci(n no es "inea" + %riero de#e trans&orarse en unaecuaci(n di&erencia" "inea".
2E8UEN8IA A 2EGUI47
1?.- A "a ecuaci(n 5( )α u"ti%"icar"o %or n y−
1( ) ( )n ndy y p x y q x
dx
− −+ = ::.. 6( )α
0?.- 3u"ti%"icando a 6( )α
%or(1 )n
−1(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( )n ndy
n y n p x y n q xdx
− −− + − = − ... 7( )α
@?.- 2i 1 n z y −= +entonces (1 ) ndz dyn y
dx dx
−= − : 8( )α
?.- 4ee%"a*ar 8( )α en 7
( )α 7
(1 ) ( ) (1 ) ( )dz
n p x z n q xdx
+ − = − : 9( )α
Donde 9( )α ya es una ecuaci(n di&erencia" "inea" en * de %rier orden.
a" que ( ), ( ), ( ) p x q x r x son &unciones so"o de '.La idea a seguir+ es de tras&orar"o a "a &ora de una ecuaci(n de Bernou""i+ %ara"uego trans&orar"o a una ecuaci(n di&erencia" "inea".En e&ecto "a ecuaci(n 1( ) ρ no se %uede reso"!er %or e" ,todo de Bernou""i+ ni es
ecuaci(n di&erencia" "inea"+ sin e#argo si se conoce una so"uci(n %articu"ar+entonces se %uede encontrar "a so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia".2u%oniendo que ( ) y xψ = es una so"uci(n %articu"ar+ entonces se %uede )a""ar "aso"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" )aciendo
( ) y x z ψ = +
Donde z es una &unci(n inc(gnita que se !a deterinar con "a ayuda de "a ecuaci(ndi&erencia".
Es "a so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" 5( ) ρ .
CAPÍTULO III: *ODELACI'N CON ECUACIONES DIE!ENCIALES DE O!DEN SUPE!IO!
3.1 ECUACIONES DIE!ENCIALES LINEALES: P!O)LE*AS DE VALO!ES ENLA !ONTE!A + DELE,I'N DE UNA VIGA + VIGA E*POT!ADA#
8on &recuencia+ "a descri%ci(n atetica de un sistea &ísico requiere "aso"uci(n de una ecuaci(n di&erencia" su$eta a condiciones en "a &ronteraC es decir condiciones es%eci&icadas %ara "a &unci(n desconocida o una de sus deri!adas+ einc"uso %ara una co#inaci(n de "a &unci(n desconocida y una de sus deri!adas+en dos o s %untos distintos.
De-.ia%ión de $na .iga#/ 3uc)as estructuras se construyen a #ase de !igasque se des!ían o distorsionan %or su %ro%io %eso o %or "a in&"uencia de a"guna&uer*a e'terna. 6ues a)ora estudiareos esta des!iaci(n78onsidereos dic)a des!iaci(n %or ( ) y x "a isa que esta deterinada %or unaecuaci(n di&erencia" "inea" de cuarto orden.
Asuiendo que una !iga de "ongitud L es )oog,nea y tiene secci(ntrans!ersa" uni&ore en toda su "ongitud. 8uando no reci#e carga a"guna+inc"uyendo su %ro%io %eso+ "a cur!a que une "os centroides de sus seccionestrans!ersa"es es una recta que se ""aa e"e de -ime0r1a <Fig. /1=.
2i a "a !iga se "e a%"ica una carga en un %"ano !ertica" que contenga quecontenga a" e$e de sietría+ su&re una distorsi(n y "a cur!a que une "os centroidesde "as secciones trans!ersa"es se ""aa %$r.a de de-.ia%ión2 %$r.a el3-0i%a2 osi%"eente el3-0i%a# La e"stica a%ro'ia "a &ora de "a !iga. 2u%ongaos quee" e$e x coincide con e" e$e de sietría y que la de-.ia%ión <o fle%4a= ( ) y x +
edida desde e" e$e+ es %ositi!a si es )acia a#a$o. En teoría de "a e"asticidad sedeuestra que e" oento &"e'ionante ( ) M x en un %unto x a "o "argo de "a
!iga+ se re"aciona con "a carga %or unidad de "ongitud ( )w x ediante "a siguienteecuaci(n7
2
2 ( )
d M w x
dx= 1
( )γ
Ades e" oento &"e'ionante ( ) M x es %ro%orciona" a "a cur!a+ κ + de "ae"stica7
( ) M x EI κ =
Donde E e I son constantes+ E es e" (du"o de oung de e"asticidad de"ateria" de "a !iga e I es e" oento de inercia de "a secci(n trans!ersa" de ,sta<res%ecto de un e$e ""aado e$e neutro=. E" %roducto EZ se denoina rigide5 ala flexión de "a !iga.De acuerdo a" c"cu"o di&erencia"+ "a cur!atura es7
32 2
''
1 ( ')
y
y
κ = +
2( )γ
8uando "a des!iaci(n ( ) y x es %equea es %equea+ "a %endiente ' 0 y ≈ + deodo que7
32 21 ( ') 1 y + ≈
2i '' yκ = + entonces e" oento &"e'ionante se trans&ora en '' M EIy= .La segunda deri!ada de esta ecuaci(n es7
2 2 4
2 2 4''
d M d d y EI y EI
dx dx dx
= = 3( )γ
4e%"a*ando resu"tado de 1( )γ en 3( )γ y !eos que "a des!iaci(n ( ) y x satis&ace
Las condiciones en "a &rontera asociados a esta ecuaci(n de%enden de "a &oraen que estn sostenidos "os e'treos de "a !iga. Una !iga en !o"adi*o <encanti"i!er= est empo0rada en un e'treo y "i#re en e" otro. E" a"a de un a!i(n+un #ra*o e'tendido+ "as astas de #anderas+ "os rascacie"os son e$e%"oscounes de !igas en !o"adi*o y "os oentos %ueden tra#a$ar coo !igas en!o"adi*o+ ya que estn e%otrados en su #ase y su&ren "a &uer*a de" !iento+ que"os tiende a &"e'ionar. 6ara una !iga en !o"adi*o+ "a des!iaci(n ( ) y x de#esatis&acer "as dos condiciones siguientes en e" e'treo e%otrado en 0 x = 7
a= (0) 0 y = + %orque no )ay des!iaci(n en ese "ugar+ y#= '(0) 0 y = + %orque "a cur!a de des!iaci(n es tangente a" e$e x <es decir+ "a%endiente de "a cur!a de des!iaci(n es cero en ese %unto=.
8uando x L= "as condiciones de" e'treo "i#re son7a= ''( ) 0 y L = + %orque e" oento &"e'ionante es cero
#= '''( ) 0 y L = + %orque "a &uer*a cortante es cero.
La &unci(n73
3( )
dM d y F x EI
dx dx
= = 5( )γ
2e ""aa &uer*a cortante. 2i un e'treo de una !iga est -implemen0e apo6ado<a esto ta#i,n se "e ""aa e#isagrado+ articu"ado o e%ernado=+ se de#ecu%"ir que (0) 0 y = y ''(0) 0 y = en ese e'treo.
A continuaci(n se uestra una ta#"a de "as condiciones en "a &rontera asociadas
con "a ecuaci(n 4( )γ 7
Ex0remo- deLa .iga
Condi%ione- enLa fron0era
E%otrado (0) 0 y = + '(0) 0 y =
Li#re ''(0) 0 y = + '''(0) 0 y =
2i%"eentea%oyado
(0) 0 y = + ''(0) 0 y =
E7E*PLO/ VIGA E*POT!ADA#
Una !iga de "ongitud L est e%otrada en a#os e'treos. Deterine "a
des!iaci(n de esa !iga si sostiene una carga constante+ 0w + uni&oreente
distri#uida en su "ongitudC esto es 0( )w x w= + 0 x L< < .
Sol$%ión2egn "o que aca#aos de %"antearC "a des!iaci(n ( ) y x satis&ace a
Dado que "a !iga est e%otrada en su e'treo i*quierdo < 0 x = = y en sue'treo derec)o ( ) x L= + no )ay des!iaci(n !ertica" y "a e"stica es )ori*onta" eesos %untos. De esta anera "as condiciones en "a &rontera son7
(0) 0, '(0) 0, ( ) 0, '( ) 0 y y y L y L= = = =
6odeos reso"!er deterinando c y teniendo en cuenta que 0m = es una raí* de
u"ti%"icidad cuatro de "a ecuaci(n au'i"iar 4 0m = + "uego deterinaos una
so"uci(n %articu"ar p y %or e" ,todo de coe&icientes indeterinados. a#i,n
%odeos reso"!er integrando cuatro "a ecuaci(n74
0
4
wd y
dx EI = 7( )γ
2e o#tiene coo so"uci(n genera"7
2 3 401 2 3 4( )
24
w y x c c x c x c x x
EI = + + + + 8( )γ
8on "as condiciones (0) 0, '(0) 0 y y= = se o#tiene 1 20 0c y c= = +
2in e#argo "as otras condiciones restantes ( ) 0, '( ) 0 y L y L= = a%"icados a "aecuaci(n7
2i 0 24 1w EI L= ∧ = + se o#tiene "a gr&ica de "a cur!a e"stica de "a &igura 1
Figura 1
8#& VALO!ES P!OPIOS 9 UNCIONES P!OPIAS EIGENVALO!ES 9EIGENUNCIONES;En "as a%"icaciones e'isten uc)os %ro#"eas+ que son %ro#"eas de !a"or en "a&rontera en dos %untos+ donde inter!iene una ecuaci(n di&erencia" que contieneun %aretro λ . 2e trata de )a""ar "os !a"ores de λ %ara "os cua"es e" %ro#"eade !a"or en "a &rontera tenga so"uciones no tri!ia"es.
E"emplo: De Sol$%ione- No Tri.iale- De Un Pro<lema De Valor En Laron0era#
Las condiciones (0) 0, ( ) 0 y y L= = i%"ican 2 10 0c y c= = + %or tantocuando 0λ = + "a nica so"uci(n a" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera es "a tri!ia"
0 y = .
CASO II# 2i 0λ < +1 2 y c Cosh x c Senh xλ λ = − + − +
De (0) 0 y = se o#tiene 1 0c = y así2 y c Senh xλ = − .
En e" sig"o !III Leon)ard Eu"er &ue uno de "os %rieros ateticos enestudiar un %ro#"ea de !a"ores %ro%ios a" ana"i*ar c(o se cur!a una co"unae"stica es#e"ta soetida a una &uer*a a'ia" de co%resi(n.E'ainando una co"una !ertica" "arga y es#e"ta de secci(n trans!ersa" uni&orey "ongitud L . 2ea ( ) y x "a cur!atura de "a co"una a" a%"icar"e una &uer*a !ertica"de co%resi(n+ o carga+ " + en su e'treo su%erior !er Figura 1. A" co%arar "os oentos &"e'ionantes en cua"quier %unto de "a co"una se o#tiene7
2
2
d y EI "y
dx= − es decir
2
2 0
d y EI "y
dx+ =
Donde E es e" (du"o de e"asticidad de oung e I es e" oento de inercia deuna secci(n trans!ersa" con res%ecto a una recta !ertica" %or e" centroide.
Figura 1
E"emplo: De Pro<lema !ela%ionado Con Valore- Propio-#
Deterinar "a des!iaci(n de una co"una )oog,nea+ de"gada y !ertica" dea"tura L + soetida a una carga a'ia" " constante. La co"una se encuentraarticu"ada en sus dos e'treos.
Sol$%ión#E" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera que se de#e reso"!er es7
2
2 0, (0) 0, ( ) 0
d y EI "y y y L
dx+ = = =
0 y = es una so"uci(n !a"ida %ara este %ro#"ea+ "o que indica que si "a carga "
no es su&icienteente grande+ entonces no )ay de&"e'i(n. Luego J%ara qu,