Ejemplo representacion funciones

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

MATEMATIKA DEPARTAMENTUA

Instituto de Bachil lerato a Distancia de BizkaiaB i z k a i k o U r r u t i k o B a t x i l e r g o I n s t i t u t u a

Representacion de funciones

Ricardo Mateos

[email protected]://www.bachilleratoadistancia.biz

[email protected]

http://www.bachilleratoadistancia.biz

Introduccion

Ejemplos

ContenidoDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS



1 Introduccion

2 Ejemplos

Ricardo Mateos Representacion de funciones 2/19

Introduccion

Ejemplos

IntroduccionDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS



Para representar una funcion hay que realizar los siguientes pasos:

1 Calculo del dominio de definicion de la funcion.

2 Estudio de la simetrıa y la periodicidad.

3 Calculo de los puntos de corte de la funcion con los ejes.

4 Estudio del signo de la funcion.

5 Calculo de las asıntotas.

6 Estudio del crecimiento y decrecimiento de la funcion.

7 Calculo de los extremos relativos.

8 Estudio de la curvatura de la funcion .

9 Calculo de los puntos de inflexion.


Introduccion

Ejemplos















Introduccion

Ejemplos















Introduccion

Ejemplos















Introduccion

Ejemplos















Introduccion

Ejemplos















Introduccion

Ejemplos















Introduccion

Ejemplos















Introduccion

Ejemplos















Introduccion

Ejemplos

f (x) = x3 − 3x + 2DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS



Estudiar y representar la funcion: f (x) = x3 − 3x + 2

Dominio:Como es una funcion polinomica el dominio son todos losnumeros reales: Domf = RSimetrıa y periodicidad:No tiene simetrıas ni es periodica.

Cortes con los ejes:

Eje OX:

f (x) = 0⇒ x3 − 3x + 2 = 0⇒

{x = −2

x = 1(−2, 0) (1, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 2 (0, 2)


Introduccion

Ejemplos





Dominio:Como es una funcion polinomica el dominio son todos losnumeros reales: Domf = R

Simetrıa y periodicidad:No tiene simetrıas ni es periodica.


Eje OX:

f (x) = 0⇒ x3 − 3x + 2 = 0⇒

{x = −2

x = 1(−2, 0) (1, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 2 (0, 2)


Introduccion

Ejemplos







Eje OX:

f (x) = 0⇒ x3 − 3x + 2 = 0⇒

{x = −2

x = 1(−2, 0) (1, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 2 (0, 2)


Introduccion

Ejemplos







Eje OX:

f (x) = 0⇒ x3 − 3x + 2 = 0⇒

{x = −2

x = 1(−2, 0) (1, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 2 (0, 2)


Introduccion

Ejemplos







Eje OX:

f (x) = 0⇒ x3 − 3x + 2 = 0⇒

{x = −2

x = 1(−2, 0) (1, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 2 (0, 2)


Introduccion

Ejemplos







Eje OX:

f (x) = 0⇒ x3 − 3x + 2 = 0⇒

{x = −2

x = 1(−2, 0) (1, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 2 (0, 2)


Introduccion

Ejemplos




Signo de la funcion:Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje OX

Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1,+∞)Signo(f (x)) negativo positivo positivo

Asıntotas:No tiene por ser una funcion polinomica.Crecimiento y decrecimiento:Hallamos la derivada de la funcion y la igualamos a cero.

f ′(x) = 3x2 − 3⇒ 3x2 − 3 = 0⇒

{x = −1

x = 1

Intervalo (−∞,−1) (−1, 1) (1,+∞)Signo(f ′(x)) + − +

f (x) creciente decreciente crecienteExtremos relativos:Con la tabla anterior hallamos los maximos y los mınimos locales.{

Maximo (−1, 4)

mınimo (1, 0)


Introduccion

Ejemplos







f ′(x) = 3x2 − 3⇒ 3x2 − 3 = 0⇒

{x = −1

x = 1



Maximo (−1, 4)

mınimo (1, 0)


Introduccion

Ejemplos






Asıntotas:No tiene por ser una funcion polinomica.

Crecimiento y decrecimiento:Hallamos la derivada de la funcion y la igualamos a cero.

f ′(x) = 3x2 − 3⇒ 3x2 − 3 = 0⇒

{x = −1

x = 1



Maximo (−1, 4)

mınimo (1, 0)


Introduccion

Ejemplos







f ′(x) = 3x2 − 3⇒ 3x2 − 3 = 0⇒

{x = −1

x = 1



Maximo (−1, 4)

mınimo (1, 0)


Introduccion

Ejemplos







f ′(x) = 3x2 − 3⇒ 3x2 − 3 = 0⇒

{x = −1

x = 1


f (x) creciente decreciente creciente

Extremos relativos:Con la tabla anterior hallamos los maximos y los mınimos locales.{

Maximo (−1, 4)

mınimo (1, 0)


Introduccion

Ejemplos







f ′(x) = 3x2 − 3⇒ 3x2 − 3 = 0⇒

{x = −1

x = 1



Maximo (−1, 4)

mınimo (1, 0)Ricardo Mateos Representacion de funciones 5/19

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Ejemplos




Curvatura:Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.f ′′(x) = 6x ⇒ 6x = 0⇒ x = 0

Intervalo (−∞, 0) (0,+∞)Signo(f ′′(x)) − +

f (x) convexa concava

Puntos de inflexion:Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexion:Punto de inflexion: (0, 2)


Introduccion

Ejemplos









Introduccion

Ejemplos









Introduccion

Ejemplos









Introduccion

Ejemplos




Ahora con esta informacion hallamos la grafica aproximada de lafuncion:

x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M

m


Introduccion

Ejemplos





x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M

m


Introduccion

Ejemplos





x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M

m


Introduccion

Ejemplos





x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M

m


Introduccion

Ejemplos





x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M

m


Introduccion

Ejemplos





x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M

m


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Ejemplos





x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M

m


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Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4




Estudiar y representar la funcion: f (x) =x2

x2 − 4

Dominio: como es una funcion racional no existira en los puntosdonde el denominador sea cero.

x2 − 4 = 0⇒

{x = −2

x = 2.

Luego, Domf = R− {−2, 2}Simetrıa y periodicidad:

Hallamos f (−x) =(−x)2

(−x)2 − 4=

x2

x2 − 4= f (x).

Luego la funcion es par, es simetrica respecto al eje OYNo es periodica.


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x2 − 4


x2 − 4 = 0⇒

{x = −2

x = 2.

Luego, Domf = R− {−2, 2}

Simetrıa y periodicidad:


(−x)2 − 4=

x2

x2 − 4= f (x).



Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x2 − 4


x2 − 4 = 0⇒

{x = −2

x = 2.

Luego, Domf = R− {−2, 2}Simetrıa y periodicidad:


(−x)2 − 4=

x2

x2 − 4= f (x).



Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





Eje OX: f (x) = 0⇒ x2

x2 − 4⇒ x2 = 0⇒ x = 0 (0, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 0 (0, 0)

Signo de la funcion:Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje OXy los puntos de discontinuidad.

Intervalo (−∞,−2) (−2, 0) (0, 2) (2,+∞)Signo(f (x)) positivo negativo negativo positivo


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





Eje OX: f (x) = 0⇒ x2

x2 − 4⇒ x2 = 0⇒ x = 0 (0, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 0 (0, 0)




Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





Eje OX: f (x) = 0⇒ x2

x2 − 4⇒ x2 = 0⇒ x = 0 (0, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 0 (0, 0)




Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





Eje OX: f (x) = 0⇒ x2

x2 − 4⇒ x2 = 0⇒ x = 0 (0, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 0 (0, 0)




Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





Eje OX: f (x) = 0⇒ x2

x2 − 4⇒ x2 = 0⇒ x = 0 (0, 0)

Eje OY: x = 0⇒ f (0) = 0 (0, 0)




Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4




Asıntotas:

Verticales:

lımx→−2

x2

x2 − 4=∞

lımx→2

x2

x2 − 4=∞

Luego tiene dos asıntotas verticales: x = −2 x = 2Horizontales:

lımx→±∞

x2

x2 − 4= 1

La asıntota horizontal es y = 1


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4




Asıntotas:

Verticales:

lımx→−2

x2

x2 − 4=∞

lımx→2

x2

x2 − 4=∞


lımx→±∞

x2

x2 − 4= 1



Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4




Asıntotas:

Verticales:

lımx→−2

x2

x2 − 4=∞

lımx→2

x2

x2 − 4=∞

Luego tiene dos asıntotas verticales: x = −2 x = 2

Horizontales:

lımx→±∞

x2

x2 − 4= 1



Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4




Asıntotas:

Verticales:

lımx→−2

x2

x2 − 4=∞

lımx→2

x2

x2 − 4=∞


lımx→±∞

x2

x2 − 4= 1



Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





f ′(x) =2x · (x2 − 4)− x2 · 2x

(x2 − 4)2=

−8x

(x2 − 4)2

−8x

(x2 − 4)2= 0⇒ −8x = 0⇒ x = 0

Tomamos este valor y los puntos de discontinuidad:

Intervalo (−∞,−2) (−2, 0) (0, 2) (2,+∞)Signo(f ′(x)) + + − −

f (x) creciente creciente decreciente decreciente

Extremos relativos:Con la tabla anterior hallamos los maximos y los mınimos locales.Maximo(0, 0)


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





f ′(x) =2x · (x2 − 4)− x2 · 2x

(x2 − 4)2=

−8x

(x2 − 4)2

−8x

(x2 − 4)2= 0⇒ −8x = 0⇒ x = 0






Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





f ′(x) =2x · (x2 − 4)− x2 · 2x

(x2 − 4)2=

−8x

(x2 − 4)2

−8x

(x2 − 4)2= 0⇒ −8x = 0⇒ x = 0






Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





f ′(x) =2x · (x2 − 4)− x2 · 2x

(x2 − 4)2=

−8x

(x2 − 4)2

−8x

(x2 − 4)2= 0⇒ −8x = 0⇒ x = 0






Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4




Curvatura:Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.

f ′′(x) =−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x

(x2 − 4)4=

(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)

(x2 − 4)4=

16x2 + 32

(x2 − 4)3

Igualamos a cero:16x2 + 32

(x2 − 4)3= 0⇒ 16x2 + 32 = 0⇒ No hay solucion.

Tomamos los puntos de discontinuidad:

Intervalo (−∞,−2) (−2, 2) (2,+∞)Signo(f ′′(x)) + − +

f (x) concava convexa concava

Puntos de inflexion:Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexion:No hay puntos de inflexion


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





f ′′(x) =−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x

(x2 − 4)4=

(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)

(x2 − 4)4=

16x2 + 32

(x2 − 4)3








Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





f ′′(x) =−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x

(x2 − 4)4=

(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)

(x2 − 4)4=

16x2 + 32

(x2 − 4)3








Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





f ′′(x) =−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x

(x2 − 4)4=

(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)

(x2 − 4)4=

16x2 + 32

(x2 − 4)3








Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) =x2

x2 − 4





x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x

)DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS



Representar la funcion f (x) = ln

(2x

2− x

)

Dominio: Un logaritmo solo existe cuando el argumento es

positivo. En este caso,2x

2− x> 0

Resolvemos esta inecuacion mirando el signo del numerador ydenominador:

Intervalo (−∞, 0) (0, 2) (2,+∞)2x − + +

2− x + + −2x

2− x− + −

Luego Domf = (0, 2)



Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





(2x

2− x

)



2− x> 0


Intervalo (−∞, 0) (0, 2) (2,+∞)2x − + +

2− x + + −2x

2− x− + −

Luego Domf = (0, 2)



Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





(2x

2− x

)



2− x> 0


Intervalo (−∞, 0) (0, 2) (2,+∞)2x − + +

2− x + + −2x

2− x− + −

Luego Domf = (0, 2)



Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





(2x

2− x

)



2− x> 0


Intervalo (−∞, 0) (0, 2) (2,+∞)2x − + +

2− x + + −2x

2− x− + −

Luego Domf = (0, 2)



Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





Eje OX: f (x) = 0⇒ ln

(2x

2− x

)⇒ 2x

2− x= 1⇒

⇒ 2x = 2− x ⇒ 3x = 2⇒ x =2

3

(2

3, 0

)Eje OY: x = 0. No existe f (0)⇒ no hay corte con este eje

Signo de la funcion:Estudiamos el signo de la funcion dentro de su dominio tomandolos puntos de corte con el eje OX .

Intervalo (0, 2/3) (2/3, 2)Signo(f (x)) negativo positivo


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x






(2x

2− x

)⇒ 2x

2− x= 1⇒

⇒ 2x = 2− x ⇒ 3x = 2⇒ x =2

3

(2

3, 0

)

Eje OY: x = 0. No existe f (0)⇒ no hay corte con este eje




Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x






(2x

2− x

)⇒ 2x

2− x= 1⇒

⇒ 2x = 2− x ⇒ 3x = 2⇒ x =2

3

(2

3, 0





Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x






(2x

2− x

)⇒ 2x

2− x= 1⇒

⇒ 2x = 2− x ⇒ 3x = 2⇒ x =2

3

(2

3, 0





Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Asıntotas

Verticales:

Teniendo en cuenta que ln 0→ −∞ y ln∞→∞,

calculamos: lımx→0

ln

(2x

2− x

)= −∞

lımx→2

ln

(2x

2− x

)=∞ Por lo tanto, hay dos asıntotas

verticales:x = 0 x = 2Horizontales:no podemos calcular el lımite cuando x → ±∞ yaque no esta dentro del dominio, por lo tanto, no hay asıntotashorizontales.


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Asıntotas

Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0→ −∞ y ln∞→∞,

calculamos:

lımx→0

ln

(2x

2− x

)= −∞

lımx→2

ln

(2x

2− x




Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Asıntotas



ln

(2x

2− x

)= −∞

lımx→2

ln

(2x

2− x

)=∞

Por lo tanto, hay dos asıntotas



Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Asıntotas



ln

(2x

2− x

)= −∞

lımx→2

ln

(2x

2− x


verticales:x = 0 x = 2

Horizontales:no podemos calcular el lımite cuando x → ±∞ yaque no esta dentro del dominio, por lo tanto, no hay asıntotashorizontales.


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Asıntotas



ln

(2x

2− x

)= −∞

lımx→2

ln

(2x

2− x


verticales:x = 0 x = 2Horizontales:

no podemos calcular el lımite cuando x → ±∞ yaque no esta dentro del dominio, por lo tanto, no hay asıntotashorizontales.


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Asıntotas



ln

(2x

2− x

)= −∞

lımx→2

ln

(2x

2− x




Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Crecimiento y decrecimiento:

Caculamos la derivada de lafuncion:

f ′(x) =1

2x

2− x

2(2− x)− 2x(−1)

(2− x)2=

2− x

2x

4

(2− x)2=

2

x(2− x)

Esta derivada nunca es cero, por lo tanto, la funcion es crecienteo decreciente en su dominio. Estudiando el signo vemos que laderivada es siempre positiva, luego la funcion es creciente en todosu dominio

Extremos relativos: La funcion no tiene extremos relativos porser siempre creciente.


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Crecimiento y decrecimiento: Caculamos la derivada de lafuncion:

f ′(x) =1

2x

2− x

2(2− x)− 2x(−1)

(2− x)2=

2− x

2x

4

(2− x)2=

2

x(2− x)




Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





f ′(x) =1

2x

2− x

2(2− x)− 2x(−1)

(2− x)2=

2− x

2x

4

(2− x)2=

2

x(2− x)

Esta derivada nunca es cero, por lo tanto, la funcion es crecienteo decreciente en su dominio.

Estudiando el signo vemos que laderivada es siempre positiva, luego la funcion es creciente en todosu dominio



Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





f ′(x) =1

2x

2− x

2(2− x)− 2x(−1)

(2− x)2=

2− x

2x

4

(2− x)2=

2

x(2− x)


Extremos relativos:

La funcion no tiene extremos relativos porser siempre creciente.


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





f ′(x) =1

2x

2− x

2(2− x)− 2x(−1)

(2− x)2=

2− x

2x

4

(2− x)2=

2

x(2− x)




Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Curvatura:

Hallamos la segunda derivada:

f ′′(x) = − (2− x) + x(−1)

(x(2− x))2=

2x − 2

(x(2− x))2

La igualmos a cero:2x − 2

(x(2− x))2= 0⇒ 2x − 2 = 0⇒ x = 1

Estudiamos el signo de la derivada segunda dentro del dominio.

Intervalo (0, 1) (1, 2)Signo(f ′′(x)) − +


Puntos de inflexion:Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexion:Punto inflexion: (1, ln 2)


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Curvatura: Hallamos la segunda derivada:

f ′′(x) = − (2− x) + x(−1)

(x(2− x))2=

2x − 2

(x(2− x))2


(x(2− x))2= 0⇒ 2x − 2 = 0⇒ x = 1






Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





f ′′(x) = − (2− x) + x(−1)

(x(2− x))2=

2x − 2

(x(2− x))2


(x(2− x))2= 0⇒ 2x − 2 = 0⇒ x = 1






Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





f ′′(x) = − (2− x) + x(−1)

(x(2− x))2=

2x − 2

(x(2− x))2


(x(2− x))2= 0⇒ 2x − 2 = 0⇒ x = 1






Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x




Hacemos la grafica de la funcion:

x

y

−1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

PI


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





x

y

−1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

PI


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





x

y

−1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

PI


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





x

y

−1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

PI


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





x

y

−1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

PI


Introduccion

Ejemplos

f (x) = ln

(2x

2− x





x

y

−1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

PI


Ejemplo representacion funciones

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