Ejercicios resueltos de exámenes. TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1 45 TEMA 4: NÚMEROS ÍNDICES. 1. La tabla muestra los beneficios anuales, en millones de euros, de una empresa y los índices de precios (IPC) para el período 2005-2010: Año 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Beneficios 9,3 9,5 9 10 11,4 13 IPC 105 110 112 IPC 100 103 108 114 a) Enlace las series de números índice tomando como base el año 2010. b) Obtenga los beneficios anuales a precios del 2010. c) Calcule las tasas de variación anual (en %) de los beneficios reales. d) Calcule la tasa media de variación anual (en %) de los beneficios reales. Solución: AÑO 2005 2006 2007 2008 2009 2010 BENEFICIO 9,3 9,5 9 10 11,4 13 IPC 105 110 112 115,36 120,96 127,68 IPC 93,75 98,21 100 103 108 114 IPC(base 2010) 82,24 86,15 87,72 90,35 94,74 100,00 BENEFICIOS (precios 2010) 11,308 11,027 10,26 11,068 12,033 13 TASAS DE VARIACION ANUAL (%) -2,48 -6,96 7,88 8,72 8,04 a) Las dos series de números índices (IPC) pueden enlazarse de las dos formas que aparecen en la tabla (dividiendo la primera serie por 1,12 o multiplicando la segunda serie por 1,12). Posteriormente, haciendo que el IPC para el año 2010 sea 100 (dividiendo por 1,2768 la primera serie de IPC o por 1,14 la segunda serie de IPC) se obtiene la serie de números índices (IPC) enlazada con base el año 2010. Debido al redondeo puede haber en algún caso una pequeña diferencia entre ambos métodos. b) Dividiendo los beneficios corrientes entre los IPC (base 2010) se obtienen los beneficios a precios del 2010 que aparecen en la tabla. Para estos cálculos se expresan los IPC en tantos por uno. 9,3 13 11,308 ... 13 0,8224 1 = = c) A partir de los cocientes entre los beneficios reales (a precios del 2010) de años consecutivos se obtienen las tasas de variación anual. Se multiplican por 100 para expresarlas en %.
Ejemplo examen economía igneiería química. Ejercicios y resolucion
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Ejercicios resueltos de exámenes. TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1 45
TEMA 4:
NÚMEROS ÍNDICES.
1. La tabla muestra los beneficios anuales, en millones de euros, de una empresa y los índices de
b) Cambiamos la base de la última serie de IPC (2009) al año 2012 dividiéndola por 1,065366.
Seguidamente dividimos la recaudación nominal por esta serie de IPC (2012), expresada en
52 Ejercicios resueltos de exámenes. TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1
tantos por uno, obteniendo así la recaudación en euros de 2012, siendo el total para el
período 2008-2012 de 113180,63 euros de 2012
Años 2008 2009 2010 2011 2012 IPC (2012) 91,5751 93,8644 95,2381 98,0952 100 Recaudación en euros de 2012 21840 22905,37 23310,01 22325,25 22800
c) A partir de la tabla del enunciado, con la recaudación corriente o nominal obtenemos
2012 444
2008
228001 1 1,14 1 0,0333 3,33%
20000
RN
RN− = − = − = ⇒
A partir de la tabla obtenida en el apartado b, con la recaudación real en euros constantes
de 2012 obtenemos
2012 444
2008
228001 1 1,043956 1 0,0108 1,08%
21840
RR
RR− = − = − = ⇒
Aunque en valores nominales se observe un crecimiento medio anual de la recaudación del
3,33%, el crecimiento medio anual real ha sido sólo del 1,08%.
d) Las tasas anuales de variación se obtienen comparando por cociente un año con el anterior y
restándole 1 (multiplicando por 100 se expresa en tantos por ciento):
11
( ) 1t
t
xT t
x −
= −
Años 2008 2009 2010 2011 2012 Recaudación nominal 20000 21500 22200 21900 22800 Tasas de variación anual nominal (%) - 7,50 3,26 -1,35 4,11 Recaudación en euros de 2012 21840 22905,37 23310,01 22325,25 22800 Tasas de variación anual real (%) - 4,88 1,77 -4,22 2,13 Las tasas de variación anual real no dependen del año al que estén referidos los euros
constantes.
9. La siguiente tabla recoge el IPC de los seis últimos meses del año 2011 y las ventas nominales de
un establecimiento en miles de euros:
julio agosto septiembre octubre noviembre diciembre IPC enero 2005 113,9 114,2 114,6 114,6 IPC 100 99,91 99,82 Ventas 120 126 114 132 140 136
a) Obtenga una sola serie de números índices con base en el mes de agosto.
b) Calcule el total de ventas del período julio-diciembre en euros constantes del mes de
diciembre.
Solución:
a) Enlazamos las dos series de IPC multiplicando la segunda por 1,146 y cambiamos a la base
agosto 2011 dividiendo la serie enlazada por 1,142.
Ejercicios resueltos de exámenes. TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1 53
julio agosto septiembre octubre noviembre diciembre IPC enero 2005 113,9 114,2 114,6 114,6 114,4969 114,3937 IPC agosto 2011 99,74 100 100,35 100,35 100,26 100,17
b) Para expresar las ventas en euro constantes de diciembre 2011 hallamos el IPC con base en
diciembre de 2011 (dividiendo cualquiera de las dos series del apartado a por 1,143937 o
por 1,0017 respectivamente) y dividimos por dichos valores (expresados en tantos por uno)
las ventas nominales.
julio agosto septiembre octubre noviembre diciembre IPC diciembre 2011 99,57 99,83 100,18 100,18 100,09 100,00 Ventas en euros de diciembre 2011 120,52 126,21 113,80 131,76 139,87 136 El total de ventas del período julio-diciembre en euros constantes del mes de diciembre es la
suma de esta última fila (768,16 miles de euros, 768160 €).
10. La siguiente tabla recoge el IPC y las ventas anuales de una panadería en miles de euros corrientes
Salarios en euros constantes de 2011 2171,43 1950,62 1828,57 1715,79 1640,00 1795,12 b) Las tasas anuales de variación se obtienen comparando por cociente un año con el anterior y
restándole 1 (multiplicando por 100 se expresa en porcentaje):
11
( ) 1t
t
xT t
x −
= −
Años 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Salario nominal 1520 1580 1600 1630 1640 1840 Tasas de variación anual nominal (%) - 3,95 1,27 1,88 0,61 12,20 Salario real en euros de 2011 2171,43 1950,62 1828,57 1715,79 1640,00 1795,12 Tasas de variación anual real (%) - -10,17 -6,26 -6,17 -4,42 9,46
Las tasas de variación anual real no dependen del año al que estén referidos los euros
constantes.
c) La tasa de variación media anual real es la misma sea cual sea el año al que estén referidos
los euros constantes. Consideraremos los valores en euros constantes del año 2011 obtenidos
en el apartado a
2012 555
2007
1795,121 1 0,8267 1 0,0373 3,73%
2171,43
SR
SR− = − = − = − ⇒ −
Ejercicios resueltos de exámenes. TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1 55
El valor real de los salarios (en euros de 2011) ha pasado de 2171,43€ a 1795,12€ en el
período 2007-2012, lo que equivale a una disminución anual media del 3,73% de su valor.
12. La siguiente tabla recoge el IPC en los meses de enero y diciembre de 2011 para cada uno de los
grupos que constituyen la cesta de la compra.
Grupo Alimentación Vestido Vivienda Menaje Salud Transporte Cultura Otros Enero 175,4 179,7 163 160,4 167,9 161,1 161,1 192,7
Diciembre 181,1 188,4 170,6 167,3 178,2 166,5 171 205,3 El índice global de precios se calcula como una media ponderada de los índices de precios de cada
grupo, donde las ponderaciones en tantos por ciento son:
Grupo Alimentación Vestido Vivienda Menaje Salud Transporte Cultura Otros Ponderación (%) 33 8,7 18,6 7,4 2,4 14,4 7 8,5 Obtenga la tasa de variación del IPC global en el período enero 2011-diciembre 2011.
Calcule los índices de variación estacional según el método de las medias simples.
Solución:
Al mencionar el término índice de variación estacional nos están indicando que debemos utilizar el
modelo multiplicativo.
En primer lugar ajustamos la recta de tendencia sobre las medias anuales
26 52 22 24 51 2433,3333 33
3 3
+ + + += =⋯
58 Ejercicios resueltos de exámenes. TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1
it 2001i ix t= − iy media anual= 2ix i ix y
2002 2003 2004 2005 2006
1 2 3 4 5
33,3333 34
33,6667 33,3333
33
1 4 9 16 25
33,3333 68
101,0001 133,3332
165 totales 15 167,3333 55 500,6666
15 167,33335 3 33,4667
5 5n x y= = = = =
22 2 2
1
1 553 2
5
n
x ii
S x xn =
= − = − = ∑�
1
1 500,6666(3 33,4667) 0,26678
5
n
xy i ii
S x y x yn =
= − = − × = −∑�
( ) ( )2
0,2667833,4667 3 33,86687 0,13339
2xy
x
Sy y x x y x y x
S
−− = − ⇔ − = − ⇔ = −
Deshacemos el cambio de origen 2001i ix t= − y expresamos y como la tendencia secular ( )tτ
( )33,86687 0,13339 ( ) 33,86687 0,13339 2001 ( ) 300,78 0,13339y x t t t tτ τ= − ⇔ = − − ⇔ = −Seguidamente eliminamos la tendencia de los valores medios por estación, restando tantas veces
0,133390,04446
3
b
s= = como estaciones del año han transcurrido desde el comienzo del mismo,
obteniendo las medias corregidas:
52,2 52,15554 23 2 22,91108b b
s s − = − × =
Calculamos la media de las medias corregidas (media global corregida):
25,2 52,15554 22,9110833,4222
3
+ +=
Y comparando las medias corregidas con su promedio, por cociente, obtenemos los índices de
6. Con los datos mensuales de una serie cronológica en el período 2007-2012 se ha estimado la
tendencia: ( ) 29,92 25,958( 2007)t tτ = + −
y los índices de variación estacional:
64 Ejercicios resueltos de exámenes. TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1
MES I.V.E. MES I.V.E. Enero 97,38 Julio 103,44
Febrero 97,49 Agosto 101,74 Marzo 96,89 Septiembre 100,03 Abril 98,9 Octubre 103,67 Mayo 98,75 Noviembre 102,35 Junio 97,91 Diciembre 101,64
a) Haga una predicción para el mes de julio de 2013.
b) Suponga que los datos de marzo y octubre han sido 126,18 y 145,64 respectivamente.
Compárelos eliminando previamente la componente estacional.
Solución:
a) (2013) 29,92 25,958(2013 2007) 185,668τ = + − = es la predicción de la tendencia para el
punto central del año 2013 (fin de junio, principio de julio). La tendencia varía 25,958 cada
año, por tanto 25,958
1,0815824
= cada medio mes. Según lo anterior, se estima un valor de la
tendencia para el punto central de julio de 2013 de 185,668+1,08158=186,75. Aplicando
sobre la anterior estimación de la tendencia el I.V.E. de julio obtenemos la predicción para
el mes de julio de 2013:
186,75 1,0344 193,1742× =
b) El valor desestacionalizado de marzo es:
126,18130,23
0,9689=
El valor desestacionalizado de octubre es:
145,64140,48
1,0367=
Aunque el mes de octubre no tuviera una componente estacional más favorable que la de
marzo el valor de la serie en octubre hubiera sido mayor que en marzo (140,48>130,23).
7. En una provincia se ha analizado la serie cuatrimestral de las inversiones realizadas. Resultó
estimada la tendencia por ( ) 3,8667 1,2( 2006)t tτ = + − y los índices de variación estacional por
Cuatrimestre Primero Segundo Tercero I.V.E. 106,79 118,4 74,81
Haga una predicción de las inversiones en la provincia para cada uno de los cuatrimestres de 2013.
Solución:
Comenzamos estimando la tendencia en el punto central del año 2013, que coincide con el punto
central de su segundo cuatrimestre
(2013) 3,8667 1,2(2013 2006) 12,2667τ = + − =
Ejercicios resueltos de exámenes. TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1 65
La tendencia varía 1,2 cada año, 1,2
0,43
= cada cuatrimestre. Por tanto la tendencia en el tercer
cuatrimestre de 2013 será 12,2667+0,4=12,4667 y en el primer cuatrimestre 12,2667-0,4=11,8667.
Cuatrimestres de 2013 Primero Segundo Tercero Valores de la tendencia 11,8667 12,2667 12,4667
Multiplicando los valores de la tendencia por los I.V.E. (en tantos por 1) se obtienen las
estimaciones de las inversiones en cada cuatrimestre de 2013: 11,8667 1,0679 12,67245× = …
Cuatrimestres de 2013 Primero Segundo Tercero Estimaciones de las inversiones 12,67245 14,52377 9,32634
8. La siguiente tabla muestra las ventas trimestrales de automóviles en un concesionario.
Año/Trimestre I II III IV 2009 12 15 10 9 2010 14 18 13 10 2011 17 23 18 13 2012 21 27 21 15
Obtenga una predicción para las ventas del cuarto trimestre del año 2013 y desestacionalice la serie.
Utilice el método de las medias simples, modelo aditivo.
Solución:
Comenzamos ajustando la recta de tendencia sobre las medias anuales
12 15 10 9 21 27 21 1511,5 21
4 4
+ + + + + += =⋯
it 2008i ix t= − iy media anual= 2ix i ix y
2009 2010 2011 2012
1 2 3 4
11,5 13,75 17,75
21
1 4 9 16
11,5 27,5 53,25
84 totales 10 64 30 176,25
10 644 2,5 16
4 4n x y= = = = =
22 2 2
1
1 302,5 1,25
4
n
x ii
S x xn =
= − = − = ∑�
1
1 176,25(2,5 16) 4,0625
4
n
xy i ii
S x y x yn =
= − = − × =∑�
( ) ( )2
4,062516 2,5 7,875 3,25
1,25xy
x
Sy y x x y x y x
S− = − ⇔ − = − ⇔ = +
Deshacemos el cambio de origen 2008i ix t= − y expresamos y como la tendencia secular ( )tτ
( )7,875 3,25 ( ) 7,875 3,25 2008 ( ) 6518,125 3,25y x t t t tτ τ= + ⇔ = + − ⇔ = − +Seguidamente eliminamos la tendencia de los valores medios por estación, restando tantas veces
66 Ejercicios resueltos de exámenes. TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1
3,250,8125
4
b
s= = como estaciones del año han transcurrido desde el comienzo del mismo,