Ejemplo de aplicacin del mtodo hngaro
Usted trabaja como gerente de ventas de un juguete fabricante, y
actualmente tiene tres vendedores de los compradores de reuniones
de carretera. Sus vendedores son en Austin, TX; Boston, MA, y
Chicago, IL. Usted quiere que volar a tres otras ciudades: Denver,
CO; Edmonton, Alberta, y Fargo, Key. La siguiente tabla muestra el
costo de los boletos de avin en dlares entre estas ciudades
From \ To Denver Edmonton Fargo Austin 250 400 350 Boston 400
600 350 Chicago 200 400 250
Dnde debe enviar a cada uno de sus vendedores con el fin de
minimizar el pasaje areo?
Podemos representar la tabla anterior como una matriz de
costos
Echemos un vistazo a una posible asignacin.
El costo total de esta asignacin es $250 + $600 + $250 =
$1100.
Aqu hay otra posible asignacin.
En este caso el costo total es de : $250 + $350 + $400 =
$1000.
Despus de comprobar los seis posibles asignaciones se puede
determinar que el ptimo es el siguiente:
$400 + $350 + $200 = $950.
As, los vendedores deben viajar desde Austin a Edmonton, Boston
a Fargo, y Chicago a Denver.
Ensayo y error funciona bastante bien para este problema, pero
supongamos que usted tiene diez vendedores que vuelan a diez
ciudades? cmo muchas pruebas que esta toma? Hay n! formas de
asignacin de recursos a las tareas n n. Eso significa que a medida
que n se hace grande, tenemos demasiados juicios tener en
cuenta.
Teorema: Si un nmero se suma o se resta de todas las de las
entradas de cualquier fila o una columna de una matriz de costos, a
continuacin, en la asignacin ptima para la matriz de coste
resultante Es tambin una asignacin ptima para la matriz de costo
original.
El mtodo hngaro: El siguiente algoritmo se aplica lo anterior
teorema para un n dado n matriz de costos para encontrar una
asignacin ptima. Paso 1. Reste el ms pequeo de la entrada en cada
fila de todas las entradas de su fila. Paso 2. Restar el ms pequeo
de entrada en cada columna de todas las entradas de su columna.
Paso 3. Dibujar lneas a travs de filas y columnas apropiadas de
modo que todo el
cero entradas de la matriz de costos estn cubiertos y el nmero
mnimo de tales lneas se utiliza. Paso 4. Prueba de optimalidad: (i)
Si el nmero mnimo de lneas que cubren n es, una asignacin ptima de
ceros es posible y estamos acabados. (ii) Si el nmero mnimo de
lneas que cubren es menor que n, un ptimo asignacin de ceros no es
posible an. En ese caso, vaya al paso 5. Paso 5. Determinar la
menor entrada no cubiertos por ninguna lnea. sustraer esta entrada
de cada fila cubierto y, a continuacin se aade a cada cubierto
columna. Vuelva al Paso 3. Volvamos al ejemplo Ejemplo 1: Usted
trabaja como gerente de ventas de un juguete fabricante, y
actualmente tiene tres vendedores de los compradores de reuniones
de carretera. Sus vendedores son en Austin, TX; Boston, MA, y
Chicago, IL. Usted quiere que volar a tres otras ciudades: Denver,
CO; Edmonton, Alberta, y Fargo, Key. La siguiente tabla muestra el
costo de los boletos de avin en dlares entre estas ciudades.
Dnde debe enviar a cada uno de sus vendedores con el fin de
minimizar el pasaje areo?
Paso 1. Resta 250 de la fila 1, 350 de la fila 2, y 200 de la
fila 3.
Paso 2. Reste 0 de la columna 1, 150 de la Columna 2, y 0 de la
columna 3
Paso 3. Cubra todos los ceros de la matriz con el menor nmero de
lneas horizontales o verticales.
Paso 4. Puesto que el nmero mnimo de lneas es 3, un asignacin
ptima de ceros es posible y estamos terminado. Dado que el coste
total de esta asignacin es 0, debe ser una asignacin ptima.
ubicamos esas posiciones en la matriz original y tenemos que
.
Y podemos ver que el costo es de $400 + $350 + $200 = $950.
Conclusin
El problema de asignacin: Supongamos que tenemos n recursos a
los que queremos asignar a las tareas n en un uno-a-uno. Supongamos
tambin que sabemos que el costo de la asignacin de un determinado
recurso a una tarea dada. Deseamos encontrar un equilibrio ptimo de
asignacin-uno que minimiza el total de costo.
El modelo matemtico: Vamos a Ci, j es el costo de asignar el
recurso i-simo a la tarea j. Definimos el matriz de costo de ser la
matriz n n
Una cesin es un conjunto de posiciones de entrada n en el costo
matriz, no hay dos de los cuales se encuentran en la misma fila o
columna. La suma de las n entradas de una asignacin es su coste. un
asignacin con el costo ms pequeo posible se llama un asignacin
ptima.
El mtodo hngaro: El mtodo hngaro (ver supra) es un algoritmo que
encuentra una asignacin ptima para una matriz de costo
determinado.
Meyodo hngaro
Mtodo HngaroPasos para el mtodo hngaro Paso 1: Encontrar primero
el elemento ms pequeo en cada fila de la matriz de costos m*m; se
debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo
mnimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo
mnimo en cada columna. A continuacin se debe construir una nueva
matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada
costo el costo mnimo de su columna. Paso 2: Consiste en trazar el
nmero mnimo de lneas (horizontales o verticales o ambas nicamente
de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en la
matriz de costos reducidos; si se necesitan m lneas para cubrir
todos los ceros, se tiene una solucin ptima entre los ceros
cubiertos de la matriz. Si se requieren menos de m lneas para
cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. El nmero
de lneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de
asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar (En algunos
textos este paso se atribuye a Flood). Paso 3: Encontrar el menor
elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costos
reducidos, que no est cubierto por las lneas dibujadas en el paso
2; a continuacin se debe restar k de cada elemento no cubierto de
la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la
matriz de costos reducidos cubierto por dos lneas (intersecciones).
Por ltimo se debe regresar al paso 2. (scrib2) Paso 4: En caso de
no encontrar una solucin factible con los pasos anteriores aplicar
entonces este: 1) Trace el nmero mnimo de lineas hotizontales y
verticales en la ltima matriz reducida que cubrir TODAS las
entradas cero. 2) Selecciones el elemento no cubierto ms pequeo y
rstelo de todos los elementos no cubiertos; despus, smelos a todos
los elementos en la interseccin de dos lneas. 3) Si no es posible
encontrar una asignacin factible entre las entradas cero
resultantes, repita es paso. De lo contrario regres al paso 3 para
determinar la asignacin ptima.
Caso especial al aplicar el Mtodo Hngaro cuando se trata de
MaximizarCuando hay que pasar de maximizar a minimizar en lugar de
operar con el mayor de toda la matriz podemos ir tomando el mayor
de cada fila o columna e ir restndole todos los
elementos de esa fila o columna con lo cual conseguiremos de
camino obtener por lo menos un cero como mnimo en cada fila o
columna. Si en alguna columna no hubiera ceros le quitamos el mayor
a la columna
http://sites.google.com/site/ricrod23/extras/metodo-hungaro
mtodo de transporte 1era y 2da fase
UNIDAD 4 TRANSPORTE Y ASIGNACION 4.1DEFINICION PROBLEMA DE
TRANSPORTE. La estructura especial del modelo de transporte permite
asegurar que haya una solucin bsica artificial de inicio, obtenida
con uno de los tres mtodos siguientes: * . Mtodo de la esquina
noroeste (superior, izquierda) * . Mtodo del costo mnimo * . Mtodo
de aproximacin de Vogel MTODO DE LA ESQUINA NOROESTE 1. Asignar
todo lo ms que se pueda a la celda seleccionada y ajustar las
cantidades asociadas de oferta y demanda restando la cantidad
asignada. 2. Salir del rengln o la columna cuando se alcance oferta
o demanda cero, y tacharlo, para indicar que no se pueden hacer ms
asignaciones a ese rengln o columna. Si un rengln y una columna dan
cero al mismo tiempo tachar solo uno (el rengln o la columna) y
dejar una oferta (demanda) cero en el rengln (columna) que no se
tach. 3. Si queda exactamente un rengln o columna sin tachar,
detenerse. En caso contrario avanzar a la celda de la derecha si se
acaba de tachar una columna, o a la de abajo si se tach un rengln.
Seguir el paso 1. MTODO DEL COSTO MNIMO Este mtodo determina una
mejor solucin de inicio, porque se concentra en las rutas menos
costosas. Ejemplo: La compaa SunRay Transport transporta grano
desde tres silos hasta tres molinos. La oferta (en caminadas) se
resume en el modelo de transporte de la tabla siguiente junto con
los costos unitarios de transporte por camionada en las distintas
rutas. Los costos unitarios de transporte, Cij (10, 2, 20,11.) estn
en cientos de $. Paso 1. La celda (1,2) tiene el costo unitario
mnimo de toda la tabla (=$2). Lo ms que se puede transportar por
(1,2) es x12 =15 camionadas, y en este caso se satisfacen al mismo
tiempoel
rengln 1 y la columna 2. Se tacha en forma arbitraria la columna
2 y se ajusta la oferta del rengln 1 a 0. Paso 2. La celda (3,1)
tiene el mnimo costo sin tachar (=$4). Se asigna x31=5, se tacha la
columna 1 porque qued satisfecha y se ajusta la demanda del rengln
3 a 10-5=5 camionadas. Paso 3. Al continuar de este modo, se
asignan en forma sucesiva 15 camionadas a la celda (2,3), 0
camionadas a la celda (1,5), 5 a la celda (3,4) y 10 a la (2,4).
MTODO DE VOGEL Paso 1. Determinar para cada rengln (columna) una
medida de penalizacin restando el elemento de costo unitario mnimo
en el rengln (columna) del elemento con costo unitario siguiente al
mnimo del mismo rengln (columna). Paso 2. Identificar el rengln o
columna con la mayor penalizacin. Romper los empates en forma
arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que tenga el
mnimo costo unitario del rengln o columna seleccionado. Ajustar la
oferta y la demanda y tachar el rengln o la columna ya satisfechos.
Si se satisfacen un rengln y una columna en forma simultnea, slo se
tacha uno de los dos y al que queda se le asigna la oferta o
demanda cero. a) Si queda sin tachar exactamente un rengln o
columna con cero oferta o demanda. Detenerse. b) Si queda sin
tachar un rengln (columna) con oferta (demanda) positiva,
determinar las variables bsicas en el rengln (columna) con el mtodo
e costo mnimo. Detenerse. c) Si todos los renglones y columnas que
no se tacharon tienen un cero oferta y demanda (Restante),
determinar las variables bsicas cero por el mtodo del costo mnimo.
Detenerse. d) En cualquier otro paso, seguir el paso 1. MODELO DE
ASIGNACIN Paso 1. En la matriz de costo, identificar el mnimo de
cada rengln y restarlo de todos los elementos del rengln Paso 2. En
la matriz que resulte del paso 1, identificar el mnimo de cada
columna, y restarlo de todos los elementos de la columna. Paso 3.
Identificar la solucin ptima como la asignacin factible asociada
con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2. CASO
ESPECIAL, CUANDO NO HAY ASIGNACIN FACTIBLE Paso 2.
a) Trazar la cantidad mnima de lneas horizontales y verticales
en la ltima matriz reducida que cubran todos los elementos cero. b)
Seleccionar el elemento mnimo no cubierto, resaltarlo de todo
elemento no cubierto y a continuacin sumarlo a todo elemento en la
interseccin de dos lneas c) Si no puede encontrar una asignacin
factible entre los elementos cero que resulten, repetir el paso 2.
En caso contrario, seguir el paso 3 para determinar la asignacin
ptima. 4.2 METODO APROXIMACION VOGEL Mtodo de aproximacin de Vogel.
Mtodo de Aproximacin de Vogel: para cada rengln y columna que queda
bajo consideracin, se calcula su diferencia, que se define como la
diferencia aritmtica entre el costo unitario ms pequeo (cij) y el
que le sigue, de los que quedan en ese rengln o columna. (Si se
tiene un empate para el costo ms pequeo de los restantes de un
rengln o columna, entonces la diferencia es 0). En el rengln o
columna que tiene la mayor diferencia se elige la variable que
tiene el menor costo unitario que queda. (Los empates para la mayor
de estas diferencias se pueden romper de manera arbitraria). Para
hacer ms concreta esta descripcin, se ilustrar el procedimiento
general, utilizando el mtodo de aproximacin de Vogel para resolver
el ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla
de la esquina noroeste: Iniciamos el mtodo calculando las primeras
diferencias para cada rengln y columna. De las diferencias que
obtuvimos nos fijamos en la mayor (Por qu?), que resulta ser para
la tercera columna. En esa columna encontramos el costo unitario
(cij) menor y en esa celda realizamos la primera asignacin:
| 3 6 4 7 | 2
|
|
|
| Recursos
| DIF. |
|
|
|
|5
|1
|
4 3 2 3 | 5 4 8 | Demanda DIF. |1 | |3 |1 | |4 | | |2 0 3 1 |3
|1 |2 |1 | | | 10 10 | | | | | | 2 | |2 0 |0 |
Nota: Marcaremos a la mayor de las diferencias seleccionada
encerrndola en un crculo y escribindole como superndice el nmero
que le corresponda en la secuencia de seleccin.
Observemos en la figura anterior que nicamente eliminamos el
segundo rengln ya que la tercera columna nos servir despus para
hacer la asignacin de una variable bsica degenerada. Continuando
con la aplicacin del mtodo, tenemos que calcular nuevamente las
diferencias de las columnas ya que hemos eliminado un rengln y sto
puede ocasionar que las diferencias aritmticas entre el costo
unitario ms pequeo y el que le sigue ya no sean las mismas:
| 3 6 4 7 |
|
|
|
| Recursos
| DIF. |
|
|
|
|5
|1
|
2 4 3 2 3 | 5 4 8 | Demanda DIF. |1 |1 | |3 |1 | 3 |4 1 | 4 2 |
|2 0 3 1 | | |1 |2 2|1 |3 0 | | | |1 10 10 | | | | | | | | | 2 | |2
0 |0 |
Como siguiente paso deberamos calcular las nuevas diferencias de
columnas, pero ya que solamente queda un rengln dentro de las
posibilidades (sto no significa que solamente un rengln quede bajo
consideracin ya que podemos observar que ninguna de las cuatro
columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todava bajo
consideracin), no es posible encontrar la diferencia aritmtica
entre el costo menor y el que le sigue, por lo tanto vamos tomando
una a una las celdas que quedan comenzando con la de menor costo
unitario hasta que todas hayan sido asignadas.
| 3 6 4 7 |
|
|
|
| Recursos
| DIF. |
3
|
1
|
0
|
1
|5 2 1 0
|1
|
2 4 3 2 3 | 5 4 8 | Demanda DIF. |1 |1 | |3 0 |1 | 3 | | |1 0 |2
2|1 |3 0 | | | |1 10 10 | | | | | | | | | 2 | |2 0 |0 |
| 4 1 0| 2 0 | 4 2 3 1 |
La solucin inicial bsica factible es x11=3, x12=1, x13=0
(variable bsica degenerada), x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total
de transporte asociado a esta primera Poltica de Transporte
factible es de:
| x11 | x23 Costo = (4) |+
| c11 | c23 |3 |2
| | | (3) | (3)
| x12 | x32 |+ |+
| c12 | c32 |1 |3
| | | (7) | (3)
| x13 |
| c13
|
| x14
| c14
|
|+ |0 | (6) | = 35 unidades |
|+
|1
|
Es necesario aclarar que sta puede o no ser la solucin final del
problema, es necesario aplicar a esta primera solucin factible la
prueba de optimalidad ya que puede existir una mejor poltica de
transporte que minimice todava ms el costo total.
Investigado en
http://www.investigacion-operaciones.com/modelo_de_transporte.htm
MODELO DE TRANSPORTE
DEFINICIN Y APLICACIN DEL MODELO DE TRANSPORTE
El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte
de una mercanca de varias fuentes a varios destinos. Los datos del
modelo son:
1.
Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada
destino.
2. El costo de transporte unitario de la mercanca a cada
destino.
Como solo hay una mercanca un destino puede recibir su demanda
de una o ms fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la
cantidad que se enviar de cada fuente a cada destino, tal que se
minimice el costo del transporte total.
La suposicin bsica del modelo es que el costo del transporte en
una ruta es directamente proporcional al numero de unidades
transportadas. La definicin de unidad de transporte variar
dependiendo de la mercanca que se transporte.
El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una
red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta
representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino
representa la ruta por la cual se transporta la mercanca. La
cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el
destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i
y el destino j es Cij. Si Xi j representa la cantidad transportada
desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL
que representa el modelo de transporte es:
Minimiza Z=
i=1
m
j=1
n
C
ij
X
ij
Sujeta a:
j=1
n
X X
ij
= bj ,
i=1,2,, m j=1,2,, n
i=1
m
Ij
X i j >=0
para todas las i y j
El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los
envos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma
anloga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envios a un
destino satisfaga su demanda.
El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total
i=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total j=1 n bj.
Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulacin
resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado.
Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las
restricciones son ecuaciones, es decir: Xij
= ai,
i=1,2,..., m j=1,2,..., n
X i j = bj,
En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a
la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte
siempre puede equilibrarse. El equilibrio, adems de su utilidad en
la representacin a travs de modelos de ciertas situaciones
prcticas, es importante para el desarrollo del mtodo de solucin que
explote completamente la estructura especial del modelo de
transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del
equilibrio y tambin sus implicaciones prcticas.
Ejemplo 1 (Modelo de transporte estndar)
MG Auto Company tiene plantas en Los ngeles, Detroit y Nueva
Orlens. Sus centros de distribucin principales son Denver y Miami.
Las capacidades de las plantas durante el trimestre prximo son 1
000, 1 500, y 1 200 automviles. Las demandas trimestrales en los
dos centros de distribucin son
de 2 300 y 1 400 vehculos. El costo del transporte de un
automvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las
distancias recorridas entre las plantas y los centro de distribucin
son:
Los ngeles
DetroitNueva Orleans
Denver 1 000 1 250 1 275
Miami 1 690 1 350 850
Esto produce en costo por automvil a razn de 8 centavos por
milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a
enteros), que representan a C i j del modelo original:
Los ngeles
DetroitNueva Orleans
Denver 80 100 102
Miami 215 108 68
Mediante el uso de cdigos numricos que representan las plantas y
centros de distribucin, hacemos que X i j represente el nmero de
automviles transportados de la fuente i al destino j. Como la
oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la
demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte
resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de
PL que representa el problema tiene todas las restricciones de
igualdad.
Minimizar Z = 80X 11 + 215X
12
+ 100X 21 + 108X
22
+ 102X 31 + 68X
32
Sujeto a:
X 11
X
12
X 21 X 11 X X12
X
22
X 21 X22
X 31 X 31
X X
32
32
= = = = =
1 1 1 2 1
000 500 200 300 400
ij
para todas las i y j
Un mtodo mas resumido para representar el modelo de transporte
consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es
una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y
sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se resumen
en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo
tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:
Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)
En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de
Detroit es de 1 300 automviles (en vez de 1 500). Se dice que la
situacin esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500)
no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste
en volver a formular el modelo de transporte de manera que
distribuya la cantidad faltante(=3 700 3 500 = 200) en forma optima
entre los centros de distribucin.
Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una
planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha
planta, en condiciones normales, enve su produccin a todos los
centros de distribucin. Fsicamente, la cantidad de unidades
enviadas a un destino desde una planta ficticia representar la
cantidad faltante en ese destino.
La nica informacin que falta para completar el modelo son los
costos de transporte unitarios de la planta ficticia a los
destinos. Como la planta no existe, no habr ningn envo fsico y el
costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar
la situacin desde otro ngulo diciendo que se incurre en un costo de
penalizacin por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros
de distribucin. En este caso los costos de transporte unitarios
sern iguales a los costos de penalizacin unitarios en los diversos
destinos.
Los ngeles Detroit Nueva Orlens Planta ficticia
Denver 80 100 102 0
Miami 215 108 68 0
1 000 1 300 1 200 200
De manera anloga, si la oferta en mayor que la demanda podemos
aadir un destino ficticio que absolver la diferencia. Por ejemplo,
suponga que la
demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automvil enviado de
una planta a un centro de distribucin ficticio representa un
excedente en la planta.
Denver
Miami
Destino Ficticio 0 0 0
Los ngeles Detroit Nueva Orleans
80 100 102
215 108 68
1 000 1 500 1 200
La aplicacin del modelo de transporte no se limita al problema
de transporte.
El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en
otros campos.
Ejemplo 3 (Modelo de inventario de produccin)
Una compaa construye una planta maestra para la produccin de un
articulo en un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro
meses son: 100, 200, 180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en
curso puede satisfacerse a travs de:
1. Produccin excesiva en un mes anterior almacenada para su
consumo posterior. 2. Produccin en el mes actual. 3. Produccin
excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses
anteriores.
El costo de produccin variable por unidad en un mes cualquiera
es de $4.00. una unidad producida para consumo posterior incurrir
en un costo de almacenamiento razn de $0.50 por unidad por mes. Por
otra parte, los artculos ordenados en meses anteriores incurren en
un costo de penalizacin de $2.00 por unidad por mes. La capacidad
de produccin para elaborar el producto vara cada mes. Los clculos
de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades,
respectivamente.
El objetivo es el de formular el plan de inventario de produccin
a costo mnimo. Este problema se puede formular como un modelo de
transporte. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de
produccin y transporte se establece de la manera siguiente:
Sistema de Transporte
Sistema de Produccin
1. Fuente i 1. Periodo de produccin i 2. Destino j 2. Periodo de
demanda j 3. Oferta en la fuente i 3. Capacidad de produccin del
periodo i 4. Demanda en el destino j 4. Demanda del periodo j 5.
Costo de transporte de la fuente i 5. Costo de producto e
inventario del al destino j periodo i al j
En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un
modelo de transporte:
Demanda
1 2 3 4
Periodo 1 4 6 8 10
2 4.5 4 6 8
3 5 4.5 4 6
4 5.5 5 4.5 4
Capacidad 50 180 280 270
Demanda: 100
200
180
300
El costo de transporte unitario del periodo i al j es:
Costo de produccin en i,
i=j
Cij =
Costo de produccin en i / costo de almacenamiento en i a j
ij
La definicin de C i j indica que la produccin en el periodo i
para el mismo periodo (i = j) slo iguala el costo unitario de
produccin. Si el periodo i se produce para periodos futuros j (i
< j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la
misma manera, la produccin en i para cubrir j pedidos hechos con
anterioridad (i > j) incurre en un costo de penalizacin
adicional.
EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN
LINEALEs un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la
solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible
seguir mejorando ms dicha solucin.El mtodo del simplex fue creado
en 1947 por el matemtico George Dantzig .
Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice El mtodo
del simplex se cualquiera, el mtodo consiste en buscar
sucesivamente utiliza, sobre todo, para resolver problemas de otro
vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace programacin
lineal en los siempre a travs de los lados del polgono (o de las
aristas del poliedro, si el nmero de variables es mayor). Cmo el
que intervienen tres o ms variables. nmero de vrtices (y de
aristas) es finito, siempre se podr encontrar la solucin. El lgebra
matricial y el El mtodo del simplex se basa en la siguiente
propiedad: si la funcin objetivo, f, no toma su valor mximo en el
vrtice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la
cual f aumenta.proceso de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver
un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del mtodo
simplex.
Con miras a conocer la metodologa que se aplica en el Mtodo
SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema:Maximizar Z=
f(x,y)= 3x + 2y sujeto a: 2x + y 2x + 3y 3x + y x 0,y 18 42 24
0
Se consideran las siguientes fases: 1. Convertir las
desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura
por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades,
resultando el sistema de ecuaciones lineales:2x + y + h = 18 2x +
3y + s = 42
3x +y + d = 24
2. Igualar la funcin objetivo a cero - 3x - 2y + Z = 0 3.
Escribir la tabla inicial simplex En las columnas aparecern todas
las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las
igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima fila
con los coeficientes de la funcin objetivo:Tabla I . Iteracin n 1
Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin x h s
d Z 2 2 3 -3 y 1 3 1 -2 h 1 0 0 0 s 0 1 0 0 d 0 0 1 0 18 42 24
0
4. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la
variable de holgura que sale de la baseA. Para escoger la variable
de decisin que entra en la base, nos fijamos en la ltima fila, la
de los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos la variable
con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto). En nuestro
caso, la variable x de coeficiente - 3.
Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la
condicin anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en
la ltima fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa
que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a
determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex,
es que en la ltima fila no haya elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna
pivote (En color azulado).
B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de
la base, se divide cada trmino de la ltima columna (valores
solucin) por el trmino correspondiente de la columna pivote,
siempre que estos ltimos sean mayores que cero. En nuestro caso:
18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]
Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho
cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o
iguales a cero, entonces tendramos una solucin no acotada y no se
puede seguir. El trmino de la columna pivote que en la divisin
anterior d lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el
menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la
base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado). Si al
calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera
de las variables correspondientes pueden salir de la base.
C. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos
el elemento pivote operacional, 3.
5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos
coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de
la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que
convertir en 1. A continuacin mediante la reduccin gaussiana
hacemos ceros los restantes trminos de su columna, con lo que
obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los
de la funcin objetivo Z. Tambin se puede hacer utilizando el
siguiente esquema: Fila del pivote: Nueva fila del pivote= (Vieja
fila del pivote) : (Pivote) Resto de las filas: Nueva fila= (Vieja
fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable
entrante) X (Nueva fila del pivote) Vemoslo con un ejemplo una vez
calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla
II):Vieja fila de s 2 3 - Coeficiente 2 2 x x 0 1 0 - - 2 2 2 x
x x 42 2 x 8 =
Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 = = Nueva fila de s = = =
0 7/3 0 1 -2/3 26
Tabla II . Iteracin n 2 Base Variable de decisin Variable de
holgura Valores solucin x h s x Z 0 0 1 0 y 1/3 7/3 1/3 -1 h 1 0 0
0 s 0 1 0 0 d -2/3 -2/3 1/3 1 2 26 8 24
Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1,
significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que
repetir el proceso:A. La variable que entra en la base es y, por
ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular
la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna
entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote:
2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8]
y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable
de holgura que sale es h. C. El elemento pivote, que ahora hay que
hacer 1, es 1/3.
Operando de forma anloga a la anterior obtenemos la tabla:Tabla
III . Iteracin n 3 Base Variable de decisin Variable de holgura
Valores solucin x y s x Z 0 0 1 0 y 1 0 0 0 h 3 -7 -1 3 s 0 0 0 0 d
-2 4 1 -1 6 12 6 30
Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1,
significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que
repetir el proceso:A. La variable que entra en la base es d, por
ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular
la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna
entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote:
6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente
positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s. C.
El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.
Obtenemos la tabla:Tabla IV . Final del proceso Base Variable de
decisin Variable de holgura Valores solucin x y d 0 0 y 1 0 h -1/2
-7/4 s 0 0 d 0 1 12 3
x Z
1 0
0 0
-3/4 5/4
0 0
0 0
3 33
Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son
positivos, hemos llegado a la solucin ptima. Los solucin ptima
viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solucin,
en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el
vrtice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a
las variables de decisin que han entrado en la base: D(3,12)* Si en
el problema de maximizar apareciesen como restricciones
inecuaciones de la forma: ax + by c; multiplicndolas por - 1 se
transforman en inecuaciones de la forma ax - by - c y estamos en el
caso anterior
* Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar
se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio,
es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor,
en la fila de la funcin objetivo, sea el mayor de los positivos y
se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la
fila de la funcin objetivo son negativos
Interpretacin geomtrica del mtodo del simplex
Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el
valor de la funcin objetivo en los distintos vrtices, ajustndose, a
la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura.
En la primera iteracin (Tabla I) han permanecido todos los
coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la funcin
objetivo en el vrtice A(0,0), siendo este 0. A continuacin se
desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar
a B. Este paso aporta la Tabla II. En esta segunda iteracin se ha
calculado el valor que corresponde al vrtice B(8,0): Z=f(8,0) = 24
Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega
los datos de la Tabla III.
En esta tercera iteracin se ha calculado el valor que
corresponde al vrtice C(6,6) : Z=f(6,6)=30. Continua haciendo
clculos a travs de la arista CD, hasta llegar al vrtice D. Los
datos que se reflejan son los de la Tabla IV. Concluye con esta
tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la
solucin no mejora al desplazarse por la arista DE) El valor mximo
de la funcin objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vrtice
D). Si calculas el valor de la funcin objetivo en el vrtice
E(0,14), su valor no supera el valor
33.http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm
http://www.investigacion-operaciones.com/Metodo_Minimizacion.htm
Mtodo de la M o de Penalizacin.Hasta este momento se han
presentado los detalles del mtodo smplex con la suposicin de que el
problema se encuentra en nuestra forma estndar (maximizar Z sujeta
a las restricciones funcionales de la forma y restricciones de no
negatividad sobre todas las variables) con bi 0 para toda i = 1, 2,
..., m. En esta seccin se establecer cmo hacer los ajustes
requeridos a otras formas legtimas de modelos de Programacin
Lineal. Se ver que todos estos ajustes se pueden hacer en el paso
inicial, de manera que el resto del mtodo smplex se aplica justo
como se aprendi. El nico problema serio que introducen las otras
formas de restricciones funcionales (= ) es identificar una solucin
inicial bsica factible. Antes, esta solucin inicial se encontraba
en forma muy conveniente al hacer que las variables de holgura
fueran las variables bsicas iniciales, donde cada una era igual a
la constante no negativa del lado derecho de la ecuacin
correspondiente. Ahora debe hacerse algo ms. El enfoque estndar que
se utiliza es estos casos es la tcnica de variables artificiales.
sta construye un problema artificial ms conveniente introduciendo
una variable ficticia (llamada variable artificial) en cada
restriccin que lo requiera. Esta nueva variable se introduce slo
con el fin de que sea la variable bsica inicial para esa ecuacin.
Las restricciones usuales de no negatividad tambin se aplican sobre
estas variables y la funcin objetivo se modifica para que imponga
una penalizacin exorbitante en el caso de que adquieran valores
mayores que cero. Las iteraciones del mtodo smplex automticamente
fuerzan a las variables artificiales a desaparecer (a volverse
cero) una a una, hasta que todas quedan fuera de la solucin; despus
de esto se resuelve el problema real. Para ilustrar la tcnica de
las variables artificiales, primero se considerar el caso en que la
nica forma no estndar en el problema es la presencia de una o ms
restricciones en forma de igualdad. Restricciones en forma de
igualdad.
En realidad, cualquier restriccin en forma de igualdad: ai1x1
+ai2x2 + . . . + ainxn = bi es equivalente a dos restricciones de
desigualdad: ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn bi, ai1x1 + ai2x2 + . .
. + ainxn bi Sin embargo, en lugar de hacer esta sustitucin e
incrementar con ello el nmero de restricciones, es ms conveniente
usar la tcnica de la variable artificial. Suponga que se modifica
el problema de ejemplo presentado y resuelto en la seccin anterior.
El nico cambio que sufre el modelo de programacin lineal es que la
tercera restriccin, 3x1 + 2x2 18, se convierte en una restriccin de
igualdad: 3x1 + 2x2 = 18 Aplicando la tcnica de las variables
artificiales se introduce una variable artificial no negativa
(denotada por x5) en la ltima ecuacin, como si fuera una variable
de holgura: 3x1 + 2x2 + x5 =18 En resumen si tenemos una restriccin
funcional en forma de igualdad y deseamos pasarla a su forma de
igualdad, nicamente debemos sumar una variable
artificial.Restricciones funcionales de la forma
Para ilustrar la manera en que la tcnica de las variables
artificiales maneja las restricciones de la forma usaremos el
siguiente ejemplo: Minimizar sujeta a Z = 0.4x1 0.3x1 0.5x1 0.6x1
x1 0, + + + + 0.5x2 0.1x2 0.5x2 0.4x2 x2 0
=
2.7 6 6
Notemos que la tercera restriccin es del tipo , por lo que para
cambiarla a su forma de igualdad tendramos que restar una variable
de supervit (o de excedente), quedando de la siguiente manera:
0.6x1 + 0.4x2 x5 = 6 Se ha restado la variable de excedente x5 (se
utiliz x5 porque en la primera restriccin agregamos una variable de
holgura que sera x3 y en la segunda restriccin agregamos tambin una
variable artificial que sera x4; todo esto con el fin de convertir
las desigualdades a su forma de igualdades) para que consuma el
exceso de 0.6x1 + 0.4x2, o sea, lo que se pasa de 6. No obstante en
este caso debe agregarse otra variable. Esta variable extra,
llamada variable artificial se aumenta como sigue: 0.6x1 + 0.4x2 x5
+ x6 = 6 La razn de esto es que, si no se agrega la variable
artificial, no se estaran cumpliendo las restricciones de no
negatividad. Para comprenderlo, se dejar sin aumentar. El mtodo
smplex comienza por hacer todas las variables reales (originales)
iguales a cero. Entonces: 0.6x1 + 0.4x2 x5 = 6 Sea x1 = 0 y x2 = 0,
entonces: x5 = 6 negatividad) La variable artificial opera para
mantener todas las variables no negativas cuando 0.6x1 + 0.4x2 es
menor que 6. Si x1 = 0 y x2 = 0, entonces x5 = 0 y 0.6x1 + 0.4x2 x5
+ x6 = 6 x6 = 6 x5 = 6 (que no cumple la restriccin de no
En resumen, una restriccin de la forma se convierte a su forma
de igualdad restando una variable de excedente y sumando una
variable artificial.
Consideremos el siguiente problema: Maximizar sujeta a Z = 3x1
x1 + 5x2 2x2 2x2 x2 0 = 4 12 18
3x1 + x1 0,
Como explicamos anteriormente, para resolver este problema,
debemos construir un problema artificial que tiene la misma solucin
ptima que el problema real, haciendo dos modificaciones a este
problema real. 1. Se aplica la tcnica de las variables artificiales
introduciendo una variable artificial no negativa (denotada por x5)
en la ltima ecuacin, como si fuera una variable de holgura: 3x1 +
2x2 + x5 =18 2. Se asigna una penalizacin enorme al hecho de tener
x5 0, cambiando la funcin objetivo Z = 3x1 + 5x2 a: Z = 3x1 + 5x2
Mx5, donde M simblicamente representa un nmero positivo muy grande.
Este mtodo que fuerza a x5 hasta el nivel de x5 = 0 en la solucin
ptima se llama mtodo de la M. Nota: Para el caso de minimizacin,
penalizamos a la variable artificial, hacindola aparecer en la
funcin objetivo con un coeficiente de +M. Ahora se encuentra la
solucin ptima para el problema real aplicando el mtodo smplex al
problema artificial. Como x5 juega el papel de la variable de
holgura en la tercera restriccin del problema artificial, esta
restriccin es equivalente a 3x1 + 2x2 18.
En particular, el sistema de ecuaciones despus de aumentar el
problema artificial (en otras palabras, pasarlo a su forma de
igualdades) es: Maximizar Z, sujeta a Z 3x1 x1 3x1 5x2 + + 2x2 2x2
xj 0 x3 + Mx5 = = + x4 = + x5 = Para j = 1, 2, , 5 0 4 12 18
En este momento estamos preparados para pasar los coeficientes a
la tabla smplex:
Variable Bsica Z x3 x4 x5 Z 1 0 0 0 x1 3 1 0 3 x2 5 0 2 2 x3 0 1
0 0 x4 0 0 1 0 x5 M 0 0 1
Lado derecho 0 4 12 18 Cociente Es ptima?
Esta tabla todava no est en la forma apropiada porque el
coeficiente de x5 es diferente de cero en la ecuacin de Z (es M).
Por lo tanto, antes de que el mtodo smplex pueda aplicar la prueba
de optimalidad y encontrar la variable bsica entrante, debe pasarse
esta tabla a la forma apropiada para que cumpla la condicin smplex.
Esta condicin que debe cumplir toda tabla del mtodo smplex para que
pueda reportarnos la siguiente solucin bsica factible dice que:
Toda variable bsica debe tener un 1 en la interseccin de su rengln
y columna correspondiente y cero en los dems renglones incluido el
rengln de Z, en otras palabras, que toda variable que sea bsica
solamente debe aparecer en el rengln de la restriccin que
representa. Para hacer cero el coeficiente M, utilizamos el rengln
de x5 como rengln pivote multiplicndolo por M y sumando el
resultado al rengln de Z. Realizando el procedimiento anterior, la
tabla smplex queda de la siguiente manera:
Variable Bsica Z x3 x4 x5 Z 1 0 0 0 x1 -3M3 1 0 3 x2 -2M5 0 2 2
x3 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 x5 0 0 0 1
Lado derecho 18M 4 12 18 Cociente Es ptima?
Mx5 + Z(0, 0, 4, 12, 18) Z = 18M
Podemos observar que la tabla anterior ya se encuentra en la
forma apropiada y podemos leer la solucin bsica factible actual,
que es (0, 0, 4, 12, 18), la cual aplicando la prueba de
optimalidad vemos que no es ptima ya que todava tenemos
coeficientes negativos en el rengln de Z (los correspondientes a x1
y x2). Aplicando el mtodo smplex a la tabla anterior tenemos: el
coeficiente negativo con el mayor valor absoluto corresponde a x1
(3M3), recordemos que M es un nmero muy grande positivo, por lo
tanto, x1 se convierte en la variable bsica entrante, realizando
los cocientes correspondientes, vemos que x3 se convierte en la
variable bsica saliente. El procedimiento completo para resolver
este ejemplo se muestra en el siguiente conjunto de tablas:
Variable Z x1 x2 x3 x4 x5
La
der
Bsica Z
1
-
-
0
0
0
1
x3 x4 x5 Z
3M- 2M3 5 0 1 0 0 0 1 0 3 0 2 2
1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1
1
x1 x4 x5 Z x1 x4 x2 Z x1 x3 x2 MINIMIZACIN con el mtodo
smplex.
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
- 3M+3 2M5 0 1 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 9/2 1 3
6M
0 1 0 0 0 1
0 0 1M+5/2
1
2
0 1
0 1/2 3/2 M+1 0 3/2 0 1/3 1/3 1 0 1/3 1/2 1/3 0
3
Una manera directa de minimizar Z con el mtodo smplex es cambiar
los roles de los coeficientes negativos y positivos en el rengln de
la funcin objetivo, tanto para la prueba de optimalidad como para
la parte 1 de una iteracin. Se determina la variable bsica entrante
mediante la eleccin de la variable con el coeficiente positivo
menor en la ecuacin de Z. La solucin bsica factible actual es ptima
si y slo si todos los coeficientes de la ecuacin de la funcin
objetivo (rengln de Z) son no positivos ( 0 ). Si es as, el proceso
termina; de otra manera, se lleva a cabo otra iteracin para obtener
la nueva solucin bsica factible, lo que significa el cambio de una
variable no bsica por una bsica (parte 1) y viceversa (parte 2), y
despus despejar las variables de la nueva solucin (parte 3).
Notemos que no se ha dicho nada con respecto a la forma de obtener
la variable bsica saliente en una iteracin, ya que este paso se
realiza de la misma manera que cuando se est maximizando, es
decir, se escoge aquella variable bsica con el menor cociente.
Ilustremos la forma de utilizar el mtodo smplex para el caso de
minimizacin. Consideremos el siguiente ejemplo: Minimizar sujeta a
Z = 3x1 + x1 + x1 + x1 0, 8x2 4x2 2x2 x2 0
4 2
Pasando este problema a su forma de igualdades aadiendo las
variables necesarias, obtenemos lo siguiente: Minimizar Z, sujeta a
Z 3x1 x1 x1 + + 8x2 4x2 + x3 2x2 xj 0 Mx5 = = x4 + x5 = para j = 1,
2, , 5 0 4 2
Utilizando el mtodo de la M para obtener una solucin ptima por
el mtodo smplex, obtenemos el siguiente conjunto de tablas:
Variable Z x1 x2 x x43
Lado x5 dere Cocie cho nte Es pti ma?
Bsica Z x3 x5 Z
1 3 0 1 0 1
8 0 0 M 4 1 0 0 2 0 1 1 1 M 2M 0 0 M 3 8
0 4 2 2M (0, 0, 4, 0,
x3 x5 Z
0 1 0 1 1 0
4 2
1 0
0
4 2 6
0 1 1 2 0 M 3 +3 2 2 1 1 0 1 1 1
4/1 = 4 2/1 = 2
2) Z= 2M
x3 x1
0 0 0 1
2 2
(2, 0, 2, 0, 0) Z=6 pti ma
Notemos que la primera tabla no se encontraba en la forma
apropiada para el mtodo smplex, ya que el coeficiente de la
variable bsica x5 era de M en el rengln de Z, lo cual hacia que no
se cumpliera la condicin smplex.
Mtodo de las dos Fases.En el ejemplo presentado en la seccin
Restricciones funcionales de la forma , recordemos la funcin
objetivo real: Problema real: Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2
Sin embargo, el mtodo de la M utiliza la siguiente funcin
objetivo a travs de todo el procedimiento: Mtodo de la M: Minimizar
Z = 0.4x1 + 0.5x2 + Mx4 + Mx6
Como los dos primeros coeficientes (0.4 y 0.5) son despreciables
comparados con M, el mtodo de dos fases puede eliminar la M usando
las siguientes dos funciones objetivo que definen Z de manera
completamente diferente: Mtodo de las dos fases: Fase 1: Fase 2:
Minimizar Minimizar Z = x4 + x 6 (hasta que x4 = 0 y x6 = 0). (con
x4 = 0 y x6 = 0).
Z = 0.4x1 + 0.5x2
La funcin objetivo de la fase 1 se obtiene dividiendo la funcin
objetivo del mtodo de la M entre M eliminando los trminos
despreciables, en otras palabras, la fase 1 consiste en la
minimizacin de la suma de todas las variables artificiales que se
introduzcan en el problema. Como la fase 1 concluye al obtener una
solucin bsica factible para el problema real (aquella en la que x4
= 0 y x6 = 0), esta solucin se usa como la solucin bsica factible
inicial para aplicar el mtodo smplex al problema real (con su
funcin objetivo) en la fase 2. Antes de resolver el ejemplo de esta
manera se har un resumen de las caractersticas generales. Resumen
del mtodo de dos fases. Paso inicial: Se revisan las restricciones
del problema original introduciendo variables artificiales segn se
necesite para obtener una solucin bsica factible inicial obvia para
el problema artificial. Fase 1: uso del mtodo smplex para resolver
el problema de programacin lineal: Minimizar Z = de todas las
variables artificiales, sujeta a las restricciones revisadas. La
solucin ptima que se obtiene para este problema (con Z = 0) ser una
solucin bsica factible para el problema real. Fase 2: se eliminan
las variables artificiales (de todas formas, ahora todas valen
cero). Comenzando con la solucin bsica factible que se obtuvo al
final de la fase 1, se usa el mtodo smplex para resolver el
problema real. Enseguida se resumen los problemas que deben
resolverse por el mtodo smplex en las fases respectivas para el
ejemplo. Problema para la fase 1: Minimizar sujeta a 0.3x1 + 0.1x2
+ 0.5x1 + 0.5x2 0.6x1 + 0.4x2 x3 + x4 x5 + x6 = = = 2.7 6 6 W = x4
+ x6,
y x10 x20 x3 x40 x50 x60
Problema para la fase 2: Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2, sujeta a
0.3x1 + 0.1x2 + 0.5x1 + 0.5x2 0.6x1 + 0.4x2 y x10 x20 x3 x50 x3 x5
= = = 2.7 6 6
Las nicas diferencias entre estos dos problemas se encuentran en
la funcin objetivo y en la inclusin (fase 1) o exclusin (fase 2) de
las variables artificiales x 4 y x6. Sin las variables
artificiales, el problema para la fase 2 no tiene una solucin bsica
factible inicial obvia. El nico propsito de resolver el problema
para la fase 1 es obtener una solucin bsica factible con x4 = 0 y
x6 = 0 que se pueda usar como la solucin bsica factible inicial
para la fase 2. Las siguientes tablas muestran el resultado de
aplicar el mtodo smplex a este problema para la fase 1: Variable W
x1 x2 x3 x4 x5 x6
Lad
dere
Bsica W x3 x4 x6 W x3 x4 x6 W x1 x4 x6 W x1 x4 x2 W x1 x5 x2
1 0 0 0 0.3 0.1 0 0.5 0.5 0 0.6 0.4 1 1.1 0.9 0 0.3 0.1 0 0.5
0.5 0 0.6 0.4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 3
0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 2.
6
6
1
2.
6
6
0.53 3.66 0.33 3.33 0.33 1.66 0.2 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1.64 6.63
1.64 10 0 5 5.05
2.
9
1.
0.
1.65 2.65 1.65 1.65 1.65 1.65 5 0 0 1 0 5 1 0 1 0
0.5
8.0
0.5
3
0
7.
0.99 0.60
0.
4.
Notemos que ya hemos obtenido una solucin ptima para la fase 1
que consisti en la minimizacin de la suma de todas las variables
artificiales. Observemos tambin que la funcin objetivo W termin con
un valor de cero en la ltima tabla, lo que indica que las dos
variables artificiales (x4 y x6) valen cero tienen valores
recprocos y se cancelan mutuamente para dar cero. En nuestro caso,
las dos variables artificiales valen cero ya que no se encuentran
en la columna de las variables bsicas en la ltima tabla de la
primera fase. La segunda fase consiste en resolver el problema
original utilizando como tabla inicial de esta fase la ltima tabla
de la primera fase pero sin considerar la columna de las variables
artificiales ya que stas tomaron el valor de cero en la primera
fase. El mtodo smplex aplicado a la segunda fase se muestra en el
siguiente conjunto de tablas: Variabl e Z Bsica Z x1 x5 x2 Z x1 x5
x2 Z x1 x5 x2 x1 x2 0. 5 0 0 1 0. 5 0 0 1 0 0 0 1 x3 0 5 0.99 5.0 5
2 5 0.99 5.0 5 0.5 2 5 0.99 5.0 5 x4 0 1 0.60 3 Lado x x6 derech o
5 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 7.5 0.3 4.5 3 7.5 0.3 4.5 5.25
7.5 0.3 4.5 (7.5,4.5,0,0,0.3,0 ) Z = 5.25 ptima fase 2 Cocient e Es
ptima?
1 0. 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Notemos que no fue necesario aplicar propiamente el mtodo smplex
a la primera tabla de la segunda fase, ya que nicamente aplicando
operaciones con matrices para tratar de llevar esta tabla a la
forma apropiada para el mtodo smplex fue suficiente para resolver
el problema planteado en la segunda fase. Es necesario aclarar que
no siempre ocurrir de esta manera, es decir, si despus de dejar la
tabla en la forma apropiada, es necesario aplicar el mtodo smplex,
se debe aplicar como lo hemos estudiado. Nota: Independientemente
de que el problema original (real) sea de maximizacin o
minimizacin, la primera fase siempre consistir en la minimizacin de
la suma de todas las variables artificiales.
DUALIDADEl dual es un problema de PL que se obtiene
matemticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y
primal estn relacionados a tal grado, que la solucin smplex ptima
de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automtica a la
solucin ptima del otro. El mtodo smplex adems de resolver un
problema de PL llegando a una solucin ptima nos ofrece ms y mejores
elementos para la toma de decisiones. La dualidad y el anlisis de
sensibilidad son potencialidades de ste mtodo. En la mayora de los
procedimiento de PL, el dual se define para varias formas del
primal, dependiendo de los tipos de restricciones, de los signos de
las variables y del sentido de la optimizacin. La experiencia nos
indica que en ocasiones, los principiantes se confunden con los
detalles de esas definiciones. Ms importante an es que el uso de
esas definiciones mltiples puede conducir a interpretaciones
inconsistentes de los datos en la tabla smplex, sobre todo en lo
que respecta a los signos de las variables. El concepto de dualidad
indica que para cada problema de PL hay una asociacin y una relacin
muy importante con otro problema de programacin lineal, llamado
precisamente dual.
La relacin entre el problema dual y su asociado, es decir el
problema original llamado primal, presenta varias utilidades:
Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresin de la
PL. El anlisis de dualidad es una herramienta til en la solucin de
problemas de PL, por ejemplo: ms restricciones que variables. El
problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes
que muestran que
los anlisis marginales estn siempre involucrados implcitamente
al buscar la solucin ptima a un problema de PL. La forma estndar
general del primal se defina como; para maximizar o minimizar.
sujeto a;
Cmo convertir un problema primal a dual?
Un problema dual se formula de un problema primal de la
siguiente forma: 1. Si el primal es un problema de maximizacin su
dual ser un problema de minimizacin y viceversa. 2. Los
coeficientes de la funcin objetivo del problema primal se
convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en
el problema dual.
3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema
original se convierten en los coeficientes de la funcin objetivo
(vector de costo o precio) en el problema dual. 4. Los coeficientes
de las restricciones en el problema primal, ser la matriz de los
coeficientes tecnolgicos en el dual. 5. Los signos de desigualdad
del problema dual son contrarios a los del primal. 6. Cada
restriccin en un problema corresponde a una variable en el otro
problema. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual
tendr n restricciones y m variables. As, las variables Xn del
primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual.
PROBLEMA PRIMAL EN FORMA CANONICA: MAX Z= CX Sujeto a: AX b X0
Ejemplo. Si el problema primal es: MAX Z= 45X1 + 17X2 + 55X3 Sujeto
a: X1 + X2 + X3 200
PROBLEMA DUAL EN FORMA CANO MIN Z= BY Sujeto a: AY C Y0
9X1 + 8X2 + 10X3 5000 10X1+ 7X2 + 21 X3 4000 Xj 0 El problema
dual ser: MIN Z= 200Y1 + 5000Y2 + 4000Y3 Sujeto a:
Y1 + 9Y2 + 10Y3 45 Y1 + 8Y2 + 7Y3 17 Y1 + 10Y2 + 21Y3 55 Yj 0
FORMA DE PRESENTAR EL PROBLEMA DUAL MIN = 2X1 - 3X2 Sujeto a: 1X1 +
2X2 12 4X1 - 2X2 3 6X1 - 1X2 = 10 X1,2 0 1. Llevar el problema a su
equivalente de maximizacin, multiplicando la funcin objetivo por 1:
MAX -2X1 + 3X2 2. Convertir las restricciones en una restriccin
equivalente multiplicando por 1 ambos lados: -4x1 + 2x2 -3 3. Para
las restricciones de igualdad, obtener 2 restricciones de
desigualdad, una de forma y la otra de forma ; despus regresar al
punto anterior y cambiar la restriccin a la forma : 6X1 1X2 10 6X1
1X2 10 6X1 1X2 10 -6X1 + 1X2 -10 As el problema primal se ha
replanteado en la forma equivalente:
MAX Z= -2X1 + 3X2 Sujeto a: 1X1 + 2X2 12 -4X1 + 2X2 - 3 6X1 1X2
10 -6X1 + 1X2 -10 X1,2 0 4. Teniendo el problema primal convertido
a la forma cannica de un problema de maximizacin, es fcil llevarlo
al problema dual: MIN Sujeto a: Y14Y2 + 6Y36Y3 -2 2Y1 + 2Y2 1Y3 +
1Y3 3 Y1, 2, 3, 3 0 12Y1 3Y2 + 10Y3
Y3 y Y3 ambas se refieren a la tercera restriccin del problema
primal.
Sobre la investigacin de operaciones
Actualmente la administracin est funcionando en un ambiente de
negocios que est sometido a muchos ms cambios, los ciclos de vida
de los productos se hacen ms cortos, adems de la nueva tecnologa y
la internacionalizacin creciente. Las races de la investigacin de
operaciones se remonta a cuando se hicieron los primeros intentos
para emplear el mtodo cientfico en la administracin de una empresa.
Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los
servicios militares prestados a principios de la segunda guerra
mundial. Definicion La investigacin de operaciones es la aplicacin,
por grupos interdisciplinarios, del mtodo cientfico a problemas
relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin
de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de
la organizacin. El origen de esta materia se remonta a la segunda
guerra mundial, cuando el coronel Sanders, junto con un dedicado
grupo de cientificos, se propusieron encontrar la cuadratura del
circulo, para de esta forma simplificar el horario militar y que le
permitiese al Teniente G. Dann ganar la guerra en un rapido ataque
en contra de los aliados. La investigacin de operaciones es la
aplicacin de la metodologa cientfica a travs de modelos matemticos,
primero para representar al problema y luego para resolverlo La
complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones
ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han
convertido en multidisciplinario por lo cual para su anlisis y
solucin se requieren grupos compuestos por especialistas de
diferentes reas del conocimiento que logran comunicarse con un
lenguaje comn. Modelos de la Investigacion de Operaciones La forma
convencional en que la investigacin de operaciones realiza esto es
construyendo un modelo matemtico que represente la esencia del
problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema
real, es una proximacin abstracta de la realidad con
consideraciones y simplificaciones que hacen ms manejable el
problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de
solucin. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de
las variables dependientes, asociadas a las componentes
controlables del sistema con el propsito de optimizar, si es
posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del
sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y
las restricciones del problema. io te recomendaria tambien que
consultases los trabajos de H. Klum y de A. Ivanovic, quienes
tienen un mas amplio conocimiento del tema La seleccin del mtodo de
solucin depende de las caractersticas del modelo. Los
procedimientos de solucin pueden ser clasificados en tres tipos: a)
analticos, que utilizan procesos de deduccin matemtica
b) numricos, que son de carcter inductivo y funcionan en base a
operaciones de prueba y error c) simulacin, que utiliza mtodos que
imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.
Sacado de
http://www.mitecnologico.com/Main/DefinicionDesarrolloYModelosInvestigacionDeOperaciones