EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 วงกลม วงกลม (Circle) จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยกลางของวงกลม ระยะคงที่ เรียกวา รัศมีของวงกลม ดังรูปที่อยูดานลาง สวนประกอบตาง ๆ ของวงกลม สวนประกอบอื่น ๆ ที่ควรทราบของวงกลม เสนสัมผัสวงกลม คือ เสนที่ตัดวงกลมเพียงจุด เดียวเทานั้น
36
Embed
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system …vcdforstudy.com/exam/math/EMAJ015.pdfองศา จงหาขนาด CAOˆ 2. จากร ปก าหนด O เป นจ
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 วงกลม วงกลม (Circle) จุดคงที่ เรยีกวา จุดศนูยกลางของวงกลม ระยะคงที่ เรยีกวา รัศมีของวงกลม ดังรูปที่อยู ดานลาง สวนประกอบตาง ๆ ของวงกลม
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 มุมในสวนตาง ๆ ของวงกลม 1. มมุในครึ่งวงกลม
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 สมบัติเกี่ยวกับวงกลม 1. มมุในครึ่งวงกลมมีขนาดเทากับ 90 องศา หรือหนึ่งมุมฉาก
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 3. ในวงกลมที่เทากันหรือในวงกลมเดียวกัน ถาสวนโคงยาวเทากัน หรือเปนสวนโคงเดียวกันแลว มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงน้ันจะมีขนาดเทากัน
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 6. คอรดสองคอรดที่ยาวเทากันของวงกลมวงหน่ึง จะอยูหางจากจุดศูนยกลางเทากัน
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 10 มุมที่คอรดทํากับเสนสัมผัส จะมขีนาดเทากับขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลม ซึ่งรองรับคอรดน้ัน และอยูคนละดานกัน
11. รูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม 11.1
11.2
ตัวอยางที่ 1 จากรูป กําหนดให O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม และ AB เทากับรัศมีวงกลม ถา DOC ˆ เทากับ 87 องศา แลว OAB ˆ กางกี่องศา
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 ตัวอยางที่ 2 ถารูปสี่เหลี่ยม MNOP แนบในวงกลมและ 3a NMP =ˆ องศา, 5a PON =ˆ องศา จงหาขนาดของ a
ตัวอยางที่ 3 M, N, O และ P เปนจุดอยูบนเสนรอบวงของวงกลม, 35 PNM =ˆ องศา, 28 OPN =ˆ องศา จงหาคาของ POM และ OMN ˆˆ
ตัวอยางที่ 4 จากรูป 28 CDB =ˆ องศา
41 DCB =ˆ องศา จงหาขนาดของ EFD ˆ และ BFA ˆ
ตัวอยางที่ 5 O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม AB เปนเสนสัมผัสวงกลมและ AB ยาว 12 น้ิว, OD เปนรัศมีของวงกลม ยาว 5 น้ิว จงหาความยาว AC
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 ตัวอยางที่ 6 จงหาขนาดของมุมจากรูปที่กําหนดใหดังตอไปน้ี 1. จากรูปกาํหนดให o15 ODB =ˆ จงหาขนาดของมุม a, b, c, d
2. จากรูป จงหาคา x + y
ตัวอยางที่ 7 จากรูป AB และ CD เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม ซึ่งมี O เปนจุดศูนยกลาง
o2x CAB =ˆ และ o3x CBA =ˆ จงหาขนาดของ CDB ˆ
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 ตัวอยางที่ 8 จากรูปกําหนดวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC โดยท่ีวงกลมสัมผัสกับดาน AB ท่ีจุด P ดาน BC ท่ีจุด Q และดาน AC ท่ีจุด R ถา AP = 20 เซนติเมตร, BQ = 14 เซนติเมตร และ AC = 30 เซนติเมตร ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับเทาใด
ตัวอยางที่ 10 กําหนดวงกลมดังรูป ถา AB สัมผัสวงกลมที่จุด B และ o35 BCO =ˆ แลวจงหาขนาดของมุม BAC
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 1. จากรูปทีกํ่าหนดให จงหาขนาดของมุม x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 1.6 1.7 1.8 จากรูป ONM OMP ˆˆ + มีขนาดเทากับกี่องศา
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 1.10 จากรปู ถา AOC ˆ มีขนาดเทากับ 120 องศา จงหาขนาดของ CD A-A BC ˆˆ
1.13 จากรปู ถา AB = 32 เซนติเมตร BC = 24 เซนติเมตร จงหาความยาวของ OC
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 1.14 จากรปู ถา AB = 20 น้ิว CD = 16 น้ิว จงหาความยาวของ EF
1.15 จากรปู ถา AB = BC, OCB ˆ เทากับ 35 องศา จงหาขนาด COA ˆ
2. จากรูปกาํหนด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม จงหาคา x จากรูป
oo 20 DAC ,70 BEA == ˆˆ
3. จากรูปทีกํ่าหนด y มีคาเทากับขอใด กําหนด
y OD Aองศา, 120 DCB องศา, 35 OBA === ˆˆˆ
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 4. จากรูปทีกํ่าหนด 55 CAB =ˆ องศา, 95 CFB =ˆ องศา และ CEB ˆ กางกี่องศา
ถา x CDB =ˆ และ y DBC =ˆ แลว y – x มีคาเทาไร 6. จากรูป กําหนดให O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม CE ยาวเทากับรัศมีของวงกลม ถา
องศา 18 ECA =ˆ แลวมุม ABD มีขนาดกี่องศา
7. จากรูป ให AC = BC = 15 เซนติเมตร, AB = 24 เซนติเมตร จงหาความยาวของรศัมีของวงกลม
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 8. วงกลม 2 วง รัศมี 5 และ 15 หนวย ถาวงกลม O และ Q มีจุดศูนยกลางหางกัน 26 หนวย AB สัมผัสวงกลมทั้งสองที่จุด A และ B จงหาความยาวของ AB
9. กําหนดวงกลมและเสนสัมผัสดังรูป x + y เทากับกี่องศา
10. กําหนด ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมท่ีแนบในวงกลม ซึ่งมีจุด E เปนจุดศูนยกลาง โดยที่ AD = DC และ AB = AC จุด F เปนจุดก่ึงกลางดาน AB ถา o65 CBA =ˆ แลว FED ˆ กางกี่องศา
11. กําหนดวงกลม P และ Q มีรัศมียาว 4 และ 3 เซนติเมตร ตามลําดับ ถาวงกลมทั้งสองตัดกันที่จุด R (ดังรูป) และ PQ = 5 เซนติเมตร ARB เปนคอรดของวงกลมทั้งสองที่ตอกันเปนเสนตรง สวนของเสนตรง AB จะยาวไดมากที่จุดก่ีเซนติเมตร
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 การสรางรูปหลายเหลีย่มดานเทามุมเทา การสรางรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทา รูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทา คือ รปูหลาย เหล่ียมท่ีมีดานทุกดานยาวเทากันและมุมทุกมุมมีขนาดเทากัน สําหรับรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทาที่มี n ดาน จะไดวา
ขนาดของมุมภายในแตละมุม = n
1802)-(n ×
ขนาดของมุมท่ีจุดศูนยกลาง = n
360
ตัวอยางท่ี 11 ให x เปนมุมท่ีจุดศูนยกลาง จงหาขนาดของมุม x ของ
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 1. จากรูปวงกลม มี O เปนจุดศูนยกลาง
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 5. จากรูปวงกลม O แนบในสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีเสนรอบรูปยาว 30 หนวย ถา BX = 7 หนวยแลว จงหาความยาว AC ยาวกี่หนวย
ก. 6 หนวย ข. 7 หนวย ค. 7.5 หนวย ง. 8 หนวย 6. จากรูป AB เปนคอรด มี AC และ BD เปนเสนสัมผัสท่ี A และ B ตามลําดับ o55 ECA =ˆ และ
o127 DEA =ˆ จงหา CDB ˆ กางกี่องศา
ก. o15 ข. o19 ค. o20 ง. o23 7. จากรูป สามเหลี่ยม ABC มีวงกลม O บรรจุอยูภายใน ลาก MN ผานจุด O ขนานกับดาน AC ถา AB, BC และ CA ยาว 17 น้ิว 15 น้ิว และ 10 น้ิว ตามลําดับ จงหาความยาวเสนรอบรูปสามเหลี่ยม BMN ยาวกี่น้ิว
ก. 32 น้ิว ข. 27 น้ิว ค. 21 น้ิว ง. 18 น้ิว
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 8. จากรูปวงกลม O รัศมี 9 เซนติเมตร และวงกลม Q รัศมี 4 เซนติเมตร สัมผัสกันอยางภายนอกที่ A ลากเสนสัมผัสรวมทางตรง BC และลากเสนสัมผัสรวม AD ตัด BC ท่ีจุด D จงหาความยาว AD
ก. 6.5 เซนติเมตร ข. 6.2 เซนติเมตร ค. 6.7 เซนติเมตร ง. ไมมีคําตอบ 9. จากรูป AD เปนเสนสัมผัส และ AC = 2AB ถา AD ยาว 32 น้ิว จงหาความยาว AB
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 11. จากรูป จงหา oo ba +
ก. o180 ข. o210 ค. o230 ง. o250 12. จากรูป วงกลม O มี AC และ BD ตัดกันท่ี E จงหา CEB ˆ
ก. o75 ข. o80 ค. o60 ง. o95 13. จากรูป จงหา x̂
ก. o100 ข. o110 ค. o120 ค. o140
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 14. จากรูป วงกลม 2 วง จุดศูนยกลางท่ี O และ Q ตัดกันท่ีจุด A และ B oo 90BQ A60 BOA == ˆ,ˆ รัศมี OA = 2a จงหาความยาว AQ
ก. 2a
ข. a2
ค. a2 ง. a2 15. จากรูปท่ี 1 และ รูปท่ี 2 จงหาคาของ x - y เปนเทาไร
รูปท่ี 1
รูปท่ี 2 ก. o36 ข. o70 ค. o72 ง. o35
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 16. จากรูป ABCD เปนสี่เหล่ียมจัตุรัส มี
BEAE = จงหา CDE ˆ กางกี่องศา
ก. o15 ข. o
21
22
ค. o30 ง. o45 17. จากรูป จงหาวา x̂ กางกี่องศา
ก. o20 ข. o25 ค. o30 ง. o35 18. จากรูป AE และ EC เปนเสนสัมผัสวงกลมท่ีมี O เปนจุดศูนยกลาง โดย AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม O ถา o35 CDB =ˆ แลว
nm ˆˆ + กางกี่องศา
ก. o105 ข. o125 ค. o180 ง. ขอมูลไมพอจะหาคําตอบได
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 19. จากรูป วงกลม O บรรจุในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยท่ี o90 A =ˆ ลาก OB ,OD ถา
o145 DOB =ˆ จงหา BCA ˆ
ก. o10 ข. o20 ค. o35 ง. o45 20. ถาวงกลม O มี AB//CD และ o74 DOA =ˆ
แลว COB ˆ กางก่ีองศา
ก. o74 ข. o54 ค. o37 ง. o30 21. จากรูป วงกลม O มี AB และ CD ตอไปพบกันท่ีจุด E ลาก AD และ BC แลว จงหาความสัมพันธของ 3 และ 2 ,1 ˆˆˆ
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 22. จากรูป AC เปนคอรดของวงกลมซึ่งมี CD เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม O B เปนจุดก่ึงกลางของเสนโคง AC มุม ACD เปน 3 เทาของมุม BDC มุม x โตก่ีองศา
ก. o78 ข. o98 ค. o108 ง. o112 23. จากรูป CA สัมผัสวงกลม O ท่ีจุด A 5k
ABO ˆ กาง 56 องศา ACB ˆ กางก่ีองศา
ก. o18 ข. o22 ค. o28 ง. o34 24. XY สัมผัสวงกลม O ท่ี B จงหาคาของมุม OSB
ก. o20 ข. o25 ค. o30 ง. o50
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 25. จากรูป จงหาคา yx ˆˆ +
ก. 55 องศา ข. 60 องศา ค. 65 องศา ง. 70 องศา 27. จากรูป A เปนจุดภายนอกวงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลาง ลาก AS และ TA ใหสัมผัสวงกลมท่ีจุด S และ T ถา o50 TAS =ˆ จงหาคาของมมุ TSO
ก. 20 องศา ข. 25 องศา ค. 30 องศา ง. 32 องศา
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 28. ABC เปนสามเหล่ียมมุมฉาก มี B̂ เปนมุมฉาก บรรจุอยูภายในวงกลม O ลาก BD ใหสัมผัสวงกลมท่ีลอมรอบรูปสามเหล่ียม ABC ท่ีจุด B ให BD พบ AC ท่ีตอออกไปท่ีจุด D ลาก DE ใหต้ังฉากกับ AD ท่ีจุด D และให DE พบแขน AB ท่ีตอออกไปท่ีจุด E ถา CAB ˆ กาง 25 องศา ขอสรุปใดถูกตอง ก. DB = DE ข. 65 DEB =ˆ องศา ค. 40 CDB =ˆ องศา ง. ถูกทุกขอ 29. จากรูป จงหาคาของมุม CYX
ก. องศา 12.5 BOD =ˆ ข. องศา 13.5 BOD =ˆ ค. องศา 32.5 EOA =ˆ ง. องศา 73.75 DEA =ˆ
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 1. จากรูป n เหล่ียม ถาเลือกจุดท่ีมุมใดมุหน่ึงแลวลากเสนทแยงมุมไป จะไดก่ีเสน
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 15. รูปสี่เหล่ียมผืนผา ABCD ตัดวงกลมที่จุด P, Q, R และ S ดังรูป กําหนดสวนของเสนตรง PS, BS และ CR ยาวเปน 35, 21 และ 28 หนวย ตามลําดับ แลวสวนของเสนตรง QR ยาวเทาไร
1. 21 หนวย 2. 23 หนวย 3. 25 หนวย 4. 28 หนวย
16. ABC เปนเสนตัดวงกลมที่ผานจุดศูนยกลาง O และ CDE เปนเสนตัดวงกลมอีกเสนหน่ึงทําให
o10ECA =ˆ ถา o
21
22OEC =ˆ แลวขอใดไมเปนจริง
1. o
21
12DOB =ˆ
2. o135EOD =ˆ
3. o
21
16EBA =ˆ
4. o
41
96DEA =ˆ
17. ให A, B, C, D เปนจุดบนวงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลางดังรูป ขอใดตอไปน้ีถูกตอง
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 18. XY เปนเสนสัมผัสวงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลางท่ีจุด A ตามรูป จงหาคามุม ABO
1. 11.5 เซนติเมตร 2. 12.5 เซนติเมตร 3. 13.0 เซนติเมตร 4. 15.5 เซนติเมตร 20. ให A, B, C เปนจุดท่ีตางกัน ถา a, b, c แทนความยาวของสวนของเสนตรง BC, CA และ AB ตามลําดับแลว เง่ือนไขในขอใดตอไปน้ีไมสามารถสรางวงกลมใหผานจุดท้ัง 3 น้ีได 1. 00CAB >ˆ 2. BCACBACAB ˆˆˆ += 3. a + b = c 4. a2+b2=c2
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 21. จากรูป O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 25. คอรด AB และคอรด CD ยาว 28 และ 32 น้ิว ตามลําดับ ตัดกันเปนมุมฉากที่ จุด P ถา O เปนจุดศูนยกลางของวงกลมและ OP ยาว 14 น้ิว รัศมีของวงกลมนี้ยาวกี่น้ิว
1. 16 2. 18 3. 20 4. 22 26. จุด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม คอรด AB และคอรด CD ตัดพบกันที่จุด P (ดังรูป) ถามุม AOC เทากับ 110 องศา และมุม BOD เทากับ 65 องศา แลวมุม APC กางกี่องศา
1. 22 องศา 2. 22.5 องศา 3. 32 องศา 4. 32.5 องศา 27. จากรูป o65B,DCAD,ACAB === ˆL E เปนจุดตัดของเสนแบงครึ่งมุม D กับเสนแบงครึ่งและตั้งฉากของ AB เมื่อ F เปนจุดก่ึงกลางของ AB จงหาคาของ FED ˆ
1. o120 2. o130 3. o140 4. o150
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 28. จากรูป ABC เปนสามเหลี่ยมหนาจ่ัวซึ่งมี
ACAB = และบรรจุอยูในวงกลม เสนแบงครึ่งมุม ABC และมุม BCA พบเสนรอบวงที่จุด P และ Q ตามลําดับ ลาก PC ,AP ,QA ,BQ ขอใดตอไปน้ีถูกตอง
1. BCAPAQ ==
2. BCQABQ ==
3. BCPCAP == 4. APQABQ == 29. จากรูป วงกลม T และ วงกลม O สัมผัสภายในที่จุด P มี OR และ OS เปนเสนสัมผัส โดยท่ี PT :PQ= 1 : 8 และ PT ยาว 4 หนวย จะ
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 31. จากรูป EA สัมผัสวงกลมที่จุด A มี AD แบงครึ่ง CAB ˆ และ o70CDA =ˆ แลว CEA ˆ กางกี่องศา
1. o30 2. o40 3. o50 4. o70 33. ให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมแนบในวงกลม ตอดาน AB และ DC ไปพบกันที่จุด E ตอดาน AD และ BC ไปพบกันที่จุด F ถา o25CEB =ˆ และ
o37DFB =ˆ จงหา DAB ˆ เปนเทาใด
1. o62 2. o59 3. o52 4. o48
EINSTEIN HAUS Always the right tutorial system Complete Solution from a single source www.vcdforstudy.com 0-2579-8059 34. จากรูป ABCDE เปนรูป 5 เหล่ียมบรรจุในวงกลม O มุม BOC= 80 องศา CDBCAB == มุม AED กางกี่องศา