Mengenlehre Relationen Funktionen Eigenschaften von Relationen Einf¨ uhrung in die Semantik, 2./3. Sitzung Mengen / Relationen / Funktionen G¨ otz Keydana G¨ ottingen 2. November 2006 G¨ otz Keydana Einf¨ uhrung in die Semantik, 2./3. Sitzung Mengen / Relatione
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MengenlehreRelationenFunktionen
Eigenschaften von Relationen
Einfuhrung in die Semantik, 2./3. SitzungMengen / Relationen / Funktionen
Gotz Keydana
Gottingen2. November 2006
Gotz Keydana Einfuhrung in die Semantik, 2./3. Sitzung Mengen / Relationen / Funktionen
Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassungwohlunterschiedener (diskreter) Objekte.
Die Objekte, die zu einer Menge gehoren, sind die Elemente derMenge.
I abstrakt: Die Zusammenfassung muß nirgendwo realitervorliegen.
I Zusammenfassung: Ob ein Objekt Element einer gegebenenMenge ist, muß angebbar sein. Die Elemente einer Menge sindungeordnet (Mengen sind keine Tupel/Listen).
I diskret: Die Objekte mussen unterscheidbar sein. Kein Objektkommt in einer Menge mehr als einmal vor (Mengen sindkeine Systeme/bags).
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Das Komplement einer Menge A relativ zu einem Universum Uist die Menge, die genau die Elemente enthalt, die in Uvorkommen, nicht aber in A, und nur diese.
(27) A′ = def U\A
Beispiel
(28) Wenn U = N:{1, 2, 3}′ = {x |x eine naturliche Zahl und x ≥ 4}
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(37) (a) X ⊆ Y gdw.X ∩ Y = X , gesetzt X := (A ∩ B) undY := (A ∪ B), dann ist zu zeigen:(A ∩ B) ∩ (A ∪ B) = A ∩ B
(b) Beweis(A ∩ B) ∩ (A ∪ B)((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ B) Distributivitat(A ∩ (A ∩ B)) ∪ ((A ∩ B) ∩ B) Kommutativitat((A ∩ A) ∩ B) ∪ (A ∩ (B ∩ B)) Assoziativitat (2mal)(A ∩ B) ∪ (A ∩ B) Idempotenz (2mal)A ∩ B Idempotenzq.e.d.
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(38) 〈a, b〉 = def {{a}, {a, b}}, weil {{a}, {a, b}} ={{b}, {a, b}} (d.h. 〈a, b〉 = 〈b, a〉) nur dann, wenn a = b.
Tripel werden auf geordnete Paare ruckgefuhrt:
(39) 〈a, b, c〉 = def 〈〈a, b〉, c〉
Generell gilt: n-Tupel werden auf (n − 1)-Tupel ruckgefuhrt.
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Eigenschaften von Relationen
Kartesische Produkte
Die Gesamtheit aller Paare, die sich aus zwei gegebenenMengen A und B bilden lassen, indem das erste Element aus Aund das zweite aus B genommen wird, ist das KartesischeProdukt.
(40) A× B = def {〈x , y〉|x ∈ A, y ∈ B}
Beispiele
(41) Wenn K = {a, b} und L = {1, 2}, dann
(a) K × L = {〈a, 1〉, 〈a, 2〉, 〈b, 1〉, 〈b, 2〉}(b) L× K = {〈1, a〉, 〈2, a〉, 〈1, b〉, 〈2, b〉}
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Eigenschaften von Relationen
Relationen
Relationen sind Paarungen von Objekten.
I Die Relation “Mutter” besteht zwischen einer Mutter undihren Kindern.
I Transitive Verben bezeichnen i.d.R. Relationen: “lesen” ist dieRelation zwischen zwei Objekten dergestalt, daß das ersteObjekt das zweite liest.
I Die Teilmenge ist eine Relation zwischen Mengen.
I etc.
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Eigenschaften von Relationen
Relationen cont.
I Rab bzw. aRb ist die Relation R zwischen a und b.I R ⊆ A× B ist die Relation R zwischen Objekten aus den
Mengen A und B.I R ⊆ A× B ist eine Relation von A auf B.I Eine Relation zwischen Objekten aus einer Menge A ist eine
Relation in A.I Die Projektion von R auf die erste Koordinate ist der
Definitionsbereich (engl. domain), die Projektion von R auf diezweite Koordinate der Wertebereich (engl. range) von R.
I R von A auf B ist eine Teilmenge des kartesischen ProduktsA× B.
I Wir haben damit die Relation R mengentheoretisch reduziertauf eine Menge geordneter Paare {〈a, b〉|aRb}.
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Eigenschaften von Relationen
Funktionen und Relationen
Funktionen sind rechtseindeutige Relationen.
(42) Eine Relation R von A auf B ist eine Funktion gdw.
(a) jedes Element des Definitionsbereichs (DOM(R)) mitgenau einem Element im Wertebereich (RNG (R))gepaart ist,
(b) DOM(R) = A.
Eine Teilmenge des kartesischen Produkts A× B ist also genaudann eine Funktion, wenn jedes Element von A genau einmal alserste Koordinate in den geordneten Paaren der Menge auftaucht.
(43) DOM(F ) = def {x | es gibt y so, daß 〈x , y〉 ∈ F}(44) RNG (F ) = def {y | es gibt x so, daß 〈x , y〉 ∈ F}
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Eigenschaften von Relationen
Beispiel fur Funktionen
(45) Wenn A = {a, b, c} und B = {1, 2, 3, 4}, dann sind diefolgenden Relationen von A auf B Funktionen:
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Eigenschaften von Relationen
Terminologie
I F : A → B bezeichnet die Funktion F von A auf B,F : A → A die Funktion F in A.
I Elemente in DOM(F ) sind Argumente von F , Elemente inRNG (F ) sind Werte von F . Hat eine Funktion wie P in (43a)den Wert 1 bei Argument a, so schreibt man P(a) = 1. Mansagt, P wird auf a angewendet; P bildet a auf 1 ab.
I A sei DOM(F ), B sei RNG (F ). Wenn A ⊂ C , dann gilt, daßF eine partielle Funktion von C auf B ist.
I F ist ein-eindeutig, wenn jedes Argument in DOM(F ) aufgenau einen Wert in RNG (F ) abgebildet wird und jeder Wertin RNG (F ) der Wert genau eines Arguments in DOM(F ) ist.
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Eigenschaften von Relationen
Reflexivitat
Gegeben sei eine Menge A und eine Relation R in A: R ist reflexivgdw. alle geordneten Paare 〈x , x〉 fur jedes x ∈ A in R sind.
Beispiele
(46) Die Relation R = {〈1, 1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 3〉, 〈3, 1〉} in der MengeA = {1, 2, 3}.
(47) Die Relation “hat denselben Geburtstag wie” in der Mengeder Menschen.
Enthalt eine Relation R kein geordnetes Paar 〈x , x〉, so ist Rirreflexiv. (Beispiel: “ist großer als”)
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Eigenschaften von Relationen
Symmetrie
Gegeben sei eine Menge A und eine Relation R in A: R istsymmetrisch gdw. fur jedes geordnete Paar 〈x , y〉 das Paar 〈y , x〉ebenfalls in R ist.
Beispiele
(48) Die Relationen R1 = {〈1, 3〉, 〈3, 1〉},R2 = {〈2, 2〉} in derMenge A = {1, 2, 3}.
(49) Die Relation “ist Vetter/Base von” in der Menge derMenschen.
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Eigenschaften von Relationen
Symmetrie cont.
I Enthalt eine Relation R kein geordnetes Paar 〈x , y〉 dergestalt,daß das Paar 〈y , x〉 ebenfalls in R ist, so ist R asymmetrisch.(Beispiel: “ist alter als”)
I Eine Relation R ist antisymmetrisch, wenn immer, wenn 〈x , y〉und 〈y , x〉 in R sind, x = y .
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Eigenschaften von Relationen
Transitivitat
Gegeben sei eine Menge A und eine Relation R in A: R ist transitivgdw. fur alle geordneten Paare 〈x , y〉 und 〈y , z〉 das Paar 〈x , z〉ebenfalls in R ist.
Beispiele
(50) Die Relationen R1 = {〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈1, 3〉},R2 = {〈2, 2〉}in der Menge A = {1, 2, 3}.
(51) Die Relation “ist Vorfahre” in der Menge der Menschen.
Enthalt eine Relation R keine geordneten Paare 〈x , y〉 und 〈y , z〉dergestalt, daß das Paar 〈x , z〉 ebenfalls in R ist, so ist Rintransitiv. (Beispiel: “ist Mutter von”)
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Eigenschaften von Relationen
Konnektivitat
Gegeben sei eine Menge A und eine Relation R in A: R ist konnexgdw. fur alle distinkten Elemente x und y in A 〈x , y〉 ∈ R oder〈y , x〉 ∈ R (oder beide).
Beispiele
(52) Die Relationen R1 = {〈1, 2〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉},R2 ={〈1, 1〉, 〈2, 3〉, 〈1, 2〉, 〈3, 1〉, 〈2, 2〉} in der MengeA = {1, 2, 3}.
(53) Die Relation “ist großer als” in N.
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Eigenschaften von Relationen
Aquivalenzrelationen
Aquivalenzralationen sind
I reflexiv
I symmetrisch
I transitiv
Beispiele:
I Gleichheit
I “ist gleichaltrig mit” etc.
Jede Aquivalenzrelation R in A erlaubt es, A in disjunkteTeilmengen zu partitionieren, die sogenanntenAquivalenzklassen.
JxK sei die Menge aller y , fur die gilt: 〈x , y〉 ∈ R, R sei eineAquivalenzrelation. Dann ist JxK die Aquivalenzklasse fur x .
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Eigenschaften von Relationen
Abfolgerelationen
Abfolgerelationen sind
I immer transitiv
I zudem entweder: irreflexiv und asymmetrisch: strenge AbfolgeA = {a, b, c},R = {〈a, b〉, 〈b, c〉, 〈a, c〉}