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Einenid'nlineareTheoriedünnerDreisdriditschalenund ... · Tensor2. Stufe. Die Elastizitätstensoren hängen von den Materialeigen-schaften und dem Aufbau der Schalein den betrachte-ten
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TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft2
Manuskripteingang: 4. 12.1981
Eine nid'nlineare Theorie dünner Dreisdriditschalen und
ihre Anwendung auf die Stabilitätsuntersudiung eines
dreischichtigen Streifens
Holm Altenbach, Pawel Shilin
Dreischichtige Schalenkonstruktionen können in vielen
Bereichen der Technik eingesetzt werden. Dabei gibt es
verschiedene Möglichkeiten zum Formulieren einer The-
orie der Dreischichtschalen mit starr verbundenen
Schichten. Die einfachste Variante einer solchen Theorie
beruht auf der Kirchhoff-Loveschen Hypothese für das
gesamte Schalenpaket. Diese Variante liefert leider un-
genügende Ergebnisse, wenn sich die Steifigkeiten der
Schichten stark unterscheiden. Jedoch ist dieser Fall für
die Praxis besonders interessant. Daher schlagen verschie-
dene Autoren verbesserte Theorien vor. Die einfachste
Erhöhung der Genauigkeit läßt sich durch die Einbezie-
hung der Querschubdeformationen erzielen, d. h. durch
den Übergang zu einer Theorie, analog der Timoschenko-
-Reissner-Mindlinschen Theorie. Es wurde jedoch festge-
stellt, daß bei der traditionellen Definition der Steifig-
keitsparameter für die Schale (Einführung von kinema-
tischen Hypothesen) diese Variante ebenfalls nicht an-
wendbar ist, wenn starke Inhomogenitäten über die-
Schalendicke auftreten [l].
Wesentlich besser sind Varianten, die auf der von E. I.
Grigoljuk, W. W. Bolotin und anderen Autoren einge-
führten Hypothese der gebrochenen Normalen beruhen.
Hier kann man eine verhältnismäßig gute Übereinstim-
mung der Berechnungen mit experimentellen Ergebnis-
sen bei Stabilitätsuntersuchungen erzielen. Die Ordnung
des Gleichungssysteme ist bei diesen Varianten jedoch
wesentlich höher im Vergleich zur klassischen Theorie
einschichtiger Schalen. In der Theorie von E. I. Grigoljuk
ist die Ordnung des Systems doppelt so groß, in der The-
orie von W. W. Bolotin ‚dreifach so groß [2].
In der vorliegenden Arbeit wurde als Grundlage fiir die
Theorie der Dreischichtschalen die Theorie einfacher
Schalen [3], [4], [5] genommen. Die einfache Schale ist
ein formales Modell, dessen Spannungszustand durch
zwei Kraftgrößentensoren (Kräftetensor, Momenten-
tensor) vollständig beschrieben wird. Dabei werden keine
Annahmen über den Charakter der Verschiebungen und
Spannungen über die Schalendicke getroffen. Die Grund-
gleichung erhält man mit Hilfe der Erhaltungssätze (Im-
pulssatz, Drehimpulssatz), der Symmetrietheorie (s. z. B.
[6]) und den asymptotischen Entwicklungen. Dadurch
kann man die Problematik auf die Bestimmung soge-
nannter spezifischer Moduli [l] zurückführen. Wenn die-
se bestimmt sind, so ist die Theorie für die gegebene
Klasse von Schalen vollständig formuliert. Die Theorie
dünner Dreischichtschalen unterscheidet sich bei dieser
Vorgehensweise von Theorien für andere Klassen von
Schalen nur in den Werten der Elastizitätsmoduli.
In der Arbeit wird, wie das in der Kontinuumsmechanik
üblich ist, die Tensorschreibweise verwendet. Um Ver-
wechslungen zu vermeiden, sind im Text die meisten
Symbole und Operationen erklärt. Hier nur kurz die
allgemeine Symbolik:
Symbole ohne Unterstreichungen stellen Skalare dar,
Symbole mit einer Unterstreichung sind Vektoren,
Symbole mit doppelter Unterstreichung sind Ten-
soren,
wenn g und _b zwei Vektoren sind, so ist gliein dya-
disches Produkt (hier ein Tensor zweiter Stufe),g ' b
ein skalares Produkt (hier erhält man ein Skalar) und
gx_b_ ein vektorielles Produkt (hier erhält man einen
Vektor),
wenn A und 1} Tensoren 2. Stufe sind, so kann man
sie folg—enderm—aßen darstellen: A = a b , _B_ = gdund
das Doppelskalarprodukt der Te—nsoren laütet I; ' ' g
= (11' J (8_' 11)-
l. Grundgleichungen der Theorie einfacher
Schalen
Als einfache Schale bezeichnet man laut Definition ein
zweidimensionales Objekt, dessen Spannungszustand
durch zwei Kraftgrößentensoren vollständig definiert ist.
Deshalb ist das kinematische Modell der einfachen
Schale eine materielle Fläche, bei der alle Elemente star-
re Punkt-Körper mit 6 Freiheitsgraden sind. Die Bewe-
gungen eines solchen Modells sind durch eine Vektor-
funktion l_l (x1, x2, t) = E (xa, t) und durch einen ortho-
gonalen Tensor B(x°‘,t) gegeben. Der Vektor beschreibt
die Translationsbewegung der Punkt-Körper, der Tensor
die Rotationsbewegung. Hier sind mit x1, x2 die mate-
riellen Koordinaten der Fläche bezeichnet, der Parame-
ter t gibt die Zeit an. Die Vektorbasis der Fläche wird
wie folgt eingeführt:
flaw,» = 6a 5061.05 i sonst) ‚ (1—1)ax“
wobei die griechischen Indizes hier und später die Werte
l, 2 annehmen. Weiterhin führen wir den Vektor der
Einheitsnormalen l! (xa, t) ein: H!I = 1, H ' ä: O. Damit
haben wir eine Vektorbasis im Raum. Die kontravariante
Basis wird mit ä“ (xo‘, t), E6“, t) bezeichnet: ä“ ' R
= 8a, Ea ' 13 = 0. Der Gradient ist in der aktuellen
(t#0) und Ausgangskonfiguration (t=0) folgenderma-
ßen definiert (Summation über unterschiedlich hohe
Indizes):
Grad g = 3a 3a; , grad g =vg 10160,; , (1.2)
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wobei grad =V = Gradlt=o , f = ä“ (161,0) und g ein
beliebiges Tensorfeld auf der Fläche sind.
Der Spannungszustand wird in der einfachen Schale
durch zwei unsymmetrische Tensoren 2. Stufe definiert
g<xa,t>=11a1a, 1a=v£a-3a Law-".14). (1.3)
gamma“,M“ =~/ s s“ Maw-w. (1.4)
Hier sind 1(a) und Mm) die physikalischen Kräfte- und
Momentenvektoren, die je Längeneinheit der Kurve x“ =
konst. wirken und dabei die Reaktion des Kontinuums,
welches sich auf der Seite des Zuwachses der Koordinate
x“ befindet, modelliert. Entsprechend kann man I und
h=’l als Cauchysche Kräfte- und Momententensoren be-
zeichnen. Dabei gelten folgende Formeln:
I(„)=2‘;‚M(„)=z'h=4‚ 13| =l,_g' 13:0. (1.5)
Die Vektoren In». und MW) wirken auf Flächen, die
dem Vektorg (xa, t) orthogonal sind.
Die Bewegungsgleichung kann man in den beiden ge-
bräuchlichen Formen angeben. In der aktuellen Konfi-
guration lauten sie:
Divl+pE =p(x+2i-Q)'‚ (1.6)
Divh=4+lx+pL= p(21'1+22°@' +
(1.7)
+1”:ng ‘fl.
Hier bedeuten: p(x°‘,t) — die Massendichte, pE und
pl_.. —— die äußere Kraft und das äußere Moment je Flä-
cheneinheit, 2x = Lia x11“, Q1 und Q2 - der erste und
zweite Trägheitstensor, die die Massenverteilung inner-
halb der Punkt-Körper kennzeichnen, i; und fl — die
lineare und die Winkelgeschwindigkeit der Punkt-Körper
1(X°‘¢)= 36"» ‚ — = -i [ä ' E 1x - (1.8)
Der obere Index T bedeutet „transponiert“, ( )'= ä
und die Divergenz führen wir folgendermaßen ein:
Div9__=1_t°"aas‚ float).
Das Massenerhaltungsgesetz gibt den Zusammenhang
zwischen den Dichten in beiden Konfigurationen an
JA (xost) p (x01, t) = po (xa) \/a_ , (1.9)
A E det(B_a ' EB) , a=A(xa,0) .
Die Trägheitstensoren kann man wie folgt definieren:
ga<x°et> = goat) - 2° (x0!) ~1T<xa,t> ‚ -
g; (x0!) = ga(xa,t)| F0 , (1.10)
wobei ;(x°‘,0) = E (Einheitstensor) vorausgesetzt wird.
Die konkrete Form fiir p (xa,t) und ga(x°‘, t) hängt von
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der Spezifik der zu betrachtenden Aufgabe ab. So läßt
sich z. B. für Schalen mit konstanter oder sich schwach