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MN Seminar
Einbettung kombinatorischer Mannigfaltigkeiten
Hochschule Darmstadt Fachbereich MNTorsten-Karl Strempel
24.11.2009
24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 2 / 53
Geometrie – Kombinatorik – Topologie
Punkt
Strecke
Fläche Volumen
…
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 3 / 53
GliederungnPolygone, Polyeder, …nSchlegeldiagramme, Eulersche PolyederformelnSatz von SteinitznEinbettungn "Aufblasen von Polyedern"nTopologische Typen von 2-MannigfaltigkeitennVerallgemeinerter Satz von SteinitznMinimale Torus-TriangulierungennEinbettungen in den Rand der 4-Kugeln…
24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 4 / 53
108°
n polýs = viel + gonía = Winkeln Eckenn Kanten
n Geometrisches Objektn Kanten sind Geradenabschnitten Flächen liegt in einer Ebene
n Regelmäßiges Polygonn Kanten gleich langn Winkel gleich großn Ecken auf Umkreis à 1-Sphäre
n Beispiel: 5-Eckn 5 Ecken, 5 Kanten
R2 – Polygon
http://de.wikipedia.org/wiki/Polygon
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 5 / 53
n polýs = viel + edron = Flächnern Ecken, Kantenn Flächen
n Beispiel: Dodekaedern 20 Ecken, 30 Kantenn 12 Flächen
n Geometrisches Objektn Flächen sind Polygonen Kanten sind Geradenabschnitten Flächen liegt in einer Ebene
n Regelmäßiges Polyedern Flächen sind regelmäßige Polygonen Ecken liegen auf einer Umkugelà 2-Sphäre
R3 – Polyeder
http://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder
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n "Verallgemeinertes Polygon in beliebiger Dimension"
n polýs = viel + choros (Raum) / topos (Ort)n Ecken, Kanten, Flächenn à Facetten
n Beispiel: Hyperkubusn 16 Ecken, 32 Kantenn 24 Flächen, 8 Facetten (Würfel)
n Geometrisches Objektn Facetten sind Polyeder
n Regelmäßiges Polytopn Facetten sind regelmäßige Polyedern Ecken auf Hyperkugel à 3-Sphäre
R4 – PolychoraRd – Polytope
http://de.wikipedia.org/wiki/Polytop_(Geometrie)http://en.wikipedia.org/wiki/Polychoron
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 7 / 53
n Geometrien Geradlinigkeit
n Punkte, Geraden, Ebenen, Hyperebenenn Regelmäßigkeit ("Platonisch")
n Gleiche Abstände, gleiche Winkeln Eckpunkte auf Sphären
n Kombinatorikn Gleiche Eckenfiguren, Gleiche Facettenn Anzahlen Ecken, Kanten, …
n Topologien Sphäre – Man kann jede Schnur zusammenziehenn Orientierbar – innen & außenn Geschlecht / Charakteristik – Löcher / Henkel
Geometrie und mehrØWieviele Regelmäßige existieren ?
ØWelche Zusammenhänge gibt es ?
ØWelche Typen gibt es?
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n Für alle n>2 à unendliche Anzahl!
n Zentriwinkel
n Innenwinkel an Ecken
n Summe Innenwinkel
Regelmäßige Polygone
°•−=∑ 180)2(niβ2
180180)2( ii n
n αβ
−°=°•
−=
60°90°
108°120° …
β β β β
900°
128,6°
7
540°
108°
5
720°
120°
6
360°180°Σβi
90°60°β
…43n
ni°
=360
α
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 9 / 53
n Es gibt genau 5 Platonische Körper!n Tetraeder 4 Flächenn Hexaeder (Würfel) 6 Flächenn Oktaeder 8 Flächenn Dodekaeder 12 Flächenn Ikosaeder 20 Flächen
Regelmäßige Polyeder
http://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_Körper
24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 10 / 53
Geometrischer Beweis In Welche regelmäßigen n-Ecke zusammenfügen?n Ecken müssen konvex sein à Winkelsumme < 360°n 3 Dreiecke 4 Dreiecke 5
60°
60°
60° 60°
60°
60°
60°
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 11 / 53
n Dreiecke: n 3* 60° = 180°, 4*60° = 240°, 5*60° = 300°
n Quadrate: n 3* 90° = 270°
n Fünfecke: n 3*108° = 324°
n Sechsecke:n 3*180° = 360° !!!
n Es gibt genau 5 regelmäßige Polyeder!!!
Geometrischer Beweis II
120°
120°
120°
90°
90° 90°
108°
108°
108°
24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 12 / 53
n Genau 6 regelmäßige Polychora im R4!n Gleiche Beweisidee:
n Zusammenfügen von Platonischen Körpernn Projektion entlang einer Kante
Regelmäßige Polychora I
90° 90°
90°
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 13 / 53
n Polychora – Bausteinn 5-Zell (4-Simplex) – Tetraedern 8-Zell (4-Kubus) – Hexaeder n 16-Zell – Tetraedern 24-Zell – Oktaedern 120-Zell – Dodekaedern 600-Zell – Tetraeder
Regelmäßige Polychora II
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_regular_polytopes
24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 14 / 53
Schlegeldiagramme In Victor Schlegel (1843-1905)
n "Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, 1883"
n "Ueber Projectionsmodelleder regelmässigenvier-dimensionalen Körper, 1886"
n Zentralprojektion der Eckpunkte in Bildebenen Perspektives Bild eines Polyedersn Seitenfläche als Bildebenen Äußerer Punkt, nahe Seitenmitte als Augenpunktn Also der Schatten eines Drahtmodells!
http://de.wikipedia.org/wiki/Schlegeldiagramm
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 15 / 53
Schlegeldiagramme IIn Studium kombinatorischer
Eigenschaftenn Beweis der Eulerschen
Polyederformeln Konstruktion neuer Polyedern Erweiterung ins 4-Dimensionale
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Regelmäßige Polychora IIIa
4-Simplex
4-Kubus
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Regelmäßige Polychora IIIb
16-Zell
24-Zell
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Regelmäßige Polychora IIIc
120-Zell
600-Zell
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 19 / 53
n Im Rd (d>4) existieren genau 3 regelmäßige Polytope!n Simplexn (Hyper)Kubusn Orthoplex
Regelmäßige Polytope
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n Wir zählen: Punkte, Kanten, …
n Vermutung: E-K+F = const ?
Genug Geometrie !!!
2012864F
22222
E-K+FKEPolyeder
3012Ikosaeder3020Dodekaeder126Oktaeder128Hexaeder64Tetraeder
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 21 / 53
Eulersche Polyederformeln Deutsch:
n E = Ecken, K = Kanten, F = Flächenà E – K + F = 2
n Englisch:n v = vertices, e = edges, f = facesà v – e + f = 2
n Verallgemeinerte Schreibweise: n f0 = Ecken, f1 = Kanten, f2 = Flächenà f0 - f1 + f2 = 2
n (f0 , f1 , f2 ) heißt f-Vektor
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Beweis Ia– Triangulierung mit Diagonalenn Quadrat E-K+F = 2 à (E+0)-(K+1)+(F+1) = 2
n Fünfeck E-K+F = 2 à (E+0)-(K+2)+(F+2) = 2
n Sechseck E-K+F = 2 à (E+0)-(K+3)+(F+3) = 2
n …
n Es kommen immer genauso viele neue Flächen wie neue Kanten hinzu!!! …
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 23 / 53
Beweis Ib– Triangulierung durch SpitzennQuadrat E-K+F = 2 à (E+1)-(K+4)+(F+4-1) = 2nFünfeck E-K+F = 2 à (E+1)-(K+5)+(F+5-1) = 2 nSechseck E-K+F = 2 à (E+1)-(K+6)+(F+6-1) = 2n…
nKlappt auch!!!n (Alte Fläche verschwindet) …
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Beweis II– Rückführung auf Tetraeder n 1. Schritt: Triangulierung der Flächen
n E-K+F = 2 à (E+0)-(K+k)+(F+k) = 2
n 2. Schritt: Kanten zusammenziehenn E-K+F = 2 à (E-1)-(K-3)+(F-2) = 2
n Ende: Tetraeder !n 4-6+4=2 ! (voila!)
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 25 / 53
Satz von Steinitz I n Jeder planare Graph lässt sich durch gerade
Liniensegmente kreuzungsfrei in die Ebene zeichnen
n Planare 3-zusammenhängende Graphen sindKantengraphen von Polytopen im R3.
n Branko Grünbaum: "This theorem is the most important and deepest known result on 3-polytopes!"
http://en.wikipedia.org/wiki/Steinitz's_theoremhttp://en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz
24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 26 / 53
Satz von Steinitz IIn Jeder planare Graph lässt sich durch gerade
Liniensegmente kreuzungsfrei in die Ebene zeichnen.n Ein planarer Graphen ist ein Graph, der in der
Ebene überschneidungsfrei darstellbar ist.n Planare 3-zusammenhängende Graphen sind
Kantengraphen von Polytopen im R3.n Bei einem k-zusammenhängenden Graph können
k-1 Knoten entfernt werden und es ist immer noch gewährleistet, dass von jedem Knoten zu jedem anderen ein Weg existiert.
http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenhang_von_Graphen
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Einbettungn [Wiki] In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man
unter einer Einbettung eine Abbildung, die es ermöglicht, ein Objekt als Teil eines anderen aufzufassen.
n In der Topologie bezeichnet man eine Abbildung f zwischen zwei topologischen Räumen X und Y als Einbettung von X in Y, wenn f ein Homöomorphismus von X auf den Unterraum f(X) seines Bildes ist (in der Teilraumtopologie).
n Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.
n Eine Homöomorphismus ist eine bijektive stetige Funktion, deren Umkehrfunktion ebenfalls stetig ist.
n Identifikation kombinatorisches Objekt geometrisches Objekt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Einbettung
24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 28 / 53
Einbettung in denSeitenverband
{1} {2} {3} {4}
{12} {13} {14} {23} {24} {34}
{123} {234}{134}{124}
{1234}
{∅}
1 2
3
4
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Algorithmen zum Einbettenn Wie kommt man von einem Graphen zu einem Polyeder?n Physikalisches Modell
n Ecken haben elektrische Ladungen (abstoßend)n Kanten haben Federkräfte (anziehend)n Iterative Suche nach Energieminimum
n "Umgekehrtes" Schlegeldiagrammn Auswahl eines Kreises als Basisfacetten Initialisierung aller verbleibenden Knoten im Ursprungn Berechnung der resultierenden Kräften Bewegung aller Knoten in Richtung der resultierenden Kräfte
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"Aufblasen" von Polyedern
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2-Mannigfaltigkeitenn Definition: Eine 2-Mannigfaltigkeit ist eine
geschlossene Fläche in der die Umgebung jedes Punktes lokal einem 2-dimensionalen Euklidischen Raum gleicht.
n Ohne Rand!
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Topologische Typenn Topologie – Deformationen ohne Zerschneidenn Verheftung topologischer Grundtypen:
n 2-Sphären Henkel (Torus, Brezel, …)n Projektive Ebene
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Euler-Charakteristik und Geschlechtn Kennzahl für geschlossene Flächen. n Topologisch gleiche Flächen haben dieselbe
Euler-Charakteristik n à ganzzahlige topologische Invariante.
n Übliche Bezeichnung χ (Chi).n Erweiterte Euler-Formel:
n χ = E − K + F n Orientierbare Flächen haben Geschlecht g (Genus)
n Poincaré-Formel:n E − K + F = χ = 2 − 2g.
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Erste Beispielen χ = 2 g=0 ð 2-Sphären χ = 1 ð Projektive Ebenen χ = 0 g=1 ð 2-Torus / Kleinsche Flaschen χ = -1 ð ???n χ = -2 g=2 ð Doppeltorus
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 35 / 53
Verallgemeinerter Satz von Steinitzn Polyedrische Einbettbarkeit: Jedes
"Netz einer orientierbaren 2-Mannigfaltigkeit" lässt sich mit geraden Kanten und ebenen Flächen durchdringungsfrei im R3 einbetten.
n 2 Möglichkeiten:n Gegenbeispiel suchen
n "Extreme" Netzen Vollständigen Nachweis für alle Fälle führen.
n Bestimmung aller Netzen Nachweis der Einbettbarkeit
n Beschränken uns auf Triangulierungen
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"Extreme" 2-Mannigfaltigkeitenn Minimale Triangulierungen
n Kleinste Anzahl von Ecken bzw. Flächen für einen gegebenen topologischen Typ.
n Nachbarschaftliche Mannigfaltigkeitenn Ecken-nachbarschaftlich, jede Ecke ist mit jeder
Ecke durch eine Kante verbunden à Einbettungen des vollständigen Graphen Kn
n Flächen-nachbarschaftlich jede Fläche hat mit jeder anderen Fläche genau eine Kante gemeinsam à Duale Kn-Einbettungen
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 37 / 53
Das Császár-Polyedern 1949 Ákos Császár
(Ungarischer Mathematiker) n Heißt auch Möbius-Torus
K7
http://en.wikipedia.org/wiki/Császár_polyhedron
24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 38 / 53
Das Szilassi-Polyedern 1977 Lajos Szilassi
(Ungarischer Mathematiker)
n à Sechsfarbtheorem für den Torus !
http://en.wikipedia.org/wiki/Szilassi_polyhedron
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 39 / 53
Minimale Triangulierungen In Gesucht:
n Minimale Eckenzahl für g=2, 3, … oder χ=-3,-4, …
n Konstruktion aller Triangulierungen:n Eckenverdoppeln:
n Einfügen eines Punktes über/in einer Flächen Aufspalten eines Punktes mit Erzeugung zweier
zusätzlicher Dreiecke und drei neuer Kantenn Kantenschrumpfung: Zusammenfassung zweier
durch eine Kante verbundener Punkte.n Kombination der obigen Operationen à z.B.
"Kantendrehung"
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n Topologische 2-Mannigfaltigkeitmit einem Netz überziehen
n Triangulierung des Netzesn Kanten zusammenzufassen
n ACHTUNG: χ, g dürfen sich nicht ändern!n Überraschung:
Verschiedene minimale Triangulierungen:n 2-Sphäre χ = 2 1n Projektive Ebene χ = 1 2n 2-Torus χ = 0 21 !!!n NO1 χ = -1 ???n 2-Henkel χ = -2 ???n …
Minimale Triangulierungen II
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 41 / 53
Operationen auf Triangulierungen I
n Eckenverdopplung
n Kantenschrumpfung
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Operationen auf Triangulierungen IIn "Drehen" einer Kante Kombination
Eckenverdopplung + Kantenschrumpfung
n E – K + F = 2!
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 43 / 53
Minimale Triangulierungenn Konvexe Polyeder landen immer beim Tetraeder!
n 2-Torus hat 21 minimale Triangulierungen!n 1 mit 7 Punktenn 4 mit 8 Punktenn 15 mit 9 Punktenn 1 mit 10 Punkten
n Weitere Anzahlen und explizite Auflistungen minimaler Triangulierungen derzeit nicht bekannt.
24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 44 / 53
2-Torusn Kartesisches Produkt zweier Kreisen Verheften gegenüberliegener Rechteckseiten
http://de.wikipedia.org/wiki/Torus
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 45 / 53
Minimale Triangulierungen des 2-Torusn 21 minimale Triangulierungen des 2-Torus:
n 1 mit 7 Punktenn 4 mit 8 Punktenn 15 mit 9 Punktenn 1 mit 10 Punkten
9 Pkte
10 Pkte
8 Pkte
7 Pkte
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Wie bettet man 2-Tori ein?n Probieren, Erfahrungswerte, …
n "Aufblasen" von Tori geht schief!
n Einbettung in 3-Sphärenn Realisierung der 3-Sphärenn Realisierung von Orientierten Matroide
n Nachweis, dass alle 2-Tori in eine realisierbare 3-Sphäre einbettbar sind.n Nachweis, dass Eckenverdopplung auch in 3-
Sphäre klappt.
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Was ist eine 3-Sphäre?n 1-Sphäre = Rand der 2-Kugel
n Verheften 2 2-Kugeln entlang ihrer 1-Sphären
n 2-Sphäre = Rand der 3-Kugeln Verheften 2 3-Kugeln entlang ihrer 2-Sphären
n 3-Sphäre = Rand der 4-Kugeln Verheften 2 4-Kugeln entlang ihrer 3-Sphären
n …n Beispiele: Platonische Körper und ihre
höherdimensionalen Analogan Nutzen Triangulierungen davon
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Einbettung I – 2-Torus in S3
n Hyperkubusn Verheftung
von 3-Würfeln entlang ihrer Seitenflächen.
n Quadratisches Torusnetz
http://de.wikipedia.org/wiki/Tesserakt
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 49 / 53
Einbettung II– Hopffaserung der S3
n Zwei Volltori werden so miteinander verklebt, dass kein Rand bleibt. Da je zwei Quadrate miteinander verheftet werden, ist gewährleistet, dass das Ergebnis lokal zum R3 isomorph ist.
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Wie realisiert man eine S3 ?n Probieren, Erfahrungswerte, …n Experimente – "Aufblasen" reloaded
n Man beginnt mit dem Aufblasen einer Facetten Danach versucht man ein energieminimales
Diagramm zu erzeugen ...
n Einbettung in Orientierte Matroiden Realisierung der Orientierten Matroiden Pseudohypersphärenarrangements
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 51 / 53
Realisierung von 3-Sphären
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Resümeen Unser Weg führte uns von der Geometrie über die Symmetrie zur
Kombinatorik und von dort weiter zur Topologie.n Kombinatorische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten stehen in
Beziehung zu topologischen Eigenschaften.n Beginnt man nun mit einer Verallgemeinerung der
kombinatorischen Strukturen, dann kann man danach fragen ob wir unsere Schritte auch umkehren können.
n Wir haben Werkzeuge kennen gelernt, um einen erweiterten "Satz von Steinitz" für orientierbare polyedrische 2-Mannigfaltikeiten beantworten zu können.
n Aussagen und Werkzeuge spielen in der Mathematik und in der Computergrafik eine wichtige Rolle, reichen aber hinein in Konstruktionslehre und Chemie.
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24.11.2009 Strempel – Kombinatorische Mannigfaltigkeiten 53 / 53
[email protected] äude D21, Raum 321
Tel. 06151 / 16-8599
Vielen Dankfür Ihre
Aufmerksamkeit!!!
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Hyperlinks
n http://de.wikipedia.org
n http://en.wikipedia.org
n http://web.informatik.uni-bonn.de/I/GeomLab/CompGeomBasics.html