Ein neues Verfahren zur Absch�atzungeiner g�unstigen Abtastzeit mittels
Entropieanalyse
H� Reuter
Forschungsbericht Nr� �����
Me��� Steuer� und Regelungstechnik
�Ubersicht� In diesemForschungsbericht wird ein neues Verfahren vorgestellt� das mit Hil�
fe der Entropieanalyse eine gunstige Abtastzeit ermittelt� Der heuristische Begri g�unstig
bedeutet hierbei� da� die Abtastzeit klein genug ist� damit der Verlauf des abzutastenden
Signals genugend genau wiedergegeben wird� Nach einer kurzen Einleitung werden die
Kreuzentropiefunktion sowie die Bestimmung eines Signi�kanzgrenzwertes erlautert und
das Verfahren zur Bestimmung der Abtastzeit erklart� Anhand eines Simulationsbeispiels
erfolgt ein Vergleich mit vier anderen Methoden� Anschlie�end wird das Verfahren auf ein
inverses Pendel mit Fuzzy�Regelung� einen elektrohydraulischen Translationsantrieb� eine
industrielle pneumatische Forderanlage sowie ein Drehschwingersystem angewendet�
Gerhard�Mercator�Universitat �GH Duisburg
Me��� Steuer� und Regelungstechnik
Prof� Dr��Ing� H� Schwarz
INHALTSVERZEICHNIS I
Inhaltsverzeichnis
� Einleitung �
� Entropieanalyse �
�� Entropiefunktion � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Signi�kanzgrenzwert � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Schatzung der Abtastzeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� Weitere Anwendungsbeispiele ��
�� Elektrohydraulischer Translationsantrieb � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Industrielle pneumatische Forderanlage � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Drehschwinger � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� Zusammenfassung ��
� Literatur �
� Einleitung
� Einleitung
Um ein Systemverhalten erfolgreich beurteilen und beein�ussen zu konnen� mussen wich�
tige Merkmale seines dynamischen Verhaltens bekannt sein� Hiernach richtet sich auch
die Wahl der Abtastzeit bei der Messung an realen Systemen� Da zu Beginn eines Iden�
ti�kationsprozesses an einem unbekannten realen System wenig A�priori�Informationen
�Isermann ���� hieruber vorliegen� ist zum Erhalt weiterer A�priori�Informationen die
Verwendung von Verfahren sinnvoll� die moglichst geringe Voraussetzungen fur ihre An�
wendung benotigen� Der Preis hierfur besteht darin� da� der Informationsgewinn notwen�
digerweise kleiner ist als bei Verfahren� die nur unter wesentlich gro�eren Einschrankun�
gen arbeiten konnen� Liegen bereits viele Informationen vor und ist die Modellstruktur
bekannt� bieten sich fur die Identi�kation parametrische Verfahren an� Bei geringerem
Wissen ist dagegen die Anwendung von nichtparametrischen Verfahren sinnvoll�
Eines der ersten Probleme� die bei der Durchfuhrung einer Proze�identi�kation gelost
werden mussen� liegt in der Wahl einer gunstigen Abtastzeit� Optimal ware die Tastzeit
dann� wenn beim Abtastvorgang moglichst keine Informationen verloren gehen� sie also
moglichst klein gewahlt wurde� Der heuristische Begri g�unstig bedeutet hierbei� da� die
Abtastzeit klein genug ist� damit der Verlauf des abzutastenden Signals genugend genau
wiedergegeben wird�
Ein solches oben erwahntes nichtparametrisches Verfahren� das ohne gro�e Einschrankun�
gen verwendet werden kann� ist das der Entropieanalyse �Henning ���� Kutscha �����
Es ermoglicht die Bestimmung des Bereiches der statistischen Abhangigkeit von Ein� und
Ausgangssignal� Hiermit liegt ein Ma� fur die Proze�dynamik vor� woraus sich mit der in
diesem Forschungsbericht vorgestellten neuen Methode eine gunstige Abtastzeit bestim�
men la�t� Die Entropieanalyse besitzt die folgenden Eigenschaften �Kutscha �����
� Benotigt werden stationare Signale� wobei die Anforderungen an die Stationaritat
nicht sehr streng sind�
� Die Anzahl der Me�werte kann klein sein�
� Sie ist geeignet zur Analyse beliebiger nichtlinearer Systeme�
� Es werden keine skalierten Variablen vorausgesetzt� Somit konnen prinzipiell auch
Ereignisfolgen qualitativer Art untersucht werden�
� Der Rechenaufwand ist gering�
� Es treten keine numerischen Probleme auf�
� Das Verfahren verhalt sich robust gegenuber Storungs��Rauschanteilen in den ver�
wendeten Signalen�
� Einleitung �
� Gegenuber der Korrelationsanalyse �Isermann ���� erfolgt eine wesentlich deutli�
chere Signi�kanzaussage bei Prozessen
mit periodischen Signalanteilen sowie
mit mittleren bis gro�en Storungen und begrenzter Me�wertanzahl�
In Abschnitt � erfolgt eine Erlauterung der Grundlagen des Verfahrens und anhand eines
Simulationsbeispiels ein Vergleich mit anderen Verfahren �die hauptsachlich fur lineare
Modelle sinnvoll sind�� Au�erdem zeigt das Beispiel eines inversen Pendels mit Fuzzy�
Regelung� da� die Stationaritatsforderung sehr schwach ausgelegt werden kann� Das Ver�
fahren liefert auch im geschlossenen Regelkreis gute Ergebnisse� In Abschnitt � wird das
neue Verfahren auf drei weitere technische Beispiele angewendet �elektrohydraulischer
Translationsantrieb� industrielle pneumatische Forderanlage� Drehschwinger�� Eine Zu�
sammenfassung schlie�t diesen Bericht ab�
� Entropieanalyse �
� Entropieanalyse
Mit Hilfe der Entropieanalyse �Kutscha ���� Henning ���� kann man Ein� und Aus�
gangssignal eines Ubertragungssystems miteinander vergleichen und ein Ma� fur ihre ge�
genseitige Abhangigkeit �nden� Im folgenden werden nun die relevanten mathematischen
Grundlagen� die uberwiegend aus dem Bereich der Statistik stammen� sowie die Erweite�
rung dieses Grundkonzeptes auf die Entropiefunktion kurz erlautert� Naheres sowie Hin�
tergrunde �nden sich in �Kutscha �����
��� Entropiefunktion
Die Entropie oder mittlere Information ist fur einen vollstandigen� disjunkten Raum U
�d�h� kein Element von U steht mit einem anderen in Verbindung� von q diskreten Ereig�
nissen ui mit den Wahrscheinlichkeiten p�ui� als
H�U� � �qX
i��
p�ui� log��p�ui�� ��� �
de�niert �Shannon ���� Krau� und Woschni ����� Aus zwei vollstandigen� disjunkten
Ereignisraumen U und Y la�t sich nun ein Verbundereignisraum �U� Y � bilden� der alle
moglichen Kombinationen der Einzelereignisse ui und yj enthalt� Die fur die Verbunden�
tropie
H�U� Y � � �qX
i��
rXj��
p�ui� yj� log��p�ui� yj�� �����
benotigten Verbundwahrscheinlichkeiten lassen sich in der sogenannten Kreuzkontingenz�
matrix
PUY �
����p�u�� y�� � � � p�uq� y��
������
p�u�� yr� � � � p�uq� yr�
���� � �����
einer zweidimensionalen Wertetabelle zur Aufnahme der Verbundwahrscheinlichkeiten�
darstellen� Die Summe der beiden Einzelentropien stellt eine obere Schranke fur die Ver�
bundentropie
H�U� Y � � H�U� �H�Y � �����
dar� Die Abweichung von dieser Obergrenze als Ma� der Abhangigkeit zwischen U und
Y � die sogenannte Transinformation oder Kreuzentropie
HUY � H�U� �H�Y ��H�U� Y � � �����
wird nur fur unabhangige Ereignisraume zu Null� ansonsten ist sie positiv�
� Entropieanalyse �
Allgemein betrachtet stellt die Kreuzentropie also ein statistisches Abhangigkeitsma� dar�
dessen Anwendung� wie in Abschnitt erwahnt� nur geringe Voraussetzungen erfordert�
Die beiden Ereignisraume mussen lediglich vollstandig und disjunkt sein� und die Wahr�
scheinlichkeiten sollen unabhangig von der Zeit sein� wahrend die Ereignisraume nicht
geordnet sein mussen�
Bei der Berechnung der Entropie werden lediglich die Wahrscheinlichkeiten der Einzeler�
eignisse berucksichtigt� nicht jedoch� welches Ereignis zu welchem Zeitpunkt statt�ndet�
Zur Erfassung dynamischer Vorgange kann man das von der Korrelationsfunktion her
bekannte Verschiebungsprinzip �Schlitt und Dittrich ���� Schwarz �� � mit der diskre�
ten Verschiebung � auf die Entropie ubertragen� wobei � ein ganzzahliges Vielfaches der
Abtastzeit Ta darstellt� Dies fuhrt auf die verschiebungsabhangige Kreuzentropiefunktion
HUY ��� � H�U� �H�Y ��H�U� Y� �� �����
mit der verschiebungsabhangigen Verbundentropie
H�U� Y� �� � �qX
i��
rXj��
p�ui� yj�� log��p�ui� yj��� � �����
Wird ein Proze� U� fur beliebige Verschiebungen � mit sich selbst verglichen� so erhalt
man analog zur Autokorrelationsfunktion die Autoentropiefunktion
HUU ��� � �H�U� �H�U�U� �� � �����
Die Autoentropiefunktion ist also ein Ma� fur die innere statistische Abhangigkeit eines
Ereignisprozesses� Folglich ist sie fur wei�es Rauschen nur an der Stelle � � � signi�kant
von Null verschieden und zur Koharenzkorrektur �Abschnitt ���� geeignet�
Zur Anwendung der Entropieanalyse gehort unmittelbar die Ermittlung der benotigten
Wahrscheinlichkeiten p�ui� und p�yj� sowie der Verbundwahrscheinlichkeiten p�ui� yj��
Nach Kutscha � ���� la�t sich die Entropie auch als der Informationsgewinn interpre�
tieren� den man aus der Betrachtung eines beliebigen Vorganges im Mittel erwarten
kann� Die Information eines Einzelereignisses ist dabei als�Uberraschungsgrad� I�ui� �
� log��p�ui�� de�niert� Die Entropie stellt dann den �
Erwartungswert der Uberraschungs�
grade� dar� wobei die Uberraschung eines Beobachters hauptsachlich davon abhangt� was
er subjektiv fur wahrscheinlich halt�
Die einfachste und hau�g angewandte Form der Ermittlung von Schatzwerten �p der Wahr�
scheinlichkeiten basiert auf der Ermittlung der Hau�gkeiten ni � n�ui� der Ereignisse uieiner Beobachtungsreihe der Lange N � Hierbei stellt
�p�ui� �niN
�����
den Schatzwert der Wahrscheinlichkeit dar� Die Ereignisse werden dabei lediglich gezahlt
und nicht etwa gewichtet� Informationen erlangt man so nur aus den in der Vergangenheit
� Entropieanalyse �
festgestellten Hau�gkeiten�
Bei diesem Verfahren werden die relativen Hau�gkeiten verwendet� da ihre Anwendung zu
einem verhaltnisma�ig einfachen Algorithmus fuhrt und au�erdem statistische Abschatzun�
gen ermoglicht� So erhalt man mit Gl� ����� aus Gl� ��� � den Schatzwert der Entropie
�H�U� � �
N
qXi��
log�
��niN
�ni�
� ��� ��
Mit den Hau�gkeiten nij der Verbundereignisse gilt analog
�H�U� Y � � �
N
qXi��
rXj��
log�
��nijN
�nij�
��� �
als Schatzwert fur die Verbundentropie� Die Kreuzentropie nimmt allerdings im Falle der
Verwendung relativer Hau�gkeiten bei den verwendeten endlichen Stichproben auch fur
voneinander unabhangige Ereignisraume Werte gro�er Null an�
Nach der Beschreibung des Vorgehens zur Ermittlung der Ereigniswahrscheinlichkeiten
folgt nun die Uberlegung� auf welchen Ereignisraum und welche Ereignisse sich diese
Wahrscheinlichkeiten uberhaupt beziehen sollen� Aufgrund der Komplexitat und auftre�
tender Probleme �Kutscha ���� Wagner ���� bei der Verwendung kontinuierlicher Ereig�
nisraume wird nun der Ubergang zu einem diskreten Ereignisraum durch Quantisierung
vollzogen� Die kontinuierlichen Ereignisse werden also in diskrete Klassen eingeordnet�
Zunachst mu� der zu diskretisierende Amplitudenbereich uber eine Betrachtung des Wer�
tevorrats des jeweiligen Ereignisraumes geschatzt werden� Dann mussen Anzahl und Breite
der Quantisierungsklassen festgelegt werden�
Eine Moglichkeit� um den Ein�u� statistischer Ausrei�er und der Stichprobenlange so�
wie anderer Fehlerquellen zu minimieren� besteht in der Nutzung der Tschebyschewschen
Ungleichung �Fisz �� � Bronstein und Semendjajew ����
P �jX � E�X�j � b �� �
b�� ��� ��
Sie besagt� da� unabhangig von der Verteilung die Wahrscheinlichkeit fur eine Abwei�
chung einer Zufallsvariablen X von ihrem Erwartungswert E�X� um mehr als das b�fache
der Standardabweichung � kleiner als �b� ist� Soll ein bestimmter Teilbereich an Wer�
ten vom Diskretisierungsbereich abgedeckt werden� so kann man mit Gl� ��� �� das dafur
hochstens benotigte Intervall als Vielfaches von � ermitteln� Kutscha � ���� schlagt fur
den Diskretisierungsbereich das Intervall ���� � ��� vor� womit mindestens ����� des Be�
reiches berucksichtigt werden�
Nun erfolgrt die Bestimmung der Anzahl der Diskretisierungsklassen� Falls fur die Dimen�
sionen q und r der beiden Ereignisraume mit der Stichprobenlange N
q r �N
���� ��
� Entropieanalyse �
gilt� so lassen sich die statistischen Eigenschaften der Kreuzentropie sehr gut mit Hilfe
der ���Verteilung annahern� Fur den Normalfall q � r folgt daraus
qmax �
sN
���� ��
als Obergrenze fur die Anzahl der Klassen� Uberschreitet man diese wesentlich� so ist i�
allg� die Kreuzkontingenzmatrix zu schwach besetzt� Die Klassenzahl darf jedoch auch
einen Mindestwert nicht unterschreiten� da sonst die Signalstruktur zu sehr verschwindet�
Kutscha � ���� gibt nach ausfuhrlichen quantitativen Untersuchungen hierfur
qmin � � ��� ��
an� Fur die Wahl der Klassenzahl bei der Kreuzentropieberechnung bietet sich
� � q �
sN
�� q � r ��� ��
als Bereich an� Bei der Erhohung der Klassenzahl steigt die Zahl der unbesetzten Platze in
der Kreuzkontingenzmatrix stark an� Dies beeintrachtigt die Gultigkeit der ���Naherung
und fuhrt somit wiederum zu einer Verfalschung des Ergebnisses�
Alle Diskretisierungsklassen besitzen die gleiche Breite� so da� sich diese direkt aus der
vorangegangenen Bestimmung der Bereichsbreite und der gewahlten Klassenzahl ergibt�
Mit Hilfe eines einfachen Sortierverfahrens lassen sich dann die Hau�gkeiten der einzelnen
Klassen� d�h� deren�Fullung�� ermitteln�
��� Signi�kanzgrenzwert
Bevor die Kreuzentropiefunktion zur Analyse unbekannter Systeme eingesetzt wird� mussen
zunachst ihre statistischen Eigenschaften naher untersucht werden� Erst dann lassen sich
gemessene Entropiewerte auf ihre statistische Signi�kanz hin bewerten oder Aussagen
uber das Ma� der Abhangigkeit der untersuchten Ereignisraume machen�
Der durch Gl� ��� �� de�nierte Schatzwert der Entropie �H�U� stellt eine nicht erwartungs�
treue Schatzfunktion der Entropie H�U� dar� Der Schatzfehler von �H�U� la�t sich dabei
nach Miller � ���� in erster Naherung durch
H�U� � E� �H�U�� �q �
�N ln���� ��� ��
der der Kreuzentropie durch
HUY �E� �HUY � ��q � � �r � �
�N ln������ ��
� Entropieanalyse �
abschatzen� Dabei hangt der Schatzwert der Entropie von der Lange N der Stichprobe�
der Dimension der Ereignisraume U und Y bzw� der Anzahl der Diskretisierungsklassen�
q und r� sowie der�Fullung� der Ereignisklassen bzw� der Zahl der besetzten Platze in
der Kreuzkontingenzmatrix ab�
Die Kreuzentropie steht mit der sogenannten Informationsstatistik
��I � �N ln��� �HUY ��� ��
�Kullback ���� in Verbindung� Dabei folgt die Gro�e ��I asymptotisch einer ���Verteilung
mit �q � � �r � � Freiheitsgraden� Die Kenntnis der asymptotischen Verteilungseigen�
schaften ermoglicht nun die benotigte Signi�kanzbeurteilung� Eine besondere Bedeutung
besitzt dabei der Vergleich der ����Perzentile� wobei fur ein � � �� � ���Perzentil der
Entropie �� � Irrtumswahrscheinlichkeit� nach Gl� ��� ��
H��� ���
�
�N ln���������
gilt� Ein Signi�kanzgrenzwert H���� ermoglicht also die Aussage� da� fur alle ermittelten
Entropiewerte �H � H���� mit ����iger Wahrscheinlichkeit eine signi�kante Abhangigkeit
der Signale voneinander vorliegt�
Bisher wurde vorausgesetzt� da� die Stichprobenwerte eines Signals statistisch vonein�
ander unabhangig sind� In der System� und Signalanalyse dagegen stehen die Stichpro�
benwerte als Ereignisse eines Prozesses in einer bestimmten zeitlichen Reihenfolge und
sind somit i� allg� statistisch abhangig� Diese innere statistische Abhangigkeit wird als
Koharenz bezeichnet �Schlitt ����� Die Koharenz beein�u�t wesentlich die statistischen
Eigenschaften der Kreuzentropie� Als Ma� fur die Koharenz eines Prozesses kann unmit�
telbar die Autoentropiefunktion dienen� da sie die innere statistische Abhangigkeit eines
Prozesses in Abhangigkeit von der Verschiebung angibt� Die Autoentropiefunktion besitzt
stets an der Stelle � � � ihren Maximalwert� jedoch treten bei koharenten Signalen auch
fur � �� � signi�kant von Null verschiedene Werte in Abhangigkeit von der Koharenz
des Prozesses auf� Diese Eigenschaft wird fur eine Koharenzkorrektur ausgenutzt� Auf die
Auswirkungen der Koharenz auf die Entropie soll hier nicht eingegangen werden� naheres
dazu �ndet sich bei Kutscha � ���� und Wagner � �����
Zur Koharenzkorrektur werden die Entropiewerte weiterhin mit den unveranderten Hau�g�
keiten berechnet und die Signi�kanzgrenzenH��� koharenzabhangig korrigiert� Die Koharenz
eines Prozesses und damit der gesuchte Korrekturterm lassen sich durch das Maximum
der Autoentropiefunktion fur Verschiebungen � �� � charakterisieren� So erhalt man den
sogenannten Koharenzfaktor
U �max����HUU����
HUU ���� ���� �
� Entropieanalyse �
welcher zwischen Null fur wei�es Rauschen und Eins fur einen vollstandig determinierten
Vorgang liegt� Bei unterschiedlich koharenten Prozessen werden die Auswirkungen auf
die Entropie im wesentlichen vom geringer koharenten Proze� bestimmt� so da� sich der
Koharenzfaktor zweier Prozesse zu
UY � min�U � Y � ������
ergibt� Fur den Erwartungswert zweier koharenter Prozesse gilt die Ungleichung
E� �HUY�koh�arent� �
�E� �HUY�nicht koh�arent
� �
�
�q � � �r � �
�N ln���������
mit der durch
� � UY ������
festgelegten Konstanten fur die Koharenzkorrektur� Somit gilt fur den koharenzkorrigier�
ten Signi�kanzgrenzwert
H��� �
� � UY ����
�
�N ln���� ������
��� Sch�atzung der Abtastzeit
Eines der ersten Probleme� die bei der Durchfuhrung einer Proze�identi�kation gelost
werden mussen� liegt in der Wahl einer gunstigen Abtastzeit� Optimal ware die Tast�
zeit dann� wenn beim Abtastvorgang ein moglichst geringer Informationsverlust eintritt�
sie also moglichst klein gewahlt wurde� In diesem Fall unterscheiden sich die Me�signa�
le jedoch nur minimal voneinander� was bei Parameterschatzverfahren zu numerischen
Problemen fuhrt �Isermann ���� Unbehauen ���� Wernstedt ����� Au�erdem la�t sich
gerade bei dynamisch schnellen Systemen die Abtastzeit aus �nanziellen und�oder tech�
nischen Grunden nicht beliebig verkleinern und sollte nur so klein wie notwendig gewahlt
werden� In der Literatur vorgeschlagen werden u�a� folgende Bereiche fur die Abtastzeit�
wobei in der Regel lineare Modelle identi�ziert werden sollen�
Ta � � � � � ��� T�� Isermann � ����� digitale Regler ������
Ta � � � � � ��� T�� Unbehauen � ���� ������
Ta � ��� � � ����� T�� Wernstedt � ����� Dierenzengl��Modell ������
Hierbei bezeichnet T�� bzw� T�� die Zeit� bei der eine Sprungantwort des Systems ��� bzw�
��� ihres Endwertes erreicht� Dies setzt voraus� da� die Sprungantwort bekannt ist� sei
es durch Messung oder durch Voridenti�kation eines einfachen linearen Modells� Nun la�t
sich eine Sprungantwort oft� z�B� in der Natur oder bei okonomischen Prozessen� nicht
oder nur sehr schwer aufnehmen� Weiter gilt das lineare Modell nur in der Umgebung
eines Arbeitspunktes� Mindel � ���� benotigt fur sein Verfahren zur Bestimmung einer
� Entropieanalyse �
optimalen Abtastzeit Kennwerte aus dem Amplitudengang� die er aus einem voridenti�
�zierten einfachen Modell bestimmt� Dies wurde bei der Berucksichtigung nichtlinearen
Systemverhaltens wegen der Abhangigkeit von der Eingangssignalamplitude zu diesem
Zeitpunkt der Voridenti�kation einen ungerechtfertigt hohen Aufwand bedeuten�
Die Kreuzentropiefunktion zweier Signale besitzt ihr Maximum an der Stelle mit der
gro�ten Ubereinstimmung zwischen beiden� Dies ist fur den Fall� da� das Eingangssig�
nal einen Sprung und das Ausgangssignal die Sprungantwort darstellt� die Stelle mit der
gro�ten Steigung der Sprungantwort� Somit bietet sich der Ort dieses Maximums anstelle
von T�� bzw� T�� zur Heranziehung fur ein Kriterium zur Bestimmung einer Abtastzeit
an� Gerade dann� wenn zu Beginn eines Identi�kationsprozesses nur sehr wenig A�priori�
Informationen vorliegen� ist die Anwendung von einfach zu handhabenden Verfahren sinn�
voll� So kann eine Abschatzung der Abtastzeit mit der Entropieanalyse aufgrund der we�
nigen hierfur zu erfullenden Voraussetzungen und ihrer Vorteile �geringe Me�wertanzahl�
beliebige naherungsweise stationare Signale� hoher Rauschanteil moglich� einen erhebli�
chen Informationsgewinn darstellen�
Das Maximum der berechneten Kreuzentropiefunktion HUY ��� gehore zur Verschiebung
TH � �Ta� Als Richtlinie fur eine gunstige Abtastzeit� die das dynamische Verhalten auch
nichtlinearer Systeme ausreichend gut beschreibt� wird aufgrund von Erfahrungswerten
Ta � � � � � � �� TH ������
vorgeschlagen� bei nicht so hohen Genauigkeitsanforderungen kann auch
Ta ��TH ������
gewahlt werden�
Mindel � ���� fuhrt mit seinem und den drei anderen oben erwahnten Verfahren am
Beispiel eines linearen Modells mit der Ubertragungsfunktion
F �s� � ����s� ��
�s� �� �s� � �s � �������� �
einen Vergleich durch� Bei Anwendung der Entropieanalyse auf ein Eingangssignal mit
der Taktzeit Tk � � s �die Zeit� zu der das Eingangssignal mindestens konstant gehalten
wird� und die zugehorige Modellantwort ergibt sich mit einer vorlau�gen Abtastzeit von
Ta � s sowie q � r � � mit ��� Me�werten die in Bild �� gezeigte Kreuzentropiefunk�
tion mit ihrem Maximum bei TH � � s� Mit Gl� ������ liegt die gunstige Abtastzeit im
Bereich Ta � ����� s � ��� s�� Die Gegenuberstellung �Tabelle �� � zeigt� da� auch die von
Mindel � ���� berechnete Abtastzeit aus diesem Bereich stammt�
� Entropieanalyse �
Bild ���� Ergebnis der Kreuzentropieanalyse fur Modell ���� �
Verfahren Abtastzeit �s�
Isermann � ���� ����� � ����
Unbehauen � ���� ����� � �����
Wernstedt � ���� ����� � � ��
Mindel � ���� ����
Gl� ������ ����� � �����
Tabelle ���� Vergleich der Abtastzeiten
Die Vorteile der Entropieanalyse gegenuber den anderen vier Verfahren zeigen sich am
nachsten praktischen Beispiel� einem mit einer Fuzzy�Kaskadenregelung mit Reibkraft�
kompensator geregelten inversen Pendel �Bertram und Svaricek ���� ����� Als Storung
wurde das Pendel zusatzlich leicht angesto�en� Die Abtastzeit lag aufgrund au�erer Umstande
bei Ta � �� ms und konnte nicht beliebig verandert werden� Das obere Teilbild ��� zeigt
die Stellgro�e �Spannung� des Fuzzy�Reglers� das untere den gemessenen Pendelwinkel�
Das Ergebnis der Entropieanalyse ist in Bild ��� zu sehen� Dabei liegt das Maximum
der Kreuzentropiefunktion im Bereich � � bis �� so da� sich fur TH ��� bis ��� ms
und fur den Bereich der gunstigen Abtastzeit gema� Gl� ������ Ta � � � ms � �� ms� ergibt�
� Entropieanalyse
Bild ���� Ein� und Ausgangssignal des fuzzygeregelten inversen Pendels
Bild ���� Ergebnis der Kreuzentropieanalyse fur das inverse Pendel
� Weitere Anwendungsbeispiele �
� Weitere Anwendungsbeispiele
��� Elektrohydraulischer Translationsantrieb
Bild ���� Ein� und Ausgangssignal des elektrohydraulischen Antriebes �Ta � � ms�
Bild ���� Ergebnis der Kreuzentropieanalyse fur den elektrohydraulischen Translations�
antrieb �Ta � � ms�
Angewendet wird nun das Verfahren zur Bestimmung einer gunstigen Abtastzeit mittels
Entropieanalyse auf Eingangssignal �Spannung� und Ausgangssignal �Geschwindigkeit�
erhalten durch Dierenzenbildung der gemessenen Positionswerte� am Beispiel eines elek�
trohydraulischen Translationsantriebes �Kockemann ���� Dori�en ���� Reuter �����
� Weitere Anwendungsbeispiele �
Die Taktzeit wurde auf Tk � �� ms festgesetzt� Wahlt man in Unkenntnis der genaue�
ren Systemdynamik die Tastzeit anfangs zu Ta � � ms� so ergibt sich mit einem trep�
penformigen Spannungsverlauf �Bild �� �� ��� Me�werten sowie q � r � � der in Bild ���
gezeigte Verlauf der Kreuzentropie mit seinem Maximum bei � � bzw� TH � � ms� Der
koharenzkorrigierte Signi�kanzgrenzwert H���� liegt hier relativ hoch� da das Eingangs�
signal zum einen eine starke Koharenz besitzt und zum anderen nur eine relativ kleine
Anzahl von Me�werten vorliegt� Somit ergibt sich gema� Gl� ������ ein Bereich fur eine
gunstige Abtastzeit zu Ta � ����� ms � ms��
Bild ���� Ein� und Ausgangssignal des elektrohydraulischen Antriebes �Ta � ms�
Wird jetzt eine andere Eingangssignalfolge �Taktzeit ebenfalls Tk � �� ms� ��� Me��
werte� Bild ���� mit dem zugehorigen Geschwindigkeitsverlauf sowie Ta � ms ausge�
wertet� liegt H���� deutlich niedriger �Bild ����� Hier besitzt die Kreuzentropiefunktion
HUY ihr Maximum bei � � � bzw� TH � � ms� so da� die Abtastzeit aus dem Bereich
Ta � ����� ms � �� ms� gewahlt werden sollte�
� Weitere Anwendungsbeispiele �
Bild ���� Ergebnis der Kreuzentropieanalyse fur den elektrohydraulischen Translations�
antrieb �Ta � ms�
� Weitere Anwendungsbeispiele �
��� Industrielle pneumatische F�orderanlage
Das neu entwickelte Verfahren zur Abschatzung einer gunstigen Abtastzeit mittels En�
tropieanalyse wird hier angewendet auf Ein� und Ausgangssignal� einer pneumatischen
Forderanlage� die ein Teilsystems einer in Betrieb be�ndlichen komplexen Industrieanlage
darstellt�
Bild ���� Stellsignal �zum Onen und Schlie�en der zur Einstellung des Massenstroms
eingesetzten Reguliereinheit� gesamter Arbeitsbereich� Ta � ��� ms�
Bild ���� Verwendetes Ausgangssignal y �gemessener Massenstrom� Ta � ��� ms�
Bild �� � Verwendetes Eingangssignal u �Stromanderung� Ta � ��� ms�
Als Me�signale stehen die Stellgro�e �mit der die Reguliereinheit angesteuert wird� sie�
he Bild ���� das real gemessene Stellsignal unterscheidet sich infolge eines vorhandenen
internen Regelkreises nur geringfugig hiervon� sowie der gemessene Massenstrom �Bild
���� zur Verfugung� Da die Entropieanalyse annahernd stationares Signalverhalten vor�
aussetzt� das Stellsignal jedoch trapezformigen Verlauf besitzt� wird als Eingangssignal
�Ich m�ochte mich an dieser Stelle sehr herzlich bei meinem Kollegen Herrn Dipl��Ing� A� Kroll bedan�
ken� der mir freundlicherweise die Me�werte zur Verf�ugung stellte�
� Weitere Anwendungsbeispiele �
u die aus dem Stromsignal durch Dierenzenbildung erhaltene Stromanderung �Bild ����
verwendet� Ausgangssignal y bleibt der Massenstrom�
Bild ���� Ergebnis der Kreuzentropieanalyse fur die pneumatische Forderanlage �Ta �
��� ms�
Da anfangs keine Informationen uber das dynamische Verhalten der Anlage vorlagen�
wurde die Abtastzeit vorsichtshalber relativ klein zu Ta � �� ms gewahlt� Bei der En�
tropieanalyse wurde jedoch� um die Anzahl der verwendeten Me�werte zu verringern� nur
jeder funfte Me�wert berucksichtigt� So ergibt sich de facto eine Abtastzeit von Ta � ���
ms� Somit standen N � �� Me�werte zur Verfugung� Mit q � � Klassen fur die Ein�
gangsgro�e und r � � fur die Ausgangsgro�e ergibt sich der in Bild ��� dargestellte
Verlauf der Kreuzentropiefunktion� Das Maximum liegt hier bei einer diskreten Zeitver�
schiebung � � �� bzw� bei TH � ��� s� Der Maximalwert unterscheidet sich jedoch nur
geringfugig von den umliegenden Werten� so da� sich ein plateauahnlicher Bereich fur
� � ��� � ��� bzw� TH � ���� s � ��� s� ergibt� Somit erhalt man einen Abtastzeitbereich
von Ta � ���� s � ��� s� fur das Maximum und Ta � ����� s � ��� s� fur den gesamten
Plateaubereich�
Betrachtet man jedoch die Signalverlaufe von u und y genauer� so fallt eine Totzeit von
� � bzw� Tt ��� s auf� Wurde die Totzeit zusatzlich berucksichtigt� so lage der Pla�
teaubereich bei � � ��� � ��� bzw� TH � �� s � � s� und als gunstige Abtastzeit� die den
Signalverlauf in der Regel sehr gut beschreibt� ergabe sich Ta � ����� s � �� s��
� Weitere Anwendungsbeispiele �
��� Drehschwinger
Bild ���� Drehschwingersystem �Prinzipskizze�
Das physikalische SystemDrehschwinger �Bild ���� Hovestadt ���� besteht aus zwei rotie�
renden Massen� die durch eine elastisch weiche Feder mit stark nichtlinearer Kennlinie ver�
bunden sind� Zudem treten signi�kante Reibungseekte zwischen Feder und Federfuhrung
sowie in den Lagern auf� Die Masse der Antriebsseite wird durch einen Elektromotor uber
ein Getriebe mit Lose angetrieben� an der Abtriebsseite wird die Winkelposition gemessen�
Bild ���� Verwendete Ein��Ausgangssignale am Drehschwinger
Wie auch bei fruheren Untersuchungen mit einem Zustandsregler �Konik und Sowa ����
und einer Fuzzy�Regelung �Bertram ���� wurde mit einer Abtastzeit von Ta � �� ms
gearbeitet� Die Taktzeit des Eingangssignals u �Stellgro�e� betrug Tk � �� s� Ausgangs�
signal y bei der Entropieanalyse war die Drehzahl �Bild �� ��� Mit q � r � � Diskre�
tisierungsklassen ergab sich der in Bild �� gezeigte Verlauf der Kreuzentropiefunktion
mit dem Maximum bei � � � bzw� TH � ���� s� Somit gilt fur die ermittelte gunstige
Abtastzeit Ta � ��� ms � �� ms��
� Weitere Anwendungsbeispiele �
Bild ����� Ergebnis der Kreuzentropieanalyse fur den Drehschwinger
� Zusammenfassung �
� Zusammenfassung
Zur Beschreibung der Zusammenhange bei naturlichen und technischen Prozessen wird
oft ein Modell des Ein��Ausgangsverhaltens fur die Simulation und�oder Reglerauslegung
benotigt� Dies kann man zum einen durch eine theoretische Modellbildung erhalten� indem
man die bekannten physikalischen und alle anderen Zusammenhange zu einemModell des
Prozesses zusammenfa�t� Sind aber die Zusammenhange oder der Aufbau des Prozesses
zu komplex oder sind nicht alle zur Beschreibung notwendigen Eekte bekannt� kann
hiermit oft kein ausreichend genaues Modell gefunden werden� Eine andere Moglichkeit
ist die der experimentellen Modellbildung� der sogenannten Identi�kation� bei der das zu
untersuchende System als �black box� angesehen wird� Aus den bekannten Ein� und Aus�
gangssignalen berechnet man ein mathematisches Modell� das das Ubertragungsverhalten
charakterisieren soll� Hierbei ist zur Beschreibung eines gro�eren Arbeitsbereiches in der
Regel ein nichtlineares Modell notwendig�
Der eigentliche Identi�kationsproze� besteht aus der Phase der Voridenti�kation� in der die
notwendigen A�priori�Informationen �Isermann ���� wie z�B� Abtastzeit� Storungsein�u�
und Modellstruktur ermittelt werden mussen� und aus der eigentlichen Identi�kation� bei
der die Modellparameter geschatzt werden�
Als einer der ersten Schritte bei der Voridenti�kation mu� eine gunstige Abtastzeit so be�
stimmt werden� da� das dynamische Systemverhalten genugend gut wiedergegeben wird�
Dazu sollte moglichst wenig zusatzlicher Aufwand notig sein� Existierende Verfahren zur
Abtastzeitermittlung wurden in der Regel an linearen Modellen erprobt und erfordern zur
Anwendung auf stark nichtlineare Prozesse einen deutlich erhohten Aufwand�
In diesem Forschungsbericht wird ein neues Verfahren zur Bestimmung einer gunstigen
Abtastzeit vorgestellt� das auf der Entropieanalyse aufbaut� Hierzu wurden die Grund�
lagen des Verfahrens erlautert und anhand eines Simulationsbeispiels ein Vergleich mit
anderen Methoden durchgefuhrt� die aber fur Systeme mit starkeren Nichtlinearitaten
einen deutlichen Mehraufwand erfordern� Zuletzt erfolgte die Anwendung des Verfahrens
auf vier unterschiedliche technische Systeme sowie eine Erlauterung der Ergebnisse�
� Literatur ��
� Literatur
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schwingers� �� IAR Kolloquium� Fuzzy Signal Processing and Lean Production� Uni�
versitat �GH� Duisburg� ��� ��
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dels� at � Automatisierungstechnik ��� ����� ��
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