Page 1
i
EFFECT SIZE PADA PENGUJIAN HIPOTESIS
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Reynaldo Kurnia Gazali
NIM: 133114008
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 2
ii
EFFECT SIZE ON HYPOTHESIS TESTING
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
in Mathematics
By:
Reynaldo Kurnia Gazali
Student Number: 133114008
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 3
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 4
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 5
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus, Bunda Maria
yang senantiasa menyertaiku hingga saat ini,
Papa, Mama, kedua Adik tercinta yang selalu mendukungku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 6
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 7
vii
ABSTRAK
Pengujian hipotesis seringkali digunakan dalam studi ataupun penelitian
untuk memperoleh jawaban dari pertanyaan apakah ada perbedaan rata-rata
populasi maupun apakah ada hubungan antar variabel. Pengujian hipotesis tidak
memberikan makna yang lebih dari ada atau tidaknya perbedaan maupun
hubungan tersebut. Oleh karena itu, penulis membahas effect size pada pengujian
hipotesis, khususnya pada perbedaan rata-rata populasi. Effect size sangat penting
untuk dipublikasikan pada penelitian/studi untuk melengkapi informasi pada
pengujian hipotesis.
Penggunaan effect size banyak terdapat dalam meta-analisis. Tujuan meta-
analisis adalah untuk memperoleh estimasi effect size dari penggabungan
beberapa/banyak studi. Penulis melakukan meta-analisis uji beda pada 5 skripsi di
program studi Pendidikan Ekonomi dan Akuntansi Universitas Sanata Dharma,
khususnya untuk sampel berpasangan dan 5 data hipotetik untuk sampel
independen. Analisis data dilakukan dengan program R pada tingkat kepercayaan
95%.
Hasil akhir meta-analisis pada data berpasangan menunjukkan bahwa
penggabungan 5 sampel skripsi memiliki perbedaan rata-rata distandardisasi
sebesar 0.769. Hal ini berarti bahwa rata-rata pendapatan usaha kecil dan
menengah sesudah mendapatkan kredit 0.769 kali lebih besar dari rata-rata
pendapatan sebelum mendapatkan kredit. Nilai keseluruhan effect size pada data
independen menunjukkan bahwa nilai perbedaan-rata distandardisasi yang
diperoleh adalah 0.348. Hal ini berarti bahwa rata-rata kelompok eksperimen
0.348 kali lebih besar daripada rata-rata kelompok kontrol.
Kata kunci: pengujian hipotesis, perbedaan rata-rata yang distandardisasi,
Cohenβs π, Hedgesβs π, meta-analisis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 8
viii
ABSTRACT
Null hypothesis significance testing is often used in studies or research to
get answers to the question of whether there is a difference in the population
average and whether there is a relationship between variables. Null significance
hypothesis testing doesnβt give more meaning rather than there is or no difference
in the average population or relationship between variables. Therefore, the authors
discuss the effect sizes on hypothesis testing, especially on the difference in the
population average. The effect size is very important to be published in
research/study to complete the information on hypothesis testing.
The use of effect sizes is found in the meta-analysis. The purpose of meta-
analysis is to obtain an estimate of the effect size of the combination of many
studies. The authors perform meta-analysis of mean differences on 5 thesis in
Economics and Accounting Education study program of Sanata Dharma
University, especially for paired samples and 5 hypothetical data for independent
sample. Data analysis was done with R program at 95% confidence intervals.
The final result of meta-analysis on paired data shows that the merging of
5 thesis samples has a standardized mean difference of 0.769. This means that the
average income of small and medium businesses after obtaining credit is 0.769
times greater that the average income before getting credit. The final result of
meta-analysis (summary effect) on independent data shows that the standardized
mean difference obtained value is 0.348. This means that the experimental group
average is 0.348 times greater than the control group average.
Keywords: hypothesis testing, standardized mean difference (SMD), Cohenβs d,
Hedgesβs g, meta-analysis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 9
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas kasih
karunia-Nya sehingga penulis dapat mengerjakan dan menyelesaikan skripsi ini
dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh
gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan
Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk
membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan dan
hambatan. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi.
2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Prodi Matematika.
3. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing
Akademik.
4. Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing
Skripsi.
5. Romo, Bapak, dan Ibu Dosen yang telah banyak memberikan
pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.
6. Kedua orang tua dan kedua adik yang telah mendukung saya selama
proses pengerjaan skripsi.
7. Teman-teman Matematika 2013: Wahyu, Indra, Dion, Agung, Andre,
Kristo, Ambar, Inge, Bintang, Lia, Tia, Yuni, Yui, Melisa, Sorta, Sisca,
Natali, Yola, Sari, Dita, Ezra yang telah memberi masukan, kebahagiaan
dan motivasi.
8. Kakak kos seperjuangan, khususnya Engger Zheng yang telah memberi
kritik dan saran selama penulisan.
9. Kakak-kakak, teman-teman, adik kelas dan pihak lainnya yang telah
membantu penulis dalam proses penulisan skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 10
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 11
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 12
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDULβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦....i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBINGβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.iii
HALAMAN PENGESAHANβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦iv
HALAMAN KEASLIAN KARYAβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦v
HALAMAN PERSEMBAHANβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.vi
ABSTRAKβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.vii
ABSTRACTβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦viii
KATA PENGANTARβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASIβ¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦xi
DAFTAR ISIβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..xii
BAB I PENDAHULUANβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦..1
A. Latar Belakangβ¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦1
B. Rumusan Masalah......β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦4
C. Tujuan Penulisanβ¦β¦......β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦..4
D. Manfaat Penulisanβ¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.....4
E. Metode Penulisanβ¦β¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦4
F. Sistematika Penulisanβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦.5
BAB II UJI HIPOTESIS PERBEDAAN RATA-RATA..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...6
A. Statistika Inferensialβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...β¦..6
B. Distribusi Samplingβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦....16
C. Pendugaan Parameterβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦...32
1. Selang Kepercayaanβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.....33
2. Selang Kepercayaan bagi Perbedaan Rata-rata Populasiβ¦β¦β¦β¦β¦.39
3. Observasi Berpasanganβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦....48
D. Hipotesis Statistikβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..51
1. Konsep Umum Hipotesis Statistikβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...51
2. Pengujian Hipotesis Statistikβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...55
3. Nilai π dan Pembuatan Keputusan dalam Pengujian Hipotesisβ¦β¦..62
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 13
xiii
E. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasiβ¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦....73
1. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Besarβ¦β¦β¦β¦.73
2. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Kecilβ¦β¦β¦β¦.80
F. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasiβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦...83
1. Uji Normalitas dan Uji Homogenitas Variansiβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦83
2. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Populasi
Diketahuiβ¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..85
3. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Kedua
Populasi Tidak Diketahui tetapi Sama Besarβ¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦....86
4. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Kedua
Populasi Tidak Diketahui dan Variansi Tidak Sama...........................88
5. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi untuk Sampel Berpasanganβ¦.89
BAB III EFFECT SIZE COHENβ¦β¦β¦β¦.β¦β¦.β¦β¦β¦...β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦...90
A. Dari Uji Signifikansi ke Effect Sizeβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦90
B. Jenis Effect Size..........................................................................................97
C. Perbedaan Rata-rata yang Distandardisasiβ¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦.101
1. Cohenβs πβ¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..102
2. Selang Kepercayaan pada Effect Size π.............................................113
D. Meta-Analisis pada π...............................................................................116
1. Model Meta-Analisisβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..116
2. Perhitungan Meta-Analisis pada π.....................................................123
3. Analisis Sensitifitasβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦125
Bab IV PENERAPAN EFFECT SIZE PADA HASIL-HASIL PENELITIAN..127
A. Meta-Analisis pada Data Berpasanganβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...127
B. Meta-Analisis pada Data Independenβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.140
BAB V KESIMPULANβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..156
A. Kesimpulanβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..156
B. Saranβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦157
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 14
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Pengukuran Lamanya Waktu Perakitan Perangkatβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..44
Tabel 2.2 Data Tingkat TCDD dalam Plasma dan Jaringan Lemakβ¦β¦β¦β¦β¦50
Tabel 2.3 Kemungkinan Situasi dalam Pengujian Hipotesis Statistikβ¦β¦β¦β¦.60
Tabel 3.1 Nilai Kenyamanan untuk Dua Kelompok Independenβ¦β¦β¦β¦β¦..105
Tabel 3.2 Nilai Kenyamanan untuk Pengujian Satu Kelompok Sebelum dan
Sesudah Percobaanβ¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦112
Tabel 4.1 Nilai π pada Data Berpasangan dengan Uji Kolgomorov-Smirnov..128
Tabel 4.2 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Tetap...............133
Tabel 4.3 Meta-analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah
Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek
Tetapβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦..134
Tabel 4.4 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Acakβ¦.β¦β¦...137
Tabel 4.5 Meta-analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah
Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek
Acakβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..138
Tabel 4.6 Uji Homogenitas Variansi dengan Uji Levenneβ¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦...141
Tabel 4.7 Uji π‘ dengan Tingkat Signifikansi 0.05β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.142
Tabel 4.8 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Tetapβ¦β¦β¦.β¦147
Tabel 4.9 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD) Kelompok
Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Tetap.......149
Tabel 4.10 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Acakβ¦β¦β¦β¦151
Tabel 4.11 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD)
Kelompok Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek
Acakβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦β¦β¦..153
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 15
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Kriteria Keputusan untuk Menguji Hipotesis dengan Rata-rata
Tertentuβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...56
Gambar 2.2 Kurva Kemungkinan Hasil Data Kedua Jenis Pohon dari
Populasi yang Memiliki Dua Rata-rata Berbedaβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦65
Gambar 2.3 Daerah Kritis untuk Hipotesis Alternatif Dua Arahβ¦β¦β¦...β¦β¦75
Gambar 2.4 Nilai π untuk Contoh 2.5.1β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦76
Gambar 3.1 Perbedaan Rata-rata Percobaan Insomnia Studi Lucky dan Noluck
dengan Selang Kepercayaan 95%...................................................91
Gambar 3.2 Forest Plot yang Menggabungkan Hasil Lucky, Noluck
dan Kombinasi Meta-analisis (MA)β¦..β¦...β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦117
Gambar 3.3 Contoh Funnel Plot dengan Model Efek Acakβ¦β¦...β¦....β¦β¦.125
Gambar 4.1 Gambar Funnel Plot Meta-analisis Data Berpasanganβ¦...β¦β¦.139
Gambar 4.2 Forest Plot Data Berpasangan untuk Model Efek Tetap dan Model
Efek Acakβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦...β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.140
Gambar 4.3 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Tetap.β¦β¦β¦.154
Gambar 4.4 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Acakβ¦.β¦.β¦.154
Gambar 4.5 Funnel Plot Meta-analisis Perbedaan Rata-rata Kelompok
Eksperimen dengan Kelompok Kontrolβ¦..................................155
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 16
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Ketika kita membaca tentang penelitian empiris, pertanyaan yang muncul
pertama kali adalah seberapa penting efek yang dihasilkan. Dalam statistik,
informasi tentang kekuatan efek tersebut dikenal dengan istilah effect size. Istilah
effect size pertama kali diungkapkan oleh Gene Glass (1976) di San Fransisco.
Glass menyebut istilah effect size sebagai suatu nilai standar yang dapat
diberlakukan operasi hitung dan dapat dibandingkan antara pengaruh variabel satu
dengan lainnya. Istilah ini muncul saat Glass menemukan kesalahan penelitian
psikoterapi yang dilakukan H.J Eysenck. Eysenck mengklaim bahwa psikoterapi
tidak efektif dan tidak ada data evaluatif untuk membuktikan sebaliknya. Glass
membuktikan kesalahan tersebut dengan kemampuan statistik. Glass menghitung
effect size berdasarkan 375 studi untuk efek terapi: βada perbedaan rata-rata pada
variabel hasil antara subjek perlakuan dan tanpa perlakuan dibagi dengan standar
deviasi kelompokβ. Effect size inilah yang dikenal dengan Cohenβs π.
Pada tahun 1999, istilah effect size mulai dikembangkan oleh American
Psychological Association (APA) sebagai ukuran kekuatan hubungan antara dua
variabel pada populasi statistik atau sampel berbasis perkiraan kuantitas. Olejnik
dan Algina (2003) dalam jurnalnya menyatakan bahwa effect size merupakan
ukuran mengenai besarnya efek suatu variabel pada variabel lain, besarnya
perbedaan maupun hubungan yang bebas dari pengaruh besarnya sampel. Hunt
(1997) melaporkan bahwa Glass mendeskripsikan hasil penelitian dalam langkah-
langkah yang besar, yaitu penelitian tidak hanya berbicara tentang pengaruh
terhadap subjek, melainkan seberapa besar pengaruh tersebut. Hal inilah yang
merupakan tujuan penggunaan effect size.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 17
2
Pengujian hipotesis dengan menggunakan teknik analisis statistik sering
digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya pengaruh terhadap subjek pada
penelitian. Ada beberapa pertimbangan dalam memilih teknik analisis statistik
univariat (teknik analisis yang hanya melibatkan satu variabel) yaitu:
a. Berdasarkan masalah yang diuji, yaitu masalah rata-rata satu populasi, dua
populasi dan lebih dari dua populasi, masalah asosiasi/relasi antar variabel
yang skalanya sama/tidak sama.
b. Berdasarkan jenis sampel, yaitu pengambilan sampel independen dan
pengambilan sampel berpasangan.
c. Berdasarkan pemenuhan asumsi, yaitu asumsi-asumsi tentang distribusi
variabel populasi dipenuhi (statistika parametrik) dan tidak ada asumsi
spesifik tentang distribusi variabel dalam populasi (statistika non
parametrik).
Pengujian hipotesis rata-rata dua populasi digunakan untuk mengetahui
apakah ada perbedaan atau tidak ada perbedaan rata-rata kedua populasi.
Pengujian hipotesis rata-rata dua populasi menggunakan distribusi sampling dari π‘
yang dikenal dengan distribusi π‘. Distribusi ini menggunakan pendekatan
distribusi Normal Standar. Kedua distribusi ini bergantung pada ukuran sampel.
Oleh karena itu, pengujian hipotesis juga akan selalu bergantung pada ukuran
sampel. Ini merupakan suatu kelemahan dalam uji hipotesis.
Penelitian empiris secara konsisten menunjukkan bahwa banyak peneliti
tidak sepenuhnya memahami analisis data statistik untuk pengujian hipotesis
(Schwab, 2011). Keputusan dari uji hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan uji
signifikansi hipotesis nol tanpa memperhatikan metode statistik. Beberapa peneliti
sering menginterpretasikan keputusan berupa hasil signifikansi secara statistik
sebagai hasil yang penting. Padahal, signifikan di sini tidak dapat diartikan
sebagai hasil yang penting, besar dan berguna bagi penelitian. Jika peneliti ingin
mencari tahu seberapa besar pengaruh dan perbedaan yang dihasilkan pada
penelitian, maka peneliti dapat menambahkan informasi tambahan pada pengujian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 18
3
hipotesis. Informasi tersebut dapat berupa pengukuran terhadap besarnya efek
atau dikenal dengan effect size.
Effect size sangat penting karena memungkinkan untuk membandingkan
besarnya efek penelitian pada pengujian hipotesis dari penelitian yang satu ke
yang lainnya. Menurut Kirk (1996), pengukuran terhadap besarnya efek belum
banyak dilakukan oleh peneliti-peneliti di bidang pendidikan, psikologi dan ilmu
sosial. Oleh karena itu, penulis membahas pengukuran besarnya efek pada
pengujian hipotesis dengan menggunakan effect size.
Effect size bergantung pada jenis parameter yang akan diuji di dalam
pengujian hipotesis. Jika parameter itu adalah perbedaan rata-rata populasi maka
effect size menunjukkan seberapa besar perbedaan itu. Effect size π merupakan
pengukuran effect size yang umum digunakan pada parameter tersebut.
Permasalahan yang terkait dengan pengukuran besar kecilnya penggunaan effect
size π adalah tidak adanya standar yang tetap.
Hedges (1988) menemukan bias pada pengukuran effect size π. Pada skripsi
ini akan dilihat seberapa besar pengaruh bias tersebut pada π. Selain itu, selang
kepercayaan diketahui dapat memberikan informasi tambahan bagi pengujian
hipotesis. Dengan kata lain, adanya hubungan antara pengujian hipotesis dengan
selang kepercayaan. Hubungan ini akan dilihat juga pada pembentukan selang
kepercayaan bagi effect size π.
Penggunaan effect size banyak terdapat dalam meta-analisis, khususnya
Cohenβs π. Larry Hedges (1987) menjelaskan meta-analisis sebagai teknik
analisis statistik yang menggabungkan hasil dari penelitian berbeda untuk
memberikan estimasi tunggal terbaik dengan selang kepercayaan di dalamnya.
Meta-analisis menggunakan beberapa estimasi effect size karena pengukuran
effect size tidak dipengaruhi oleh ukuran sampel. Pada skripsi ini akan dilakukan
meta-analisis untuk sampel berpasangan pada 5 skripsi di program studi
Pendidikan Ekonomi dan Akuntansi Universitas Sanata Dharma dan 5 data
hipotetik untuk sampel independen.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 19
4
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Apa yang dimaksud dengan effect size?
2. Bagaimana membentuk selang kepercayaan pada effect size π?
3. Bagaimana deskripsi effect size π pada 5 skripsi di program studi Pendidikan
Ekonomi, Akuntansi dan 5 data hipotetik?
C. Batasan Masalah
Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:
1. Efek statistik yang dibahas pada pengukuran effect size adalah effect size d.
2. Pengkajian effect size pada pengujian hipotesis untuk data yang dipilih secara
acak dan kontinu (data yang merupakan hasil pengukuran).
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengetahui seberapa
besar effect size yang dihasilkan pada 5 skripsi di program studi Pendidikan
Ekonomi dan Akuntansi, khususnya untuk sampel berpasangan dan 5 data
hipotetik untuk sampel independen.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah memberi
informasi kegunaan pelaporan effect size pada pengujian hipotesis.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam tugas akhir ini adalah metode studi
pustaka, yaitu dengan membaca atau mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal
yang berkaitan dengan effect size, uji hipotesis, meta-analisis dan selang
kepercayaan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 20
5
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II UJI HIPOTESIS PERBEDAAN RATA-RATA
A. Statistika Inferensial
B. Distribusi Sampling
C. Pendugaan Parameter
D. Hipotesis Statistik
E. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi
F. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi
BAB III EFFECT SIZE COHEN
A. Dari Uji Signifikansi ke Effect Size
B. Jenis Effect Size
C. Selang Kepercayaan pada π
D. Meta-Analisis pada π
BAB IV PENERAPAN EFFECT SIZE PADA HASIL-HASIL PENELITIAN
A. Meta-Analisis pada Data Independen
B. Meta-Analisis pada Data Berpasangan
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 21
6
BAB II
UJI HIPOTESIS PERBEDAAN RATA-RATA
A. Statistika Inferensial
Berdasarkan aktivitas yang dilakukan, statistika terbagi menjadi dua yaitu
statistika deskriptif dan statistika inferensial. Pada bab ini akan dibahas tentang
statistika inferensial yang berperan penting pada pengujian hipotesis dan
pendugaan parameter. Statistikawan menggunakan hukum dasar probabilitas dan
statistika inferensial untuk menarik kesimpulan tentang sistem ilmiah. Informasi
dikumpulkan dalam bentuk sampel atau koleksi pengamatan. Sampel
dikumpulkan dari populasi, yang merupakan kumpulan semua individu atau
masing-masing item dari jenis tertentu. Suatu konstanta yang merupakan
karakteristik populasi dinamakan parameter.
Definisi 2.1.1. Ruang sampel adalah himpunan yang terdiri dari semua
kemungkinan titik sampel dalam suatu proses pengamatan.
Definisi 2.1.2. Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang domainnya adalah
ruang sampel.
Fungsi tertentu dari variabel acak yang diamati dalam sampel digunakan
untuk menduga atau membuat keputusan tentang parameter populasi yang tidak
diketahui. Misalnya, pendugaan rata-rata populasi π dilakukan dengan mengambil
sampel acak π₯1, π₯2, β¦ , π₯π dari variabel acak π1, π2, β¦ , ππ dan rata-rata sampelnya
οΏ½Μ
οΏ½ = (1/π)β π₯πππ=1 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 22
7
Variabel acak οΏ½Μ
οΏ½ adalah fungsi dari variabel acak π1, π2, β¦ , ππ dan sampel
berukuran π. Dengan kata lain, rata-rata sampel, yaitu οΏ½Μ
οΏ½ adalah contoh statistik.
Definisi 2.1.3. Statistik adalah fungsi dari variabel acak yang diamati dalam
sampel.
Sebagai contoh, dalam sebuah percobaan obat, sampel pasien diambil dan
masing-masing diberi obat spesifik untuk mengurangi tekanan darah. Percobaan
ini difokuskan pada penarikan kesimpulan tentang populasi pasien yang menderita
hipertensi. Jadi, tujuan dari statistika inferensial adalah informasi yang terdapat
dalam sampel digunakan untuk membuat kesimpulan tentang populasi di mana
sampel diambil.
Definisi 2.1.4. Statistika inferensial adalah teknik analisis statistik yang terdiri
dari beberapa metode statistik untuk dapat membuat kesimpulan atau generalisasi
tentang populasi.
Definisi 2.1.5. Fungsi π(π₯) adalah fungsi densitas probabilitas untuk variabel
acak kontinu π, jika
1) π(π₯) β₯ 0, untuk setiap π₯ β β.
2) β« π(π₯) ππ₯ = 1β
ββ.
Fungsi Pembangkit Momen
Pada subbab ini akan dijelaskan fungsi pembangkit momen yang berkaitan
dengan Teorema dalam distribusi sampling.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 23
8
Definisi 2.1.6. Momen ke-π variabel acak π diberikan oleh
πβ²π = πΈ(ππ) =
{
β π₯ππ(π₯)π₯
, jika π diskrit,
β« π₯ππ(π₯) ππ₯β
ββ
, jika π kontinu.
Berdasarkan definisi 2.1.5, rata-rata dan variansi variabel acak π adalah
πβ²1 = πΈ(π) = π dan πβ²2 β π2 = πΈ(π2) β π2 = π2.
Definisi 2.1.7. Fungsi pembangkit momen dari variabel π diberikan oleh πΈ(ππ‘π)
dan dinotasikan oleh ππ(π‘). Dengan kata lain,
ππ(π‘) = πΈ(ππ‘π) =
{
β ππ‘π₯π(π₯)π₯
, jika π diskrit,
β« ππ‘π₯π(π₯) ππ₯β
ββ
, jika π kontinu.
Teorema 2.1.1. Misalkan π adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit
momen ππ(π‘). Didefinisikan
ππ
ππ‘πππ(π‘)|π‘=0 = πβ²π.
Bukti:
Misalkan ππ(π‘) adalah fungsi pembangkit momen yang variabel acak π
terdiferensial π kali.
ππ
ππ‘πππ(π‘) =
ππ
ππ‘πβ« ππ‘π₯ππ(π₯) ππ₯β
ββ
= β« (ππ
ππ‘πππ‘π₯)ππ(π₯) ππ₯
β
ββ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 24
9
= β« (π₯πππ‘π₯)ππ(π₯) ππ₯β
ββ
= πΈ(ππ)ππ‘π₯.
Dengan demikian,
ππ
ππ‘πππ(π‘)|π‘=0 = πΈ(ππ)ππ‘π₯|π‘=0 = πΈ(π
π) = πβ²π. β
Contoh 2.1.1. Misalkan π adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan rata-
rata π dan variansi π2. Tentukan fungsi pembangkit momen untuk π.
Penyelesaian: Fungsi probabilitas Normal dengan rata-rata π dan variansi π2
adalah
π(π₯) =1
πβ2πexp [β(
1
2π2) (π₯ β π)2] , ββ < π₯ < β
Fungsi pembangkit momen dari π adalah
π(π‘) = πΈ(ππ‘π₯) = β« ππ‘π₯ (exp [β(π₯ β π)2/2π2]
πβ2π) ππ₯.
β
ββ
Misalkan π’ = π₯ β π, ππ’ = ππ₯, maka π₯ = π’ + π,
π(π‘) =1
πβ2πβ« ππ‘(π’+π)πβπ’
2/(2π2) ππ’β
ββ
=1
πβ2πβ« exp [(π’ + π)π‘ β
π’2
2π2] ππ’
β
ββ
=1
πβ2πβ« exp [
βπ’2 + 2π2(π’ + π)π‘
2π2] ππ’
β
ββ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 25
10
Kalikan dengan ππ‘2π2/2/ππ‘
2π2/2 dan melengkapkan kuadrat,
π(π‘) = πππ‘ππ‘2π2/2β«
exp [β(1/2π2)(π’2 β 2π2π‘π’ + π4π‘2)]
πβ2π ππ’
β
ββ
= πππ‘+(π‘2π2/2)β«
exp [β(π’ β π2π‘)2/2π2]
πβ2π ππ’.
β
ββ
Oleh karena integral tersebut adalah integral dari fungsi densitas Normal dengan
rata-rata π2π‘ dan variansi π2, maka integral tersebut bernilai 1. Jadi, fungsi
pembangkit momen dari π adalah
π(π‘) = πππ‘+(π‘2π2/2).
Definisi 2.1.8. Variabel acak π didefinisikan berdistribusi Gamma dengan
parameter πΌ > 0 dan π½ > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas π adalah
π(π₯) = {π₯πΌβ1π
βπ₯
π½
π½πΌΞ(πΌ), 0 β€ π₯ β€ β
0, selainnya,
dengan
Ξ(πΌ) = β« π₯πΌβ1πβπ₯β
0
ππ₯.
Definisi 2.1.9. Misalkan π£ adalah bilangan bulat positif. Variabel acak π
dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas π£ jika dan hanya jika π
adalah variabel acak berdistribusi Gamma dengan parameter πΌ = π£/2 dan π½ = 2.
Contoh 2.1.2. Misalkan π adalah variabel acak berdistribusi Chi-Square dengan
rata-rata π£ dan variansi 2π£. Tentukan fungsi pembangkit momen untuk π.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 26
11
Penyelesaian:
Fungsi probabilitas Chi-Square dengan rata-rata π£ dan variansi 2π£ adalah
π(π₯) =π₯(π£/2)β1πβπ₯/2
2π£/2Ξ(π£/2), π₯ > 0
Fungsi pembangkit momen dari π adalah
π(π‘) = πΈ(ππ‘π₯) = β« ππ‘π₯π₯(π£/2)β1πβπ₯/2
2π£/2Ξ(π£/2)
β
0
ππ₯
=1
2π£/2Ξ(π£/2)β« πβ
(1β2π‘)π₯
2π₯(π£/2)
π₯
β
0
ππ₯
Misalkan π‘ <1
2,
π’ = (1 β 2π‘)π₯
ππ’ = (1 β 2π‘)ππ₯
π(π‘) =1
2π£/2Ξ(π£/2)β« πβ
π’
2 (π’
1 β 2π‘)π£/2β
0
(1
π’) ππ’
= (1 β 2π‘)βπ£/2β«πβ
π’
2π’(π£/2)β1
2π£/2Ξ(π£/2)
β
0
ππ’
Oleh karena integral tersebut adalah integral dari fungsi densitas Gamma dengan
parameter πΌ = π£/2 dan π½ = 2, maka menurut definisi fungsi probabilitas
(definisi 2.1.5), integral bersebut bernilai 1. Jadi, fungsi pembangkit momen dari
π adalah
π(π‘) = (1 β 2π‘)βπ£/2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 27
12
Teorema 2.1.2. Teorema Ketunggalan: Misalkan ππ(π‘) dan ππ(π‘) adalah fungsi
pembangkit momen dari variabel acak π dan π. Jika kedua fungsi pembangkit
momen ada dan ππ(π‘) = ππ(π‘), untuk setiap nilai π‘, maka π dan π mempunyai
distribusi probabilitas yang sama.
Bukti dapat dilihat pada skripsi Julie, Hongkie (1999) yang berjudul Teorema
Limit Pusat dan Terapannya.
Contoh 2.1.3. Misalkan π adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan rata-
rata 0 dan variansi 1. Gunakan metode fungsi pembangkit momen untuk
menemukan distribusi probabilitas dari π2.
Penyelesaian:
Fungsi pembangkit momen dari π2 adalah
ππ2(π‘) = πΈ(ππ‘π2) = β« ππ‘π§
2π(π§) ππ§
β
ββ
= β« ππ‘π§2 πβπ§
2/2
β2π ππ§
β
ββ
= β«1
β2ππβ(π§
2/2)(1β2π‘) ππ§.β
ββ
Jika (1 β 2π‘) > 0 (π‘ < 1/2), integrand dari
exp [β (π§2
2) (1 β 2π‘)]
β2π=exp [β (
π§2
2) (1 β 2π‘)β1β ]
β2π
identik dengan fungsi probabilitas variabel acak Normal dengan rata-rata 0 dan
variansi (1 β 2π‘)β1. Untuk membuat integralnya sama dengan 1, kalikan dengan
standar deviasinya, yaitu (1 β 2π‘)β1/2, sehingga
ππ2(π‘) =1
(1 β 2π‘)1/2β«
1
β2π(1 β 2π‘)β1/2exp [β(
π§2
2) (1 β 2π‘)β1β ] ππ§.
β
ββ
Karena integral di atas sama dengan 1, untuk π‘ < 1/2, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 28
13
ππ2(π‘) =1
(1 β 2π‘)1/2= (1 β 2π‘)β1/2.
Oleh karena fungsi pembangkit momen untuk π2 identik dengan fungsi
pembangkit momen untuk variabel acak Chi-Square dengan derajat bebas π£ = 1
(contoh 2.1.2), maka menurut Teorema Ketunggalan, π2 berdistribusi Chi-Square
dengan derajat bebas 1. Dengan demikian, fungsi probabilitas untuk π = π2
adalah
ππ(π’) = {
π’β1/2πβπ’/2
Ξ(1/2)β2, π’ β₯ 0
0, selainnya.
Contoh 2.1.4. Misalkan π adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan rata-
rata π dan variansi π2. Tunjukkan bahwa
π =π β π
π
berdistribusi Normal Standar dengan rata-rata 0 dan variansi 1.
Penyelesaian:
Dari contoh 2.1.1, fungsi pembangkit momen dari π adalah πππ‘+(π‘2π2/2).
Dengan cara yang sama, fungsi pembangkit momen dari π β π adalah ππ‘2π2/2,
sehingga
ππ(π‘) = πΈ(ππ‘π) = πΈ(π(π‘/π)(πβπ)) = ππβπ (
π‘
π) = π(π‘/π)
2π2/2 = ππ‘2/2.
Oleh karena ππ(π‘) identik dengan fungsi pembangkit momen dari variabel acak
Normal Standar, maka π berdistribusi Normal Standar dengan πΈ(π) = 0 dan
π(π) = 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 29
14
Teorema 2.1.3. Misalkan π1, π2, β¦ , ππ adalah variabel acak yang saling bebas
dengan fungsi pembangkit momen ππ1(π‘), ππ2
(π‘),β¦, πππ(π‘). Jika π = π1 +
π2 +β―+ ππ, maka
ππ(π‘) = ππ1(π‘) x ππ2
(π‘) xβ¦ x πππ(π‘).
Bukti:
Karena variabel acak π1, π2, β¦ , ππ saling bebas, maka
ππ(π‘) = πΈ(ππ‘(π1+π2+β―+ππ)) = πΈ(ππ‘π1ππ‘π2 β¦ππ‘ππ)
= πΈ(ππ‘π1) x πΈ(ππ‘π2) xβ¦ x πΈ(ππ‘ππ).
Dengan definisi fungsi pembangkit momen,
ππ(π‘) = ππ1(π‘) x ππ2
(π‘) xβ¦ x πππ(π‘). β
Teorema 2.1.4. Misalkan π1, π2, β¦ , ππ adalah variabel acak saling bebas yang
berdistribusi Normal dengan πΈ(ππ) = ππ, π(ππ) = ππ2, untuk π = 1,2, β¦ , π dan
π1, π2,β¦, ππ adalah konstanta. Jika
π =βππππ =
π
π=1
π1π1 + π2π2 +β―+ ππππ,
maka U adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan
πΈ(π) =βππππ
π
π=1
= π1π1 + π2π2 +β―+ ππππ
dan
π(π) =βππ2ππ
2
π
π=1
= π12π1
2 + π22π2
2 +β―+ ππ2ππ
2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 30
15
Bukti:
Dari contoh 2.1.1, fungsi pembangkit momen dari π adalah πππ‘+(π‘2π2/2).
Karena ππ berdistribusi Normal dengan rata-rata ππ dan variansi ππ2, maka fungsi
pembangkit momen dari ππ adalah
πππ(π‘) = exp(πππ‘ +
ππ2π‘2
2).
Fungsi pembangkit momen dari ππππ adalah
πππππ(π‘) = πΈ(ππ‘ππππ) = πππ
(πππ‘) = exp (πππππ‘ +ππ2ππ
2π‘2
2).
Karena variabel acak ππ saling bebas dan ππππ saling bebas, untuk π = 1,2, β¦ , π,
maka menurut teorema 2.1.3,
ππ(π‘) = ππ1π1(π‘) x ππ2π2
(π‘) xβ¦ x πππππ(π‘)
= exp(π1π1π‘ +π1
2π12π‘2
2) xβ¦x exp(πππππ‘ +
ππ2ππ
2π‘2
2)
= exp(π‘βππππ
π
π=1
+π‘2
2βππ
2ππ2
π
π=1
).
Oleh karena ππ(π‘) identik dengan fungsi pembangkit momen dari distribusi
Normal, maka menurut Teorema Ketunggalan, π mempunyai distribusi Normal
dengan rata-rata β ππππππ=1 dan variansi β ππ
2ππ2π
π=1 . β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 31
16
B. Distribusi Sampling
Fokus utama statistika inferensial berkaitan dengan generalisasi dan
prediksi. Sebagai contoh, mesin minuman ringan dirancang untuk mengeluarkan
minuman dengan rata-rata 240 mililiter per minuman. Perusahaan minuman
tersebut menghitung rata-rata 40 minuman dan diperoleh rata-ratanya οΏ½Μ
οΏ½ = 236
mililiter. Berdasarkan nilai tersebut, perusahaan memutuskan bahwa mesin masih
mengeluarkan minuman dengan rata-rata π = 240 mililiter. Empat puluh
minuman mewakili sampel dari populasi tak hingga minuman yang akan
dikeluarkan mesin.
Dari contoh di atas, statistik dihitung dari sampel yang dipilih dari populasi.
Statistik juga menghasilkan berbagai pernyataan yang dibuat mengenai nilai-nilai
parameter populasi yang mungkin atau mungkin tidak benar. Perusahaan
minuman tersebut membuat keputusan bahwa minuman ringan mengeluarkan
minuman dengan rata-rata 240 mililiter, meskipun rata-rata sampelnya 236
mililiter. Perusahaan tersebut membuat keputusan itu berdasarkan teori sampling.
Karena statistik adalah variabel acak yang bergantung hanya pada sampel
yang diamati, maka statistik harus memiliki distribusi probabilitas. Distribusi
probabilitas dari statistik inilah yang dinamakan distribusi sampling. Distribusi
sampling dari statistik tergantung pada distribusi populasi, ukuran sampel dan
metode pemilihan sampel. Distribusi sampling οΏ½Μ
οΏ½ dinamakan distribusi sampling
dari rata-rata. Distribusi sampling οΏ½Μ
οΏ½ dengan ukuran sampel π adalah distribusi
yang terjadi ketika percobaan dilakukan berulang dan banyak nilai-nilai hasil οΏ½Μ
οΏ½.
Distribusi sampling οΏ½Μ
οΏ½ menggambarkan variabilitas rata-rata sampel sekitar
rata-rata populasi π. Pada kasus mesin minuman ringan, pengetahuan tentang
distribusi sampling οΏ½Μ
οΏ½ memberikan perbedaan yang khas antara nilai οΏ½Μ
οΏ½ yang
diamati dan nilai rata-rata (π) sebenarnya. Prinsip yang sama juga berlaku pada
distribusi π2. Distribusi sampling ini menghasilkan nilai-nilai variabilitas variansi
sampel π 2 di sekitar variansi populasi π2, khususnya dalam percobaan berulang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 32
17
Teorema 2.2.1. Misalkan π1, π2, β¦ , ππ adalah sampel acak saling bebas
berukuran π dari distribusi Normal dengan rata-rata π dan variansi π2. Statistik
οΏ½Μ
οΏ½ =1
πβππ
π
π=1
akan berdistribusi Normal dengan rata-rata ποΏ½Μ
οΏ½ = π dan variansi ποΏ½Μ
οΏ½2 = π2/π.
Bukti: Karena π1, π2, β¦ , ππ adalah sampel acak dari distribusi Normal dengan
rata-rata π, variansi π2 dan ππ, π = 1,2, β¦ , π juga saling bebas dengan πΈ(ππ) = π
dan π(ππ) = π2, maka
οΏ½Μ
οΏ½ =1
πβππ
π
π=1
=1
π(π1) +
1
π(π2) + β―+
1
π(ππ)
= π1π1 + π2π2 +β―+ ππππ, di mana ππ =1
π, π = 1,2, β¦ , π.
Menurut teorema 2.1.4, karena οΏ½Μ
οΏ½ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
π1, π2, β¦ , ππ, maka οΏ½Μ
οΏ½ berdistribusi Normal dengan
ποΏ½Μ
οΏ½ = πΈ(οΏ½Μ
οΏ½) = πΈ[π1π1 +β―+ ππππ] = π1πΈ(π1) + β―+ πππΈ(ππ)
=1
π(π) + β―+
1
π(π) =
1
π(ππ) = π
dan
ποΏ½Μ
οΏ½2 = π(οΏ½Μ
οΏ½) = π[π1π1 +β―+ ππππ] = π1π(π1) + β―+ πππ(ππ)
=1
π2(π2) + β―+
1
π2(π2) =
1
π2(ππ2) =
π2
π. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 33
18
Contoh 2.2.1. Sebuah mesin pengisi botol minuman dapat diatur sehingga debit
rata-ratanya π ons per botol. Telah diamati bahwa jumlah isian tiap botol
berdistribusi Normal dengan standar deviasi π = 1 ons. Sampel pengisian botol
berukuran π = 9 dipilih secara acak dari keluaran mesin pada hari tertentu (semua
botol dengan pengaturan mesin yang sama) dan masing-masing botol diukur
debitnya. Tentukan probabilitas bahwa rata-rata sampel akan berada dalam 0.3
ons rata-rata sebenarnya π untuk pengaturan mesin yang dipilih.
Penyelesaian:
Misalkan π1, π2, β¦ , ππ adalah banyaknya botol yang akan diamati debitnya dan
ππ, π = 1,2, β¦ ,9 berdistribusi Normal dengan rata-rata π dan variansi π2 = 1.
Berdasarkan teorema 2.2.1, οΏ½Μ
οΏ½ memiliki distribusi sampling yang Normal dengan
rata-rata ποΏ½Μ
οΏ½ = π dan variansi ποΏ½Μ
οΏ½2 =
π2
π= 1/9.
π(|οΏ½Μ
οΏ½ β π| β€ 0.3) = π[β0.3 β€ οΏ½Μ
οΏ½ β π β€ 0.3]
= π (β0.3
π/βπβ€
οΏ½Μ
οΏ½βπ
π/βπβ€
0.3
π/βπ).
Karena (οΏ½Μ
οΏ½ β ποΏ½Μ
οΏ½)/ποΏ½Μ
οΏ½ = (οΏ½Μ
οΏ½ β π)/(π/βπ) berdistribusi Normal Standar, maka
π(|οΏ½Μ
οΏ½ β π| β€ 0.3) = π (β0.3
1/β9β€ π β€
0.3
1/β9)
= π(β0.9 β€ π β€ 0.9) = 1 β 2π(π > 0.9)
= 1 β 2(0.1841) = 0.6318.
Dengan demikian, probabilitas bahwa rata-rata sampel akan berada dalam 0.3 ons
dari rata-rata populasi sebenarnya hanyalah 0.6318.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 34
19
Teorema 2.2.2. Misalkan π dan π1, π2, π3,β¦ adalah variabel acak dengan fungsi
pembangkit momen π(π‘) dan π1(π‘), π2(π‘), π3(π‘),β¦, ππ(π‘).
Jika
limπββ
ππ(π‘) = π(π‘) , βπ‘ β β
maka fungsi distribusi dari ππ konvergen ke fungsi distribusi dari π.
Bukti dapat dilihat pada buku Probability with Martingales karangan Williams,
David (1991) halaman 185.
Teorema 2.2.3. Teorema Limit Pusat: Jika οΏ½Μ
οΏ½ adalah rata-rata sampel acak
berukuran π yang diambil dari populasi dengan rata-rata π dan variansi berhingga
π2, maka bentuk limit dari distribusi
π = οΏ½Μ
οΏ½ β π
π/βπ,
konvergen ke fungsi distribusi Normal Standar π(π§; 0,1), ketika π β β.
Bukti: Misalkan
ππ = οΏ½Μ
οΏ½ β π
π/βπ=
1
βπ(β ππππ=1 β ππ
π) =
1
βπβππ
π
π=1
,
dengan
ππ =ππ β π
π.
Karena variabel acak ππ saling bebas dan berdistribusi Normal, maka menurut
contoh 2.1.4, ππ, π = 1,2, β¦ , π juga saling bebas dan berdistribusi Normal dengan
rata-rata πΈ(ππ) = 0 dan variansi π(ππ) = 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 35
20
Karena fungsi pembangkit momen dari jumlahan variabel acak yang saling bebas
adalah hasil kali masing-masing fungsi pembangkit momennya, maka
πβππ(π‘) = ππ1
(π‘) x ππ2(π‘) xβ¦ x πππ
(π‘) = [ππ1(π‘)]
π
dan
πππ(π‘) = πβππ
(π‘
βπ) = [ππ1 (
π‘
βπ)]π
.
Oleh karena deret Taylor di sekitar 0 dengan suku sisa bentuk Lagrange adalah
ππ1(π‘) = ππ1
(0) + πβ²π1(0)π‘ + πβ²β²π1(π)π‘2
2, 0 < π < π‘
dan karena ππ1(0) = πΈ(π0π1) = πΈ(1) = 1 dan πβ²π1(0) = πΈ(π1) = 0,
ππ1(π‘) = 1 + πβ²β²π1(π)
π‘2
2
sehingga
πππ(π‘) = [1 +
πβ²β²π1(ππ)
2(π‘
βπ)2
]
π
= [1 +πβ²β²π1(ππ)π‘
2/2
π]
π
, 0 < ππ <π‘
βπ .
Ketika π β β, ππ β 0, maka
πβ²β²π1(ππ)π‘
2/2 β πβ²β²π1(0)π‘2/2 = πΈ(π1
2)π‘2/2 = π‘2/2,
dengan πΈ(π12) = π(π1) = 1.
Dipandang limπββ
ππ = π, maka
limπββ
(1 +ππ
π)π
= ππ . (2.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 36
21
Berdasarkan persamaan (π. π) diperoleh
limπββ
πππ(π‘) = lim
πββ(1 +
πβ²β²π1(ππ)π‘2/2
π)
π
= ππ‘2/2.
Dari contoh 2.1.4, ππ‘2/2 identik dengan fungsi pembangkit momen untuk variabel
acak Normal Standar. Jadi, menurut teorema 2.2.2, fungsi distribusi ππ
konvergen ke fungsi distribusi dari variabel acak Normal Standar. β
Pendekatan distribusi Normal untuk οΏ½Μ
οΏ½ akan bagus secara umum untuk
ukuran sampel π β₯ 30. Jika π < 30, pendekatan baik hanya jika populasinya
tidak terlalu berbeda dari distribusi Normal. Jika populasinya diketahui Normal,
maka distribusi sampling dari οΏ½Μ
οΏ½ akan mengikuti distribusi Normal persis, tidak
peduli seberapa kecil ukuran sampel. Ukuran sampel π = 30 adalah pedoman
untuk menggunakan teorema 2.2.3 (Teorema Limit Pusat).
Contoh 2.2.2. Firma listrik memproduksi bola lampu yang memiliki waktu
hidupnya mendekati distribusi Normal, dengan rata-rata sebesar 800 jam dan
standar deviasi 40 jam. Tentukan probabilitas bahwa sampel acak dari 16 lampu
akan memiliki rata-rata hidup kurang dari 775 jam.
Penyelesaian: Misalkan οΏ½Μ
οΏ½ adalah lamanya hidup bola lampu yang berdistribusi
Normal dengan ποΏ½Μ
οΏ½ = 800 dan ποΏ½Μ
οΏ½ =40
β16= 10.
Probabilitas bahwa sampel acak dari 16 lampu akan memiliki rata-rata hidup
kurang dari 775 jam adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 37
22
π(οΏ½Μ
οΏ½ < 775) = π (οΏ½Μ
οΏ½ β 800
40/β16<775 β 800
10) = π(π < β2.5) = 0.0062.
Gagasan umum distribusi sampling dan Teorema Limit Pusat sering
digunakan untuk menghasilkan bukti tentang beberapa aspek penting dari
distribusi, seperti parameter dari distribusi. Pada Teorema Limit Pusat, parameter
yang menarik adalah rata-rata populasi π. Selain itu, penentuan nilai wajar dari
rata-rata populasi π adalah salah satu aplikasi yang paling penting dari Teorema
Limit Pusat. Topik seperti pengujian hipotesis, pendugaan selang, kualitas kontrol
dan lainnya memanfaatkan Teorema Limit Pusat. Contoh berikut menggambarkan
penggunaan Teorema Limit Pusat yang berkaitan dengan rata-rata populasi serta
penarikan kesimpulan menggunakan distribusi sampling dari οΏ½Μ
οΏ½.
Contoh 2.2.3. Suatu proses manufaktur menghasilkan komponen silinder suku
cadang untuk industri otomotif. Dalam proses tersebut diproduksi komponen yang
memiliki diameter rata-rata 5 milimeter. Insinyur menduga bahwa rata-rata
populasinya adalah 5 milimeter. Sebuah percobaan dilakukan pada 100 komponen
yang dihasilkan oleh proses secara acak dan masing-masing komponen diukur
diameternya. Diketahui bahwa standar deviasi populasi π = 0.1 milimeter. Hasil
percobaan menunjukkan diameter rata-rata sampel οΏ½Μ
οΏ½ = 5.027 milimeter. Apakah
informasi sampel ini muncul untuk mendukung atau menyangkal dugaan
insinyur?
Penyelesaian: Contoh ini merefleksikan berbagai masalah yang sering diajukan
dan diselesaikan dengan pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis sendiri akan
dibahas pada subbab selanjutnya. Untuk menyelesaikan masalah ini, prinsip
distribusi sampling dan logika digunakan.
Jika probabilitas data menunjukkan bahwa nilai οΏ½Μ
οΏ½ = 5.027 berbeda jauh
dari rata-rata populasi (probabilitas mendekati 1), maka dugaan insinyur tersebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 38
23
tidak terbantahkan. Sebaliknya, jika probabilitas cukup kecil, maka data tidak
mendukung dugaan bahwa π = 5. Dengan kata lain, jika rata-rata populasi π = 5,
berapa probabilitas bahwa rata-rata sampel οΏ½Μ
οΏ½ akan menyimpang sebanyak 0.027
milimeter?
Dengan Teorema Limit Pusat, probabilitasnya adalah
π(|οΏ½Μ
οΏ½ β 5| β₯ 0.027) = π(οΏ½Μ
οΏ½ β 5 β₯ 0.027) + π(οΏ½Μ
οΏ½ β 5 β€ β0.027)
= 2π (οΏ½Μ
οΏ½β50.1
β100
β₯ 2.7) = 2π(π β₯ 2.7)
= 2(0.0035) = 0.007.
Oleh karena itu, percobaan tersebut dengan οΏ½Μ
οΏ½ = 5.027 tidak memberikan bukti
pendukung untuk berspekulasi bahwa π = 5. Jadi, dugaan insinyur tersebut dapat
dibantah.
Teorema 2.2.4. Misalkan π1, π2, β¦ , ππ adalah sampel acak yang berdistribusi
Normal dengan rata-rata π dan variansi π2, maka statistik
π =(π β 1)π2
π2=1
π2β(ππ β οΏ½Μ
οΏ½)
2
π
π=1
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas (π β 1). Dengan demikian, οΏ½Μ
οΏ½ dan
π2 adalah variabel acak saling bebas.
Bukti: Pembuktian akan dilakukan secara khusus, yaitu untuk π = 2.
Untuk kasus π = 2,
οΏ½Μ
οΏ½ = (1/2)(π1 + π2)
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 39
24
π2 =1
2 β 1β(ππ β οΏ½Μ
οΏ½)
2
2
π=1
= [π1 β (1
2) (π1 + π2)]
2
+ [π2 β (1
2) (π1 + π2)]
2
= [1
2(π1 β π2)]
2
+ [1
2(π2 β π1)]
2
= 2 [1
2(π1 β π2)]
2
=(π1βπ2)
2
2
Dengan demikian, untuk π = 2,
π =(π β 1)π2
π2=(π1 β π2)
2
2π2= (
π1 β π2
β2π2)2
.
Menurut teorema 2.1.4, karena π1 β π2 adalah kombinasi linear yang saling
bebas, maka variabel acak π1 β π2 berdistribusi Normal (π1 β π2 = π1π1+π2π2,
dengan π1 = 1 dan π2 = β1) dengan rata-rata
1π β 1π = 0
dan variansi
(1)2π2 + (β1)2π2 = 2π2.
Oleh karena
π =π1 β π2
β2π2
berdistribusi Normal Standar, maka menurut Teorema Ketunggalan (lihat contoh
2.1.3), untuk π = 2,
π =(π β 1)π2
π2= (
π1 β π2
β2π2)2
= π2
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 40
25
Untuk membuktikan οΏ½Μ
οΏ½ dan π2 adalah variabel acak saling bebas, maka
misalkan π1 = (π1 + π2)/π dan π2 = (π1 β π2)/π adalah variabel acak saling
bebas, sehingga
οΏ½Μ
οΏ½ =π1+π2
2=
ππ1
2 dan π2 =
(π1βπ2)2
2=
(ππ2)2
2.
Karena οΏ½Μ
οΏ½ adalah fungsi dari π1 dan π2 adalah fungsi dari π2, maka bebas π1 dan
π2 mengakibatkan οΏ½Μ
οΏ½ dan π2 saling bebas. β
Asumsi pada Teorema Limit Pusat dan distribusi Normal adalah standar
deviasi (π) diketahui. Asumsi ini mungkin tidak masuk akal dalam situasi praktis.
Namun, dalam banyak skenario percobaan, pengetahuan π tentu tidak lebih masuk
akal dari pengetahuan tentang rata-rata populasi π. Seringkali, pada kenyataannya,
pendugaan π harus diberikan oleh informasi sampel yang sama dalam
menghasilkan rata-rata sampel οΏ½Μ
οΏ½. Akibatnya, statistik yang digunakan untuk
menarik kesimpulan pada π adalah
π = οΏ½Μ
οΏ½ β π
π/βπ.
Definisi 2.2.1. Misalkan π adalah variabel acak berdistribusi Normal Standar dan
π adalah variabel acak berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas π£. Jika π
dan π saling bebas, maka distribusi dari variabel acak π, dengan
π =π
βπ/π£
adalah distribusi π‘ dengan derajat bebas π£ = π β 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 41
26
Teorema 2.2.5. Jika π1, π2, β¦ , ππ merupakan sampel acak dari populasi
berdistribusi Normal dengan rata-rata π, variansi π2 dan
οΏ½Μ
οΏ½ =1
πβ ππππ=1 dan π2 =
1
πβ1β (ππ β οΏ½Μ
οΏ½)
2ππ=1 ,
maka variabel acak π = οΏ½Μ
οΏ½βπ
π/βπ berdistribusi π‘ dengan derajat bebas π£ = π β 1.
Bukti: Misalkan
π = οΏ½Μ
οΏ½ β π
π/βπ
berdistribusi Normal Standar dan
π =(π β 1)π2
π2
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 1.
Karena π dan π saling bebas, maka menurut teorema 2.2.4, οΏ½Μ
οΏ½ dan π2 juga saling
bebas. Jadi, dengan definisi 2.2.1 diperoleh
π = π
βπ/π£=
(οΏ½Μ
οΏ½ β π)/(π/βπ)
β[(π β 1)π2/π2]/(π β 1)=οΏ½Μ
οΏ½ β π
π/βπ,
berdistribusi π‘ dengan derajat bebas n-1. β
Jika ukuran sampel kecil, nilai-nilai π2 berfluktuasi dari sampel ke sampel
dan distribusi π cukup menyimpang dari distribusi Normal Standar. Jika ukuran
sampel cukup besar (π β₯ 30), maka distribusi π tidak berbeda jauh dari distribusi
Normal Standar. Namun, untuk π < 30, penggunaan distribusi π akan lebih
akurat daripada distribusi Normal Standar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 42
27
Contoh 2.2.4. Seorang ahli kimia mengklaim bahwa rata-rata populasi hasil
proses batch tertentu adalah 500 gram per mililiter bahan baku. Untuk memeriksa
klaim ini, ahli tersebut mengambil sampel sebanyak 25 batch setiap bulan. Jika
nilai π‘ jatuh antara βπ‘0.05 dan π‘0.05, ahli tersebut puas dengan klaimnya.
Kesimpulan apa yang ia tarik dari sampel yang memiliki rata-rata οΏ½Μ
οΏ½ = 518 gram
per mililiter dan standar deviasi sampel π = 40 gram? Asumsikan distribusi hasil
mendekati Normal.
Penyelesaian: Dari tabel distribusi π‘ diperoleh π‘0.05 = 1.711 dengan derajat
bebas 24. Ahli tersebut dapat puas dengan klaimnya jika sampel 25 batch
menghasilkan nilai π‘ antara -1.711 dan 1.711. Jika π = 500, maka
π‘ =518 β 500
40/β25= 2.25,
nilai tersebut di atas 1.711. Probabilitas nilai π‘, dengan π£ = 24, sama atau lebih
besar dari 2.25 adalah sekitar 0.02. Jika π > 500, maka nilai π‘ yang dihitung dari
sampel akan lebih masuk akal. Oleh karena itu, ahli tersebut cenderung
menyimpulkan bahwa proses batch menghasilkan produk yang lebih baik
daripada klaimnya.
Distribusi Sampling Perbedaan antara Dua Rata-Rata
Pada contoh sebelumnya, distribusi sampling hanya berpusat pada rata-rata
tunggal π, khususnya untuk sampel berukuran besar (π β₯ 30) maupun sampel
berukuran kecil (π < 30). Lebih jauh lagi, distribusi sampling tidak hanya
berpusat pada rata-rata satu populasi, tetapi melibatkan dua populasi. Peneliti akan
lebih tertarik dalam membandingkan percobaan yang melibatkan dua metode
perbandingan. Dasar untuk perbandingannya adalah π1 β π2, perbedaan pada rata-
rata populasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 43
28
Misalkan ada dua populasi, populasi pertama dengan rata-rata π1 dan
variansi π12, populasi kedua dengan rata-rata π2 dan variansi π2
2. Statistik οΏ½Μ
οΏ½1
merepresentasikan rata-rata dari sampel acak berukuran π1 yang dipilih dari
populasi pertama. Statistik οΏ½Μ
οΏ½2 merepresentasikan rata-rata dari sampel acak
berukuran π2 yang dipilih dari populasi kedua dan saling bebas dengan sampel
dari populasi pertama. Menurut Teorema Limit Pusat, variabel οΏ½Μ
οΏ½1 mendekati
distribusi Normal dengan rata-rata π1 dan variansi π12/π1 serta variabel οΏ½Μ
οΏ½2
mendekati distribusi Normal dengan rata-rata π2 dan variansi π22/π2.
Oleh karena οΏ½Μ
οΏ½1 dan οΏ½Μ
οΏ½2 saling bebas, maka
οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 = π1οΏ½Μ
οΏ½1 + π2οΏ½Μ
οΏ½2, dengan π1 = 1 dan π2 = β1
mendekati distribusi Normal dengan rata-rata
ποΏ½Μ
οΏ½1βοΏ½Μ
οΏ½2 = ποΏ½Μ
οΏ½1 β ποΏ½Μ
οΏ½2 = π1 β π2
dan variansi
ποΏ½Μ
οΏ½1βοΏ½Μ
οΏ½22 = ποΏ½Μ
οΏ½1
2 + ποΏ½Μ
οΏ½22 =
π12
π1+π22
π2.
Teorema 2.2.6. Jika sampel berukuran π1 dan π2 yang saling bebas dan dipilih
secara acak dari dua populasi dengan rata-rata π1, π2 dan variansi π12, π2
2, maka
distribusi sampling dari perbedaan rata-rata οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 mendekati distribusi Normal
dengan rata-rata dan variansi diberikan oleh
ποΏ½Μ
οΏ½1βοΏ½Μ
οΏ½2 = π1 β π2 dan ποΏ½Μ
οΏ½1βοΏ½Μ
οΏ½22 =
π12
π1+π2
2
π2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 44
29
Dengan kata lain,
π =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
β(π12/π1) + (π22/π2)
mendekati distribusi Normal Standar.
Bukti: Misalkan π11, π12,β¦, π1π1adalah sampel acak saling bebas dari populasi
dengan rata-rata π1, variansi π12 dan π21, π22,β¦, π2π2 adalah sampel acak saling
bebas dari populasi dengan rata-rata π2, variansi π22.
Dipandang rata-rata sampel
οΏ½Μ
οΏ½1 =β π1ππ1π=1
π1 dan οΏ½Μ
οΏ½2 =
β π2ππ2π=1
π2.
Fungsi pembangkit momen dari variabel acak οΏ½Μ
οΏ½1 adalah
ποΏ½Μ
οΏ½1(π‘) = πΈ (π
π‘β π1ππ1π=1π1 ) = πΈ (π
π‘π11π1 π
π‘π12π1 β¦π
π‘π1π1π1 ),
menurut teorema 2.1.3,
ποΏ½Μ
οΏ½1(π‘) = ππ11 (
π‘
π1) x ππ12 (
π‘
π1) xβ¦ x ππ1π1
(π‘
π1)
= (ππ1(
π‘
π1)+
1
2π21(
π‘
π1)2
)
π1
= ππ1π‘+
1
2
π12
π1π‘2.
Dengan cara yang sama, fungsi pembangkit momen dari variabel acak οΏ½Μ
οΏ½2 adalah
ποΏ½Μ
οΏ½2(π‘) = π
π2π‘+1
2
π22
π2π‘2.
Dengan demikian, menurut teorema 2.1.3,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 45
30
ποΏ½Μ
οΏ½1βοΏ½Μ
οΏ½2(π‘) = ποΏ½Μ
οΏ½1
(π‘)ποΏ½Μ
οΏ½2(βπ‘)
= ππ1π‘+
1
2
π12
π1π‘2πβπ2π‘+
1
2
π22
π2(βπ‘)2
= π(π1βπ2)π‘+
1
2(π12
π1+π22
π2)π‘2.
Oleh karena ποΏ½Μ
οΏ½1βοΏ½Μ
οΏ½2(π‘) identik dengan fungsi pembangkit momen dari distribusi
Normal, maka menurut Teorema Ketunggalan, οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 mempunyai distribusi
Normal dengan rata-rata π1βπ2 dan variansi π1
2
π1+π2
2
π2. β
Jika π1 dan π2 lebih besar/sama dengan 30, maka pendekatan distribusi
Normal untuk distribusi οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 adalah baik ketika distribusi yang mendasarinya
tidak terlalu jauh dari Normal. Bahkan, ketika π1 dan π2 kurang dari 30,
pendekatan distribusi Normal juga cukup bagus, kecuali populasinya jelas tidak
Normal. Jika populasinya Normal, maka distribusi οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 akan berdistribusi
Normal, tidak peduli berapapun ukuran sampel π1 dan π2.
Contoh 2.2.5. Dua percobaan independen (saling bebas) dijalankan untuk
membandingkan dua jenis cat. Delapan belas spesimen dicat menggunakan cat
jenis A dan waktu pengeringan direkam dalam jam. Hal yang sama juga dilakukan
pada cat jenis B. Standar deviasi populasi keduanya adalah 1. Asumsikan rata-rata
waktu pengeringan cat adalah sama untuk kedua jenis cat.
Tentukan π(οΏ½Μ
οΏ½π΄ β οΏ½Μ
οΏ½π΅ > 1), dengan οΏ½Μ
οΏ½π΄ dan οΏ½Μ
οΏ½π΅ adalah rata-rata waktu pengeringan
untuk sampel berukuran ππ΄ = ππ΅ = 18.
Penyelesaian: Distribusi sampling οΏ½Μ
οΏ½π΄ β οΏ½Μ
οΏ½π΅ mendekati Normal dengan rata-rata
ποΏ½Μ
οΏ½π΄βοΏ½Μ
οΏ½π΅ = ππ΄ β ππ΅ = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 46
31
dan variansi
ποΏ½Μ
οΏ½π΄βοΏ½Μ
οΏ½π΅2 =
ππ΄2
ππ΄+ππ΅
2
ππ΅=1
18+1
18=1
9.
π(οΏ½Μ
οΏ½π΄ β οΏ½Μ
οΏ½π΅ > 1) diberikan oleh
π(οΏ½Μ
οΏ½π΄ β οΏ½Μ
οΏ½π΅ > 1) = π
(
οΏ½Μ
οΏ½π΄ β οΏ½Μ
οΏ½π΅ β 0
β1
9
> 3
)
= π(π > 3) = 1 β π(π < 3)
= 1 β 0.9987 = 0.0013.
Mesin dalam perhitungan di atas didasarkan pada anggapan bahwa ππ΄ = ππ΅.
Percobaan sebenarnya dilakukan untuk tujuan menggambarkan kesimpulan
tentang kesetaraan ππ΄ dan ππ΅, rata-rata waktu dua populasi pengeringan cat. Jika
dua rata-rata berbeda sebanyak 1 jam (atau lebih), maka ini jelas merupakan bukti
yang digunakan untuk menyimpulkan rata-rata populasi pengeringan cat tidak
sama untuk kedua jenis cat.
Definisi 2.2.2. Distribusi non-sentral π‘ adalah distribusi sampling dari π‘ yang tidak
terdistribusi di sekitar 0, tetapi di sekitar titik lain. Titik lain inilah yang
dinamakan parameter non-sentral Ξ. Parameter non-sentral Ξ dapat dihitung
sebagai
Ξ =π1 β π
π/βπ.
Dengan kata lain, distribusi non-sentral π‘ adalah distribusi sampling dari π‘ yang
muncul ketika π1 benar dan variansi populasi (π) diasumsikan tidak diketahui.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 47
32
C. Pendugaan Parameter
Statistika inferensial dibagi atas dua bagian utama, yaitu pengujian hipotesis
dan pendugaan parameter. Contoh berikut ini akan menjelaskan mengenai
pendugaan parameter dan subbab berikutnya menjelaskan pengujian hipotesis.
Seorang kandidat bupati ingin memperkirakan proporsi sebenarnya dari pemilih
yang akan memilihnya dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk
ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai kandidat tersebut dapat
digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi sebenarnya. Masalah ini jatuh di
wilayah pendugaan.
Definisi 2.3.1. Suatu pendugaan titik dari beberapa parameter populasi π adalah
nilai tunggal π dari statistik οΏ½ΜοΏ½. Nilai οΏ½Μ
οΏ½ dari statistik οΏ½Μ
οΏ½ yang dihitung dari sampel
berukuran π adalah penduga titik dari parameter populasi π.
Definisi 2.3.2. Misalkan π adalah penduga titik untuk parameter π. Jika πΈ(π) =
π, maka π adalah penduga tak bias dan jika πΈ(π) β π, maka π dikatakan bias.
Bias dari penduga titik π diberikan oleh π΅(π) = πΈ(π) β π.
Definisi 2.3.3. Suatu pendugaan selang dari parameter populasi ΞΈ adalah selang
dalam bentuk ππΏ< ΞΈ < ππ, dengan ππΏ (batas kepercayaan bawah) dan ππ (batas
kepercayaan atas) bergantung pada nilai dari statistik οΏ½ΜοΏ½ untuk sampel tertentu dan
distribusi sampling οΏ½ΜοΏ½.
Berdasarkan metode pendugaan klasik, pendugaan parameter terbagi
menjadi dua bagian, yaitu pendugaan titik dan pendugaan selang. Contoh berikut
ini akan menjelaskan tentang pendugaan titik dan pendugaan selang. Misalnya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 48
33
ilmuwan ingin memperkirakan jumlah rata-rata merkuri (Β΅) yang dapat dipisahkan
dari 1 ons batuan cinnabar diperoleh pada lokasi geografis. Pendugaan ini dapat
dilakukan dengan dua bentuk yang berbeda. Pertama, 0.13 ons adalah penduga
yang dekat dengan rata-rata populasi (Β΅) yang tidak diketahui. Jenis pendugaan ini
adalah pendugaan titik karena nilainya tunggal. Kedua, rata-rata merkuri (Β΅) akan
jatuh antara dua angka, misalnya, antara 0.07 dan 0.19 ons. Jenis pendugaan ini
adalah pendugaan selang. Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter
populasi sehingga digunakan pendugaan dalam bentuk selang (pendugan selang).
Informasi dalam sampel dapat digunakan untuk menghitung nilai pendugaan
titik, pendugaan selang atau keduanya. Dalam kasus apapun, pendugaan yang
sebenarnya dilakukan dengan menggunakan estimator (penduga) untuk parameter
sasaran. Jadi, penduga adalah aturan yang dinyatakan sebagai rumus untuk
menghitung nilai dugaan yang didasarkan pada pengukuran sampel.
1. Selang Kepercayaan
Penduga selang biasanya disebut selang kepercayaan. Titik ujung atas dan
bawah dari selang kepercayaan masing-masing dinamakan batas atas dan bawah
kepercayaan. Probabilitas bahwa selang kepercayaan (acak) akan memuat π
(kuantitas yang tetap) disebut koefisien kepercayaan. Dari sudut pandang praktis,
koefisien kepercayaan menunjukkan proporsi, khususnya dalam pengambilan
sampel berulang, selang yang dibentuk akan memuat parameter sasaran π.
Misalkan ππΏ dan ππ adalah batas bawah dan atas kepercayaan yang dipilih
secara acak untuk parameter π. Jika
π(ππΏ β€ ΞΈ β€ ππ) = 1 β πΌ,
maka probabilitas 1 β πΌ adalah koefisien kepercayaan. Hasil dari selang
kepercayaan yang diberikan oleh [ππΏ , ππ] dinamakan selang kepercayaan dua sisi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 49
34
Bentuk selang kepercayaan satu sisi bagian bawah diberikan oleh
π(ππΏ β€ ΞΈ) = 1 β πΌ.
Selang kepercayaan dalam bentuk di atas adalah [ππΏ , β).
Selang kepercayaan satu sisi bagian atas dapat dibentuk menjadi
π(π β€ ππ) = 1 β πΌ.
Selang kepercayaan dalam bentuk di atas adalah (ββ, ππ].
Salah satu metode untuk mencari selang kepercayaan dinamakan metode
Pivot. Metode ini bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot serta
mempunyai dua karakteristik, yaitu
a. Kuantitas Pivot merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter
π yang tidak diketahui.
b. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada
parameter π.
Contoh 2.3.1. Misalkan variabel acak π adalah observasi dari distribusi Normal
dengan rata-rata π yang tidak diketahui dan variansi 1. Tentukan selang
kepercayaan 95% bagi π.
Penyelesaian:
Fungsi probabilitas bagi π diberikan oleh
π(π₯) =1
πβ2πexp [β(
1
2π2) (π₯ β π)2] , ββ < π₯ < β
Oleh karena π tidak diketahui dan variansi 1, maka fungsi probabilitas dari π =
πβπ
π adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 50
35
ππ(π’) =1
β2πexp [β
1
2π’2] , ββ < π’ < β
Jelas bahwa π berdistribusi Normal Standar dengan rata-rata 0 dan variansi 1.
Karena π adalah fungsi dari π dan π, dan distribusi dari π tidak bergantung pada
π, maka π dapat digunakan sebagai Pivot.
Koefisien kepercayaan adalah 1 β πΌ = 0.95, sehingga π§πΌ/2 = π§0.025 = 1.96.
Selang kepercayaan 95% bagi π dapat dicari sebagai berikut,
π(β1.96 < π < 1.96) = 0.95
π (β1.96 <π β π
π< 1.96) = 0.95, π = 1
π(π β 1.96 < π < π + 1.96) = 0.95
Jadi, selang kepercayaan 95% bagi π adalah π β 1.96 < π < π + 1.96.
Jika ukuran sampel besar, parameter sasaran π adalah π atau π1 β π2 dan π
adalah penduga tak bias bagi π, maka untuk π β β, Teorema Limit Pusat
menjamin bahwa π berdistribusi Normal dengan πΈ(π) = π dan standar error ποΏ½ΜοΏ½.
Akibatnya,
π =π β π
ποΏ½ΜοΏ½
akan berdistribusi Normal Standar dan π dapat digunakan sebagai Pivot. Dengan
demikian,
π(βπ§πΌ/2 β€ π β€ π§πΌ/2) = 1 β πΌ.
β‘ π (βπ§πΌ/2 β€π β π
ποΏ½ΜοΏ½β€ π§πΌ/2) = 1 β πΌ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 51
36
β‘ π(βπ§πΌ/2ποΏ½ΜοΏ½ β€ π β π β€ π§πΌ/2ποΏ½ΜοΏ½) = 1 β πΌ.
β‘ π(βπ β π§πΌ/2ποΏ½ΜοΏ½ β€ βπ β€ βπ + π§πΌ/2ποΏ½ΜοΏ½) = 1 β πΌ.
β‘ π(π β π§πΌ/2ποΏ½ΜοΏ½ β€ π β€ π + π§πΌ/2ποΏ½ΜοΏ½) = 1 β πΌ.
Titik ujung untuk selang kepercayaan (1 β πΌ)100% bagi π diberikan oleh
ππΏ = π β π§πΌ/2ποΏ½ΜοΏ½ dan ππ = π + π§πΌ/2ποΏ½ΜοΏ½,
dengan kata lain, ππΏ dan ππ adalah batas bawah dan batas atas selang kepercayaan
(1 β πΌ)100% bagi π.
Diberikan sampel acak π (π β₯ 30) dari suatu populasi dengan rata-rata π
yang tidak diketahui dan variansi π2. Oleh karena rata-rata populasi tidak
diketahui, maka οΏ½Μ
οΏ½ (rata-rata sampel) adalah penduga bagi π.
Selang kepercayaan (1 β πΌ)100% bagi π diberikan oleh
οΏ½Μ
οΏ½ β π§πΌ/2π
βπ< π < οΏ½Μ
οΏ½+π§πΌ/2
π
βπ.
Statistik π/βπ seringkali disebut standar error pendugaan π. Jika standar deviasi
(π) tidak diketahui, maka π (standar deviasi sampel) adalah penduga bagi π.
Contoh 2.3.2. Nilai matematika di suatu negara dikumpulkan dengan cara
mengambil sampel acak 500 sekolah. Masing-masing rata-rata sampel dan standar
deviasinya adalah 501 dan 112. Tentukan selang kepercayaan 99% pada rata-rata
nilai matematika tersebut.
Penyelesaian: Karena ukuran sampel besar, ini sangat memungkinkan untuk
menggunakan pendekatan distribusi Normal. Misalkan π adalah rata-rata nilai
matematika di negara tersebut, sehingga οΏ½Μ
οΏ½ adalah rata-rata sampelnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 52
37
Selang kepercayaan 99% bagi rata-rata nilai matematika (π) diberikan oleh
οΏ½Μ
οΏ½ β π§πΌ/2π
βπ< π < οΏ½Μ
οΏ½+π§πΌ/2
π
βπ.
β‘ οΏ½Μ
οΏ½ Β± π§πΌ/2π
βπ
Karena 1 β πΌ = 0.99, maka πΌ = 0.01. Dengan demikian, π§πΌ/2 = π§0.005 = 2.575.
Selang kepercayaan 99% bagi rata-rata nilai matematika adalah
501 Β± 2.575112
β500= 501 Β± 12.9,
yang mengimplikasikan 488.1 < π < 513.9. Selang 488.1 hingga 513.9
menunjukkan dapat dipercaya 99% memuat rata-rata nilai matematika yang
sebenarnya.
Dipandang variabel acak di bawah ini
π =οΏ½Μ
οΏ½ β π
π/βπ,
dengan π adalah sampel berukuran kecil (π < 30), maka menurut teorema 2.2.5,
variabel acak π akan berdistribusi π‘ dengan derajat bebas π£ = π β 1.
Dari sifat-sifat distribusi π‘ yang menyerupai distribusi Normal untuk ukuran
sampel yang besar, maka penggunaan distribusi π‘ dalam pembentukan selang
kepercayaan bagi π adalah
a. distribusi dari populasi mendekati Normal dengan standar deviasi dari
populasi tidak diketahui.
b. ukuran sampel kecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 53
38
Variabel π tersebut dapat digunakan sebagai Pivot untuk membentuk selang
kepercayaan (1 β πΌ)100% bagi rata-rata populasi (π) sebagai berikut
π(βπ‘πΌ/2 β€ π β€ π‘πΌ/2) = 1 β πΌ.
. β‘ π (βπ‘πΌ/2 β€οΏ½Μ
οΏ½βπ
π/βπβ€ π‘πΌ/2) = 1 β πΌ.
β‘ π (οΏ½Μ
οΏ½ β π‘πΌ/2π
βπβ€ π β€ οΏ½Μ
οΏ½ + π‘πΌ/2
π
βπ) = 1 β πΌ.
Jadi, jika οΏ½Μ
οΏ½ dan π adalah rata-rata dan standar deviasi sampel acak dari populasi
berdistribusi Normal dengan variansi (π2) tidak diketahui, maka selang
kepercayaan (1 β πΌ)100% bagi π adalah
οΏ½Μ
οΏ½ β π‘πΌ/2π
βπβ€ π β€ οΏ½Μ
οΏ½ + π‘πΌ/2
π
βπ.
atau dapat ditulis menjadi
οΏ½Μ
οΏ½ Β± π‘πΌ/2π
βπ,
dengan π‘πΌ/2 adalah nilai π‘ yang memiliki derajat bebas π£ = π β 1 (π < 30).
Dengan demikian, οΏ½Μ
οΏ½ β π‘πΌ(π /βπ) adalah batas bawah kepercayaan (1 β πΌ)100%
bagi π dan οΏ½Μ
οΏ½ + π‘πΌ(π /βπ) adalah batas atas kepercayaan (1 β πΌ)100% bagi π.
Contoh 2.3.3. Sebuah pabrik mesiu telah mengembangkan bubuk baru, yang diuji
di delapan komponen. Hasil pengujian kecepatan meriam (dalam satuan ft/detik)
diberikan sebagai berikut:
3005 2925 2935 2965
2995 3005 2937 2905
Tentukan selang kepercayaan 95% untuk kecepatan rata-rata sebenarnya (π) dari
komponen tersebut. Asumsikan kecepatan meriam mendekati distribusi Normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 54
39
Penyelesaian: Misalkan kecepatan meriam ππ berdistribusi mendekati Normal.
Selang kepercayaan 99% bagi kecepatan rata-rata meriam (π) diberikan oleh
οΏ½Μ
οΏ½ Β± π‘πΌ/2π
βπ.
Karena 1 β πΌ = 0.95, maka πΌ = 0.05. Dengan demikian, π‘πΌ/2 = π‘0.025 = 2.365,
untuk derajat bebas (π£) 7.
Dari perhitungan, diperoleh
οΏ½Μ
οΏ½ =β ππ8π=1
π= 2959, π = ββ (ππβοΏ½Μ
οΏ½)
8π=1
2
πβ1= 39.1 dan π£ = π β 1 = 7.
Jadi, selang kepercayaan 95% bagi rata-rata kecepatan meriam adalah
2959 Β± 2.36539.1
β8 atau 2959 Β± 32.7,
yang mengimplikasikan 2926.3 < π < 2991.7. Selang 2926.3 hingga 2991.7
menunjukkan dapat dipercaya 95% memuat rata-rata kecepatan meriam yang
sebenarnya.
2. Selang Kepercayaan bagi Perbedaan Rata-rata Populasi
Diketahui dua populasi dengan rata-rata π1, π2 dan variansi π12, π2
2. Penduga
titik pada perbedaan antara π1 dan π2 diberikan oleh statistik οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2. Untuk
mendapatkan penduga titik dari π1 β π2, maka dua sampel yang saling bebas
berukuran π1 dan π2 dipilih secara acak dari populasi dan perbedaan rata-rata
οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 dihitung. Berdasarkan teorema 2.2.6, distribusi sampling dari οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2
akan mendekati distribusi Normal Standar dengan rata-rata ποΏ½Μ
οΏ½1βοΏ½Μ
οΏ½2 = π1 β π2 dan
standar deviasi ποΏ½Μ
οΏ½1βοΏ½Μ
οΏ½22 = β(π12/π1) + (π22/π2).
Akibatnya, variabel Normal Standar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 55
40
π =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
β(π12/π1) + (π22/π2)
akan jatuh antara βπ§πΌ/2 dan π§πΌ/2, serta π dapat digunakan sebagai Pivot.
Jika οΏ½Μ
οΏ½1 dan οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel independen berukuran π1, π2 yang
dipilih secara acak dari populasi dengan variansi π12, π2
2 diketahui, maka
pembentukan selang kepercayaan (1 β πΌ)100% untuk π1 β π2 dengan π sebagai
Pivot adalah
π(βπ§πΌ/2 β€ π β€ π§πΌ/2) = 1 β πΌ
β‘ π (βπ§πΌ/2 β€(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
β(π12/π1) + (π22/π2)β€ π§πΌ/2) = 1 β πΌ.
Jadi, selang kepercayaan (1 β πΌ)100% untuk π1 β π2 adalah
(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β π§πΌ/2βπ12
π1+π22
π2β€ π1 β π2 β€ (οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) + π§πΌ/2β
π12
π1+π22
π2,
dengan π§πΌ/2 adalah nilai π§ di sebelah kanan daerah πΌ/2.
Contoh 2.3.4. Sebuah penelitian dilakukan untuk membandingkan dua jenis
mesin A dan B. Angka konsumsi bensin diukur dalam mil per galon. Lima puluh
percobaan dilakukan menggunakan mesin jenis A dan 75 percobaan dilakukan
dengan mesin jenis B. Bensin yang digunakan dan kondisi lainnya tetap konstan.
Angka rata-rata konsumsi bensin untuk mesin jenis A adalah 36 mil per galon dan
42 mil per galon untuk mesin jenis B. Tentukan selang kepercayaan 96% untuk
ππ΅ β ππ΄, dengan ππ΄ dan ππ΅ adalah angka rata-rata populasi bensin yang
dikonsumsi untuk mesin jenis A dan B. Asumsikan standar deviasi populasi untuk
mesin jenis A dan B adalah 6 dan 8.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 56
41
Penyelesaian: Misalkan ππ΄ dan ππ΅ adalah angka rata-rata populasi bensin yang
dikonsumsi untuk mesin jenis A dan B, sehingga ππ΅ β ππ΄ adalah perbedaan rata-
rata konsumsi bensin untuk mesin jenis B dengan mesin jenis A.
Penduga titik dari ππ΅ β ππ΄ adalah
οΏ½Μ
οΏ½π΅ β οΏ½Μ
οΏ½π΄ = 42 β 36 = 6.
Karena 1 β πΌ = 0.96, maka πΌ = 0.04. Dengan demikian, π§πΌ/2 = π§0.02 = 2.05.
Jadi, selang kepercayaan 96% untuk ππ΅ β ππ΄ adalah
6 β 2.05β64
75+36
50β€ ππ΅ β ππ΄ β€ 6 + 2.05β
64
75+36
50,
atau dapat ditulis sebagai 3.43 β€ ππ΅ β ππ΄ β€ 8.57. Selang 3.43 hingga 8.57
menunjukkan dapat dipercaya 96% memuat perbedaan rata-rata konsumsi bensin
untuk mesin jenis B dan A yang sebenarnya.
Jika variansi tidak diketahui dan dua distribusi di dalamnya dianggap
mendekati Normal, maka distribusi π‘ akan berperan penting bagi selang
kepercayaan pada perbedaan dua rata-rata. Hal tersebut juga berlaku bagi sampel
tunggal. Jika salah satu dari distribusinya dianggap tidak mendekati Normal dan
sampelnya berukuran besar, maka standar deviasi sampel π 1 dan π 2 akan
menggantikan standar deviasi populasi π1 dan π2. Dengan kata lain, π 1 β π1 dan
π 2 β π2.
Akan dicari penduga selang bagi π1 β π2 dengan variansi populasi π12, π2
2
tidak diketahui dan π12 = π2
2 = π2 sebagai berikut,
Dibentuk variabel acak yang berdistribusi Normal Standar, yaitu
π =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
βπ2[(1/π1) + (1/π2)]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 57
42
Dibentuk pula variabel acak lainnya yang berdistribusi Chi-Square dengan derajat
bebas π1 β 1 dan π2 β 1, yaitu
(π1β1)π2
π2 dan
(π2β1)π2
π2.
Karena sampel acaknya dipilih secara independen, maka variabel Chi-Squarenya
juga independen. Akibatnya,
π =(π1 β 1)π
2
π2+(π2 β 1)π
2
π2=(π1 β 1)π
2 + (π2 β 1)π2
π2
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas π£ = π1 + π2 β 2.
Karena π dan π adalah variabel yang saling independen, maka menurut
definisi 2.2.1, statistik
π =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
βπ2[(1/π1) + (1/π2)]/β(π1 β 1)π2 + (π2 β 1)π2
π2(π1 + π2 β 2).
berdistribusi π‘ dengan derajat bebas π£ = π1 + π2 β 2.
Penduga titik dari variansi π2 yang tidak diketahui dapat diperoleh dengan
menggabungkan variansi sampel, dinotasikan dengan penduga gabungan (pooled
estimator), yaitu
ππ2 =
(π1 β 1)π12 + (π2 β 1)π2
2
π1 + π2 β 2. (2.2)
Substitusikan ππ2 ke dalam statistik π,
π =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
ππβ(1/π1) + (1/π2).
Dengan demikian, statistik π tersebut dapat digunakan sebagai Pivot untuk
membentuk selang kepercayaan (1 β πΌ)100% bagi π1 β π2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 58
43
Jika οΏ½Μ
οΏ½1 dan οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel independen berukuran π1, π2 yang
dipilih secara acak dari populasi dengan variansi yang tidak diketahui, tetapi
π12 = π2
2, maka pembentukan selang kepercayaan (1 β πΌ)100% bagi π1 β π2
dengan π sebagai Pivot adalah
π(βπ‘πΌ/2 β€ π β€ π‘πΌ/2) = 1 β πΌ
β‘ π (βπ‘πΌ/2 β€(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
ππβ(1/π1) + (1/π2)β€ π‘πΌ/2) = 1 β πΌ.
Selang kepercayaan (1 β πΌ)100% untuk π1 β π2 adalah
(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β π‘πΌ/2ππβ1
π1+1
π2β€ π1 β π2 β€ (οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) + π‘πΌ/2ππβ
1
π1+1
π2, (2.3)
dengan ππ adalah penduga gabungan dari standar deviasi populasi dan π‘πΌ/2 adalah
nilai π‘ dengan derajat bebas π£ = π1 + π2 β 2, di sebelah kanan daerah πΌ/2.
Contoh 2.3.5. Untuk mencapai efisiensi maksimum dalam melakukan operasi
perakitan di pabrik, karyawan baru membutuhkan periode pelatihan sekitar 1
bulan. Metode baru pelatihan disarankan dan tes dilakukan untuk membandingkan
metode baru dengan prosedur standar. Dua kelompok dari sembilan karyawan
dilatih selama 3 minggu, satu kelompok menggunakan metode baru dan lainnya
mengikuti prosedur pelatihan standar. Lamanya waktu untuk merakit perangkat
tercatat pada akhir periode. Pengukuran yang dihasilkan seperti ditunjukkan oleh
tabel 2.1. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi perbedaan rata-rata metode
standar dengan metode baru. Asumsikan waktu perakitan mendekati Normal,
variansi kedua metode sama dan kedua sampel independen.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 59
44
Tabel 2.1 Pengukuran Lamanya Waktu Perakitan Perangkat
Prosedur Pengukuran
Standar 32 37 35 28 41 44 35 31 34
Baru 35 31 29 25 34 40 27 32 31
Penyelesaian: Misalkan π1 adalah rata-rata waktu yang dibutuhkan karyawan
untuk merakit perangkat dengan metode pelatihan standar dan π2 adalah rata-rata
waktu yang dibutuhkan karyawan untuk merakit perangkat dengan metode
pelatihan baru. Penduga titik dari οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 adalah 3.66.
Perhitungan:
οΏ½Μ
οΏ½1 =β ππ9π=1
π= 35.22, οΏ½Μ
οΏ½2 =
β ππ9π=1
π= 31.56,
π 12 =
β (ππβοΏ½Μ
οΏ½)9π=1
2
π1β1=
195.56
8= 24.445, π 2
2 =β (ππβοΏ½Μ
οΏ½)9π=1
2
π2β1=
160.22
8= 20.027.
π π2 =
(π1 β 1)π 12 + (π2 β 1)π 2
2
π1 + π2 β 2=8(24.445) + 8(20.027)
9 + 9 β 2= 22.236.
π π = βπ π2 = 4.716.
Karena 1 β πΌ = 0.95, maka πΌ = 0.05. Dengan demikian, π‘πΌ/2 = π‘0.025 = 2.12.
Jadi, selang kepercayaan 95% untuk π1 β π2 adalah
3.66 β (2.12)(4.716)β1
9+1
9β€ π1 β π2 β€ 3.66 + (2.12)(4.716)β
1
9+1
9,
atau dapat ditulis sebagai β1.05 β€ π1 β π2 β€ 8.37. Jika selang π1 β π2 memuat
nilai positif, π1 > π2, maka prosedur pelatihan standar diharapkan mempunyai
waktu yang baik daripada metode baru. Jika selang π1 β π2 memuat nilai negatif,
maka keadaan sebaliknya berlaku. Namun, karena selang kepercayaan memuat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 60
45
nilai negatif dan positif, maka kedua metode pelatihan tidak dapat dikatakan
memiliki waktu yang berbeda dengan yang lain.
Misalkan dicari penduga selang bagi π1 β π2 dengan populasi variansi yang
tidak diketahui serta keduanya tidak sama. Statistik yang akan digunakan sebagai
Pivot dalam pembentukan selang kepercayaan (1 β πΌ)100% bagi π1 β π2 adalah
πβ² =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
β(π12
π1) + (
π22
π2)
,
yang berdistribusi π‘ dengan derajat bebas π£,
π£ =(π12
π1+π22
π2)2
[(π12
π1)2
/(π1 β 1)] + [(π22
π2)2
/(π2 β 1)]
.
Karena π£ sangat jarang merupakan bilangan bulat, maka pembulatan bawah ke
bilangan terdekat sangat diperlukan. Pendugaan derajat bebas tersebut dinamakan
pendekatan Satterthwaite.
Jika οΏ½Μ
οΏ½1, οΏ½Μ
οΏ½2, π 12, π 2
2 berturut-turut adalah rata-rata sampel dan variansi
sampel independen berukuran π1, π2 yang dipilih secara acak dari populasi
dengan variansi yang tidak diketahui dan π12 β π2
2, maka pembentukan selang
kepercayaan (1 β πΌ)100% bagi π1 β π2 dengan πβ² sebagai Pivot adalah
π(βπ‘πΌ/2 β€ πβ² β€ π‘πΌ/2) β 1 β πΌ
β‘ π
(
βπ‘πΌ/2 β€(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
β(π12
π1) + (
π22
π2)
β€ π‘πΌ/2
)
β 1 β πΌ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 61
46
Jadi, selang kepercayaan (1 β πΌ)100% untuk π1 β π2 adalah
(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β π‘πΌ/2βπ 12
π1+π 22
π2β€ π1 β π2 β€ (οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) + π‘πΌ/2β
π 12
π1+π 22
π2,
dengan π‘πΌ/2adalah nilai π‘ berderajat bebas π£,
π£ =(π 12
π1+π 22
π2)2
[(π 12
π1)2
/(π1 β 1)] + [(π 22
π1)2
/(π2 β 1)]
.
Bentuk umum selang kepercayaan untuk π1 β π2 maupun rata-rata satu
populasi π adalah
penduga titik Β± π‘πΌ/2 s. e.Μ (penduga titik)
atau
penduga titik Β± π§πΌ/2 s.e.(penduga titik),
dengan s.e adalah standar error dari penduga titik.
Sebagai contoh, pada kasus di mana π1 = π2 = π, standar error dari οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2
diduga oleh π πβ(1/π1) + (1/π2). Untuk kasus di mana π12 β π2
2, standar
errornya adalah
s. e.Μ (οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) = βπ 12
π1+π 22
π2.
Contoh 2.3.6. Sebuah penelitian dilakukan oleh Departemen Zoologi di Virginia
untuk memperkirakan perbedaan dalam jumlah senyawa kimia ortho-fosfor yang
diukur pada dua stasiun berbeda di Sungai James. Ortho-fosfor diukur dalam
miligram/liter. Lima belas sampel dikumpulkan dari stasiun 1 dan 12 sampel dari
stasiun 2. Lima belas sampel dari stasiun 1 mempunyai rata-rata kandungan ortho-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 62
47
fosfor sebesar 3.84 miligram/liter dan standar deviasi 3.07 miligram/liter. Dua
belas sampel dari stasiun 2 mempunyai rata-rata kandungan ortho-fosfor sebesar
1.49 miligram/liter dan standar deviasi 0.8 miligram/liter. Tentukan selang
kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata kandungan ortho-fosfor sebenarnya
pada dua jenis stasiun, dengan asumsi kedua populasi berdistribusi Normal
dengan variansi berbeda.
Penyelesaian: Misalkan π1 adalah rata-rata kandungan ortho-fosfor di stasiun 1
dan π2 adalah rata-rata kandungan ortho-fosfor di stasiun 2, sehingga π1 β π2
adalah perbedaan rata-rata kandungan ortho-fosfor pada dua jenis stasiun. Rata-
rata sampel, standar deviasi sampel dan ukurannya diberikan sebagai berikut,
untuk stasiun 1, οΏ½Μ
οΏ½1 = 3.84, π 1 = 3.07 dan π1 = 15,
untuk stasiun 2, οΏ½Μ
οΏ½2 = 1.49, π 2 = 0.8 dan π2 = 12.
Karena populasi variansi diasumsikan berbeda, maka selang kepercayaan 95%
bagi π1 β π2 didasarkan pada distribusi π‘ dengan derajat bebas π£,
π£ =(3.072
15+0.82
12)2
[(3.072
15)2
/(14)] + [(0.82
12)2
/11]= 16.3 β 16.
Penduga titik dari π1 β π2 adalah
οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 = 3.84 β 1.49 = 2.35.
Karena 1 β πΌ = 0.95, maka πΌ = 0.05. Dengan demikian, π‘πΌ/2 = π‘0.025 = 2.120,
untuk derajat bebas (π£) 16.
Selang kepercayaan 95% untuk π1 β π2 adalah
2.35 β 2.12β3.072
15+0.82
12β€ π1 β π2 β€ 2.35 + 2.12β
3.072
15+0.82
12,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 63
48
atau dapat ditulis sebagai 0.6 β€ π1 β π2 β€ 4.1.
Jadi, selang kepercayaan dari 0.6 hingga 4.1 dapat dipercaya 95% memuat
perbedaan rata-rata kandungan ortho-fosfor untuk dua stasiun.
3. Observasi Berpasangan
Ada kondisi percobaan yang sangat istimewa, yaitu pendugaan untuk
perbedaan dua rata-rata ketika sampel tidak independen dan variansi dari dua
populasi belum tentu sama. Situasi seperti ini dinamakan observasi berpasangan.
Tak hanya situasi seperti itu, kondisi kedua populasi tidak ditentukan secara acak
untuk satuan percobaan. Setiap unit percobaan yang sama/homogen menerima
kedua kondisi populasi, sebagai hasilnya, setiap unit percobaan memiliki sepasang
pengamatan, satu untuk setiap populasi. Misalnya, jika dilakukan pengujian pada
percobaan diet menggunakan 15 individu, bobot sebelum dan setelah terjadi diet
akan membentuk informasi bagi kedua sampel. Kedua populasinya adalah
βsebelumβ dan βsesudahβ diet, sedangkan unit percobaan adalah individu. Untuk
menentukan apakah diet efektif, perlu ditentukan perbedaan π1, π2, β¦ , ππ pada
observasi berpasangan. Perbedaan tersebut adalah nilai sampel acak π·1, π·2, β¦ , π·π
dari populasi yang diasumsikan berdistribusi Normal dengan variansi ππ·2 dan
rata-rata ππ· = π1 β π2. Penduga dari variansi ππ·2 adalah variansi dari perbedaan
sampel, ππ2. Penduga titik bagi ππ· adalah οΏ½Μ
οΏ½.
Observasi berpasangan dalam percobaan adalah strategi yang dapat
digunakan di berbagai bidang aplikasi. Salah satu hal yang berhubungan dengan
observasi berpasangan adalah pengujian hipotesis yang akan dibahas pada subbab
selanjutnya. Pemilihan unit percobaan yang relatif homogen akan memungkinkan
setiap unit mengurangi error variansi pada kedua populasi.
Perbedaan pasangan ke-i diberikan oleh
π·π = π1π β π2π.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 64
49
Karena kedua observasi diambil dari unit percobaan sampel yang tidak
independen, maka
Var(π·π) = Var(π1π β π2π) = π21 + π22 β 2Cov(π1π, π2π),
dengan Cov(π1π, π2π) adalah kovarian perbedaan dua observasi/ukuran hubungan
dua observasi yang berbeda. Secara intuitif, ππ·2 harus dikurangi karena kesalahan
yang sama dalam dua observasi. Pada pembentukan selang kepercayaan, nantinya
akan bergantung pada standar error οΏ½Μ
οΏ½, yaitu ππ·/βπ, dengan π adalah jumlah
pasangan.
Jika οΏ½Μ
οΏ½ dan π π adalah rata-rata dan standar deviasi sampel pasangan acak π
yang perbedaan populasinya berdistribusi Normal. Pembentukan selang
kepercayaan 100(1 β πΌ)% bagi ππ· = π1 β π2 dengan
π =οΏ½Μ
οΏ½ β ππ·
ππ/βπ
sebagai Pivot adalah
π(βπ‘πΌ/2 < π < π‘πΌ/2) = 1 β πΌ,
π (βπ‘πΌ/2 <οΏ½Μ
οΏ½ β ππ·
ππ/βπ< π‘πΌ/2) = 1 β πΌ.
Dengan demikian, selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% bagi ππ· = π1 β π2 adalah
οΏ½Μ
οΏ½ β π‘πΌ/2π π
βπ< ππ· < οΏ½Μ
οΏ½ + π‘πΌ/2
π π
βπ,
dengan π‘πΌ/2 adalah nilai π‘ berderajat bebas π£ = π β 1, di sebelah kanan πΌ/2.
Contoh 2.3.7. Suatu penelitian dilakukan di Chemosphere untuk melaporkan
tingkat TCDD dioxin dari 20 veteran Vietnam yang mungkin terpapar Agen
Oranye. Tingkat TCDD dalam plasma dan jaringan lemak diberikan pada tabel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 65
50
2.2. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi π1 β π2, dengan π1, π2 adalah rata-
rata tingkat TCDD dalam plasma dan jaringan lemak. Asumsikan distribusi dari
perbedaan mendekati Normal.
Tabel 2.2 Data Tingkat TCDD dalam Plasma dan Jaringan Lemak.
Veteran TCDD TCDD
d(i) (plasma) (jar.lemak)
1 2.5 4.9 -2.4
2 3.1 5.9 -2.8
3 2.1 4.4 -2.3
4 3.5 6.9 -3.4
5 3.1 7.0 -3.9
6 1.8 4.2 -2.4
7 6.0 10.0 -4.0
8 3.0 5.5 -2.5
9 36.0 41.0 -5.0
10 4.7 4.4 0.3
11 6.9 7.0 -0.1
12 3.3 2.9 0.4
13 4.6 4.6 0.0
14 1.6 1.4 0.2
15 7.2 7.7 -0.5
16 1.8 1.1 0.7
17 20.0 11.0 9.0
18 2.0 2.5 -0.5
19 2.5 2.3 0.2
20 4.1 2.5 1.6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 66
51
Penyelesaian: Misalkan π1 adalah rata-rata tingkat TCDD dalam plasma dan π2
adalah rata-rata tingkat TCDD dalam jaringan lemak. Karena observasi
berpasangan, maka π1 β π2 = ππ·. Penduga titik bagi ππ· adalah οΏ½Μ
οΏ½ = β0.87.
Standar deviasi dari perbedaan sampel adalah
π π = β1
π β 1β(ππ β οΏ½Μ
οΏ½)
2π
π=1
= β168.4220
19= 2.9773.
Karena 1 β πΌ = 0.95, maka πΌ = 0.05. Dengan demikian, π‘πΌ/2 = π‘0.025 = 2.093,
untuk derajat bebas (π£) 19.
Selang kepercayaan 95% untuk ππ· adalah
β0.87 β (2.093) (2.9773
β20) < ππ· < β0.87 β (2.093) (
2.9773
β20),
atau dapat ditulis sebagai β2.2634 < ππ· < 0.5234. Kesimpulannya adalah tidak
ada perbedaan antara tingkat rata-rata TCDD dalam plasma dan tingkat TCDD
dalam jaringan lemak.
D. Hipotesis Statistik
Pada subbab ini akan dibahas konsep umum hipotesis statistik, pengujian
hipotesis statistik dan nilai π sebagai pembuat keputusan dalam pengujian
hipotesis.
1. Konsep Umum Hipotesis Statistik
Seringkali masalah yang dialami oleh ilmuwan atau insinyur berpusat pada
pembentukan prosedur keputusan berbasis data. Rangkaian prosedur keputusan
tersebut dapat menghasilkan kesimpulan tentang sistem ilmiah. Misalnya, seorang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 67
52
peneliti medis dapat memutuskan atas dasar bukti eksperimental apakah minum
temulawak meningkatkan kadar kolestrol jahat pada darah, seorang insinyur dapat
memutuskan atas dasar data sampel apakah ada perbedaan antara kestabilan dua
jenis gearbox pada motor balap. Pada masing-masing kasus, ilmuwan atau
insinyur membuat pendugaan tentang sistem yang diteliti. Selain itu, ilmuwan
atau insinyur harus menggunakan data eksperimental dan membuat keputusan
berdasarkan data. Oleh karena dugaan yang telah dirumuskan mengarahkan
kepada suatu keputusan, maka dugaan tersebut dapat dimasukkan ke dalam
hipotesis statistik.
Definisi 2.4.1. Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan yang berkaitan
dengan satu atau lebih parameter populasi
Kebenaran atau kesalahan dari hipotesis statistik tidak pernah diketahui
dengan pasti, kecuali keseluruhan populasi diperiksa. Hal ini tentunya akan tidak
efisien dalam kebanyakan situasi. Oleh karena itu, ambil sampel acak dari
populasi dan gunakan data yang terdapat dalam sampel untuk dapat memberikan
bukti mendukung atau tidak mendukung hipotesis. Bukti dari sampel yang tidak
konsisten dengan hipotesis menyatakan penolakan hipotesis. Ketidakpastian
penarikan keputusan hipotesis statistik (benar atau salah) dapat menimbulkan
risiko. Besar kecilnya risiko dapat dinyatakan dalam bentuk probabilitas.
Pernyataan resmi dari hipotesis sering dipengaruhi oleh struktur
kemungkinan dari kesimpulan yang salah. Jika peneliti medis ingin menunjukkan
bukti kuat yang mendukung anggapan bahwa minum temulawak dapat
meningkatkan kadar kolestrol jahat dalam darah, maka hipotesis diuji harus dalam
bentuk βtidak ada peningkatan kadar kolestrol jahat yang dihasilkan oleh minum
temulawakβ. Akibatnya, anggapan tersebut tercapai melalui penolakan. Demikian
pula, untuk mendukung klaim tentang satu jenis gear box lebih stabil daripada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 68
53
yang lain, insinyur menguji hipotesis bahwa tidak ada perbedaan dalam kestabilan
dari dua jenis gear box motor balap. Hal tersebut menunjukkan bahwa ketika
peneliti atau insinyur mengolah data dan meresmikan bukti eksperimental atas
dasar pengujian hipotesis, pernyataan resmi dari hipotesis sangatlah penting.
Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif
Struktur pengujan hipotesis akan dirumuskan dengan penggunaan istilah
hipotesis nol dan hipotesis alternatif. Hipotesis nol mengacu pada hipotesis yang
ingin diuji dan dinotasikan oleh π»0. Penolakan hipotesis nol mengarah pada
penerimaan hipotesis alternatif, dilambangkan dengan π»1. Hipotesis alternatif
biasanya mewakili pertanyaan yang harus dijawab atau teori yang akan diuji.
Hipotesis nol menentang hipotesis alternatif dan seringkali hipotesis nol dianggap
komplemen logis untuk hipotesis alternatif.
Salah satu dari dua kesimpulan yang dapat diperoleh pada pengujian
hipotesis statistik, di antaranya:
a. Menolak π»0, yang berarti bahwa mendukung π»1 karena adanya bukti yang
cukup dalam data.
b. Gagal untuk menolak π»0 karena tidak cukup bukti dalam data.
Penggunaan istilah βmenerima π»0β tidak dilibatkan dalam salah satu dari dua
kesimpulan di atas. Pernyataan tentang π»0 sering bertentangan dengan ide baru,
dugaan dan begitu juga π»1. Oleh karena itu, kegagalan untuk menolak π»0
mewakili kesimpulan yang tepat.
Contoh 2.4.1. Suatu food processor ingin memeriksa apakah jumlah rata-rata
kopi yang masuk ke dalam tabung 4 onsnya adalah memang benar 4 ons. Food
processor tersebut tidak boleh menempatkan kurang dari 4 ons ke setiap tabung
dan juga tidak boleh menempatkan lebih dari 4 ons ke setiap tabung. Hal ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 69
54
terjadi untuk mencegah kehilangan pelanggan dan keuntungannya. Oleh karena
itu, hipotesis alternatifnya adalah
π»1: π β 4.
Hipotesis nol adalah
π»0: π = 4.
Meskipun aplikasi pengujian hipotesis telah banyak diterapkan di bidang
ilmiah dan pekerjaan rekayasa, ilustrasi yang lebih baik untuk memahami
hipotesis terletak pada keadaan pengadilan.
Contoh 2.4.2. Hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya berupa:
π»0: terdakwa tidak bersalah,
π»1: terdakwa bersalah.
Pada kasus di atas, hipotesis nol (π»0) berada dalam oposisi terhadap hipotesis
alternatif (π»1) dan hipotesis nol dipertahankan (diasumsikan benar), kecuali π»1
didukung oleh bukti βtanpa keraguanβ. Namun, kegagalan hakim untuk menolak
π»0 bukan berarti bahwa terdakwa tidak bersalah. Melainkan, kegagalan hakim
untuk menolak π»0 menyatakan bahwa bukti itu tidak cukup untuk menghukum
terdakwa. Jadi, hakim tidak selalu menerima π»0 tetapi gagal untuk menolak π»0.
Oleh karena itu, penggunaan istilah βmenerima π»0β memiliki makna yang kurang
tepat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 70
55
2. Pengujian Hipotesis Statistik
Pengujian hipotesis statistik menghasilkan suatu keputusan apakah hipotesis
nol ditolak ataupun tidak ditolak. Ada dua hal yang terkait dengan keputusan
pengujian hipotesis, yaitu statistik uji dan daerah penolakan hipotesis nol. Statistik
uji adalah fungsi pengukuran sampel yang mendasari keputusan statistik. Statistik
uji merupakan fungsi dari data dan π0. Statistik uji dipilih untuk membedakan π»0
dan π»1. Umumnya, statistik uji memuat penduga dari π. Statistik uji yang dikenal
antara lain π, π, π2. Dalam menentukan statistik uji perlu dilakukan pemenuhan
asumsi di antaranya, populasi berdistribusi Normal atau tidak, serta variansi
diketahui.
Untuk membuat keputusan bahwa hipotesis nol ditolak, maka harus
ditentukan terlebih dahulu daerah penolakan hipotesis nol. Daerah penolakan
hipotesis nol dinamakan daerah kritis. Nomor terakhir yang diamati melewati
daerah kritis disebut nilai kritis. Sedangkan untuk membuat keputusan bahwa
bukti yang ada mendukung hipotesis nol, maka harus ditentukan daerah kegagalan
penolakan hipotesis nol. Nilai kritis membagi daerah penolakan hipotesis nol
dengan daerah kegagalan penolakan hipotesis nol.
Suatu ilustrasi akan dijelaskan untuk menggambarkan konsep yang
digunakan dalam pengujian hipotesis statistik tentang parameter populasi, sebagai
berikut:
Contoh 2.4.3. Suatu sekolah ingin memeriksa apakah rata-rata nilai siswa kelas 9
adalah 74. Misalkan standar deviasi populasi nilai siswa adalah π = 4.9 dan
sampel random berukuran π = 49 akan menjadi οΏ½Μ
οΏ½, penduga paling baik bagi π.
Hipotesis nol diuji dengan pernyataan βtidak ada perbedaan rata-rata nilai siswa
kelas 9β. Hipotesis alternatifnya adalah βada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas
9β. Oleh karena οΏ½Μ
οΏ½ adalah penduga paling baik bagi π, maka pengujian ini dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 71
56
dimodelkan menggunakan pendekatan distribusi Normal dengan standar deviasi
ποΏ½Μ
οΏ½ =π
βπ=
4.9
β49= 0.7.
Pengujian hipotesisnya adalah sebagai berikut
π»0: π = 74,
π»1: π β 74.
Hipotesis alternatif memiliki dua kemungkinan nilai yaitu, π < 74 atau π > 74.
Rata-rata sampel yang jatuh mendekati konstanta yang dihipotesiskan yaitu,
74, akan mempunyai bukti yang cukup untuk mendukung π»0. Di sisi lain, rata-
rata sampel yang kurang atau lebih dari 74 akan menjadi bukti yang tidak
konsisten dengan π»0 dan mendukung π»1. Rata-rata sampel adalah statistik uji
pada kasus ini. Daerah kritis untuk statistik uji ini adalah οΏ½Μ
οΏ½ < 73 dan οΏ½Μ
οΏ½ > 75.
Daerah kegagalan untuk menolak π»0 adalah 73 β€ οΏ½Μ
οΏ½ β€ 75. Jadi, jika οΏ½Μ
οΏ½ < 73 dan
οΏ½Μ
οΏ½ > 75, maka π»0 ditolak dan jika 73 β€ οΏ½Μ
οΏ½ β€ 75, maka gagal untuk menolak π»0.
Kriteria keputusan dapat dilihat pada gambar 2.1.
73 74 75 οΏ½Μ
οΏ½
Gambar 2.1 Kriteria Keputusan untuk Menguji π = 74 Versus π β 74.
a. Peluang Kesalahan Uji Hipotesis
Proses penarikan keputusan dapat menyebabkan salah satu dari dua
kesimpulan yang salah. Misalnya, pada contoh 2.4.3 tidak ada perbedaan rata-rata
nilai siswa kelas 9 (π»0 benar). Namun, kesimpulan yang diperoleh adalah ada
perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9. Kesimpulan tersebut jelas adalah suatu
Menolak π»0
(π β 74)
Tidak menolak π»0
(π = 74)
Menolak π»0
(π β 74)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 72
57
kesalahan (menolak π»0 dan mendukung π»1), pada kenyataannya π»0 benar.
Kesalahan tersebut dinamakan kesalahan tipe I.
Definisi 2.4.2. Penolakan terhadap hipotesis nol (π»0) ketika hipotesis yang diuji
ternyata benar dinamakan kesalahan tipe I. Probabilitas untuk melakukan
kesalahan tipe ini dinamakan tingkat signifikansi (πΌ) ataupun
πΌ = π(kesalahan tipe I) = π (π»0 ditolak | π»0 benar ).
Contoh 2.4.4. Pada contoh 2.4.3 sebelumnya, kesalahan tipe I akan terjadi ketika
rata-rata nilai siswa kelas 9 kurang dari 73 atau lebih besar dari 75. Kemudian,
peneliti menyimpulkan bahwa ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9, padahal
sebenarnya ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9. Peluang dalam melakukan
kesalahan tipe I adalah
πΌ = π(οΏ½Μ
οΏ½ < 73 | π = 74 ) + π(οΏ½Μ
οΏ½ > 75 | π = 74)
= π(π <73β74
4.9/β49| π = 74 ) + π(π >
75β74
4.9/β49| π = 74 )
= π(π < β1.428) + π(π > 1.428)
= 2π(π < β1.428) = 2 β 0.0764 = 0.1528.
Jadi, semua sampel berukuran 49 akan menghasilkan keputusan penolakan π =
74 pada tingkat signifikansi 15.28%, ketika sebenarnya hipotesis nol benar.
Untuk mengurangi πΌ dapat dilakukan dengan meningkatkan ukuran sampel
ataupun dengan cara melebarkan daerah kesalahan penolakan hipotesis.
Pengurangan πΌ dengan cara meningkatkan ukuran sampel dapat dilihat pada
contoh 2.4.5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 73
58
Contoh 2.4.5. Pada contoh 2.4.3, jika ukuran sampel ditingkatkan menjadi π =
100, maka ποΏ½Μ
οΏ½ =4.9
10= 0.49. Dengan demikian, peluang kesalahan tipe I (πΌ) akan
menjadi
πΌ = π(οΏ½Μ
οΏ½ < 73 | π = 74 ) + π(οΏ½Μ
οΏ½ > 75 | π = 74)
= π(π <73β74
4.9/β100| π = 74 ) + π(π >
75β74
4.9/β100| π = 74 )
= π(π < β2.04) + π(π > 2.04)
= 2π(π < β2.04) = 2 β 0.0207 = 0.0414.
Pengurangan nilai πΌ tidak cukup menjamin bahwa pengujian hipotesis
telah baik prosedurnya. Perlu dilakukan perhitungan kesalahan lain terhadap
hipotesis alternatif. Jenis kedua dari kesalahan proses penarikan keputusan ini
adalah jika rata-rata nilai siswa berada pada interval 73 β€ οΏ½Μ
οΏ½ β€ 75 maka tidak
dapat disimpulkan bahwa ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9. Padahal,
tidak ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9 (π»1 benar). Dalam kasus ini
diperoleh kegagalan untuk menolak π»0, padahal π»0 salah. Inilah yang dinamakan
kesalahan tipe II.
Definisi 2.4.3. Kegagalan untuk menolak hipotesis nol (π»0) ketika hipotesis yang
diuji ternyata salah dinamakan kesalahan tipe II. Probabilitas untuk melakukan
kesalahan tipe ini diberi simbol π½,
π½ = π(kesalahan tipe II) = π (Gagal untuk menolak π»0 | π»0 salah).
Contoh 2.4.6. Pada contoh 2.4.3, jika sangat penting untuk menolak π»0 ketika
π = 100 dan rata-rata sebenarnya adalah suatu nilai π β₯ 76 atau π β€ 72, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 74
59
peluang melakukan kesalahan tipe II dapat dihitung untuk hipotesis alternatif π =
76 dan π = 72. Jadi, peluang untuk menolak hipotesis nol yaitu π = 74 ketika
hipotesis alternatif π = 76 benar adalah
π½ = π(73 β€ οΏ½Μ
οΏ½ β€ 75| π = 76)
= π (73β76
4.9/β100< π <
75β76
4.9/β100)
= π(β6.12 < π < β2.04)
= π(π < β2.04) β π(π < β6.12)
= 0.0207 β 0 = 0.0207.
Nilai dari π½ menunjukkan probabilitas yang cukup kecil, ketika π = 100, untuk
tidak menolak hipotesis nol, ketika π»0 salah.
Peluang melakukan kesalahan tipe II (π½) meningkat secara cepat ketika
nilai dari π didekati, tapi nilai tersebut tidak sama dengan konstanta yang
dihipotesiskan. Misalnya, jika hipotesis alternatif π = 74.5 adalah benar, maka
sangat mungkin untuk tidak menolak hipotesis nol. Peluang kesalahan tipe II
adalah
π½ = π(73 β€ οΏ½Μ
οΏ½ β€ 75| π = 74.5)
= π (73β74.5
4.9/β100< π <
75β74.5
4.9/β100)
= π(β3.06 < π < 1.02)
= π(π < 1.02) β π(π < β3.06)
= 0.8461 β 0.0011 = 0.845.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 75
60
Secara umum, ada empat kemungkinan situasi untuk menentukan apakah
keputusan hasil pengujian hipotesis statistik itu benar atau terdapat kesalahan.
Empat kemungkinan tersebut dijelaskan pada tabel 2.3.
Tabel 2.3 Kemungkinan Situasi dalam Pengujian Hipotesis Statistik
π―π benar π―π salah
Gagal untuk Menolak π―π Keputusan yang benar Kesalahan tipe II
Tolak π―π Kesalahan tipe I Keputusan yang benar
b. Peranan πΆ, π· dan Ukuran Sampel
Pada contoh 2.4.4 telah diperoleh nilai πΌ = 0.1528 dan perhitungan pada π½
menghasilkan nilai π½ = 0.0764. Nilai πΌ = 0.1528 ingin diperkecil mendekati nol
dengan cara meningkatkan ukuran dari daerah kritis. Misalnya, nilai kritis adalah
73.5 sehingga daerah penolakan π»0 adalah οΏ½Μ
οΏ½ < 72.5 dan οΏ½Μ
οΏ½ > 74.5 dan daerah
kegagalan penolakan π»0 adalah 73.5 β€ οΏ½Μ
οΏ½ β€ 74.5. Dalam pengujian π»0: π = 74
dan π»1: π β 74 ditemukan bahwa
πΌ = π(οΏ½Μ
οΏ½ < 72.5 | π = 74 ) + π(οΏ½Μ
οΏ½ > 75.5 | π = 74)
= π(π <72.5β74
4.9/β49| π = 74 ) + π(π >
75.5β74
4.9/β49| π = 74 )
= π(π < β2.14) + π(π > 2.14)
= 2π(π < β2.14) = 2 β 0.0162 = 0.0324,
Peluang untuk menolak hipotesis nol yaitu π = 74 ketika hipotesis alternatif π =
76 benar adalah
π½ = π(72.5 β€ οΏ½Μ
οΏ½ β€ 75.5| π = 76)
= π (72.5β76
4.9/β49< π <
75.5β76
4.9/β49) = π(β5 < π < β0.71)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 76
61
= π(π < β0.71) β π(π < β5) = 0.2389 β 0 = 0.2389.
Dengan prosedur keputusan yang baru terlihat bahwa probabilitas kesalahan tipe
II (π½) telah berkurang, namun probabilitas melakukan kesalahan tipe I (πΌ)
menjadi meningkat dari sebelumnya. Jadi, untuk ukuran sampel tetap, penurunan
probabilitas satu kesalahan akan mengakibatkan peningkatan probabilitas
kesalahan lainnya.
Kemungkinan melakukan kedua jenis kesalahan dapat dikurangi dengan
meningkatkan ukuran sampel. Dari contoh 2.4.4 terlihat bahwa ukuran sampel
π = 49 akan menghasilkan πΌ = 0.1528. Namun, jika ukuran sampel diperbesar
menjadi π = 100, maka contoh 2.4.5 menunjukkan bahwa terjadinya penurunan
nilai πΌ menjadi πΌ = 0.0414. Dengan perhitungan yang sama, ukuran sampel π =
49 akan menghasilkan π½ = 0.0764 dan contoh 2.4.6 menunjukkan bahwa
peningkatan ukuran sampel menjadi π = 100 akan menghasilkan π½ = 0.0207.
Dengan demikian, peningkatan ukuran sampel π akan mengurangi πΌ dan π½ secara
bersamaan.
Secara garis besar, dapat disimpulkan bahwa peranan πΌ, π½ dan ukuran
sampel pada pengujian hipotesis, yaitu
a. Kesalahan tipe I dan tipe II saling berkaitan. Penurunan probabilitas yang
satu biasanya menghasilkan peningkatan probabilitas yang lain.
b. Probabilitas melakukan kesalahan tipe I selalu dapat dikurangi dengan
penyesuaian nilai kritis.
c. Peningkatan ukuran sampel π akan mengurangi πΌ dan π½ secara bersamaan.
d. Jika hipotesis nol salah, maka π½ akan maksimum ketika nilai sebenarnya
dari parameter mendekati nilai hipotesis. Semakin besar jarak antara nilai
sebenarnya dengan nilai hipotesis, maka nilai π½ semakin kecil.
Salah satu konsep penting yang berhubungan dengan probabilitas kesalahan uji
hipotesis adalah kuasa uji.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 77
62
Definisi 2.4.4. Kuasa uji adalah probabilitas untuk menolak π»0 ketika hipotesis
alternatifnya benar. Kuasa uji dapat dihitung sebagai 1 β π½.
Kuasa uji akan sangat berguna dalam menilai sensitivitas uji. Misalnya, pada
contoh 2.4.5 uji hipotesisnya adalah:
π»0: π = 74,
π»1: π β 74.
Dalam pengujian hipotesis di atas, π»0 tidak ditolak jika 73 β€ οΏ½Μ
οΏ½ β€ 75. Akan
dilihat kapabilitas tes untuk menolak π»0 ketika π = 74.5. Probabilitas dari
kesalahan tipe II diberikan oleh π½ = 0.845. Dengan demikian, kuasa ujinya
adalah
1 β π½ = 1 β 0.845 = 0.155.
Hal ini berarti pengujian akan benar menolak hipotesis nol hanya 15.5%.
3. Nilai P dan Pembuatan Keputusan dalam Pengujian Hipotesis
Nilai πΌ dapat ditetapkan sendiri dalam memutuskan apakah data yang
diamati harus menyebabkan penolakan hipotesis nol. Nilai πΌ yang terlalu besar
dapat dikurangi dengan membuat penyesuaian nilai kritis. Penurunan nilai πΌ yang
terjadi dalam kuasa uji juga dapat dilakukan dengan meningkatkan ukuran
sampel. Penentuan nilai πΌ akan sangat berpengaruh terhadap keputusan pengujian
hipotesis.
Meskipun nilai πΌ sering direkomendasikan, nilai sebenarnya dari πΌ yang
digunakan dalam analisis, penetapannya agak bebas. Satu eksperimen dapat
memilih untuk menerapkan uji dengan πΌ = 0.05 sedangkan eksperimen lain
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 78
63
mungkin lebih suka πΌ = 0.01. Hal ini dimungkinkan untuk dua orang yang
menganalisis data yang sama dan mencapai kesimpulan yang berlawanan.
Kesimpulan pertama adalah hipotesis nol harus ditolak pada tingkat signifikansi
0.05 dan lainnya memutuskan bahwa hipotesis nol tidak ditolak dengan πΌ = 0.01.
Sebagai konsekuensinya, perlu adanya pelaporan nilai π atau tingkat signifikansi
nyata yang berhubungan dengan uji.
Definisi 2.4.5. Jika π adalah statistik uji, maka nilai π didefinisikan sebagai
tingkat signifikansi πΌ terkecil berdasarkan data yang diamati yang menunjukkan
bahwa hipotesis nol harus ditolak. Dengan kata lain, nilai π adalah kesalahan tipe
I βnyataβ yang dihitung dari sampel.
Pengujian hipotesis diberikan sebagai
π»0: π = 15,
π»1: π β 15.
Pengujian hipotesis di atas ditetapkan pada tingkat signifikansi (πΌ) 0.05. Jika data
pengujian berdistribusi Normal Standar, maka statistik uji yang digunakan adalah
π =οΏ½Μ
οΏ½ β π0
π/βπ,
dengan π0 = 15 dan daerah kritisnya adalah
π§ > 1.96 atau π§ < β1.96.
Nilai 1.96 dapat ditemukan pada tabel luas daerah di bawah kurva Normal dengan
π§0.052
. Nilai π§ yang jatuh di daerah kritisnya menghasilkan kesimpulan bahwa
statistik uji signifikan. Jadi, kesimpulan yang diperoleh adalah ada perbedaan rata-
rata yang signifikan dari nilai 15.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 79
64
Risiko maksimum melakukan kesalahan tipe I harus dikontrol dengan
praseleksi nilai πΌ. Pendekatan ini tidak memperhitungkan nilai dari statistik uji
yang dekat dengan daerah kritis. Pada contoh pengujian hipotesis di atas, jika nilai
π§ = 1.88 dengan πΌ = 0.05, maka nilai π§ tidak signifikan. Namun, risiko
melakukan kesalahan tipe I tidak terlalu parah. Risikonya dapat dihitung dengan
π = 2π(π > 1.88 | π = 15) = 2(0.0301) = 0.0602.
Dalam hal ini, peluang untuk melakukan kesalahan tipe I (tolak π»0| π»0 benar)
kecil. Hal ini disebabkan oleh penolakan hipotesis nol dengan nilai π = 0.0602
kurang dari 0.05 sangat kecil. Artinya, bukti tersebut tidak sekuat dengan apa
yang diperoleh dari penolakan π»0 pada tingkat signifikansi 0.05. Namun,
informasi tersebut akan sangat berguna dalam pengujian hipotesis.
Pendekatan nilai π dapat memberikan kemungkinan lain dalam proses
pembuat keputusan uji hipotesis. Perhitungan nilai π memberikan informasi
penting bagi nilai π§. Sebagai contoh, jika π§ = 2.73, maka
π = 2π(π > 2.73 | π = 15) = 2(0.0032) = 0.0064.
Jelas bahwa nilai π§ signifikan pada tingkat signifikansi lebih kecil dari 0.05.
Namun, nilai π§ = 2.73 adalah peristiwa yang sangat langka. Di bawah kondisi π»0,
nilai tersebut hanya dapat ditemukan 64 kali dalam 10,000 percobaan.
a. Interpretasi Nilai π· Secara Grafis
Penjelasan nilai π secara grafis dapat dilakukan dengan mempertimbangkan
dua sampel yang berbeda. Misalnya, dua jenis pohon efektif untuk mencegah
terjadinya abrasi sungai. Dua jenis pohon tersebut diberi label pohon 1 dan pohon
2. Banyaknya sampel adalah π1 = π2 = 10 dan abrasi diukur dalam persentase
luas permukaan yang terkikis air. Sampel yang diambil berasal dari distribusi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 80
65
umum dengan rata-rata tinggi pohon π = 8. Asumsikan bahwa variansi populasi
adalah 1.
Hipotesis nolnya adalah
π»0: π1 = π2 = 8.
Gambar 2.2 Kurva kemungkinan hasil data kedua jenis pohon dari populasi yang
memiliki dua rata-rata berbeda.
Pada gambar 2.2, data kedua jenis pohon ditempatkan pada distribusi yang
dinyatakan oleh hipotesis nol. Simbol βxβ pada gambar di atas menunjukkan jenis
pohon 1 dan simbol βoβ menunjukkan jenis pohon 2. Dari gambar 2.2 terlihat
jelas bahwa kedua simbol berada pada daerah penolakan hipotesis nol. Peranan
nilai π dapat dilihat hanya sebagai probabilitas kedua simbol, mengingat bahwa
kedua sampel berasal dari distribusi yang sama. Kedua simbol yang berada di
ujung kiri dan kanan kurva memiliki probabilitas yang sangat kecil (mendekati
nol) terhadap π. Dengan kata lain, probabilitas kedua data berada jauh dari π = 8
ketika hipotesis nol benar sangatlah kecil. Jadi, nilai π yang kecil dapat menolak
hipotesis nol dan kesimpulannya adalah rata-rata populasi berbeda secara
signifikan.
Jika nilai π digunakan sebagai pembuat keputusan, maka laporkan nilai
eksak π tersebut. Misalnya, penulisan nilai π = 0.09 atau π = 0.016 memberikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 81
66
informasi yang mendukung bagi keputusan pengujian daripada penulisan nilai
π < 0.05 yang dapat memuat segala kemungkinan nilai π. APA Manual (2010)
juga menyatakan ketika melaporkan nilai π, laporkan nilai eksak π (misal, π =
0.031), bukan nilai relatif (π < 0.01).
Jika ingin menguji
π»0: π = π0,
π»1: π β π0,
dengan π adalah rata-rata populasi dari suatu distribusi Normal (n β₯ 30) dengan
standar deviasi (π) diketahui, π0 adalah nilai yang akan diuji, οΏ½Μ
οΏ½ adalah penduga
dari π dan diketahui nilai Z dari statistik uji yang dikaji adalah:
Z = οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π/βπ=
οΏ½Μ
οΏ½βπ0
ππΈοΏ½Μ
οΏ½, (2.4)
maka nilai π dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:
a. bila π»1: π > π0 maka nilai π = P(Z β₯ z)
b. bila π»1: π < π0 maka nilai π = P(Z β€ z)
c. bila π»1: π β π0 maka nilai π = 2P(Z β₯ z) untuk z β₯ 0,
nilai π = 2P(Z β€ z) untuk z < 0.
Contoh 2.4.7. Standar yang ditetapkan oleh instansi pemerintah menunjukkan
bahwa orang Amerika tidak boleh melebihi asupan sodium harian dengan rata-rata
3300 mg dan standar deviasi 1100 mg. Untuk mencari tahu apakah orang Amerika
melebihi batasan ini, maka diambil sampel berjumlah 100 orang Amerika dan
dihasilkan rata-rata asupan sodium hariannya 3400 mg. Tentukan nilai π.
Penyelesaian: Pengujian hipotesisnya adalah
π»0: π = 3300,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 82
67
π»1: π > 3300,
dengan π adalah rata-rata asupan sodium harian orang Amerika.
Karena statistik uji yang digunakan adalah
Z = οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π/βπ,
maka nilai π didefinisikan sebagai P(Z > z |π»0 benar). Dengan demikian
diperoleh,
π§ = 3400β3300
1100/β100 = 0.91,
dengan
π = P(Z > 0.91|π = 3300 ) = 1 - 0.8186 = 0.1814.
Suatu kesalahan umum yang sering dijumpai adalah mendeskripsikan
bahwa nilai π adalah probabilitas menolak π»0 ketika π»0 benar menjadi
probabilitas π»0 benar. Dengan kata lain,
π = π(menolak π»0|π»0 benar) β π(π»0 benar).
Nilai π adalah probabilitas bersyarat yang mudah untuk dihitung jika asumsinya
adalah hipotesis nol benar. Contoh di bawah ini akan menjelaskan bahwa data
tidak memberikan bukti bahwa π»0 benar.
Contoh 2.4.8. Pandang uji hipotesis
π»0: π = 100,
π»1: π β 100,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 83
68
dengan π adalah rata-rata populasi berdasarkan sampel berukuran 1 dari distribusi
π(0, 202). Misalkan nilai π yang sebenarnya adalah π = 105 dan rata-rata
sampel adalah 101. Jika Z = οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π/βπ adalah statistik uji yang dipakai, maka tentukan
nilai π.
Penyelesaian: Nilai π didefinisikan sebagai 2P(Z > z |π»0 benar). Dengan
demikian diperoleh,
π§ = 101β100
20 = 0.05,
dengan
nilai π = 2P(Z > 0.05| H0) = 2(1 - 0.5199) = 0.9602.
Perhatikan bahwa nilai π besar namun data tidak memberikan bukti bahwa π»0
benar. Keputusan yang dihasilkan oleh nilai π mengakibatkan hipotesis nol gagal
untuk ditolak. Hal ini kontradiksi dengan asumsi nilai rata-rata populasi π yang
bernilai 105. Oleh karena itu, hipotesis nol tidak pernah benar.
b. Bentuk Uji Hipotesis Statistik dan Langkah-Langkah Pengujiannya
Macam-macam bentuk uji hipotesis, yaitu
a. Hipotesis satu arah (one-tail) adalah suatu uji dari setiap hipotesis statistik
yang hipotesis alternatifnya satu sisi, baik berupa sisi kanannya berbentuk
π»0: π β€ π0,
π»1: π > π0
ataupun sisi kirinya
π»0: π β₯ π0,
π»1: π < π0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 84
69
dengan π adalah parameter yang diuji dan π0 adalah konstanta yang
dihipotesiskan.
Hipotesis nol dalam uji satu arah ini dapat juga berbentuk π»0: π = π0.
Daerah kritis untuk hipotesis alternatif π»1: π > π0 terletak di sisi kanan
distribusi statistik uji. Sedangkan daerah kritis untuk hipotesis alternatif
π»1: π < π0 terletak sepenuhnya di sisi kiri distribusi statistik uji.
Contoh hipotesis satu arah:
Jika ingin menguji apakah rata-rata waktu operasi di rumah sakit A lebih
lama daripada rumah sakit B, maka hipotesis alternatifnya berbentuk π»1:
ππ΄ > ππ΅.
b. Hipotesis dua arah (two-tail) adalah suatu uji dari setiap hipotesis statistik
yang hipotesis alternatifnya dua sisi, seperti
π»0: π = π0,
π»1: π β π0.
dengan π adalah parameter yang diuji dan π0 adalah konstanta yang
dihipotesiskan.
Hipotesis alternatif π»1: π β π0 menyatakan bahwa π < π0 atau π > π0.
Oleh karena itu, daerah kritis untuk hipotesis alternatifnya dibagi menjadi
dua bagian dan sering memiliki probabilitas yang sama di setiap sisi
distribusi statistik uji.
Contoh hipotesis dua arah:
Jika ingin menguji apakah ada perbedaan rata-rata lamanya waktu
penyembuhan flu pada pemberian obat A dengan pemberian obat B, maka
hipotesis alternatifnya berbentuk π»1: ππ΄ β ππ΅.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 85
70
Penentuan daerah kritis hanya dapat ditentukan setelah hipotesis alternatif
ditetapkan terlebih dahulu. Oleh karena itu, dalam kasus uji hipotesis satu arah,
hipotesis alternatif menjadi pertimbangan yang sangat penting.
Contoh 2.4.9. Sebuah perusahaan keju olahan mengklaim bahwa rata-rata
kandungan lemak jenuh produknya tidak melebihi 1.8 gram per sajian. Tetapkan
hipotesis nol, hipotesis alternatif yang akan digunakan dalam uji ini dan tentukan
lokasi daerah kritisnya.
Penyelesaian: Klaim perusahaan akan ditolak jika rata-rata kandungan lemak (π)
lebih besar dari 1.8 gram dan tidak boleh ditolak jika rata-rata kandungan lemak
(π) kurang dari atau sama dengan 1.8 gram. Uji hipotesisnya adalah
π»0: π = 1.8,
π»1: π > 1.8.
Daerah kegagalan untuk menolak π»0 tidak mengesampingkan nilai-nilai yang
kurang dari 1.8 gram. Bentuk pengujian hipotesisnya adalah hipotesis satu arah.
Oleh karena itu, simbol βlebih besar dariβ menunjukkan bahwa daerah kritisnya
terletak di sisi sebelah kanan distribusi statistik uji οΏ½Μ
οΏ½.
Contoh 2.4.10. Suatu pabrik cat mengklaim bahwa kaleng cat yang diproduksi
memiliki rata-rata berat kotor 1.2 kg/kaleng. Untuk menguji klaim ini, sejumlah
sampel diambil dan rata-rata berat kotornya dicatat sebagai statistik uji. Tetapkan
hipotesis nol, hipotesis alternatif yang akan digunakan dalam uji ini dan tentukan
lokasi daerah kritisnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 86
71
Penyelesaian: Klaim pabrik cat akan ditolak jika statistik uji lebih tinggi atau
lebih rendah dari rata-rata π = 1.2.
Uji hipotesisnya adalah
π»0: π = 1.2,
π»1: π β 1.2.
Hipotesis alternatif menunjukkan bahwa bentuk hipotesisnya adalah dua arah.
Oleh karena itu, daerah kritisnya dibagi rata di kedua sisi distribusi statistik uji οΏ½Μ
οΏ½.
Pengujian hipotesis berperan penting di berbagai penelitian sosial,
pendidikan dan bidang lainnya. Untuk melakukan suatu penelitian diperlukan
proses penelitian yang akan diolah secara runtut. Sebelum proses tersebut
dilakukan, peneliti harus menemukan teori yang berhubungan dengan
penelitiannya dan teori itu saling berkaitan dengan fakta/fenomena yang terjadi.
Berbagai teori dan fakta tersebut diharapkan mampu menemukan pertanyaan yang
belum terjawab. Dari sekumpulan pertanyaan itu dibentuk perumusan masalah
yang akan diteliti lebih lanjut pada penelitian. Dugaan yang ada pada rumusan
masalah itu akan diuji kebenarannya dalam proses pengujian hipotesis. Setelah
dugaan tersebut diuji kebenarannya, peneliti membentuk rancangan penelitian
untuk menentukan arah penelitian. Selanjutnya, peneliti melakukan
observasi/eksperimen untuk memperoleh data yang diperlukan. Proses yang
paling penting adalah melakukan analisis data yang telah diperoleh serta menarik
kesimpulan dari hasil analisis.
Pengujian hipotesis didasarkan pada beberapa masalah yang akan diuji
kebenarannya, misalnya untuk mengetahui masalah rata-rata populasi dan
mengetahui relasi/asosiasi antar variabel. Seringkali dalam studi empiris, peneliti
salah menginterpretasikan hasil dari pengujian hipotesis. Untuk itu diperlukan
pemenuhan asumsi dan pengambilan jenis sampel yang tepat bagi pengujian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 87
72
hipotesis. Pemenuhan asumsi berupa populasi berdistribusi Normal (jumlah
sampel lebih dari 30) ataupun tidak, sangatlah penting untuk menentukan uji
statistik yang akan digunakan. Pengambilan jenis sampel juga akan berpengaruh
pada uji statistik yang akan digunakan.
Berikut adalah langkah-langkah dalam pengujian hipotesis:
1. Tetapkan hipotesis nol (π»0) dan hipotesis alternatif (π»1)
2. Tetapkan tingkat signifikansi (πΌ)
Pilihan tingkat signifikansi yang umum digunakan adalah 0.05 dan 0.01.
Nilai πΌ yang kecil menunjukkan semakin ketatnya aturan dalam suatu
penelitian. Nilai πΌ juga menunjukkan seberapa ekstrim suatu data yang
dapat menunjukkan adanya perbedaan dengan data lain.
3. Tentukan statistik uji
4. Tentukan daerah penolakan hipotesis nol (daerah kritis)
Biasanya dirumuskan dengan pernyataan βH0 ditolak bilaβ¦β. Ukuran
daerah kritis bergantung pada tingkat signifikansi (πΌ) dari statistik uji yang
dilakukan.
5. Perhitungan statistik uji
6. Kesimpulan
Hasil pengujian hipotesis akan menghasilkan dua kemungkinan yaitu
menolak hipotesis nol atau gagal menolak hipotesis nol. Kesimpulan akhir
dari hasil pengujian hipotesis dapat diperoleh dari dua pendekatan, yaitu
pendekatan klasik dan pendekatan probabilistik.
a. Pendekatan klasik
Pendekatan ini dapat dilakukan dengan perbandingan nilai yang
didapat pada perhitungan statistik uji dengan daerah kritis. Jika
statistik uji berada dalam daerah kritis, maka hipotesis nol (π»0) ditolak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 88
73
Namun, jika statistik uji tidak berada dalam daerah kritis, maka gagal
untuk menolak π»0.
b. Pendekatan probabilistik
Dalam uji statistik melalui program statistik pada komputer, akan ada
keluaran hasil uji statistik berupa nilai π (p-value). Untuk memperoleh
kesimpulan uji hipotesis melalui pendekatan ini, dapat dilakukan
dengan cara membandingkan nilai π dengan taraf signifikansi (πΌ).
Ketentuan perbandingan tersebut adalah bila nilai π kurang dari nilai
πΌ, maka keputusannya adalah π»0 ditolak. Sedangkan bila nilai π lebih
dari nilai πΌ, maka keputusannya adalah gagal untuk menolak π»0.
Pengertian π»0 ditolak di sini memberikan kesimpulan yang menyatakan hasil uji
hipotesis signifikan secara statistik. Jika π»0 gagal ditolak, maka berikan
kesimpulan yang menyatakan hasil uji hipotesis tidak signifikan secara statistik.
Pendekatan klasik dan pendekatan probabilitas (nilai π) akan lebih baik jika
keduanya dicantumkan dalam penarikan kesimpulan.
E. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi
Pada subbab ini akan dibahas pengujian hipotesis rata-rata satu populasi untuk
sampel besar dan sampel kecil.
1. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Besar
Misalkan π1, π2, β¦ , ππ adalah sampel random dari distribusi dengan rata-rata π
dan variansi π2 > 0. Pengujian hipotesis diberikan sebagai berikut:
π»0: π = π0,
π»1: π β π0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 89
74
dengan π0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk π.
Berdasarkan teorema 2.2.1, distribusi sampling dari variabel random οΏ½Μ
οΏ½
mendekati distribusi Normal dengan rata-rata π dan variansi π2/π ketika π besar
(π β₯ 30). Jadi, ποΏ½Μ
οΏ½ = π dan ποΏ½Μ
οΏ½2 = π2/π. Jumlah standar deviasi ketika οΏ½Μ
οΏ½
terletak di sebelah kiri atau kanan π0 dapat diukur menggunakan statistik uji
standar,
π = οΏ½Μ
οΏ½ β π0
π/βπ
yang memiliki pendekatan distribusi Normal Standar ketika π»0 benar dan π = π0.
Pada pengujian hipotesis di atas, peluang untuk hipotesis nol tidak ditolak (jatuh
di luar daerah kritis) dapat ditulis sebagai
π (βπ§πΌ2<
οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π/βπ< π§πΌ
2) = 1 β πΌ.
Diberikan rata-rata sampel οΏ½Μ
οΏ½ dan statistik uji π§ yang dihitung jatuh pada
daerah kritis, sehingga π»0 ditolak ketika
π§ =οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π/βπ > π§πΌ/2 atau π§ =
οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π/βπ < -π§πΌ/2.
Sedangkan jika -π§πΌ/2 < π§ < π§πΌ/2, jangan tolak π»0. Penolakan π»0 mengakibatkan
penerimaan hipotesis alternatif π β π0.
Hipotesis alternatif (π»1) mengimplikasikan bahwa π > π0 atau π < π0.
Nilai rata-rata sampel οΏ½Μ
οΏ½ yang terlalu besar atau terlalu kecil jaraknya dari π0
ditempatkan di daerah penolakan hipotesis nol. Nilai kritis dari statistik uji π§ yang
memisahkan daerah penolakan hipotesis nol dan daerah penerimaan akan berubah
sesuai dengan penentuan tingkat signifikansi (πΌ). Oleh karena itu, daerah kritis
dirancang untuk mengontrol πΌ, peluang kesalahan tipe I.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 90
75
Daerah kritis untuk pengujian hipotesis rata-rata sampel οΏ½Μ
οΏ½ dapat ditulis
sebagai
tolak π»0 jika οΏ½Μ
οΏ½ < π atau οΏ½Μ
οΏ½ > π
dengan
π = π0 β π§πΌ/2π
βπ, π = π0 + π§πΌ/2
π
βπ.
Untuk tingkat signifikansi πΌ tertentu, nilai kritis akan terletak di sebelah kiri π dan
kanan π. Nilai kritis dari variabel random οΏ½Μ
οΏ½ dan π§ tampak pada gambar 2.3.
Gambar 2.3 Daerah Kritis untuk Hipotesis Alternatif π β π0.
Contoh 2.5.1. Hasil harian untuk pabrik kimia lokal memiliki rata-rata populasi
880 ton dan standar deviasi 21 ton selama beberapa tahun terakhir. Manajer
kualitas kontrol ingin mengetahui apakah rata-rata produksi telah berubah dalam
beberapa bulan terakhir. Manajer tersebut memilih secara acak 50 hari dari data
komputer dan mendapatkan rata-rata οΏ½Μ
οΏ½ = 871 ton. Ujilah hipotesis tersebut
dengan tingkat signifikansi 0.05.
Penyelesaian:
1. π»0: π = 880.
2. π»1: π β 880.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 91
76
3. πΌ = 0.05.
4. Statistik uji: Penduga titik bagi π adalah οΏ½Μ
οΏ½, maka statistik ujinya
π§ = οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π/βπ.
5. Daerah kritis: π»0 ditolak bila π§ < β1.96 atau π§ > 1.96.
6. Perhitungan: οΏ½Μ
οΏ½ = 871, π = 50 dan π§ = οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π/βπ=
871β880
21/β50= β3.03.
7. Kesimpulan:
Karena uji pada contoh ini adalah hipotesis dua arah, maka nilai π adalah dua
kali luas daerah yang diarsir di sebelah kiri π§ = β3.03 (Gambar 2.4).
Gambar 2.4 Nilai π untuk Contoh 2.5.1.
Nilai π adalah
π = π(|π| > 3.03) = 2π(π < β3.03) = 0.0024.
Jelas bahwa π = 0.0024 < 0.05, sehingga π»0 ditolak pada tingkat
signifikansi kurang dari 0.05 dan karena π§ = β3.03, perhitungan π§ jatuh pada
daerah kritis, maka manajer dapat menyimpulkan bahwa rata-rata produksi
telah berubah dalam beberapa bulan terakhir (π β 880).
Pengujian hipotesis satu arah pada rata-rata satu populasi melibatkan statistik
yang sama dengan hipotesis dua arah. Perbedaannya terletak pada daerah kritis
yang hanya satu sisi berdistribusi Normal Standar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 92
77
Jika dilakukan pengujian hipotesis
π»0: π = π0,
π»1: π > π0,
maka daerah kritisnya/penolakan π»0 akan dihasilkan ketika π§ > π§πΌ. Sedangkan
jika hipotesis alternatif π»1: π < π0, maka daerah kritis akan terletak sepenuhnya
di sisi lebih rendah dan penolakan dihasilkan dari π§ < βπ§πΌ. Pada bentuk
pengujian hipotesis satu arah, hipotesis nol dapat ditulis sebagai π»0: π β€ π0
ataupun π»0: π β₯ π0. Namun, dalam kasus pengujian hipotesis rata-rata satu
populasi biasanya ditulis sebagai π»0: π = π0.
Contoh 2.5.2. Suatu perusahaan truk curiga terhadap klaim bahwa rata-rata umur
ban merk tertentu adalah setidaknya 28000 mil dan standar deviasi 1348 mil.
Untuk menguji klaim ini, perusahaan mencoba 40 ban tersebut pada truknya dan
mendapatkan rata-rata umur ban 27463 mil. Apa yang dapat disimpulkan jika
taraf signifikansinya 0.01?
Penyelesaian:
Dalam kasus ini, peluang kesalahan tipe I maksimal ketika π = 28000 mil
sehingga pengujian hipotesisnya adalah
1. π»0: π = 28000.
2. π»1: π < 28000.
3. πΌ = 0.01.
4. Statistik uji:
π§ = οΏ½Μ
οΏ½ β π0
π/βπ
5. Daerah kritis: π»0 ditolak bila π§ < β2.33.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 93
78
6. Perhitungan: οΏ½Μ
οΏ½ = 27463, π = 40,
π§ = οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π/βπ=
27463β28000
1348/β40= β2.52.
7. Kesimpulan: Karena π§ = β2.52 kurang dari -2.33, maka hipotesis nol
harus ditolak pada tingkat signifikansi 0.01 dan dapat disimpulkan bahwa
rata-rata umur ban merk tertentu kurang dari 28000 mil.
Perhitungan nilai π adalah
π = π(π < β2.52) = 0.0059.
Karena nilai π = 0.0059 < 0.01, maka π»0 ditolak pada tingkat signifikansi
0.01 dan memperkuat kesimpulan di atas.
Hubungan Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Besar
dengan Selang Kepercayaan
Untuk kasus rata-rata (π) populasi tunggal dengan π2 diketahui, struktur dari
kedua pengujian hipotesis dan estimasi selang kepercayaan didasarkan pada
variabel random
π = οΏ½Μ
οΏ½βπ
π/βπ.
Pengujian π»0: π = π0 terhadap π»1: π β π0 pada tingkat signifikansi πΌ ekivalen
dengan perhitungan selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% pada π. Jika π0 terletak di
luar selang kepercayaan, maka π»0 ditolak. Sedangkan jika π0 terletak di dalam
selang kepercayaan, maka π»0 tidak ditolak. Ekivalensi ini sangat intuitif dan
cukup sederhana untuk digambarkan.
Dalam bentuk nilai οΏ½Μ
οΏ½ yang diamati, kegagalan untuk menolak π»0 pada
tingkat signifikansi πΌ mengakibatkan bahwa
|οΏ½Μ
οΏ½ β π0
π/βπ| β€ π§πΌ/2. (2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 94
79
Daerah kegagalan penolakan π»0 pada pertidaksamaan (2.5) ekivalen dengan
οΏ½Μ
οΏ½ β π§πΌ/2π
βπβ€ π0 β€ οΏ½Μ
οΏ½ + π§πΌ/2
π
βπ.
Selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% untuk π memberikan informasi yang lebih
bagi pengujian hipotesis yaitu hipotesis nol ditolak ataupun tidak ditolak.
Contoh 2.5.3. Suatu sampel random berukuran π = 100 diambil dari populasi
dengan π = 5.1. Diketahui rata-rata sampel οΏ½Μ
οΏ½ = 21.6 dan selang kepercayaan
95% bagi π adalah
οΏ½Μ
οΏ½ β π§0.05/2π
βπβ€ π β€ οΏ½Μ
οΏ½ + π§0.05/2
π
βπ
21.6 β 1.965.1
β100β€ π β€ 21.6 + 1.96
5.1
β100
20.6 β€ π β€ 22.6
Gunakan hubungan antara selang kepercayaan 95% dan tingkat signifikansi πΌ =
0.05 untuk menguji hipotesis nol π = 21.5 terhadap hipotesis alternatif π β 21.5.
Ujilah juga hipotesis nol π = 19 terhadap hipotesis alternatif π β 19.
Penyelesaian: Pengujian hipotesis nol π = 21.5 terhadap hipotesis alternatif π β
21.5 tidak akan menolak π»0 pada tingkat 5%, karena π = 21.5 berada pada
selang kepercayaan 95%. Pada pengujian selanjutnya, π = 19 tidak berada pada
selang kepercayaan 95%. Akibatnya, hipotesis nol ditolak pada tingkat
signifikansi πΌ = 0.05.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 95
80
2. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Kecil
Misalkan π1, π2, β¦ , ππ adalah sampel acak berukuran π (π < 30) dari distribusi
Normal dengan rata-rata π dan variansi π2 yang tidak diketahui, sehingga variabel
acak (οΏ½Μ
οΏ½ β π)/(π/βπ) berdistribusi π‘ dengan derajat bebas π β 1. Nilai dari
standar deviasi populasi (π) dari statistik uji, nantinya digantikan oleh penduga π
dan distribusi Normal Standar digantikan oleh distribusi π‘.
Pengujian hipotesis dua arah bagi rata-rata satu populasi di atas diberikan
sebagai berikut:
π»0: π = π0,
π»1: π β π0,
dengan π0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk π. Hipotesis nol (π»0)
ditolak pada tingkat signifikansi (πΌ) jika nilai statistik uji
π‘ = οΏ½Μ
οΏ½ β π0
π /βπ
melebihi π‘πΌ/2 atau kurang dari βπ‘πΌ/2 dengan derajat bebas π β 1. Untuk kasus
hipotesis satu arah, jika π»1: π > π0, maka daerah penolakan π»0 adalah π‘ > π‘πΌ
dengan derajat bebas π β 1. Jika π»1: π < π0, maka daerah penolakan π»0 adalah
π‘ < βπ‘πΌ dengan derajat bebas π β 1.
Contoh 2.5.4. Institut Listrik Edison mempublikasikan angka pada jumlah
kilowat jam yang digunakan oleh berbagai peralatan rumah. Institusi tersebut
mengklaim bahwa pembersih debu menggunakan rata-rata sebesar 45 kilowat
jam/tahun. Jika 12 sampel rumah termasuk dalam penelitian yang direncanakan
mengindikasikan pembersih debu menggunakan rata-rata 42 kilowat jam/tahun
dan standar deviasi 11.9 kilowat jam/tahun. Apakah ini mengindikasikan pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 96
81
tingkat signifikansi 0.05 bahwa pembersih debu menggunakan rata-rata kurang
dari 46 kilowat jam/tahun? Asumsikan populasinya mendekati Normal.
Penyelesaian: Misalkan π adalah rata-rata penggunaan pembersih debu dalam
kilowat jam/tahun.
Langkah-langkah pengujian hipotesis:
1. π»0: π = 46 kilowat jam.
2. π»1: π < 46 kilowat jam.
3. πΌ = 0.05.
4. Statistik uji:
π‘ = οΏ½Μ
οΏ½ β π0
π /βπ
5. Daerah kritis: π»0 ditolak bila π‘ < β1.796, dengan derajat bebas 11.
6. Perhitungan: οΏ½Μ
οΏ½ = 42, π = 12, π = 11.9,
π‘ = οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π /βπ=
42β46
11.9/β12= β1.16 dan π = π(π < β1.16) β 0.135.
7. Kesimpulan: Karena π‘ = β1.16 lebih dari -1.796 dan nilai π = 0.135
lebih dari πΌ = 0.05, maka hipotesis nol tidak dapat ditolak pada tingkat
signifikansi 0.05 dan dapat disimpulkan bahwa rata-rata kilowat jam yang
digunakan oleh pembersih debu rumah tidak signifikan kurang dari 46
kilowat jam.
Hubungan Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Kecil dengan
Selang Kepercayaan
Misalkan οΏ½Μ
οΏ½ adalah rata-rata sampel yang dipilih secara acak dari populasi
berdistribusi Normal dengan rata-rata π dan variansi π2 tidak diketahui. Oleh
karena variansi populasi tidak diketahui, maka penduga dari variansi adalah
standar deviasi sampel (π ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 97
82
Selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% bagi π adalah
οΏ½Μ
οΏ½ β π‘πΌ/2π
βπβ€ π β€ οΏ½Μ
οΏ½ + π‘πΌ/2
π
βπ.
Selang kepercayaan tersebut berhubungan dengan pengujian hipotesis rata-rata
satu populasi pada tingkat signifikansi πΌ.
Pengujian hipotesis dua arah bagi rata-rata satu populasi diberikan sebagai
berikut:
π»0: π = π0,
π»1: π β π0,
dengan π0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk π.
Daerah penolakan π»0 (daerah kritis) adalah
|οΏ½Μ
οΏ½ β π0
π /βπ| = |π‘| β₯ π‘πΌ/2.
Dalam bentuk nilai οΏ½Μ
οΏ½, π yang diamati, kegagalan untuk menolak π»0 pada tingkat
signifikansi πΌ mengakibatkan bahwa
|οΏ½Μ
οΏ½βπ0
π /βπ| < π‘πΌ/2. (2.6)
Daerah kegagalan penolakan π»0 pada pertidaksamaan (2.6) ekivalen dengan
οΏ½Μ
οΏ½ β π‘πΌ/2π
βπβ€ π0 β€ οΏ½Μ
οΏ½ + π‘πΌ/2
π
βπ.
Secara umum, jika π0 terletak di luar selang kepercayaan, maka π»0 ditolak.
Sedangkan jika π0 terletak di dalam selang kepercayaan, maka π»0 tidak ditolak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 98
83
Contoh 2.5.5. Rata-rata penurunan berat dari 16 bola penggilingan di pabrik
bubur setelah jangka waktu tertentu adalah 3.42 gram dengan standar deviasi 0.68
gram. Selang kepercayaan 95% bagi rata-rata penurunan berat dari bola
penggilingan adalah
οΏ½Μ
οΏ½ β π‘πΌ/2π
βπβ€ π0 β€ οΏ½Μ
οΏ½ + π‘πΌ/2
π
βπ atau 3.06 β€ π β€ 3.78.
Gunakan hubungan antara selang kepercayaan 95% dan tingkat signifikansi πΌ =
0.05 untuk menguji hipotesis nol π = 3.7 terhadap hipotesis alternatif π β 3.7.
Ujilah juga hipotesis nol π = 3 terhadap hipotesis alternatif π β 3.
Penyelesaian: Pengujian hipotesis nol π = 3.7 terhadap hipotesis alternatif π β
3.7 tidak akan menolak π»0 pada tingkat 5%, karena π = 3.7 berada pada selang
kepercayaan 95%. Pada pengujian selanjutnya, π = 3 tidak berada pada selang
kepercayaan 95%. Akibatnya, hipotesis nol ditolak pada tingkat signifikansi πΌ =
0.05.
F. Uji Hipotesis Rata-Rata Dua Populasi
Pada subbab ini akan dibahas prasyarat pengujian hipotesis rata-rata dua populasi,
yaitu uji Normalitas dan uji homogenitas variansi, pengujian hipotesis rata-rata
dua populasi jika variansi diketahui, variansi tidak diketahui tetapi sama, variansi
tidak diketahui dan tidak sama dan sampel berpasangan. Dalam banyak studi dan
kasus, hal yang umum terjadi adalah variansi tidak diketahui dan homogen.
1. Uji Normalitas dan Uji Homogenitas Variansi
Uji Normalitas diperlukan untuk menguji asumsi kedua populasi
berdistribusi Normal atau tidak pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi.
Uji Normalitas dilakukan sebagai berikut
1. π»0: Distribusi kedua populasi Normal.
2. π»1: Distribusi kedua populasi tidak Normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 99
84
3. Tentukan nilai πΌ.
4. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menguji normalitas adalah
Kolgomorov-Smirnov, Shapiro Wilk atau Lilliefors. Statistik uji berupa
deviasi maksimum distribusi kumulatif data dan distribusi kumulatif
normal.
5. Wilayah kritis: π»0 ditolak bila nilai π < πΌ.
6. Perhitungan
7. Kesimpulan
a. Jika nilai π < πΌ, maka distribusi kedua populasi tidak Normal.
b. Jika nilai π > πΌ, maka distribusi kedua populasi Normal.
Uji homogenitas variansi diperlukan untuk menguji asumsi variansi kedua
populasi sama atau tidak pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi.
Pengujian kesamaan variansi dilakukan sebagai berikut
1. π»0: π12 = π2
2.
2. π»1: π12 β π2
2.
3. Tentukan nilai πΌ.
4. Statistik uji
πΉβππ‘π’ππ =ππππ₯
2
ππππ2 ,
dengan π2 adalah variansi sampel.
5. Wilayah kritis: π»0 ditolak bila
πΉβππ‘π’ππ > πΉπ‘ππππ(π£1, π£2) atau nilai π < πΌ,
dengan π£1 = π1 β 1 dan π£2 = π2 β 1.
6. Kesimpulan:
a. Jika nilai π < πΌ atau πΉβππ‘π’ππ > πΉπ‘ππππ(π£1, π£2), maka kedua variansi
populasi tidak sama.
b. Jika nilai π > πΌ atau πΉβππ‘π’ππ < πΉπ‘ππππ(π£1, π£2), maka kedua variansi
populasi sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 100
85
2. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Populasi
Diketahui
Misalkan dua sampel independen berukuran π1 dan π2 dipilih secara acak dari
populasi dengan rata-rata π1, π2 dan variansi π12, π2
2. Variabel acak
π =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
β(π12/π1) + (π22/π2)
berdistribusi Normal Standar. Asumsinya adalah kedua sampel berukuran cukup
besar sehingga Teorema Limit Pusat dapat diterapkan. Jika kedua populasinya
Normal, maka statistik di atas berdistribusi Normal Standar, meskipun kedua
sampel berukuran kecil. Namun, jika asumsinya adalah π1 adalah sama dengan π2,
maka statistik π dapat diubah menjadi
π =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β (π1 β π2)
πβ(1/π1) + (1/π2).
Kedua statistik tersebut merupakan dasar bagi pengujian hipotesis rata-rata dua
populasi.
Pengujian hipotesis dua arah bagi dua rata-rata populasi diberikan oleh
π»0: π1 β π2 = π0,
π»1: π1 β π2 β π0,
dengan π0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi π1 β π2.
Distribusi yang digunakan adalah distribusi dari statistik uji terhadap π»0. Jika
diketahui kedua rata-rata sampel adalah οΏ½Μ
οΏ½1, οΏ½Μ
οΏ½2 dan variansi sampelnya adalah π1,
π2, maka statistik ujinya adalah
π§ =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β π0
β(π12/π1) + (π22/π2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 101
86
Daerah penolakan π»0 adalah π§ > π§πΌ/2 atau π§ < βπ§πΌ/2. Pada pengujian hipotesis
satu arah, dengan π»1: π1 β π2 < π0, daerah penolakan hipotesis nol adalah π§ <
βπ§πΌ. Sedangkan jika π»1: π1 β π2 > π0, maka daerah penolakan hipotesis nol
adalah π§ > π§πΌ.
3. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Populasi
Tidak Diketahui tetapi Sama Besar
Jika οΏ½Μ
οΏ½1, οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel independen yang dipilih secara acak dari
populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata π1, π2 dan standar deviasi tidak
diketahui (π1 = π2), maka pengujian hipotesis rata-rata dua populasi dinamakan
uji π‘ dua sampel.
Pengujian hipotesis dua arah bagi dua rata-rata populasi di atas diberikan oleh
π»0: π1 β π2 = π0,
π»1: π1 β π2 β π0,
dengan π0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi π1 β π2.
Daerah penolakan π»0 pada tingkat signifikansi πΌ adalah jika statistik uji
π‘ =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β π0
π πβ(1/π1) + (1/π2), (2.7)
dengan
π π2 =
π 12(π1 β 1) + π 2
2(π2 β 1)
π1 + π2 β 2 (2.8)
melebihi π‘πΌ/2 ataupun kurang dari βπ‘πΌ/2, derajat bebas π1 + π2 β 2.
Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan π»1: π1 β π2 < π0, daerah penolakan
hipotesis nol adalah π‘ < βπ‘πΌ. Sedangkan jika π»1: π1 β π2 > π0, maka daerah
penolakan hipotesis nol adalah π‘ > π‘πΌ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 102
87
Contoh 2.6.1. Sebuah percobaan dijalankan untuk membandingkan keausan
abrasif dari dua bahan laminasi yang berbeda. Dua belas bagian material 1 diuji
dengan mengekspos setiap bagian ke dalam mesin pengukur. Sepuluh bagian
material 2 juga diuji serupa dengan material 1. Pada masing-masing kasus,
kedalaman material diamati. Sampel dari material 1 memberikan rata-rata sebesar
85 dengan standar deviasi sampel 4 dan material 2 memberikan rata-rata sebesar
81 dengan standar deviasi 5. Dapatkah disimpulkan pada tingkat signifikansi 0.05
bahwa perbedaan rata-rata keausan material 1 dan material 2 lebih dari 2 unit?
Asumsikan populasi mendekati Normal dengan variansi sama.
Penyelesaian: Misalkan π1 dan π2 adalah rata-rata populasi keausan abrasif untuk
material 1 dan material 2. Langkah-langkah pengujian hipotesisnya adalah
1. π»0: π1 β π2 = 2.
2. π»1: π1 β π2 > 2.
3. πΌ = 0.05.
4. Statistik uji:
π‘ =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β π0
π πβ(1/π1) + (1/π2), π π
2 =π 12(π1 β 1) + π 2
2(π2 β 1)
π1 + π2 β 2,
dengan derajat bebas π£ = 20.
5. Daerah kritis: π»0 ditolak jika π‘ > 1.725, derajat bebas 20.
6. Perhitungan:
οΏ½Μ
οΏ½1 = 85, π 1 = 4, π1 = 12,
οΏ½Μ
οΏ½2 = 81, π 2 = 4, π2 = 10.
π π = β(11)(16) + (9)(25)
12 + 10 β 2= 4.478,
π‘ =(85 β 81) β 2
4.478β(1/12) + (1/10)= 1.04,
π = π(π > 1.04) β 0.16.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 103
88
7. Kesimpulan: Karena π‘ = 1.04 kurang dari 1.725 dan nilai π = 0.16 lebih
dari πΌ = 0.05, maka hipotesis nol tidak dapat ditolak pada tingkat
signifikansi 0.05 dan dapat disimpulkan bahwa perbedaan rata-rata
keausan material 1 dan material 2 tidak melebihi 2 unit.
4. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Kedua
Populasi Tidak Diketahui dan Tidak Sama
Misalkan οΏ½Μ
οΏ½1, οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel independen yang dipilih secara acak dari
populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata π1, π2 dan standar deviasi tidak
diketahui (π1 β π2).
Pengujian hipotesis dua arah bagi dua rata-rata populasi di atas diberikan oleh
π»0: π1 β π2 = π0,
π»1: π1 β π2 β π0,
dengan π0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi π1 β π2.
Jika populasi Normal, maka statistik uji
π‘β² =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β π0
β(π 12
π1) + (
π 22
π2)
,
berdistribusi π‘ dengan derajat bebas π£,
π£ =(π 12
π1+π 22
π2)2
[(π 12
π1)2
/(π1 β 1)] + [(π 22
π2)2
/(π2 β 1)].
Daerah penolakan π»0 pada tingkat signifikansi πΌ adalah jika statistik uji
π‘β² < βπ‘πΌ/2 ataupun π‘β² > π‘πΌ/2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 104
89
Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan π»1: π1 β π2 < π0, daerah penolakan
hipotesis nol adalah π‘β² < βπ‘πΌ. Sedangkan jika π»1: π1 β π2 > π0, maka daerah
penolakan hipotesis nol adalah π‘β² > π‘πΌ.
5. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi pada Sampel Berpasangan
Misalkan οΏ½Μ
οΏ½1, οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel berukuran π yang tidak independen serta
dipilih secara acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata π1, π2.
Oleh karena sampel tidak independen, maka sampel tersebut dinamakan sampel
berpasangan. Perbedaan rata-rata antara kedua sampel berpasangan diberi simbol
οΏ½Μ
οΏ½ dan perbedaan standar deviasi kedua sampel berpasangan diberi simbol π π.
Pengujian hipotesis sampel berpasangan dinamakan uji π‘ berpasangan. Perbedaan
rata-rata berpasangan dapat ditulis sebagai π1 β π2 = ππ·.
Pengujian hipotesis sampel berpasangan diberikan oleh
π»0: ππ· = π0,
π»1: ππ· β π0,
dengan π0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi ππ·.
Daerah penolakan hipotesis nol (π»0) adalah jika statistik uji
π‘ =οΏ½Μ
οΏ½ β π0
π π/βπ, (2.9)
melebihi π‘πΌ/2 atau kurang dari βπ‘πΌ/2, derajat bebas π β 1.
Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan π»1: ππ· < π0, daerah penolakan
hipotesis nol adalah π‘ < βπ‘πΌ. Sedangkan jika π»1: ππ· > π0, maka daerah
penolakan hipotesis nol adalah π‘ > π‘πΌ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 105
90
BAB III
EFFECT SIZE COHEN
Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa kritik mengenai uji
signifikansi hipotesis nol. Kritikan itulah yang mengakibatkan harus adanya
tambahan informasi serta interpretasi lebih lanjut pada hasil penarikan
kesimpulan. Selain itu, pada bab ini juga akan dibahas mengenai pengertian effect
size, macam-macam effect size, effect size pada perbedaan rata-rata populasi dan
selang kepercayaan pada effect size perbedaan rata-rata populasi.
A. Dari Uji Signifikansi Hipotesis Nol ke Effect Size
Pengujian hipotesis statistik atau dikenal dengan uji signifikansi hipotesis
nol selalu berhubungan dengan proses penarikan kesimpulan yang hasilnya
diberlakukan untuk populasi. Pada bab II telah dibahas proses penarikan
kesimpulan dengan menggunakan uji signifikansi hipotesis nol. Proses penarikan
kesimpulan yang merupakan tujuan utama statistika inferensial juga telah dibahas
pada bab II. Ada dua sisi pendekatan statistika inferensial, yaitu negatif dan
positif. Negatifnya adalah kritikan terhadap uji signifikansi hipotesis nol dan
positifnya adalah keuntungan dalam pendugaan statistik.
Kritikan terhadap uji signifikansi hipotesis nol pada suatu kasus berikut:
Cumming (2012) mengevaluasi dua studi yang dilakukan oleh Lucky dan Noluck
di mana keduanya menguji percobaan efektivitas terapi baru dan terapi lama pada
penyakit insomnia. Lucky menggunakan dua kelompok independen yang masing-
masing berukuran π = 22 dan Noluck menggunakan dua kelompok yang berbeda
dari Lucky dengan ukuran sampel masing-masing kelompok adalah π = 18.
Masing-masing studi melaporkan perbedaan antara rata-rata untuk percobaan baru
dan percobaan lama. Lucky menemukan bahwa percobaan baru menunjukkan
hasil yang signifikan secara statistik dibanding percobaan lama. Hasil yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 106
91
didapatkan Lucky adalah οΏ½Μ
οΏ½ (perbedaan rata-rata kedua sampel)= 3.61, ππ·
(standar deviasi perbedaan rata-rata kedua sampel) = 6.97, statistik uji π‘ dengan
derajat bebas 42 atau ditulis π‘(42) = 2.43 dan nilai π = 0.02. Noluck
menemukan tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan secara statistik antara
dua rata-rata percobaan dengan οΏ½Μ
οΏ½ (perbedaan rata-rata kedua sampel)= 2.23, ππ·
(standar deviasi perbedaan rata-rata kedua sampel) = 7.59, statistik uji π‘ dengan
derajat bebas 34 atau ditulis π‘(34) = 1.25 dan nilai π = 0.22.
Dari kasus di atas, uji signifikansi hipotesis nol memberikan hasil yang
inkonsisten. Studi yang dilakukan Lucky menunjukkan ada perbedaan yang
signifikan sedangkan Noluck tidak. Hal ini menunjukkan adanya konflik antara
Lucky dan Noluck, sehingga tidak dapat disimpulkan apakah percobaan baru
efektif atau tidak. Perlu adanya pemeriksaan lebih lanjut untuk mencari tahu
mengapa efek ditemukan pada satu studi dan lainnya tidak. Dengan kata lain,
penelitian lebih lanjut dibutuhkan untuk menginvestigasi mengapa percobaan
bekerja di beberapa kasus, tetapi tidak dengan kasus yang lain.
Hasil studi yang dilakukan Lucky dan Noluck dapat dilihat pada gambar
3.1. Gambar 3.1 dapat dibentuk dengan menggunakan selang kepercayaan 95%
pada pertidaksamaan (2.3) dan notasi οΏ½Μ
οΏ½ sebagai perbedaan rata-rata percobaan.
Kedua hasil berada pada daerah yang sama dan ukuran perbedaan rata-rata cukup
serupa dalam dua studi (Lucky dan Noluck). Kedua hasil juga menyediakan bukti
yang cukup kuat bahwa percobaan efektif. Terlebih, perbedaan rata-rata yang
positif mengindikasikan keuntungan bagi percobaan baru.
Lucky
Noluck
-2 0 2 2.23 3.61 4 6 8 οΏ½Μ
οΏ½
Gambar 3.1 Perbedaan Rata-rata Percobaan Insomnia (Percobaan Baru
Dikurangi Percobaan Lama) Studi Lucky dan Noluck dengan Selang Kepercayaan
95%.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 107
92
Selang kepercayaan menunjukkan rentang nilai yang masuk akal untuk
parameter populasi yang diperkirakan. Nilai-nilai di luar selang kepercayaan
relatif tidak masuk akal bagi parameter populasi yang diperkirakan. Setiap nilai
dalam selang kepercayaan cukup bisa menjadi nilai sebenarnya, sehingga selang
kepercayaan yang lebih pendek memberikan nilai lebih baik.
Pada bab II telah dibahas hubungan yang erat antara uji signifikansi
hipotesis nol dengan selang kepercayaan. Jika nol berada di dalam selang
kepercayaan, maka nol adalah nilai yang menunjukkan adanya perbedaan rata-rata
percobaan. Sebaliknya, jika nol di luar selang kepercayaan, maka tidak ada rata-
rata percobaan. Pada gambar 3.1 terlihat bahwa selang kepercayaan Lucky tidak
memuat nol. Hal ini mengindikasikan hasil percobaan yang signifikan secara
statistik. Selang kepercayaan Noluck yang memuat nol mengindikasikan hasil
percobaan tidak signifikan secara statistik. Jadi, selang kepercayaan dapat dengan
mudah diterapkan dalam uji signifikansi hipotesis nol.
Kritikan Cumming (2012) terhadap kasus Lucky dan Noluck juga
memperlihatkan bahwa uji signifikansi hipotesis nol memiliki keterbatasan pada
hasil pengujiannya. Kirk (1996) menyatakan keterbatasan uji signifikansi
hipotesis nol adalah sebagai berikut:
a. Uji signifikansi hipotesis nol tidak cukup menjawab pertanyaan penelitian.
b. Uji signifikansi hipotesis nol bergantung pada ukuran sampel.
Seringkali dalam suatu penelitian, peneliti tidak hanya melihat apakah ada
perbedaan atau korelasi di populasi (signifikan atau tidak), tetapi peneliti ingin
mendapat informasi mengenai apakah korelasi yang diperoleh itu besar ataupun
perbedaan rata-rata antar kelompok kecil. Misalnya, peneliti ingin melakukan
evaluasi efek audio kaset pada peningkatan minat belajar siswa dengan pre-test
dan post-test. Skor rata-rata pre-test dari 100 siswa adalah 84 dan skor rata-rata
post-test adalah 85. Meskipun perbedaan skor secara statistik signifikan,
perbedaannya sangat kecil dan tidak dapat dipastikan adanya peningkatan minat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 108
93
belajar yang berarti. Hal ini adalah salah satu contoh pernyataan Kirk (1996) butir
(a).
Pernyataan Kirk (1996) butir (b) diperjelas oleh Field dan Hole (2003) yang
menyatakan bahwa perbedaan trivial dapat menjadi signifikan (dan
diinterpretasikan penting) jika sampel cukup besar, konversnya, besar dan
pentingnya perbedaan dapat menjadi tidak signifikan (dan diinterpretasikan
trivial) pada sampel kecil. Hal tersebut diperlihatkan pada kasus Lucky dengan
sampel kedua grupnya berukuran 44 dan perbedaan rata-rata kedua sampel adalah
3.61 sedangkan Noluck dengan sampel untuk kedua grupnya berukuran 36 dan
perbedaan rata-rata sampel adalah 2.23. Lucky menemukan hasil studi yang
signifikan sedangkan Noluck tidak. Jelas bahwa ukuran sampel mempengaruhi
hasil percobaan pada studi yang sama.
Penentuan nilai π dengan tingkat πΌ = 0.05 mengarahkan peneliti pada
kesimpulan berbeda dari efek percobaan yang sama (Kirk,1996). Peneliti yang
menemukan efek percobaan yaitu tidak signifikan dengan menggunakan sampel
acak 100 orang, mungkin juga menemukan efek signifikan secara statistik dengan
menambahkan sampel lebih dari 100 orang. Meskipun efek percobaan relatif
identik, penambahan jumlah sampel dapat mempengaruhi hasil uji signifikansi
hipotesis nol.
Ada beberapa hal yang dapat dan tidak dapat disimpulkan dari uji
signifikansi statistik, yaitu
a. Pentingnya efek.
Pengujian hipotesis melibatkan hipotesis nol dan hipotesis alternatif,
menyesuaikan model statistik untuk data serta menarik kesimpulan
berdasarkan statistik uji. Jika probabilitas nilai statistik uji kurang dari
0.05, maka hipotesis alternatif diterima. Ini berarti bahwa ada efek di
populasi ataupun dengan kata lain βada perbedaan yang signifikan dariβ¦β.
Pengertian signifikan di sini bukan berarti bahwa efek tersebut penting.
Pentingnya efek menandakan bahwa seberapa besar perbedaan yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 109
94
dihasilkan pada percobaan. Efek yang sangat kecil dan tidak penting dapat
berubah menjadi signifikan hanya karena sejumlah besar sampel telah
digunakan dalam percobaan.
b. Uji signifikansi tidak logis
Uji signifikansi hipotesis nol didasarkan pada penalaran probabilistik yang
sangat membatasi apa yang ingin disimpulkan. Cohen (1994)
menunjukkan bahwa penalaran formal bergantung pada pernyataan awal
dari fakta, diikuti oleh pernyataan tentang keadaan sekarang dan penarikan
kesimpulan. Silogisme dari Field (2005) menggambarkan pernyataan
Cohen:
Premis 1: Jika seorang pria tidak mempunyai lengan, maka dia
tidak dapat bermain gitar.
Premis 2: Pria tersebut bermain gitar.
Kesimpulan: Pria tersebut mempunyai lengan.
Silogisme dimulai dengan pernyataan fakta yang memungkinkan
kesimpulan akhir yang dicapai. Bagaimanapun, hipotesis nol tidak
direpresentasikan dengan cara seperti itu karena hipotesis didasarkan pada
probabilitas. Silogisme yang sebanding dengan hipotesis nol adalah:
Premis 1: Jika hipotesis nol benar, maka nilai statistik uji ini
π‘ =οΏ½Μ
οΏ½ β π
π /βπ
tidak terjadi.
Premis 2: Nilai statistik uji terjadi.
Kesimpulan: Hipotesis nol salah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 110
95
Field (2005) mengambil contoh gitar untuk silogisme yang sebanding
dengan hipotesis nol:
Premis 1: Jika seorang pria bermain gitar, maka dia mungkin
tidak bermain untuk band Fugazi.
Premis 2: Guy Picciotto bermain untuk band Fugazi.
Kesimpulan: Guy Picciotto mungkin tidak bermain gitar.
Silogisme di atas jelas tidak logis karena kesimpulannya salah, jika
faktanya adalah Guy Picciotto bermain gitar. Hal ini menggambarkan
suatu kekeliruan umum yang terjadi dalam pengujian hipotesis. Bahkan,
dengan uji signifikansi tidak banyak yang dapat dikatakan tentang
hipotesis nol.
Saat ini, tidak ada pengganti yang jelas untuk uji signifikansi hipotesis nol.
Keterbatasan uji signifikansi hipotesis nol serta tidak adanya pengganti yang jelas
sehingga perlu adanya tambahan informasi bagi pengujian. Wilkinson Task Force
(1999) merekomendasikan penggunaan effect size sebagai tambahan untuk uji
signifikansi hipotesis nol.
Definisi 3.1.1. Effect size merupakan ukuran signifikansi praktis hasil penelitian
yang berupa ukuran besarnya korelasi/perbedaan/efek dari suatu variabel pada
variabel lain.
Perlu dipahami bahwa effect size bukanlah uji signifikansi dan uji signifikansi
bukanlah effect size. Meskipun effect size dapat diturunkan dari hasil uji
signifikansi dan besarnya effect size mempengaruhi kemungkinan menemukan
hasil yang signifikan, keduanya perlu dibedakan. Ketika hasil uji signifikansi
hipotesis nol menyatakan ada suatu perbedaan signifikan secara statistik, hal ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 111
96
tidak berarti bahwa perbedaan itu besar, penting atau bermakna dalam membuat
keputusan. Untuk mengetahui suatu perbedaan tidak hanya bermakna secara
statistik tetapi juga penting/berarti, dibutuhkan perhitungan effect size.
Nilai P pada uji signifikansi dapat menginformasikan apakah ada efek atau
tidak, tetapi nilai P tidak akan mengungkapkan besarnya efek tersebut. Effect size
yang akan menginformasikan apakah perbedaan rata-rata antar kelompok besar
atau kecil. Hal ini diperjelas dengan pernyataan Snyder & Lawson (1993), effect
size memperkirakan besarnya efek ataupun hubungan antara dua atau lebih
variabel. Baik effect size maupun uji signifikansi akan sangat berguna bagi
informasi penelitian. Oleh karena itu, dalam pelaporan dan menafsirkan
penelitian, effect size dan uji signifikansi (nilai P) adalah hasil yang penting untuk
dilaporkan. Dengan kata lain, effect size menjadi pelengkap statistik inferensial
seperti nilai P pada uji signifikansi.
Konsep effect size telah terlihat dalam bahasa sehari-hari. Misalnya, suatu
program penurunan berat badan menyatakan bahwa program tersebut dapat
mengurangi berat badan rata-rata 25 pon. Pada kasus ini, 25 pon adalah indikator
tuntutan effect size. Contoh lainnya adalah suatu program bimbingan belajar yang
menyatakan dapat meningkatkan prestasi sekolah satu peringkat. Peningkatan
peringkat ini adalah tuntutan effect size. Kedua contoh ini merupakan βeffect size
mutlakβ, perbedaan antara hasil rata-rata dua kelompok tanpa memperhatikan
variabilitas/penyebaran dalam satu kelompok. Oleh karena ketiadaan variabilitas
ini, pendugaan effect size perlu dilakukan.
Seorang peneliti menyatakan bahwa penyembuhan kanker hipertiroid
stadium akhir dengan iodium radioaktif dikenal 30% lebih efektif daripada
metode lainnya. Indikator 30% tersebut merupakan tuntutan effect size. Suatu
lembaga survei menyatakan bahwa 60% penduduk Jakarta lebih memilih
menghabiskan waktu akhir pekannya di mall. Indikator 60% tersebut juga
merupakan tuntutan effect size. Kedua contoh ini merupakan penentuan effect size
dalam hal perbedaan proporsi populasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 112
97
Pendugaan effect size sering dibutuhkan sebelum memulai penelitian,
misalnya untuk menghitung jumlah subjek penelitian yang mungkin diperlukan
agar menghindari kesalahan tipe II. Dengan kata lain, peneliti harus menentukan
apakah jumlah subjek penelitian akan cukup untuk memastikan bahwa
penelitiannya memiliki kekuatan yang dapat diterima dalam mendukung hipotesis
nol. Artinya, jika ada perbedaan yang ditemukan antara kelompok, maka ini
merupakan temuan yang benar.
B. Jenis Effect Size
Effect size dihitung untuk menggambarkan data dalam sampel dan
berpotensi menduga parameter populasi yang sesuai. Jika parameter itu adalah
perbedaan rata-rata dua populasi, maka effect size ditentukan oleh seberapa besar
perbedaan rata-rata itu. Contohnya, effect size digunakan untuk mengetahui besar
kecilnya perbedaan rata-rata konsumsi bensin yang dikeluarkan oleh mesin jenis
A dan jenis B. Contoh lainnya, effect size digunakan untuk mengetahui besar
kecilnya perbedaan rata-rata kandungan senyawa ortho-fosfor pada lokasi 1 dan
lokasi 2.
Jika parameternya adalah perbedaan proporsi dua populasi maka effect size
ditentukan oleh seberapa besar perbedaan proporsi itu. Contohnya, effect size
digunakan untuk mengetahui besar kecilnya perbedaan proporsi pemilih kota dan
daerah sekitarnya yang menyetujui dibangunnya pabrik kimia. Contoh lainnya
adalah untuk mengetahui besar kecilnya perbedaan proporsi kejadian kanker
payudara di kota dan desa.
Jika parameternya adalah koefisien korelasi maka effect size ditentukan oleh
seberapa besar perbedaan itu. Contohnya, effect size digunakan untuk mengetahui
besar kecilnya korelasi/hubungan antara berat dan ukuran dada bayi saat lahir.
Jadi, apabila peneliti ingin menjelaskan tentang besarnya perbedaan rata-rata,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 113
98
proporsi ataupun koefisien korelasi maka istilah yang tepat adalah effect size dan
bukan lagi tingkat signifikansi.
Menurut Ferguson (2009), effect size dapat dibagi menjadi empat kategori
umum:
a. Indeks kelompok yang berbeda. Perkiraan ini biasanya mencatat besarnya
perbedaan antara dua atau lebih kelompok. Effect size yang umum
digunakan adalah Cohenβs π, Hedgesβs π, Glassβs β.
b. Indeks kekuatan hubungan. Perkiraan ini biasanya memeriksa besarnya
variansi antara dua atau lebih variabel. Effect size yang umum digunakan
adalah Pearson π, π
, π parsial, Spearmanβs π, koefisien regresi yang
distandarkan (Ξ²), π2, Kendallβs tau, Eta-kuadrat (π2).
c. Perkiraan yang dikoreksi. Effect size yang umum digunakan adalah
adjusted π
2, Hayβs π2, ν2.
d. Perkiraan risiko. Pengukuran ini membandingkan risiko relatif untuk hasil
tertentu antara dua atau lebih kelompok. Pengukuran ini lebih banyak
digunakan pada hasil penelitian medis. Effect size yang umum digunakan
adalah relative risk (RR) dan odds ratio (OR).
Estimasi yang paling mendasar dan jelas dari effect size adalah ketika menentukan
apakah dua kelompok data berbeda. Jika banyak artikel yang melaporkan rata-rata
dan perbedaannya, maka effect size mudah untuk dihitung. Perbedaan antara rata-
rata dalam populasi cukup untuk mengukur effect size dan dapat memberikan
estimasi yang berguna dari effect size ketika langkah-langkah yang terlibat
bermakna. Pada skripsi ini, pembahasan mengenai efek akan fokus hanya pada
perbedaan rata-rata dalam populasi dan ini akan lebih mudah untuk
membandingkan efek suatu variabel dari penelitian-penelitian yang menggunakan
skala pengukuran berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 114
99
Perbedaan Rata-rata Baku
Sebelum masuk pada pembahasan indeks kelompok yang berbeda atau lebih
dikenal dengan perbedaan rata-rata yang distandardisasi, terlebih dahulu dibahas
mengenai perbedaan rata-rata baku. Perbedaan rata-rata baku adalah indeks yang
berguna ketika ukuran tersebut bermakna.
Dalam hal apapun, perbedaan rata-rata baku dipilih hanya jika perbandingan
antar hasil-hasil penelitian menggunakan skala yang sama. Jika perbandingan
penelitian yang satu dengan lainnya menggunakan instrumen yang berbeda
(seperti tes psikologi), maka untuk menilai hasilnya, skala pengukuran akan
berbeda dari penelitian ke penelitian lainnya dan itu tidak akan bermakna untuk
menggabungkan rata-rata baku.
Misalkan suatu penelitian melaporkan rata-rata untuk dua kelompok, yaitu
kelompok kontrol dan kelompok eksperimen. Kelompok kontrol adalah kelompok
yang tidak diberi perlakuan saat penelitian. Kelompok eksperimen adalah
kelompok yang diberi perlakuan berupa variabel bebas. Rata-rata populasi untuk
kedua kelompok, yaitu π1 dan π2. Perbedaan rata-rata populasi diberikan oleh
βΏ = π1 β π2.
Misalkan οΏ½Μ
οΏ½1 dan οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel dari dua kelompok yang berukuran π1
dan π2. Pendugaan untuk βΏ adalah perbedaan pada rata-rata sampelnya, yaitu
π· = οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2.
Perlu diketahui bahwa simbol π· digunakan untuk perbedaan rata-rata baku,
sedangkan simbol π digunakan untuk perbedaan rata-rata yang distandardisasi.
Perbedaan rata-rata yang distandardisasi akan dibahas pada subbab berikutnya.
Standar deviasi sampel untuk kedua kelompok adalah π1 dan π2. Jika kedua
standar deviasi populasi diasumsikan sama, π1 = π2 = π, maka variansi π· adalah
ππ· =π1 + π2π1π2
ππ2,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 115
100
dengan ππ merupakan standar deviasi sampel gabungan yang diperoleh pada
persamaan (2.2),
ππ = β(π1 β 1)π1
2 + (π2 β 1)π22
π1 + π2 β 2.
Jika standar deviasi kedua populasi diasumsikan tidak sama, maka variansi π·
adalah
ππ· =π12
π1+π22
π2.
Pada semua kasus, standar error π· diberikan oleh
ππΈπ· = βππ· .
Sebagai contoh, misalkan suatu penelitian mempunyai rata-rata sampel οΏ½Μ
οΏ½1 = 103,
οΏ½Μ
οΏ½2 = 100, standar deviasi sampel π1 = 5.5, π2 = 4.5 dan ukuran kedua sampel
adalah 50. Perbedaan rata-rata baku adalah
π· = 103 β 100 = 3.
Jika diasumsikan π1 = π2, maka standar deviasi gabungan dalam kelompok
adalah
ππ = β(50 β 1)(5.5)2 + (50 β 1)(4.5)2
50 + 50 β 2= 5.0249.
Variansi dan standar error diberikan oleh
ππ· =50 + 50
(50)(50)(5.0249)2 = 1.01
dan
ππΈπ· = β1.01 = 1.005.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 116
101
Jika asumsinya adalah kedua standar deviasi populasi tidak sama, maka variansi
dan standar error π· diberikan oleh
ππ· =5.52
50+4.52
50= 1.01
dan
ππΈπ· = β1.01 = 1.005.
Terlihat bahwa rumus untuk kedua variansi π·, baik untuk standar deviasi kedua
populasinya sama ataupun keduanya tidak sama, memberikan hasil yang sama
pada contoh di atas. Hal ini terjadi hanya jika ukuran sampel dan/atau estimasi
variansi adalah sama pada kedua kelompok.
C. Perbedaan Rata-rata yang Distandardisasi
Perbedaan rata-rata baku menjadi dasar bagi effect size, khususnya indeks
perbedaan kelompok. Jika perbandingan penelitian yang satu dengan lainnya
dilakukan dengan menggunakan skala pengukuran yang berbeda, maka perbedaan
rata-rata baku perlu distandardisasi menggunakan penyebut yang tidak
dipengaruhi oleh besarnya ukuran sampel, yaitu standar deviasi populasi. Ini
dilakukan untuk membuat indeks yang akan sebanding di penelitian. Indeks inilah
yang dinamakan perbedaan rata-rata yang distandardisasi.
Perbedaan rata-rata yang distandardisasi adalah ukuran yang melengkapi
distribusi. Hal ini berarti bahwa perbedaan rata-rata yang distandarkan
mencerminkan perbedaan antara distribusi dalam dua kelompok dan bagaimana
masing-masing kelompok mewakili cluster yang berbeda dari nilai, meskipun
tidak mengukur persis hasil yang sama. Keluarga indeks perbedaan rata-rata yang
distandarkan merepresentasikan besarnya perbedaan antara rata-rata dua
kelompok sebagai fungsi dari standar deviasi kelompok. Santoso (2010) mengutip
pernyataan Olejnic dan Algina, yaitu perbedaan rata-rata yang distandardisasi
dilambangkan dengan simbol π untuk analisis univariat dan π· (akar dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 117
102
Mahalanobis π·2) untuk analisis multivariat atau dilambangkan secara umum
dengan simbol πΏ. Ada tiga indeks yang umum digunakan pada perbedaan rata-rata
yang distandardisasi, yaitu Cohenβs π, Hedgesβs π, dan indeks Glass. Pada skripsi
ini hanya akan dibahas indeks Cohenβs π yang secara umum lebih baik.
1. Cohenβs π
Cohenβs π adalah ekspresi statistik yang cukup sederhana, yaitu perbedaan antara
dua hasil kelompok dibagi standar deviasi populasi. Kegunaan Cohenβs π adalah
dapat terbantunya peneliti untuk menghitung, menafsirkan dan menghargai effect
size. Sebagai contoh, peneliti menemukan latihan berhitung yang dapat
meningkatkan nilai rata-rata di SD A sebesar 5 poin pada saat diadakannya tes. Ini
memungkinkan bahwa orang tertentu saja yang dapat memahami apa artinya 5
poin. Peningkatan 5 poin tersebut sulit untuk diinterpretasikan karena maknanya
terlalu luas. Jika ada tabel konversi yang dilengkapi bersama hasil tes, maka lima
poin dapat diterjemahkan dengan mudah. Oleh karena itu, peneliti dapat
melakukan standardisasi pada perbedaan nilai rata-rata tes tersebut. Perubahan
pada tes tersebut dapat diamati sebagai π = 15/5 = 0.33 atau sepertiga dari
standar deviasi.
Ada berbagai pendekatan untuk menginterpretasikan nilai π = 0.33. Salah
satunya adalah nilai π tersebut dibandingkan dengan nilai referensi yang diberikan
Cohen (1988), yaitu
a. 0 < π β€ 0.2. (efek kecil)
b. 0.2 < π β€ 0.5. (efek sedang)
c. 0.5 < π β€ 0.8. (efek besar)
d. π > 0.8. (efek sangat besar)
Jika effect size besar, maka ini berarti perbedaan rata-rata antar kelompok besar.
Jika effect size sedang, maka ini berarti perbedaan rata-rata antara kelompok satu
dengan lainnya tidak besar, tidak juga kecil. Nilai besar kecil tersebut tergantung
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 118
103
pada peneliti untuk membuat penilaiannya sendiri dengan mempertimbangkan
semua keadaan, termasuk melihat selang kepercayaan pada penduga titik.
Nilai yang dipakai untuk standardisasi atau penstandar (standardizer) pada
Cohenβs π adalah standar deviasi yang terpilih sebagai unit pengukuran π.
Bagilah effect size di satuan asli (perbedaan rata-rata baku) oleh penstandar
untuk mendapatkan π. Hal ini penting untuk memahami π sebagai rasio dari efek
yang diamati dibagi dengan standar deviasi. Pembilang dan penyebut dinyatakan
dalam satuan asli dan keduanya membutuhkan perhatian interpretatif. Nilai π jelas
sensitif terhadap pembilang tetapi nilai π juga sangat sensitif terhadap
penyebutnya, yaitu standar deviasi yang digunakan sebagai penstandar
(standardizer).
Pada suatu penelitian, penggunaan referensi Cohenβs π yang berlebihan
dapat menyebabkan peneliti menganggap efek yang besar itu penting sedangkan
efek yang kecil tidaklah penting. Oleh karena itu, peneliti dapat menjadikan acuan
penelitian sebelumnya untuk menghindari kesalahan penilaian hasil penelitian.
Sangat disayangkan juga bahwa nilai π kadang-kadang dilaporkan tapi nilai
tersebut tidak dijelaskan lebih lanjut. Sangat penting untuk melaporkan π,
menjelaskan standardizer dan interpretasikan nilai π tersebut. Sebelum dibahas
Cohenβs π pada pengujian hipotesis rata-rata satu populasi maupun dua populasi,
terlebih dahulu didefinisikan πΏ sebagai effect size populasi dan π sebagai effect
size sampel untuk menduga πΏ.
Misalkan suatu studi menggunakan dua kelompok independen yang ingin
membandingkan rata-rata keduanya. Rata-rata dan standar deviasi populasi
kelompok pertama adalah π1 dan π1. Rata-rata dan standar deviasi populasi
kelompok lainnya adalah π2 dan π2. Jika standar deviasi kedua populasi adalah
sama, maka parameter perbedaan rata-rata populasi yang distandardisasi adalah
πΏ =π1 β π2π
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 119
104
Simbol πΏ dapat juga dipandang sebagai parameter effect size untuk analisis
multivariat. Penduga titik untuk parameter πΏ didefinisikan sebagai
π =οΏ½Μ
οΏ½2 β οΏ½Μ
οΏ½1π
.
dengan οΏ½Μ
οΏ½1 dan οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel kelompok 1 dan 2, π adalah standar
deviasi sampel.
a. Effect Size Cohenβs d pada Pengujian Hipotesis Rata-rata Satu Populasi
Misalkan hipotesis nol pada pengujian hipotesis rata-rata satu populasi adalah
π»0: π = π0,
dengan π0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk π.
Pengujian hipotesis di atas menggunakan uji π‘ sampel tunggal yang statistik uji
adalah
π‘ = οΏ½Μ
οΏ½ β π0
π /βπ,
dengan οΏ½Μ
οΏ½ adalah rata-rata sampel, π adalah standar deviasi sampel dan π adalah
ukuran sampel.
Standar deviasi (π ) yang digunakan untuk menghitung statistik uji merupakan
standardizer yang dipilih untuk menghitung effect size π, dengan
π =π‘
βπ.
Akibatnya, rumus umum Cohenβs π pada pengujian hipotesis rata-rata satu
populasi di bawah ini mirip dengan nilai π§,
π = οΏ½Μ
οΏ½ β π0π
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 120
105
Ada hubungan yang berkaitan antara statistik uji dan rumus Cohenβs π.
Statistik uji mengukur seberapa jauh οΏ½Μ
οΏ½ dari π0 dalam satuan standar error π /βπ,
sedangkan π mengukur seberapa jauh οΏ½Μ
οΏ½ dari π0 dalam satuan standar deviasi π .
Dengan kata lain, π ternyata memiliki distribusi yang sama dengan π‘.
Contoh 3.2.1. Tabel 3.1 menunjukkan data untuk sebuah percobaan dengan 20
siswa dipilih secara acak. Siswa yang ditugaskan untuk menghabiskan waktu
siang harinya dengan membaca buku di perpustakaan diberi nama kondisi
Kontrol, sedangkan siswa yang membaca buku di kebun botani diberi nama
kondisi Eksperimen. Asumsikan cuaca dalam keadaan cerah dan sore harinya
masing-masing siswa menyelesaikan ukuran kenyamanan yang dirasakannya.
Tabel 3.1 Nilai Kenyamanan untuk Dua Kelompok Independen
Kontrol (K) Eksperimen (E)
34 66
54 38
33 35
44 55
45 48
53 39
37 65
26 32
38 57
58 41
Rata-rata οΏ½Μ
οΏ½πΎ = 42.2 οΏ½Μ
οΏ½πΈ = 47.6
SD π πΎ = 10.41 π πΈ = 12.46
Sd gabungan π π = 11.48
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 121
106
Contoh ini adalah eksperimen dua kelompok, tetapi contoh ini hanya
mempertimbangkan kelompok kontrol. Percobaan ini dilakukan untuk menguji
apakah ukuran kenyamanan yang digunakan adalah skala dengan rata-rata 40
orang di suatu negara, sehingga π0 = 40.
Effect size pada percobaan kelompok kontrol adalah
π = 42.2 β 40
10.41= 0.21.
Jika percobaan ini melaporkan standar deviasi populasi dalam referensi yang
tepat, maka standar deviasi (π) yang akan digunakan. Namun, pada contoh ini,
nilai seperti itu tidak ada sehingga standar deviasi sampel dari kelompok kontrol
yang digunakan sebagai standardizer. Oleh karena jumlah sampel yang digunakan
hanya 10, maka standar deviasi sampel menunjukkan pendugaan yang tidak tepat.
Akibatnya, perhitungan selang kepercayaan pada π diperlukan untuk menemukan
seberapa tidak tepat pendugaan tersebut. Effect size π sebesar 0.21 menunjukkan
bahwa rata-rata kelompok kontrol, 42.2, hanya berbeda sedikit dari rata-rata
populasi yang bernilai 40.
b. Effect Size Cohenβs π
pada Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi
Misalkan hipotesis nol pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi adalah
π»0: π1 = π2.
Pengujian hipotesis di atas menggunakan uji π‘ yang mengasumsikan homogenitas
variansi (kedua variansi populasi sama) serta statistik ujinya adalah
π‘ =οΏ½Μ
οΏ½2 β οΏ½Μ
οΏ½1
π πβ1
π1+
1
π2
,
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 122
107
π π = β(π1 β 1)π 12 + (π2 β 1)π 22
π1 + π2 β 2, (3.1)
dan οΏ½Μ
οΏ½1 dan οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel kedua kelompok, π π adalah standar deviasi
sampel gabungan pada persamaan (2.2), π1 dan π2 adalah ukuran sampel
masing-masing kelompok.
Secara umum, Keppel dan Wickens (2004) menyatakan bahwa standar
deviasi π sampel yang digabungkan adalah
π ππππππ = ββ(ππ β 1)π 2π
(ππ β 1)
π
π=1
.
Asumsikan π π = π (standar deviasi sampel gabungan), maka standardizer yang
dipilih untuk menghitung effect size π adalah standar deviasi sampel yang
digabungkan (π π), sehingga
π = π‘β1
π1+1
π2. (3.2)
Akibatnya, rumus umum Cohenβs π pada pengujian hipotesis rata-rata dua
populasi adalah
π =οΏ½Μ
οΏ½2 β οΏ½Μ
οΏ½1π
,
dengan
π = β(π1 β 1)π 12 + (π2 β 1)π 22
π1 + π2,
Terkadang οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 digunakan daripada οΏ½Μ
οΏ½2 β οΏ½Μ
οΏ½1, tetapi ini tergantung pilihan
peneliti. Peneliti harus konsisten dan menandai perbedaan arah rata-rata kedua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 123
108
kelompok sebagai nilai yang positif dari π. Misalnya, kelompok kontrol vs
eksperimen sebagai grup 1 dan 2.
Oleh karena distribusi sampling dari π‘ adalah distribusi non-sentral π‘ dan π
dapat dinyatakan pada persamaan (3.2), maka berdasarkan definisi 2.2.2 effect
size π juga berdistribusi non-sentral π‘. Inilah hubungan yang erat antara π dan π‘.
Hubungan yang erat tersebut juga tak lepas dari pengaruh standardizer.
Standardizer akan berperan penting untuk memberikan estimasi yang akurat.
Terlebih, jika kelompok kontrol dan eksperimen memiliki variansi populasi yang
sama (asumsi homogenitas variansi dipenuhi), maka π π adalah pilihan terbaik bagi
standardizer. Cumming (2012) menyatakan bahwa pilihan yang paling umum
sebagai standardizer adalah π π dan ini dapat dijadikan rekomendasi, kecuali ada
alasan yang baik untuk memilih beberapa pilihan lain.
Dalam jurnalnya, Santoso (2010) menyatakan bahwa jika asumsi
homogenitas variansi tidak dipenuhi, maka perbedaan rata-rata yang
distandardisasi tidak dihitung menggunakan π π, melainkan beberapa alternatif lain
yaitu:
a. Standar deviasi salah satu kelompok yang dapat dianggap sebagai acuan.
Dalam penelitian eksperimental, biasanya kelompok kontrol yang dianggap
sebagai acuan.
b. Standar deviasi gabungan (π π) dari kelompok yang sedang dibandingkan,
bukan dari semua kelompok dalam penelitian.
Pada contoh 3.2.1, jika diasumsikan kedua kelompok memiliki variansi populasi
yang sama, maka effect size π adalah
π =οΏ½Μ
οΏ½πΈ β οΏ½Μ
οΏ½πΎπ π
=47.6 β 42.2
11.48= 0.47.
Nilai π tersebut menunjukkan bahwa kunjungan ke kebun botani mendorong
peningkatan ukuran kenyamanan dengan efek sedang. Sebagai perbandingan,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 124
109
standar deviasi kelompok kontrol (π πΎ) dipilih sebagai standardizer, sehingga
effect size π adalah
π =οΏ½Μ
οΏ½πΈ β οΏ½Μ
οΏ½πΎπ πΎ
=47.6 β 42.2
10.41= 0.52.
Kedua nilai π yang dihitung menggunakan effect size yang sama memperlihatkan
perbedaan pada standardizernya. Pada kasus ini, pemilihan π π adalah pendugaan
yang tepat bagi standar deviasi populasi. Hal ini terjadi karena π π memiliki derajat
bebas lebih besar daripada π πΎ. Pada tabel 3.1, π π didasarkan pada derajat bebas
ππ = ππΎ + ππΈ β 2 = 18,
sedangkan π πΎ didasarkan pada derajat bebas
ππ = ππΎ β 1 = 9,
dengan ππΎ dan ππΈ adalah ukuran sampel kedua kelompok.
Hedges dan Olkin (1985) mengembangkan effect size ππ’ππ (Hedgesβs π)
untuk memperbaiki effect size π. Effect size ππ’ππ tersebut adalah
ππ’ππ = π½ x π, (3.3)
dengan
π½ = 1 β3
4ππ β 1 (3.4)
adalah faktor koreksi π, effect size π adalah perbedaan rata-rata yang
penstandarnya (π π) merupakan sampel gabungan (persamaan 3.1) dan ππ adalah
derajat bebas π1 + π2 β 2.
Variansi dan standar error dari ππ’ππ adalah
πππ’ππ = π½2 x ππ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 125
110
ππΈππ’ππ = βπππ’ππ ,
dengan π½ adalah faktor koreksi pada persamaan (3.4) dan
ππ =π1 + π2π1π2
+π2
2(π1 + π2). (3.5)
c. Effect Size Cohenβs π
pada Observasi Berpasangan
Misalkan οΏ½Μ
οΏ½1, οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel berukuran π yang tidak independen serta
dipilih secara acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata π1, π2. Jika
perbedaan rata-rata sampel berpasangan (lihat bab II.F.5) adalah
οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2 = οΏ½Μ
οΏ½,
maka pengujian hipotesis sampel berpasangan diberikan oleh
π»0: ππ· = 0,
π»1: ππ· β 0,
dengan ππ· adalah perbedaan rata-rata populasi berpasangan. Pada persamaan
(2.9), statistik uji pada pengujian hipotesis sampel berpasangan adalah
π‘ =οΏ½Μ
οΏ½
π π/βπ,
dengan οΏ½Μ
οΏ½ adalah perbedaan rata-rata sampel berpasangan, π π adalah standar
deviasi sampel berpasangan dan π adalah ukuran sampel yang tidak independen.
Jika οΏ½Μ
οΏ½ dapat dinyatakan sebagai selisih antara rata-rata Posttest dengan
Pretest, maka ada beberapa pilihan standar deviasi yang akan digunakan sebagai
standardizer, yaitu
a. Standar deviasi pretest (π πππ). Effect size π dapat dihitung sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 126
111
π =οΏ½Μ
οΏ½
π πππ.
b. Standar deviasi dari rata-rata antara π πππ dan π πππ π‘ yang diberikan oleh
π ππ£ = βπ πππ2 + π πππ π‘2
2. (3.6)
Effect size π dapat dihitung sebagai
π =οΏ½Μ
οΏ½
π ππ£. (3.7)
c. Standar deviasi dari selisih antara Posttest dengan Pretest (π π·).
Effect size π dapat dihitung sebagai
π =οΏ½Μ
οΏ½
π π.
Cumming (2012) menyatakan bahwa pendugaan standar deviasi terbaik untuk
desain berpasangan dan juga sebagai pilihan standardizer terbaik adalah π ππ£.
Penggunaan π ππ£ untuk π, daripada π π menggambarkan bahwa effect size π
sebanding dengan π yang dihitung pada pengujian satu kelompok atau dua
kelompok independen. Dengan kata lain, π π diperlukan untuk uji π‘ sampel
berpasangan, tetapi π ππ£ akan berguna bagi effect size π. Penggunaan dua standar
deviasi yang berbeda untuk dua tujuan berarti bahwa tidak ada hubungan antara π
dan uji π‘ dalam desain berpasangan.
Contoh 3.2.2. Tabel 3.2 menunjukkan data untuk sebuah percobaan dengan 10
siswa dipilih secara acak dengan οΏ½Μ
οΏ½ adalah rata-rata Posttest-Pretest dan π π adalah
standar deviasi nilai Posttest-Pretest. Nilai kenyamanan siswa diukur sebelum
membaca buku di kebun botani sebagai data Pretest. Nilai kenyamanan siswa juga
diukur setelah membaca buku sebagai data Posttest.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 127
112
Tabel 3.2 Nilai Kenyamanan untuk Pengujian Satu Kelompok Sebelum dan
Sesudah Percobaan
Peserta Pretest Posttest Selisih
(Post-Pre)
1 43 51 8
2 28 33 5
3 54 58 4
4 36 42 6
5 31 39 8
6 48 45 -3
7 50 54 4
8 69 68 -1
9 29 35 6
10 40 44 4
Rata-rata οΏ½Μ
οΏ½πππ = 42.8
οΏ½Μ
οΏ½πππ π‘ = 46.9
οΏ½Μ
οΏ½ = 4.1
SD π πππ = 12.88 π πππ π‘ = 10.9 π π = 3.57
π ππ£ = 11.93
Salah satu pilihan terbaik untuk mengestimasi variabilitas nilai kenyamanan
di populasi adalah π πππ, sehingga effect size π adalah
π =οΏ½Μ
οΏ½
π πππ=
4.1
12.88= 0.32.
Jika percobaan diharapkan dapat meningkatkan standar deviasi, mungkin lebih
baik untuk menganggap kondisi pretest sebagai dasar dan memilih π πππ sebagai
standardizer. Namun, π ππ£ adalah pilihan yang lebih baik, sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 128
113
π =οΏ½Μ
οΏ½
π ππ£=
4.1
11.93= 0.34.
Pemilihan π π sebagai standardizer sangat tidak disarankan karena terlalu sensitif,
perhitungan effect size π pada contoh ini adalah
π =οΏ½Μ
οΏ½
π π=4.1
3.57= 1.15.
2. Selang Kepercayaan pada Effect Size π
Misalkan pengujian hipotesis adalah
π»0: πΏ = 0,
π»0: πΏ β 0,
dengan πΏ adalah parameter perbedaan rata-rata yang distandardisasi.
Statistik uji yang digunakan untuk melakukan uji signifikansi adalah
π =π β πΏ
ππΈπ,
dengan π adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi dan
ππΈπ = βππ,
ππ adalah variansi π pada persamaan (3.5).
Hipotesis nol ditolak jika |π| melebihi π§πΌ/2. Statistik uji π dapat digunakan
sebagai Pivot untuk membentuk selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% bagi πΏ. Oleh
karena itu, pembentukan selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% bagi πΏ diberikan oleh
π(βπ§πΌ/2 < π < π§πΌ/2) = 1 β πΌ.
π (βπ§πΌ/2 <π β πΏ
ππΈπ< π§πΌ/2) = 1 β πΌ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 129
114
π(π β π§πΌ/2ππΈπ < πΏ < π + π§πΌ/2ππΈπ) = 1 β πΌ.
Jadi, selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% bagi πΏ adalah
π β π§πΌ/2ππΈπ < πΏ < π + π§πΌ/2ππΈπ . (3.8)
Menurut Hedges (1985), aproksimasi selang kepercayaan pada
pertidaksamaan (3.8) akan bagus ketika ukuran sampel besar (π > 10). Oleh
karena itu, untuk sampel kecil, selang kepercayaan eksak bagi πΏ diperoleh dengan
menggunakan definisi 2.2.2. Dengan demikian, berdasarkan definisi 2.2.2,
distribusi dari π mengikuti distribusi non-sentral π‘ dengan parameter non-sentral
Ξ =π2 β π1
πβ1
π1+
1
π2
.
Hubungan antara πΏ dan Ξ harus ditentukan terlebih dahulu dan hubungan tersebut
akan menjadi statistik uji untuk membentuk selang kepercayaan bagi πΏ.
Oleh karena
πΏ =π2 β π1π
,
maka hubungan antara πΏ dan Ξ adalah
Ξ =πΏ
β1
π1+
1
π2
. (3.9)
Dengan demikian, statistik uji Ξ pada persamaan (3.9) dapat digunakan sebagai
Pivot untuk membentuk selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% eksak bagi πΏ.
Pembentukan selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% eksak bagi πΏ diberikan oleh
π(βπ‘βΞ±/2 < Ξ < π‘βΞ±/2) = 1 β πΌ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 130
115
π
(
βπ‘βΞ±/2 <πΏ
β1
π1+
1
π2
< π‘βΞ±/2
)
= 1 β πΌ.
π(βπ‘βΞ±/2β1
π1+1
π2< πΏ < π‘βΞ±/2β
1
π1+1
π2) = 1 β πΌ.
Jadi, selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% eksak bagi πΏ adalah
βπ‘βΞ±/2β1
π1+1
π2< πΏ < π‘βΞ±/2β
1
π1+1
π2,
dengan π‘βΞ±/2 adalah parameter non-sentral Ξ.
Dengan cara yang sama, selang kepercayaan bagi
πΏ =π1 β π0π
,
adalah
βπ‘βΞ±/2βπ < πΏ < π‘βΞ±/2βπ.
Selang kepercayaan eksak tersebut berlaku jika ukuran sampel kecil (π < 10) dan
jika ukuran sampel besar, maka aproksimasi selang kepercayaan bagi πΏ adalah
π β π§πΌ/2π
βπ< πΏ < π + π§πΌ/2
π
βπ. (3.10)
Cumming (2012) menjelaskan bahwa penduga selang terbaik untuk πΏ adalah
selang kepercayaan pada π. Penduga selang ini berlaku untuk pengujian hipotesis
rata-rata satu populasi dan dua populasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 131
116
Nilai π dan selang kepercayaan dalam π penting untuk dilaporkan dalam
penelitian. Cumming (2012) menyatakan bahwa Publication Manual
memberikan contoh dalam pelaporan π dan selang kepercayaannya bersamaan
dengan hasil uji signifikansi, misalnya βπ‘(177)= 3.51, π < 0.001, π = 0.65,
95% CI [0.35,0.95]β, dengan π‘(177) adalah nilai π‘ berderajat bebas 177, nilai π
adalah probabilitas menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol benar, CI
[0.35,0.95] menunjukkan bahwa ada perbedaan rata-rata yang signifikan. Ketika
peneliti ingin melaporkan nilai π, jangan lupa untuk menjelaskan bagaimana
proses perhitungan nilai π tersebut.
D. Meta-Analisis pada π
Pada subbab ini akan dibahas model meta-analisis berupa model efek tetap dan
model efek acak, serta perhitungan meta-analisis pada π.
1. Model Meta-Analisis
Meta-analisis merupakan suatu teknik statistika untuk menggabungkan hasil
2 atau lebih penelitian sejenis sehingga diperoleh paduan data secara kuantitatif.
Saat ini meta-analisis paling banyak digunakan untuk uji klinis. Dengan kata lain,
meta-analisis merupakan gabungan effect size masing-masing studi yang
dilakukan dengan teknik statistika tertentu. Dengan melakukan studi meta-
analisis, peneliti dapat mengetahui letak perbedaan hasil masing-masing studi
dengan studi lainnya. Meta-analisis dilakukan sebagai upaya untuk mendapatkan
sebuah hasil studi yang mempunyai keabsahan yang lebih tinggi secara empiris
dan statistik dibandingkan dengan hanya melihat hasil satu penelitian saja.
Nindrea (2016) menjelaskan tujuan meta-analisis tidak berbeda dengan jenis
penelitian klinis lainnya, yaitu:
a. Untuk memperoleh estimasi effect size, yaitu kekuatan hubungan
ataupun besarnya perbedaan antar-variabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 132
117
b. Melakukan inferensi dari data dalam sampel ke populasi, baik dengan
uji hipotesis (nilai π) maupun estimasi (selang kepercayaan).
c. Melakukan kontrol terhadap variabel yang potensial bersifat sebagai
perancu agar tidak mengganggu kemaknaan statistik dari hubungan atau
perbedaan.
Nindrea (2016) juga menjelaskan manfaat studi meta-analisis, yaitu:
a. Hasil studi dapat dilakukan generalisasi (inferensial).
b. Perbedaan hasil-hasil penelitian terdahulu dapat dikonformasi dan
diberikan keputusan mana hasil yang tepat atau lebih kuat.
c. Ketepatan hasil studi semakin meningkat dengan semakin banyaknya
data atau studi yang masuk ke dalam analisis.
Lucky (π = 44)
Noluck (π = 36)
MA
-2 0 2 4 6 8
Perbedaan antara Rata-rata
Gambar 3.2 Forest Plot yang Menggabungkan Hasil Lucky, Noluck dan
Kombinasi Meta-Analisis (MA)
Definisi 3.3.1. Meta-analisis adalah sekumpulan teknik kuantitatif untuk
menggabungkan bukti dari sejumlah studi terkait. Bukti sejumlah studi tersebut
dan meta-analisis digambarkan melalui gambaran selang kepercayaan yang
dinamakan forest plot (Gambar 3.2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 133
118
Dalam melakukan meta-analisis, khususnya untuk setiap studi, perlu
memasukkan nama studi, rata-rata, standar deviasi dan ukuran sampel. Meta-
analisis biasanya juga memberi bobot pada studi yang terkait, yaitu dengan invers
dari variansi effect size. Bobot yang besar akan menghasilkan standar deviasi yang
kecil, ukuran sampel (π) yang besar dan direpresentasikan oleh kotak besar pada
forest plot. Selang kepercayaan yang pendek menunjukkan bahwa bobot yang
dihasilkan besar dan sebaliknya, selang kepercayaan yang panjang menunjukkan
bobot yang dihasilkan kecil.
Penggunaan yang lebih luas dari meta-analisis dapat menggantikan
penggunaan uji signifikansi. Keputusan publikasi yang didasarkan pada nilai π
dalam uji signifikansi cenderung mendistorsi literatur penelitian yang
dipublikasikan dan menghasilkan bias pada meta-analisis. Dengan kata lain,
kemungkinan bahwa hasil uji signifikansi yang tidak signifikan secara statistik
yang cenderung tidak dipublikasikan akan mengakibatkan bias pada meta-analisis.
a. Model Efek Tetap (Fixed Effect Model)
Model meta-analisis yang pertama adalah model efek tetap. Model efek tetap
mengasumsikan bahwa ada parameter tunggal dari populasi, misalnya πΏ, dan
semua studi bertujuan mengestimasi πΏ. Semua faktor yang terlibat dalam effect
size adalah sama (homogen) di semua studi. Dengan kata lain, semua studi yang
termuat dalam analisis memiliki fungsi yang identik. Tujuan penggunaan model
ini adalah mengidentifikasi populasi, bukan menggeneralisasinya ke populasi lain.
Karena semua studi berbagi efek yang sama, maka effect size yang
diobservasi bervariasi dari studi ke studi. Hal ini disebabkan oleh galat acak yang
ada di setiap studi (νπ). Secara umum, efek ππ yang diobservasi untuk setiap studi
diberikan oleh effect size populasi (πΏ) ditambah sampling error studi tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 134
119
Jadi, model efek tetap adalah
ππ = πΏ + νπ,
dengan νπ diasumsikan berdistribusi π(0, οΏ½ΜοΏ½π2).
Rata-rata terbobot perlu dihitung untuk mendapatkan estimasi yang paling
tepat dari efek populasi (untuk meminimumkan variansi). Bobot pada masing-
masing studi dalam model efek tetap adalah
ππ =1
πππ, (3.11)
dengan πππ adalah variansi untuk studi ke-i. Rata-rata terbobot (keseluruhan effect
size) dapat dihitung dengan
π =β ππππππ=1
β ππππ=1
, (3.12)
dengan ππ adalah effect size pada studi ke-i dan ππ adalah bobot ke-i. Variansi dari
keseluruhan effect size diestimasi sebagai invers dari jumlah bobotnya, atau
ππ =1
β ππππ=1
, (3.13)
dan penduga standar error dari keseluruhan effect size adalah
ππΈπ = βππ. (3.14)
Batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk estimasi keseluruhan effect
size adalah
πΏπΏπ = π β 1.96ππΈπ, (3.15)
ππΏπ = π + 1.96ππΈπ. (3.16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 135
120
Berdasarkan persamaan (2.4) di bab II, nilai π§ untuk menguji hipotesis nol yang
rata-rata efeknya nol dapat dihitung sebagai
π =π
ππΈπ. (3.17)
Nilai π untuk uji hipotesis satu arah diberikan oleh
π = 1 β π·(Β±|π|),
dengan tanda β+β digunakan jika perbedaannya adalah arah yang diharapkan,
tanda βββ sebaliknya. Sedangkan nilai π untuk uji hipotesis dua arah diberikan
oleh
π = 2[1 β π·(|π|)], (3.18)
dengan π·(|π|) adalah distribusi kumulatif Normal Standar.
b. Model Efek Acak (Random Effects Model)
Misalkan studi ke-i mengestimasi πΏπ. Model efek acak (random effects model)
mengasumsikan bahwa ada parameter populasi πΏπ dan setiap studi mengestimasi
πΏπ berdasarkan sampel secara acak. Model ini juga mengasumsikan bahwa πΏπ
berdistribusi Normal dengan rata-rata πΏ dan standar deviasi π. Oleh karena itu,
parameter π2 adalah variansi dari parameter effect size di seluruh populasi studi.
Jika π2 = 0, maka semua πΏπ akan sama dengan πΏ dan model meta-analisisnya
adalah model efek tetap.
Secara umum, tujuan meta-analisis menggunakan model efek acak adalah
untuk mengestimasi rata-rata dari distribusi πΏπ. Dengan kata lain, tujuan analisis
ini adalah untuk menggeneralisasi populasi ke berbagai skenario. Cumming
(2012) menyatakan bahwa model efek tetap seharusnya menjadi pilihan rutin, di
samping asumsi yang kuat pada modelnya. Jika faktor yang terlibat dalam effect
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 136
121
size adalah homogen di semua studi, maka model ini memberikan hasil yang sama
dengan model efek tetap.
Efek observasi ππ untuk model efek acak diberikan oleh
ππ = πΏ + π£π + νπ,
dengan πΏ adalah effect size populasi, π£π ~ π(0, π2) adalah jarak antara πΏ dengan
πΏπ dan νπ adalah sampling errornya. Dengan kata lain, ππ ~ π(πΏ, ππ2 + π2).
Salah satu metode untuk mengestimasi π2 adalah metode DerSimonian dan
Laird. Penduga dari parameter π2 adalah
π2 =π β ππ
πΆ, (3.19)
untuk π > ππ dengan
π =βππππ2 β
π
π=1
(β ππππππ=1 )
2
β ππππ=1
, (3.20)
πΆ =βππ
π
π=1
ββ ππ
2ππ=1
β ππππ=1
, (3.21)
ππ = π β 1. (3.22)
Catatan: π adalah variabilitas antara rata-rata studi (ukuran heterogenitas) dan π
adalah jumlah studi. Bukti bahwa penduga π2 adalah π2 dapat dilihat pada buku
karangan Chen, D. G dan Peace, K. E (2013) yang berjudul Applied Meta-
Analysis with R halaman 53.
Statistik π digunakan untuk menguji heterogenitas pada uji signifikansi di
seluruh studi. Nilai π > ππ mengindikasikan bahwa π2 besar, akibatnya, studi
heterogen, pendugaan terhadap π2 besar dan model efek acak digunakan. Nilai π
yang dekat dengan ππ adalah konsisten dengan homogenitas dan model efek
tetap. Dengan demikian, heterogenitas berhubungan dengan model efek acak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 137
122
Nilai π2 tidak dapat menjadi negatif meskipun π < ππ. Hal ini disebabkan oleh
π2 adalah variansi yang harus ditetapkan menjadi nol jika π < ππ.
Metode lain untuk mengukur heterogenitas adalah perhitungan πΌ2 yang
diberikan oleh
πΌ2 =π β ππ
πx 100%. (3.23)
Di sini, πΌ2 adalah persentase variabilitas total dari rata-rata studi yang
merefleksikan perbedaan populasi di πΏπ. Persentase πΌ2 yang besar menunjukkan
bahwa heterogenitas besar dan πΌ2 yang dekat dengan nol menunjukkan
homogenitas.
Perbedaan antara model efek tetap dan model efek acak adalah pada faktor
bobot kedua model. Bobot pada masing-masing studi dalam model efek acak
adalah
πππ
=1
ππππ
, (3.24)
dengan
ππππ
= πππ + π2, (3.25)
dan πππ adalah variansi untuk studi ke-i dan π2 adalah estimasi sampel dari π2.
Rata-rata terbobot (keseluruhan effect size) dapat dihitung sebagai
ππ
=β πππ
ππππ=1
β πππ
ππ=1
. (3.26)
Variansi dari keseluruhan effect size diestimasi sebagai invers dari jumlah
bobotnya, atau
πππ
=
1
β πππ
ππ=1
, (3.27)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 138
123
dan penduga standar error dari keseluruhan effect size adalah
ππΈππ
= βπππ
. (3.28)
Batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size
diestimasi sebagai
πΏπΏππ
= ππ
β 1.96ππΈππ
, (3.29)
ππΏππ
= ππ
+ 1.96ππΈππ
. (3.30)
Berdasarkan persamaan (2.4) di bab II, nilai π§ untuk menguji hipotesis nol yang
rata-rata efeknya nol dapat dihitung sebagai
ππ
=ππ
ππΈππ
. (3.31)
Nilai π untuk uji hipotesis satu arah diberikan oleh
ππ
= 1 β π·(Β±|ππ
|),
dengan tanda β+β digunakan jika perbedaannya adalah arah yang diharapkan,
tanda βββ sebaliknya.
Nilai π untuk uji hipotesis dua arah diberikan oleh
ππ
= 2[1 β π·(|ππ
|)], (3.32)
dengan π·(|ππ
|) adalah distribusi kumulatif Normal Standar.
2. Perhitungan Meta-Analisis pada π
Ketika melakukan meta-analisis dengan pengukuran effect size yang berbeda,
informasi tambahan yang dibutuhkan adalah rumus untuk variansi effect size.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 139
124
Rumus variansi effect size dideskripsikan sebagai berikut:
Misalkan ππ’ππ adalah effect size pada persamaan (3.3), maka untuk satu
populasi, variansi π adalah
ππ =1
ππ+ππ2
2ππ, (3.33)
dengan ππ, ππ, ππ adalah effect size, ukuran sampel dan variansi π untuk studi ke-i.
Borenstein et.al. (2009) menyatakan bahwa variansi dari ππ’ππ untuk satu populasi
independen dan desain berpasangan adalah
ππβ² = π½2 x ππ, (3.34)
dengan π½ adalah faktor pengoreksi π pada persamaan (3.4) dan ππβ² adalah variansi
ππ’ππ untuk studi ke-i.
Berdasarkan persamaan (3.5), variansi π untuk dua populasi independen
adalah
ππ =π1π + π2ππ1ππ2π
+ππ2
2(π1π + π2π), (3.35)
dengan π1π dan π2π adalah kedua ukuran sampel untuk studi ke-i.
Variansi ππ’ππ untuk dua populasi independen adalah
ππβ² = π½2 x ππ, (3.36)
dengan π½ adalah faktor pengoreksi untuk mengonversi π ke ππ’ππ dan ππβ² adalah
variansi ππ’ππ untuk studi ke-i.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 140
125
3. Analisis Sensitifitas
Peneliti harus menentukan apakah meta-analisis hanya dilakukan terhadap
laporan penelitian yang telah dipublikasi ataukah mencakup pula data yang tidak
dipublikasi. Bila meta-analisis hanya dilakukan terhadap laporan penelitian yang
telah dipublikasi, mungkin hasilnya tidak optimal, karena terdapatnya bias
publikasi. Bias publikasi muncul ketika studi yang termasuk dalam analisis
berbeda secara sistematis dari semua penelitian yang seharusnya disertakan.
Untuk mengetahui adanya bias publikasi penelitian, maka peneliti dapat
membuat grafik funnel plot. Funnel plot adalah plot standar error (SE) studi
(sumbu Y) terhadap effect size studi (sumbu X). Studi dengan ukuran sampel yang
besar muncul di bagian atas grafik dan umumnya berada di sekitar rata-rata efek.
Studi dengan ukuran sampel yang kecil muncul di bagian bawah grafik dan
cenderung menyebar di berbagai nilai. Bias publikasi ditandai dengan funnel plot
yang bersifat asimetris (Gambar 3.3).
Gambar 3.3 Contoh Funnel Plot dengan Model Efek Acak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 141
126
Nindrea (2016) menjelaskan bahwa analisis sensitifitas perlu dilakukan
untuk menilai apakah satu hasil meta-analisis robust (relatif stabil terhadap
perubahan). Beberapa cara untuk melakukan analisis sensitifitas, yaitu
a. Membuat perbandingan hasil meta-analisis yang menggunakan model efek
acak dan model efek tetap. Jika hasil kedua model sama atau hampir sama,
maka kesimpulannya adalah variasi antar-penelitian tidak begitu penting
pada set data tersebut.
b. Diidentifikasi terdapatnya bias publikasi. Jika memang ada bias publikasi,
maka penelitian dengan ukuran sampel terbesar akan memberikan effect
size terkecil. Jika hal ini terjadi, maka penelitian dengan ukuran sampel
terkecil dicoba untuk tidak diikutsertakan dalam analisis. Bila hasil
akhirnya tetap sama atau identik, maka bias publikasi tidak berperan
cukup besar dalam meta-analisis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 142
127
BAB IV
PENERAPAN EFFECT SIZE PADA HASIL-HASIL PENELITIAN
A. Meta-Analisis pada Data Berpasangan
Meta-analisis dilakukan untuk memperoleh estimasi effect size dan
melakukan inferensi dari data dalam sampel ke populasi. Pada skripsi ini, masalah
yang ingin dijawab adalah seberapa besar perbedaan pendapatan pada usaha
mikro, kecil dan menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit. Oleh
karena itu, meta-analisis dilakukan pada 5 skripsi jurusan Akuntansi dan Ilmu
Pengetahuan Sosial, khususnya untuk data berpasangan yang berjudul:
1. Studi Komparasi Perkembangan Usaha Mikro dan Kecil Masyarakat,
Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dari LKM Kube βSejahteraβ
Kecamatan Pundak Kabupaten Bantul. (Prastiwi, 2013)
2. Pengaruh Pemberian Kredit oleh Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP)
terhadap Pendapatan Penjualan Usaha Mikro. (Indriastuti, 2012)
3. Perbedaan Omset Penjualan, Jumlah Tenaga Kerja, Biaya Produksi, dan
Keuntungan pada Pelaku Usaha Mikro Kecil dan Menengah di kota
Yogyakarta Sebelum dan Sesudah Mendapat Kredit dari Lembaga
Keuangan Koperasi. (Adi, 2012)
4. Peran Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP) bagi Pengembangan Usaha
Kecil di Pedesaan. (Setyawan, 2000)
5. Peran Kredit Bank Perkreditan Rakyat bagi Pendapatan Usaha Kecil.
(Sekararum, 2008)
Dari kelima skripsi tersebut, pengujian hipotesis dilakukan pada tingkat
signifikansi 0.05 dengan tujuan mencari tahu apakah ada perbedaan atau tidak ada
perbedaan pendapatan yang signifikan sebelum dan sesudah mendapatkan kredit.
Estimasi effect size diperoleh dengan menggabungkan nilai keseluruhan efek pada
kelima skripsi. Penggabungan tersebut menggunakan model efek tetap dan model
efek acak. Semua perhitungan dilakukan dengan menggunakan program R versi
3.3.2 (Listing program terdapat pada Lampiran 1 dan 2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 143
128
1. Pengujian Hipotesis Rata-rata Selisih Pendapatan
Pengujian hipotesis rata-rata selisih pendapatan memiliki syarat normalitas data
(lihat bab II.F.1 halaman 70). Langkah-langkah uji Normalitas dengan
menggunakan Kolgomorov-Smirnov sebagai berikut
1. π»0: Distribusi rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sesudah
dan sebelum mendapatkan kredit Normal.
2. π»1: Distribusi rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sesudah
dan sebelum mendapatkan kredit tidak Normal.
3. πΌ = 0.05.
4. Statistik uji berupa deviasi maksimum distribusi kumulatif data dan
distribusi kumulatif Normal.
5. Wilayah kritis: π»0 ditolak bila nilai π < πΌ.
6. Nilai π pada masing-masing skripsi diperlihatkan pada tabel di bawah ini
Tabel 4.1 Nilai π pada Data Berpasangan dengan Uji Kolgomorov-
Smirnov
Skripsi Nilai π
1 0.0644 > πΌ
2 0.3907 > πΌ
3 0.4683 > πΌ
4 0.1053 > πΌ
5 0.3331 > πΌ
7. Kesimpulan
Pada tabel 4.1, nilai π pada lima skripsi selalu lebih besar dari πΌ. Oleh
karena itu, kesimpulannya adalah gagal untuk menolak hipotesis nol,
artinya, kelima skripsi memiliki rata-rata selisih pendapatan sesudah dan
sebelum mendapatkan kredit yang berdistribusi Normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 144
129
Dari lima skripsi yang ada, hipotesis nol dan hipotesis alternatif adalah
π»0: ππ· = 0,
π»1: ππ· β 0,
dengan ππ· adalah rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan
sesudah mendapatkan kredit.
2. Meta-Analisis π
pada Data Berpasangan
Misalkan πΏ adalah perbedaan rata-rata pendapatan usaha kecil, menengah
sebelum dan sesudah mendapatkan kredit. Untuk sampel berpasangan, effect size
perbedaan rata-rata yang distandardisasi (π) dapat dihitung menggunakan
persamaan (3.7) dan (3.6), yaitu
π =οΏ½Μ
οΏ½
π ππ£,
dengan οΏ½Μ
οΏ½ adalah rata-rata sampel selisih pendapatan sesudah mendapatkan kredit
dengan sebelum mendapatkan kredit dan
π ππ£ = βπ πππ2 + π πππ π‘2
2, (4.1)
π πππ2 adalah variansi pendapatan sebelum mendapatkan kredit, π πππ π‘
2 adalah
variansi pendapatan sesudah mendapatkan kredit.
Standar deviasi pendapatan sebelum (π πππ) dan sesudah mendapatkan kredit
(π πππ π‘) adalah
π = ββ (π₯π β οΏ½Μ
οΏ½)ππ=1
π β 1, (4.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 145
130
dengan π₯π adalah pendapatan ke-i sebelum dan sesudah mendapatkan kredit, οΏ½Μ
οΏ½
adalah rata-rata pendapatan dan π adalah jumlah sampel pada data
sebelum/sesudah mendapatkan kredit.
Berdasarkan persamaan (4.2), standar deviasi pendapatan sebelum
mendapatkan kredit pada lima skripsi (π πππ) berturut-turut adalah
(1) . 11130089.69 (2). 84767.43 (3). 1845472.6 (4). 180716.29 (5). 1348294.8.
Dengan cara yang sama, standar deviasi pendapatan sesudah mendapatkan kredit
pada lima skripsi (π πππ π‘) berturut-turut adalah
(1) . 12536833.55 (2). 143723.47 (3). 2145787.35 (4). 220116.9 (5). 1571168.81.
Berdasarkan persamaan (4.1), standar deviasi dari rata-rata antara π πππ dan
π πππ π‘ (π ππ£) pada lima skripsi adalah
(1) . 11854347.1 (2). 117987.1 (3). 2001271.1 (4). 201382.5 (5). 1463979.23.
Rata-rata sampel selisih pendapatan sesudah mendapatkan kredit dan sebelum
mendapatkan kredit, yaitu οΏ½Μ
οΏ½ berturut-turut adalah
(1). 1456666.7 (2). 340666.667 (3). 1244285.7 (4). 80700 (5). 753000.
Berdasarkan persamaan (3.7), effect size π pada kelima skripsi adalah
(1) . 0.122880379 (2). 2.8873191 (3). 0.6217477 (4). 0.4007299 (5). 0.5143516.
Karena π adalah penduga yang bias bagi πΏ, maka faktor pengoreksi pada
persamaan (3.4), yaitu
π½ = 1 β3
4ππ β 1,
dengan
ππ = π β 1,
pada kelima skripsi nilai π½ berturut-turut adalah
(1) . 0.973913043 (2). 0.973913 (3). 0.962025 (4). 0.9846154 (5). 0.9846154.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 146
131
Dengan menggunakan persamaan (3.3), penduga tak bias bagi πΏ, yaitu
ππ’ππ = π½ x π,
pada kelima skripsi nilai ππ’ππ adalah
(1) . 0.119674804 (2). 2.8119977 (3). 0.598137 (4). 0.394564 (5). 0.5064385.
Selang kepercayaan 95% bagi πΏ dapat dihitung dengan menggunakan
pertidaksamaan (3.8), yaitu
π β 1.96 ππΈπ < πΏ < π + 1.96 ππΈπ ,
dengan
ππΈπ = βππ.
Dengan menggunakan persamaan (3.34) dan (3.33), variansi dari penduga tak
bias bagi πΏ adalah
πππ’ππ = π½2 x πππ ,
dengan
πππ =1
ππ+ππ2
2ππ, π = 1,2β¦ ,5.
Variansi π pada masing-masing skripsi adalah
(1) . 0.0335849 (2). 0.1722768 (3). 0.0568231 (4). 0.0216058 (5). 0.0226455.
Variansi ππ’ππ pada masing-masing skripsi adalah
(1) . 0.0318555 (2). 0.16340574 (3). 0.0525893 (4). 0.02094616 (5). 0.0219541.
Standar error (ππΈππ’ππ) pada masing-masing skripsi adalah
(1). 0.1784813 (2). 0.4042348 (3). 0.2293237 (4). 0.1447279 (5). 0.1481693.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 147
132
Dengan demikian, pada masing-masing skripsi, selang kepercayaan 95 % bagi πΏ
adalah
(1). [-0.2363133 0.4820741]
(2). [2.0737966 3.7008415]
(3). [0.1545308 1.0889646]
(4). [0.1126309 0.6888289]
(5). [0.2194020 0.8093011].
a. Model Meta-Analisis Efek Tetap untuk Data Berpasangan
Misalkan ππ adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (ππ’ππ).
Dengan menggunakan persamaan (3.11), bobot masing-masing studi dalam
model efek tetap adalah
ππ =1
πππ,
dengan πππ adalah variansi ππ’ππ untuk studi ke-i = 1,2,β¦,5.
Untuk skripsi 1,
π1 =1
0.03185559= 31.391666.
Untuk skripsi 2 hingga kelima, proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.2.
Persentase bobot relatif pada model efek tetap dapat dihitung sebagai
berikut
Relatif.w = ππ
β ππππ=1
x 100%, π = 1,2, β¦ ,5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 148
133
Berdasarkan persamaan sebelumnya, persentase bobot relatif (%) pada masing-
masing skripsi adalah
(1) 20.95 (2) 4.08 (3) 12.69 (4) 31.87 (5) 30.40.
Tabel 4.2 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Tetap
Skripsi Effect Size Variansi Bobot Perhitungan
ππ πππ ππ ππππ ππππ2 ππ
2
Prastiwi 0.119674804 0.03186 31.3917 3.75679 0.44959 985.437
Indriastuti 2.8119977 0.16341 6.11974 17.2087 48.3908 37.4512
Adi 0.598137 0.05259 19.0153 11.3737 6.80305 361.58
Setyawan 0.3945648 0.02095 47.7414 18.8371 7.43245 2279.25
Sekararum 0.5064385 0.02195 45.5495 23.068 11.6825 2074.75
Jumlah 149.818 74.2443 74.7584 5738.47
Berdasarkan perhitungan pada tabel 4.2 dan persamaan (3.12), rata-rata
terbobot untuk keseluruhan effect size dengan model efek tetap dapat dihitung
sebagai
π =β ππππ5π=1
β ππ5π=1
=74.2443
149.8176= 0.4955647,
dengan standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.14) adalah
ππΈπ = β1
β ππ5π=1
= β1
149.8176= 0.08169935.
Berdasarkan persamaan (3.15) dan (3.16), batas bawah dan batas atas
kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek tetap
diestimasi sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 149
134
πΏπΏπ = π β 1.96ππΈπ,
ππΏπ = π + 1.96ππΈπ.
Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size adalah
[0.335434 0.6556954]
Dengan menggunakan persamaan (3.17), nilai π§ untuk menguji hipotesis nol
adalah
π =π
ππΈπ=0.4955647
0.08169935= 6.065711.
Nilai π pada persamaan (3.18) untuk menguji hipotesis nol adalah
π = 2[1 β π·(|π|)] = 2[1 β π·(|6.065|)] = 1.313708π β 09.
Tabel 4.3 Meta-Analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah
Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek Tetap
Data Bobot (%) SMD Tetap 95% CI
1 20.95% 0.12 [-0.24,0.48]
2 4.08% 2.812 [2.07,3.7]
3 12.69% 0.598 [0.15,1.09]
4 31.87% 0.395 [0.11,0.69]
5 30.40% 0.506 [0.22,0.81]
Total SMD
95% CI
0.495
[0.335,0.656]
Nilai π 1.3 x 10β9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 150
135
Tabel 4.3 memperlihatkan bahwa analisis model efek tetap menghasilkan
nilai gabungan SMD (standardized mean difference) sebesar 0.495 dengan selang
kepercayaan (CI) 95% [0.335,0.656]. Oleh karena
nilai π = 1.313708π β 09 < πΌ = 0.05,
maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek tetap adalah
hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek sedang pada perbedaan rata-rata selisih
pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit.
Untuk melihat apakah model penggabungan effect size dengan model efek tetap
sudah tepat atau belum, maka pada subbab selanjutnya perlu dicari nilai
heterogenitas antar-skripsi.
b. Model Meta-Analisis Efek Acak untuk Data Berpasangan
Misalkan ππ adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (ππ’ππ).
Model efek acak menggunakan asumsi bahwa studi heterogen. Oleh karena itu,
metode DerSimonian dan Laird digunakan untuk mengestimasi variansi antar
studi π2. Dengan menggunakan persamaan (3.19), penduga dari π2 adalah
π2 =π β ππ
πΆ,
berdasarkan tabel 4.2, perhitungan π dan πΆ adalah
π =βππππ2 β
π
π=1
(β ππππππ=1 )
2
β ππππ=1
= 74.7584 β (74.24432
149.818) = 37.96554,
πΆ =βππ
π
π=1
ββ ππ
2ππ=1
β ππππ=1
= 111.5145,
ππ = 5 β 1 = 4.
Dengan demikian, nilai variansi antar studi (π2) digunakan untuk semua studi,
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 151
136
π2 =37.96554 β 4
111.5145= 0.304584.
Oleh karena nilai π > ππ, maka pendugaan terhadap π2 besar dan studi heterogen
sehingga model efek acak lebih cocok digunakan. Dengan cara yang sama,
heterogenitas dapat diukur dengan menggunakan persamaan (3.23), yaitu
πΌ2 =π β ππ
πx 100% =
37.96554 β 4
37.96554x 100% = 89.5%.
Persentase πΌ2 yang besar menunjukkan bahwa adanya perbedaan populasi antar
studi sebanyak 89.5% (studi heterogen).
Dengan menggunakan persamaan (3.24), bobot masing-masing studi
dalam model efek acak adalah
πππ
=1
ππππ
,
dengan
ππππ
= πππ + π2,
dan πππ adalah variansi untuk studi ke-i =1,2,β¦,5 dan π2 adalah estimasi sampel
dari π2.
Untuk skripsi 1,
π1π
=1
ππ1π
=
1
0.33643959= 2.9723.
Proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.4.
Persentase bobot relatif pada model efek acak dapat dihitung sebagai berikut
Relatif.wR = πππ
β ππ5π=1 π
x 100%, π = 1,2, β¦ ,5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 152
137
Berdasarkan persamaan sebelumnya, persentase bobot relatif (%) pada masing-
masing skripsi adalah
(1). 21.2 (2). 15.2 (3). 19.9 (4). 21.9 (5). 21.8.
Tabel 4.4 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Acak
Skripsi Effect
Size Variansi
Variansi
antar
Studi
Total
Variansi Bobot πππ
πππ
πππ
πππ π2 πππ + π2 πππ
Prastiwi 0.11967 0.03186 0.30458 0.33643959 2.9723 0.35571
Indriastuti 2.812 0.16341 0.30458 0.46798974 2.1368 6.00867
Adi 0.59814 0.05259 0.30458 0.35717336 2.79976 1.67464
Setyawan 0.39456 0.02095 0.30458 0.32553016 3.07191 1.21207
Sekararum 0.50644 0.02195 0.30458 0.32653815 3.06243 1.55093
Jumlah 14.0432 10.802
Berdasarkan tabel 4.4 dan persamaan (3.26), rata-rata terbobot untuk
keseluruhan effect size dengan model efek acak dapat dihitung sebagai
ππ
=β πππ
πππ
5π=1
β πππ
5π=1
=10.802
14.0432= 0.769199,
dengan perkiraan standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.28)
adalah
ππΈππ
= β
1
β πππ
5π=1
= β1
14.0432= 0.26685.
Berdasarkan persamaan (3.29) dan (3.30), batas bawah dan batas atas
kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek acak
diestimasi sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 153
138
πΏπΏππ
= ππ
β 1.96ππΈππ
,
ππΏππ
= ππ
+ 1.96ππΈππ
.
Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size adalah
[0.2461738 1.292225]
Dengan menggunakan persamaan (3.31), nilai π§ untuk menguji hipotesis nol
adalah
ππ
=ππ
ππΈππ
=0.769199
0.26685= 2.882518.
Nilai π pada persamaan (3.32) untuk menguji hipotesis nol adalah
π = 2[1 β π·(|π|)] = 2[1 β π·(|2.882518|)] = 0.003945102.
Tabel 4.5 Meta-Analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah
Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek Acak
Data Bobot (%) SMD Tetap 95% CI
1 21.2% 0.12 [-0.24,0.48]
2 15.2% 2.812 [2.07,3.7]
3 19.9% 0.598 [0.15,1.09]
4 21.9% 0.395 [0.11,0.69]
5 21.8% 0.506 [0.22,0.81]
Total SMD
95% CI
0.769
[0.246,1.292]
Heterogenitas < 0.0001
Nilai π 0.003945102
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 154
139
Tabel 4.5 memperlihatkan bahwa analisis model efek acak menghasilkan
nilai gabungan SMD (standardized mean difference) sebesar 0.769 dengan selang
kepercayaan (CI) 95% [0.246, 1.292]. Oleh karena
nilai π = 0.0039 < πΌ = 0.05,
maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek acak adalah
hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek besar pada perbedaan rata-rata selisih
pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit.
Variasi antar-data adalah heterogen, hal ini dapat dilihat dari nilai π pada uji
heterogenitas adalah 0, lebih kecil daripada 0.05.
Untuk mengetahui variasi data maka dapat dilihat pada grafik funnel plot,
yang dapat dilihat pada gambar 4.1.
Gambar 4.1 Funnel Plot Meta-Analisis Data Berpasangan
Gambar 4.1 menunjukkan bahwa variasi data skripsi yang heterogen (kelima data
tidak simetris), artinya apabila analisis dilakukan pada populasi, waktu, tempat
dan kondisi yang berbeda maka hasilnya akan berbeda. Oleh karena itu, bias
publikasi berperan penting dalam meta-analisis ini.
Hasil meta-analisis untuk data berpasangan ditampilkan pada forest plot,
yang dapat dilihat pada gambar 4.2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 155
140
Gambar 4.2 Forest Plot Data Berpasangan untuk Model Efek Tetap (sebelah kiri)
dan Model Efek Acak (sebelah kanan)
B. Meta-Analisis pada Data Independen
Pengambilan data dilakukan secara hipotetik, yaitu data berdistribusi Normal
dibangkitkan secara acak dengan rata-rata populasi 120, standar deviasi populasi
14 dan ukuran sampel berturut-turut adalah 35, 40, 50, 25, 55. Data dapat dilihat
pada Lampiran 3. Meta-analisis dilakukan untuk mengestimasi effect size yang
diperoleh dengan menggabungkan nilai keseluruhan efek pada kelima data
tersebut. Semua perhitungan dilakukan dengan menggunakan program R versi
3.3.2 (Listing program ada pada Lampiran 4 dan 5).
1. Pengujian Hipotesis Rata-rata Kelompok Eksperimen dan Kontrol
Misalkan π₯π , π = 1,2, β¦ ,5 adalah sampel kelompok eksperimen yang dibangkitkan
secara acak dari data berdistribusi Normal dengan rata-rata populasi 120, standar
deviasi populasi 14 dan ukuran sampel berturut-turut adalah 35, 40, 50, 25, 55.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 156
141
Sedangkan π¦π, π = 1,2, β¦ ,5 adalah sampel kelompok kontrol yang dibangkitkan
secara acak dari data berdistribusi Normal dengan rata-rata populasi 120, standar
deviasi populasi 14 dan ukuran sampel berturut-turut adalah 35, 40, 50, 25, 55.
Data ke-i adalah data sampel π₯π dan π¦π dengan π = 1,2, β¦ ,5 yang akan dilihat
effect sizenya.
Uji Homogenitas Variansi dengan Uji Levenne
Uji homogenitas variansi dilakukan untuk memenuhi asumsi pengujian
hipotesis dengan uji π‘, yaitu variansi kedua populasi sama besar. Langkah-langkah
pengujian sebagai berikut:
1. π»0: ππ₯π2 = ππ¦π
2, π = 1,2, β¦ ,5.
2. π»1: ππ₯π2 β ππ¦π
2, π = 1,2, β¦ ,5.
3. πΌ = 0.05.
4. Statistik uji: Uji F
5. Wilayah kritis: π»0 ditolak bila nilai π < 0.05,
6. Perhitungan
Tabel 4.6 Uji Homogenitas Variansi dengan Uji Levenne
Data Nilai π
1 0.4858 > πΌ
2 0.4454 > πΌ
3 0.4776 > πΌ
4 0.8247 > πΌ
5 0.6193 > πΌ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 157
142
7. Kesimpulan
Pada tabel 4.6, nilai π > πΌ, maka hipotesis nol gagal untuk ditolak,
artinya kedua variansi populasi sama besar.
Dari lima data yang ada, pengujian hipotesis rata-rata dua populasi
dilakukan sebagai berikut
1. Hipotesis nol dan hipotesis alternatif
π»0: ππ₯π = ππ¦π ,
π»1: ππ₯π β ππ¦π ,
dengan ππ₯π, ππ¦π adalah rata-rata populasi untuk data ke- π = 1,2, β¦ ,5.
2. πΌ = 0.05
3. Dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8), statistik uji untuk
pengujian hipotesis rata-rata dua populasi adalah
π‘ =(οΏ½Μ
οΏ½1 β οΏ½Μ
οΏ½2) β π0
π πβ(1/π1) + (1/π2), π π
2 =π 12(π1 β 1) + π 2
2(π2 β 1)
π1 + π2 β 2,
dengan derajat bebas π£ = π1 + π2 β 2.
4. Daerah kritis: π»0 ditolak jika |π‘| > π‘0.025(π£)
5. Perhitungan:
Tabel 4.7 Uji π‘ dengan Tingkat Signifikansi 0.05
Data π‘ π£ π‘πΌ(π£)
1 2.9109 68 2
2 2.2271 78 2
3 2.1205 98 1.99
4 -1.6137 48 2.021
5 2.3612 108 1.99
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 158
143
6. Kesimpulan: Pada tabel 4.7, nilai |π‘| untuk data ke-1,2,3 dan 5 selalu lebih
besar dari π‘0.025(π£). Oleh karena itu, hipotesis nol ditolak dan ada
perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi data π₯π dan π¦π, dengan
π = 1,2,3,5. Sementara itu, nilai |π‘| untuk data ke-4 kurang dari π‘0.025(π£)
sehingga tidak ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi
data π₯4 dan π¦4.
Dengan menggunakan pertidaksamaan (2.3), selang kepercayaan bagi
ππ₯π β ππ¦π adalah
(1). [3.205576 17.181073]
(2). [0.678295 12.108489]
(3). [0.3609533 10.8953272]
(4). [-14.992311 1.642124]
(5). [0.9622474 11.0261580].
Oleh karena selang kepercayaan bagi ππ₯4 β ππ¦4 memuat nilai 0, maka kesimpulan
uji hipotesis perbedaan rata-rata dua populasi adalah tidak ada perbedaan yang
signifikan antara rata-rata populasi data π₯4 dan π¦4. Selain itu, selang kepercayaan
pada nomor (1), (2), (3) dan (5) tidak memuat nilai 0, sehingga kesimpulannya
adalah ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi data π₯π dan π¦π,
dengan π = 1,2,3,5.
2. Meta-analisis π
pada Data Independen
Pemenuhan asumsi homogenitas variansi yang terpenuhi mengakibatkan
bahwa standardizer yang dipilih pada kasus ini adalah standar deviasi sampel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 159
144
gabungan (π π). Misalkan πΏ adalah perbedaan rata-rata populasi antara kelompok
eksperimen dan kelompok kontrol. Untuk sampel independen, effect size
perbedaan rata-rata yang distandardisasi (π) dapat dihitung menggunakan
π =οΏ½Μ
οΏ½2 β οΏ½Μ
οΏ½1π π
, (4.3)
dengan οΏ½Μ
οΏ½2 adalah rata-rata sampel kelompok eksperimen π₯π , οΏ½Μ
οΏ½1 adalah rata-rata
sampel kelompok kontrol π¦π, π = 1,2, β¦ ,5, dan
π π = β(π1 β 1)π 12 + (π2 β 1)π 22
π1 + π2 β 2. (4.4)
Berdasarkan persamaan (4.4), hasil perhitungan standar deviasi sampel gabungan
adalah
(1). 14.64911 (2). 12.83810 (3). 13.27103 (4). 14.62513 (5). 13.31256.
Nilai dari οΏ½Μ
οΏ½2 β οΏ½Μ
οΏ½1 dapat dihitung sebagai selisih rata-rata antara sampel
kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Nilai dari οΏ½Μ
οΏ½2 β οΏ½Μ
οΏ½1 berturut-turut
adalah
(1) . 10.193325 (2). 6.393391 (3). 5.628140 (4). -6.675093 (5). 5.994202.
Dengan menggunakan persamaan (4.3), effect size π pada kelima skripsi adalah
(1). 0.6958322 (2). 0.4980014 (3). 0.4240921 (4). -0.4564124 (5). 0.4502668.
Karena π adalah penduga yang bias bagi πΏ, maka faktor pengoreksi pada
persamaan (3.4), yaitu
π½ = 1 β3
4ππ β 1,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 160
145
dengan
ππ = π1 + π2 β 2,
pada kelima data nilai π½ berturut-turut adalah
(1). 0.9889299 (2). 0.9903537 (3). 0.9923274 (4). 0.9842932 (5). 0.9930394.
Dengan menggunakan persamaan (3.3), penduga tak bias bagi πΏ, yaitu
ππ’ππ = π½ x π,
pada kelima data nilai ππ’ππ adalah
(1). 0.6881293 (2). 0.4931976 (3). 0.4208382 (4). -0.4492436 (5). 0.4471327.
Selang kepercayaan 95% bagi πΏ dapat dihitung dengan menggunakan
pertidaksamaan (3.8), yaitu
π β 1.96 ππΈπ < πΏ < π + 1.96 ππΈπ ,
dengan
ππΈπ = βππ.
Dengan menggunakan persamaan (3.35), variansi π adalah
ππ =π1π + π2ππ1ππ2π
+ππ2
2(π1π + π2π),
dengan π1π dan π2π adalah kedua ukuran sampel untuk data ke-i =1,2,β¦,5.
Dengan menggunakan persamaan (3.36), variansi ππ’ππ untuk dua populasi
independen adalah
ππβ² = π½2 x ππ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 161
146
dengan π½ adalah faktor pengoreksi untuk mengonversi π ke ππ’ππ dan ππβ² adalah
variansi ππ’ππ untuk data ke-i.
Variansi π (ππ, π = 1,2, β¦ ,5) pada masing-masing data adalah
(1). 0.0606013 (2). 0.05155003 (3). 0.04089927 (4). 0.08208312 (5). 0.03728518.
Variansi ππ’ππ pada masing-masing data adalah
(1). 0.059267 (2). 0.0505603 (3). 0.04027407 (4). 0.07952485 (5). 0.03676794.
Standar error (ππΈππ’ππ) pada masing-masing data adalah
(1) . 0.2434482 (2). 0.2248562 (3). 0.2006840 (4). 0.2820015 (5). 0.1917497.
Dengan demikian, pada masing-masing data, selang kepercayaan 95% bagi πΏ
adalah
(1). [0.21333253 1.1783319]
(2). [0.05299063 0.9430122]
(3). [0.02771013 0.820474]
(4). [-1.0179554 0.1051306]
(5). [0.07180313 0.8287305].
a. Model Meta-Analisis Efek Tetap untuk Data Independen
Misalkan ππ adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (ππ’ππ).
Dengan menggunakan persamaan (3.11), bobot masing-masing studi dalam
model efek tetap adalah
ππ =1
πππ,
dengan πππ adalah variansi ππ’ππ untuk data ke-i = 1,2,β¦,5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 162
147
Untuk data 1,
π1 =1
0.059267= 16.87279.
Proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.8.
Persentase bobot relatif pada model efek tetap dapat dihitung sebagai
berikut
Relatif.w = ππ
β ππ5π=1
x 100%, π = 1,2, β¦ ,5. (4.5)
Berdasarkan persamaan (4.5), persentase bobot relatif (%) pada masing-masing
data adalah
(1). 16.7 (2). 19.5 (3). 24.5 (4). 12.4 (5). 26.9.
Tabel 4.8 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Tetap
Data Effect Size Variansi Bobot Perhitungan
ππ πππ ππ ππππ ππππ2 ππ
2
1 0.688129 0.059267 16.8728 11.6107 7.99 284.69
2 0.493197 0.050560 19.7784 9.75464 4.81 391.18
3 0.420838 0.040274 24.8299 10.4494 4.40 616.52
4 -0.449243 0.079524 12.5747 -5.6491 2.54 158.12
5 0.447132 0.036767 27.1976 12.1609 5.44 739.71
Jumlah 101.253 38.3265 25.17 2190.23
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 163
148
Berdasarkan tabel 4.8 dan persamaan (3.12), rata-rata terbobot untuk
keseluruhan effect size dengan model efek tetap dapat dihitung sebagai
π =β ππππ5π=1
β ππ5π=1
=38.3265
101.253= 0.378521,
dengan standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.14) adalah
ππΈπ = β1
β ππ5π=1
= β1
101.253= 0.09937918.
Berdasarkan persamaan (3.15) dan (3.16), batas bawah dan batas atas
kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dalam model efek tetap diestimasi
sebagai
πΏπΏπ = π β 1.96ππΈπ,
ππΏπ = π + 1.96ππΈπ.
Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dalam model efek
tetap adalah
[0.1837378 0.5733041]
Dengan menggunakan persamaan (3.17), nilai π§ untuk menguji hipotesis nol
adalah
π =π
ππΈπ=
0.378521
0.09937918.= 3.808856.
Nilai π pada persamaan (3.18) untuk menguji hipotesis nol adalah
π = 2[1 β π·(|π|)] = 2[1 β π·(|3.808856|)] = 0.000139.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 164
149
Tabel 4.9 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD) Kelompok
Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Tetap
Data Bobot (%) SMD Tetap 95% CI
1 16.70% 0.688 [0.21,1.17]
2 19.50% 0.493 [0.05,0.94]
3 24.50% 0.421 [0.02,0.82]
4 12.40% -0.449 [-1.01,0.11]
5 26.90% 0.447 [0.07,0.83]
Total SMD
95% CI
0.379
[0.184,0.573]
Nilai π 0.000139
Tabel 4.9 memperlihatkan bahwa analisis model efek tetap menghasilkan
nilai gabungan SMD sebesar 0.379 dengan selang kepercayaan (CI) 95%
[0.184,0.573]. Oleh karena
nilai π = 0.000139 < πΌ = 0.05,
maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek tetap adalah
hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek sedang pada perbedaan rata-rata
kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Untuk melihat apakah model
penggabungan effect size dengan model efek tetap sudah tepat atau belum, maka
pada subbab selanjutnya perlu dicari nilai heterogenitas antar-data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 165
150
b. Model Meta-Analisis Efek Acak untuk Data Independen
Misalkan ππ adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (ππ’ππ).
Model efek acak menggunakan asumsi bahwa studi heterogen. Oleh karena itu,
metode DerSimonian dan Laird digunakan untuk mengestimasi variansi antar
studi π2. Dengan menggunakan persamaan (3.19), penduga dari π2 adalah
π2 =π β ππ
πΆ,
berdasarkan tabel 4.8, perhitungan π dan πΆ adalah
π =βππππ2 β
π
π=1
(β ππππππ=1 )
2
β ππππ=1
= 25.17347 β (38.32652
101.253) = 10.66608,
πΆ =βππ
π
π=1
ββ ππ
2ππ=1
β ππππ=1
= 79.62214,
ππ = 5 β 1 = 4.
Dengan demikian, nilai variansi antar studi (π2) digunakan untuk semua studi,
dengan
π2 =10.66608 β 4
79.62214= 0.0837.
Oleh karena nilai π > ππ, maka pendugaan terhadap π2 cukup besar dan data
heterogen sehingga model efek acak lebih cocok digunakan. Dengan cara yang
sama, heterogenitas dapat diukur dengan menggunakan persamaan (3.23),
πΌ2 =π β ππ
πx 100% =
10.66608 β 4
10.66608x 100% = 62.5%.
Persentase πΌ2 yang besar menunjukkan bahwa adanya perbedaan populasi antar
studi sebanyak 62.5% (studi heterogen).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 166
151
Dengan menggunakan persamaan (3.24), bobot pada masing-masing data
dalam model efek acak adalah
πππ
=1
ππππ
,
dengan
ππππ
= πππ + π2,
dan πππ adalah variansi untuk data ke-i =1,2,β¦,5 dan π2 adalah estimasi sampel
dari π2.
Untuk data 1,
π1π
=1
ππ1π
=
1
0.1405= 6.993571.
Untuk data 2 hingga kelima, proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.10.
Tabel 4.10 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Acak
Data Effect
Size Variansi
Variansi
antar
Studi
Total
Variansi Bobot πππ
πππ
πππ
πππ π2 πππ + π2 πππ
1 0.688 0.0593 0.0837 0.143 6.9936 4.812
2 0.4931 0.0506 0.0837 0.1343 7.4470 3.673
3 0.4208 0.0403 0.0837 0.124 8.0648 3.394
4 -0.4492 0.0795 0.0837 0.1632 6.1257 -2.752
5 0.44713 0.0368 0.0837 0.1205 8.299 3.711
Jumlah 36.9306 12.838
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 167
152
Persentase bobot relatif pada model efek acak dapat dihitung sebagai berikut
Relatif.wR = πππ
β πππ
5π=1
x 100%, π = 1,2, β¦ ,5. (4.6)
Berdasarkan persamaan (4.6), persentase bobot relatif (%) pada masing-masing
data adalah
(1). 18.9 (2). 20.2 (3). 21.8 (4). 16.6 (5). 22.5.
Berdasarkan tabel 4.10 dan persamaan (3.26), rata-rata terbobot untuk
keseluruhan effect size dengan model efek acak dapat dihitung sebagai
ππ
=β πππ
πππ
5π=1
β πππ
5π=1
=12.83835
36.9306= 0.3476344,
dengan penduga standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.28)
adalah
ππΈππ
= β
1
β πππ
5π=1
= β1
36.9306= 0.1645534.
Berdasarkan persamaan (3.29) dan (3.30), batas bawah dan batas atas
kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek acak
diestimasi sebagai
πΏπΏππ
= ππ
β 1.96ππΈππ
,
ππΏππ
= ππ
+ 1.96ππΈππ
.
Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek
acak adalah
[0.02510981 0.670159]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 168
153
Dengan menggunakan persamaan (3.31), nilai π§ untuk menguji hipotesis nol
adalah
ππ
=ππ
ππΈππ
=0.3476344
0.1645534= 2.112594.
Nilai π pada persamaan (3.32) untuk menguji hipotesis nol adalah
π = 2[1 β π·(|π|)] = 2[1 β π·(|2.112594|)] = 0.03463556.
Tabel 4.11 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD) Kelompok
Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Acak
Data Bobot (%) SMD Acak 95% CI
1 18.90% 0.688 [0.21,1.17]
2 20.20% 0.493 [0.05,0.94]
3 21.80% 0.421 [0.02,0.82]
4 16.60% 0.449 [-1.01,0.11]
5 22.50% 0.447 [0.07,0.83]
Total SMD
95% CI
0.348
[0.025,0.67]
Heterogenitas 0.0347
Nilai π 0.000139
Tabel 4.11 memperlihatkan bahwa analisis model efek acak menghasilkan
nilai gabungan SMD sebesar 0.348 dengan selang kepercayaan (CI) 95% [0.025,
0.67]. Oleh karena
nilai π = 0.000139 < πΌ = 0.05,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 169
154
maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek acak adalah
hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek sedang pada perbedaan rata-rata
kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Variasi antar-data adalah heterogen,
hal ini dapat dilihat dari nilai π pada uji heterogenitas adalah 0.03, lebih kecil
daripada 0.05. Forest plot untuk kedua model dapat dilihat pada gambar 4.3 dan
gambar 4.4.
Gambar 4.3 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Tetap
Gambar 4.4 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Acak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 170
155
Untuk mengetahui variasi data maka dapat dilihat pada grafik funnel plot,
yang dapat dilihat pada gambar 4.5.
Gambar 4.5 Funnel Plot Meta-Analisis Perbedaan Rata-rata Kelompok
Eksperimen dengan Kelompok Kontrol.
Gambar 4.5 menunjukkan bahwa variasi data yang heterogen (kelima data tidak
simetris), artinya apabila analisis dilakukan pada populasi, waktu, tempat dan
kondisi yang berbeda maka hasilnya akan berbeda. Oleh karena itu, bias publikasi
berperan penting dalam meta-analisis ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 171
156
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Penerapan effect size pada hasil-hasil penelitian bersamaan dengan
pengujian signifikansi statistik merupakan pertimbangan penting, salah satunya
dalam dunia sosial. Hasil penerapan effect size pada hasil-hasil penelitian
dirangkum dalam dua model meta-analisis, yaitu model efek tetap dan model efek
acak. Model efek acak lebih cocok diterapkan pada studi yang bersifat heterogen.
Hal ini disebabkan oleh tujuan penggunaan model efek acak adalah generalisasi.
Pemilihan model meta-analisis tidak boleh hanya didasarkan pada nilai
heterogenitas, namun perlu memperhatikan tujuan utama penelitian dan sumber
penggabungan penelitian.
Penulis memberikan contoh hasil meta-analisis yang diterapkan pada data
berpasangan dengan penstandarnya adalah standar deviasi rata-rata sampel (π ππ£)
dan data independen yang penstandarnya adalah deviasi sampel gabungan (π π).
Hasil akhir meta-analisis dengan model efek acak pada data berpasangan
ditunjukkan oleh nilai rata-rata terbobot keseluruhan effect size sebesar 0.769
dengan selang kepercayaan 95% [0.2461738 1.292225] dan nilai π = 0.0039
kurang dari 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa penggabungan 5 skripsi memiliki
perbedaan rata-rata yang distandardisasi sebesar 0.769. Jika ditelusuri lebih lanjut,
rata-rata pendapatan usaha kecil dan menengah sesudah mendapatkan kredit 0.769
kali lebih besar daripada rata-rata pendapatan sebelum mendapatkan kredit.
Hasil akhir meta-analisis dengan model efek acak pada kelima data
berdistribusi Normal yang dibangkitkan secara hipotetik ditunjukkan oleh nilai
rata-rata terbobot keseluruhan effect size sebesar 0.348 dengan selang kepercayaan
95% [0.025, 0.67] dan nilai π = 0.000139 kurang dari 0.05. Hal ini menunjukkan
bahwa penggabungan 5 data memiliki perbedaan rata-rata yang distandardisasi
0.348. Jika ditelusuri lebih lanjut, rata-rata kelompok eksperimen 0.348 kali lebih
besar daripada rata-rata kelompok kontrol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 172
Analisis sensitifitas dengan funnel plot menunjukkan bahwa hasil meta-
analisis memiliki bias publikasi. Artinya, apabila analisis dilakukan pada populasi,
waktu, tempat dan kondisi yang berbeda maka hasilnya akan berbeda. Bias
publikasi ini dapat dikurangi dengan membatasi sumber penelitian yang
dikumpulkan dan jenis penggabungan penelitian. Pelaporan nilai effect size pada
suatu penelitian dapat memfasilitasi peneliti untuk melakukan meta-analisis
berikutnya dan membantu peneliti di masa depan untuk merumuskan hasil dari
penelitian sejenis serta lebih memahami bagaimana temuan penelitian sesuai
dengan literatur penelitian yang ada.
B. Saran
Hasil penelitian yang melibatkan pengujian hipotesis harus disertai dengan
pelaporan nilai effect size di dalamnya. Lebih lanjut, tanpa memperhatikan metode
statistik yang digunakan, Cohenβs π seharusnya dipresentasikan dalam hasil
penelitian. Hasil penelitian tidak hanya mengacu pada kriteria Cohen, namun
penginterpretasian hasil juga harus mempertimbangkan penelitian sebelumnya.
Pada contoh hasil meta-analisis, sampel yang digunakan hanya berasal dari skripsi
di program studi Akuntansi dan Pendidikan Ekonomi. Meta-analisis berikutnya
perlu memperluas sampel dengan menyertai penelitian lain yang ada di jurnal
untuk meningkatkan kualitas penelitian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 173
DAFTAR PUSTAKA
Adi, A. R. S. A. (2012). Perbedaan Omset Penjualan, Jumlah Tenaga Kerja,
Biaya Produksi, dan Keuntungan pada Pelaku Usaha Mikro Kecil dan
Menengah di Kota Yogyakarta Sebelum dan Sesudah Mendapat Kredit dari
Lembaga Keuangan Koperasi. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
American Psychological Association Task Force on Statistical Inference. (1999).
Publication manual of the American Psychological Association (Fifth
Edition). Washington, DC: Author.
Borenstein, M., et al. (2009). Introduction to Meta-Analysis. Chichester: Wiley.
Chen, D. G. dan Peace, K. E. (2013). Applied Meta-analysis with R. Boca Raton:
CRC Press.
Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (Second
Edition). Hillsdale, N.J: Erlbaum.
Cohen, J. (1994). The earth is round (p < .05). American Psychologist, 49: 997-
1003.
Cumming, G. (2012). Understanding The New Statistics Effect Sizes, Confidence
Intervals, and Meta-Analysis. New York: Routledge.
Ferguson, C. J. (2009). An Effect Size Primer: A Guide for Clinicians and
Researchers. Professional Psychology, 40(5): 532-538.
Field, A., Hole, G. (2003). How to design and report experiments. London: Sage.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 174
Field, A. (2005). Discovering statistics using SPSS (Second Edition). London:
Sage.
Glass, G. V. (1976). Primary, Secondary and Meta-analysis of Research.
Educational Researcher, 5(10): 3-8.
Hedges, L. V. dan Olkin, I. (1985). Statistical methods for meta-analysis.
Orlando, FL: Academic Press.
Hunt, M. (1997). How science takes stock: The story of meta-analysis. New York:
Russell Sage Foundation.
Indriastuti, Novia. (2012). Pengaruh Pemberian Kredit oleh Badan Usaha Kredit
Pedesaan (BUKP) terhadap Pendapatan Penjualan Usaha Mikro.
Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
Johnson, R. A., Miller, I., Freund, J. (2005). Probability and Statistics for
Engineers (Seventh Edition). New Jersey: Pearson-Prentice Hall.
Julie, Hongkie. (1999). Teorema Limit Pusat dan Terapannya. Yogyakarta:
Universitas Sanata Dharma.
Keppel, G. dan Wickens, T. D. (2004). Design and Analysis: a Researcherβs
Handbook. Upper Saddle River, NJ: Pearson-Prentice Hall.
Kirk, R. (1996). Practical significance: A concept whose time has come.
Educational and Psychological Measurements, 56: 746-759.
Mendenhal, W., Beaver, R. J., Beaver. B. M. (2009). Introduction to Probability
& Statistics (Thirteenth Edition). Pacific Grove, CA: Brooks/Cole.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 175
Nakagawa, S. dan Cuthill, I. C. (2007). Effect size, confidence interval and
statistical significance: a practical guide for biologists. Biological Reviews,
82: 591-605.
Nindrea, R. D. (2016). Pengantar Langkah-langkah Praktis Studi Meta-Analisis.
Yogyakarta: Gosyen Publishing.
Olejnic, S. dan Algina, J. (2003). Generalized eta and omega squared statistics:
Measures of effect size for some common research designs. Psychological
Methods, 8(4): 434-447.
Prastiwi, Hanun. (2013). Studi Komparasi Perkembangan Usaha Mikro dan Kecil
Masyarakat, Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dari LKM-Kube
βSejahteraβ Kecamatan Pandak Kabupaten Bantul. Yogyakarta:
Universitas Sanata Dharma.
Santoso, A. (2010). Studi Deskriptif Effect Size Penelitian-penelitian di Fakultas
Psikologi Universitas Sanata Dharma. Jurnal Penelitian, 14(1): 1-17.
Schwab, A., et al. (2011). Researchers Should Make Thoughtful Assessments
Instead of Null-Hypothesis Significance Tests. Organization Science, 22
(4): 1105-1120.
Sekararum, Maria. (2008). Peran Kredit Bank Perkreditan Rakyat bagi
Pendapatan Usaha Kecil. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
Setyawan, S. E. (2000). Peran Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP) bagi
Pengembangan Usaha Kecil di Pedesaan. Yogyakarta: Universitas Sanata
Dharma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 176
Snyder, P. dan Lawson, S. (1993). Evaluating results using corrected and
uncorrected effect size estimates. Journal of Experimental Education, 61:
334-349.
Thompson, B. (1998). Statistical Significance and Effect Size Reporting: Portrait
of a Possible Future. Research In The Schools, 5(2): 33-38.
Wackerly, D. D., Mendenhall, W., Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical
Statistics with Applications (Seventh Edition). Belmont, CA: Brooks/Cole.
Walpole, R. E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists
(Ninth Edition). Boston: Pearson-Prentice Hall.
Wilkinson & Task Force on Statistical Inference. (1999). Statistical methods in
psychological journals: Guidelines and explanations. American
Psychologist, 54: 594-604.
Williams, David. (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge
University Press.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 177
LAMPIRAN
Lampiran 1
Berikut ini merupakan data kelima skripsi di Program Studi Akuntansi dan
Pendidikan Ekonomi Universitas Sanata Dharma yang diakses melalui database
library.usd.ac.id. Data diinput dalam Microsoft Office Excel 2007 (.csv).
1. Data Skripsi Prastiwi (2013)
Diff adalah rata-rata selisih pendapatan sesudah mendapatkan kredit dengan
pendapatan sebelum mendapatkan kredit.
π Sebelum Sesudah Diff
1 6.000.000 7.000.000 1.000.000
2 5.000.000 5.000.000 0
3 3.500.000 4.000.000 500.000
4 30.000.000 32.000.000 2.000.000
5 3.800.000 3.800.000 0
6 1.500.000 1.800.000 300.000
7 1.000.000 1.800.000 800.000
8 1.000.000 1.300.000 300.000
9 2.600.000 3.000.000 400.000
10 1.500.000 2.000.000 500.000
11 13.000.000 15.000.000 2.000.000
12 800.000 1.000.000 200.000
13 13.000.000 14.000.000 1.000.000
14 700.000 900.000 200.000
15 3.000.000 3.900.000 900.000
16 10.000.000 12.000.000 2.000.000
17 50.000.000 56.000.000 6.000.000
18 6.500.000 8.000.000 1.500.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 178
19 6.000.000 9.000.000 3.000.000
20 2.500.000 4.500.000 2.000.000
21 3.000.000 5.000.000 2.000.000
22 20.000.000 24.000.000 4.000.000
23 3.000.000 4.500.000 1.500.000
24 1.000.000 1.000.000 0
25 2.500.000 3.000.000 500.000
26 8.000.000 10.000.000 2.000.000
27 1.200.000 1.800.000 600.000
28 30.000.000 37.000.000 7.000.000
29 1.500.000 2.000.000 500.000
30 12.000.000 13.000.000 1.000.000
2. Data Skripsi Indriastuti (2012)
π Sebelum Sesudah Diff
1 420.000 750.000 330.000
2 375.000 575.000 200.000
3 460.000 700.000 240.000
4 550.000 800.000 250.000
5 460.000 650.000 190.000
6 550.000 1.000.000 450.000
7 600.000 900.000 300.000
8 700.000 1.000.000 300.000
9 500.000 1.000.000 500.000
10 500.000 850.000 350.000
11 375.000 775.000 400.000
12 450.000 850.000 400.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 179
13 450.000 1.000.000 550.000
14 450.000 800.000 350.000
15 550.000 1.100.000 550.000
16 625.000 975.000 350.000
17 460.000 710.000 250.000
18 500.000 825.000 325.000
19 625.000 945.000 320.000
20 375.000 875.000 500.000
21 375.000 580.000 205.000
22 450.000 750.000 300.000
23 450.000 800.000 350.000
24 500.000 750.000 250.000
25 550.000 1.000.000 450.000
26 500.000 820.000 320.000
27 375.000 700.000 325.000
28 500.000 700.000 200.000
29 625.000 1.100.000 475.000
30 460.000 700.000 240.000
3. Data Skripsi Adi (2012)
π Sebelum Sesudah Diff
1 8.550.000 10.200.000 1.650.000
2 9.100.000 11.600.000 2.500.000
3 4.250.000 5.900.000 1.650.000
4 6.000.000 7.690.000 1.690.000
5 5.750.000 6.500.000 750.000
6 4.150.000 4.750.000 600.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 180
7 8.300.000 9.600.000 1.300.000
8 7.350.000 9.120.000 1.770.000
9 3.740.000 5.700.000 1.960.000
10 4.500.000 5.250.000 750.000
11 5.230.000 6.300.000 1.070.000
12 5.600.000 6.400.000 800.000
13 6.700.000 7.600.000 900.000
14 7.350.000 8.600.000 1.250.000
15 6.000.000 6.750.000 750.000
16 8.120.000 9.970.000 1.850.000
17 4.250.000 5.900.000 1.650.000
18 3.410.000 4.260.000 850.000
19 3.150.000 4.100.000 950.000
20 3.410.000 4.200.000 790.000
21 6.100.000 6.750.000 650.000
4. Data Skripsi Setyawan (2000)
π Sebelum Sesudah Diff
1 250.000 350.000 100.000
2 100.000 200.000 100.000
3 100.000 125.000 25.000
4 175.000 225.000 50.000
5 220.000 250.000 30.000
6 100.000 110.000 10.000
7 150.000 180.000 30.000
8 200.000 250.000 50.000
9 150.000 175.000 25.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 181
10 130.000 225.000 95.000
11 125.000 160.000 35.000
12 150.000 180.000 30.000
13 100.000 130.000 30.000
14 200.000 250.000 50.000
15 130.000 150.000 20.000
16 120.000 140.000 20.000
17 110.000 125.000 15.000
18 200.000 240.000 40.000
19 500.000 600.000 100.000
20 300.000 350.000 50.000
21 300.000 350.000 50.000
22 350.000 400.000 50.000
23 350.000 425.000 75.000
24 300.000 360.000 60.000
25 370.000 430.000 60.000
26 325.000 450.000 125.000
27 500.000 700.000 200.000
28 300.000 425.000 125.000
29 300.000 500.000 200.000
30 600.000 700.000 100.000
31 350.000 500.000 150.000
32 450.000 600.000 150.000
33 330.000 410.000 80.000
34 380.000 525.000 145.000
35 700.000 900.000 200.000
36 350.000 450.000 100.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 182
37 300.000 400.000 100.000
38 545.000 650.000 105.000
39 700.000 930.000 230.000
40 600.000 750.000 150.000
41 750.000 900.000 150.000
42 550.000 625.000 75.000
43 550.000 600.000 50.000
44 550.000 625.000 75.000
45 270.000 300.000 30.000
46 280.000 300.000 20.000
47 300.000 350.000 50.000
48 450.000 550.000 100.000
49 625.000 675.000 50.000
50 400.000 475.000 75.000
5. Data Skripsi Sekararum (2008)
π Sebelum Sesudah Diff
1 4.500.000 6.000.000 1.500.000
2 1.500.000 1.950.000 450.000
3 3.900.000 4.950.000 1.050.000
4 900.000 1.950.000 1.050.000
5 1.200.000 1.500.000 300.000
6 1.200.000 1.800.000 600.000
7 1.500.000 2.400.000 900.000
8 1.050.000 1.500.000 450.000
9 1.500.000 1.950.000 450.000
10 1.200.000 1.500.000 300.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 183
11 1.200.000 1.950.000 750.000
12 1.950.000 3.000.000 1.050.000
13 3.900.000 4.800.000 900.000
14 1.350.000 1.800.000 450.000
15 3.000.000 3.900.000 900.000
16 900.000 1.800.000 900.000
17 900.000 1.200.000 300.000
18 1.200.000 1.500.000 300.000
19 1.350.000 1.950.000 600.000
20 900.000 1.650.000 750.000
21 1.200.000 1.650.000 450.000
22 3.600.000 4.800.000 1.200.000
23 4.800.000 6.000.000 1.200.000
24 1.050.000 1.950.000 900.000
25 1.500.000 1.950.000 450.000
26 4.500.000 6.000.000 1.500.000
27 4.500.000 6.000.000 1.500.000
28 2.100.000 3.000.000 900.000
29 3.450.000 4.200.000 750.000
30 1.200.000 1.800.000 600.000
31 1.500.000 1.950.000 450.000
32 1.650.000 2.550.000 900.000
33 1.950.000 2.700.000 750.000
34 1.200.000 1.650.000 450.000
35 3.000.000 3.900.000 900.000
36 2.250.000 3.000.000 750.000
37 2.550.000 3.000.000 450.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 184
38 4.950.000 6.000.000 1.050.000
39 1.650.000 2.400.000 750.000
40 900.000 1.500.000 600.000
41 4.950.000 6.000.000 1.050.000
42 4.200.000 4.800.000 600.000
43 1.200.000 1.800.000 600.000
44 1.950.000 2.400.000 450.000
45 2.400.000 3.000.000 600.000
46 1.950.000 3.000.000 1.050.000
47 3.900.000 4.800.000 900.000
48 1.500.000 2.250.000 750.000
49 900.000 1.350.000 450.000
50 4.800.000 5.550.000 750.000
6. Buka Data Microsoft Office Excel yang Telah Diinput di program R versi
3.3.2
> Prastiwi=read.csv(file.choose(),header=T)
> Indriastuti=read.csv(file.choose(),header=T)
> Adi=read.csv(file.choose(),header=T)
> Setyawan=read.csv(file.choose(),header=T)
> Sekararum=read.csv(file.choose(),header=T)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 185
Lampiran 2
Berikut ini merupakan kode program R untuk uji normalitas, penyajian data,
perhitungan effect size pada data kelima skripsi dan hasil perhitungan meta-
analisis dengan menggunakan model efek tetap dan model efek acak.
1. Uji Normalitas dengan Kolgomorov-Smirnov
> ks.test(Prastiwi$Diff,pnorm,mean(Prastiwi$Diff),sd(Prastiwi$Diff))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: Prastiwi$Diff
D = 0.23927, p-value = 0.06444
alternative hypothesis: two-sided
> ks.test(Indriastuti$Diff,pnorm,mean(Indriastuti$Diff),sd(Indriastuti$Diff))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: Indriastuti$Diff
D = 0.16459, p-value = 0.3907
alternative hypothesis: two-sided
> ks.test(Adi$Diff,pnorm,mean(Adi$Diff),sd(Adi$Diff))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: Adi$Diff
D = 0.18506, p-value = 0.4683
alternative hypothesis: two-sided
> ks.test(Setyawan$Diff,pnorm,mean(Setyawan$Diff),sd(Setyawan$Diff))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: Setyawan$Diff
D = 0.17159, p-value = 0.1053
alternative hypothesis: two-sided
> ks.test(Sekararum$Diff,pnorm,mean(Sekararum$Diff),sd(Sekararum$Diff))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 186
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: Sekararum$Diff
D = 0.1337, p-value = 0.3331
alternative hypothesis: two-sided
2. Penyajian Data dengan Program R versi 3.3.2
>
Prastiwi=c(mean(Prastiwi$Sebelum),sd(Prastiwi$Sebelum),mean(Prastiwi$Sesud
ah),sd(Prastiwi$Sesudah),30,mean(Prastiwi$Diff))
>
Indriastuti=c(mean(Indriastuti$Sebelum),sd(Indriastuti$Sebelum),mean(Indriastut
i$Sesudah),sd(Indriastuti$Sesudah),30,mean(Indriastuti$Diff))
>
Adi=c(mean(Adi$Sebelum),sd(Adi$Sebelum),mean(Adi$Sesudah),sd(Adi$Sesud
ah),21,mean(Adi$Diff))
>
Setyawan=c(mean(Setyawan$Sebelum),sd(Setyawan$Sebelum),mean(Setyawan$
Sesudah),sd(Setyawan$Sesudah),50,mean(Setyawan$Diff))
>
Sekararum=c(mean(Sekararum$Sebelum),sd(Sekararum$Sebelum),mean(Sekarar
um$Sesudah),sd(Sekararum$Sesudah),50,mean(Sekararum$Diff))
> dat = as.data.frame(rbind(Prastiwi,Indriastuti,Adi,Setyawan,Sekararum))
> colnames(dat) = c("m.Pre","sd.Pre","m.Post","sd.Post","n.Pairs","m.Diff")
> dat
m.Pre sd.Pre m.Post sd.Post n.Pairs m.Diff
Prastiwi 8120000 11130089.69 9576666.7 12536833.5 30 1456666.7
Indriastuti 492000 84767.43 832666.7 143723.5 30 340666.7
Adi 5762381 1845472.58 7006666.7 2145787.3 21 1244285.7
Setyawan 332700 180716.29 413400 220116.9 50 80700
Sekararum 2247000 1348294.84 3000000 1571168.8 50 753000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 187
> sd.av = sqrt(((dat$sd.Pre^2)+(dat$sd.Post^2))/2)
> sd.av
[1] 11854347.1 117987.2 2001271.1 201382.5 1463979.2
> n=5
> N = dat$n.Pairs
> J = 1- 3/(4*N-5)
> d = dat$m.Diff/sd.av
> d
[1] 0.1228804 2.8873191 0.6217477 0.4007299 0.5143516
> dunb= J*d
> dunb
[1] 0.1196748 2.8119977 0.5981370 0.3945648 0.5064385
> var.d=(1/dat$n.Pairs)+(d^2/(2*dat$n.Pairs))
> var.dunb = (J^2)*var.d
> lowCI.d=d-1.96*sqrt(var.d)
> upCI.d=d+1.96*sqrt(var.d)
> cbind(lowCI.d,dunb,upCI.d)
lowCI.d dunb upCI.d
[1,] -0.2363133 0.1196748 0.4820741
[2,] 2.0737966 2.8119977 3.7008415
[3,] 0.1545308 0.5981370 1.0889646
[4,] 0.1126309 0.3945648 0.6888289
[5,] 0.2194020 0.5064385 0.8093011
3. Perhitungan Meta-Analisis dengan Model Efek Tetap
> w = 1/var.dunb
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 188
> tot.w = sum(w)
> rel.w = w/tot.w
> M = sum(rel.w*dunb)
> M
[1] 0.4955647
> var.M = 1/tot.w
> se.M = sqrt(var.M)
> lowCI.M = M-1.96*se.M
> lowCI.M
[1] 0.335434
> upCI.M = M+1.96*se.M
> upCI.M
[1] 0.6556954
> z = M/se.M
> z
[1] 6.065711
> pval = 2*(1-pnorm(abs(z)))
> pval
[1] 1.313708e-09
> library(metafor)
> model.FE<- rma(dunb, var.dunb, method="FE", measure="SMD")
> summary(model.FE)
Fixed-Effects Model (k = 5)
logLik deviance AIC BIC AICc
-15.6335 37.9655 33.2670 32.8765 34.6004
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 189
Test for Heterogeneity:
Q(df = 4) = 37.9655, p-val < .0001
Model Results:
estimate se zval pval ci.lb ci.ub
0.4956 0.0817 6.0657 <.0001 0.3354 0.6557 ***
---
Signif. codes: 0 β***β 0.001 β**β 0.01 β*β 0.05 β.β 0.1 β β 1
> forest(model.FE)
4. Heterogenitas Effect Size
> Q = sum(w*dunb^2)-(sum(w*dunb))^2/tot.w
> df= n-1
> C = tot.w - sum(w^2)/tot.w
> tau2 = (Q-df)/C
> tau2
[1] 0.304584
5. Perhitungan Meta-Analisis dengan Model Efek Acak
> wR = 1/(var.dunb+tau2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 190
> tot.wR = sum(wR)
> rel.wR = wR/tot.wR
> MR = sum(rel.wR*dunb)
> MR
[1] 0.7691995
> var.MR = 1/tot.wR
> se.MR = sqrt(var.MR)
> se.MR
[1] 0.2668498
> lowCI.MR = MR - 1.96*se.MR
> lowCI.MR
[1] 0.2461738
> upCI.MR = MR + 1.96*se.MR
> upCI.MR
[1] 1.292225
> zR = MR/se.MR
> zR
[1] 2.882518
> pval.R = 2*(1-pnorm(abs(zR)))
> pval.R
[1] 0.003945102
> sumTab = data.frame(SMD = round(dunb,4),lowCI = round(lowCI.d,4),upperCI
= round(upCI.d,4),pctW.fixed = round(rel.w*100,2),pctW.random =
round(rel.wR*100,2))
> rownames(sumTab) = rownames(dat)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 191
> sumTab
SMD lowCI upperCI pctW.fixed pctW.random
Prastiwi 0.1197 -0.2363 0.4821 20.95 21.17
Indriastuti 2.8120 2.0738 3.7008 4.08 15.22
Adi 0.5981 0.1545 1.0890 12.69 19.94
Setyawan 0.3946 0.1126 0.6888 31.87 21.87
Sekararum 0.5064 0.2194 0.8093 30.40 21.81
> library(metafor)
> model.RE<- rma(dunb, var.dunb, method="DL", measure="SMD")
> summary(model.RE)
Random-Effects Model (k = 5; tau^2 estimator: DL)
logLik deviance AIC BIC AICc
-7.4825 21.6636 18.9651 18.1840 24.9651
tau^2 (estimated amount of total heterogeneity): 0.3046 (SE = 0.2665)
tau (square root of estimated tau^2 value): 0.5519
I^2 (total heterogeneity / total variability): 89.46%
H^2 (total variability / sampling variability): 9.49
Test for Heterogeneity:
Q(df = 4) = 37.9655, p-val < .0001
Model Results:
estimate se zval pval ci.lb ci.ub
0.7692 0.2668 2.8825 0.0039 0.2462 1.2922 **
---
Signif. codes: 0 β***β 0.001 β**β 0.01 β*β 0.05 β.β 0.1 β β 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 192
> forest(model.RE)
> funnel(model.RE)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 193
Lampiran 3
Berikut ini merupakan data independen berdistribusi Normal yang
dibangkitkan secara hipotetik melalui program R versi 3.3.2. Pengujian hipotesis
pada keempat data diasumsikan signifikan dan satu data tidak signifikan. Meta-
analisis dilakukan untuk mengestimasi effect size dari kelima data tersebut.
1. Data Berdistribusi Normal yang Dibangkitkan Secara Hipotetik
> x1=rnorm(35,120,14)
> x1
[1] 142.73180 133.64160 137.91543 127.04481 134.93512 163.23808 111.99330
[8] 129.58068 115.25493 143.80132 148.52458 122.05689 136.91831 129.23504
[15] 123.02598 119.60322 122.74415 119.93836 118.18762 103.91416
149.41061
[22] 116.51850 131.99683 121.67993 99.51958 131.27712 148.02795 126.21861
[29] 111.88403 116.37566 106.76355 127.73487 93.44861 94.05003 123.06455
> y1=rnorm(35,120,14)
> y1
[1] 103.23966 127.56010 124.61971 100.75458 87.71961 110.69320 140.73139
[8] 101.22746 109.25053 109.14670 126.01070 99.34998 110.43253 120.33634
[15] 124.71073 97.49233 120.90670 119.96740 144.25814 112.29892 106.77433
[22] 95.11539 113.40566 140.03133 126.46819 111.09344 123.28663 104.34525
[29] 115.33178 114.62363 102.35177 109.04503 118.44353 135.14818
119.31859
> x2=rnorm(40,120,14)
> x2
[1] 112.77828 124.76272 144.87365 117.51560 113.92556 140.76362 117.47837
[8] 106.70953 117.53519 134.82065 146.98314 120.97548 122.17958 129.51306
[15] 95.50349 127.92651 129.47762 118.90719 124.22097 117.27563 130.49162
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 194
[22] 120.29240 123.64791 144.99219 123.43910 136.75767 117.20200
118.34045
[29] 143.47702 114.25877 129.13256 112.65260 139.67688 111.72512
131.19996
[36] 111.35765 145.89593 126.76714 135.99436 110.73329
> y2=rnorm(40,120,14)
> y2
[1] 131.28719 120.36768 105.77885 129.98784 109.31418 112.44139 137.87768
[8] 117.27134 141.45105 120.99906 123.18585 115.49620 110.16687 121.72994
[15] 128.96870 118.54851 103.18574 133.95222 134.16183 130.15568
121.38602
[22] 131.98998 120.68631 102.94306 126.76292 122.21475 129.68937
115.60235
[29] 102.30001 114.59890 96.08491 97.54549 106.98162 95.13663 104.44225
[36] 138.37219 91.21682 107.73668 141.34078 123.06597
> x3=rnorm(50,120,14)
> x3
[1] 131.63652 122.91643 145.45729 116.56031 132.31744 107.76710 112.29348
[8] 146.52895 132.89130 128.58778 112.43440 126.44310 121.19138 138.86838
[15] 136.67056 124.85554 126.64458 110.24736 126.88454 109.73845
125.88560
[22] 150.56983 125.62915 91.61998 133.91093 123.98028 136.23216 140.46058
[29] 111.94976 109.76050 106.95594 136.57587 138.21150 100.18272
127.40883
[36] 120.18239 117.85640 100.71999 115.48983 130.82044 117.12016
118.13394
[43] 136.79475 115.56626 98.29371 144.53219 145.32230 109.04295 132.78666
[50] 119.03332
> y3=rnorm(50,120,14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 195
> y3
[1] 147.83840 92.67358 121.54238 132.68769 123.53382 104.65769 130.47874
[8] 125.84043 115.26361 112.49331 105.16432 109.21466 127.16679 135.23832
[15] 98.53706 109.09693 117.63656 114.96338 130.37183 105.11275 131.80506
[22] 110.94184 113.41095 86.27831 135.17717 109.21646 112.41014 110.83375
[29] 110.07676 122.34413 121.99011 102.64644 132.45225 127.92542
129.41484
[36] 114.68198 91.10790 117.70676 123.40856 138.02540 128.57602 116.55264
[43] 112.76810 111.43605 125.68357 115.37092 131.87023 115.87505
119.54974
[50] 131.50800
> x4=rnorm(25,120,14)
> x4
[1] 113.35733 125.14672 102.85252 110.98206 105.48052 140.58821 119.54112
[8] 116.70304 135.57994 112.54513 135.14843 130.95545 134.10345 109.45547
[15] 131.25337 104.24832 112.43259 134.48479 108.52405 128.56785
117.74898
[22] 96.81778 104.02075 131.04960 92.76292
> y4=rnorm(25,120,14)
> y4
[1] 147.96881 120.39546 128.69081 137.27654 98.99308 92.41842 139.67673
[8] 128.94645 142.55636 122.62621 139.71258 117.17080 116.83343 130.68958
[15] 131.89502 122.53569 146.59078 118.63567 120.05133 92.62113 136.39825
[22] 138.50727 118.25646 104.42617 127.35469
> x5=rnorm(55,120,14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 196
> x5
[1] 106.76597 120.03006 114.11598 129.81369 131.88848 128.11385 103.37962
[8] 137.50936 123.47789 126.96299 130.45159 105.32659 125.47219 141.67309
[15] 162.96198 127.94145 129.29061 134.64428 119.58000 128.66220
110.68570
[22] 97.14506 115.52528 122.19081 122.06410 117.21028 138.14851 132.98823
[29] 131.77800 125.86892 125.82018 131.64150 112.00750 134.71850
109.85498
[36] 137.44785 142.38577 119.27231 99.55225 129.22558 133.95633 121.60594
[43] 113.19061 113.30490 109.38754 124.88095 132.40154 104.33827
134.30362
[50] 141.09523 114.46723 154.31160 108.44182 129.37758 121.86789
> y5=rnorm(55,120,14)
> y5
[1] 107.29819 114.49790 125.58829 130.36368 141.52269 98.88041 110.57453
[8] 145.86932 104.60350 112.03059 142.84126 104.44202 128.20357 130.11938
[15] 120.65445 128.22006 117.06278 122.90797 115.98615 107.34458
116.93099
[22] 97.13816 106.11089 118.78050 119.60689 126.44957 106.65153 130.26875
[29] 129.70956 109.96984 128.93101 104.94438 98.97440 112.41212 104.92901
[36] 97.69217 128.74121 109.75359 145.48902 149.74951 125.04031 133.12686
[43] 124.23704 123.70587 124.27825 123.79799 99.56769 133.40300 116.15075
[50] 96.49465 111.30195 113.75085 98.98993 116.40738 118.34617
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 197
Lampiran 4
Berikut ini merupakan kode program R versi 3.3.2 untuk uji homogenitas
variansi, uji π‘ dan penyajian data.
1. Uji Homogenitas Variansi
> library(Rcmdr)
> sampel1=c(x1,y1)
> sampel2=c(x2,y2)
> sampel3=c(x3,y3)
> sampel4=c(x4,y4)
> sampel5=c(x5,y5)
> group1=as.factor(c(rep(1,length(x1)),rep(2,length(y1))))
> group2=as.factor(c(rep(1,length(x2)),rep(2,length(y2))))
> group3=as.factor(c(rep(1,length(x3)),rep(2,length(y3))))
> group4=as.factor(c(rep(1,length(x4)),rep(2,length(y4))))
> group5=as.factor(c(rep(1,length(x5)),rep(2,length(y5))))
> levene.test(sampel1,group1)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 1 0.4912 0.4858
68
> levene.test(sampel2,group2)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 1 0.5883 0.4454
78
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 198
> levene.test(sampel3,group3)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 1 0.5083 0.4776
98
> levene.test(sampel4,group4)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 1 0.0496 0.8247
48
> levene.test(sampel5,group5)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 1 0.2482 0.6193
108
2. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Uji π
> dat1=cbind(sampel1,group1)
> dat2=cbind(sampel2,group2)
> dat3=cbind(sampel3,group3)
> dat4=cbind(sampel4,group4)
> dat5=cbind(sampel5,group5)
>
t.test(sampel1~group1, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d
ata=dat1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 199
Two Sample t-test
data: sampel1 by group1
t = 2.9109, df = 68, p-value = 0.004869
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
3.205576 17.181073
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2
125.2073 115.0140
>
t.test(sampel2~group2, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d
ata=dat2)
Two Sample t-test
data: sampel2 by group2
t = 2.2271, df = 78, p-value = 0.02882
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.678295 12.108489
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2
124.8040 118.4106
>
t.test(sampel3~group3, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d
ata=dat3)
Two Sample t-test
data: sampel3 by group3
t = 2.1205, df = 98, p-value = 0.03649
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 200
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.3609533 10.8953272
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2
123.8393 118.2111
>
t.test(sampel4~group4, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d
ata=dat4)
Two Sample t-test
data: sampel4 by group4
t = -1.6137, df = 48, p-value = 0.1132
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-14.992311 1.642124
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2
118.1740 124.8491
>
t.test(sampel5~group5, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d
ata=dat5)
Two Sample t-test
data: sampel5 by group5
t = 2.3612, df = 108, p-value = 0.02001
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.9622474 11.0261580
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 201
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2
124.3732 118.3790
3. Penyajian Data
> Data1=c(mean(x1),sd(x1),35,mean(y1),sd(y1),35)
> Data2=c(mean(x2),sd(x2),40,mean(y2),sd(y2),40)
> Data3=c(mean(x3),sd(x3),50,mean(y3),sd(y3),50)
> Data4=c(mean(x4),sd(x4),25,mean(y4),sd(y4),25)
> Data5=c(mean(x5),sd(x5),55,mean(y5),sd(y5),55)
> dat = as.data.frame(rbind(Data1,Data2,Data3,Data4,Data5))
>
colnames(dat)=c("m.Eksperimen","sd.Eksperimen","n.Eksperimen","m.Kontrol","
sd.Kontrol","n.Kontrol")
> dat
m.Eksperimen sd.Eksperimen n.Eksperimen m.Kontrol sd.Kontrol n.Kontrol
Data1 125.2073 15.83617 35 115.0140 13.35698 35
Data2 124.8040 12.13542 40 118.4106 13.50426 40
Data3 123.8393 13.80511 50 118.2111 12.71455 50
Data4 118.1740 13.65497 25 124.8491 15.53483 25
Data5 124.3732 13.12314 55 118.3790 13.49931 55
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 202
Lampiran 5
Berikut ini merupakan kode program R versi 3.3.2 untuk perhitungan effect
size dan perhitungan meta-analisis dengan menggunakan model efek tetap dan
model efek acak.
1. Perhitungan Effect Size π
> pooled.sd = sqrt(((dat$n.Eksperimen-1)*dat$sd.Eksperimen^2+(dat$n.Kontrol-
1)*dat$sd.Kontrol^2)/(dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol-2))
> n=5
> N = dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol
> J = 1- 3/(4*N-9)
> d = (dat$m.Eksperimen-dat$m.Kontrol)/pooled.sd
> d
[1] 0.6958322 0.4980014 0.4240921 -0.4564124 0.4502668
>
var.d=(dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol)/(dat$n.Eksperimen*dat$n.Kontrol)+(d^
2/(2*(dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol)))
> dunb= J*d
> dunb
[1] 0.6881293 0.4931976 0.4208382 -0.4492436 0.4471327
> var.dunb=(J^2)*var.d
> lowCI.d=d-1.96*sqrt(var.d)
> upCI.d=d+1.96*sqrt(var.d)
> cbind(lowCI.d, dunb, upCI.d)
lowCI.d dunb upCI.d
[1,] 0.21333253 0.6881293 1.1783319
[2,] 0.05299063 0.4931976 0.9430122
[3,] 0.02771013 0.4208382 0.820474
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 203
[4,] -1.01795540 -0.4492436 0.1051306
[5,] 0.07180313 0.4471327 0.8287305
2. Perhitungan Meta-Analisis dengan Menggunakan Model Efek Tetap
> w = 1/var.dunb
> tot.w = sum(w)
> rel.w = w/tot.w
> rel.w
[1] 0.1666394 0.1953355 0.2452253 0.1241904 0.2686095
> M = sum(rel.w*dunb)
> M
[1] 0.378521
> var.M = 1/tot.w
> se.M = sqrt(var.M)
> lowCI.M = M-1.96*se.M
> upCI.M = M+1.96*se.M
> z = M/se.M
> z
[1] 3.808856
> pval = 2*(1-pnorm(abs(z)))
> pval
[1] 0.0001396111
> library(metafor)
> result.smdf <- rma(m1 = m.Eksperimen, m2 = m.Kontrol,sd1 = sd.Eksperimen,
sd2 = sd.Kontrol,n1 = n.Eksperimen, n2 = n.Kontrol,method = "FE", measure =
"SMD",data = dat)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 204
> result.smdf
Fixed-Effects Model (k = 5)
Test for Heterogeneity:
Q(df = 4) = 10.3629, p-val = 0.0347
Model Results:
estimate se zval pval ci.lb ci.ub
0.3798 0.1003 3.7866 0.0002 0.1832 0.5763 ***
Signif. codes: 0 β***β 0.001 β**β 0.01 β*β 0.05 β.β 0.1 β β 1
> forest(result.smdf)
3. Heterogenitas Effect Size
> Q = sum(w*dunb^2)-(sum(w*dunb))^2/tot.w
> Q
[1] 10.66608
> df= n-1
> df
[1] 4
> C = tot.w - sum(w^2)/tot.w
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 205
> tau2 = (Q-df)/C
> tau2
[1] 0.0813
4. Perhitungan Meta-Analisis dengan Menggunakan Model Efek Acak
> wR = 1/(var.dunb+tau2)
> tot.wR = sum(wR)
> rel.wR = wR/tot.wR
> rel.wR
[1] 0.1893706 0.2016492 0.2183773 0.1658709 0.2247319
> MR = sum(rel.wR*dunb)
> MR
[1] 0.3476344
> var.MR = 1/tot.wR
> se.MR = sqrt(var.MR)
> lowCI.MR=MR-1.96*se.MR
> upCI.MR=MR+1.96*se.MR
> zR = MR/se.MR
> zR
[1] 2.112594
> pval.R = 2*(1-pnorm(abs(zR)))
> pval.R
[1] 0.03463556
> library(metafor)
> result.smdr <- rma(m1 = m.Eksperimen, m2 = m.Kontrol,sd1 = sd.Eksperimen,
sd2 = sd.Kontrol,n1 = n.Eksperimen, n2 = n.Kontrol,method = "DL", measure =
"SMD",data = dat)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 206
> result.smdr
Random-Effects Model (k = 5; tau^2 estimator: DL)
tau^2 (estimated amount of total heterogeneity): 0.0814 (SE = 0.0948)
tau (square root of estimated tau^2 value): 0.2854
I^2 (total heterogeneity / total variability): 61.40%
H^2 (total variability / sampling variability): 2.59
Test for Heterogeneity:
Q(df = 4) = 10.3629, p-val = 0.0347
Model Results:
estimate se zval pval ci.lb ci.ub
0.3491 0.1638 2.1315 0.0330 0.0281 0.6701 *
---
Signif. codes: 0 β***β 0.001 β**β 0.01 β*β 0.05 β.β 0.1 β β 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 207
> forest(result.smdr)
> funnel(result.smdr)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 208
Lampiran 6
Tabel Z (Tabel Probabilitas Normal Standar di Sisi Kiri Kurva Normal)
Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
-3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011
-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015
-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021
-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028
-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038
-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051
-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068
-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089
-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116
-2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150
-2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244
-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307
-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384
-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475
-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582
-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708
-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853
-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020
-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210
-1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423
-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660
-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922
-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 209
-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514
-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843
-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192
-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557
-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325
0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340
1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756
2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 210
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985
3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 211
Lampiran 7
Tabel Probabilitas Distribusi π‘
π‘.1 π‘.05 π‘.025 π‘.01 π‘.005 ππ
3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 1
1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 2
1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 3
1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 4
1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5
1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 6
1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 7
1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 8
1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 9
1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 10
1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 11
1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 12
1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 13
1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 14
1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 15
1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 16
1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 17
1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 18
1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 19
1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 20
1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 21
1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 22
1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 23
1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 24
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 212
1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 25
1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 26
1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 27
1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 28
1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 29
1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 inf.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI