高周波デバイス工学特論 updated on - 九州大 …yossvr0.ed.kyushu-u.ac.jp/~lecture/text3.pdfUWB 無線システムの電波システムとしての特徴 10 10 2 3 10 10

高周波デバイス工学特論 updated on 2012.1.23

Advanced Lecture on High Frequency Device Engineering

I 背景 Introduction

II 無線通信用システムLSI System LSI’s for Wireless Communications

III 高周波受動回路 High Frequency Passive Circuits

IV 高周波アナログ集積回路 High Frequency Analog Integrated Circuits

九州大学大学院 システム情報科学研究院 情報エレクトロニクス部門 Department of Electronics Graduate School of Information Science and Electrical Engineering Kyushu University

吉田 啓二 Keiji Yoshida

http://yossvr0.ed.kyushu-u.ac.jp/~lecture/text3.pdf chap89.pdf

ADSL, FTTH

FWA

Photonic Network

PC

Router (TCP/IP)

ITS

CS

Information Communication Technology 1996.5.11 ISEE Established

BS

Game Station

300kHz 3MHz 30MHz 300MHz 3GHz 30GHz 300GHz 3THz

１GHｚ 50GHz

LF

長 波

MF

中 波

HF

短 波

VHF

超短波

UHF

極超短波

SHF

マイクロ

波

EHF

ミリ波 サブミリ波 光

無線航行

ラジオ放送

船舶通信

ラジオ放送（海

外向け）

ｱﾏﾁｭｱ無線

船舶通信

FM 放送

テレビ放送

航空無線

ポケットベル

Digital ＴＶ

自動車電話

ﾀｸｼｰ無線

CellularPhone

PHS

GPS

CS

BS

無線中継

各種レーダ

ＰＣ EMC

ＥＴＣ

ITS

中央防災

無線

簡易無線

Opt Com

WLAN

マイクロ波uwave ミリ波mmwave

THz 利用技術が未確立のため、利用が進んでいない

情報通信における周波数利用の現状

Frequency Bands in Wireless Communications

光opt

３G携帯電話(CDMA)の周波数割当 frequency bands for 3G mobile phones (CDMA) IMT2000

1900 2000

MSS Uplink

2100

MSS

2200

1885 1920 1980 2010 2025

Downlink

KDDI DoCoMo

SoftBank

KDDI DoCoMo

SoftBank

2110 2170 2200

MHz

PHS

シャノンの容量定理 Shannon’s Information Theory

C[bps] ≦ W log2 (1+S/N) [Hz] : 信号帯域幅 signal bandwidth

[W] : 信号電力 signal power

W S=CEb

[W] : 雑音電力 noise power N=WNo [J] : １ビット当たりのエネルギー energy/bit Eb [W/Hz] : 雑音電力密度 noise power spectrum No

上限 upper limit ln 2 b

o

EN

≤ ( )W → ∞

変調方式と周波数利用効率 frequency efficiency

C/W

[bp

s/H

z]

Eb/No [dB] －1.6dB

シャノンの限界

2 4 8

16 32

4 8 16 32

1024 256 64

16 M-QAM

M-PSK GMSK

M-FSK

(C/W) = log2 [1+(C/W) (Eb/No)]

© ディジタル無線通信の変復調 斎藤洋一著 電子情報通信学会

2G 3G 4G

ZigBee 802.15.4

IEEE 802.16

RFID Bluetooth 802.15.1

WiFi 802.11

WiMedia-MBOA 802.15.3 802.15.3a

0.1 0.01 1 10 100 1000

Cellular

WMAN

WPAN

WLAN

FWA

通信

距離

ra

nge

データレート data rate [Mbps]

ワイヤレス通信の性能 performance of wireless communications

UWB

WLAN

WiMax IEEE 802.16e

MAIN FEATURE OF CELLULAR PHONE SYSTEM AND RF NETWORK SYSTEMS

Standard

Frequency (GHz)

Data rate (Mbps)

Access method

Modulation

TX power (mW)

RX sense (dBm)

GSM PDC IMT2000 Bluetooth Wireless 1394

IEEE 802.11b

CDMA TDMA

QPSK GFSK

IEEE 802.11a

0.9/1.8/1.9 0.8/1.4 1.9-2.1 2.4 5.2 2.4 5.2

0.27 0.042 1.92 1 70 11 54

TDMA TDMA TDMA CSMA/CA

GMSK QPSK BPSK, QPSK,

16/64 QAM BPSK, QPSK

CCK, BPSK, QPSK, 16/64 QAM

2000 800 250 1/100 100 40

-108 -100 -116 -70 -80 -82

© A.Matsuzawa , IEEE TRANSACTIONS ON MICROWAVE THEORY AND TECHNIQUES, VOL.50, NO. 1, JANUARY 2002

CSMA/CA

UWB 無線システムの電波システムとしての特徴

102 103 104 105 106 10 107

102

・ナノ (10‐9) 秒程度のパルスを発射 （インパルス型の場合） (必ずしもインパルス型とは限らない。周波数拡散方式等もあり得る)

・超広帯域 （UWBの名前の由来） の周波数を占有。 (FCCの暫定的な定義：中心周波数の20%以上あるいは0.5GHz以上の帯域を占有)

10

1

10‐

1

10‐

6

10‐

2 10‐

3 10‐

4 10‐

5

(=µW/MHz)

(=MHz)

(=GHz) 総務省HP

http://www.soumu.go.jp/ より

業務用無線、第二世代携帯電話

第三世代携帯電話、無線LAN

UWB

PDC

周波数幅 (kHz)

無線通信用CMOSシステムLSIのBlock diagram

アンプ部 ダイレクトコンバージョン方式変復調部 ベースバンド・デジタル処理部

digital

proc.

PHY

受信系

送信系

ミキサ(Down)

ミキサ(Up)

ＬＮＡ

ＰＡ

A/D

D/A

VGA

Buff LPF

LPF

→１チップ

整合回路

VCO PLL

研究② 研究③ 研究①

高周波アナログ回路の特徴 （1） RF Analog Circuit (1)

受動回路 passive circuits

集中定数素子 lumped element

分布定数素子 （伝送線路） distributed element (transmission line)

)(tv

)(ti

))(()( tiftv =

L R

C G

),( txi

),( txv

x

GvtvC

xi

RitiL

xv

+∂∂

=∂∂

−

+∂∂

=∂∂

−

電信方程式 telegraph equations

v vv

i ii

Riv =dtdiLv = ∫= idt

cv 1

][ΩR ][HL ][FC

TEM波２導体

平行２線 同軸線路

TE , TM , H波１導体

G

矩形導波管 円形導波管

マイクロストリップ線路micro-stripline

コプレーナ線路 coplanar waveguide

スロット線路 slot line

G

S

S

G

G

G

S S G

TEM波

TE , TM , H波

0

LCβ ω=

伝搬

定数β

角周波数 直流伝送 ω

低分散

各種伝送線路と伝送特性 transmission lines and propagations

集積回路 Integrated Circuits

伝送線の性質 （１） transmission line (1)

伝信方程式 telegraph equations

(1)v iL Rix t

∂ ∂− = +

∂ ∂

(2)i vC Gvx t

∂ ∂− = +

∂ ∂

任意波形の場合

1( , ) ( ) (3)2

j tv x t V x e dω ωπ

∞

−∞= ∫

1( , ) ( ) (4)2

j ti x t I x e dω ωπ

∞

−∞= ∫

交流信号の場合

( , ) Re ( ) (5)j tv x t V x e ω =

( , ) Re ( ) (6)j ti x t I x e ω =

v(x,t)

i(x,t) L[H/m] R[Ω/m]

C [F/m]

G [S/m]

x 伝送線等価回路（単位長当り） equivalent circuit per unit length

( ) ( , ) j tV x v x t e dtω∞ −

−∞= ∫

( ) ( , ) j tI x i x t e dtω∞ −

−∞= ∫

フーリエ変換 Fourier Transform

フェｰザ（複素振幅） Phasor (Complex Amplitude)

V(x)

I(x)

伝送線の性質（2） transmission line (2)

(3), (4)

( ) ( ) (7)dV x j L R I ZIdx

ω− = + =

( ) ( ) (8)dI x j C G V YVdx

ω− = + =

22

2 ( ) 0 (9)d V V xdx

γ− =

1 2( ) ( ) ( ) (10)x xV x C e C e A x B xγ γ−= + = +一般解

0

1 1( ) ( )dVI x A BZ dx Z

= − = −

または(5), (6) (1), (2)に代入

(8) (7)

(10) (7)

入射波

incident wave 反射波

reflected wave

[ /m]Z j L Rω= + Ω

[S/m]Y j C Gω= +

単位長当りのインピーダンス impedance per unit length

単位長当りのアドミタンス admittance per unit length

-1( )( ) [m ]ZY j L R j C G jγ ω ω α β= = + + = +

C1 , C2 積分定数 integration constants

伝搬定数 propagation constant

伝送線の性質（3） transmission line (3)

12

2 2 2 2 2 2 21 1Im ( )( ) ( ) (13)2 2

R L G C LC RGβ γ ω ω ω = = + + + −

0 (14)Z j L RZY j C G

ωω

+= =

+

0 0

(15)2 2 2R GZ Y Q

βα = + =

低損失伝送線路 ( ωL≫R , ωC≫G ) では

減衰定数

：特性インピーダンス [Ω] characteristic impedance

： 伝送線路のQ値 total Q of transmission line Q

CG

ω=

LR

ω= ：導体損のQ値 Q of conductor loss

：誘電損のQ値 Q of dielectric loss

0LZC

= 00

1 (17)YZ

≡

(16)LCβ ω=

12

2 2 2 2 2 2 21 1Re ( )( ) ( ) (12)2 2

R L G C LC RGα γ ω ω ω = = + + − − attenuation constant

位相定数 phase constant

[Np/m]=8.686[dB/m]

[rad/m]

1 1 1

c dQ Q Q≡ +

Qc

Qd

伝送線の性質（4） transmission line (4)

I(x) L R

C G V(x) A

B Γ Z

V（電圧）, I （電流）から A（入射波）, B（反射波）への変換は

V = A + B (1) (A ‐B) (2)

I = Z0 1

0 50 [ ]LZC

= = Ω

より A = (V+Z0I) (3) 2

1 B = (V‐Z0I) (4) 2

1

この時 インピーダンス Z に対応する量として 反射係数 Γ を定義する。

Z = I V (5) Γ =

B A インピーダンス

impedance (6) 反射係数

reflection coefficient

(1) ― (4) → (5),(6) より Z , Γ 間の変換公式が得られる。

Z = Z0 1 − Γ 1 + Γ (7) Γ =

Z − Z0 Z + Z0

(8)

有限長線路の性質（１） finite length transmission line (1)

A BC D

I1 I2

V1 V2 V(x)

I1 I2 I(x)

Z0 , γ

1 2( ) (1)x xV x C e C e A Bγ γ−= + = +

x x

( ) ( )1 20 0

1 1( ) (2)x xI x C e C e A BZ Z

γ γ−= − = −

において

V1=V(0) , I1=I(0) , V2=V(l) , I2= −I(l) より

01 2 2

1 2 0 2

cosh sinh(3)

sinh coshl Z lV V VA B

I C D I Y l l Iγ γ

γ γ

= = − −

V2 V1

縦続行列 K , F , ABCD matrix

0 l

２ポート行列 2 port matrix

1<<lα

有限長線路の性質（２） finite length transmission line (2)

入力インピーダンス input impedance 1

1

Lin

L

V AZ BZI CZ D

+= =

+

（低損失短尺線路）の時

2 ll LC lθ β ω πλ

≡ = = 2πλβ

= ：波長 wavelength ：電気長 electrical length

同様に入力アドミダンスは

1L

L

YZ

=

00

1YZ

=

Z0 , γ ZL V1 V2 Zin

I1 I2

l

,

ZL=Z0 （YL=Y0）の時 Zin=Z0 Yin=Y0 インピーダンス整合 impedance matching 0 l

|V|

|I|

電圧電流分布 （進行波）

,

lZZlZZZ

L

L

γγ

tanhtanh

0

00 +

+= )4(

tantan

0

00 θ

θ

L

L

jZZjZZZ

++

⋍

⋍ )5(tantan

0

00 θ

θ

L

L

jYYjYYY

++

lYYlYYY

ZY

L

L

inin γ

γtanhtanh1

0

00 +

+==

Z0 l ~

有限長線路の性質（3） finite length transmission line (3)

半波長共振器 （直列共振）

の時 （4）より

0 LC lπω =

0

00[ ] (8)

2 2Xx Z

ω ω

ω πω =

∂= = Ω

∂

： 共振周波数

集中定数等価回路では直列共振回路と等価

00

0 0

1 (9)jX j L jxj C

ωωωω ω ω

= + = −

直列リアクタンス

resonant frequency 0, ,

2l atλθ π ω ω = = =

: リアクタンス スロープパラメータ

0 0 00 0

1,x LL C

ω ω= =

reactance slope parameter

0 tanX Z θ=

2π π ω ω0

θ

ZL

jX

L0 C0 Zin

の時の等価回路

0 l

|V| |I|

電圧電流分布 （定在波）

half-wavelength resonator (series resonance)

∣ZL∣≪ Z0 , θ ⋍ π l ⋍ λ 2

Zin ⋍ ZL + jZ0 tanθ = + ZL jX (6)

θtan0ZX = ⋍

−

ωω

ωω 0

0

x (7)

LZ,2λ ≪

Y0

θtan0YB =

l

2

有限長線路の性質 （4） finite length transmission line (4)

半波長共振器 （並列共振）

の時 （5）より

0 LC lπω =

0

00[ ] (12)

2 2Bb Y S

ω ω

ω πω =

∂= =

∂

： 共振周波数

集中定数等価回路では並列共振回路と等価

00

0 0

1 (13)jB j C jbj L

ωωωω ω ω

= + = −

並列サセプタンス

resonant frequency 0, ,

2l atλθ π ω ω = = =

: サセプタンス スロープパラメータ

0 0 00 0

1,b CL C

ω ω= =

susceptance slope parameter

0 tanB Y θ=

π ω ω0

θ

jB

L0 C0 Yin

の時の等価回路

half-wavelength resonator ( parallel resonance)

0 l

|V| |I|

電圧電流分布 （定在波）

YL

∣ZL∣≫Z0 θ ⋍ π l ⋍ λ (∣YL∣≪ Y0 ) ,

Yin ⋍ YL + jY0 tanθ = + YL jB (10)

⋍

−

ωω

ωω 0

0

b (11)

LY,2λ ≪ ~

Z0

有限長線路の性質 （5） finite length transmission line (5)

λ/4共振器 （インピーダンス変換器）

の時（4）より

0 2 LC lπω =

0

002 4

Xx Zω ω

ω πω =

∂= =

∂

0, ,2 4

l atπ λθ ω ω = = =

quarter-wavelength resonator (impedance transformer) 0 cotX Z θ= −

ω ω0

θ 2π

jX

L0 C0 Zin

20

L

ZZ

の時の等価回路

0 l

|V| |I|

電圧電流分布 （定在波）

2

∣ZL∣ ≫ Z0 θ ⋍ π

l ⋍ π (∣YL∣≪Y0 ) , 4

λ

θcot0ZX −= ⋍

−

ωω

ωω 0

0

x

l LZ,4λ~ ≫

Zin ⋍ ZL − jZ0 cotθ = + ZL

jX Z0

2 Z02

LY,4λ

Y02

有限長線路の性質 （6） finite length transmission line (6)

λ/4共振器 （インピーダンス変換器）

0 2 LC lπω =

0, ,2 4

l atπ λθ ω ω = = =

0 cotB Y θ= −

ω ω0

θ

の時の等価回路

0

002 4

Bb Yω ω

ω πω =

∂= =

∂

jB

Yin 2

0

L

YY

2π

quarter-wavelength resonator impedance transformer

C0 L0

の時（5）より

0 l

|V| |I|

電圧電流分布 （定在波）

2

∣ZL∣≪Z0 θ ⋍ l ⋍ π (∣YL∣≫Y0 ) , 4

λ

Yin ⋍ + YL jB , θcot0YB −= ⋍

−

ωω

ωω 0

0

b

Y0

l ~ ≫

高周波アナログ回路の特徴（２） RF Analog Circuit (2)

1ポート 1 port circuits

マルチポート multi-port circuits

V : 電圧voltage, I : 電流current， ：インピーダンスimpedance

入射波 incident wave 反射波 reflected wave

[Z],[K]: 受動回路 passive circuits [Y]: FET, [H]: BJT

[S]:散乱行列 scattering matrix,

Sパラメータ S parameters

:a :b

ab

=Γ ： 反射係数 reflection coefficient

IVZ =

２ポート行列の変換公式 （１）

行列の定義式

I1

V1 ２ポート A1

B1 Z0

I2

V2 A2

B2 Z0

①Z行列 （インピーダンス行列）

1 11 12 1

2 21 22 2

V Z Z IV Z Z I

=

②Y行列 （アドミタンス行列）

1 11 12 1

2 21 22 2

I Y Y VI Y Y V

=

③H行列 （ハイブリッド行列）

1 11 12 1

2 21 22 2

V H H II H H V

=

④K行列 （ABCD行列）

1 2

1 2

V VA BI C D I

= −

⑤S行列 （散乱行列）

1 11 12 1

2 21 22 2

B S S AB S S A

=

01 ( )2i i iA V Z I= +

01 ( )2i i iB V Z I= −

( 1, 2)i =

[S]

[Z]

[Y]

[H]

A BC D

11 12

21 22

S SS S

11 22 12 21 12

21 11 22 12 21

(1 )(1 ) 2

2 (1 )(1 )sz sz

sz sz

S S S S S

S S S S S

+ − + ∆ ∆

− + + ∆ ∆

0Z 11 22 12 21(1 )(1 )sz S S S S∆ = − − −

11 22 12 21 12

21 11 22 12 21

(1 )(1 ) 2

2 (1 )(1 )sy sy

sy sy

S S S S S

S S S S S

− + + − ∆ ∆ + − +

− ∆ ∆ 0

1Z

11 22 12 21 120

21 11 22 12 21

0

(1 )(1 ) 2

2 (1 )(1 )1sh sh

sh sh

S S S S SZ

S S S S SZ

+ + − ∆ ∆ − − −

− ∆ ∆

11 22 12 21 11 22 12 210

21 21

11 22 12 21 11 22 12 21

0 21 21

(1 )(1 ) (1 )(1 )2 2

(1 )(1 ) (1 )(1 )12 2

S S S S S S S SZS S

S S S S S S S SZ S S

+ − + + + −

− − − − + +

11 22 12 21(1 )(1 )sy S S S S∆ = + + −

11 22 12 21(1 )(1 )sh S S S S∆ = − + +

・[S]からの変換

[S]

[Z]

[Y]

[H]

A BC D

・[Z]からの変換

11 12

21 22

Z ZZ Z

22 12

21 11

Z ZZ ZZ ZZ Z

− −

12

22 22

21

22 22

1

Z ZZ Z

ZZ Z

−

11

21 21

22

21 21

1

ZZZ Z

ZZ Z

11 22 12 21Z Z Z Z Z= −

11 22 12 21Z Z Z Z Z= −

11 22 12 21Z Z Z Z Z= −

[S]

[Z]

[Y]

[H]

A BC D

11 12

21 22

Y YY Y

22 12

21 11

Y YY YY YY Y

− −

12

11 11

21

11 11

1 YY Y

YYY Y

−

22

21 21

11

21 21

1YY YY YY Y

− − − −

11 22 12 21Y Y Y Y Y= −

11 22 12 21Y Y Y Y Y= −

11 22 12 21Y Y Y Y Y= −

・[Y]からの変換

２ポート行列の変換公式 （２）

∆−−+

∆

∆∆−+−

zszs

zszs

ZZZZZ

ZZZZZ

2112221121

1221122211

~~)1~)(1~(~2

~2~~)1~)(1~( ( )( ) 21122211~~1~1~ ZZZZzs −++=∆

0

~ZZ

Z ijij =

∆−−+

∆−

∆−

∆++−

ysys

ysys

YYYYY

YYYYY

2112221121

1221122211

~~)~1)(~1(~2

~2~~)~1)(~1( ( )( ) 21122211~~1~1~ YYYYys −++=∆

ijij YZY 0~ =

・[H]からの変換 ・ からの変換 A BC D

[S]

[Z]

[Y]

[H]

A BC D

11 12

21 22

H HH H

12

11 11

21

11 11

1 HH H

HHH H

−

12

22 22

21

22 22

1

H HH H

HH H

−

11

21 21

22

21 21

1

H HH HHH H

− −

− −

11 22 12 21H H H H H= −

[S]

[Z]

[Y]

[H]

A BC D

A BC D

1

KAC C

DC C

1

KDB B

AB B

−

−

1

KBD D

CD D

−

K AD BC= −

11 22 12 21H H H H H= −

11 22 12 21H H H H H= −

K AD BC= −

K AD BC= −

２ポート行列の変換公式 （３）

∆+−+

∆−

∆∆−+−

hshs

hshs

HHHHH

HHHHH

2112221121

1221122211

~~)~1)(~1(~2

~2~~)1~)(1~( ( )( ) 21122211~~1~1~ HHHHhs −++=∆

==

==

220222121

121201111~~

~~

HZHHH

HHZHH

( )

∆+−+−

∆

∆−

∆−−+

ABCDABCD

ABCDABCD

DCBA

CBDADCBA

~~~~2

~~~~2~~~~DCBAABCD~~~~

+++=∆

==

==

DDCZC

ZBBAA~~

~~

0

0

11 121 1

2 21 22 2

n nnn

S Sb ab S S a

b aS

=

・・・

・・・

・・・ ・・・ ・・・

・・・ ・・・

Sパラメータ （1） S parameter (1)

a1 b1

a2 b2

a3 b3

ｎポート

Z01

Z02

Z03 an bn Z0n

I3

I2

I1

散乱行列 (Scattering Matrix) Sパラメータ

Sパラメータの

定義式

V3

V2

V1

Vn

In

端子電圧および端子電流の表式

0

0

( )1 ( )

i i i i

i i ii

V Z a b

I a bZ

= +

= −

Z0i：特性インピーダンス

規格化された入射波および反射波の定義式

00

00

1 ( )

1 ( )

i i i ii

i i i ii

a V Z IZ

b V Z IZ

= +

= −

(i=1,2,3,・・・ n)

[ ] [ ] [ ]b S a=

(i=1,2,3,・・・ n)

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]SU

SUz−+

=

Sパラメータ（2） S parameter (2)

他の行列との関係

1 11 12 1

2 21 22 2

n nn n

V z z IV z z I

V z I

=

・・・

・・・

・・・ ・・・

・・・

インピーダンス行列 impedance matrix

変換公式 [ ] [ ] [ ][ ] [ ]z U

Sz U

−=

+

但し [ ] [ ]

0 0

1 1z ZZ Z

=

[ ] [ ][ ]V Z I=

,

0

1Z

=

01

1Z

02

1Z

0

1

nZ

: 規格化インピーダンス行列 normalized impedance matrix

: 特性インピーダンス行列characteristic impedance matrix

11

[ ]

1

U

=

単位行列

unit matrix

Sパラメータ（3） S parameter (3)

[ ] [ ]SS t =

Sパラメータの性質

各ポートよりの平均入力電力の表式

expressions for input power

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

0

0

Z Z US

Z Z U−

=+

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]0

U SZ Z

U S+

=−

: 相反性（受動回路で成立） reciprocity (passive circuits)

: ユニタリー性（無損失回路で成立） unitary (lossless circuits)

0

0

Z ZZ Z

−Γ =

+

011

Z Z + Γ=

− Γ

（１ポート）

（１ポート）

Z0i = Z0 =50Ω ( i=1,2,･･･,n ) の時

[ ]Re 0Z =

( )2 2*1 1Re[ ]2 2i i i i iV I a bΡ = = −

( i = 1 , 2 , ･･･ , n )

ai bi

Ρi

Ii

Vi

[ ] [ ]ZZ t =

[ ] [ ] [ ]USS t=∗

lZZlZZZZZ

L

Lin γ

γtanhtanh

11

0

000 +

+=

Γ′−Γ′+

=′

マイクロ波計測（１） microwave measurement (1)

参照面1 reference plane 1

Z0 ZL Vs

参照面2 reference plane 2

(1)－(4) より

(6)

0

0ZZZZ

ab

in

in+′−′

=′′

=Γ′

参照面の移動 reference plane

, γ

l 信号源

Signal source

a = a' e－γ l a'

b' = b e－γ l

Γ' Zin '

Γ Zin = ZL

Z0

leaa γ−′=

le γ2−Γ=Γ′

(1) , (2) , (5) より

(5)

(1) 0

0ZZZZ

ab

L

L+−

==Γ (2)

(3) lebb γ−=′ (4)

b

負荷

Load

マイクロ波計測（2） microwave measurement (2)

ideal signal source

source mismatch

(4)

0

0

1

1ZZZZ

ab

in

in+′−′

==Γ′

誤差回路 error circuit

信号源

Γ'

Γ−Γ

+=Γ′22

211211 1 S

SSS

(1)

=

2

1

2221

1211

2

1

aa

SSSS

bb

(2)

(3)

Vs

Z0 Z0

' Z '

Y ' ZL

Z ''

Y ''

−

−

0

0l

l

e

eγ

γ

signal source 浮遊インピーダンス stray impedances

理想的伝送線路

浮遊インピーダンス stray impedances

00 ZZZ s −=′

ソースミスマッチ 0

0

2

2ZZZZ

ba

L

L+−

==Γ

未知パラメータ unknown parameters

S11 , S22

, S12 S21

Z0

2212

1211

SSSS

ZL Vs

a1

b2

b1

a2

Γ

理想的信号源 誤差回路

error circuit

Zin'

Zin = ZL

負荷 load

ideal transmission line

(1)－(3)より

マイクロ波計測 （3） microwave measurement (3)

11Sl =′Γ

(5)

標準器

(1) 開放 Open 1=Γ∞=LZ22

211211 1 S

SSSo −+=′Γ (5)

(2) 短絡 Short 10 −=Γ=LZ22

211211 1 S

SSSs +−=′Γ (6)

(3) ロード Load 00 =Γ= ZZL (7)

(7) より

OSL校正 OSL calibration

standard loads

′Γ= lS11

′Γ−′Γ

′Γ−′Γ+′Γ=

so

lsoS 222

′Γ−′Γ

′Γ−′Γ−=

so

lsSS )(22112

(8)

(9)

(10)

マイクロ波計測 （4） microwave measurement (4)

(12)

Γ′Γ−′Γ+′Γ−′Γ−′Γ

Γ′Γ−′Γ+′Γ′Γ+′Γ−′Γ−′Γ−′Γ′Γ=Γ′

)2(

)]2()(2[)(

lsoso

lsollssol

(1)

(11)

(10) より

)](2432[)](254[

)](2432[)](254[

0

00 ′Γ−′Γ′Γ+′Γ−′Γ+′Γ−′Γ−′Γ′Γ+′Γ−′Γ

′Γ−′Γ′Γ+′Γ−′Γ+′Γ+′Γ−′Γ′Γ+′Γ−′Γ=′

lollsosllslL

lollsosllslLin

ZZ

ZZZZ

OSL校正 OSL calibration

lZZlZZZZZ

L

Lin γ

γtanhtanh

11

0

000 +

+=

Γ′−Γ′+

=′

le γ2−Γ=Γ′ 理想的伝送線路の時 ideal case

理想的伝送線路の時 ideal case

エレメント ABCDマトリクス S-マトリクス

Z,γl Z0 Z0

伝送線路

直列インピーダンス

Z

並列アドミタンス

Y1 Y2 Y

並列接続のオープンスタブ

Z0 Z0

並列接続のショートスタブ

Z0 Z0

cosh sinh1 sinh cosh

l Z l

l lZ

γ γ

γ γ

10 1

Z

1 01Y

1 0tanh 1l

Zγ

1 01 1

tanhZ lγ

2 20 0

2 20 0

( )sinh 212 ( )sinh

Z Z l Z ZD Z Z Z Z l

γ

γ

−

− 2 2

0 02 cosh ( )sinhD Z Z l Z Z lγ γ= + +

2 1 1 2

1 2 1 2

212

Z Z Z Z ZD Z Z Z Z Z

+ − + −

1 2D Z Z Z= + +

1 2 1 2

1 2 2 1

212

Y Y Y YYD YY Y Y Y

− − − −

1 2D Y Y Y= + +

1 111 1

DDD− −

− −

0

1 2 tanhZD lZ

γ= +

1 111 1

DDD

+ +

0

1 2 cothZD lZ

γ= − −

Z1 Z2

Z,γl

Z,γl

代表的な２ポートの行列 （１）

© マイクロ波平面回路のCAD設計Ⅰ （株）リアライズ社 川崎繁男・中谷彰文著

エレメント ABCDマトリクス S-マトリクス

1:n 理想変成器

π型回路

Y0 Y0 Y1 Y3

T型回路

Z0 Z0 Z2

Z3

伝送線路接合

Z1 Z2

α dB減衰器

α dB

1 00 1

0

0

2 21

2 2

A B A BZ

A B A BZ

+ −

− +

1 0

0n

n

3

2 2

3 11 3

2 2

11

1 1

YY Y

Y YY YY Y

+

+ + +

2010Aα

= 1B A=

2

2 2

1 211 2 1

n nn n n

− + − +

1 2 2 3 1 3D YY Y Y YY= + +2

0 0sD Y QY D= + +

1 2 2 3 1 3D Z Z Z Z Z Z= + +2

0 0sD Z QZ D= + +

2 1 1 2

1 2 1 2

212s

Z Z Z ZD Z Z Z Z

− −

1 2sD Z Z= +

00B

B

2010Aα

= 1B A=

Y2

Z1

Z0 Z0

代表的な２ポートの行列 （２）

© マイクロ波平面回路のCAD設計Ⅰ （株）リアライズ社 川崎繁男・中谷彰文著

231 2YYYQ ++=

−+

−−

DPYYYY

YYDPYYDs 0

2020

2002

0

2

21

31 YYP −=

231 2ZZZQ ++=31 ZZP −=

+

+++

2

3

2

2

313

2

1

11

11

ZZ

Z

ZZZZ

ZZ

+−−

++−

DPZZZZ

ZZDPZZDs 0

2020

2002

0

2

21

１．１ 等分配

equal split 1

2 3( )2PP P= =

02 03 02Z Z Z= = の時、

1 102 2

1 1 12 22

1 1 12 22

− −

[ ] S* t ＝ [ ] S [ ] U

無損失 lossless

相反性 reciprocity

[ ] S t ＝ [ ] S

ヒント hints

1 2 3 1 2 3, 0V V V I I I= = + + =

00

1( ) , ( ) ( 1,2,3)i i i i i i ii

V Z a b I a b iZ

= + = − =

11 12 131 1

2 21 22 23 2

3 331 32 33

S S Sb ab S S S ab aS S S

=

[ ]S =

V1

I1

Z0 P1 a1

b1

V2

V3

a2 b2

a3 b3

I2

I3

P3

P2

Z03

Z02

① 無損失Y分岐 lossless Y branch

電力分配器(３ポート）とハイブリッド（４ポート） power dividers (3 ports) and hybrids (4 ports)

１．２ 一般の分配比 general case

23

2

P KP

= 電力分配比 power ratio 11 0S =

22

02 0 03 0 21(1 ) , KZ Z K Z Z

K+

= + =[ ]

2 2

2

2 22

2 22

101 1

11 11

11 11

K

K KK KS

K KKK K

K KK

+ + = − + ++ − + ++

[ ]

1 102 2

1 102 21 1 02 2

S

=

[ ] [ ]tS S=

のみ成立

ヒント

1

2

3

III

=

1

2

3

VVV

[ ]Y [ ] 0

0

[ ] [ ][ ] [ ]

Y U YSY U Y

−=

+ 00

1YZ

=

V1

I1

Z0

V2

V3

Z0

Z0 0

3Z

03

Z

03

Z

I3

I2

,

② 完全整合Y分岐 matched Y branch

[ ]

1 102 2

1 0 02

1 0 02

j j

S j

j

− − = − −

[ ] S t ＝ [ ] S

ヒント hints

1

2

3

III

1

2

3

VVV

=

[ ]Z [ ] 0

0

[ ] [ ][ ] [ ]Z Z USZ Z U

−=

+

３．１ 等分配 equal split

V1

I1

Z0 P1

V2

V3

I2

I3

P3

P2

Z0

2Z0

2πθ =

02Z

Z0

/ 4λ

/ 4λ

02Z

2πθ =1

2 3 2PP P= =

③ ウィルキンソン電力分配器 Wilkinson power divider

３．２ 一般の分配比 general case

232 3 1

2,P K P P P

P= + =

202 0

203 0 3

0

2 0

03

(1 )

1

1( )

Z Z K K

KZ ZK

R Z KK

Z Z KZZK

= +

+=

= +

=

=

[ ]

2 2

2

2

101 1

1 0 01

0 01

Kj jK K

S jK

KjK

− −

+ + = − + − +

t [ ] S ＝ [ S ] ヒント hints

0 0

1 1[ ] [ ] [ ]Z z ZZ Z

→ =

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]z USz U

−=

+

0

0 2

3

1

1 1

1

Z

Z Z

Z

≡

V1

I1

Z0

V2

V3

I2

I3

P3

Z3

R

Z2 2πθ =

Z02

P2

Z03

2πθ =

P1

４ポート回路 4 port circuits

用語 terminology

a1 b1

a2 b2

① ②

a4 b4

④ a3 b3

③

S11：matching （整合）

S21：through （スルー）

S31：coupling （結合）

S41：isolation （分離）

：directivity （方向性） S31

S41

ハイブリッド回路 hybrid circuits

① S21 RX

Z0

S11

S31

S21

S41 受信機receiver

TX

送信機transmitter

④

S23=0 S13

S31

S43

isolation

②

③

サーキュレータ

分波器

Circulator

Duplexer

④ブランチライン電力分配器（４ポート素子） branch-line power splitter (4 port circuit)

１

４

２

３

Z0

Z0

[ ] Z [ ] S ＝ [ ] Z _ Z0 [ ] U

[ ] Z ＋ Z0 [ ] U

ヒント hints

[ ] S ＝ √ 2

－ 1 [ ] S* t ＝ [ ] S [ ] U

[ ] S t ＝ [ ] S

0 ,22

Z πθ =

0

2

Zπθ =

Z0

Z0

0 1 00 0 1

1 0 00 1 0

jj

jj

0 ,22

Z πθ =

0 ,2

Z πθ =

⑤ハイブリッド回路 hybrid circuit

[ ] Z [ ] S ヒント hints

[ ] S ＝ √ 2

_ j 0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

− −

[ ] S* t ＝ [ ] S [ ] U

[ ] S t ＝ [ ] S

1

Z0

3

0

22Z

πθ =

Z0

Z0

Z0

2πθ =

02Z

2

2πθ =

02Z

4

0

32

2Z

θ π=

⑥ハイブリッド回路（低周波） hybrid circuit (at low frequency)

I4

[ ]

1 2 2 03 3 32 1 203 3 32 1 203 3 3

2 2 103 3 3

S

−

= −

− −

V4 Z0

4 2 1 1 3

4 2 3

2 1 3

00

V V V V VI I II I I

= − = −

+ − =

+ + =

ヒント 理想変成器 ideal transformer

[ ] S* t ＝ [ ] S [ ] U

[ ] S t ＝ [ ] S

0

0

( )1 ( )

( 1,2,3)

i i i

i i i

V Z a b

I a bZ

i

= +

= −

=

I2

I1

I3

V2

V1

V3

Z0

Z0

Z0

1

1

1

⑦Bagley Polygon 回路 Bagley Polygon circuit

023

Z

P3

P2

P4

2πθ =

0Z

0Z 0Z4

3

1

2

0Z

2πθ =

P1

θ π= θ π=

[ ]

03 3 32 1 13 3 331 2 13 3 331 1 23 3 33

j j j

j

Sj

j

− − − − −

= − − − − − −

３分岐 3 branch 1

2 3 4 3PP P P= = =

ヒント hints

[ ]Z [ ]S

Definition of prototype filter parameters

Maximally flat low-pass prototype filters

G. L. Matthaei, et al., “Microwave filters, impedance-matching networks, and coupling structures”, Artech House,1980.

( )

110

1log10

10/

2

101

−=ε

ω′ω′

ε+=ω′

ArL

n

AL

( )

1

,,2,1,2

12sin2

1

1

0

=

=

−

=

=

+n

k

g

nkn

kg

g

π

Maximally flat low-pass attenuation characteristic.

g0 Z0 g2 L0 g4 L0 gn L0

gn+1 Z0 g1 C0 g3 C0 gn+1 Z0 gn C0

gn−1 L0

g4 C0 g2 C0

g3 L0 g1 L0 g0 Z0

′= 100 ωZL

010 1 ZC ′= ω

Chebyshev low-pass prototype filters

( )

( )

110

coshcosh1log10

coscos1log10

10/

1-210

1-210

1

1

1

1

−=ε

ω′≥ω′

ω′ω′

ε+=ω′

ω′≤ω′

ω′ω′

ε+=ω′

ArL

A

A

nL

nL

evenfor4

coth

oddfor1

,,3,2,4

21

2

1

11

1

11

0

n

ng

nkgb

aag

ag

g

n

kk

kkk

β

=

=

==

γ=

=

+

−−

− Chebyshev low-pass attenuation characteristic.

( )

( )

nknkb

nkn

ka

n

k

k

LAr

,,2,1,sin

,,2,1,2

12sin

2sinh

cothln

22

73.17

=

π

+γ=

=

π−

=

β

=γ

=β

g1 C0

g0 Z0 g2 L0

g3 C0

g4 L0 gn L0

gn+1 Z0 g4 C0 g2 C0

g3 L0 g4 C0 g0 Z0 gn−1 L0

gn C0 gn+1 Z0

′= 100 ωZL 010 1 ZC ′= ω

210

0

12

0

01

1

ωω=ω

ωω−ω

=

ωω

−ωω

=ω′ω′

w

w

Prototype LPF BPF

00

00

1

Zg

wL

Zwg

C

jj

jj

ω

ω

=

=

For parallel elements

00

00

1Zg

wC

Zw

gL

jj

jj

ω

ω

=

=

For series elements

Lumped element BPF

Low-pass to band-pass mapping

L1 C1

L2

L3

C2

C3 Z0

L A ( d

B )

ω ( r a d )

L A r

ω1 ω0 ω2

Susceptance slope parameter

Lumped element circuit

Equivalent basic sections using admittance inverters (J )

J j B J

J Z 0 , J

= λ / 2

γ

−=

−

−−=

−

−

−

−=10

1

10

1

0

10101

0

10 2jX

JBj

jJJ

jjBjJ

JjK

0

0 122

0Z

Bb π=

ω∂∂ω

=ω=ω

Transmission line model

γ−γ−

γ−γ−=

−

−

γγ

γγ

−

−=

coshsinh

sinhcosh

0

10coshsinh1

sinhcosh

0

10

02

20

0

0

ZJJZj

jJJ

j

Z

Z

jJJ

jK

θ−θ−

θ−θ−=

β=θβ=γ

cossin

sincos

,,

02

20

ZjJJZj

K

jfor

jX

Bandpass filter using Admittance inverters

1,,2,1,12

2

10

1,

100

1,

0

01

−==

==

+

+

+

nigg

wY

Jgg

wY

JYJ

ii

ii

nn

π

π

parameter slope eSusceptanc:b

02Yb π

=

Y 0 , γ J 0 1 J 2 3 J 1 2 J n , n + 1

1,,2,1,

2

1

11,

10

101,01

−==

==

+

++

+

niggbbwJ

ggwbbJJ

ii

iiii

nn

π

LCB

CLX

ω−ω=

ω−ω=

1

1

Lumped element circuit

Transmission line model

j X

j B

j X

J 0 1 J n-1, n J 1 2 j B j B j B J n, n+1

G

Coplanar waveguide bandpass filter with J inverters

Interdigital gap

Single gap

Y 0 , γ J 0 1 J 2 3 J 1 2 J n , n + 1

G

増幅器用インピーダンス整合･雑音整合回路の設計 増幅器の等価回路

整合の条件

①インピーダンス整合条件 impedance matching conditions

+=+=

LLL

SSS

jXRZjXRZ ：信号源インピーダンス

：負荷インピーダンス

( )( )

−===−===

outLoutL*outL

inSinS*inS

XX,RRZZXX,RRZZ

：共役整合 conjugate matching

==

*outL

*inS

ΓΓΓΓ又は、

②雑音整合条件 noise matching conditions

0opt

0optoptSoptS ZZ

ZZΓΓZZ

+

−≡==入力回路において 又は、 optZ ：FETの雑音指数を

最小とする インピーダンス 即ち、

optSoptS

optoptopt

XXRRjXRZ

==

+≡

,が与えられたとき、

とする。

VS Z0

～ 入力 整合 回路

出力 整合 回路

Z0

2221

1211

SSSS

増幅回路

Zin

ΓS Γin Γout ΓL

Zout ZS ZL

インピーダンス変換回路の一般的性質

[ ]

=

nnK0

01

相反回路(AD-BC=1)では右図において、

インピーダンス変換器が可逆となる条件は、

ACZBDZZ

DCZBAZZ

out

in

++

=

++

=

1

1

2

2

( ) ( )( ) ( )

( )( )

0

22

2

2

22

222

2

1

==

++++

=

++++++

=

==

CABD

BCADCAZBDZBCAD

DCZABAZCDCZBBAZDZ

ZZZZ

out

in

この条件を満足するには、

となる. A=0のときは、AD-BC=-BC=1であるので、 B, C≠0. したがって、D=0. 同様に B=0のときはC=0, AD=1となる.

この組み合わせは次式となる。

[ ]

JK

jJjK

K

10

0

=

±

±=

インバータinverter

理想変成器 ideal transformer

V1

1:n

V2

I1 I2

Z2

DCBAZin

DCBA

Zout Z1

インピーダンス変換器の性質（１） impedance transformers (1)

理想変成器 ideal transformer 1 : n I1

V1 V2 ZL

I2

Zin 2 1V nV=

12

IIn

= −

12

1

Lin

V ZZI n

= =

[ ]1 0

0K n

n

=

複号 n<1 （上） n>1 （下）

2

21

nkn

=+

：結合係数 coupling coefficient

弱結合 weak coupling 12 21S S k= = 0 for n≪1 or n≫1

[ ]

−

−±=

+−

−+

=2

2

2

2

21

112

211

1

kk

kknn

nnn

S

インピーダンス変換器の性質（２） impedance transformers (2)

Kインバータ K inverter

ZL

C C

L Zin

2

inL

KZZ

=

Jインバータ J inverter

YL

C

L Yin

2

inL

JYY

=

L

01LC

ω ω= = の時、 [ ]0

1 0

jKK

jK

− = −

0K Lω=

[ ]

2 20 0

2 2 2 2 20 0

2 2 20 0

2 2 2 20 0

21

2 1

Z K Z KjZ K Z K k jk

SZ K Z K jk kj

Z K Z K

−− + + − − = =

− − − − + +

02

0

2( / )1 ( / )

K ZkK Z

=+

(<1) : 結合係数 coupling coefficient

01LC

ω ω= = の時、 [ ]10

0

jK J

jJ

− = −

0J Cω=

[ ]

2 20 0

2 2 2 2 20 0

2 2 20 0

2 2 2 20 0

21

2 1

Y J Y JjY J Y J k jk

SY J Y J jk kj

Y J Y J

− + + − = = − −

+ + 0

20

2( / )1 ( / )

J YkJ Y

=+

(<1) : 結合係数 coupling coefficient

(−L) (−L)

(−C) (−C)

高周波アナログ回路の特徴（3）

RF analog circuit (3)

低周波アナログ増幅器 low frequency amplifier (OP amp.)

インピーダンス不整合 impedance mismatch

雑音指数 Noise Figure

高周波アナログ増幅器 high frequency amplifier

インピーダンス整合 impedance matching

∞=inZ

)50(0* Ω=== ZZZ sin

2

,

,

innv

outn

VGV

F =：雑音電圧

：電圧利得

nV

in

outv V

VG =

inn

outn

GPP

F,

,=：雑音電力

：電力利得 nP

in

out

PPG =

増幅器

sZ

LZinZsV

信号源 負荷

雑音指数 Noise Figure

VS

I2

２ポートの等価回路表現 equivalent circuit of 2 port circuits

LZzzzz

+−=

22

211211

1 SSS jXRZ += I1

Zin

I2 –I2 2

LLL jXRZ +=

Zout

V1 V2

電源と負荷を含んだ2ポート 2port circuits

Zin

ZS

Ρin V1

I1

ZL

Zout

ΡL V2 V0

2' 1' (a) (b)

2ポートの等価回路 equivalent circuits of 2 port circuits (a)入力端 input port (b)出力端 output port

SZzzzz

+−=

11

211222

SZzVz S

+=

11

21V0

Zin

Zout

LYyyyy+

−=22

211211

SYyyyy+

−=11

211222

YZyVy

S

S

+−

=22

21V0

Yin

Yout

DCZBAZ

L

L

++

=

ACZBDZ

S

S

++

=

S

S

CZAV+

=V0

Zin

Zout

LYhhhh+

−=22

211211

SZhhhh

+−=

11

211222

S

S

ZhHVh

22

21

+−

=V0

Zin

Yout

Z行列 Y行列

K行列 H行列

( )21122211 yyyyY −=

( )21122211 hhhhH −=

VS

I2

エミッタ接地BJT common emitter BJT BJT (Bipolar Junction Transistor)

E

C i1

i2

iE

v2

Cd

Cd Lc V1

I1 I2

rE rB rC

IE V2

α IE = –α ( I1 + I2 )

(a)エミッタ接地のバイポーラトランジスタ

(b)小信号等価回路 small signal circuit

common emitter BJT

rB : ベース抵抗， rE : エミッタ抵抗， rC : コレクタ抵抗，

[ ]

+−+−−

+−+

−+−

+

=

ECEC

EC

EC

E

CE

CEB

rrrrrr

rrr

rrrrr

H

)1(1

)1(

)1()1(

)1()1(

ααα

αβ

αα

α( 1) : エミッタ効率 emitter efficiency

< ∼

(a)従属電源を用いたH行列の等価回路

V1 h12V2 h21I1 h22

h11 I1

V2

(h11 : インピーダンス，h22 : アドミタンス)

V1 β I1

I1 I2

V2 )1( β++ EB rr

(b)高アイソレーション時rC(1－α)>> rE, rBの等価回路 equivalent circuit in case of high isolation

B

ααβ−

=1

電流増幅度current gain

=

2

1

2221

1211

2

1

VI

hhhh

IV

HBT（Hetero-junction Bipolar Transistor）

コレクタ接地BJT common collector BJT

(a)

B

E

C

I1 I2

V1 V2 α Ι2 rC

rB I1 I2

V1 V2

rE

(b)

[ ]

+−+−−

+−−

+−+

=

ECEC

C

EC

C

EC

ECB

rrrrr

rrr

rrrrr

H

)1(1

)1(

)1()1(

)1(

αα

αα

α

(a)コレクタ接地BPT（エミッタフォロワ） (b)等価回路 equivalent circuit

[ ]

−−

−+

=0

11

11

α

αE

Brr

Hの時 BEC rrr ,>>

ベース接地BJT common base BJT

B

E C I1 I2

V1 V2

(a)

rB

I1 I2

V1

V2

rE

α Ι1

rC

(b)

(a)ベース接地BPT common base PJT (b)等価回路 equivalent circuit

[ ]

+++

−

++−

+

=

CBCB

CB

CB

B

CB

CBE

rrrrrr

rrr

rrrrr

H1

)1(

α

α

[ ]

−

−+=

00)1(

ααBE rr

Hの時 BEC rrr ,>>

BJTの高周波等価回路 high frequency equivalent circuit of BJT

E

C I1

I2

rC

CC

I1

V1 V' Cπ gπ gmV'

I2

V2

0m

E

grα

=

011m

E E

g gr rπ

α−= − =

D EC C Cπ = +

: 等価相互コンダクタンス rB

rECD

V1

I1

V2

I2

rE

rB rC

V'

IE

CE CD CC

α(ω)IE

0( )1 j

αα ωωτ

=+

； τ ： 拡散時間 , α0 : 直流エミッタ効率

CC ：コレクタ接合容量 , CD ：拡散容量 , CE ：基板容量

IE → V' の時 の変換によりFETと類似の等価回路が得られる。 ⋍ τ

S

D

Cd Lc

ソース接地 FET common source FET FET (Field Effect Transistor)

[ ]

++−

−+=

)(1)(

323

331

CCjR

Cjg

CjCCjY

m ωω

ωω

(a)

G

i2

v1 v2

i1

Lc

Cd

(a)ソース接地の電界効果トランジスタ common source FET

(b)

V1 C1

C3 I1

R V2

I2 VG'

VS' 1

)(Vg

VVg

m

SGm

=

′−′C2

(b)小信号等価回路 small signal equivalent circuit

y11 y12V2 y21V1 V1 V2

I1 I2

従属電源を用いたアドミタンス行列の等価回路 equivalent circuit of Y matrix using dependent sources

=

2

1

2221

1211

2

1

VV

yyyy

II

の時 213 ,CCC <<

y22

[ ]

+=

2

1

10

CjR

g

CjY

m ω

ω

ドレイン接地FET common drain FET

[ ]

++++−

−+=

)(1)(

)(

211

131

CCjR

gCjg

CjCCjY

mm ωω

ωω

G D

I2

S

V1

V2

I1

(a) (b)

V1

C1

C3

I1

R V2

I2

C2 gm(V1 – V2)

(a) ドレイン接地FET（ソースフォロワ） common drain FET (source follower)

(b) 等価回路 equivalent circuit

[ ]

++++−

−=

)(1)( 211

11

CCjR

gCjg

CjCjY

mm ωω

ωωの時 213 ,CCC <<

ゲート接地FET common gate FET

[ ]

++++−

+−+++=

)(1)1(

)1()(1

322

221

CCjR

CjR

g

CjR

CCjR

gY

m

m

ωω

ωω

(a) (b)

V1 C1

I1 I2

C3

R

C2

–gm V1

V2 G

D S

I1 I2

V2 V1

(a)ゲート接地FET common gate FET (b)等価回路 equivalent circuit

[ ]

+++−

+−+++=

22

221

1)1(

)1()(1

CjR

CjR

g

CjR

CCjR

gY

m

m

ωω

ωωの時 213 ,CCC <<

FETの３ポート等価回路 3 port equivalent circuits of FET

I1

I2

I3

=

jωC1 0 jω− C1 V1

V2

V3

gm Y2 －(gm+Y2)

I1

I2

I3

=

C1 ( jω− +gm)

低周波等価回路 at low frequencies

jω C1 V1

V2 gm Y2 −(gm+Y2)

C1 ( jω− +gm)

' jω+ C3

ｰY2 + gm+ Y2 ' jω C1 '

jω− C3 jω+ C3 ' C1 '

V3

ｰY2 +gm+Y2 jωC1

jω−

高周波等価回路 at high frequencies

=0

=

0

=

0

jω− C3 '

'

1

11 i

Cj C Rω

=+

C1 '

gm ' 11

m

i

gj C Rω

=+

V2

'

ソース接地 common source

ドレイン接地common drain

ゲート接地 common gate

gD C2

gm(V1－V3)

C1

Y2 = gD+ C2

I2 I1 V1

V3

jω I3 S

G

G

D

V3

C1

Ri gm V'

I3

I1 V1

V2

V'

I2

S

D C3

I1

I1

I2

I2

V1 V2

２ポート回路の関係式 (１) 2 port circuits (1)

=

2

1

2221

1211

2

1

II

zzzz

VV

=

2

1

2221

1211

2

1

VV

yyyy

II

−

=

2

2

1

1

IV

DCBA

IV

[ ] [ ]

−

−== −

1121

12221 1zzzz

ZZY

[Z]行列

[Y]行列

[K]行列

(1)

(2)

(3)

(4) [ ] [ ]

−

−== −

1121

12221 1yyyy

YYZ (5)

−=

=

11

22

2122

11

21

111

1yY

yyz

ZzzDC

BA (6)

( )2112221121122211 , yyyyYzzzzZ −=−=

２ポート回路の関係式 (２) 2 port circuit (2)

[ ]

+−−+

=2112

1221

21

ZZZZZZZZ

Z (7)

Z1

Z1

Z2 Z2

Y1

Y1

Y2 Y2

Z1 Z2

［Z］

［Z'］

[ ]

+−−+

=2112

1221

21

YYYYYYYY

Y (8)

[ ]

+

+=′

22221

12111

ZzzzZz

Z

［Y］

［Y'］

Y1 Y2

[ ]

+

+=′

22221

12111

YyyyYy

Y(9) (10)

３端子２ポートの関係式 (１) 2 port circuit with 3 terminals (1)

[ ]

=

ZZZZ

Z (1)

[ ]

+

+=

323

331

ZZZZZZ

Z (2)

Z

３端子２ポート回路 2 port circuit with three terminals

①

②

③

① ②

③

－ +

Z3

Z1 Z2

①

V1

③

I1 I2

I1 + I2 ③

②

V2

① [ Z ] 行列 Z matrix

I1

I2

V2 V1

①

③ ③

②

３端子２ポートの関係式 (２) 2 port circuit with 3 terminals （２）

[ ]

−

−=

YYYY

Y (3)

[ ]

+−

−+=

323

331

YYYYYY

Y (4)

Y

Y1

Y3

② [ Y ] 行列 Y matrix

Y2

③ [ K ] 行列 K matrix

Z

[ ]

=

101 Z

K (5)

３端子２ポートの関係式 (３) 2 port circuit with 3 terminals (3)

[ ]

=

101

YK (6)

[ ]

=

101

1101

101 2

3

1 Z

Z

ZK (7)

Y1

Y3

Y2 (8)

Y

Z3

Z1 Z2

[ ]

=

101

10

11101

23

1 YY

YK

３端子２ポートの関係式 (４) 2port circuit with 3 terminals （４）

T－π変換 T-π Transform

312312

31121 ZZZ

ZZZ++

=

Z3

Z1 Z2

Y31

Y12

Y23

312312

12232 ZZZ

ZZZ++

=

312312

23313 ZZZ

ZZZ++

=

321

2112 YYY

YYY++

=

321

3223 YYY

YYY++

=

321

1331 YYY

YYY++

=

=

ijij Y

Z 1

=

ii Z

Y 1

３端子２ポートの関係式 (５) 2 port circuit with 3 terminals (5)

(9) [ ]

++++

=′ZzZzZzZz

Z2221

1211

(10)

[ Z ]

Z

[ Z' ]

[ Z ]

[ Z' ]

Z1 Z2

[ ]

+++

+++=′

3222321

3123111

ZZzZzZzZZz

Z

Z3

３端子２ポートの関係式 (６) 2 port circuit with 3 terminals (6)

(11) [ ]

+−−+

=′YyYyYyYy

Y2221

1211

(12)

[ Y ]

[ Y' ]

Y

[ ]

++−

−++=′

3222321

3123111

YYyYyYyYYy

Y[ Y ]

[ Y' ]

Y3

Y1 Y2

フィードバック回路 feedback circuits

[ Y' ]

I2 I1

V1 V2

Y

[ Z' ]

I2 I1

V1 V2

Z

[ ]

+′−′−′+′

=YyYy

YyYyY

2221

1211 [ ]

+′+′+′+′

=ZzZz

ZzZzZ

2221

1211

演算増幅器 operational amplifier

V1

Z1

Z2

V2

I2 I1

[Z]

[Y ]

[Y']

+−

−+=

′′′′

=

222

221

212

211

2221

1211

11

11

Zy

Zy

Zy

Zy

yyyy

′′

′′

−

′′

−+′

′

=

=

Yy

Yy

YyZ

Yy

zzzz

1121

121

22

2221

1211[Z]

[Y']

z11 z22

V1 z12I2 z21I1

I1

V2

I2

(a)

V1

I1

(b)

I2

V2 1

1

2

12

VZZIZ

−=

−Z1

11

22 v

RRv −=

I2

V1

I1

(a)

R1

R2

I2

V1 dtvCR

v ∫−= 121

(b)

R

C

I2

V1 dtdvCRv 1

2 −=

(c)

C

R

I1

I1

1221 >>Zy

増幅器 amplifier

積分器

integrator

微分器

differentiator

21122211 yyyyY ′′−′′=′

− 0

0

2

1

ZZ

1221 >>Zy の時

S

３端子２ポートの１ポート特性（１） 1 port performance of 2 port circuits (1)

(1)

22211211 yyyy

yY ij

+++=

= ∑

(2)

[ Y ]

)(121 CCj

Rg

yY

m

ij

+++=

= ∑ω

Y

ダイオード接続 diode connection

D

[ Y ]

Y G

[ Y ] G D

S

V1 V2

I2 I1

V Yin

３端子２ポートの１ポート特性（２） 1 port performance of 2 port circuits (2)

(3) 22211211

21122211yyyy

yyyyy

YVIY

ij

in

+++−

==

=

∑

(5)

[ Y ]

( )

+++

++

+= 3132213

1

31

11 CCCCCCjR

gCRC

CCY min ω

カスコード回路 cascode circuit

[ Y ] 負性抵抗回路 negative resistance circuit

[ ]( )

( )

+++

+−

++−++

=

212

232

11

11

CCjR

gCjR

CjR

gCCjR

Y

m

m

ωω

ωω[ ]

( )

( )

++

++=

21

21

1

1

CCjR

g

gR

CCjY

m

m

ω

ω

( )

+++−= 21

121 CCj

RgY min ω (6) (4)

Yin Yin

I

ゲート接地FET common gate circuit

S

S

２ポート回路の接続 (1) connection of 2 port circuits (1)

① 並列接続 parallel connections

[ ] [ ] [ ]21 YYY +=

V1 V2

I2 I1

[ Y1 ]

[ Y2 ]

[ Y ]

G

D

PMOS

D G

NMOS

I2 I1

V1 V2

CMOSインバータ CMOS inverter

[ Y1 ]

[ Y2 ]

２ポート回路の接続 (2) connection of 2 port circuits (2)

② 差動接続 differential connections

[ ] [ ] [ ]21 ZZZ +=

V1 V2

I2 I1

[ Z1 ]

[ Z2 ]

[ Z ]

[ ] [ ]

−

−== −

1121

12221 1yyyy

YYZ [ ] [ ]

−

−== −

1121

12221 1zzzz

ZZY

G D

S

S

D

G

I2 I1

V1 V2

差動増幅器 differential amplifier

[ Z1 ]

[ Z2 ]

２ポート回路の接続 (3) connection of 2 port circuits (3)

③ 従続接続 cascade connections

[ ] [ ][ ]21 KKK =

V1 V2

I2 I1

[ K1 ]

[ K ]

[ K2 ]

−

=

2

2

1

1

IV

DCBA

IV

−=

=

11

22

2122

11

21

111

1yY

yyz

ZzzDC

BA

G D

S

D

S

G

I2 I1

V1 V2

カスケード接続 cascade connections

[ K1 ] [ K2 ]

ジャイレータ gyrator

[ ] [ ] [ ]21 YYY +=

[ ]

−

=0

0

m

m

gg

Y

2mgCL =

G

D

S

PMOS

D

S G

NMOS

I2 I1

V2

[ ]

=

0

10

m

m

ggK

,

低周波では

能動インダクタ active inductor

V1

[ Y2 ]

[ Y1 ]

記号 symbol of gyrator

Zin C Zin

C 2mgCL =L

at low frequencies

① 高利得化 higher gain

② 広帯域化 wider bandwidth

③ 低雑音化 lower noise

④ 安定化 more stable

Ga , Ga,max

ft , fmax

Zopt , Fmin

K

回路モデル

L,C L,C FET BJT V0

VON

Zs

' Z0 V2 ΡL '

Vs

VN ΡL V2

I2

V1

I1

Z0

I2 '

FET BJT V1 V2 ZL

ΡL

0 50Z = Ω 無損失インピーダンス整合回路 impedance matching circuit

無損失インピーダンス整合回路 impedance matching circuit

信号源有能電力available power

20

08avs

VZ

Ρ = =|Vs|2 8Rs

[W]

信号源雑音電圧スペクトル密度 signal noise voltage 2

02 4ON BV k TZ= [V2/Hz]

負荷供給電力 load power

, 2|VN|2 = 4kBTRs [V2/Hz]

s s s

L L L

Z R jXZ R jX

= + = +

信号インピーダンスsignal impedance

負荷インピーダンスload impedance

FETから見た等価回路 equivalent circuit seen from FET

高周波増幅器におけるインピーダンス整合 impedance matching in high frequency amplifiers

2

0 212L Z I′ ′Ρ = = ΡL =

1 2

RL |Ι2|2 [W]

Zs

FET V1 Ρin Ρavs

|Γe|2 Ρavs

V2 ZL ΡL Vs

I2 I1

Zin Zout

信号源 signal source 負荷 load

22*

1 1 1 21 1Re[ ]2 2 2

in sin in

s in

R VV I R I

Z ZΡ = = =

+2*

2 2 21 1Re[ ( )]2 2L LV I R IΡ = − =

信号源有能電力 signal available power

avs inMaxΡ = Ρ *sinZ Z=

2

8s

s

VR

=

(1) , (3)より 2 2(1 )in avs e avs avs e avsηΡ = Ρ = − Γ Ρ = Ρ − Γ Ρ

入力電力 input power

入射電力 incident power

反射電力reflected power

(1)

(2)

入力電力 input power

出力電力 output power

(3) 不変量 invariant *

2

4

in se

in s

s in

s in

Z ZZ Z

R RZ Z

η

−Γ = +

= +

実効反射係数 effective reflection coefficient

インピーダンス整合 の効率 efficiency of impedance matching

s s s

L L L

Z R jXZ R jX

= + = +

1

1

2

2

in in in

out

VZ R jXIVZI

= = + =

out outR jX= +0sV =

信号源インピーダンス signal impedance

負荷インピーダンス load impedance

入力インピーダンス

input impedance

出力インピーダンス output impedance

電力利得の表式（１） 回路モデル power gain (1) circuit model

変換電力利得 transducer power gain

2

24Lt s L

avs s

IG R RV

Ρ= =

Ρ

有能電力利得 available power gain

a tG G= :sZ 固定*outLZ Z=

出力端インピーダンス整合

impedance matching at the output end

最大有能電力利得 maximum available power gain

,maxa tG G= *s inZ Z=

*outLZ Z=

入出力端同時インピーダンス整合 simultaneous impedance matching SMZ

電力利得の表式（２） 定義式 power gains (2) definitions

Zs

V1 V2 ZL

I2 I1

Zin Zout

Vs

2

24t s Ls

IG R RV

= (1) a tG G= *outLZ Z=

(2)

左図において(3)－(6)が成立する

1 1s sV Z I V= + (3)

(3)－(6) より (1) の伝達関数 は次式で表わされる。 2 sI V

(7) → (1),(2) より

(8) (9)

(7)

(4)

(6)

(5)

電力利得の表式（３） Z行列 power gain (3) Z matrix

=

2

1

2221

1211

2

1

II

zzzz

VV L

in ZzzzzZ+

−=22

211211

sZzzzzZout +

−=11

211222

( )( ) ( )( ) ( )( )soutLLinsLss ZzZZz

ZzZZz

zzzZzZz

VI

++=

++=

−++=−

11

21

22

21

21122211

212

( )( )

2

11

214soutL

Lst ZzZZzRRG

++=

2

11

21

sout

sa Zz

zRRG

+=

[ ] Z

V1 V2 YL

I2 I1

Yin Yout

Js

信号源有能電力 available power

Ρavs

Ys ΡL

21 1 1

*1 1Re[ ]2 2in inV I G VΡ = =

22 2 2

*1 1Re[ ( )]2 2L LV I G VΡ = − =

入力アドミタンス input admittance

出力アドミタンス output admittance

;

;

信号源アドミタンスadmittance of signal source

負荷アドミタンスload admittance

1L L L

L

Y G jBZ

= = +

1s s s

s

Y G jBZ

= = +

avs inMaxΡ = Ρ *sinY Y=

2

8s

s

JG

= 不変量 2

8s

s

VR

= 変換電力利得 transducer power gain

2

24Lt s L

avs s

VG G GJ

Ρ= =

Ρ;

有能電力利得 available power gain

電力利得の表式（４） Y行列 power gain (4) Y matrix

ininLin

in jBGYy

yyyZ

Y +=+

−==22

211211

1

outoutout

out jBGYy

yyyZ

Ys

+=+

−==11

211222

1

))(())(())(( 11

21

22

21

21122211

212

soutLLinsLss YyYYy

YyYYy

yyyYyYy

JV

++=

++=

−++=−

2

11

21

sout

sYYta Yy

yGGGG

outL +== ∗=

[ ] Y

電力利得の表式（５） S行列 power gain (5) S matrix

ΓS

V1

a1

b1

ZS

VS Ρavs

I1 I2

ΡL V2

a2

b2 ZL

信号源 負荷 Γin Γout ΓL

S S SZ R jX= +

1 1 (1)s Sa b b= + Γ0 0

0 0

, Ss S S

S S

Z Z Zb VZ Z Z Z

−= Γ = + +

1 11 12 1

2 21 22 2

(2)b S S ab S S a

=

電源係数

2 2 (3)La b= Γ 0

0

LL

L

Z ZZ Z

−Γ = +

(1)－(3)より

1 12 2111

1 22

(4)1

Lin

L

b S SSa S

ΓΓ = = +

− Γ

2

2out

ba

Γ =

L L LZ R jX= +

信号源有能電力 2 2

28 2(1 )S S

avsS S

V bR

Ρ = =− Γ

負荷電力

2 2 22 2

1 1 (1 )2 2L L LR I bΡ = = − Γ

変換電力利得

有能電力利得（出力端整合）

最大有能電力利得（入出力端同時整合）

,maxa tG G= SMZ

L outΓ Γ∗=

22 2 2

2 22

212 211

(1 )(1 )

1 11 1

Lt s L

avs s

S L

S L out

bGb

SS

Ρ= = − Γ − Γ

Ρ

− Γ − Γ=

− Γ − Γ Γ

a tG G=2

2212 2

11

1 11 1

S

S out

SS

− Γ=

− Γ − Γ*L outΓ Γ=

S inΓ Γ∗=0Sb =12 21

2211

(5)1

S

S

S SSS

Γ= +

− Γ

2 21 21 21

11 22 12 21 22 11

(6)(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )S S L S L L S in S L out

b S S Sb S S S S S S

= = =− Γ − Γ − Γ Γ − Γ − Γ Γ − Γ − Γ Γ

[ ] S

電力利得の表式（６） 同時整合インピーダンス power gain(6) simultaneous-match impedance

ΓS

Zin

ZS

VS

I1 I2

ZL

Γin Γout ΓL

入出力端での同時インピーダンス整合条件

(5),(6)の解は次式で与えられる。

12 21 21 11

22 2

*

* (5)1S SS

SΓ

Γ = +− Γ

を満足する解

この時の最大有能電力は 1 1* ,S inΓ Γ Γ Γ= =

[ ]S Zout

12 21 12 22

11 1

*

* (6)1S SS

SΓ

Γ = +− Γ

は次式を満足する。

0

0

(1)SS

S

Z ZZ Z

−Γ =

+0

0

(2)LL

L

Z ZZ Z

−Γ =

+

0 12 2111

0 22

(3)1

in Lin

in L

Z Z S SSZ Z S

− ΓΓ = = +

+ − Γ

0 12 2122

0 11

(4)1

out Sout

out S

Z Z S SSZ Z S

− ΓΓ = = +

+ − Γ

* *( )in S in SZ Z= Γ = Γ * *( )out L out LZ Z= Γ = Γ,

1 2,in outΓ = Γ Γ = Γ

2 2 2 221 1 1 1 11 22

11 1 11 22 11 22 12 21* *

4 1(7)

2 ,

B B C B S S DC C S DS D S S S S

− − = + − − Γ = = − = −

2 2 2 222 2 2 2 22 11

22 2 22 11* *

4 1(8)

2

B B C B S S DC C S DS

− − = + − − Γ = = −

,maxa tG G=2 2* ,L outΓ Γ Γ Γ= =

(9)

この時の 入出力インピーダンスは 1

01

1 (10)1inZ Z + Γ

=− Γ

20

2

1 (11)1outZ Z + Γ

=− Γ

SMZ ( Simultaneous-Match Impedance ) 同時整合インピーダンス

0

5

10

15

20

25

30

0.1 1 10 100

h21 [dB]

Av [dB]

K [dB]

Ga,max [dB]

Gu,max [dB] Gain

[d

B]

Frequency [GHz]

電力利得の計算例 frequency characteristics of power gain

C3

C1

Ri gm V'

I1

V1

V'

ソース接地FET common source FET I2

V2 gD C2

C1 ＝ 0.3pF C2 ＝ 0.12pF

C3 ＝ 0.01pF Ri ＝ 7Ω

gD ＝ 2.5mS gm ＝ 40mS

電流利得 （Hパラメータ） current gain

2

2 2121

1 11 10

mV

g 'I yhI y j C 'ω== = =

電圧利得 voltage gain

2

2 21

1 22 20

m

Dv I

gV yAV y g j Cω=

′= = − = −

+

最大有能電力利得 maximum available power gain

( ) ( )2 221 21,max

12 12

1 1aS yG K K K KS y

= − − = − −

22 211 22

12 21

1 | | | |2

S S DK

S S− − +

=

11 22 12 21( )D S S S S= −

安定係数

stability factor

( )( ) ( )11 22 12 21

12 21

2 Re Re Rey y y yy y

−=

ft

fmax

fｔ

=80GHz

=44GHz

=21GHz

'

最大単方向電力利得 maximum unilateral power gain

[S]

ZS

ZL VS

N

11 12

21 22

[ ]S S

SS S

=

11

21 22

0[ ']

SS

S S′

= ′ ′

12 0S ≠

無損失中和回路Nによる単方向化

unilateral circuit by neutralization circuits

[S']

変換電力利得 transducer power gain

最大単方向電力利得maximum unilateral power gain

（Masonの定理）(Mason’s theorem)

21 122 2 2

11 22 12 21

21 12

11 22 12 21

21

12,max

21,max

12

2

2

2

2

*1 2 Re( )

4[(Re )(Re ) (Re )(Re )]

1

a

a

S S

S S D S S

y yy y y y

yy

Gy Gy

−=

− − + −

−=

−

−=

−

2 22

212 2

11 22

1 1

1 1

S Lt

S L

G SS S

− Γ − Γ′=′ ′− Γ − Γ

2

,max 212 2

11 22

*1 1

1 1Su t

inG G S

S SΓ Γ=′= =

′ ′− −*L outΓ Γ=

[ ] N* t ＝[ U ] [ ] N 無損失 lossless

高周波増幅器の安定性 （１） stability of high frequency amplifiers(1)

ΓS

FET V1

a1

b1

ZS

VS Ρavs

I1 I2

ΡL V1

a2

b2 ZL

信号源 負荷 Γin Γout ΓL

S S SZ R jX= +

1 1 (1)s Sa b b= + Γ 0 0

0 0

, Ss S S

S S

Z Z Zb VZ Z Z Z

−= Γ = + +

1 11 12 1

2 21 22 2

(2)b S S ab S S a

=

電源係数

2 2 (3)La b= Γ 0

0

LL

L

Z ZZ Z

−Γ = +

L L LZ R jX= +

Signal Flow Graph

02 21

11 22 12 21 0(1 )(1 ) 1s L Ls s

Ab Sb S S S S A β

= =− Γ − Γ − Γ Γ −

210

11 22(1 )(1 )Ls

SAS S

=− Γ − Γ開ループ利得 フィードバック要素

A0 b2

β

出力 b2

入力 bs S21

S12 isolation

狭義の安定条件 0 1A β ≠

β = S12ΓsΓL

a1

b1 a2

bs +

Γs ΓL

11 221 , 1S LS SΓ ≠ Γ ≠

高周波増幅器の安定性 （２） stability of high frequency amplifier(2)

ΓS

ZS

VS ZL

Γin Γout ΓL

[ ]S

12 2111

221L

inL

S SSS

ΓΓ = +

− Γ12 21

22111

Sout

S

S SSS

ΓΓ = +

− Γ

0

0

SS

S

Z ZZ Z

−Γ =

+

0

0

LL

L

Z ZZ Z

−Γ =

+

S S SZ R jX= +

L L LZ R jX= +

出力端インピーダンス整合時の電力利得

tG *L outΓ Γ=

22

212 211

1 11 1

S

S out

SS

− Γ=

− Γ − Γ

入力端インピーダンス整合時の電力利得 2

2212 2

22

111 1

L

in L

SS

− Γ=

− Γ − Γ*S inΓ Γ=

(1)

(2)

ZS , ZL 可変の場合 RS > 0 , RL > 0 であれば 1 , 1S LΓ < Γ <

かつ ②

1SΓ <となるので(1),(2)より ①

1LΓ < の時 1inΓ < が成立することが増幅器が常に安定となる条件となる。 この条件は 2 2 2

11 22 11 22 12 21

12 21 12 21

1 2(Re )(Re ) Re( ) 12

S S D y y y yKS S y y

− − + −= = > 絶対安定条件

conditions for absolute stability

11 22 12 21( )D S S S S= −

tG

1outΓ <の時

安定係数 stability factor

雑音の例 noise sources

vn (t) R

～ R

Vn (ω)

R In (ω)

熱雑音（電圧ノイズ） thermal noise (voltage noise) ・R[Ω]の抵抗に生じる雑音電圧vn(t)[V]の雑音電力密度は、

( ) [ ]( [ ] [ ] )絶対温度の定理 :KJ/K101.38

/HzV223-

22

T,kNyquist

TRkV

B

Bn

×=

=ω

( ) ( ) 222 ω=ω−π=ω VVf, を用いると、

( ) ( ) ( )

( ) ( ) TRkVfS

tdttT

dffS

Bn

nnT

T

Tlim

42

1

2

220

2

2

=ω=

υ=υ=

υ

∞→

∞

υ ∫−∫

（片側雑音電力スペクトル密度）

熱雑音の等価回路は、 電圧源等価回路 電流源等価回路

( ) [ ]/HzV2 22 TRkV Bn =ω ( ) [ ]/HzA2 22

RTkI B

n =ω

但し、 ( ) ( )∫−

ω−

∞→υ≡ω 2

2

1 T

Tdtet

TV tj

nT

n lim ：雑音に対する フーリエ変換の定義式

ショットノイズ（電流ノイズ） shot noise (current noise)

( ) ( )tiIti n0 +=

( )tiI

n

0 ：バイアス電流 [A] bias current ：雑音電流 [A] noise current

同様に、 ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) [ ]/HzA22

1

20

2

2

0

2

2lim

eIIfS

tidffS

dtetiT

I

nI

nI

tjn

Tn

T

T

==

=

≡

∫∞

−

∞→∫−

ω

ω ω

とすると、

等価回路 equivalent circuit

I

Iｎ (ω) I0

( kB = 1.38 × 10−23 [J/K] , T = 290[K] = 16.8 [ºC] )

雑音指数 Noise Figure (NF)

Nout= NoG + Na

Sout= SinG

F = Nout （全雑音出力電力）

NoG（出力端での基準雑音電力） = + 1

Na

NoG : 内部雑音の表現

= (S/N) in

(S/N) out : SN比の劣化の表現

G

Nin= No

Sin

Na

No = kBT [W/Hz] : 基準雑音 （熱雑音） reference noise (thermal noise)

: 内部雑音電力密度 [W/Hz] internal noise Na

: 電力利得 power gain G

雑音を含む増幅器

最小検出電力 sensitivity

( / ) ( / ) /out inS N S N F=

[dB] = Sin － No － NF [dB]

10log [dB] :NF F Noise Figure=

3[dBm] 10log10

Bo

k TBN −

=

174 10log [Hz]B= − +

( / ) 0 [dB]outS N = の時

最小検出電力

Sin,min [dBm] oN NF= +

174 10log [Hz]B= − + + NF [dB]

(S/N)out

（感度） sensitivity

FETの雑音指数(1) NF of FET(1)

C2 = Rs+jXs

Ind Ri

Zs ZL

雑音等価回路 equivalent circuit with noise sources

gmV gD

V

Eni

Vn

C3 Eng Rg

[ V Hz]Vn ： 信号源雑音電圧（基準雑音） 2: 2 4n B sV k TR= 2[ V Hz]

[V Hz]Eng ： ゲート抵抗の熱雑音 2

: 2 4ng B gE k TR= 2[ V Hz]

[ V Hz]Eni ： ゲート誘起熱雑音 2: 2 4ni B iE k TR= 2[ V Hz]

[ A Hz]Ind ： ドレイン電流雑音 2: 2 4nd B mI k T gγ= 2[ A Hz]

1 ( 5 i m

R g ≅

*

(0 1)ni nd

ni nd

E I jC CE I

≡ ≤ ≤

長チャネルＦＥＴ 短チャネルＦＥＴ ) 2( :3

γ = ， 2 :3

γ >

：相関係数

' '

C1

)

FETの雑音指数(2) NF of FET (2)

1 a

o

NFN G

= +

Fmin = 1+2gn (Ropt+Rc)

211 ( )n n s cs

r g Z ZR

= + + +

： 等価雑音抵抗 （熱雑音） 2(1 )n g ir R R C= + −

： 等価雑音コンダクタンス （ドレイン電力雑音の入力換算値） 2

n mT

g gω γω

=

： 相関インピーダンス correlation impedance iT

c in c cm

RZ Z C R jXg

ωω γ

= + ≡ +

（しゃ断角周波数） 1T mg Cω =

1

1in g iZ R R

j Cω= + +( ) ： 入力インピーダンス

min inF M F=

opt opt optZ R jX= + ： 最適インピーダンス

この時

2 ,nopt c opt c

n

rR R X Xg

= + = −

2

minn

s opts

gF F Z ZR

= + − ，

s optZ Z=

C 3 C1 << の時 ） （

最小雑音指数 minimum noise figure

NF軌跡 NF contour

2

minn

s opts

gF F Z ZR

= + −

min 2

4

1o n

opt

Z gF= +− Γ

Γs= Γopt の時 F = Fmin

雑音整合 noise matching

Γs= Γin の時 G = Gmax

利得整合 gain matching

∗

00

0 0

, optss opt

s opt

Z ZZ ZZ Z Z Z

−−Γ = Γ = + +

1

－1

－1 1

ＩｍΓs

ReΓs

定NF円

Γopt ≅ Γin ∗

2

21s opt

s

Γ − Γ

− Γ

となるように設計することで両立させる