高雄市國民教育輔導團 數學領域團隊專任輔導員 慧esrv.paps.kh.edu.tw/classpage/UploadDocument/21169_與數學對話... · 分數 因倍數 不合格率偏高的基本學習內容

高雄市國民教育輔導團 數學領域團隊專任輔導員

報告人：吳 佳 慧

做 想 懂 會算

高年級篇

玩倍數 想因數

不合格率偏高的基本學習內容

高年級數與計算部分

• 在測量情境中透過通分解決除數是分數的問題(78.54%)

• 以約分、擴分處理等值分數的換算(72.03%)

• 以短除法找出兩數的最大公因數與最小公倍數(67.06%)

• 以通分解決簡單異分母分數的加減問題(62.66%)

• 將分數、小數標記在數線上(62.54%)

• 舉例說明質數與合數的意義(61.20%)

• 舉例說明兩數互質的意義(60.23%)

分數

因倍數

不合格率偏高的基本學習內容

• 以短除法找出兩數的最大公因數與最小公倍數

• 舉例說明質數與合數的意義

• 舉例說明兩數互質的意義

• 以約分、擴分處理等值分數的換算

• 以通分解決簡單異分母分數的加減問題

• 將分數、小數標記在數線上

• 在測量情境中透過通分解決除數是分數的問題

有效的數學學習

• 做「數」~選擇適合的具體表徵

• 想「數」~搭建適性的學習鷹架

• 懂「數」~構築系統的課程脈絡

• 算「數」~提供正確的解題策略

學生本位

打破記憶背誦的數學學習

高年級『數』與『計算』學習地圖

擴分約分與通分

異分母分數的加減

等值分數

因數倍數

分數乘法

分數小數除以整數

質因數分解

分數除以分數

因數與倍數

• 能理解因數和倍數

• 認識2、3、5及10的倍數判斷方法

• 能認識兩數的公因數與最大公因數

• 能認識兩數的公倍數與最小公倍數

五年級

教學百寶盒(五年級)

• 學生學習「因數、倍數」陣亡的原因

因數與倍數教學與情境完全脫鉤

• 學生先備:

• 以嘗試錯誤的方式找因數

• 乘法算式(易於配對)→除法算式(處理大數)

• 學生有感的佈題

熟記九九乘法

理解除法

乘除互逆

問「有幾種分法?」是排列組合的問題 嘗試錯誤法

算算看:18的因數有哪些?

算算看:18的因數有哪些?

快速判別法

算算看:16的因數有哪些?

快速判別法

算算看:16的因數有哪些?

24和36共同的因數有哪些?

24和36共同的因數有哪些?

• 2是不是0.1的倍數????

• 2不是0.1的倍數，但2是0.1的20倍

• 因數與倍數的意義：

b＝a×q(或b÷a＝q….0) ，

a、b、q都必須是整數 • 幾倍的意義：

0.1視為基準量1，比較量2是20個0.1，

因此2是0.1的20倍

區分「倍數」與「幾倍」的意義

有沒有需要規畫進行的順序？

１ cm

２ cm

３ cm

４ cm

５ cm

６ cm

７ cm

８ cm

９ cm

１０cm

１１cm

１２cm

五年級引入『因數與倍數』的目的

• 幫助學生做分數約分、擴分及通分的計算

• 異分母分數的加減

• 分數的乘法(分×整 → 整×分 → 分×分)

• 分數除以整數

• 數字的大小應配合分數之教學

• 能認識質數、合數

• 能用短除法做質因數的分解(質數＜20，質因數＜20，被分解數＜100)

• 能用短除法求兩數的最大公因數和最小公倍數

• 能認識兩數互質的意義

• 能將分數約成最簡分數

六年級

教學百寶盒(六年級)

• 學生先備:

• 質數、合數→

• 質因數＜20，被分解數＜100。

• 學生能檢驗20以內的質數，國中階段才要求學生檢驗100以內的質數

• 學生應熟悉2、3、5、7、11、13、17、19在100以內的倍數

因數和倍數的意義

兩數的公因數與公倍數

最大公因數與最小公倍數

兩數互質

質因數分解(樹狀圖)

• 利用質因數分解算式求兩數最大公因數和最小公倍數

• 36＝2×2×3×3，48＝2×2×2×2×3

• 36和48的最大公因數「2×2×3」，是這兩數共同質因數的乘積。

• 36和48的最小公倍數「2×2×2×2×3×3」，是這兩數質因數分解算式的乘積，但共同質因數只乘一次。

短除法 • 最大公因數是這兩數共同質因數的乘積

• 最小公倍數是這兩數質因數分解算式的乘積，但共同質因數只乘一次

• 除到最後兩數互質

文字題 • 有感學習~切勿記憶題型

• 長方形紙長96公分，寬54公分，哥哥要裁成一樣的的正方形，此正方形最大的邊長是幾公分？

• 弟弟想用長4公分、寬6公分的長方形色紙，排成正方形，最少需要幾張色紙？

轉譯題目圖像表徵

最簡分數

• 教師不宜直接宣告最簡分數~透過比較活動

• 列出 𝟏𝟖

𝟑𝟎 的等值分數

𝟗

𝟏𝟓、

𝟔

𝟏𝟎 、

𝟑

𝟓

• 這些分數中，𝟑

𝟓 的分子和分母最小，稱

𝟑

𝟓 為

這些等值分數中的最簡分數

• 利用分子和分母互質，判斷該分數是否為最簡分數

等值分數~分數牆

長方形數 ~數形關係~

• 用圓形算子排出長方形的正例與非例

– 12個算子排成長方形？

– 4個算子排成長方形？

– 3個算子排成長方形？

• 用圓形算子排出長方形的正例與非例

但

• 「計分表」的記錄方式

題目數字

記錄長方形長與寬的算子數

一個排法 劃記得1分

2×3

• 討論一：各數字（1~30）的總得分

– 得0分的數：

– 得1分的數：

– 得2分的數：

– 得3分的數：

• 討論二：

– 學生為不同得分的數字命名。

– 老師統一命名。

• 得0分：1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19….

• 得1分以上：4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20….

• 另類：1 和其它數的數形一樣嗎？

– 延伸活動：50以內得4分的數？

100以內得5分的數？

36 48

96

• 本教學活動重點：

• 「長方形數」模組以形來表徵數，幫助學生發展「質數、合數、因數分解」的具體心像。

• 對於現有教材中的數學名詞會有更好的理解。

了解質數

了解合數

因數分解

玩倍數 想因數

分 數

同構到整數情境

一些學生(七年級)心中的分數…...

圓形分數板

利用平分面積(圓心角) 傾向連續量表徵

介紹分數

方形分數板

利用平分面積(方形) 傾向離散量表徵

分數乘法的圖像表徵

一包糖有2公斤,用掉3/4包糖,請問用掉幾公斤的糖?

數棒

利用平分長度(可數的顆) 離散量表徵

包含除,小數的圖像表徵

分數牆

利用平分面積,長度 連續量表徵

介紹分數

利用單位分數 離散量表徵 等值分數 分數運算

• 真分數命名(說、讀、聽、寫)

• 單位分數的命名

• 真分數的數詞序列(分母不大於12)

• 真分數的做數(具體物、圖像表示)

• 比較兩個單位分數的大小

• 比較兩個同分母分數的大小

• 同分母分數的加減(和數及被減數都是真分數)

• 認識1的等值分數

三年級

四年級 • 理解分數之「整數相除」的意涵(等分除、包含除、測量情境)

• 認識真分數、假分數與帶分數

• 假分數與帶分數的互換

• 同分母分數的比較(真分數、假分數及帶分數)

• 同分母分數的加、減(真分數、假分數及帶分數)

• 同分母分數的整數倍 (真分數、假分數)~

• 認識等值分數

• 簡單異分母分數的比較(分母為2、5、10、100)

• 簡單分數與小數的互換

• 簡單分數標記在數線上(真分數、假分數及帶分數)

帶分數?

整數的運算關係

(低年級) (中年級)

(高年級)

◎乘除互逆

◎乘法結合律

◎乘法對加法的分配律

◎先乘再除與先除再乘的結果相同

◎連除兩數相當於除以此兩數之積

◎整數四則混合計算

◎列出未知數算式並解題

◎加法交換律

◎加減互逆

◎乘法交換律

• 約分、擴分處理等值分數的換算

• 用通分作簡單異分母分數的大小比較

• (1)分母都是一位數字

• (2)一分母為另一分母的倍數，且兩數都小於50

• (3)乘以2、3、4、5就能找到兩分母之公倍數

• 用通分作簡單異分母分數的加、減

• 在分數的情境中，理解加減互逆

• 整數乘以分數→分數乘以分數→分數除以整數

• 將分數、小數標記在數線上。

五年級

• 整數除以分數(有餘數,沒有餘數)

• 分數除以分數(有餘數,沒有餘數)

• 建立學生「倒數」概念(中高階)

• 分數的情境中，理解乘除互逆

• 分數的兩步驟問題，並能併式計算

六年級

年級 內容 舉例

4 分數乘以整數 一瓶葡萄汁有2/5公升，3瓶共有幾公升？(分數牆)

5

整數乘以分數 一袋麵粉重3公斤，小欣做麵包用3/4袋，小欣用了多少公斤麵粉？(方形分數板)

分數乘以分數 一瓶礦泉水有3/5公升，2/3 瓶有多少公升？(分數牆)

分數除以整數 將1/5公升漂白水全部平分成3杯，其中的一杯是幾公升？(分數牆)

6

整數除以分數(有餘數)

一桶沙拉油有12公升，每7/12公升裝成一罐，最多可裝滿幾罐？還剩下多少公升？

整數除以分數(沒有餘數)

一桶沙拉油有12公升，每7/12公升裝成一罐，全部裝完，相當於裝成幾罐？

分數除以分數 (有餘數)

一桶沙拉油有18/5公升，每7/12公升裝成一罐，最多可裝滿幾罐？還剩下多少公升？

分數除以分數 (沒有餘數)

一桶沙拉油有18/5公升，每7/12公升裝成一罐，相當於裝成幾罐？

• 先備:

• 分割份數由小變大稱為擴分，例如 𝟐

𝟑 ＝

𝟔

𝟗

• 分割份數由大變小稱為約分，例如 𝟏𝟎

𝟏𝟐 ＝

𝟓

𝟔

• 通分:透過約分或擴分，讓兩個分數分母相等的活動稱為通分

• 教學建議:建構分數牆(例:建構 𝟐

𝟑 牆) 𝟐

𝟑 ＝

𝟒

𝟔 ＝

𝟔

𝟗 ＝

𝟖

𝟏𝟐 ＝

𝟏𝟎

𝟏𝟓

• 歸納成形式算則: 𝟐

𝟑 ＝

𝟐⨯𝟑

𝟑 ⨯𝟑 ＝

𝟔

𝟗

𝟏𝟎

𝟏𝟓 ＝

𝟏𝟎÷𝟓

𝟏𝟓 ÷𝟓 ＝

𝟐

𝟑

要出這種題目嗎?

等值分數 簡單異分母分數的大小比較

以約分、擴分處理等值分數的換算

• 教學範例: 𝟑

𝟒 +

𝟏

𝟔 =

• (1)基本:利用分數牆具體操作~同構成整數問題

• (2)進階:利用等值分數~( 𝟑

𝟒＝

𝟔

𝟖＝

𝟗

𝟏𝟐…) (

𝟏

𝟔＝

𝟐

𝟏𝟐 …)~分母最小公倍數

• (3)精熟:利用擴分~(𝟑

𝟒＝

𝟑⨯𝟐

𝟒 ⨯𝟐＝

𝟑⨯𝟑

𝟒 ⨯𝟑 …) (

𝟏

𝟔＝

𝟏⨯𝟐

𝟔 ⨯𝟐 …)~兩數相乘

• 具體教具操作幫助學生產生心像~看到「公分母」現象

• 形式運算可以說明找「公分母」的理由~但概念較難

• 由同構進到形式運算~學生保留概念較持久

以通分解決簡單異分母分數的加減問題

• 用同分母的分數除法探討『有餘數』與『沒有餘數』的題型

• 有餘數：𝟏𝟒

𝟓公升果汁，

𝟑

𝟓公升裝1瓶，最多可裝滿幾

瓶，剩下多少公升？

• 沒有餘數：𝟏𝟒

𝟓公升果汁，

𝟑

𝟓公升裝1瓶，全部裝完，

相當於裝成幾瓶？

在測量情境中透過通分解決除數是分數的問題

• 口訣教法中學生常見的錯誤類型

•𝟏𝟒

𝟏𝟓 ⨯

𝟐

𝟓 ＝

𝟏𝟒

𝟏𝟓 ⨯

𝟓

𝟐

•𝟓

𝟏𝟖÷

𝟐

𝟓 ＝

𝟓

𝟏𝟖÷

𝟐

𝟓

• 分數口訣教學~~六年級易發生學習困難

能約就約~~錯誤的數感

透過通分解決除數是分數的問題~顛倒相乘

• 佈題: 𝟒𝟐

𝟓公升果汁,

𝟒

𝟕公升裝1瓶,全部裝完,相當於裝成幾瓶？

• 透過被除數及除數同時換單位策略說明

分數除以分數~顛倒相乘(一)

整數相除是分數表徵

分數乘法

• 佈題: 𝟒𝟐

𝟓公升果汁,

𝟒

𝟕公升裝1瓶,全部裝完,相當於裝成幾瓶？

• 透過倒數策略說明

• 倒數:𝟒

𝟕公升裝1瓶→1公升是

𝟕

𝟒瓶(用帶分數思考)

分數除以分數~顛倒相乘(二)

學生喜歡數學

起源於

喜歡一個數學老師

喜歡好好玩數學

許嘉晃督學

夏紹彰校長 曾建勳校長 王淵智校長 朱麗玲校長

李雲漳校長

吳佳慧老師

劉金旻老師

吳淑芬老師

江民瑜老師 劉書伶老師 阮正誼老師

洪淑文老師 曾鈺珮老師 楊志隆老師

許嘉凌老師 侯淑芬老師 黎懿瑩老師 郭雅玲老師 蘇崇賢老師 林群雄老師

陳怡君老師

洪雪芬老師

項目 大致內容項目

到校諮詢(6校) 獅甲國小、東光國小、仁美國小、維新國小、 蔡文國小、建山國小

教學支持團隊(2個策聯盟，6場次) (學習共同體 高層次評量)

龍山國小四校聯盟、小林國小二校聯盟 (歡迎申請106年度下半年)

106夥伴學校輔導協作計畫(2校) 鼓山區壽山國小、楠梓區翠屏國中小 (歡迎申請107年度)

國小數學領域召集人暨有效教學研習

數學學習共同體介紹與實施學校經驗分享

國小數學「國小數學有效教學實作研習實施」工作坊

央團與地方核心輔導員~實作案例分享

國小數學「國小數學基本學習內容與教材脈絡探究研習」工作坊

謝堅教授主講~3月

行動研究 協作平台在國中小數學領域共同備課之應用

https://www.facebook.com/groups/461548357290659/

數學領域輔導小組：07-3590116#261、262