自動車工学基礎シリーズ 自動車の運動性能 堀内伸一郎(日本大学理工学部) 1. はじめに 自動車の運動を厳密に数式で表 現しようとすると,非常に複雑な 式が必要となる.しかし,操舵に 対する基本的な運動特性だけを考 える際には, ・自動車を一つの剛体と見なす ・上下運動などを無視する ・走行速度を一定と見なす ・左右のタイヤ特性は等しい などの仮定を設け,横方向の並進 運動と車体の向きに関する回転運 動の 2 自由度のみを考慮した簡単 な式を用いることが多い. ここではこのような 2 自由度運 動方程式に基づいて,自動車の基 本的な運動特性を説明しよう 2. 基本的な運動方程式 自動車の運動を剛体の平面運動 と簡単化して考えると,その運動 方程式はニュートンの運動法則に 従って,(1) 質量×横向き加速度 =横向き外力,および (2) 慣性モ ーメント×角加速度=外力による 重心点回りのモーメントという 2 本の式で表すことができる.左右 2 つのタイヤを中央にまとめた図 1 のようなモデルを考えると,これ らの式は m(˙ v + ur) = F f + F r (1) I ˙ r = l f F f - l r F r (2) と書くことができる. 図 1 簡単な自動車のモデル ここで, v は横速度, r は車を上か ら見たときの回転に関する角速度 (ヨーレイト)である.(1)式のカ ッコの中の項は横向きの加速度で あり,横速度の微分値 ˙ v と円運動 を行うことによる求心加速度 ur の 和として表されている.また F f , F r は前後のタイヤから発生する横 向きの力を表す. 車体の横すべり角 b が小さい範 囲の運動を考えることにすると, 次のような関係が成り立つ. u @ V , v = V sin b @ Vb (3) 速度を一定と仮定しているので, 上式の v を微分すると ˙ v = V ˙ b (4) となる.これらの関係を用いると (1)式は mV ( ˙ b + r) = F f + F r (1)' と書き直すことができる.(1)式と (1)'式には本質的な差はないが,(1)' 式のように b を用いた方が自動車 の運動を直感的に理解するのに適 している.(1)'式,(2)式が剛体の平 面運動と考えた自動車の基本的な 運動方程式となる. 横すべり角が小さい場合,タイ ヤから発生する横向きの力はタイ ヤ横すべり角に比例すると見なす ことができる.このような仮定は, 車体の横加速度が 0.5G 程度までは 妥当であることが知られている. このとき,前後のタイヤ横すべり 角を b f , b r とすると,前後タイ ヤはそれぞれ 2 本ずつあるので, 横力は F f =-2K f b f , F r =-2K r b r (5) と書くことができる.ここで, +b に対して -F が発生するので,マイ ナス符号が付けられている.比例 定数 K f , K r はコーナリングパワ ーと呼ばれている. b f , b r は近 似的に次のように表すことができ る. b f = b + l f V r - d , b r = b - l r V r (6) (6)式からわかるように,前輪横す べり角 b f には操舵角 d が含まれ, これが運動方程式に対する入力と なる. (1)',(2)式に(5),(6)式を代入す ると mV ( ˙ b + r) =-K f b + l f V r - d Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ - K r b - l r V r Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ (7) I ˙ r =-l f K f b + l f V r - d Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ + l r K r b - l r V r Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ (8) のような,自動車の運動を解析す るのに便利な形の線形連立常微分 方程式が得られる.自動車の基本 的な運動特性はこの簡単な式で説 明することができる. 3. 定常円旋回特性 (7),(8)式の微分方程式で表され るシステムの特性を調べ,自動車 の運動性能を理解しよう. まず始めに,舵角 d を一定と仮 定し,(7),(8)式の平衡点の性質を 調べてみよう.平衡点とは微分方 程式の微分項をゼロとおいて得ら れる代数方程式の解である.この 代数方程式は未知数が b と r の 2 つであり,式が 2 本であるから, 簡単に解くことができる.具体的 にこの解を求めると次のようにな る. b = 1 - m 2l l f l r K r V 2 1 + AV 2 l r l d (9) r = 1 1 + AV 2 V l d (10) ここで, A は A =- m 2l 2 l f K f - l r K r K f K r (11) である. d = 0 のとき,平衡点は b = r = 0 の直進状態を表している. 舵角を変化させると,これに応じ て一定の b と r が定まる.このよ
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l f K f - lrKrが正であるとは,車両が OS特性をもつことを意味し,(23)式の速度は(16)式の臨界速度に等しい.すなわち, OS車両が臨界速度以上で定常円旋回できないのは,車両が動的に不安定になるためであると理解できる. もし,車両が USまたは NS特性であれば,どのような速度でも安定である.このような理由から,