1 視覚の幾何学3 カメラキャリブレーション 呉海元@和歌山大学 Rigid Body Motion – Two views X X x 1 1 t x R x 1 1 2 2 X x 2 2 b a b b a b a 0 0 0 ; 1 2 1 3 2 3 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 0 0 b) (a b b) (a a b a トしているので は一つの平面をサポー と 行列・ベクトルの外積(復習) Matrix form of cross product 幾何変換 Geometric transformation 変換あり 変換なし 同次座標系で表現: ] with ] 0 | with t | [R E' p E' p' [I E Ep p t Rp p' 変換あり 変換なし 同次座標系で表現: あるいは ] with ] 0 | with t | [R P' x P' x' [I P Px x t Rx x' 2カメラ間の姿勢と位置: • R : 3*3 rotation matrix • t : 3*1 translation vector pとp’が対応点同士なら: ⇒ 即ち:同一平面内の三つのベクトルから二つのベクトルの外積と 残るもう一つのベクトルの内積は0となる 基本行列 (Essential matrix) 前提: pとp’は画像座標から計算さ れた物理(カメラ)座標である (カメラの内部パラメータ既知) T T y x y x ) 1 , ' , ' ( ' ) 1 , , ( with 0 )] ( [ ' p p Rp t p From geometry to algebra(証明) T Rp p' p T ' Rp T Rp T p p T p ' ' ' 0 Normal to the plane Slide credit: Kristen Grauman P
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視覚の幾何学3 カメラキャリブレーション - …wuhy/CV11.pdf2 2カメラ間の姿勢と位置: • R : 3*3 rotation matrix • t : 3*1 translation vector...
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視覚の幾何学3カメラキャリブレーション
呉海元@和歌山大学
Rigid Body Motion – Two viewsX
Xx 11
txRx 1122
Xx 22
babba
ba
0
0
0
;
12
13
23
1221
3113
2332
3
2
1
3
2
1
aa
aa
aa
baba
baba
baba
b
b
b
a
a
a
0
0
b)(ab
b)(aa
ba トしているのでは一つの平面をサポーと
行列・ベクトルの外積(復習)Matrix form of cross product
幾何変換Geometric transformation
変換あり
変換なし
同次座標系で表現:
] with
]0| with
t|[RE'pE'p'
[IEEpp
tRpp'
変換あり
変換なし
同次座標系で表現:
あるいは
] with
]0| with
t|[RP'xP'x'
[IPPxx
tRxx'
2カメラ間の姿勢と位置:
• R : 3*3 rotation matrix
• t : 3*1 translation vector
pとp’が対応点同士なら:
⇒
即ち:同一平面内の三つのベクトルから二つのベクトルの外積と
残るもう一つのベクトルの内積は0となる
基本行列 (Essential matrix)
前提: pとp’は画像座標から計算された物理(カメラ)座標である
(カメラの内部パラメータ既知)
T
T
yx
yx
)1,','('
)1,,( with 0)](['
p
pRptp
From geometry to algebra(証明)
TRpp'
TTRpTpT '
RpT
RpTppTp '''0
Normal to the plane
Slide credit: Kristen Grauman
P
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2カメラ間の姿勢と位置:
• R : 3*3 rotation matrix
• t : 3*1 translation vector
pとp’が対応点同士なら:
⇒
即ち:同一平面内の三つのベクトルから二つのベクトルの外積と残るもう一つのベクトルの内積は0となる
エピポーラ方程式
基本行列(E行列)
基本行列 (Essential matrix)
前提: pとp’は画像座標から計算された物理(カメラ)座標である
(カメラの内部パラメータ既知)
T
T
yx
yx
)1,','('
)1,,( with 0)](['
p
pRptp
RtE
Epp'Rptp
with
0)](['
E行列の自由度が5:回転3+並進3-スケール1
基本行列 (Essential matrix)エピポーラ方程式 自由度が5:
基本行列(E行列) 回転3+並進3-スケール1
T
T
yx
yx
)1,','('
)1,,( with 0)](['
p
pRptp
RtE
Epp'
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0
babba
0
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★ Eはランク落ちが発生!→rank(E)=2 → 等値非ゼロの固有値が二つ存在
★ Eが求まれば、tとRに分解することができるRはフルランク自由度は3 → tの自由度は2
自由度が5:
内部パラメータが未知、画像座標xしか分からない• 画像座標xと物理(カメラ)座標pの関係:
x=Kp , x’=K’p’ ⇒ p=K-1x, p’=K’-1x’(K,K’ are the camera calibration matrix:内部パラメータ行列)