関数の極限 タイプ別 早見チャート Manabu Sato(C)2011 関数の極限 タイプ別 早見チャート 対数関数を含む不定形の極限は 指数関数を含む不定形

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関数の極限 タイプ別 早見チャート

対数関数を含む不定形の極限は

指数関数を含む不定形の極限は

三角関数を含む不定形の極限のときに考える。

の公式が使えるように変形することがポイント！

の公式を用いて解くことを考える。

∞1 の不定形の極限は の公式を用いて解くことを考える。

の公式を用いて解くことを考える。

xxlim

x → 0=

log ( )1 1+

limx → 0

11 =−x

ex

ⅰ.因数分解・約分タイプⅰ.因数分解・約分タイプ ……

ⅲ.有理化タイプⅲ.有理化タイプ …… 有理化することによって,不定形を解消して解くタイプ。

ⅱ.1番強い項でくくるタイプⅱ.1番強い項でくくるタイプ …

Ⅲ.はさみうちの原理タイプ

Ⅳ.微分係数の定義タイプ

Ⅵ.平均値の定理タイプ

Ⅶ.区分求積法タイプ

Ⅴ.e に関する極限公式タイプ

Ⅱ.三角関数の極限公式タイプ

Ⅰ.式変形タイプ

xx

x1

sinlim

0→=

21

=cos1

2

−x

xlimx → 0

★ → 0 のとき,極限値は 1 ！準公式として の公式も覚えるとよい。

使い方のイメージ使い方のイメージ

★sin

★ ★sin★

の形を作って

「x → ∞で『(減少関数)×(周期関数)』」 例： 　　　　　xe xsin−x

xsin,

1番強い項(次数が高い)でくくる(分数の場合は,分母の1番強い項で,分母・分子を割ると考えても同じ)ことによって解くタイプ。

分数の形で,分母・分子(またはどちらか)を因数分解して約分することによって,不定形を解消して,代入して解くタイプ。

の不定形は,「約分」→「不定形解消」に,∞ − ∞ の不定形は,「ⅱ.1番強い項でくくるタイプ」になることが多い。

はさみうちの原理 limx → ∞

f (x) =α limx → ∞

h (x) =α limx → ∞

g (x) =αならばかつ

( )11

x x+limx → 0

= e1

1

+ x

x

limx → ∞

limx → ∞

limx → ∞

e=

関数の極限を求める問題の解法には,主に下記７つのタイプがある。

x → a の極限で,　 の不定形になる場合に考える。「因数分解」→「約分」→「代入」とイメージ！

x → ∞ の極限で, の不定形になる場合に考える。∞∞

0 0

や∞ − ∞

無理式が入っている不定形の場合に考える。

『数列の極限』等,直接極限を求めることができないときに使う。ガウス記号を含むときや

Ⅲ.はさみうちの原理タイプ …… はさみうちの原理を用いて解くタイプ。

Ⅳ.微分係数の定義タイプ …… 微分係数の定義を用いて解くタイプ

Ⅵ.平均値の定理タイプ …… 平均値の定理を用いて解くタイプ。

Ⅶ.区分求積法タイプ …… 区分求積法を用いて解くタイプ。

Ⅴ.e に関する極限公式タイプ …… e に関する極限公式を用いて解くタイプ。

Ⅱ.三角関数の極限公式タイプ …… 三角関数の極限公式を用いて解くタイプ。

Ⅰ.式変形タイプ……簡単な式変形によって解くタイプ。主に下記３つのタイプがある。

=x

01lim

x → ±∞k

x → ±∞のときは　　　　　 ( k は自然数) を使うことがポイント！

※関数の極限では省略。

※関数の極限では省略。

0 0

f (x) ≦ g (x) ≦ h (x) のとき,

微分係数の定義 )( )()(′ ==−+af

h

afhafhlimlim

0→x a→にあてはまるときに使う。( )

ax

xf ( )af

−−

のときに考える。

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関数の極限の基本とポイント

x → a の極限で,x を aより大きい値から限りなく a に近づけるとき,右方極限といい,「x → a + 0 」と表し,a より小さい値から限りなく a に近づけるとき,左方極限といい,「x → a − 0」と表す。

x → a の極限を求める場合は,左方,右方両方の極限を考える。特に,分数でx → aで分母が0 になるとき,ガウス記号,絶対値を含むときには注意する！

x=

∞→ xx

0log

limx

0=+−

∞→ exx

x

12lim

2

=∞→ x

en

x

xlim ∞

速い遅い

ex の方が より速く∞にいくので

+− xx 122x の方が log xより速く∞にいくので ex の方が xn より速く∞にいくので

y

x1−1

1

−2 2O

x → 1+ 0 のとき,

limx → 1

[ x ] ( )x−

x＜0 のとき, xx −=

x＞0 のとき, xx =

xlim x= =limx → + 0

0x → + 0

xlim = )( x− =limx → − 0x → − 0

0

xlimx → 0

y

xO

xlimx → 0

= 0よって,

ガウス記号分数 絶対値

[ x ]→ 1

x → 1− 0 のとき,

[ x ]→ 0

よって,極限値は存在しない。

xy = のグラフ[ x ] xy −= のグラフ

■ 関数の極限と数列の極限

■ 右方極限と左方極限

■ 関数の発散速度

■ 極限公式の覚え方

数列の極限では, n が(1,2,…と飛び飛びに)限りなく大きくなるときの第 n 項 a n の値を考えたが,関数の極限では,x が実数となり, x → ∞の極限だけでなく, x → a の極限も考える。考え方は数列の極限とほぼ変わらない。

x → a + 0f( x ) limlim

x → a − 0f( x ) lim

x → a f( x )と が存在し,一致するとき が存在する。

x → 1+ 0 のとき,( x − 1)2 → + 0

x → 1− 0 のとき,( x − 1)2 → + 0 より

( )∞=

−xx

12

limx → 1よって,

( )−x

x

12lim

x → 1において

0[ x ] ( )x− =limx → 1 + 0

1[ x ] ( )x− =limx → 1 − 0

( )∞=

−xx

12

limx → 1 + 0 ( )

∞=−xx

12

limx → 1 − 0,

対数関数は亀みたいにノロノロと進み,指数関数はロケットみたいに速く進む！対数関数は亀みたいにノロノロと進み,指数関数はロケットみたいに速く進む！

発散速度とは,関数 y = f( x )において,わかりやすくいうと「 x の値を大きくすると, y の値がどれだけ大きくなるか」ということで,対数関数＜＜整関数＜＜指数関数の順で発散速度が大きい。

実際の計算は,不等式を利用して,はさみうちの原理等から求めるが,グラフを描く際に,x → ±∞,x → ±0 のとき,どんな値になるかを調べる際には,下記のように証明なしに用いてよい。

一致しない！一致しない！

例例 例例 例例

例１例１ 例２例２ 例３例３

xy alog= ( a＞ 1)

x

y

1O

x

yグラフは n によるこの場合はn＝3

xy n= ( n＞ 1)

O x

y

1

O

ay x= ey x=( a＞ 1),

1−ex 1= −exy

=y

=y

=y

( )1log +x( )1log +x

x

( )1

1log=

+x

xlimx → 0

11 =−x

ex

limx → 0

xsinx → 0 x

x1

sinlim =

sin x ,log( 1 + x ) , e x −1 を,それぞれ f( x )とおくと f '( 0 )= 1となり,原点で　y = x　と接している。つまり,原点付近では　y = x　のグラフとほぼ同じとみなすことができ,極限が1となる！公式を忘れたら,右記グラフを考えれば,うまく式をつくることができる！

xxsin ≒ ( )1log + xx ≒ x≒1−e x

y

O

一致する！一致する！

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式の変形タイプ

=+⋅

+=

51241

−+−+

xx

xx

52 343

2

2

limx → 1

( ) ( )

( ) ( )+−+−xx

xx

52141lim=

x → 1因数分解

++

=x

x

524lim

x → 1 約分

limx → ∞ 1

12

22

++

−+=

xx

xx

limx → ∞ 1

11

2

22=

++

++⋅−+

xx

xxxx

limx → ∞

12 −+ xx

∞−∞タイプ

=23

1limx → ∞

=12 ++ xx

= 0

−−−−

xx

xx

62823

2

2

limx → ∞

−−

−−=

xx

xx

612

823

2

2

limx → ∞

0

0

0

0

分母・分子を最高次の項 x2

で割った

−−−−

xx

xx

62823

2

2

limx → 2

( ) ( )

( ) ( )+−+−

=xx

xx

322432lim

x → 2 因数分解

++

=x

x

3243lim

x → 2 約分

=+⋅+⋅

=7

1075

322423

=∞

+−x 533 x x2limx → ∞

( )

0

+−

xxx

531

23lim

x → ∞=

0

∞

タイプ∞∞

424 =+=

2

4

−−

x

xlimx → 4

4−=

x24 +− xx ( )( )lim

x → 4

= 2+x( )limx → 4

( )( ) 22

24

+−+−

=xx

xx ( )( )limx → 4

有理化 有理化

約分

約分

代入

例１例１ 例２例２

例例 例例

例例

x → ∞とすると より1∞

ⅰ.因数分解・約分タイプⅰ.因数分解・約分タイプ ……

ⅲ.有理化タイプⅲ.有理化タイプ …… 有理化することによって,不定形を解消して解くタイプ。

ⅱ.1番強い項でくくるタイプⅱ.1番強い項でくくるタイプ ……

Ⅰ.式変形タイプ

1番強い項でくくる(分数の場合は,分母の1番強い項で,分母・分子を割ると考えても同じ)ことによって解くタイプ。

分数の形で,分母・分子(またはどちらか)を因数分解して約分することによって,不定形を解消して,代入して解くタイプ。

00 の不定形は,「約分」→「不定形解消」に,

∞ − ∞ の不定形は,「ⅱ.1番強い項でくくるタイプ」になることが多い。

x → a の極限で,　 の不定形になる場合に考える。「因数分解」→「約分」→「代入」とイメージ！ 0 0

無理式が入っている不定形の場合に考える。

Ⅰ.式変形タイプ……簡単な式変形によって解くタイプ。主に下記３つのタイプがある。

を用いて解く！

62

8232

2

−−−−

xx

xxlimx → ∞

xx82

2

−xx61

2

分母・分子を最高次の項 x2

でくくった2

3

2

2

−

− −

=x

xlimx → ∞

xx61

2

00

xx82

2

0 0

2

3=

2

3

−

−

−

−= lim

x → ∞

1番強い項でくくる解法1番強い項で分母・分子で割る解法

∞ − ∞ の不定形は,1番強い項(最高次の項)でくくり, ∞∞ の不定形は,1番強い項でくくるか,

=x

01lim

x → ±∞k

x → ±∞のとき　　　　　 ( k は自然数)1番強い項で分母・分子で割って,

∞1 01

100…00

ImageImage

代入代入

1⋅ =∞

の不定形 0 0

の不定形 ∞ ∞

の不定形 ∞ ∞

の不定形 0 0

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三角関数の極限公式

＜

＜

＜

＜

＜

＜

三角関数を含んだ式で,不定形になる形は,まずこのタイプを考えるとよい。

21

111

12 =+

⋅=

cos12

−x

xlimx → 0 cos1

cos1cos12 +

+⋅−=

x

x

x

xlimx → 0

( )cos1

sin2

2

+=

xx

xlimx → 0

cos11sin

2

+⋅

=

xx

x( )

limx → 0

1cossin 22 =+ xx

cos1cos1

++

xxを掛けた

1

θθ

1

1θ

sin

2

θ tan

2

θ

tan2

1θ

2

θ

12

1θ⋅⋅

2

1sinθ12⋅

※ θ→ − 0 のときは,θ= − t と置きかえて,t = + 0 の形にして証明する。

θ→ + 0 のとき,cosθ→ 1,となるので,はさみうちの原理より

左図,△OAB,扇形△OAB,直角三角形OBCに着目して,面積の大きさを比べると下記の関係が成り立つ。

1sin

cos ＜θ

θθ＜

sin

cos1

sin

1

θ

θ＞

θ＞

θ

右下例のような複雑な式の極限を求める場合には,この公式を用いてよいとされている。

θ

θθ

1sin

lim0→

=

θ → + 0 のとき, 　　　 のときで考える。2

0π

θ＜ ＜

21

=cos1

2

−x

xlimx → 0

の証明

辺々にsinθを掛ける

辺々に2を掛けて逆数をとると(符号は逆になる)

xx

x1

sinlim

0→= の簡略証明

0→∞→x tのとき

とおく。xt 1=

1sin xxlim

x→ ∞

x→ ∞であることに注意！

1sin

==t

tlimt → 0

与式

321 ⋅=

32sinx

xlimx → 0

32

22sin

⋅=x

xlimx → 0 2

2を掛けた

例１例１

例２例２

例例

6=

11142

131 33 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

limx→ 0 cos

1

sin)2(

)2(

)2cos1(3

3

3sin 33

32

2= ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅ x

xx

xx

x

xx

x

x

limx→ 0 sin

cos2

2

)2cos1(3

3

3sin3

32

2= ⋅⋅−⋅⋅

x

xx

x

xx

x

x

limx→ 0 tan

)2cos1(3sin3

−x

xx

1=sinxxlim

x → 0

1=sinxxlim

x → 0

1=sinxxlim

x → 0

21

=cos1

2

−x

xlimx → 0

1

1θ

O

C

A

BO

A A

B O B 1

θ

O

C

B

tanθ

よって

Point !

三角関数を含む不定形の極限のときに考える。

の公式が使えるように変形することがポイント！

Ⅱ.三角関数の極限公式タイプ

xx

x1

sinlim

0→=

21

=cos1

2

−x

xlimx → 0

★ → 0 のとき,極限値は 1 ！

準公式として の公式も覚えるとよい。

使い方のイメージ使い方のイメージ

★sin

★ ★sin★

の形を作って

Ⅱ.三角関数の極限公式タイプ …… 三角関数の極限公式を用いて解くタイプ。

扇形の面積

弧

半径

半径×弧の長さ×21

※右下扇形の面積参照

評価できた！

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はさみうちの原理・微分係数の定義

Point ! Point !

f (x) ≦ g (x) ≦ h (x) のとき,

はさみうちの原理 はさみうちの原理の使い方のイメージ

limx → ∞

h (x) =α

limx → ∞

f (x) =α limx → ∞

h (x) =α

ならば

かつ

x →∞より,x＞0と考えてよいので,①全体をxで割って

1sin1……②

−xx

xx

≦≦

−1≦sin x≦1 ……①

sinx

xlimx → ∞

0sin =x

xはさみうちの原理からはさみうちの原理から lim

x → ∞

01

01

==−xx

limx → ∞

limx → ∞

より,

1=[ ]xx

limx → ∞

[ ]xx

limx → ∞

− [ ]1

1xx

xx

≦＜∴

x →∞より,x＞0

と考えてよいので,※全体をxで割って

x1−x ≦＜ [ x ] ……※

より,1==x

limx → ∞

− 1xx

limx → ∞

11

+

0

ガウス記号とは？

[ x ]は, x を超えない最大の整数のこと。例えば [3.6] だったら 3, [−2.4] だったら −3 に( −2 ではない)なる。

ガウス記号タイプ (減少関数)×(周期関数)タイプ

例例例例

例１例１ 例２例２

3 3x log)(′f =x となり

e x e x− −)( =xf とおくと

e x e x+ −)(′f =x となり

xe x e x− −

xlim

0→

e 0 0e− −)( = =0f 0

2e 0 0e+ −= = = =与式 )(′fxlim

0→

( )0

0x

xf ( )0f

−−

x→ ∞であることに注意！x→ 0だったら,公式から1！

ほとんどの場合,他の方法でも解けるが,この方法を使うと.早く解けることがある。

=与式 x = =)(′flim0→

( )0

0x

xf ( )0f

−−

3log

x 0→

13lim −x

x

とおくと3)( =xfx

)( = =0f 130

limx → ∞

が求められないとき,★

★より小さくて極限が求められる●と,★より大きくて極限が求められる▲で評価(不等式ではさむ)する。

が求められる。( 　 の値)limx → ∞

★あとは,はさみうちの原理から,

limx → ∞

● limx → ∞

▲ただし, =

limx → ∞

● limx → ∞

▲=

Ⅲ.はさみうちの原理タイプ

微分係数の定義 )( )()(′ ==−+af

h

afhafhlim

0→にあてはまるときに使う。

Ⅲ.はさみうちの原理タイプ …… はさみうちの原理を用いて解くタイプ。

Ⅳ.微分係数の定義タイプⅣ.微分係数の定義タイプ …… 微分係数の定義を用いて解くタイプ

主に三角関数主に三角関数

[ ]≦＜ xxx 1−ガウス記号を含んだ問題のポイントは, 　　　　の不等式を作ることで,関数の極限でもこの不等式を利用する。

xlim

a→

( )ax

xf ( )af

−−

x減少関数

「x → ∞で『(減少関数)×(周期関数)』」 例： 　　　　　xe xsin− xsin,

『数列の極限』等,直接極限を求めることができないときに使う。ガウス記号を含むときや

のときに考える。limx → ∞

limx → ∞

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eに関する極限公式

11

+

x

x

limx → ∞

e= ( x は実数)②

11

+

x

x

limx → −∞

e= ( x は実数)③

( )11

h h+limh → 0

= e④

hhlim

h → 0=

log ( )1 1+

⑤

limh → 0

11 =−h

eh

⑥

ココがポイント！

※ この６つは特に指示がなければ証明なしに用いてよい。

11

+

n

n

limn → ∞

e= ( n は自然数)① ( =2.71818 )

x → ∞から x → −∞に拡張

自然数を実数に拡張

両辺に底をeとする対数をとると

とおくと=h tlog (1+

1x

h= とおくと

②と③において

lim★→ 0

11 =−★

e★

となることより

とおくと=h tlog ( )1+t より= eh1+ t= eh 1−

limt → 0

1=t1−e tよって

※証明は大学でやる。

★

★lim★→ 0

=log ( )1 1

+

使い方のイメージ使い方のイメージ

証明例題

証明例題

証明例題

証明例題

これが e の定義で出発点

( )3

81 x x+limx → 0

8

83

x= ( )81 x+×

limx → 0

24e=

( ){ }24

81

81 x x+= limx → 0

88を掛ける

22を掛けた

33を掛ける

ココがポイント！

44

4

11 x

x

+= lim

x → ∞

4= t

x とおくと,x → ∞ のとき,t → ∞

4

11 x

x

+lim

x → ∞

4

11

+

t

t

limt → ∞

与式 =

4e =

44を掛けた

ココがポイント！

limx → 0

limx → 0

221 =×=

331 =×=

=

limx → 0

22

)21log(= ×+

x

x

limx → 0

)21log( +x

x

33

1

1

3

3

×−

−

x

ex

e

x

x

両辺に底をeとする対数をとると

( )11

h h+limh → 0

= elog log

limh → 0

( )1 hh

+log= 1⇔

②と③から④が導ける！②と③から④が導ける！

Point !

1x

h= とおくと

x → ±∞のとき,h → ±0 となるので

( )11

h h+limh → 0

= e

11

−

t

−t

limt → ∞

=1

−

tt

−t

limt → ∞

=1

−t

t

t

limt → ∞

=1

1 1

−+

t

t

limt → ∞

⋅=1

1 1

−+

t

t −1

11 1

−+

tlimt → ∞

1⋅= e = e

x = − t とおくと,x → −∞のとき,t → ∞ より

xを自然数ではさんで(n ≦x≦n + 1)はさみうちの原理から示す。 ①～④の使い方のイメージ

11 =

+ ex

x

limx → ∞

11 =

+ ex

x

limx → ∞

( )11

=+ ex xlimx → 0

( )11

=+ ex xlimx → 0

limx → 0

11 =−x

ex

limx → 0

11 =−x

ex

xxlim

x → 0=

log ( )1 1+

xxlim

x → 0=

log ( )1 1+

使い方のイメージ使い方のイメージ

)

→ 0 → ∞

と が逆数の関係になっていて

つまり,1∞ ⇒ e,

1

+lim

x → ∞1

+lim

x → ∞= e= e

①～④の使い方のイメージ

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ロピタルの定理の使い方

'

'=

さらに, f ( a )= 0, g ( a )= 0 のとき,

が成り立つ。

が成り立つ。　

において, f ( a )= 0, g( a )= 0 のとき,f ( x )

g( x )

f ( x )

g( x )

f ( x )

g( x )

f ( x )

'f ( x )

g ( x )

'g ( x )

00

0012

0

020

− 1−−−→→ x

x

x

e

x

xe 　　

例１

例２

例３

例えば のとき, なので,

00

　　 なので,2 ×0

10

0

−→x

e20→

x

x

e21

22212

02

0==−=−−

→→

xx

x

x

x

x = 0 を代入すると

ex

ex

xe

00

x=0 を代入すると 00 やっと代入できる！まだ

ロピタルの定理ロピタルの定理

( ) 21

111

1cos11sin

cos1

sincos1cos1cos1cos1 2

2

02

2

022 limlimlimlim

lim lim lim

=+

⋅=+

⋅

=

+=

++

⋅−

=−

→→ xx

xxx

x

x

x

x

x

x

x

xx ( )

cos1cos1

++

xx

21

20cos

2cos

2sincos1

2====

− x

x

x

x

x

微分微分

微分微分

代入

551510

12

1 1010

0limlim

lim lim

=⋅=⋅−=−→ x

ex

e xx

x

0→x 0→x

0→x 0→x

0→x

0→x

0→x

0→x

1

55 を掛ける

微分

代入微分

52

102

102

102

1 01010

==⋅

=⋅

=− eex

e xx

( ) ( )

( ) ( )=

+⋅+⋅

=++

=+−+−

=−−−−

2→2→→ x

x

xx

xx

xx

xxxxx 7

10322423

3243

322432

62823

limlimlim

lim lim

2

2

2

因数分解 約分 代入

710

1426

62823

22

2

2=

−−

=−−−−

→→ x

x

xx

xxxx

微分

微分

代入ロピタルの定理を使うと

微分 微分

1

ax→limax→

lim

lim

21

0

−→

x

x x

elim lim lim lim

0→xlim

211

020

−=

−−→→

x

x

x

x x

exxe

'g ( x ) 'g ( x )

''

'

f ( x ) '

'

'f ( x )

lim lim

ax→lim

''

' ' '

' =

=

が成り立つ。f ( x )

g ( x )

f ( x )

g ( x )ax→lim

ax→lim

lim

lim

を掛ける

10cos =

※一般にロピタルの定理は「高校の範囲外」　ということで、入試では使ってはいけない　と言われている。しかし、穴埋め問題や　検算に使うと非常に便利である。

f ( 0 )= 0

f ( 0 )= 0

g( 0 )= 0

g ( 0 )= 0

' '

つまりつまり

一般的な解法一般的な解法

一般的な解法一般的な解法

一般的な解法一般的な解法

ロピタルの定理を使うと

ロピタルの定理を使うとロピタルの定理を使うと

ロピタルの定理を使うとロピタルの定理を使うと

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関数の極限 例題 一覧表

例題25例題25

例題29例題29

例題28例題28例題26例題26 例題27例題27

例題30例題30

x

ax 1−xlim

0→ limx → 0

22

211

1

−−

xx

x

21

x

x

−lim

x →∞limx → 0

− −

x

ee xx

limx → ∞

3232 22 +−−++ xxxxlimx → 0 1 2− e

xx

例題21例題21

例題19例題19

例題23例題23例題22例題22

例題20例題20

例題24例題24

2

coslim2 −→ x

x

x ππ

limx → 0

)2sin (sinx

x limx → ∞ + xx

x

32

4

2

xxlim

x → 0limx → ∞

3

12

2

x

xx

−

2

2

sinx

xθlimx → ∞

例題17例題17

例題16例題16例題15例題15例題10例題10例題13例題13 例題14例題14

例題18例題18

cosx

xlimx → ∞ 5

3sinx

xlimx → 0

( ){ }xxx log1log −+limx → ∞

1sin xxlim

x→ ∞

( )2

61 x x+limx → 0

−−−

x

xx

9152

2

2

limx → ∞

例題７例題７ 例題８例題８

例題11例題11例題９例題９ 例題10例題10 例題12例題12

tanx

xlimx → 0

1tanx

xlimx → ∞

xe xsin−limx → ∞

21

2

+ x

x

limx → ∞

limx → 0

15 −x

e x

−−−

x

xx

9152

2

2

limx → 3

例題３例題３例題１例題１ 例題２例題２ 例題４例題４

例題５例題５ 例題６例題６

limx → 1 1

323

−−++

x

xxx

43

442 +++

+xxx

xlimx → ∞

( ){ }xx log1log −+limx → ∞

( )

231log +

xxlim

x → 0

sin xxlim

x → 0

cos12

−θ

3θlimθ → 0

※次の関数の極限値を求めよ。

)(

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関数の極限 練習問題①

例題３例題３

例題１例題１ 例題２例題２

例題４例題４

例題５例題５ 例題６例題６

6=

= limx → 1 1

)32)(1( 2

−++−

x

xxx

limx → 1 1

323

−−++

x

xxx

224

11

4==

+=

43

442 +++

+xxx

xlimx → ∞

431

44

2 +++

+=

xx

xx

xlimx → ∞

0

0 0

= 0

1log=

xx 1

log

+= lim

x → ∞

( ){ }xx log1log −+limx → ∞

x1

1log

+= lim

x → ∞

0

23

231 =⋅=

( )

231log +

xxlim

x → 0

23

3⋅=

x( )31log + xlim

x → 0

= limx → 1

322 ++ xx )(

分母・分子を最高次の項 x で 割った

( )1

1log=

+x

xlimx → 0

( )1

1log=

+x

xlimx → 0

33を掛けた

ba

ba logloglog =−

因数分解

約分

代入1

11

==

sin xxlim

x → 0

sin=

xx

xx

limx → 0

分母分子を x で割った

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

1=sin x

xlimx → 0公式として としていいが

ここではきちんと示した。

21

9 =⋅29=

cos12

−θ

3θlimθ → 0

cos12

− 3θ3θ

limθ → 0= ( )

9⋅ 99を掛ける

21

=cos12

−θ

θlimθ → 0

ココでは準公式を用いる方法を使った。ココでは準公式を用いる方法を使った。

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関数の極限 練習問題②例題７例題７ 例題８例題８

例題11例題11

例題９例題９ 例題10例題10

例題12例題12

0cos1

1 ⋅=

tanx

xlimx → 0

cos1sin

⋅=

xxxlim

x → 0

cossin1

⋅=

x

x

xlimx → 0

111

1 =⋅= 10cos =

1=

xt とおくと x → ∞ のとき,t → 0

1tanx

xlimx → ∞

tan tt

limt → 0

与式 =

1

11 1⋅= =

xe xsin−limx → ∞

はさみうちの原理から

xe xsin−limx → ∞

0=

e x−limx → ∞

0= より

−( )e x−limx → ∞

0=

−1≦ sin x ≦1 より

−e−x≦ e−xsin x ≦e−x

t → 0lim

cos

1sin ⋅

tt

t= x

xx cossintan =

10cos =

両辺にe−x を掛けた

グラフから考える！

グラフから考える！

xxx cos

sintan =

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

(減少関数)×(周期関数)

はさみうちを使うため評価した

21

2

+ x

x

limx → ∞

2 ∞= よりxlimx → ∞

02

1=

xlimx → ∞

121

1

+x

limx → ∞

=

11

10 +∴ =与式 =

分母・分子を最高次の項 2 x で 割った

551 == ×

limx → 0

= 55

15

×−x

e x

limx → 0

15 −x

e x

limx → 0

11 =−x

ex

limx → 0

11 =−x

ex

−−−

x

xx

9152

2

2

limx → 3

( ) ( )

( ) ( )+−+−

=xx

xx

33523lim

x → 3

++

=xx

352lim

x → 3

=++⋅

=6

1133532

因数分解

約分

代入

55を掛けた

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関数の極限 練習問題③

例題17例題17

例題16例題16例題15例題15

例題10例題10例題13例題13 例題14例題14

例題18例題18

x →∞より,x＞0と考えてよいので,①全体をxで割って

1cos1−xx

xx

≦≦

−1≦cos x≦1 ……①

cosx

xlimx → ∞

0cos =x

xはさみうちの原理から limx →∞

01

01

==−xx

limx → ∞

limx → ∞

より,

531 ⋅=

53sinx

xlimx → 0

53

33sin

⋅=x

xlimx → 0 3

3を掛けた

elog= 1=

xx

11log

+= lim

x → ∞

( ){ }xxx log1log −+limx → ∞

x

xx

1log

+

= limx → ∞

x

x

11log

+= lim

x → ∞

ba

ba logloglog =−

log logmk mak

a=

11 =

+ ex

x

limx → ∞

11 =

+ ex

x

limx → ∞

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

x→ ∞であることに注意！x→ ∞であることに注意！

0→∞→x tのとき

とおくとxt 1=

1sin xxlim

x→ ∞

1sin

==t

tlimt → 0

与式

(減少関数)×(周期関数)

はさみうちを使うため評価

66を掛けた

( )2

61 x x+limx → 0

6

62

x= ( )61 x+×

limx → 0

12e=

( ){ }12

61

61 x x+= limx → 0

( )11

=+ ex xlimx → 0

( )11

=+ ex xlimx → 0

= 2

−−−

x

xx

9152

2

2

limx → ∞

−

−−=

x

xx

91

1512

2

2

limx → ∞

0 0

0

分母・分子を最高次の項 x2

で割った

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関数の極限 練習問題④

2x − 1 2x − 1

を掛ける

例題21例題21

例題19例題19

例題23例題23

例題22例題22

例題20例題20

例題24例題24

2

coslim2 −→ x

x

x ππ

2=− tx

πとおくと = tx

2+π

lim 22

2sin2sin

)2sin (sin ⋅⋅=x

xx

x

2sin x 0→0→x tのときとおくとt=

2

π0 → →x tのとき

2cos

+

t

tπ

limt → 0

=与式

− sin t=2

cos

+t

π

sin2xsin2x

を掛ける

22を掛ける

limx → 0 2sin

)2sin (sinx

x1

sin==

ttlim

t → 0

limx → 0 2sin

)2sin (sinx

x において

limx → 0

x → 0

2sin2sin

)2sin (sin ⋅=x

xx

x与式

2211 =⋅⋅=よって,　与式

=t

limt → 0

− sin t

1= −

= ∞

limx → ∞

=

+

xx

4

3

2

1

1

limx → ∞ + xx

x

32

4

x＜0 のとき, xx −=

x＞0 のとき, xx =

2

xxlim

x → 0

2

xx2

xx =lim

x → + 0limx → + 0

x= =limx → + 0

0

)(2

xx

x −−lim

x → − 0

2

xx = lim

x → − 0= =lim

x → − 00

2

xxlim

x → 0= 0よって,

2

3

e=

limx → ∞

=3

12

11

x

x

−+

limx → ∞

3

12

2

x

xx

−

limx →∞

=12

312

12

11

xx

x

−+

−−

limx → ∞

=12

312

12

11

x

x

xx

−+

−−

2→x

πだと考えにくいので

置換するのがポイント！

2

2

sinx

xθlimx → ∞

2

2

sinx

xθlimx → ∞

0=

はさみうちの原理から

2 01 =x

limx → ∞

より

0≦ sin 2xθ≦1 より

1≦≦ 2x 2x

sin 2xθ0 辺々を x2 で 割った

(減少関数)×(周期関数)

はさみうちを使うため評価した

分母・分子を最高次の項 4 x で 割った

0 0

分子の次数を下げた

11 =

+ ex

x

limx → ∞

11 =

+ ex

x

limx → ∞

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

1=sin xx

limx → 0

0

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関数の極限 練習問題⑤例題25例題25

例題29例題29

例題28例題28

例題26例題26

例題27例題27

例題30例題30

0a 1)( = =0f

ax)( =xf とおくと

a ax log)(′f =x となり

x

ax 1−xlim

0→

= =a alog alog0

x= =与式 )(′flim0→

( )0

0x

xf ( )0f

−−

よって,極限値は存在しない。

limx → − 0

0

21

12

=

−−

xlimx → − 0 より2

1

∞=−

x

1−

xlimx → + 0

1

21

12

=

−−

xlimx → + 0

より02 =

limx → 0

22

211

1

−−

xx

x

limx → 0

21

12

−−

x

= 分母・分子に 21x で割った

微分係数の定義微分係数の定義

2e

1=

2e= −

21

x

x

−lim

x →∞

11 2=+=

limx → 0

limx → 0

11=

−+

− e

x

e x

limx → 0

limx → 0

11=

−−− −

x

e

x

e xx

limx → 0

11=

+− − −

x

ee xx

limx → 0

− −

x

ee xx

−x

− x

2

221

x

x

−

+=

−

−limx →∞

分子に1を足して引いた

limx → 0

11 =−x

ex

limx → 0

11 =−x

ex

− 2− 2 を掛けた

11 =

+ ex

x

limx → ∞

11 =

+ ex

x

limx → ∞

211

4=

+limx → ∞

=

321

321

4

22+−+++

limx → ∞

=

xxxx

3232

422 +−+++

limx → ∞

=xxxx

x

3232

)32()32(

)

)

(

(

22

22

+−+++

+−−++limx → ∞

=xxxx

xxxx

limx → ∞ 3232

32323232

22

2222

+−+++

+−+++⋅+−−++=xxxx

xxxxxxxx

limx → ∞

3232 22 +−−++ xxxx

0 0 0 0

分母分子を x で割った

有理化

2

11

1

11

1−=

−⋅+

=

limx → 0 1

11

1 −−⋅

+=

x

ee xx

limx → 0 )1)(1( −+=

ee

xxx

limx → 0 1 2− e

xx

分母分子を x で割って変形

因数分解

limx → 0

11 =−x

ex

limx → 0

11 =−x

ex