CAPÍTULO 2 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden En este capitulo desarrollaremos muchos modelos matemáticos, como los del crecimiento demográfico, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente, las reacciones químicas, un líquido que sale por un agujero en un tanque, la velocidad de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente en un circuito enserie, involucran ecuaciones diferenciales de primer orden. 2.1. Trayectorias ortogonales Las trayectorias ortogonales aparecen naturalmente en muchas aplicaciones físicas. Por ejemplo, si u = u(x, y) es la temperatura en un punto (x, y), entonces las curvas definidas por u(x, y)= k (2.1) se llaman curvas isométricas. Las trayectorias ortogonales de esta familia se llaman lineas de flujo de calor, porque en cualquier punto dado la dirección de flujo máximo de calor es perpendicular a la isotérma que pasa por el punto; dibujadas juntas constituyen una carta meteorológica. Si U representa la energia potencial de un objeto que se mueve impelido por una fuerza que depende de (x, y) entonces las curvas (2.1)se lla- man equipotenciales, y las trayectorias ortogonales se llaman lineas de fuerza; presentes en el estudio de la electricidad y el magnetismo. Figura 2.1: En electricidad, las lineas de fuerza son perpendiculares a las curvas equipotenciales. 2.1.1. Curvas ortogonales Recordemos que dos rectas L 1 y L 2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. En general dos curvas ζ 1 y ζ 2 se dice que son curvas ortogonales en un punto, si y sólo si sus rectas tangentes T 1 y T 2 son perpendiculares en el punto de intersección. 21
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CAPÍTULO
2 Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales de primer orden
En este capitulo desarrollaremos muchos modelos matemáticos, como los del crecimiento demográfico, la
desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente, las reacciones químicas, un líquido que sale
por un agujero en un tanque, la velocidad de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente
en un circuito enserie, involucran ecuaciones diferenciales de primer orden.
2.1. Trayectorias ortogonales
Las trayectorias ortogonales aparecen naturalmente en muchas aplicaciones físicas. Por ejemplo, si
u = u(x,y) es la temperatura en un punto (x,y), entonces las curvas definidas por
u(x,y) = k (2.1)
se llaman curvas isométricas. Las trayectorias ortogonales de esta familia se llaman lineas de flujo de calor,
porque en cualquier punto dado la dirección de flujo máximo de calor es perpendicular a la isotérma que
pasa por el punto; dibujadas juntas constituyen una carta meteorológica. Si U representa la energia potencial
de un objeto que se mueve impelido por una fuerza que depende de (x,y) entonces las curvas (2.1)se lla-
man equipotenciales, y las trayectorias ortogonales se llaman lineas de fuerza; presentes en el estudio de la
electricidad y el magnetismo.
Figura 2.1: En electricidad, las lineas de fuerza son perpendiculares a las curvas equipotenciales.
2.1.1. Curvas ortogonales
Recordemos que dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es −1. En
general dos curvas ζ1 y ζ2 se dice que son curvas ortogonales en un punto, si y sólo si sus rectas tangentes T1
y T2 son perpendiculares en el punto de intersección.
21
2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 22
Ejemplo 2.1.1 Demuestre que las curvas definidas por ζ1 : y = lnx y ζ2 : y = − 12 x2 son ortogonales en sus
puntos de intersección.
Solución
De ζ1 : y = lnx, tenemos dydx
= 1x
y de ζ2 : y = − 12 x2 tenemos dy
dx= −x
Luego en el punto de intersección P = (0,7530,−0,2835) , se cumple
que:(
dy
dx
)
ζ1
.
(
dy
dx
)
ζ2
=
(
1x
)
(−x) = −1
como las pendientes de las tangentes son cada una, la recíproca negativa
de la otra, las curvas ζ1 y ζ2.
La figura muestra que las curvas y = lnx y y =− 12 x2, son ortogonales
en su punto de intersección.
y = ln(x)
y = − 12 x2
P
Ejemplo 2.1.2 Probaremos que las curvas ζ1 : y = x y ζ2 : x2 + y2 = 4, son ortogonales en sus puntos de
intersección.
Las curvas tienen como puntos de intersección a P1 = (√
2,√
2) y
P2 = (−√
2,−√
2).
Sea m1 = 1 la pendiente de la curva ζ1 en cualquier punto de su do-
minio, y m2 = − xy
la pendiente de la curva ζ2
En el punto de intersección P1 = (√
2,√
2) tenemos que: m1 = 1 y
m2 = − xy|(√2,
√2) = −1 tales que m1.m2 = −1. Se realiza el mismo
análisis en el punto P2 y se prueba que son curvas ortogonales en cada
uno de sus puntos de intesección.
2−2
y = xx2 + y2 = 4
P1
P2
Definición 16 Cuando todas las curvas de una familia de curvas G(x,y,C1) = 0 cortan ortogonalmente a to-
das las curvas de otra familia H(x,y,C2)= 0, se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales
de la otra.
Ejemplo 2.1.3 Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = C1x2.
Solución
Sea ζ1: y = C1x2,de donde tenemos(
dydx
)
ζ1) = C12x
y sea ζ2:la familia de curvas ortogonale que deseamos encontrar
Luego en un punto de intersección P , se cumple que:(
dy
dx
)
ζ1
.
(
dy
dx
)
ζ2
= −1
reemplazando C1 = y
x2 , tenemos(
y
x2
)
ζ1.(2x).
(
dydx
)
ζ2= −1
(
2yx
)
.(
dydx
)
ζ2= −1, resultando la ecuación diferencial de variables
separadasdy
dx= − x
2y
Resolviendo tenemos la familia de elipses y2 = −x2
2+C2.
Ejemplo 2.1.4 La familia de rectas que pasan por el origen y = C1x y la familia de circunferencias concén-
tricas con centro en el origen x2 + y2 = C22 , son trayectorias ortogonales.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 23
Solución
De ζ1 : y = C1x, tenemos dydx
= C1
y de ζ2 : x2 + y2 = C22 tenemos 2x+2yy′ = 0 , y′ = −x/y
Luego en un punto de intersección P , se cumple que:(
dy
dx
)
ζ1
.
(
dy
dx
)
ζ2
= (C1)
(−x
y
)
=(y
x
)
(−x
y
)
= −1
y = xx2 + y2 = 4
P1
P2
Ejemplo 2.1.5 Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2 + y2 = C1x.
Solución
Denotamos por ζ1 a la familia de curvas de x2 + y2 = C1x y ζ2 a la familia de curvas ortogonales que nos
piden.
Para ζ1 hallemos su derivada 2x+2ydy
dx= C1 de donde
dy
dx=
C1−2x
2y
pero de x2 + y2 = C1x tenemos C1 =x2 + y2
xy esto reemplazamos en
la derivada anterior de ζ1
ζ1 :dy
dx=
x2 + y2
x−2x
2y, ζ1 :
dy
dx=
y2 − x2
2xy
Ahora buscamos la familia ζ2 de curvas ortogonales a ζ1
(
dy
dx
)
ζ1
.
(
dy
dx
)
ζ2
=
(
y2 − x2
2xy
)
.
(
dy
dx
)
ζ2
= −1
de donde:(
dy
dx
)
ζ2
= − 2xy
y2 − x2
ζ1
ζ2
Resolviendo esta ecuación diferencial, tendremos la familia ζ2 de trayectorias ortogonales a ζ1.
ζ2 : (y2 − x2)dy = −2xydx
que es lo mismo
ζ2 : 2xydx+(y2 − x2)dy = 0
Notamos que esta ecuación diferencial es homogenea de grado 2. Sea x = vy, entonces dx = ydv+ vdy
ζ2 : 2(vy)y(ydv+ vdy)+(y2 − (vy)2)dy = 0
ζ2 : 2vy2(ydv+ vdy)+(y2 − v2y2)dy = 0
ζ2 : 2vy3dv+2v2y2dy+ y2dy− v2y2dy = 0
ζ2 : 2vy3dv+ v2y2dy+ y2dy = 0
ζ2 : 2vydv+ v2dy+dy = 0
ζ2 : 2vydv = −(v2 +1)dy
ζ2 :2v
(v2 +1)dv = −1
ydy
integrando
ζ2 :∫
2v
(v2 +1)dv = −
∫
1y
dy
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 24
ζ2 : ln(v2 +1) = − lny+ lnc
de donde
ζ2 : y(v2 +1) = C2
pero v = xy
ζ2 : y((x
y)2 +1) = C2
Así tenemos la familia de curvas ortogonales ζ2 : x2 + y2 = C2y a la familia de curvas ζ1 : x2 + y2 = C1x.
Familia de curvas ortogonales en coordenadas polares
La pendiente de una gráfica r = f (θ ), en coordenadas polares está dada por:
tanψ = rdθ
dr
donde ψ es el ángulo positivo (medido en sentido opuesto al reloj).
Dos curvas polares r = f1(θ ) y r = f2(θ ) son ortogonales en un punto de su intersección si y sólo si
(tan ψ)ζ1.(tanψ)ζ2
= −1
Ejemplo 2.1.6 Determine las trayectorias ortogonales de r = 2C1cos(θ )
Solución
Consideremos como ζ1 a la familia de curvas polares r = 2C1cos(θ ). Calculemos su tanψ
c1 =r
2cosθ
Cálculo de r dθdr
= tanψ1
tenemos quedr
dθ= −2C1senθ reemplazando C1 en la derivada
anterior tenemos drdθ = − r
cosθsen θ
dθ
dr= − cosθ
rsenθ
Así,
tanψ = rdθ
dr= −cosθ
senθ
Cálculo de la familia ortogonal
(tanψ)ζ1.(tanψ)ζ2
= −1
rdθ
dr.r
dθ
dr= −1
sustituyendo −rcosθ
senθ.r
dθ
dr= −1
searando las variables cosθsenθ dθ =
dr
rintegrando ln|senθ |= ln|r|+ ln|C|la familia de curvas ortogonales es: r = C2 sen θ
2
−2
2−2
ζ1
ζ2
Ejemplo 2.1.7 Determine las trayectorias ortogonales de r = c1(1− senθ )
Solución
Consideremos ζ1 a la familia de curvas polares r = c1(1− senθ ). Calculemos su tanψ derivando tenemos:
ζ1 :dr
dθ= −c1 cosθ
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 25
pero de ζ1 : r = c1(1− senθ )
derivando tenemos:
ζ1 :dr
dθ= −c1 cosθ
pero de ζ1 : r = c1(1− senθ )
c1 =r
1− senθ
reemplazando en la derivada anterior drdθ = −c1 cosθ obtenemos:
ζ1 :dr
dθ= − r
1− senθcosθ = − r cosθ
1− senθ
de donde
ζ1 :dθ
dr= −1− senθ
r cosθ
ζ1 : rdθ
dr= −1− senθ
cosθ= tan ψ
Ahora encontraremos la familia de curvas polares ζ2 ortogonales a la familia ζ1
(tanψ)ζ1.(tanψ)ζ2
= −1
(rdθ
dr)ζ1
.(rdθ
dr)ζ2
= −1
(−1− senθ
cosθ).(r
dθ
dr)ζ2
= −1
de donde:
ζ2 :r(1− senθ )
cosθ
dθ
dr= 1
resolvemos esta ecuación
ζ2 : r(1− senθ )dθ = cosθ dr
2
−2
2−2
ζ2
ζ1
separando variables
ζ2 :(1− senθ )
cosθdθ =
1r
dr
integrando
ζ2 :∫
(1− senθ )
cosθdθ =
∫
1r
dr
ζ2 : ln(sec θ + tan θ )+ ln(cosθ ) = lnr + c
ζ2 : ln(1 + senθ ) = lnr + c
de donde
ζ2 : r = c2(1 + senθ )
es la familia de curvas ortogonales a ζ1 : r = c1(1− senθ ).
2.1.2. Problemas propuestos
En los ejercicios del 01−20 obtenga las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dadas.
1. y = c1x2 Rpta: 2y2 + x2 = c2
2. y = ln(ax); a > 0 Rpta: y = − 12 x2 + c2
3. y2 = c1x3 Rpta: 2x2 +3y2 = c2
4. xy = c1 Rpta: x2 − y2 = c2
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 26
5. y = c1e−x Rpta: 12 y2 = x+ c2
6. y = c1x3 Rpta: x2 +3y2 = c2
7. c1x2 + y2 = 1 Rpta: x2 + y2 −2 lny = c2
8. y = x−1 + c1e−x Rpta: x = y−1 + c2e−y
9. x2 + y2 = c1x3 Rpta: x2y+ y3 = c2
10. x =y2
4+
c1
y2 Rpta: y2 = 2x−1 + c2e−2x
11. 3xy2 = 2 +3c1x Rpta: lny = x3 + c2
12. cosy = c1e−x Rpta: seny = c2e−x
13. y =c1x
1 + xRpta: 3x2 +3y2 + x3 = c2
14. 4y+ x2 +1 + c1e2y = 0 Rpta: y =14− 1
6x2 +
c
x4
15. r = 2c1 cosθ Rpta: r = c2senθ
16. r2 = c1sen(2θ ) Rpta: r2 = c2 cos(2θ )
17. r = c1 sec θ Rpta: r = c2 coscθ
18. r = c1eθ Rpta: r = c2e−θ
19. Encuentre una curva que pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas
x+ y = c1ey que pasa por el punto (0,5) Rpta: y = 2− x+3e−x
20. Halle la familia de trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que son tangentes al eje y en
el origen Rpta: x2 + y2 = c1y
2.2. Crecimiento y decaimiento
Existen en el mundo físico, en biología, medicina, demografía, economía, etc. cantidades cuya rapidez de
crecimiento o descomposición varía en forma proporcional a la cantidad presente, es decir,
dx
dt= kx, con x(t0) = x0
o sea que es una ecuación diferencial lineal de primer orden de variables separables en x cuya solución es:
x(t) = c1ekt
como x(t0) = x0 tenemos la solución particular x(t) = x0ek(t−t0).
Si t0 = 0, la solución es x(t) = x0ekt .
Ejemplo 2.2.1 Si en un análisis de una botella de yogurt probiotico, un día después de haber sido embotel-
ladas se encuentran 500 microorganismos (bacterias) y al segundo día se encuentran 8000 microorganismos.
¿Cuál es el número de microorganismos en el momento de embotellar el yogurt ?
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 27
Solución. Dedx
dt= kx =⇒ x = c1ekt ,
siendo c1 es el número de organismos al momento de embotellar el
yogurt, es decir se tiene la condición inicial x(0) = c1.
Si t = 1 =⇒ 500 = c1ek(1) = c1ek , así tenemos que 500 = c1ek
Si t = 2 =⇒ 8000 = c1ek(2) = c1e2k , tenemos 8000 = c1e2k
De la última expresión
8000 = c1e2k = c1ekek
8000 = 500ek
de donde ek = 8000/500 = 16 y reemplazando en 500 = c1ek ⇒ 500 =
c116. Luego c1 = 500/16 = 31,25.Así al inicio habían 31 organismos
en el yogurt.
Ejemplo 2.2.2 La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población presente
en cualquier instante. Su población inicial es 500 y aumenta el 15 % en 10 años ¿Cuál será la población
pasados 30 años?.
Solución
Denotemos por A(t) la población en cualquier instante, con A(0) = 500 y A(10) = 575
t: el tiempo medido en años
k: la constante de crecimiento,
Cálculo de A(t)
dA
dt= kA
separando las variables e integrando ln(A) = kt +C
despejando A(t) = cekt
usamos el dato A(0) = 500
del cual obtenemos que C = 500,
Así A(t) = 500ekt.
Cálculo de k
con A(10) = 575
575 = 500ek(10),
de la cual se obtiene k = 0,0139761
Asi nuestro modelo es: A(t) = 500e(0,0139761)t .
Predicción: para t=30 años
A(t) = 500e(0,0139761)(30) = 760 habitantes
2468
10
−2 2−2
500
10
Ejemplo 2.2.3 Por experiencia se sabe que en una cierta población la rapidez de nacimientos y la rapidez
de muertes es proporcional al número de individuos que instantáneamente estén vivos en un momento dado.
Encuentre el modelo matemático del comportamiento del crecimiento de esta población.
Solución. Sea y el número de individuos de la población.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 28
LlamemosdN
dta la rapidez de nacimientos.
LlamemosdM
dta la rapidez de muertes. Entonces:
dy
dt= (rapidez de nacimientos)-(rapidez de muertes)
dy
dt=
dN
dt− dM
dt
dy
dt= KNy−KMy
dy
y= (KN −KM)dt
lny = (KN −KM)t +C
Luego el modelo matemático del comportamiento del crecimiento de
esta población es
y = Ce(KN−KM )t.
2.2.1. Desintegración radioactiva
Entre 1900 y 1902, Rutherford y Soddy (posteriormente galardonados ambos con el premio Nobel de Quími-
ca), estudiaron la desintegración de la materia por emisión de radiactividad. Aunque existían algunos exper-
imentos previos, los resultados que obtuvieron fueron realmente revolucionarios, pues se rompía definitiva-
mente la idea de indestructibilidad de la materia.
Sea Q la cantidad de material radiactivo que se descompone con el transcurso del tiempo, el problema de
valor inicial que rige dicha descomposición se define como:
dQ
dt= −kQ; con Q(t0) = Q0
Donde k recibe el nombre de constante de desintegración radiactiva (obviamente k es positiva).
y Qo es la cantidad inicial de material radiactivo.
Cuya solución es Q(t) = Q0e−k(t−t0).
Es habitual definir en este tipo de modelos la vida media, o
“semi-vida"(a veces denotada por τ, y otras por Qt/2) de
una sustancia radiactiva como el tiempo necesario para que una
sustancia se desintegre hasta la mitad de su masa inicial Qo.
τ =1k
ln2
0,5Qo
Q0
τ
. OBSERVACIÓN:
La vida media no depende de la cantidad inicial del material. Un gramo de plutonio y una tonelada del
mismo se reducen a su mitad en el mismo tiempo.
Q(t) representa la cantidad de material radiactivo que va quedando al transcurrir el tiempo.
Ejemplo 2.2.4 Un reactor transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el isótopo plutonio
239. Después de 15 años se determina que 0.043 % de la cantidad inicial Ao de plutonio se ha desintegrado.
Determine la semivida del isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 29
Solución
- Sea A(t) : La cantidad de plutonio que queda en un instante cualquiera,
- sea t: el tiempo medido en años.
- sea Ao la cantidad inicial de plutonio.
Consideremos el PVIdA
dt= −kA, sujeto a A(0) = Ao.
resolvemos el PVI separando las variables , integrando y aplicando la condición, obteniendo:
A(t) = Aoe−kt (2.2)
Cálculo de k:
Si después de 15 años se ha desintegrado el 0,043Ao lo que queda es 0,99957Ao
esto es A(15) = 0,99957Ao
con este dato calculamos k: Sustituyendo en la ecuación (2.2)
tenemos 0,99957Ao = Aoe−15k
de donde −k =ln(0,99957)
15 , k = 0,00002867
El modelo matemático es:
A(t) = Aoe−0,00002867t (2.3)
Cálculo de la semivida:
La semivida es el tiempo τ que le tomará al plutonio en desintegrar la mitad de la cantidad inicial.
Esto es A(τ) =Ao
2sustituyendo en la ecuación (2.3)
Ao
2= Aoe−0,00002867τ
12
= e−0,00002867τ
τ =ln(2)
0,00002867= 24,18 años.
Ejemplo 2.2.5 Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 11000 de la cantidad original de C14. De-
terminar la edad del fósil, sabiendo que el tiempo de vida medio del C14 es de 5600 años.