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MINISTRIO DA EDUCAO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
CENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CONTROLE OPERACIONAL
OTIMIZADO DE SISTEMAS DE CANAIS EDINICE BORGES DE SIQUEIRA
DissertaosubmetidaaoProgramadePs-Graduaoem
TecnologiasAmbientaisdaUniversidadedeMatoGrossodo
SulcomorequisitoparcialparaobtenodottulodeMestre em Saneamento
Ambiental e Recursos Hdricos Orientador: Prof. Dr. Robert Schiaveto
de Souza Campo Grande, dezembro de 2.007
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AGRADECIMENTOS
Otrabalhoaquiapresentadofrutodeimportantescolaboraeseincentivosdepessoas
especiais e que merecem o meu agradecimento.Agradeo a Deus por ter
me proporcionado tudo que sou e tenho.
AomeuorientadorDr.RobertSchiavetodeSouza,quemedeuforaemotivaonos
momentos em que pensei em desistir. A acadmica Ana Karla Oliveira
Veiga do curso de graduao de Engenharia Ambiental, que se mostrou
sempre disposio nos momentos de
dvidas.AminhaamadameEunicequedemaneirainquestionvelestevesempreaomeulado,
apoiando e
incentivando.AomeuamadopaiEdigar(inmemorian)quejamaispermitiuqueeudesanimasseem
todas as minhas trajetrias. Aos meus queridos irmos Edini e Junior
que sempre fizeram parte da minha vida. Obrigada por vocs existirem
e ajudarem na concretizao de mais essa etapa. Vocs so especiais.
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SUMRIO LISTA DE
SMBOLOS.....................................................................................................i
LISTA DE FIGURAS
........................................................................................................
iii RESUMO
............................................................................................................................v
ABSTRACT.......................................................................................................................
vi I
INTRODUO.............................................................................................................
1 II REVISO
BIBLIOGRFICA....................................................................................
3 2.1
Introduo.........................................................................................................
3 2.2 Controle timo de Sistemas de
Canais........................................................... 5
2.3 Matrizes Peso de um Regulador Quadrtico
Linear...................................... 11 2.3.1 Tcnicas
Heursticas
.........................................................................
11 2.3.2 Tcnicas de Fixao de uma Estrutura Modal tima
....................................... 12 2.3.3 Tcnicas de Fixao
de uma Estrutura Modal tima Assinttica.................... 26 III
OBJETIVOS
.............................................................................................................
28 IV
METODOLOGIA....................................................................................................
29 4.1 Equaes
Bsicas...........................................................................................
29 4.2 Modelo
Hidrulico.........................................................................................
30 4.3 Teoria de Controle
timo..............................................................................
34 4.4 Anlise de Sistemas Lineares na Representao Espao do
Estado............... 40 4.5 Estabilidade eControlabilidade do
Sistema .................................................. 47 4.5.1
Estabilidade........................................................................................
48 4.5.2 Controlabilidade
................................................................................
49 4.6 Sistemas de Controle
timo...........................................................................
49 4.7 O Regulador Quadrtico
Linear......................................................................
53 4.8 Distrbios Externos e Controle Integral
......................................................... 61 4.9
Mtodos de Seleo das Matrizes Peso
.......................................................... 66 4.10
Escoamento Permanente Gradualmente Variado
......................................... 68 4.11 Canal de Estudo
............................................................................................
71
______________________________________________________________________
4.12 Equipamento e Linguagem
Computacionais............................................... 72 V
RESULTADOS E DISCUSSO
...............................................................................
74 5.1
Introduo......................................................................................................
74 5.2 Modelo do Canal Mtodo das Diferenas Finitas
....................................... 76 5.2.1 Sistema de
Controle Linear
............................................................... 80
5.2.2 Aplicao do Regulador Quadrtico Linear
...................................... 86 5.2.2.1 Sistema
No-Realimentado ................................................ 86
5.2.2.2 Sistema Realimentado
........................................................ 92 V I
CONCLUSES.......................................................................................................
97 V II REFERNCIAS
BIBLIOGRFICAS...............................................................
100 Lista de Smbolos i LISTA DE SMBOLOS A rea da seo transversal do
escoamento ou matriz do sistema realimentado blargura da
comportaBmatriz de controle Cmatriz de demandadC coeficiente de
descarga da comportaDprofundidade hidrulica Gverso discreta da
matriz A gacelerao da gravidade Hverso discreta da matriz B Imatriz
identidadeindice do trecho jndice dos ns em cada trecho kintervalo
de amostragem Lmatriz semi-definida positiva Nnmero de ns de cada
trecho ncoeficiente de rugosidade Psoluo da equao algbrica de
Ricatti ou permetro molhado Qvazo do fluxo ou matriz semi-definida
positiva qvazo lateral por unidade de comprimentoRraio hidrulicofS
inclinao da linha de energia 0S inclinao do fundo do canal T
largura da superfcie do fluxo ttempo ualtura de abertura da
comportaVverso discreta da matriz C wdistrbio de estado xdistncia
ou varivel de estado Lista de Smbolos ii yprofundidade da guaxespao
entre os ns diferenciao Lista de Figuras iii LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Regio hiperblica de estabilidade
..................................................................
14 Figura 2.2 - Regio de interesse para o setor de ngulo menor que
/ 2 ........................... 15 Figura 2.3 - Regio de interesse
para o setor entre / 2e
............................................ 16 Figura 4.1 -
Esquema de um trecho de canal
genrico........................................................ 31
Figura 4.2 - Diagrama esquemtico de um sistema no
realimentado................................ 35 Figura 4.3 -
Diagrama esquemtico de um sistema
realimentado....................................... 36 Figura 4.4 -
Diagrama de bloco para um sistema contnuo realimentado
........................... 56 Figura 4.5 - Diagrama de bloco para
um sistema discreto no realimentado...................... 56 Figura
4.6 - Diagrama de bloco para um sistema discreto realimentado
............................ 59 Figura 4.7 - Diagrama de bloco para
um sistema contnuo realimentado comdistrbios externos e ao
integral...................................................................................
63 Figura 4.8 - Diagrama de bloco para um sistema discreto
realimentado comdistrbios externos e ao
integral...................................................................................
65 Figura 4.9 Disco D no plano complexo esquerdo
............................................................ 67
Figura 4.10 Disco D no disco unitrio com o centro na
origem....................................... 67 Figura 4.11
Elementos do escoamento
variado................................................................
69 Figura 4.12 Layout do canal
.............................................................................................
72 Figura 5.1 Organograma das simulaes
realizadas.........................................................
76 Figura 5.2 Discretizao espacial mostrando a configurao do canal
............................ 77 Figura 5.3 Canal mostrando os ns
por um modelo de 96 estados (17 n por trecho) .... 78 Figura 5.4
Esboo e dimenses do canal
exemplo...........................................................
79 Figura 5.5 Autovalores do sistema no
realimentado.......................................................
87 Figura 5.6 Desvios da varivel de estado X1 para a simulao do
sistema noLista de Figuras iv realimentado devido a uma entrada
degrau na seo 1 do trecho 1 ............................... 88
Figura 5.7 Desvios da varivel de estado X33 para a simulao do
sistema norealimentado devido a uma entrada degrau na seo 33 do
trecho 2 ............................ 88 Figura 5.8 Desvios da
varivel de estado X65 para a simulao do sistema norealimentado
devido a uma entrada degrau na seo 65 do trecho 3
............................ 89 Figura 5.9 Desvios da varivel de
estado X1 para a simulao do sistema no realimentado devido a uma
entrada degrau na seo 1 do trecho 1 ...............................
90 Figura 5.10 Desvios da varivel de estado X33 para a simulao do
sistema norealimentado devido a uma entrada degrau na seo 33 do
trecho 2 ............................ 91 Figura 5.11 Desvios da
varivel de estado X65 para a simulao do sistema norealimentado
devido a uma entrada degrau na seo 65 do trecho 3
............................ 91 Figura 5.12 Desvios da varivel de
estado X1 para a simulao do sistemarealimentado devido a uma
entrada pulso na seo 1 do trecho 1.................................
93 Figura 5.13 Desvios da varivel de estado X33 para a simulao do
sistemarealimentado devido a uma entrada pulso na seo 33 do trecho
2............................... 93 Figura 5.14 Desvios da varivel
de estado X65 para a simulao do sistema realimentado devido a uma
entrada pulso na seo 65 do trecho 3...............................
94 Figura 5.15 Controle nas comportas 1 a
4.......................................................................
95 Resumo v RESUMO SIQUEIRA, E. B. (2007). Controle Operacional
Otimizado de Sistemas de Canais. Campo Grande, 2007. 106 p.
Dissertao (Mestrado) Universidade Federal de Mato Grosso do Sul,
Brasil.
Estetrabalhoapresentaummodelohidrulicodecontroledeotimizaodesistemasde
canais,constitudoemtrstrechos,interligadospor4comportas,emquecadatrecho
segmentadoem17ns.Utiliza-seateoriadoreguladorquadrticolinear(RQL),coma
finalidadedeconduzirosistemacondiodeequilbrio,mesmoquehajavariaese/ou
perturbaesnoescoamentodofluxo,utilizando-sealeidecontroleusadanaregulaodas
comportas. Palavras-chave: controle operacional, sistemas de
canais, otimizao de projetos. Abstract vi ABSTRACT SIQUEIRA, E. B.
(2007). Optimized Operational Control of Systems of Canals. Campo
Grande, 2007. 106 p. Master Dissertation FederalUniversity of Mato
Grosso do Sul, Brazil (in Portuguese).
Thisworkpresentsahydraulicalmodelofcontrolofotimizaoofsystemsofcanals,
constitutedinthreestretches,linkedfor4floodgates,whereeachstretchissegmentedin17
we.Itisusedtheoryoftheregulatorlinearquadratic(RLQ),withthepurposetoleadthe
systemtothebalancecondition,exactlythatithasvariationsand/ordisturbancesinthe
draining of the flow, being used itself it used law of control in
the regulation of the floodgates. Palavras-chave: operational
control, systems of canals, optimized of projects. I - INTRODUO
Comoconstanteaumentodademandadegua,devidoaocrescimentopopulacional,
existeumanecessidadeurgentedeumgerenciamentoeficientedosrecursoshdricos.Este
gerenciamentopodeserencontradonaoperaodecanaisprimrios(principal)ou
secundrios(ramificados)emmuitoscasosprticos,podendoserobtidopelaautomao
completa ou parcial de sistemas de canais.
Amaioriadastcnicasdeoperaodecanais,notemexploradoasmodernas
tecnologiasdisponveisparatornarasoperaesmaisflexveis.Existemtentativasrecentes
para fazer operaes de canais automaticamente controlados, isto ,
fazer com que sistemas de
canaisrespondamconformeademanda.Paraobterosmximosbenefciosusandoqualquer
tcnica de controle, deve ser feita uma anlise adequada e cuidadosa,
alm de uma sntese do sistema baseada em sua dinmica completa.
Ocontroleautomticopodemelhorargrandementeaeficinciadeoperaodo
transporte de gua em canais e aumentar os benefcios associados ao
seu
uso.Comcontroladoresautomticos,umsistemadecanalpodetornar-seoprprio
reguladorcommaisflexibilidade,confianaesegurana.Seestescontroladorestrabalham
corretamente,podemaperfeioarsignificativamenteaeficinciadeoperaoeigualmente
minimizarodesperdciodeguaereduzirocustodeoperaoquandocomparadocoma
operao manual, tendo, com isso, um compromisso entre flexibilidade
e
custo.Atualmente,podemserutilizadosprocedimentosefetivosparaanliseeprojetode
controlesautomticosparasistemasdecanais,osquaistmsidoutilizadoscomxitoem
algunssistemasdemltiplostrechos,masemoutros,notmtrabalhadodevidamentepor
causadofatodeaoperaodocontroladorproduzircondieshidraulicamenteinstveisno
2 canal. Em certos casos, isso poderia resultar em transbordamento
do canal e possibilidade de colapso em suas margens.
Atcnicadeotimizaoaplicadanestapesquisaserbaseadanateoriadecontrole
"moderno".Estatcnicafoiescolhidaporqueosistemaemquestoumsistemade
parmetros distribudos multi-variveis degrandedimenso, ondeasequaes
so utilizadas em sua forma original sem quaisquer transformaes,
exceto discretizao e
linearizao.Nestetrabalhoserpropostoummodelohidrulicoparaadeterminaodeleisde
controle para a regulao de comportas na presena de distrbios ou
perturbaes no sistema utilizando a teoria do regulador quadrtico
linear do controle moderno. Esta uma etapa preliminar para a
implementao em campo do conceito de controle em um canal real.
Espera-se que as tcnicas estudadas nesta pesquisa possam ser
aplicadas em
umaprximafasedapesquisa,contribuindoparaamelhoriadossistemasdeirrigaoe
outros usos existentes.
Inicialmente,nocapituloIIdesenvolveu-seumarevisobibliogrficadosprincipais
trabalhos encontrados na literatura aplicando a teoria de controle
timo em sistemas de canais.
Nestecaptuloencontram-seosconceitosfundamentaistericoseohistricodosmtodos
relacionados com a otimizao dos sistemas de canais.
Naseqncia,ocaptuloIIIforneceosobjetivospropostosnestetrabalhoea
metodologia que ser utilizada no trabalho, contendo a descrio dos
fundamentos tericos, os
modelosutilizados,ashiptesesdetrabalho,osequipamentosutilizados,astcnicasde
otimizao,osprocedimentosderesoluoeaspossibilidadesdeestudoestoapresentados
no captulo IV.Os resultados e discusso so colocados no captulo V,
as concluses no captulo VI e
asrefernciasbibliogrficasquepermitemaidentificaodaspublicaescitadase
consultadas esto no captulo VII. II REVISO BIBLIOGRFICA 2.1
Introduo
Aplicaesdecontroleautomticoemsistemasdecanaissomuitorecentesquando
comparadocomoutroscamposdaengenharia,ondeousopodeserdatadoantesde1778.A
seguir,umabreverevisobibliogrficadescrevendoahistriadocontroleautomtico
apresentada por BALOGUN (1985) reproduzida com a finalidade de
introduzir o problema de controle em sistemas de
canais.JamesWatt,em1778,foiopioneiroausararealimentaoautomtica.Eledecidiu
que o controle de abertura e fechamento de uma vlvula a vapor
realizado por uma pessoa no era a melhor maneira de manter a
velocidade constante de uma mquina a vapor. Ele portanto
inventouocontroladorWatt,queusavaaforacentrfugadarotaodebolascomoum
controladordevelocidade.Quandoavelocidadedamquinaaumentava,ofornecimentode
vapor cessava automaticamente e quando a velocidade da mquina
diminua, o fornecimento de vapor aumentava. O controle em malha
fechada foi tratado teoricamente em 1868 aproximadamente. Um esforo
realizado por Maxwell foi dirigido para a anlise e pesquisa em uma
mquina vapor
epilotagemdenavio.Outrascontribuiesemcontrolerealimentadoforamrealizadaspor
Hurwitzem1875,Routhem1884,eLiapunovem1892,juntamentecomtrabalhos
fundamentaisdematemticoscomoLaplace,FouriereCauchy,nosquaisasbasesdos
mtodos de anlise de engenharia moderna esto fundamentadas.
Oaumentoinicialnousodecontroleautomticoemoutroscampos(porexemplo,
eltrico,mecnico,etc.)foilento.Noentanto,comoadventodaeletrnica,aaplicaoeo
entendimento terico de tcnicas de controle em malha fechada
aumentou rapidamente. Uma 4 significante contribuio foi feita por
Nyquist (1932) que realizou uma anlise de estabilidade
usandoumarespostadefreqnciaemmalhaaberta.Heaviside(1920)deutambmuma
contribuiosignificativa,conduzindoummelhorentendimentodaaplicaodas
transformadasdeLaplaceeFourier.Hazenem1934apresentouaprimeiraaproximao
analticaparaoprojetodesistemasdecontroleemmalhafechada.Devidoanecessidadede
melhoresemaisprecisossistemasdecontrolerealimentadosduranteasegundaguerra
mundial, houve rpidos desenvolvimentos. Destacam-se as tcnicas de
resposta de freqncia
deBodeeNichols,asntesederedesporGuillemin,omtododolugardasrazes
desenvolvidoporEvans,aabordagemestatsticadeWeinerePhillips,eostrabalhosem
sistemasnolineareseutilizaodecomputadoresdigitaisdeTustin,Kochenburger,Lure,
Ragazzini, Zadeh, Shannon e Bellman. As desvantagens inerentes das
tcnicas convencionais para o controle realimentado devido a alta
dependncia dos procedimentos de tentativa e erro
requereuumaabordagemmaismoderna.Nadcadarecentede1940,oconceitodecontrole
timo ou moderno foi introduzido por Weiner. Essa tcnica foi baseada
na otimizao de um
dadocritriodedesempenho.McDonaldaplicouprimeiramenteesseconceitoem1950.Seu
trabalhofoiminimizararespostatransientedeumsistemadecontrolerealimentadopara
entradasdegraus.Em1951,DrapereLiescreveramumartigodiscutindoosconceitos
tericosdocontroletimoparaumamquinadecombustointerna.Seusistematentou
otimizaroconsumodecombustvel.Desdeento,muitostrabalhostmsidoescritossobre
sistemas de controle. Entre os mais importantes so o trabalho de
Bellman, que desenvolveu o
conceitodeprogramaodinmica,edePontryagin,Boltyanski,eGamkreblidge,que
desenvolveram o princpio mximo. A aplicao de controle automtico
realimentado em sistemas de canais uma prtica recente. Com o
aumento da demanda de gua em sistemas de irrigao e outros
propsitos, e em vista da limitao atual dos recursos de gua, a
necessidade de conservao de gua tem se 5
tornadocadavezmaisimportante.Aoperaomanualnopodeserfeitatoeficientemente
ouprecisamentecomoocontroleautomtico.Essasquestesconduziramintroduodo
controle automtico em sistemas de canais (SOUZA, 1998).
Trabalhosrealizadosnareadecontroleautomticoestodispersosnaliteratura,e
algumas descries aplicadas a canais tm sido encontradas. 2.2
Controle timo de Sistemas de Canais BALOGUN (1985) e BALOGUN,
HUBBARD, DE VRIES (1988), aplicaram a teoria
doreguladorquadrticolinearemtempocontnuoparaderivarumesquemaparaoperar
canais. Este esquema de controle foi baseado nos sistemasdinmicos e
pde ser aplicado no
planejamento,organizaoemtodosdedemandaemtemporealdesistemasdecanais,e
ofereceu um importante potencial para desenvolvimentos futuros.
Contudo, ele foi baseado no
controlecentralizado,oqualteveumelevadocustoinicialerequereugrandeesforo
computacional para sua
implementao.Desenvolveramumaaproximaointegradaparaoprojetodesistemasdecontrole
automtico de canais, usando a teoria do regulador quadrtico linear.
As equaes diferenciais
parciaisunidimensionaisdescrevendooescoamentoemcanais(equaesdeSaint-Venant)
foramlinearizadasemtornodascondiesdeequilbrioediscretizadasespacialmentepara
deduzirumgrupodeequaesdiferenciaisordinriasoqualdescreveuosefeitosdas
aberturas de comporta para altura e taxa de escoamento. Tcnicas de
modelo linear quadrtico
foramusadasparaprojetarumregulador.Anecessidadedemedirtodososestadosfoi
evidentedevidoconstruodeumobservadorusandosomentemedidasdealturas
adjacentesparacomportasdecontrole.Resultadosdesimulaoforamapresentadoscom
aperfeioamento da resposta transiente. 6
REDDY(1990)apresentouumatcnicadecontroletimolocal(controledeuma
comporta individual) para operao de canais de irrigao com um
simples trecho. Usando os conceitos da teoria de controle, obteve
uma expresso para abertura de comporta a montante
deumtrechodecanaldeirrigaobaseadonocontroledenvelconstante.Naderivao,o
trecho do canal entre duas comportas foi dividido em N ns e foram
escritas, para cada n, as equaes da continuidade eda quantidade de
movimento pelomtodo das diferenas finitas.
AsriedeTaylorfoiaplicadaparalinearizarasequaesemtornodoestadoestacionrio
inicial ou condies de equilbrio. As equaes linearizadas foram,
ento, arranjadas na forma
deumgrupodeequaeschamadadeequaodeestadoemteoriadecontrole.Ateoriado
regulador quadrtico linear foi aplicada para derivar uma expresso
paraaabertura tima da
comportaparaconduzirosistemadevoltaacondiodeequilbrionapresenade
perturbaes.Arespostadosistemalinearizadofoisimuladanapresenadeperturbaes
constantes conhecidas e considerada aceitvel, para perturbaes
inferiores a 20% da taxa de
escoamentooriginalnotrechodocanal.Oresultadoobtidopelateoriadecontroletimofoi
avaliado usando um modelo de escoamento variado em canais abertos.
SegundoREDDY(1990),aolongodosltimosanos,diversosmodelosmatemticos
paraoperarcanaiscomcontrolelocal,foramdesenvolvidos.OautordeclaraqueWylie,em
1969,apresentouumalgoritmoparaobteraaberturadascomportasdiretamente,enquantoo
programadesenvolvidoporAmorochoeStrelkoff,em1965,simulouostransientespara
abertura da comporta especificada. Zimbelman, em 1981, aperfeioou o
funcionamento deste
programa.Idealmente,umsistemadecanaisdevesersuficientementeflexvelparaprovergua
em tempo real. REDDY (1990), em seu trabalho, descreveu que existem
alguns ensaios neste
sentido(BuyalskieSerfozo,em1979;Zimbelman,em1981eBurtem1983).Todasestas
tcnicassousadasparaajustaronveldeguaajusante(excetoBurt)edetalhadaspor
7 modelagem hidrulica para a escolha dos parmetros de controle.
Burt, em 1983, usou nveis
mltiplosdeguaparaobterosparmetrosdecontrole.Contudo,estescontroladoreslocais
necessitaram simulaes extensivas para obter os parmetros necessrios
ao
controle.REDDY,DIAeOUSSOU(1992)utilizaramomodelodasdiferenas-finitas
linearizadoparaescoamentoemcanais.Oproblemadeoperaodecanaisfoiformulado
comoumproblemadecontroletimoefoiapresentadoumalgoritmoparaaberturade
comportanapresenadeperturbaesexternasarbitrrias(mudanasnasvazesde
demanda). Um observador foi projetado para estimar os valores para
alturas de escoamento e
vazesdeescoamentonosnsintermedirios,baseadonosvaloresdealturasmedidosem
doispontosdotrecho.Algoritmosdecontroleforampropostosparacontroledenvel
constante e controle de volume constante. Durante a avaliao, as
equaes do controlador e
doobservador,derivadasdomodelolinearizado,foramincludascomomdulosnomodelo
no-linear de escoamento em canais. Em um problema com perturbaes
externas de 20% da taxa de escoamento inicial no trecho, o
desempenho do algoritmo de controle e do observador em manter um
nvel constante jusante do trecho, foi considerado aceitvel.
SegundoREDDY(1995),asequaesdeSaint-Venantparaescoamentoemcanais
foramlinearizadasemrelaocondiodeoperaodocanal.Osconceitosdateoriade
otimizaolinearforamaplicadosparaderivarumalgoritmodecontrolerealimentadopara
controledenvelconstantedeumcanaldeirrigao.Odesempenhodeumestimadorde
estadoprojetadousandoomtododolugardasrazeseatcnicadofiltrodeKalmanfoi
comparadacomosresultadosobtidosusandoumcontroladorcomrealimentaocompleta.
Foi considerado um simples trecho para calculara vantagem da tcnica
utilizada para projetar um estimador para canais de irrigao.
Considerando a complexidade computacional
eaacurciadosresultadosobtidos,atcnicadofiltrodeKalmanfoiconsideradaadequada
para canais de irrigao. 8
OtrabalhodeSAWADOGO,MALATERREeKOSUTH(1995),apresentouuma
aplicaodateoriadecontroletimoparaocontroleautomticodeumnicotrechodeum
canaldeirrigao.Omodelousadoparaprojetarocontroladorfoideduzidoatravsdas
equaesdeSaintVenantdiscretizadaspormeiodomodeloimplcitodePreissmane
linearizadas. Um observador de estado e perturbaofoi usado para
reconstruir a varivel de
estadocomumnmeroreduzidodevariveisobservadas.Rejeiesdeperturbaesforam
consideradas.Ocontroladoreoobservadorforamtestadoscommodeloslineareseno-lineares
e provaram ser eficientes.
Umalgoritmodecontroledejusantefoidesenvolvidoparaocontroledesistemas
mltiplos de canal trechos por LIU, FEYEN e BERLAMONT (1995). O
objetivo do controle
foimanterametadenveldeguanaextremidadejusantedecadatrecho,porajustedo
controle de comporta na extremidade montante. Se a medida do nvel
de gua diferisse do seu valor-meta, a comporta era ajustada,
objetivando eliminar o desvio o mais rpido possvel. O mtodo foi
baseado em um procedimento de soluo explcita das equaes de
Saint-Venant.
Ajustesemcadacomportadecontroleforamcalculadosdeacordocomosnveisdegua,
imediatamenteamontante.Amenosqueotrechofosseextremamentelongo,umcontrole
efetivopoderiaserobtidosomentecomduasinformaesdosnsdecadatrecho
(extremidade montante e jusante do trecho). Se as taxas de
escoamento nos ns de informao fossem estimadas usando um mtodo
gradiente, quatro nveis de gua eram medidos em cada trecho. O
problema de regulao de canais de irrigao sujeitos a operao de
distribuio de
demandafoiformuladoporREDDY(1996),comoumproblemadecontroletimo.Para
aplicarateoriadecontroletimolinear,asequaesdeSaint-Venantparaescoamentoem
canaisforamlinearizadasusandoseriedeTaylor,apsaproximarpordiferenasfinitasas
equaesdiferenciaisparciaisnolineares.Umcontroladorproporcionalintegralfoi
9
desenvolvidousandoconceitosdateoriadecontroletimolineareumobservadortimo
(filtrodeKalman),paraestimarosvaloresparaasvariveisquenoerammedidas.Foi
consideradoumexemplodecanaldeirrigaocomcincotrechos.Comatcnicadas
diferenasfinitasutilizada,umtotalde45variveisdeestadosecincovariveisdecontrole
(comporta) resultou no problema. Com duas medidas por trecho, foram
estimados valores de
35variveisdeestadousandoumobservador.Submetendo-seocanalaperturbaes
aleatriasdeaproximadamente40%dataxadeescoamentoinicial,odesempenhodo
algoritmodecontrolerealimentadoglobalsimulado,comfiltroKalmanfoiconsiderado
aceitvelemtermosdeobtenodeumcontroledevolumeconstanteoudeumcontrolede
nvelconstantenostrechosdocanal,napresenadeperturbaesaleatriasnastaxasde
escoamento lateral. CLEMMENS, KACEREK, GRAWITZ e SHUURMANS (1998)
desenvolveram testes
paraavaliaodalgicadeesquemasdecontroleemcanais.Oobjetivodessestestesfoi
preliminarmente,exibirosvriosmtodosdecontrolerealimentado.Aexperinciafoi
desenvolvidacomummodelodesimulaodeescoamentovarivel.Doistestesdecanais
foramapresentados,representandopropriedadeshidrulicasextremas.Osdoiscenrios
abrangeram uma escala de condies de escoamento. Os testes
determinaram a qualidade das solues e os seus respectivos tempos de
obteno. Foram dadastambm recomendaes de como apresentar os
resultados desses testes e o grupo associado de desempenhos
indicados ou
medidos.Durantedcadas,numerosossistemasdecontroleautomticoforampropostospara
operaodecanaisdeirrigao.Tiposdesistemasdecontroleautomticoestobaseados
desdeesquemasempricosdecanalnico,atprocedimentoscommltiplostrechose
mltiplasvariveis,baseadosnaminimizaodecritriosdedesempenhoquadrtico.
SegundoCARMONA,CLEMMENSeSHUURMANS(1998),amaioriadosalgoritmosde 10
controlepodeserexpressaemteoriadecontroletradicional,dasquaispropriedadese
caractersticaspodemserdeterminadas.Foiapresentadapelospesquisadoresadeterminao
da ao de controle ou varivel de controle exigida para obter uma
operao de canal desejada em funo da tcnica de projeto usada. As
leis de controle associadas as diferentes tcnicas de projeto foram
demonstradas numa forma polinomial. As expresses resultantes
esclarecem as
diferenasentreosalgoritmosesuaslimitaesquandoelessousadosemoperaode
canaisdeirrigao.Foi,ainda,apresentadaumadiscussosobreasvantagensdesses
algoritmos para diversas situaes.
AsequaesdeSaint-Venantparaescoamentoemcanais,originadasdasequaes
diferenciaisparciaisno-lineares,foramlinearizadasusandoasriedeTayloreaps
aproximao pelo mtodo das diferenas finitas, por REDDY e JACQUOT
(1999). Usando a
teoriadocontroletimolinear,foidesenvolvidoumcontroladorproporcionalintegralpara
umcanaldeirrigaocomcincotrechos.UmfiltrodeKalmanfoiprojetadoparaestimar
valoresparavariveisdeestadoquenoforammedidas.Adinmicasimuladacom
controladorproporcionalintegralaolongodocanalecomfiltrodeKalmanfoicomparada
com o desempenho dos algoritmos de controle global para do controle
de volume constante e
ocontroledenvelconstantedeumexemplodecanaldeirrigao.Odesempenhodos
algoritmos de controle de volume constante foi considerado to bom
quanto o desempenho do algoritmo de controle
global.Umprojetodecontroladorpredictivoadaptativoparacontroledescentralizadodeum
canaldeirrigaofoipropostoporSAWADOGO,FAYEeCAMINO(2001).Os
pesquisadores consideraram um canal, decomposto em toda a sua
extenso em N subsistemas
(trechos)separadosporumaestruturadecontrole(comporta).Ossubsistemasforam
considerados interdependentes, pois o escoamento atravs
dasestruturasdependia dos nveis
deguaamontanteejusante.Notrabalhoapresentado,ateoriadocontrolepredictivofoi
11
usadaparaformularumasriedecontroladoreslocaisparaoperaoautomticadecada
trecho.Oesquemadecontroleapresentadoconsiderouasinteraesentreossubsistemas.O
objetivodecadacontroladorfoiodemanterconstanteonveldeguajusantedecada
trecho,sujeitoaperturbaesexternas.Paraavaliarodesempenhodocontroladorem
condiesreais,omesmofoitestadoporummodelono-lineardeescoamentoemcanal.O
caso de estudo considerou um canal dividido em oito trechos. 2.3
Matrizes peso de um regulador quadrtico linear
Nafunocustoquadrticaintegral,humarelaoentreaespecificaodo
desempenho desejado do sistema e os parmetros do projeto. Para um
ndice de desempenho
quadrticolinear,estesparmetrossoasmatrizespeso,eelesdevemserescolhidospara
atingir o desempenho desejado do sistema. As tcnicas disponveis
para a escolha das matrizes peso, podem ser divididas em trs grupos
principais (GRIMBLE e JOHNSON 1988): - tcnicas heursticas - tcnicas
de fixao de uma estrutura modal tima - tcnicas de fixao de uma
estrutura modal tima assinttica A essncia das tcnicas destes trs
grupos descrita a seguir. 2.3.1 Tcnicas Heursticas
Asprimeirastcnicasutilizadasparaaseleodasmatrizespesodafunocusto
quadrtica foram de natureza heurstica. Uma dessas tcnicas o mtodo
quadrtico inverso
ou"mtodoquadrticoinversodeBryson"(BRYSON,1975).Estemtodoaindausado
comoumaprimeiraavaliaopormuitosprojetistas.Omtodoquadrticoinversoainda
12 persiste como um mtodo largamente usado para a seleo das
matrizes custo quadrticas. O conceito bsico da tcnica normalizar a
contribuio dos estados (ou sadas) e dos termos de
controle,nafunocustoquadrtica.Estanormalizaogeralmenterealizadausandoos
valores mximos dos estados e controles individuais. Suponha que as
matrizes pesoQ Rn x n eR Rr x r sejam diagonais, ou seja: Q diag q
qn= [ ,..., ]1(2.1) R diag r rr= [ ,..., ]1(2.2) O algoritmo
descrito como: i)Determineosmximosdesviostolerveisx max ni( )
,...,com i = 1 ,e u max rj( ) ,...,comj = 1 . ii) Calcule as
matrizes peso da funo custo quadrtica: qx maxii=12( ) i n = 1,...,
(2.3) ru maxjj=12( ) j r = 1,..., (2.4)
Emborasimples,omtodorequerumprocedimentodetentativaeerroparauma
resposta satisfatria. 2.3.2 Tcnicas de Fixao de uma Estrutura Modal
tima As tcnicas apresentadas nesta seo dependem da capacidade do
projetista especificar o comportamento dinmico desejvel do sistema
realimentado. Para sistemas na representao
espaodeestado,ocomportamentodinmicotransientedependedaestruturamodaldo
sistemarealimentado,ouseja,dosautovalores(ouplos)eseusautovetoresassociados.
Enquanto a especificao dos plos do sistema realimentado aceita na
prtica, a seleo dos 13
seusautovetoresassociadosumconceitonovocompoucascorrelaesdisponveisparaa
orientaoemprojetosdecontrole.Estastcnicastmsuasorigensemdoismtodosde
seleodasmatrizespeso,eestobaseadasnaobtenodeumsistemarealimentadocom
plos exatamente prescritos ou aproximadamente prescritos. Esses
mtodos so chamados de controle modal timo e projeto regulador com
estabilidade prescrita respectivamente.
Oproblemadocontrolemodaltimoutilizaaespecificaodosplosdosistema
realimentado para determinar as matrizes peso Q e R apropriadas, ou
seja, as matrizes Q e R soescolhidas de talforma que oregulador
coloca os plosem posiesdesejadase exatas.
Emalgunscasos,suficienteobterploscomcertograudeestabilidade.Essaclassede
tcnicasconhecidacomoprojetoreguladorcomestabilidadeprescrita.Envolvendoestes
doistiposdetcnicas,hdiversassoluesparaoproblemadefixaodeumaestrutura
modaltima.Umacaractersticacomumdamaioriadestesalgoritmosousodeum
algoritmo de otimizao no linear para obter a eventual soluo. -
Projeto Regulador com Estabilidade Prescrita
Paramuitospropsitosdeprojeto,nonecessrioprescreverposiesexatasde
todososplos.Emvezdisso,freqentementesuficienteespecificarumaregionoplano
complexoesquerdoondeosplosdeveriamseposicionar.Taltcnica,quandobaseadana
metodologiadecontroletimo,conhecidacomoumprojetoreguladorcomestabilidade
prescrita. No contexto de controle timo, essa idia foi
primeiramente descrita por ANDERSON e MOORE (1969), ondeuma simples
transformaode estado foi usadapara localizar todos
osautovaloresesquerdadeumalinhaverticalparalelaaoeixoimaginrionoplano
complexo esquerdo. 14 KAWASAKI e SHIMEMURA (1983) publicaram uma
nota tcnica para posicionar os
autovaloresdentrodeumaregiohiperblicanoplanocomplexoesquerdo.Estemtodo
exploraaspropriedadesdoreguladordemnimaenergiaedaequaomatricialdeRiccati
paraconstruirasmatrizespesoapropriadas.Ateoriadoalgoritmopodeseraplicadapara
outras regies de estabilidade prescrita. Usando o mtodo proposto,
os pesos quadrticos so
obtidosdeumaformaquetodososplosdosistemarealimentadosolocalizadosnuma
regio desejada para a obteno de uma boa resposta e estabilidade. O
sistema construdo por
estemtodopossuiascaractersticasdeumproblemalineartimoedeumproblemade
colocaodeplo,sendo,portanto,tilemprojetosdesistemasderealimentaolinear.O
mtodopermitequetodososplosdosistemarealimentadoestejamlocalizadosnaregio
hachurada da figura (2.1). Figura 2.1 - Regio hiperblica de
estabilidade.
Porexperincia,sabe-sequesetodososplosestolocalizadosnaregiodafigura
(2.1),asrespostasconvergemparaoestadopermanentenumavelocidadeapropriadaesem
oscilaes. Este mtodo coloca os plos do sistema realimentado em um
nmero finito de no mximo n iteraes. Alm disso, os plos que tm sido
j localizados na regio desejada, no so removidos nas iteraes
subsequentes do
algoritmo.JUANGeLEE(1984)propuseramummtodoquepodeserusadoparadirecionaro
procedimento de colocao tima de plo. Uma regio varivel definida
para onde os novos
autovaloresdosistemarealimentadosolocalizados.Segundoospesquisadores,o
procedimento proposto no exige a resoluo da equao de Riccati,
flexvel quanto a regio -m Re(s) Im(s) 15
ondeoplopodeserfixadodemaneiratima,etemdiversaspropriedadesnumricas
vantajosas, especialmente para sistemas mal condicionados ou
sistemas de ordem elevada.
SHIEH,DIBeMcINNIS(1986)apresentaramummtodoparaencontrarum regulador
quadrtico linear que resulte em um sistema timo realimentado com os
autovalores prescritos dentro de uma faixa vertical no plano
esquerdo complexo.
Oproblemadecolocaodetodososplosdeumsistemaporrealimentaode
estado,dentrodeumdiscoespecificado,consideradoporFURUTAeKIM(1987)para
sistemascontnuosediscretos.Umaleidecontroledeterminadausandoumaequaode
Riccatidiscretaquepodesercalculadadiretamente.Estetipodeproblemadenominadode
colocaodeplo-D,esuaspropriedadesecaractersticasemrelaoaoproblemado
controle timo so discutidas.Um regulador quadrtico linear timo foi
desenvolvido por SHIEH, DIB e GANESAN (1988) para colocar de
maneira tima os plos de sistemas multivariveis contnuos em uma
regiodeumsetoraberto(figura2.2),limitadapelaslinhasinclinadas / 2k
( k = 2 3 ou) em relao ao eixo real negativo, e uma linha paralela
ao eixo imaginrio do lado esquerdo do
planocomplexo.Acolocaodeplotimafoirealizadasemutilizarexplicitamenteos
autovaloresdosistemanorealimentado.Osistemarealimentadoresultantecomseus
autovalores na regio desejada timo com relao a um ndice de
desempenho quadrtico.
Figura 2.2 - Regio de interesse para o setor de ngulo menor que
/ 2. Oproblemadecolocaotimadeploestbaseadoprincipalmentenasoluode
umaequaomatriciallineardeLyapunov,enquantoqueomtodoapresentadopor /
2k / 2kh I Re 16
KAWASAKIeSHIMEMURA(1983)baseadonasoluodeumaequaomatricialno
lineardeRiccati.Almdisso,elesintroduziramcertaquantidadedearbitrariedadesna
avaliao das matrizes peso e ganho de realimentao, como por exemplo,
a escolha arbitrria
deumganhoconstante.Estemtodocolocaosautovaloresdosistemanorealimentadona
regiolimitadapelaslinhas / 2k emrelaoaoeixorealnegativoparak = 2 3
ou.
Portantoamaiorregioquepodeserconsideradalimitadapelaslinhasinclinadas
/ ) 4
(45.Paraocasodesetoresquesolimitadosporngulosmaiores,umatcnicade
transfernciadesetorfoiusadaparaacolocaodoplo.Omtodoapresentadocolocade
maneira tima os plos de um sistema realimentado em qualquer setor
geral com ngulo entre / 2 e (figura 2.3). Embora o mtodo
apresentado coloque de forma tima os plos em um
setormaisgeralcomngulosentre / 2 e,quandok = 2 3
ou,asrespostasdosistema convergem com uma velocidade apropriada e
sem oscilaes excessivas. Considere a regio mostrada na figura
(2.3), onde o setor limitado pelas linhas (a) e
(b)inclinadascomngulos( ) > 45emrelaoaoeixorealnegativo.Tambm
considerearegiolimitadapelaslinhas(c)e(d),ealinhaverticalemh1.Osplosdo
sistema realimentado devem ser colocados nesta ltima regio. Figura
2.3 - Regio de interesse para o setor entre / 2e . h Im Re a c d b
h2 h1 450 450 17 O setor limitado pelas linhas (c) e (d) inclinadas
de / 4em relao ao eixo real tem origemnoeixorealpositivoemh h h = 2
1,ondeh h2 1= tan( ) .Portanto,oproblemade
colocaodeplopodeserreduzidoaumcasoparticulardoproblemavistoanteriormente
parak = 2 . O procedimento de projeto apresentado no requer o
conhecimento explcito dos autovalores do sistema no realimentado e
uma expresso foi deduzida para uma constante de ganho que assegura
que no mnimo dois autovalores adicionais se movem para o setor
aberto
emcadaiterao.Onmeromximodeiteraesrequeridoparaalcanaracolocao
desejadadosplosigualaomaiorinteiromenorouiguala( / ) n 2 2 +
.Baseadonas observaes acima, os procedimentos de projeto
apresentados foram considerados eficientes. - Controle Modal timo
Oobjetivodocontrolemodaldeterminarumaleiderealimentaodeestadopara
queosistematenhaumconjuntodeautovalorespr-definidos.Ocontrolemodaltimo,
diferentementedoreguladorcomestabilidadeprescrita,utilizaumaespecificaoexatadas
posies individuais dos plos do sistema realimentado para determinar
as matrizes peso Q e R apropriadas. O ganho de realimentao ento
obtido do problema do regulador quadrtico
linear.Vriosmtodospodemserencontradosnaliteratura:SOLHEIM(1972),GRAUPE
(1972),BAR-NESS(1978),AMIN(1985),SAIF(1989),LUOeLAN(1995),OCHIe
KANAI (1995). Estas tcnicas podem ser divididas em dois grupos: os
mtodos exatos e os mtodos de perturbao. - Mtodos Exatos para
Controle Modal timo 18
Estesmtodosrealizamacolocaodeplosatravsdeumaformulaoexplcita entre
os elementos das matrizes peso e os autovalores desejados para o
sistema realimentado.
Ostrabalhosquesedestacamso:SOLHEIM(1972),AMIN(1985),SAIF(1989)e LUO
e LAN (1995). SOLHEIM (1972) desenvolveu um mtodo quepermite
projetar sistemas decontrole timo realimentado com autovalores
prescritos, e permite tambm ser usado para transferir os
autovaloresdeumsistemajtimoparaposiesdesejveis.Ummtodogeralesimples
desenvolvido para encontrar os elementos da matriz peso de estado
para uma dada matriz de
controle.Omtodopodeseraplicadoemprojetosdesistemascontnuosediscretos.Ele
considerouocasoondeamatrizdosistematemautovaloresdistintosreaiseautovalores
complexos.Omtodobaseadonofatoqueosdiferentesganhosderealimentaoeas
diferentesmatrizespesopodemsersomadosparaforneceroresultadofinal.Aseqnciade
transferncia dos autovalores pode ser arbitrria, mas cada seqncia
resultar em uma matriz Q diferente.
Ummtodoparatransferiraspartesreaisdosplosdeumsistemanorealimentado
paraasposiesdesejadas,preservandoaspartesimaginriasapresentadoporAMIN
(1985).Emcadapassodaaplicaoproposta,foinecessrioresolverumaequaomatricial
linear de Lyapunov de primeira ou de segunda ordem para transferir
um plo real ou um par
deploscomplexosconjugadosrespectivamente.Natransfernciadosdiversosplos,o
procedimentorealizadorecursivamente.Omtodoapresentadoforneceumasoluoque
tima em relao ao ndice de desempenho quadrtico. O trabalho de AMIN
(1985) considera o mesmo problema discutido por SOLHEIM (1972). No
entanto, as partes reais dos plos do
sistemanorealimentadosoconsideradassertransferidasparaasposiesdesejadas,
enquanto as partes imaginrias so preservadas sem alterao,
permitindo assim resolver uma 19
equaolineardeLyapunovaoinvsdeumaequaonolineardeRiccati.Oprocessode
transferncia de plos obtido por uma lei de controle de realimentao
tima com relao a um ndice de desempenho quadrtico.
SAIF(1989)propsumalgoritmorecursivoparaaseleodamatrizpesodeestado
Q,econseqentementedeumcontroladortimoparaumproblemareguladorquadrtico
linear (RQL) que resultaem um conjunto de autovalores desejados no
sistemarealimentado. A lei de controle resultante minimiza o ndice
de desempenho quadrtico, e ao mesmo tempo
resultaemumconjuntodesejadodeautovaloresdosistemarealimentado.Ummtodode
agregaoutilizado,paraqueacadapassodoprocessorecursivodomodeloreduzido,um
plorealouumpardeploscomplexos,sejamdevidamentealocados.Istofeitocom
equaesmatriciaisdeduasouquatrodimensesrespectivamente,independenteda
dimensionalidadedosistema.Oalgoritmo,aindacapazdecolocarumparconjugado
complexoemumanova
posioconjugadacomplexaouemduasposiesdistintasreais.A
tcnicausapropriedadessimplesdosistemahamiltonianoparaatransfernciadeplose
clculodassoluesestveisenoestveisdaequaomatricialdeRiccati.Otrabalho
basicamenteumaextensodotrabalhodeAMIN(1985).Especificamente,oalgoritmo
apresentadosuperiorqueletrabalho.Umavantagemdoesquema,queacadaestgiodo
processorecursivo,trabalha-secommatrizesdebaixaordem(segundaouquartaordem)
independente da dimenso do sistema. Neste trabalho de SAIF (1989),
a seleo tima da matriz peso do sistema realizada de maneira
seqencial, ou seja, em cada estgio, um plo real ou um par conjugado
complexo
transferido,eumamatrizpesoapropriadaealeidecontroletimacorrespondenteso
encontradas. A aplicao computacionalmente simples, especialmente
para grandes sistemas
malcondicionadosondesomenteosautovaloresdominantesouinstveisprecisamser
fixados, pois matrizes de grandes ordens so evitadas em tais casos.
Esta simplicidade resulta 20 dofato que a cadaestgio do processo
seqencial, o sistema agregado para um sistema de primeira ou de
segunda ordem, dependendo se um plo real ou um par conjugado
complexo
alocado.Destaforma,todososclculosrequeremmatrizesdesegundaouquartaordem,
independentementedadimensionalidadedosistemaparafixarumautovaloratravsda
seleodamatrizpesodeestado.Estacaractersticadoalgoritmoreduzoesforo
computacional drasticamente, em particular quando sistemas de
grande ordem so envolvidos.
Estaaplicaoaindacapazdefixartodososautovaloresparaasnovasposies,oufixar
apenasumsubconjuntodeautovaloresemnovasposiesemanterosdemais,umavezque
dopontodevistadateoriadecontrole,noaconselhvelemtaissistemas,alteraro
comportamentodinmicodosistemamaisdoquesejanecessrio.Estaimportante
caracterstica do algoritmo permite que nenhum esforo de controle
seja utilizado para mover
osmodosnodominantesdosistema.Destaforma,todooesforodecontroleserusado
eficientementeparamoverosmodosdominantese,portanto,podem-seesperarganhosde
realimentao menores.
Resumindo,oprojetodocontroladoreseudesempenhososuperioresstentativas
realizadas anteriormente. As vantagens oferecidas pelo uso desta
aplicao so:
-adificuldadeemselecionarumconjuntoapropriadodematrizespeso
completamenteresolvidausandoaliberdadenaseleodestespesosparafixarplosno
sistema realimentado.
-arespostatransientedesejadaparaosistemapodeseratingidafixandoaestrutura
modal do sistema em posies apropriadas atravs da escolha das
matrizes peso.
-oalgoritmocapazdefixarumsubconjuntodeplosdosistema,semalteraros
plos restantes. Isto importante no projeto de um controlador timo,
pois somente os modos dominantes devem ser alterados evitando um
alto ganho de realimentao. 21
-oalgoritmocomputacionalmenteatrativo,poisamaioriadosclculosenvolve
matrizes de baixa ordem independentemente da dimenso do sistema.
UmcritriousandoaanlisedaenergiamodaldominantedesenvolvidoporLIAW
(1991) para decidir quais plos do sistema devem ser alterados.
Somente os plos de energia
dominantedosistemanorealimentado,ouosplosdeumsistemaderealimentaotima
queestolocalizadosmuitoprximosdoeixoimaginrio,sotransferidosparaaregio
desejada.Transferindosomenteosautovaloresdominantes,umcontroladoreficientee
simples do sistema dinmico pode ser obtido.
Ummtodosistemticoparaadeterminaodematrizespesodiagonaisparao
problema regulador quadrtico linear foipropostoe estudado
recentemente porLUO eLAN
(1995).Opropsitodotrabalhofoiapresentarummtodosistemticoparaadeterminao
dasmatrizespesodiagonaisQeRqueforneaosautovaloresespecificadosparaosistema
realimentado.Oclculodemonstrousereficienteemalgunscasos.AmatrizdiagonalR
escolhidapelomtodoquadrticoinverso.ComoamatrizQsupostasersemi-definida
positiva,umelementocomvalornegativocalculadopelomtodoproposto,trocadopor
zero, significando que a varivel de estado correspondente no tem
nenhuma penalizao. Se
vrioselementosdeQresultamnegativos,amatrizpesoRdecontrolenecessitarser
ajustada,alterando,porexemplo,asmagnitudesmximasrequeridasdecadacontrolede
entrada.Estaumadasprincipaisfalhasdomtodoproposto.Comoresultadodasmatrizes
peso Q e R, a equao de Riccati ento usada para encontrar a matriz
P, e conseqentemente o controle de realimentao timo determinado. -
Mtodos de Perturbao para Controle Modal timo O conceito bsico
destes mtodos encontrar uma relao direta entre as perturbaes
dasmatrizespesoeosmovimentoscorrespondentesdasposiesdosplosdosistema
22
realimentadotimo.Essasrelaespodemserexploradasparaumaaproximaoiterativa
paraocontrolemodaltimo.Contribuiesrecentestmtentadoaperfeioarestaaplicao
incorporandoumatcnicadeotimizao(GRAUPE1972),ougeneralizandoateoria(BAR-NESS1978).Poucostrabalhoscomputacionaisestodisponveis,sendoportantodifcil
avaliar o sucesso da
aplicao.GRAUPE(1972)apresentouumtrabalhorelacionadocomoproblemade
determinao das matrizes peso apropriadas para o ndice de desempenho
do regulador linear, tal que a lei de controle tima resultante
satisfizesse os autovalores requeridos. O pesquisador fornece um
algoritmo para obter uma matriz peso diagonal e o ganho timo de
acordo com os autovalores desejados. A soluo emprega clculo
diferencial de matrizes e uma estratgia de minimizao gradiente. Um
algoritmo apresentado para um sistema linear com uma simples
entradaderealimentao.Noentanto,esteprocedimentocomplicadoenopareceser
prtico. Enquanto as equaes diferenciais de GRAUPE (1972) so
deduzidas da equao de Riccati, OCHI e KANAI (1995) deduziram estas
equaes da equao caracterstica da matriz de Hamilton. Como estas
equaes no incluem solues da equao de Riccati, elas so mais
simples.Ascaractersticasdomtodopropostoseresumememdeterminarumamatrizpeso
diagonal que fornece os plos do sistema realimentado em localizaes
exatas desejadas pela resoluo das referidas equaes diferenciais. No
entanto, o mtodo proposto tem as seguintes desvantagens:
-omtodorequerumagrandequantidadedeclculospararesolverumconjuntode
equaes diferenciais. - o procedimento de projeto no garante que
amatriz peso seja no definida negativa, no sendo sempre possvel
obter o regulador timo.
-aregiodeposicionamentodosautovaloreslimitada,pelarestriodaformada
matriz peso ser diagonal. 23 - o comportamento dos autovalores que
no so fixados, no pode ser predito, ou seja,
essesautovalorespodemsedeslocarparaoplanocomplexodireitoseamatrizpeso
indefinida.
-amatrizderivadapodesetornarsingularemalgunscasos.Estasingularidadepode
ser evitada, mas h um custo computacional exigido. Dois mtodos
foram propostos por BAR-NESS (1978) para a seleo das matrizes do
ndicededesempenho,talqueosistemadecontroletimorealimentadotenhaautovalores
prescritos.Ummtododireto,quebaseadonasensibilidadedosplosdosistema
realimentadocomrelaosvariaesnasmatrizespeso,eumindireto,denominadode
mtododamatrizassociada,quebaseadonasensibilidadedosautovaloresdeumamatriz
associadaemrelaosvariaesnasmatrizespeso.Avantagemmaissignificativado
mtododamatrizassociadaanonecessidadederesolveraequaonolinearmatricial
quadrtica de Riccati. Embora seja necessrio em ambos os mtodos
calcular os autovalores,
nomtododireto,osautovaloresdireitoeesquerdodevemsercalculados,enquantoqueno
mtododamatrizassociada,suficientecalcularosautovetoresdireito.Procedimentos
computacionais foram sugeridos para sistemas discretos e contnuos.
- Mtodos Aproximados de Fixao da Estrutura Modal tima O
desenvolvimento da teoria bsica de sistemas lineares afeta
profundamente os tipos
dealgoritmosqueaparecemnaliteratura.Porexemplo,astcnicasdecontrolemodaltimo
pr-datamoconceitodecolocaodaestruturamodaldosistemarealimentado.Porisso,os
algoritmos de fixao da estrutura modal tima esto ainda sendo
desenvolvidos. Esta seo voltada para alguns exemplos deste tipo de
algoritmo. 24
Aliberdadedeprojetoqueocorrenoproblemadefixaodeumaestruturamodal
tima,somadapelanounicidadedoganhoderealimentaoparaseobterumaestrutura
modal desejada. Uma aplicao comum explorar esta liberdade para
adicionar uma restrio
adicionalqueamatrizganhodevesatisfazer,eformularumproblemadeotimizaopara
satisfazer esta condio. Este um esquema bsico das tcnicas numricas
de otimizao no
linear.Essastcnicastmcomoobjetivoalcanarasposiesdosplosdesejados,
minimizarem a sensibilidade dos plos para uma variao de parmetros,
e conciliar o ndice
dedesempenhotimo.Algunspesquisadorestmrealizadoumaaplicaodiretaparaa
soluo deste tipo de problema.Um exemplo recente da aplicao da
otimizao no linear para obter-se um controle
modaltimoodeCHEN,MALIK,QINeXU(1992).Aescolhadamatrizpesodeum
projetodecontrolelineartimoparaobterposiespr-especificadasdosautovalores
dominantesesobrestrieslimitesdoganhoderealimentaoapresentada.Estudos
mostramque,comomtodoproposto,pode-seobteramatrizpesodesejadarapidamentee
convenientementesemopesadofardodeterqueescolherumamatrizpesoportentativae
erro.Osautovaloresdominantesdosistemarealimentadotminflunciadiretano
desempenho dinmico. Portanto, o ponto chave do mtodo proposto
otimizar a matriz peso sob um conjunto de restries para mover os
autovalores dominantes do sistema realimentado
paraposiespr-especificadasnoladoesquerdodoplanocomplexo.Oprocedimentode
otimizaobaseadonaspartesreaisdosautovalores.Noentanto,omodelodeotimizao
podesermodificadoparaconsiderarosefeitosdaspartesimaginrias.Matematicamente,o
objetivo de introduzir um sistema de controle timo, aperfeioar as
posies dos autovalores do sistema realimentado no plano complexo. O
objetivo de otimizar as matrizes peso mover os autovalores
dominantes do sistema realimentado o mximo esquerda no plano
complexo 25
semviolarasrestriesexistentes.Estatcnicadeotimizaopodeconsiderarmuitostiposde
restries.UmoutromtododeotimizaoapresentadoporSUNAReRAO(1993).Eles
usaram um mtodo heurstico que tem como objetivo fixar uma estrutura
modal usando uma
leiderealimentaooudecontroletimo.Oalgoritmoprocuraasmatrizespesodiagonais
apropriadasparaaleitimamaisprxima,quealcanceaestruturamodaldesejada.O
algoritmorequerousodeumatcnicadeotimizaonolinear.Ametodologiafoi
desenvolvidaparaaseleotimadasmatrizespesodeestadoedecontroledomtodo
regulador quadrtico linear (RQL) em projetos de estruturas. Um
problema de controle timo colocado de tal maneira que as variveis
de projeto so os elementos diagonais de Q e R, a funo objetivo o
trace da soluo matricial da equao de Riccati do mtodo RQL, e as
restries so impostas em relao aos autovalores do sistema
realimentado para satisfazer as
condiesmnimasdeestabilidadeparaosistemadecontrole.Oprocedimentoencontraas
matrizes diagonais timas Q e R permitindo ao sistema controlado
alcanar a estabilidade e os limites de desempenho pr-especificados.
Alm disso, as matrizes resultantes Q e R produzem um ndice de
desempenho mnimo possvel, e assim o esforo de controle
substancialmente reduzido. Segundo os pesquisadores, o mtodo
eficiente para sistemas de grande escala. No
trabalhoapresentadoporeles,mostradoqueaminimizaodondicededesempenho
quadrticoparaalgumasescolhasdeQeRproporcionalaotracedamatrizsoluoda
equao algbrica de Riccati. Se o trace de P, tr(P), minimizado, com
as variveis de projeto
sendooselementosdiagonaisdeQeR,essasmatrizesresultantesproduzemumndicede
desempenho mnimo. O objetivo do trabalho foi encontrar o ndice de
desempenho quadrtico
mnimopossveleaestabilidadepr-especificadadosistema.Estaestratgiatimareduzo
custodecontrole,esimultaneamenteencontraoslimitesdedesempenhoeestabilidade
26 impostosnosistema.A
aplicaobastantegeralepodeseraplicadaparaqualquersistema com limites
especificados de desempenho e estabilidade. 2.3.3 Tcnicas de Fixao
de uma Estrutura Modal tima Assinttica
Umadesvantagemdastcnicasdescritasataqui,anoconsideraodasdirees
dosautovetoresdosistemarealimentado.Noentanto,elessounsimportantesfatoresna
respostadosistema.Tcnicasqueconsideramtodaaestruturamodalsoconsideradasnesta
seo.Oconceitodaestruturamodaltimaligadadireodevetoresfoiprimeiramente
exploradoparaaseleodasmatrizespesoQeRemumprojetoreguladortimopor
HARVEY e STEIN (1978).Eles descreveram um procedimento para a seleo
das matrizes
pesoemprojetosdecontroletimoquadrticolinear.Oprocedimentobaseadonas
caractersticasmodaisassintticasdereguladoreslinearesquadrticosmultivariveisquando
ospesosdecontroletendemazero.Sodesenvolvidasaspropriedadesdosautovalorese
autovetoresparaosplosquesemantmassintticamentefinitoseparaaquelesquevo
assintticamenteparaoinfinito.Estaspropriedadessousadasparaforneceruma
caracterizao completa e nica dos pesos quadrticos. A caracterizao
oferece um poderoso e novo procedimento de seleo dos pesos, e
promete reduzir substancialmente as iteraes de
projeto.Frmulassimpleseexplcitasforamdadasparaasmatrizespesodetalformaa
produzirumaestruturamodalcom(n-r)modosdistintosassintticamentefinitos,ermodos
tendendoaoinfinito(nersodimensesinteirasdoestadoecontrolerespectivamente).O
projetistadeveespecificarosparmetrosmodais(autovaloreseautovetores)paratodososn
modos explicitamente. Emuma publicao mais recente, STEIN (1979)
desenvolveu um procedimento mais
geraldeseleodospesosassintticosparacobriroscasosondemenosdoque(r-n)modos
sejamfinitos,eorestantedosmodostendamaoinfinitoousejamdeterminadosporoutros
27
objetivosdeprojetosecundrios.Odesenvolvimentodoprocedimentodeseleodospesos
quadrticosestbaseadoemcertaspropriedadesassintticasdosreguladoresquadrticos
lineares.Oprocedimentoforneceumaestruturamodalassintticadesejadadosistema
realimentadoquandoospesosdecontroletendemazero.Aestruturapodeconsistirde
0 p n r
modosfinitos,comautovaloresarbitrrios(estveis),cujoautovetores
associados esto restritos ao subespao m dimensional. Os modos
restantes tendem ao infinito ou podem ser determinados atravs de
outras consideraes secundrias de projeto. Frmulas
explcitasparaasmatrizespesoforamdeduzidas.Essasfrmulassosimplese
computacionalmentefceisdeimplementar.Elastambmpossibilitamumentendimento
adicionaldasrelaesbsicasentreosparmetrosdepesoeaspropriedadesresultantesdo
sistema realimentado para o problema do regulador quadrtico.
Desprende-sedestarevisobibliogrfica,queoestadodaartecontinuaavanando,
pois vrios modelos matemticos tm sido desenvolvidos para a anlise e
controle de sistemas
decanaisequeumnmerosignificativodeaperfeioamentostemsidofeitonosanos
recentes. O problema de controle timo apenas recentemente, tem
merecido ateno especial, embora existam algoritmos e tcnicas j
largamente usadas.
Estetrabalhofocalizasuaatenonodesenvolvimentodosconceitosetcnicas
computacionais requeridos na operao e implementao de um eficiente
esquema de controle timo de comportas para sistemas de canais. III
- OBJETIVOS
finalidadedestapesquisa,estudararesoluodeproblemastransientesassociados
ao fluxo de canais, empregando a teoria de controle timo de
sistemas dinmicos e avaliar o desempenho do algoritmo proposto. O
problema de operao de sistemas de canais ser formulado como um
problema de
controletimolinearemtempocontnuoediscreto,usandoateoriadoreguladorquadrtico
linear(RQL).Oconjuntoapropriadodeleisdecontroleparaaregulaodecomportas,
quando mudanas ou variaes da demanda ocorrem, ser determinado a
partir de um ndice de desempenho e de restries nas variveis de
controle, com o objetivo de conduzir o sistema condio de equilbrio.
IV - METODOLOGIA
objetivodestecaptuloressaltaraspossibilidadesdeestudotendoemvistaos
conceitosfundamentaistericosapresentadosefazerumadescriodosmodelostericos
utilizados,docritriodeconvergnciaadotado,doequipamentoelinguagemcomputacional
necessrios, do canal de estudo selecionado e das aplicaes
propostas. 4.1. Equaes Bsicas
Ofluxoemcanaisgovernadoporequaesdiferenciaisparciaisno-lineares
(Equaes4.1e4.2).Estasequaesso,geralmente,denominadascomoasequaesde
Saint-Venant (WYLIE e STREETER, 1978). 01= ++TqxQT ty(4.1) e 002=
||
\|+ +|||
\|+fS SxygAxAQtQ(4.2)
ondeyaprofundidadedagua(m);Qavazodofluxo(m/s);qavazolateralpor
unidade de comprimento (m/s); A a rea da seo transversal do
escoamento (m); 0S a inclinao do fundo do canal(m/m); R o raio
hidrulico igual a PA (m); P o permetro molhado (m); n o coeficiente
de rugosidade (6 / 1m ); g a acelerao da gravidade (m/s); x a
distncia (m); t o tempo (s); T a largura da superfcie do fluxo (m);
fS a inclinao da linha de energia, expressa pela equao de Manning e
igual a 3 / 4 2 2R A n QfQ S = . 30 A equao (4.1) expressa a
continuidade ou conservao da massa e a equao (4.2), a quantidade de
movimento ou equao dinmica (ALMEIDA e KOELLE, 1993). 4.2. Modelo
Hidrulico
OmodelohidrulicousadonesteestudobaseadonasequaesdeSaint-Venant
(CHAUDHRY, 1979) para escoamento em canais abertos (Equaes 4.1 e
4.2). Supe-sequeofluxogradualmentevarivelesubcrticoemtodaaextensodo
canal. Nestascondies,as equaes (4.1) e (4.2) so vlidas. O canal a
ser controlado, ser considerado retilneo, com reservatrios de
energia constante nas extremidades. Estruturas de comportas sero
localizadas, exatamente, depois e antes destes reservatrios,
respectivamente. Reguladores transversais sero localizados em vrios
pontos do canal para permitirem
ocontroledefluxoearegulaodonveldegua.Paraocontroledeentradaesadado
sistemaseroadotadascomportasderefluxo.Trstrechosdecanaisseroutilizados.As
formasdeperturbaesconsideradassoasvariaesnademanda(vazeslaterais).Para
satisfazerassuposiesbsicaseaslimitaesdomodelolinearizado,asperturbaesou
distrbios sero considerados inferiores a 20% da taxa de fluxo do
canal.
Asequaesdiferenciaisparciaisno-linearesdosistemaserotransformadasem
equaes diferenciais ordinrias, utilizando a tcnica das diferenas
finitas e linearizadasem
tornodeumestadodeequilbrio.Estacondiodeequilbriosercalculadautilizandoum
algoritmo de anlise de canais em regime permanente. As equaes
lineares resultantes sero, ento, expressas numa forma apropriada
para anlise de sistemas de controle, conhecidas por equaes de
estado do sistema.
ConsidereumcanaldivididointernamenteemNsub-trechosdecomprimentox.
Existiro N ns em cada trecho (Figura 4.1). 31 Figura 4.1 - Esquema
de um trecho de canal genrico. Por convenincia, o espao entre os ns
ser considerado constante (x). Usando uma aproximao de diferena
finita, equaes dacontinuidade e de momentosero escritas para
cadan.Paransintermedirios,oesquemacentradodediferenasfinitasseraplicado,
resultando nas seguintes equaes (REDDY, DIA e OUSSOU, 1992): ( )j
ij ij i j ij ij ixTqQ QxTy,,1 , 1 ,,,2 21 = +& (4.3)
( )+||
\|=+ xQ QAQQj i j ij ij i1 , 1 ,,,& ( )( )+||
\| +xA AAQj i j ij i21 , 1 ,2, ( )( ) ( )f j i j i j ij iS S gA
y yxAg + + 0 , 1 , 1 ,,2(4.4)
Nosnsdemontante(n1)ejusante(nN)serousadosesquemasprogressivose
regressivos, respectivamente. Sero escritas as equaes da
continuidade, a seguir. N a montante (j = 1) ( )1 ,1 ,2 ,1 ,1 ,1iig
iiixTqQ QxTy = & (4.5) 32 onde, gQ a equao de descarga da
comporta a montante (m/s) e, dada por: ( ) ( )2 11 , , 12 12i N i i
i di gy y g u b C Q =(4.6) onde, diC o coeficiente de descarga da
comporta a montante em cada trecho i; ib a largura
dacomportaamontantedecadatrechoi(m);e iu
aalturadeaberturadacomportaa montante no trecho i (m). N a jusante
(j = N) ( )N iN iN gN iN ixTqQ QxTy,,1 , 1,,1 =& (4.7) onde, gQ
a equao de descarga da comporta a jusante (m/s) e, dada por: ( ) (
)2 11 , 1 ,2 11 1 12+ + + + =i N i i i di gy y g u b C Q (4.8)
onde, 1 + diC o coeficiente de descarga da comporta a jusante em
cada trecho i; 1 + ib a largura dacomportaajusantedecadai(m);e 1 +
iu aalturadeaberturadacomportaajusanteno trecho i (m). Nas equaes
(4.6) e (4.8), i o ndice do trecho e j o ndice dos ns em cada
trecho. Nos ns a montante e a jusante de cada trecho, a equao da
quantidade de movimento
substitudapelaequaodeescoamentodacomporta(Equaes4.3a4.8),queso
basicamenteexpressasemtermosdaprofundidadedofluxodestesns.Emcadan
intermedirioenosnsamontanteeajusante,existemduasincgnitas(Qey)e(yeu),
respectivamente. Sendo N, o nmero de ns de cada trecho, o nmero
total de incgnitas por trecho, 2N, e o nmero total de equaes por
trecho, 2 (N - 2) + 2. Portanto, para resolver o conjunto de
equaes, duas condies de contorno devem ser especificadas. 33
AsriedeTaylorusadaparalinearizarasequaes(4.3)a(4.8).Noprocessode
linearizao, sero usadas as seguintes relaes: ( ) ( ) ( ) t Q t Q t
Qe + =(4.9) ( ) ( ) ( ) t y t y t ye + = (4.10) ( ) ( ) ( ) t u t u
t ue + =(4.11) onde, eQ ,ey e eu
,soavazo,aalturadoescoamentoeaaberturadacomporta, respectivamente,
nas condies de equilbrio; e( ) ( ) t y t Q ,e( ) t u , so os
desvios de vazo,
daalturadoescoamentoedaaberturadacomporta,respectivamente,paraascondiesde
equilbrio. Primeiro, a derivada de cada termo nas equaes (4.3) a
(4.8), com relao a todas
asincgnitasemumdadotrecho,obtida.Ento,avariaototalcomrelaoaumadada
varivel, igual a soma das variaes de cada termo nas equaes. Na
derivao, considera-se que as demandas (vazes laterais) esto
localizadas a jusante do trecho. O ltimo n tem uma varivel
adicional (a soma das taxas de descarga atravs das demandas).As
equaes linearizadas podem ser escritas na forma compacta, a seguir:
( ) [ ]( ) q C u B t x Att x + + = (4.12)
onde,x(t)odesvioparaascondiesdeequilbrio,qodesvionademanda(ou
distrbios); A a matriz do sistema realimentado; B a matriz de
controle; e C a matriz de demanda (distrbios). Na equao (4.12), x
definido a seguir: ( )N N Ny Q y Q y y x , , ,..., , ,1 1 2 2 1
=para cada trecho i(4.13) Os elementos das matrizes A, B e C so
calculados baseados nos valores de equilbrio usando a equao de
fluxo varivel no permanente: 34 2201gDAQS Sdxdyf= (4.14) onde, D a
profundidade hidrulica (rea/largura da superfcie)
(m).Comooobjetivodesenvolverumesquemadecontroletimodiscretonotempo,as
equaesderivadasemtempocontnuosoconvertidasemtempodiscreto,usandoum
intervalo de amostragem de 30 segundos. Estas equaes so dadas por:
( ) ( ) ( ) ( ) k q V k u G k x F k x + + = +1(4.15) onde, H, G e V
so as verses discretas das matrizes A, B e C, respectivamente. 4.3.
Teoria de Controle timo
Oprogressonodesenvolvimentodastcnicasdecontroleeoperaodecanaispode
ser classificado em quatro categorias principais: - controle
manual. - controle local no realimentado. - controle remoto
auxiliado por computador. - controle realimentado. O controle
manual a forma mais comum em sistemas de distribuio de gua. No h
ummtodopadrodeoperao.Qualqueralteraodofluxodeveseracompanhadaporum
desvio no grau de abertura das comportas ou outros mecanismos de
controle, com o objetivo de manter constantemente as condies de
fluxo de regime permanente. A condio de fluxo
nocanalestsempreacimaouabaixodacondiodeequilbrio,poisimpossvelpredizer
precisamenteosdesviosquedeveroocorrernosdispositivosdecontrole.Sistemas
controlados manualmente so, portanto, muito trabalhosos e
inflexveis. 35 O controle local no realimentado representa a forma
mais simples e menos complexa
deumcontroleautomtico.Numcontrolenorealimentado,aaodecontrole
independentedasada.Nohcomparaoporrealimentao.Estetipodecontroletema
vantagemdesersimplesemenoscomplicadodeseprojetardoqueocontroledesistemas
realimentados.Afigura(4.2)mostraodiagramaesquemticodeumsistemano
realimentado. Alguns dos dispositivos ou mecanismos utilizados para
esse tipo de controle em
canaiatmsidodesenvolvidospelosprpriosoperadoresparaaperfeioarefacilitarsuas
tarefas.Essesmecanismosincluem,porexemplo,comportasdecontrolequereduzemo
escoamentonumvalorconstantequandoavazoimediatamenteamontantemaiordoque
certo limite especificado. Figura 4.2 - Diagrama esquemtico de um
sistemano realimentado.
Darevisobibliogrficarealizadanocaptulo2,aoapresentarostrabalhos
encontrados na literatura sobre o controle de sistemas hidrulicos,
nota-se claramente que com o advento de computadores digitais, tem
havido um grande progresso na operao de sistemas
dedistribuiodegua,especialmenteusandotcnicasdecontroleremoto.Estaformade
controleessencialmentediferentedaautomaorealimentada.Ocontrolerealimentado
requeroconhecimentodosestadosdosistemaparaformularoscontroles,enquantoqueas
tcnicas de controle remoto no. No controle remoto, a automao
usualmente centralizada
eocontrolerealizadoporoperadorestreinadosparamonitorartodoosistema.Os
operadores realizam as mudanas no sistema para igualar as demandas
por toques de botes. A disponibilidade dos computadores digitais
tem tambm estimulado um grande interesse no
desenvolvimentodemodelosmatemticosparaaanliseeocontroledesistemasde
distribuiodegua.Algunsdessesprogramascomputacionaissodesenvolvidoscomo
Elemento de Controle Entrada Sada 36
propsitodesimularasoperaesdecanalcomoobjetivodeilustraroquedeveocorrerna
prtica, enquanto outros programas so desenvolvidos para controlar o
canal em tempo real a
partirdeprocedimentosdetentativaeerro.Amaioriadascontribuiesparaaoperaoe
controle de canais est na direo de aperfeioar o controle remoto ou
o controle lgico local automtico.
Emcontrasteaocontrolenorealimentadoeoscontrolesdescritosanteriormente,o
controle realimentado utiliza medidas de sadas reais com o objetivo
de comparar estas sadas
comassadasdesejadas.Nocontrolerealimentadoosinalerrorealimentadonoprprio
sistema.Afigura(4.3)mostraodiagramaesquemticodeumsistemadecontrole
realimentado Figura 4.3 - Diagrama esquemtico de um sistema
realimentado. O objetivo da anlise, operao e controle de sistemas
de abastecimento e distribuio
deguaoatendimentodasnecessidadesdeconsumosemriscosecomaminimizaodos
custosoperacionais,taiscomoosdeconsumodeenergia,manutenoeperdasdeguapor
vazamento. De uma forma simplista, pode-se dizer que a operao e o
controle de um sistema
aseqnciademanobrasexercidassobreoselementosativosdestesistema,taiscomo
comportas e outros componentes hidrulicos, de forma a atender aos
objetivos especificados. Esta seqncia de manobras (regras de
operao) definida conhecendo-se os dados relativos ao sistema, o seu
estado atual e os estados provisionais embasados em cadastros de
consumo.
Omododeoperaodosvriosacessriosemecanismosdecontrolequeresultamem
respostas desejadas do sistema, chamado de controle de fluxo timo.
Entrada x(t) Sada y(t) x(t) - y(t) Comparador Mecanismo de Medida
Sistema Fsico 37
Ocontroleautomticorealimentadopodegrandementeaumentaraeficincia
operacional da distribuio de gua em canais, e aumentar os benefcios
associados com o seu
uso.Comoscontroladoresautomticos,ossistemasdecanaisdegua,podemtermaior
flexibilidade,confiabilidadeesegurana,bemcomo,minimizarodesperdciodeguae
reduzir os custos de operao quando comparados com a operao manual.
Nestetrabalho,ocontroleautomticorealimentadoparaumsistemadecanal
investigadousandoateoriadoreguladorquadrticolinear.Atenofoidadaparaocontrole
automtico de comportas reguladoras de vazo. O projeto baseado em um
modelo dinmico
docanal,nosentidoquealeidecontroleresultantedascomportasreguladorasusauma
realimentaoglobalpelaconsideraodosdesviosnasvariveisdeestado.Omodelo
hidrodinmicodesenvolvidodasequaesnolinearesquedescrevemadinmicado
escoamento para fluxo em canais, com o controle introduzido pela
equao de perda de carga
nascomportas.Somenteemcasosmuitosespeciais,assoluesanalticassopossveis.
Geralmente necessrio aproximar a soluo fazendo algumas
simplificaes. O resultado da simplificao a troca das equaes
diferenciais parciais em equaes diferenciais ordinrias
nolineares.Comoobjetivodeexplorarastcnicasdecontrolemodernoemsistemas
dinmicosmultivariveis,umaaproximaodeveserempregadaparaobterumconjuntode
equaesordinriaslinearescujasoluoestprximavizinhanadeumequilbrio.Isto
feito linearizando estas equaes ordinrias no lineares em torno das
condies de equilbrio
definidascomoascondiesdesejadasdeestadopermanentequeosistemaeventualmente
atingir depois das mudanas operacionais. A resposta desejada do
sistema pode ser:
-eliminaroureduzirosefeitostransientescomoasoscilaesdefluxolimitandoas
vazes mximas e mnimas.- manter as condies de equilbrio ou as
condies nominais desejadas na presena de distrbios de fluxo. 38 -
assegurar o estado permanente final do sistema ao completar o
processo de operao. - mudar as condies de fluxo de um estado
permanente para outro estado permanente em um tempo mnimo.
Portanto,umaaplicaoprticadocontroledefluxotimoemregimetransiente,o
controledecomportasreguladoras,comafinalidadedemanter,emumtempomnimo,com
uma quantidade razovel de esforo da comporta, e sem violar os
limites mximos e mnimos de vazo, o estado de equilbrio do sistema
dinmico aps um distrbio qualquer da condio
defluxo.Oidealqueocomportamentodocontroledefluxosejarpido,estvelequeas
magnitudes das perturbaes sejam minimizadas ao se aproximar das
condies de equilbrio.
Destaforma,controladoresautomticosparacomportaspodemserempregadoscom
sucessoemsistemasdecanais.Porexemplo,aaberturadecomportasexistentesnosistema
podeserreguladaadequadamenteparafornecerescoamentosdesejadosemfacedevariao
dasvazesdeconsumooudedemanda,equeosfluxostransientesnoscanaisdesapaream
aps um perodo de tempo determinado. Tal operao denominada de tima.
O controle de
fluxotimoumprojetoousnteseemqueasvariaesdascondiesdecontornoso
determinadasparaseobterumarespostadesejadadosistema.Estaaplicaodiferentedas
anlises usuais no sentido em que as variaes das condies de contorno
so especificadas e a resposta do sistema calculada.
Noproblemaproposto,asalturasevazesnasseessoasvariveisinternasoude
estado, e a variao dasvazes de consumo ou de demandarepresentamos
distrbios. Estes distrbios causam desvios do fluxo planejado e
motivam o emprego do controle realimentado
naoperaoecontroledoscanais.Outrasvariveisdeestadoeoutrosdistrbiospodemser
considerados. A equao de estado discreta no tempo descreve a condio
ou a evoluo das
variveisinternasbsicasdosistema.Seosistemaestemequilbrio,enohdistrbios,o
sistemacontinuaremequilbrio,enohanecessidadedequalqueraodecontrole.
39
Inversamente,napresenadedistrbios,osistemasedesviardacondiodeequilbrio.A
condioatualdosistemapodeestarouacimaouabaixodacondiodeequilbrio,
dependendo do sinal e da magnitude dos distrbios. Se o sistema
desvia significativamente da
condiodeequilbrio,asvariveisdeestadoserodiferentesdosvaloresdesejados.O
principalobjetivosermanteressesdesviososmenorespossveis.Issopodeserfeito,
selecionandoumcontroleapropriadodosinaldeentrada(aberturaoufechamentodas
comportas)paracompensarasmudanasnasvazesdedemandaouconsumo(distrbios).
Geralmenteesseumprocedimentodetentativaeerro.Osconceitosdateoriadecontrole,
mais especificamente, do regulador quadrtico linear, podem ser
aplicados para eliminar esse
procedimentodetentativaeerroeresolverdiretamenteparaencontraraaberturaou
fechamento timo das comportas, que neutralizar os efeitos dos
distrbios. O objetivo bsico forar o sistema dinmico (canal de
distribuio de gua) a satisfazer um dado conjunto de
restriesdedesempenho(mnimoesforodecontroledacomporta,tempomnimode
aproximaodoestadodeequilbrio,limitesdeabertura,etc.).Naoperaodecanaisde
distribuiodegua,omodelodevesatisfazerocritriodeestabilidadeecontrolabilidade.
Distrbiosinduzidosatravsdemudanasoperacionaisnascondiesdefluxodevemser
prximos do equilbrio para validade do modelo linearizado. Embora as
perturbaes devam
estarprximasdoestadodeequilbrio,modelosalternativosdevemserestudados,detal
formaapermitiraaplicaoemsistemasdinmicosquepossuemrelativamentegrandes
excurses,foradointervalolineardasoluolinearizada.Aimplementaodecomportas
paraaregulaodosistemahidrulicorealizadadeformaaminimizarosdesviosdas
condies nominais. Decises em relao abertura de comportas
reguladoras de vazo para variaes arbitrrias nos consumos ou
demandas nos ns so requeridas para manter as vazes
emvaloresdesejados.Esseproblemasimilaraoproblemadecontroledeprocesso,ondeo
estadodosistemamantidoprximoaovalordesejadousandoocontrolerealimentadoem
40 tempo real. Desde que estes procedimentos limitem ou restrinjam
o comportamento transiente de um sistema de distribuio de gua, eles
so considerados
timos.Oobjetivodessetrabalho,apresentarumesquemadecontroletimoparaoperao
desistemasdecanaissobcondiesdedistribuioplanejada.Omodelolinearpermite
controlar a magnitude das ondas transientes a partir de um ndice de
desempenho e a gerao de entradas de referncia. Os modelos usados
para desenvolver o algoritmo de regulao so
umaaproximaodasequaeshidrodinmicas.Opropsitodemonstrarapraticidadedo
regulador quadrtico linear timo e investigar a performance do
modelo. Neste captulo apresentada uma breve introduo dos conceitos
da teoria de controle timo quadrtico linear. Essa a tcnica
utilizada na anlise e sntese do problema regulador
discutidonesteestudo.Comoobjetivodeentendercompletamentealgunsdos
desenvolvimentostericosdiscutidosposteriormente,necessrioiniciarcomalgumas
definies fundamentais dos termos e conceitos em controle timo
linear. 4.4 - Anlise de Sistemas Lineares na Representao Espao de
Estado
Devidodisponibilidadedecomputadoresdigitaisadequados,ousodateoriade
controleconstituiatualmenteumaprticacomum.Pode-sedizerqueosdesenvolvimentos
maisrecentesnateoriadecontrolemodernoestonadireodocontroletimotantode
sistemas determinsticos como
estocsticos.Atendnciaatualemestudosdeengenhariaanalisarsistemascadavezmais
complexos. Sistemas complexos podem ter mltiplas entradas e
mltiplas sadas e podem ser variantes no tempo. Em virtude da
necessidade de satisfazer especificaes mais rigorosas no desempenho
de sistemas de controle, edevido ao aumento da complexidade do
sistema e no
prontoacessoacomputadores,ateoriadecontrolemoderno,queumanovaabordagemna
41 anlise e projeto de sistemas de controle complexos, foi
desenvolvido em torno de 1960. Esta nova abordagem baseada no
conceito de estado.
Umsistemalineardefinidocomoaquelenoqualasequaesdiferenciaisque
descrevem a dinmica do sistema podem ser aproximadas por equaes
diferenciais ordinrias de ordem n. O tempo a varivel independente,
e cada termo dessas equaes contm quando
muito,somenteaprimeirapotnciadavariveldependenteoudesuasderivadas;eno
contmnenhumtermodeprodutoentreessasvariveis.Seessasequaesdiferenciaisso
no lineares, ento o sistema chamado de no linear. Sistemas lineares
por sua vez podem ser divididos em sistemas lineares invariantes no
tempoesistemaslinearesvariantesnotempo.Umsistemainvariantenotemposesuas
caractersticas no variam com o tempo. A maioria dos sistemas fsicos
variante no tempo.
Seasvariaesnascaractersticasdosistemasomuitolentasemcomparaocomas
variaesnaentrada,umsistemalinearvariantenotempoaproximadocomsuficiente
precisoporumsistemalinearinvariantenotempo.Osistemaemestudonestapesquisa
assumido ser invariante no tempo e nossa discusso ser restrita a
esse tipo de sistema.
Ateoriadecontrolemodernosebaseianadescriodasequaesdosistemaem
termosdenequaesdiferenciaisdeprimeiraordem,quepodemsercombinadasemuma
equaodiferencialvetorialmatricialdeprimeiraordem.Ousodanotaovetor-matriz
simplificamuito a representao matemtica do sistema de equaes.
Oaumento no nmero de variveis de estado, de entradas, ou de sadas
no aumenta a complexidade das equaes.
Dopontodevistacomputacional,osmtodosqueempregamarepresentaoespao
deestadosoparticularmenteadequadosparacomputaesdigitaisporcausadaabordagem
no domnio do tempo. Um sistema dinmico que consiste de um nmero
finito de elementos
concentradospodeserdescritoporequaesdiferenciaisordinriasemqueotempoa
varivelindependente.Usando-seanotaomatricial,umaequaodiferencialdeordemn
42
podeserrepresentadaporumaequaomatricialdiferencialdeprimeiraordem.Sen
elementosdovetorformamumconjuntodevariveisdeestado,entoaequaomatricial
diferencialchamadadeumaequaodeestado.Umconjuntodevariveisdeestadono
nico para um dado sistema. Se x um vetor de estado, entoPx x =~
tambm um vetor de
estado,contantoquePsejanosingular.Diferentesvetoresdeestadofornecemamesma
informao sobre o comportamento do sistema. Para a representao de
espao de estados de
umsistemadeequaesdiferenciaisdeordemncomrfunesdeexcitaoepfunesde
sada,considereosistemademltiplasentradasesadas(eqs.4.16e4.17).Nessesistema,
nx x x ,..., ,2 1representamasvariveisdeestado; ru u u ,..., ,2
1representamasvariveisde entrada; e py y y ,..., ,2 1 so as
variveis de sada.
Aspropriedadesesoluesdesistemasdinmicosinvariantesnotemposobem
conhecidas(OGATA1987).Taissistemassodescritosporequaesdiferenciaisordinrias
na seguinte forma: [ ]r nu u u u x x x x fdtdx,..., , , , ,..., ,
,3 2 1 3 2 1 11= [ ]r nu u u u x x x x fdtdx,..., , , , ,..., , ,3
2 1 3 2 1 22= (4.16) . . . [ ]r n nnu u u u x x x x fdtdx,..., , ,
, ,..., , ,3 2 1 3 2 1=[ ]nx x x x f y ,..., , ,3 2 1= (4.17) No
caso especial linear, as equaes (4.16) e (4.17) podem ser escritas
em uma forma expandida como segue: r r n nu b u b x a x a x a x a
x1 1 11 1 3 13 2 12 1 11 1... ... + + + + + + + = & 43 r r n nu
b u b x a x a x a x a x2 1 21 2 3 23 2 22 1 21 2... ... + + + + + +
+ = & . . . r nr n n nn n n n nu b u b x a x a x a x a x + + +
+ + + + = ... ...1 1 3 3 2 2 1 1& (4.18) e n nx c x c x c x c
y1 3 13 2 12 1 11 1... + + + + =. .. n pn p p p px c x c x c x c y
+ + + + = ...3 3 2 2 1 1(4.19) onde dtdxx = & (4.20) e ijc e
,ij ijb a
soconstantes.Asvariveisdeestadoxsoasvariveisquedeterminamo
comportamento futuro de um sistema quando seus valores presentes e
os sinais de entrada so conhecidos. Oconjunto de equaes simultneas
(4.18) e(4.19) pode ser colocado na forma matricial para
simplificao: ((((((((((
((((((((((
+((((((((((
((((((((((
=((((((((((
r nr nrrrn nn nnnnnuuuub ba ba bb bxxxxa aa aa aa axxxxdtd.... .
. . .. .. .. .. . . . .. . . . .. . . . ..... . . . .. .. .. .. . .
. .. . . . .. . . . ....32113 312 211 1132113 312 211 11321(4.21)
44 ((((((((((((((((
((((((((((
=((((((((((
nppn pnnnpxxxxxc cc cc cc cyyyy....... . . . . . . . .. .. .. ..
. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ....32113 312 211
11321(4.22)
Escritasemumaformacompacta,essasequaesmatriciaispodemserexpressas
como: ) ( ) ( ) ( t Bu t Ax t x + = & (4.23) ) ( ) ( t Cx t y =
(4.24)
ondex(t)ovetordeestadonx1;u(t)ovetordecontrolerx1;y(t)ovetorsada(ou
medido)px1;Aamatrizdeestadodosistemanxn;Bamatrizdedistribuiode
controle n x r; e C a matriz de sada p x n. Note que em geral p n
< . A equao (4.23) que descreve o sistema fsico ou a planta
denominada de equao
dinmicadeestado.Elageralmentededuzidamatematicamentedasleisfsicasque
governamosistema.Freqentemente,nasuaformaoriginal,essasequaespodemser
equaesdiferenciaisparciaisnolinearesquesoaproximadasporequaesdiferenciais
ordinriaslineares,comoserfeitosubseqentementenestetrabalhonocaptuloseguinte.A
equao(4.24)representaumconjuntodepequaesalgbricaslinearesdenominadasde
equaesdesada.Asequaes(4.23)e(4.24)sodenominadascomoequaesde
representao do sistema S: ] , , [ C B A S = (4.25) e as matrizes A,
B e C caracterizam completamente a dinmica do sistema. 45
Escrevendo a equao (4.23) como: ) ( ) ( ) ( t Bu t Ax t x = &
(4.26) e pr-multiplicando ambos os lados desta equao poreAt ,
obtemos: [ ] ) ( ) ( )] ( ) ( [ t Bu e t x edtdt Ax t x eAt At At =
= &(4.27) Integrando a equao anterior entre 0 e t, resulta: +
=tA Atd Bu e x t x e0) ( ) 0 ( ) ( (4.28) ou: + =tt A Atd Bu e x e
t x0) () ( ) 0 ( ) ( (4.29) A equao (4.29) pode tambm ser escrita
como: + =td Bu t x t t x0) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( (4.30) onde Ate t =
) ( . A equao (4.29) ou a equao (4.30) a soluo da equao (4.23). A
soluo x(t)
claramenteasomadeumtermoqueconsistenatransiodoestadoinicialeumtermo
proveniente do vetor de entrada.
Aabordagemdeespaodeestadosparaaanlisedesistemasdinmicospodeser
estendidaparaocasodetempodiscreto.Aformadiscretadarepresentaodeespaode
estados bastante anloga forma contnua. A representao geral de espao
de estados para sistemas lineares de tempo discreto : ) ( ) ( ) 1 (
k Hu k Gx k x + = + (4.31) ) ( ) ( k Cx k y = (4.32) 46 onde x(k) o
vetordeestados, u(k) o vetor de entrada, ey(k) o vetor de sada,cada
um especificado em t = k T, k=0,1,2,... ; e T o perodo de
amostragem. Usar-se- a notao x(k) = x(t), em t = k T.
Sedesejarmoscomputaroestadox(t)usandoumcomputadordigitaldevemos
converterumaequaodeestadodetempocontnuoparaumaequaodeestadodetempo
discreto.Supomosqueovetordeentradau(t)variaapenasnosinstantesdeamostragem
igualmente espaados.
Considereaequaodeestadodetempocontnuo(4.23).Aseguir,paratornara
anlisemaisclara,usaremosanotaokTe(k+1)Temvezdekek+1.Arepresentaode
tempo discreto da equao (4.31) tomar a forma: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1
(( kT u T H kT x T G T k x + = + (4.33) Note que as matrizes G e H
dependem do perodo de amostragem T (uma vez que este
perodofixado,GeHsomatrizesconstantes).ParadeterminarG T) ( eH T) (
,usamosa equao (4.28) que a soluo da equao (4.23). Supomos que
todos os componentes de u(t)
soconstantesnointervaloentrequaisquerdoisinstantessucessivosdeamostragem,ou
u(t)=u(kT) para o k-simo perodo de amostragem. Como: + + ++ = +T kA
T k A T k Ad Bu e e x e T k x) 1 (0) 1 ( ) 1 () ( ) 0 ( ) ) 1 ((
(4.34) e + =kTA AkT AkTd Bu e e x e kT x0) ( ) 0 ( ) ( (4.35) ento
multiplicando a equao (4.35) poreAT e subtraindo da equao (4.34),
obtemos: + = +TA Atd kT Bu e kT x e T k x0) ( ) ( ) ) 1 (( (4.36)
onde = T t . Se definirmos: 47 ( )( )=+++ = =nATATI e T G01! 1)
((4.37) ( )( )BATT B dt e T HnTAT=+=|||
\|=00! 1) ((4.38) ento a equao (4.36) se torna: ) ( ) ( ) ( ) (
) ) 1 (( kT u T H kT x T G T k x + = + (4.39)
queaequao(4.33).Portantoasequaes(4.37)e(4.38)fornecemasmatrizesG T)
( e H T) (desejadas. 4.5 Estabilidade e Controlabilidade do Sistema
Osconceitosdeestabilidadeecontrolabilidadesomuitoimportantesnoprojetode
sistemas de controle realimentado quando a tcnica espao de estado
usada. A determinao do grau de estabilidade e controlabilidade de
um sistema necessria e importante para que o sistema projetado seja
realizvel.
Aestabilidadeserefererespostadosistemaemfunodotempo.Noestudode
sistemasdinmicos,doistiposdeestabilidadesoencontrados:aestabilidadeexternaea
estabilidade interna.
Acontrolabilidadeumapropriedadeestruturalinerentedeumsistema.Aresposta
norealimentadaeataxadeamortecimentodealgunssistemasnotmmuitasvezeso
comportamento desejado. possvel, no entanto, aperfeioar a
velocidade de resposta e a taxa de amortecimento para cada modo do
sistema, se e somente se, o sistema for controlvel.O conhecimento
da controlabilidade crucial para a realimentao subseqente das
variveis de 48 estado. Sem controlabilidade, nem todos os estados
permitem ser dirigidos ou conduzidos na
direodesejadapelamanipulaodaentrada.Acontrolabilidadeimplicaqueosplos
(autovalores) de um sistema podem ser colocados arbitrariamente no
plano complexo s ou no
planoz.Umsistemanocontrolvelresultaquandohestadosquesocompletamente
independentes da entrada. A soluo para um problema de controle timo
pode no existir se o sistema considerado no for controlvel. Os
conceitos de estabilidade e controlabilidade foram introduzidos por
Kalman e eles
desempenhamumimportantepapelnocontroletimodesistemasmultivariveis.As
condies de estabilidade e controlabilidade governam a existncia de
uma soluo completa para o problema de controle timo. 4.5.1 -
Estabilidade Um sistema contnuo no tempo dito ser externamente
estvel se uma entrada finita u t ( )
produzumasadafinitay(t).Paraumsistemaserinternamenteestvel,todosos
autovaloresidamatrizdosistemaAdevemestarlocalizadosnoplanocomplexo
esquerdo, ou seja, devem satisfazer a seguinte condio: 0 ) ( <
Ai (4.40) SeiA ( ) > 0, oscilaes podem ocorrer no controlador de
sada. Um sistema discreto no tempo dito ser externamente estvel se
uma entrada finita u k ( )
produzumasadafinitay(k).Paraumsistemaserinternamenteestvel,todosos
autovaloresi da matriz do sistema G deve satisfazer a seguinte
condio: 1 ) ( < Gi (4.41) 49 4.5.2 - Controlabilidade
Umsistemacontnuonotempoditoserdeestadocompletamentecontrolvelno
tempot0,sepossvel,pormeiodeumvetordecontroledeentradanofinito) (0t
u , transferir o sistema de qualquer estado inicialx t ( )0 para
qualquer outro estadox ts( ) em um tempo finito, 0t ts . Um teste
usado na prtica na determinao da controlabilidade requer que a
matriz n x (n x r) de controlabilidadeGc: [ ] B A B A AB B Gnc...2=
(4.42) tenha rank n.
Umsistemadiscretonotempondimensionalcontrolvelseorankdamatrizde
controlabilidadeGc igual dimenso do sistema, ou seja,rank G nc[ ] =
, onde: ((
=H G H G GH H Gnc1 2... (4.43) 4.6 - Sistemas de Controle timo
Ateoriadecontrolemodernodesempenhaumimportantepapelemprojetosde
sistemasdecontroletimoparaprocessoscomplexoseprocessosmultivariveis.Problemas
de controle timo tm recebido grande ateno dos engenheiros de
controle recentemente. Um sistema de controle timo um sistema que
otimiza (maximiza ou minimiza) o valor de uma funo escolhida,
definida como ndice de desempenho.
Aoseprojetarumsistemadecontroletimoouumsistemareguladortimo,
necessrioencontrarumaregraparadeterminaradecisodecontrolesujeitaacertas
restries,talcomominimizaralgumdesviodeumcomportamentoideal.Geralmenteisto
50 feito atravs da escolha de um ndice de desempenho, que uma funo
que indica quo bem o desempenho atual do sistema se aproxima do
desempenho desejado. Na maioria dos casos, o comportamento de um
sistema otimizado escolhendo-se o vetor de controle u(t) de forma
queondicededesempenhosejaminimizadooumaximizado.Nestetrabalho,ovetorde
controlerepresentadopelasregrasdeoperao(abertura)dascomportasreguladorasde
vazopresentesnumsistemadecanal.Aseleodeumndicededesempenhoapropriado
importante porque ele determina a natureza do sistema de controle
timo resultante. O sistema
decontroletimoserlinear,nolinear,estacionrioouvariantenotempodependendoda
formadondicededesempenho.Noentanto,osrequisitosdeprojetonoincluemsomente
especificaesdedesempenho,mastambmrestriesnaformadecontrole,paraassegurar
ser fisicamente realizvel.
Oprocessodeotimizaonosomenteforneceleisdecontroletimo,mastambm
predizquandoleisdecontrolenotimassoaplicadas.Escolherondicededesempenho
maisapropriadoparaumdadoproblemamuitodifcil,especialmenteemsistemas
complexos.Geralmenteaescolhadeumndicededesempenhoenvolveumcompromisso
entre uma avaliao do desempenho do sistema e a tratabilidade
matemtica do problema. As
quantidadesqueaparecememproblemasdeotimizaodesistemasdecontrolesoas
variveis de estado, as variveis de controle e os parmetros do
sistema.
Oproblemadeotimizaodeumsistemadecontrolepodeserformuladoseas
seguintes informaes so dadas: - sistema de equaes - vetores de
controle permitidos - restries do problema - ndice de desempenho -
parmetros do sistema 51
Asoluodeumproblemadecontroletimodeterminarovetordecontroletimo u(t)
dentro da classe de vetores permitidos. Esse vetor u(t) depende da:
- natureza do ndice de desempenho - natureza das restries - estado
inicial ou sada inicial - estado desejado ou sada desejada
Excetoparacasosespeciais,oproblemadecontroletimopodesertocomplicado
paraseobterumasoluoanalticaqueumasoluocomputacionaldeveserobtida.Em
algunscasos,umacombinaoparticulardosistema,doestadodesejado,dondicede
desempenhoedasrestries,podelevaraumcontroletimoimpossvel.Questesquese
referemexistnciadeumvetordecontroletimosoimportantes,poisservempara
informar ao projetista se o controle timo possvel ou no para um
dado sistema e conjunto de restries. de fundamental importncia que
um sistema dinmico representado na forma de estado possa ser
controlado a partir de um estado inicial para um dado estado final,
e que
sejapossveldeterminarasvariveisdeestadoapartirdasmedidasdeentradaesada,ou
seja, que o sistema seja controlvel e observvel.
Osistemacujoprojetodecontroleminimizaoumaximizaondicededesempenho
selecionado,pordefiniotimo.Noentanto,importanteressaltarqueumsistemade
controle que timo sob um ndice de desempenho, em geral, no timo sob
outro ndice de
desempenho.ndicesdedesempenhoquadrticostmsidomuitousadosfreqentementeem
sistemas de controle prticos, e no h dvida que a funo custo
quadrtica uma das mais
importantesferramentasmatemticasdocontroleautomtico.,portanto,bastantenatural
queconsidervelatenotemsidodadaaestasfunescustonasntesedeprocessos,
empregando a notao espao de estados. 52 Em muitos sistemas de
controle, na prtica, quer-se minimizar alguma funo do sinal
erro.Porexemplo,dadoosistemacontnuonotempo,podemosdesejarminimizaruma
funo erro generalizada, tal como: =ftftfdt t x t x Q t x t x J0)] (
) ( [ )] ( ) ( [ (4.44) ondex tf( )representa o estado desejado,
x(t) o estado atual ( portanto,x t x tf( ) ( ) o vetor
deerro),Qumamatrizpositivadefinida(oupositivasemidefinida),eointervalodetempo
0 t
tfoufinitoouinfinito.Nesteestudo,asvariveisdeestadodeumsistemade
distribuio so as vazes nas comportas e as alturas nos ns.
Almdeconsiderarerroscomoumamedidadodesempenhodosistema,entretanto,
devemos normalmente dar ateno energia requerida para a ao de
controle. Como o vetor u(t)representaasleisdef