ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin) ECUATII NELINIARE PE R 1. CONSIDERATII GENERALE Se vor studia urmatoarele probleme: 1. Radacinile unei ecuatii neliniare de forma f(x)=0 2. Radacinile unei ecuatii neliniare de forma x=g(x) Notatie: O radacina se va nota cu α, 0 ) ( = α f 2. METODA DE REZOLVARE Radacinile se vor gasi printr-un proces iterativ: se construieste un sir x 0 , x 1 , ..., x n convergent spre radacina cautata α ( α → n x ). Termenii acetui sir reprezinta aproximatii ale radacinii si se vor numi iterate. Metoda cere una sau mai multe aproximatii initiale ale radacinii, aceste aproximatii se vor presupune cunoscute. Aceste aproximatii se gasesc prin metode algebrice. De exemplu stabilind intervale care contin radacinile, prin inspectarea graficului functiei f. 2.1 Analiza metodei Analiza metodei trebuie sa dea raspuns la urmatoarele probleme: 1. Daca procesul iterativ este convergent. 2. Daca iteratia converge, care este rapiditatea convergentei. 3. Care este eroarea radacinii calculate. 4. Aprecierea eficientei metodei. Detalieri: Problemele (1) si (2): In majoritatea metodelor convergenta este asigurata daca aproximatia initiala este suficient de apropiata de radacina, in putine cazuri iteratia converge independent de aproximatia initiala.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
ECUATII NELINIARE PE R
1. CONSIDERATII GENERALE
Se vor studia urmatoarele probleme:
1. Radacinile unei ecuatii neliniare de forma f(x)=02. Radacinile unei ecuatii neliniare de forma x=g(x)
Notatie: O radacina se va nota cu α, 0)( ====αf
2. METODA DE REZOLVARE
Radacinile se vor gasi printr-un proces iterativ: se construieste un sir x0, x1, ..., xn
convergent spre radacina cautata α ( α→→→→nx ).
Termenii acetui sir reprezinta aproximatii ale radacinii si se vor numi iterate. Metoda cere
una sau mai multe aproximatii initiale ale radacinii, aceste aproximatii se vor presupune
cunoscute. Aceste aproximatii se gasesc prin metode algebrice. De exemplu stabilind
intervale care contin radacinile, prin inspectarea graficului functiei f.
2.1 Analiza metodei
Analiza metodei trebuie sa dea raspuns la urmatoarele probleme:
1. Daca procesul iterativ este convergent.
2. Daca iteratia converge, care este rapiditatea convergentei.
3. Care este eroarea radacinii calculate.
4. Aprecierea eficientei metodei.
Detalieri:
Problemele (1) si (2): In majoritatea metodelor convergenta este asigurata daca
aproximatia initiala este suficient de apropiata de radacina, in putine cazuri iteratia
converge independent de aproximatia initiala.
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
(3) Presupunind ca iteratia converge, eroarea radacinii depinde numai de precizia utilizata
in calcule (numarul de cifre din reprezentaeea numerelor). Altfel spus precizia radacinii
este determinata de eroarea de rotunjire dintr-un singur pas al iteratiei.
(4) Eficienta se masoara in numarul de calcule (pasi) necesare pentru a obtine radacina cu
o precizie data si anume:
• Pentru metodele care converg independent de aproximatia initiala, eficienta
este data de rapiditatea convergentei.
• Pentru metodele care depind de aproximatia initiala, daca nu se cunoaste o
aproximatie buna a radacinii se aplica un procedeu care converge independent
de aproximatia initiala determinind astfel o aproximatie initiala, dupa care se
trece la o metoda rapid convergenta.
2.2 Ordin de convergenta
Definitia 1:
Fie sirul de iterate (((( )))) 0≥≥≥≥nnx si presupunem ca sirul este convergent spre numarul α,
α→→→→nx . Daca exsista un numar real p, 1, ≥≥≥≥∈∈∈∈∃∃∃∃ pp R si exista un numar c pozitiv
pentru orice numar natural n ( 0,0 ≥≥≥≥∀∀∀∀>>>>∃∃∃∃ nc ) astfel incit:p
nn xcx −−−−≤≤≤≤−−−− ++++ αα 1 (1)
atunci se zice ca sirul (((( )))) 0≥≥≥≥nnx converge catre α, cu ordinul p. Constanta c se numeste
rata convergentei.
In general ordinul p si rata c sunt indicatori de viteza a convergentei sirului (((( )))) 0≥≥≥≥nnx spre
radacina α.
Observatie: Pentru p=1,2,3 convergenta se zice liniara, patratica si cubica respectiv.
Teorema: Cazul p=1. Convergenta liniara
Daca 10, <<<<<<<<∃∃∃∃ cc astfel incit 0≥≥≥≥∀∀∀∀ n
nn xcx −−−−≤≤≤≤−−−− ++++ αα 1 (2)
atunci sirul (((( )))) 0≥≥≥≥nnx converge liniar catre numarul α.
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
Demonstratie:
In baza relatiei (2) avem succesiv pentru n=0,1,2,...
nn
nn
xcx
xcx
xcx
xcx
−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−≤≤≤≤−−−−
++++
−−−−
αα
αα
αα
αα
1
1
12
01
... (3)
Inmultind membru cu membru in relatiile (3) obtinem:
01 xcx nn −−−−≤≤≤≤−−−− ++++ αα (4)
Cum 10 <<<<<<<< c rezulta ca 0→→→→nc si prin urmare 01 →→→→−−−− ++++nxα sau α→→→→nx .
Observatii:
• Pentru convergenta conditia suficienta (2) trebuie sa aiba loc cu c<1 strict.
Aceasta nu este necesar pentru p>1.
• Daca c<1 sirul converge independent de 0x−−−−α , deci independent de x0. Aceasta
nu are loc pentru p>1.
3. RADACINILE UNEI ECUATII NELINIARE DE FORMA f(x)=0
Pentru metodele numerice ce urmeaza vom presupune ca α este radacina simpla. Cazul
radacinilor multiple se vor trata ulterior.
3.1 Metoda bisectiei
Ipoteze
Presupune ca functia f este continua pe intervalul compact [[[[ ]]]]ba, si luind valori de semne
opuse la capetele intervalului:
(((( )))) (((( )))) 0<<<<⋅⋅⋅⋅ bfaf (5)
In aceste conditii rezulta ca ecuatia f(x)=0 are cel putin o radacina in (a,b). Vom
presupune in continuare ca exista o singura radacina α in interiorul acestui interval
(((( ))))ba,∈∈∈∈α .
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
Metoda
Metoda consta in injumatatirea succesiva a intervalului si considerarea la fiecare pas a
sub-intervalului in care conditia (5) este indeplinita.
Sub-intervalul, in
obtinind intervale
opreste cind lung
si un n umar limit
Algoritmul metod
Fig.1. Metoda bisectiei
care se afla radacina, este luat ca interval "[a,b]" si procesul continua
de lungime din ce in ce mai mica, care contin radacina. Procesul se
imea intervalului este mai mica decit o toleranta data. Uzual se prescrie
a de iteratii.
ei
f-numele functieia,b capetele intervaluluiεεεε-toleranta de calcullnit-numarul limita e iteratii(itrare)/numarul efectiv deiteratii (iesire).rad-radacina calculatakod-cod incheiere a iteratiei
1. Initializeaza contorul de iteratii: iter=02. Incrementeaza contorul: iter=iter+13. Defineste c=(a+b)/24. Testeaza numarul de iteratii: daca iter>lnit, atunci
pune rad=c, lnit=iter, kod=1 si IESIRE.5. Daca b-c≤ε atunci: Pune rad=c, lnit=iter, IESIRE.
ALTFELDaca sign(f(b)f(c)(<0 atunci: pune a=cALTFELb=c
6. GOTO 2
(b-a)/2
y=f(x)
b a
f(b)
f(a)
c
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
Convergenta
Metoda construieste sirul de iterate (puncte) c1,c2,..., cn,... (Fig.2).
Observind ca la fi
rezulta:
Rezulta ca −−−− ncα
Observatie: In co
Din relatia (7) s
absoluta mai mica
Avantaj: Eroarea
Dezavantaj: Conv
Fig.2. Studiul convergentei in metoda bisectiei.
ecare pas (iteratie) avem:
2jj
j
abc
−−−−≤≤≤≤−−−−α (6)
(((( ))))ababc
abc
abc
n
nn −−−−
====−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−≤≤≤≤−−−−
21
2
...2
2
22
1
α
α
α
(7)
0→→→→ sau ca α→→→→nc cind ∞∞∞∞→→→→n .
nformitate cu definitia 1, zicem ca bisectia converge liniar cu rata 1/2.
e poate deduce numarul de iteratii sufucient pentru a avea o eroare
decit o toleranta de calcul data (ε).
ε≤≤≤≤−−−−nab
2⇒
−−−−≥≥≥≥ε
abn 2log (8)
descreste monoton cu fiecare pas.
ergenta este inceata.
α-c1
c3
c2
(b-a)/2
y=f(x)
b a
f(b)
f(a)
c1 α
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
3.2 Metoda falsei pozitii (Regula FALSI)
Ipoteze: Aceleasi ca si in metoda bisectiei.
Metoda
Se ia ca aproximatie a radacinii, intersectia cu axa x a dreptei care uneste punctele
(a,f(a)), (b,f(b)). Se considera intervalul in care f ia valori de semne opuse si se continua
procedeul.
Formula metod
Intersectind dr
cu dreapta de e
Convergenta:
Metoda constru
• Metoda con
• Rata conve
Fig.3. Regula FALSI
ei:
eapta de ecuatie:
(((( ))))bxab
afbfbfy −−−−−−−−−−−−====−−−−
)()()( (9)
cuatie y=0 (axa x) si punind x=c rezulta:
(((( ))))abafbf
bfbc −−−−−−−−
−−−−====)()(
)( (10)
ieste siul c1,c2,..., cn,... (Fig.3). Se arata ca:
verge liniar, in ipoteza ca exista derivatele f' si f'' continue pe [a,b].
rgentei depinde atit de f cit si de alegerea intervalului [a,b].
c2 c1 α
y=f(x)
b a
f(b)
f(a)
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
Dezavantaje:
Sirul ci se apropie de α dintr-o singura parte (a sau b ramin aceleasi la fiecare pas).
Testul de eroare poate fi inadecvat: eroarea c−−−−α se inlocuieste cu ii cc −−−−++++1 , care poate
fi mult mai mare sau mult mai mic decit eroarea.
Observatie: Metoda inlocuieste graficul functiei f, in vecinatatea radacinii cu o linie
dreapta.
3.3 Metoda secantei
Ipoteze
Se cunosc doua aproximatii initiale ale radacinii, x0 si x1. Ele pot incadra radacina, sau
pot fi de aceeasi parte a radacinii.
Metoda
Graficul lui f se inlocuieste cu o linie dreapta si anume secanta prin punctele (x0, f(x0)) si
(x1, f(x1)). Intersectia secantei cu axa x va fi punctul x2. La pasul urmator se continua
procesul, luind ca aproximatii x1 si x2.
Observatie: In ipoteza ca x0 si x1 incadreaza radacina, daca s-ar lua ca aproximatii x0 si x1
s-ar obtine regula FALSI.
Fig.4. Metoda secantei.
x3 x2 α
y=f(x)
x1 x0
f(x1)
f(x0)
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
Formula metodei
Printr-un calcul analog cu cel de la regula FALSI cu a=x0, b=x1 si c=x2 se obtine:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))01
01112 xfxf
xxxfxx
−−−−−−−−
−−−−==== (11)
sau in general:
(((( )))) (((( )))) (((( )))) datexxnxfxf
xxxfxx
nn
nnnnn 10
1
11 ,,1, ≥≥≥≥
−−−−−−−−
−−−−====−−−−
−−−−++++ (12)
Convergenta
Metoda construieste sirul de iterate x0, x1, x2,...,xn-1,xn,xn+1,...(Fig.4).
Teorema
Daca:
1. Functia f este continua si exista derivatele de ordinul 1 si 2 (f', f'') continue pe o
vecinatate a lui α,
2. (((( )))) 0' ≠≠≠≠αf
3. x0 si x1 sunt suficient de apropiate de α,
Atunci
(a) Sirul α→→→→nx
(b) Ordinul de convergenta este 618.12
51≈≈≈≈
++++====p
Demosntratie:
Demonstratia se bazeaza pe urmatoarea evaluare:
(((( )))) (((( ))))(((( ))))11 '2)(''
++++++++ −−−−−−−−−−−−====−−−− nnn
nn xx
ff
x ααξη
α (13)
in care ξn si ηn sunt intr-o vecinatate curenta a radacinii α, care contine pe xn-1 si xn. Fie
aceasta vecinatate si [[[[ ]]]]εαεα ++++−−−−==== ,I .
Notam
)('min2
)(''max
xf
xfM
I
I==== (14)
M exista conform ipotezei (1). Rezulta atunci ca:
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
11 −−−−++++ −−−−−−−−≤≤≤≤−−−− nnn xxMx ααα (15)
sau notind cu nn xe −−−−==== α avem:
11 −−−−++++ ≤≤≤≤ nnn eMee (16)
sau, inmultind ambii termeni cu M:
))(( 11 −−−−++++ ≤≤≤≤ nnn MeMeMe (17)
Daca presupunem ca avem Me0<1 si Me1 <1 rezulta prin inductie ca Men<1. Relatia (17)
arata cit de "aproape" de α trebuie sa fie x0 si x1 si anume:
Mx
Mx
1
1
1
0
<<<<−−−−
<<<<−−−−
α
α (18)
Observatii asupra metodei secantei:
Avantaje: metoda cere numai o evaluare a lui f(x) la un pas si anumke f(xn), intrucit f(xn-
1) este calculat la pasul anterior si poate fi stocat. Convergenta este mult mai rapida decit
a metodelor anterioare la care p=1. Trei pasi ai metodei secantei au un ordin de
convergenta de (1.618)3≅ 4.2, adica echivalenta cu doi pasi ai unei metode patratice 22=4.
Dezavantaje: Metoda nu converge daca x0 si x1 nu sunt suficient de apropiati de α.
Fractiile )()( 1
1
−−−−
−−−−
−−−−−−−−
nn
nn
xfxfxx pot da valori imprecise datorita pierderii de semnificatie la
numarator si la numitor, pentru n mare, cind xn si xn-1 au valori apropiate.
3.4 Metoda Newton
Ipoteze
1. f continua , f',f'' continue pe o vecinatate a radacinii cautate α. Se presupune
cunoscuta o aproximatie initiala a radacinii x0
2. f'(α)≠0
Metoda:
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)
Graficul functiei f se inlocuieste cu tangenta la graficul functiei in x0 (aproximatia initiala-
presupusa cunoscuta), intersectia tangentei cu axa x este luata ca aproximatie urmatoare
x1 a radacinii. Procedeul continua cu x1 astfel determinat.
====−−−−
yy
Formula met
Sirul de iterat
Convergenta
Dezvoltind in
Fig.5. Metoda Newton
(((( )))) (((( ))))⋅⋅⋅⋅−−−−====0
')( 000 xfxxxf⇒
(((( ))))(((( ))))0
001 ' xf
xfxx −−−−==== (19)
odei
e (((( )))) 0≥≥≥≥nnx se obtine in baza urmatoarei relatii de recurenta:
(((( ))))(((( ))))n
nnn xf
xfxx
'1 −−−−====++++ , n≥0, x0 cunoscut (20)
serie Taylor functia f in vecinatatea radacinii cautate α obtinem: