-
UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA
Facultatea de Matematica si Informatica
Departamentul Matematici Fundamentale
Andrei PERJAN
Ecuatii diferentiale cu derivate partiale
Aprobat deConsiliul Facultatii de
Matematica si Informatica
CHISINAU, 2015
CEP USM
-
CZUP
Recomandat de Catedra Analiza Matematica si Ecuatii Diferentiale
a USM,si de Comisia de Asigurare a Calitatii
Recenzent - Nicolae Jitarasu, dr. hab., prof. univ.
c Andrei Perjan, 2015c USM, 2015
2
-
CUPRINS
Prefata 4
1 Preliminarii 5
1.1 Unele notatii uzuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 51.2 Integrala Lebesgue . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Integrala Lebesgue
pe varietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 Introducere. Notiuni generale 17
2.1 Modele din fizica guvernate de ecuatii diferentiale cu
derivate partiale . . . 172.2 Clasificarea ecuatiilor diferentiale
cu derivate partiale semiliniare de ordinul
al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 242.3 Forma canonica a ecuatiilor
diferentiale cu derivate partiale semiliniare de
ordinul al doilea cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 272.4 Forma canonica a ecuatiilor diferentiale
cu derivate partiale semiliniare de
ordinul al doilea cu doua variabile . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 292.5 Problema Cauchy. Notiune de
caracteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Teorema S.
Cowalevskaia. Notiune de corectitudine n sens Hadamar . . . .
40
3 Problema Cauchy pentru ecuatia undelor 44
3.1 Problema Cauchy pentru ecuatia oscilatiilor mici ale coardei
. . . . . . . . . 443.2 Unicitatea solutiei problemei Cauchy pentru
pentru ecuatia undelor . . . . . 473.3 Existenta solutiei problemei
Cauchy pentru ecuatia undelor n cazul 3-dimensional 503.4 Existenta
solutiei problemei Cauchy pentru ecuatia undelor n cazul
2-dimensional 56
4 Problema Cauchy pentru ecuatia difuziei 62
4.1 Principiul de maxim pentru solutiile ecuatiei difuziei n
domeniu marginit . 624.2 Principiul de maxim pentru solutiile
ecuatiei difuziei n n fasie . . . . . . . 644.3 Existenta solutiei
problemei Cauchy pentru ecuatia difuziei . . . . . . . . . . 66
5 Functii armonice 70
5.1 Teorema despre valoarea medie a functiie armonice . . . . .
. . . . . . . . . 70
6 Metoda Fourier 71
Bibliografie 72
3
-
PrefataAceasta lucrare reprezinta un suport de curs, destinat
studentilor ciclului I de la spe-
cialitatile matematice, el fiind tinut pe parcursul mai multor
ani studentilor de la Facultateade Matematica si Informatica a
Universitatii de Stat din Moldova.
Suportul de curs este dedicat expunerii elementelor de baza ale
teoriei ecuatiilor diferentialecu derivate partiale.
Fara a exagera prea mult, am putea spune ca majoritatea
proceselor deterministe dinfizica, chimie, biologie si alte domenii
ale stiitlor naturii sunt guvernate de ecuatii diferentiale,n
special de ecuatii diferentiale cu derivate partiale. Printe aceste
fenomene ar fi propagareaundelor sonore, undelor de lumina, undelor
electromagnetie, propagarea caldurii, reactiichimice si alte
fenomene de difuzie, miscarea planetelor, comportarea electronolor
n atomisi molecule si multe altele. De aceea, teoriea ecuatiilor
diferentiale cu derivate partiale esten plina dezvoltare.
Cercetarile din acest domeniu necesita aplicarea diferitor metode
dinanaliza matematica, analiza functionala, teoria functiilor de
variabila reala si de variabilacomplexa, algebra, geometrie si alte
discipline. De aceea, si studierea materiei din cursul defata se
bazeaza pe notiunile necesare din cursurile enumarate mau sus din
planul de studiiprenargatoare acestuia.
Aparitia acestei lucrari este motivata de faptul ca, desi exista
numeroase surse dedicareecuatiilor diferentiale cu derivate
partiale n limbile rusa romana si engleza, sursele existentesau ca
au fost editate cu mult timp n urma sau ca nu sunt accesibile
studentilor.
La ndemana cititorului, materia prevazuta de curricula cursului,
este prefatata de uncapitol preliminariu n care sunt prezentate
notiunile de baza, legate de integralele Lebesguesi Riemann si
proprietatile acestora. Aceste proprietati sunt bine cunoscute si
pot fi gasiten manualele de analiza functionala. Ele sunt utilizate
din plin pe parcursul expunerii cursu-lui. Unele proprietati, care
au o importanta deosebita pentru expunerea materialului,
suntprezentate cu demonstratii.
In ncheiere, autorul aduce multumiri conferentiarului
universitar Galina Rusu pentruajutorul acordat la tehnoredactarea
computerizata a lucrarii.
4
-
1 Preliminarii
1.1 Unele notatii uzuale
N: multimea numerelor naturale;Nn = { = (m1,m1, . . . ,mn) ;mk
N, k = 1, 2, . . . , n};R: multimea numerelor reale, R = [, +], R+
= [0, +];Rn = {x = (x1, ..., xn) , xk R}, k = 1, 2, . . . , n:
spatiul euclidian n-dimensional cu
norma ||x|| =(
nk=1
x2k
)1/2si produsul scalar (x, y) =
nk=1
xkyk;
C: multimea numerelor complexe; = (1, . . . , n) Nn:
multiindice, || = 1 + + n este lungimea multiindicelui ;x: x = x11
x22 xnn pentru x = (x1, x2, . . . , xn) Rn si = (1, . . . , n)
Nn;!: ! = 1! n! (0!=1) pentru = (1, . . . , n) Nn;C : C = C11 C22
Cnn pentru = (1, . . . , n), = (1, . . . , n) Nn;f : f =
||fx11 . . . x
nn
pentru f : Rn 7 R si = (1, . . . , n) Nn;Br(x0): bila deschisa
din Rn de raza r cu centrul n x0, Br(x0) = {x Rn; ||xx0|| <
r},
Br := Br(0);n: aria suprafetei sferice de raza 1 n Rn, n =
2pin/2/(n/2);wn: volumul sferei de raza 1 n Rn, wn = n/n;:
frontiera multimii Rn;A: functia caracteristica a multimii A, A(x)
= 1 pentru x A si A(x) = 0 pentru
x / A;f =
{f
x1, . . . ,
f
xn
}: gradientul functiei f : Rn R;
divf =nk=1
fkxk
: divergenta functiei f ;
=nk=1
2
x2k: operatorul lui Laplace;
supp f = {x ; f(x) 6= 0} : suportul funtiei f : Rn 7 C n ;dist
(A,B) = inf
xA, yB||x y|| : distanta dintre multimile A si B din Rn;
Cp(): spatiul liniar al tuturor functiilor f : 7 C, pentru care
derivatele f suntcontinue n pentru orice || p, p N; C(): C() =
pNCp(), C0() = C();
Cp0 (): Cp0 () = {f Cp(); supp f } (A B, daca A B si dist (A, B)
> 0);
||f ||Cp() = supx, ||p
|f(x)|: norma n spatiul Banach al tuturor functiilor f
Cp(),pentru care derivatele f sunt marginite n pentru orice ||
p;
Mn(R): algebra matricelor n n, elementele carora sunt numere
reale.
5
-
En Mn(R): matricea unitate.
1.2 Integrala Lebesgue
In aceasta sectiune vom prezenta proprietatile principale ale
integralei Lebesgue, care vorfi utilizate n continuare.
Fie I Rn un paralelipiped n-dimensional nchis de forma I = {x =
(x1, ..., xn); ai xi bi, i = 1, ..., n}. Masura (volumul)
paralelipipedului I se defineste astfel: m(I) =ni=1
(bi ai).Orice multime deschisa Rn poate fi reprezentata ca o
reuniune cel mult numarabila
de paralelipipede Iv, v = 1, 2, ... fara puncte comune
interioare, =v=1
Iv. Atunci, n mod
natural, masura Lebesgue a multimii deschise se defineste prin
formula m () =v=1
m (Iv).
Daca K Rn este un compact, atunci masura lui m(K) se defineste
astfel: m(K) =inf {m (D) ; K D, D deschisa}.
Daca A Rn este o multime marginita, atunci masura exterioara m
(A) a multimiiA este m (A) = inf {m (D) ; A D, D deschisa}, iar
masura interioara a multimii A estem(A) = sup{m(K); K A, K
compact}. Multimea marginita A se numeste masurabila,daca m (A) = m
(A), iar m (A) = m (A) = m (A) se numeste masura multimii A.
Multimea nemarginita A Rn se numeste masurabila, daca pentru
orice bila Br = {x Rn; ||x|| < r} multimea ABr este masurabila.
In acest caz, m(A) = sup
r>0m(A
Br).
Vom spune ca multimea A Rn este multime de masura nula, daca
pentru orice > 0ea poate fi acoperita cu bile ale caror volum
total este mai mic decat .
Evident, orice submultime a unei multimi de masura nula este de
masura nula. Deasemenea, reuniunea unui numar cel mult numarabil de
multimi de masura nula este demasura nula.
Vom spune ca o oarecare proprietate P are loc aproape peste tot
n Rn (abreviata.p.t.), daca multimea punctelor din pentru care
proprietatea P nu are loc este de masuranula.
Functiile f, g : 7 C se numesc echivalente n , daca f(x) = g(x)
aproape peste totn .
Functia f : Rn 7 R se numeste masurabila, daca pentru orice a R
este masurabilamultimea {x; f (x) a}. Functia f : Rn 7 C se numeste
masurabila, daca functiile Refsi Imf sunt masurabile. Functia f : 7
C se numeste masurabila, daca este masurabilafunctia f , unde este
functia caracteristica a multimii .
Vom mentiona ca daca f si g sunt functii masurabile, atunci sunt
masurabile si functiile:
6
-
f g, f g, max (f (x) , g (x)) , min (f (x) , g (x)) , |f (x)| ,
f/g (daca g 6= 0), f+ si f,unde f+ (x) = max (f (x) , 0) , f (x) =
max (f (x) , 0). De asemenea, limita punctualaa unui sir de functii
masurabile a.p.t. convergent este o functie masurabila. Orice
functiecontinua pe o multime nchisa sau deschisa este masurabila.
Daca functiile f : Rm 7 R sig : x = (x1, . . . , xn) 7 y = (y1, . .
. , ym), yk = gk(x), k = 1, . . . ,m, sunt functii
masurabile,atunci este masurabila si functia x Rn 7 f (g1 (x) ,
..., gm (x)).
Definitia 1.2.1. Functia f : Rn 7 R se numeste etajata (sau
functie n scara), daca ea areforma
f(x) =N=1
aA (x), (1.2.1)
unde a R, A sunt multimi masurabile, marginite, disjuncte (AjAi
= pentru i 6= j).
Teorema 1.2.1. Daca f este o functie masurabila, atunci exista
un sir de functii etajate{fm}m=1 care converge punctual catre f
.
Definitia 1.2.2. Integrala Lebesgue a unei functiei etajate f de
forma (2.3.1) se numestenumarul
I (f) =N=1
m (A) a .
Functia masurabila f : Rn 7 R+ se numeste integrabila Lebesgue,
daca
I(f) = sup {I(); 0 f, simpla}
-
Notam cu L1 () multimea functiilor integrabile Lebesgue pe si L1
= L1 (Rn).In continuare, vom reaminti proprietatile principale ale
integralei Lebesgue.Pentru orice f, g L1 () si orice , C functia f
+ g L1 () si
(f (x) + g (x)) dx =
f (x) dx+
g (x) dx.
Fie 1,2 Rn masurabile, m (1
2) = 0 si = 1
2. Daca f L1 (k) , k =1, 2, atunci f L1 () si
f (x) dx =
1
f (x) dx+
2
f (x) dx.
Teorema 1.2.2. Functia f : 7 R+, f L1(), este egala cu zero
a.p.t. n , daca sinumai daca
f (x) dx = 0.
Teorema 1.2.3. Functiile f si |f | sunt simultan integrabile
Lebesgue si
f (x) dx
|f (x)| dx.
Daca |f (x)| g (x) a.p.t. n si g L1(), atunci f L1() si
|f (x)| dx
g (x) dx.
In plus, orice functie masurabila si marginita pe o multime
masurabila de masura finitaeste integrabila n sens Lebesgue.
Teorema 1.2.4. (de convergenta dominanta a lui Lebesgue). Fie fm
: 7 R un sir defunctii masurabile a.p.t. convergent n catre f si
|fm (x)| g (x) a.p.t., unde g L1().Atunci f L1() si
limm
fm (x) dx =
limm
fm (x) dx =
f(x) dx. (1.2.2)
Teorema 1.2.5. (de derivare a integralei n raport cu parametru).
Fie Rn, Q Rm,f : Q 7 Rn+m si f(x, ) Cs(Q), s 0, a.p.t. n . Daca
exista g L1 () astfelncat y f (x, y) g (x) , y Q, a.p.t. n , ||
s,
8
-
atunci
f (x, y) dx Cs (Q) si are loc egalitatea
y
f (x, y) dx
=
y f (x, y) dx, y Q.
Urmatoarea teorema stabileste legatura dintre integrala Riemann
si integrala Lebesgueale unei functii.
Teorema 1.2.6. Daca functiile f si |f | sunt integrabile n sens
Riemann pe Rn (nsens propriu sau impropriu), atunci ele sunt
integrabile si n sens Lebesgue pe si integralelerespective ale lor
coincid.
Teorema 1.2.7. (schimbul de variabile n integrala Lebesgue).
Presupunem ca transfor-marea x = (y) este de clasa C1(), adica xk =
k (y1, y2, ..., yn), k = 1, 2, ..., n, k C1(), si aplica bijectiv
Rn pe 1 Rn. Fie J (y) = det (k/yj)nk,j=1 6= 0, y .
Atunci f L1 (1), daca si numai daca f (x (y)) |J (y)| L1 (). In
acest caz, are locegalitatea
f (x (y)) |J (y)| dy =1
f (x) dx. (1.2.3)
Un caz particular, des utilizat, este trecerea de la
coordonatele carteziene la coordonatelesferice n Rn. Trecerea de la
coordonatele carteziene la cele sferice cu centrul n x0
seefectueaza cu ajutorul formulelor x = x0 + r, scrise n coordonate
astfel
xk = x0k + rk, k = 1, 2, ..., n, (1.2.4)
unde
r2 =nk=1
(xk x0k
)2,
1 = cos 1,
2 = sin 1 cos 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n1 = sin 1 sin 2 sin n2 cos n1,n = sin 1 sin 2 sin n2 sin
n1,
(1.2.5)
i (0, pi) , i = 1, ..., n 2, n1 (0, 2pi)
9
-
Vom calcula Jacobianul transformarii (1.2.4), Jn = detD(x1, x2,
. . . , xn)
D(r, 1, 2, . . . , n1).
Jn =
cos 1 r sin 1 0 . . . 0sin 1 cos 2 r cos 1 cos 2 r sin 1 sin 2 .
. . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
cos n1 r ctg 1 cos n1 r ctg 2 cos n1 . . . r sin n1 sin n1 r ctg
1 sin n1 r ctg 2 sin n1 . . . r cos n1
,
unde = sin 1 sin 2 sin n2. Observam ca Jnn1
= 0. De aceea, la calcularea Jnputem pune n1 = 0. Prin calcul
direct se stabileste formula recurenta Jn = r Jn1. Prinurmare,
pentru Jn obtinem formula
Jn = rn1 sinn2 1 sinn3 2 sin n2. (1.2.6)
Conform formulei Teoremei 1.2.7, avem
dx = |Jn| drd1... dn1 = rn1 sinn2 1 sinn3 2... sin n2 dr d1 d2 .
. . dn1. (1.2.7)
Vom deduce formula pentru elementul dSr al sferei Sr de raza r
cu centrul n originea sis-temului sferic de coordonate. Este
cunoscut ca daca S este o suprafata (n 1)-dimensionaladefinita de
egalitatea xn = F (x1, x2, . . . , xn1) si F C1, atunci pentru
elementul desuprafata dS are loc formula dS =
dx1 dx2 . . . dxn1| cos (, xn)| , unde este normala la S, iar
xn
este vectorul unitate de pe axa Oxn. In cazul sferei Sr avem
| cos (, xn)| = | cos (r, xn)| = |xn x0n|
r=
n1k=1
sin k
.Deoarece pe Sr coordonata r este constanta, rezulta ca
dx1 dx2 . . . dxn1 =
det D(x1, x2, . . . , xn)D(1, 2, . . . , n1) d1 d2 . . .
dn1.
Jacobianul din ultima formula se obtine din Jn, eliminand din Jn
prima coloana si ultimalinie. In determinantul ramas toate
elementele mai sus de diagonala principala sunt nule, deaceea acest
determinant este egal cu produsul elementelor de pe diagonala. Prin
urmare,
dSr = rn1 sinn2 1 sinn3 2 sin n2 d1 d2 . . . dn1. (1.2.8)
Din (1.2.7) si (1.2.8) rezulta formulele
dSr = rn1 dS1, dx = dr dSr = rn1 dr dS1, |Sr| = n rn1,
(1.2.9)
10
-
unde |Sr| este aria suprafetei sferice de raza r, iar n este
aria suprafetei sferice de raza 1 nRn. Vom calcula n,
n =
pi0
pi
0
2pi0
sinn21 sinn3 2 sin n2 d1 d2 dn1 =
= 2pin2k=1
pi0
sink d = 2pin2k=1
2 pi/20
sink
d.Gratie substitutiei sin2 = t avem
2
pi/20
sink d =
10
t(k1)/2 (1 t)1/2 dt = B(k + 1
2,1
2
)=
(k+1
2
)(
12
)(k+2
2
) = pi (k+12 )(k+2
2
) ,unde B si sunt integralele lui Euler de speta ntai si a doua
respectiv (a se vedea [4])
B(p, q) =
10
xp1 (1 x)q1 dx, p > 0, q > 0, () =
0
x1exdx, > 0. (1.2.10)
Prin urmare, n =2 pin/2
(n/2). Daca Vr este volumul sferei de raza r, atunci
Vr =
||x|| 0,astfel ncat
|f(x)| M ||x||, ||x|| r, (1.2.11)atunci
||x|| 0, astfel ncat
|f(x)| M ||x||, ||x|| r, (1.2.13)
atunci ||x||>r
|f(x)| dx nM rn. (1.2.14)
11
-
Demonstratie. Trecem la coordonate sferice cu centrul n originea
de coordonate,aplicand (1.2.4) si Teorema 1.2.3, obtinem
||x|| 0 astfel ncat pentru orice multime masurabila E
cuproprietatea m(E) < are loc
E
f(x) dx
< .Urmatoarea teorema evidentiaza legatura dintre integralele
multiple si cele repetate.
Teorema 1.2.9. (Fubini-Tonelli)a) Presupunem ca
Q
|f(x, y)|dy
-
Vom defini functia : Rn 7 R, numita nucleul lui Sobolev, prin
formula
(x) = C
e 1
1||x||2 , ||x|| < 1,0, ||x|| 1,
C =
||x|| 0, definim functia (x) = n (x/). Usor se demonstreaza ca
functia ,
de asemenea, verifica cele trei proprietati din (2.4.2).
Lema 1.3.1. Fie Rn o multime deschisa, iar K un compact. Exista
o functie : 7 R cu proprietatile: 1) 0 (x) 1, x ; 2) (x) = 1 ntr-o
vecinatate acompactului K; 3) C0 ().
Demonstratie. Fie > 0, astfel ncat 3 < dist (K, ). Notam
prin K = {x ; dist(x,K) > }. Fie (x) functia caracteristica a
multimii K2 . Functia (x), definitaprin formula
(x) =
(y) (x y) dy, (1.3.3)
verifica proprietatile enuntate. Intr-adevar, proprietatea 1)
urmeaza din relatiile
0 (x)
||xy||
-
Demonstratie. Pentru fiecare i, i = 1, . . . , N, exista un
compact Ki astfel ncat Ki i si K
Ni=1
Ki. Conform Lemei 2.4.1 pentru fiecare Ki exista o functie i :
Rn 7 Rcu proprietatile: i C0 (i), 0 i(x) 1, x i, i(x) 1 ntr-o
vecinatate acompactului Ki. Definim functiile i : Rn 7 R,
1(x) = i(x), i(x) = i(x)(1 1(x)
) (1 i1(x)), i = 2, . . . , N.Este clar ca i C0 (i) si 0 i(x) 1
pentru orice x Rn. Prin calcul direct deducemegalitatea
Ni=1
i(x) = 1(1 1(x)
) (1 N(x)), x Rn. (1.3.4)Deoarece
(1 1(x)
) (1 N(x)) = 0 ntr-o vecinatate a multimii Ni=1
Ki, atunci din
(2.4.4) rezulta caNi=1
i(x) = 1 ntr-o vecinatate a compactuluiK. In acelasi timp, din
(2.4.4)
urmeaza ca 0 Ni=1
i(x) 1 pentru orice x Rn.
Definitia 1.3.1. Multimea nchisa S Rn se numeste varietate (n
1)-dimensionala declasa Ck, k 1, daca pentru orice x0 S exista o
vecinatate n-dimensionala U(x0) si ofunctie Fx0 : U(x0) 7 R, astfel
ncat Fx0 Ck
(U(x0)
), Fx0(x) 6= 0 n U(x0) si multimea
SU(x0) se defineste de ecuatia Fx0(x) = 0, adica toate punctele
multimii S
U(x0)
verifica ecuatia Fx0(x) = 0 si orice punct x ce verifica ecuatia
Fx0(x) = 0 apartine multimiiSU(x0).
Astfel, S este o varietate (n 1)-dimensionala de clasa Ck daca
pentru orice x0 Sexista o vecinatate n-dimensionala U(x0), astfel
ncat multimea S
U(x0) se proiecteaza
bijectiv pe un domeniu Dx0 Rn1 , adica SU(x0) se defineste de
ecuatia xp = gp(xp),
unde xp = (x1, . . . , xp1, xp+1, . . . , xn) Dx0 Rn1 si gp
Ck(Dx0).Daca S este o varietate (n1)-dimensionala de clasa C1 si x0
S, atunci multimea Tx0 =
{ Rn : (, F (x0)) = 0} se numeste hiperplan tangent la
varietatea S n x0. HiperplanulTx0 nu depinde de F , iar vectorul
(x0) = F (x0)/|F (x0)| se numeste versor normal la Sn punctul
x0.
Fie Sp Rn1 o varietate (n1)-dimensionala de clasa C1 definita de
ecuatia xp = gp(xp),unde xp Vp Rn1 si gp C1(Vp). Functia f : Sp R
se numeste integrabila Lebesgue pevarietatea Sp daca functia f
(x, gp(xp)
)este integrabila Lebesgue pe Vp. Intergrala functiei
f pe Sp se defineste prin formulaSp
f(x)ds =
Vp
f(xp, gp(x
p))
1 + ||p gp (xp)||2 dxp , (1.3.5)
14
-
unde p gp(xp) =(gx1 , ..., gxp1 , gxp+1 , , gxn
)si dx = dx1 dxp1 dxp+1 dxn.
Sa trecem la definirea integralei Lebesgue pe o varietate (n
1)-dimensionala S Rn1
compacta de clasa C1. Pentru S exista o acoperire finita cu
multimi deschise S Np=1
p,
p Rn, astfel ncat multimile Sp = S
p sunt definite de ecuatiile xp = gp(xp), undexp Vp Rn1 si gp
C1(Vp). Exista familia {p}Np=1 cu proprietatile din Teorema
1.3.1.Fie f : S 7 R o functie data. Atunci
f(x) =Np=1
p(x) f(x), x S.
Prin definitie, functia f este integrabila pe S daca functiile p
f , p = 1, 2, ..., N suntintegrabile pe Sp. In acest caz, avem
S
f(x) dS =Np=1
Sp
p(x) f(x) dS.
Se poate arata ca atat proprietatea de integrabilitate, cat si
integrala nu depind desistemul (p, Vp, gp) si de partitia unitatii
{p} a varietatii S.
Varietatea (n1)-dimensionala S se numeste masurabila daca S este
integrabila Lebesgue.Fie Rn o multime deschisa si marginita cu
frontiera de clasa C1 si fie fk : 7 R,
fk C1(), k = 1, . . . , n. Daca (x) este versorul normalei
exterioare la , iar xk =(0, . . . , 0, 1
k
, 0, . . . , 0), atunci are loc egalitatea
nk=1
fk(x)
xkdx =
nk=1
fk cos(, xk) dS,
numita formula lui Ostrogradski-Gauss. In particular, daca P, Q
C1(), atunci are locurmatoarea formula, numita formula integrarii
prin parti:
P (x)
xkQ(x) dx =
P (x)Q(x) cos(, xk) ds
P (x)Q(x)
xkdx, k = 1, n. (1.3.6)
Fie Rn o multime masurabila Lebesgue si 1 p < . Notam cu Lp()
spatiulliniar de functii masurabile f : 7 C pentru care
fLp() =
|f(x)|pdx1/p 0 ; |f(x)| C, a.p.t n }. (1.3.8)
15
-
Teorema 1.3.2. Spatiile Lp() sunt spatii Banach cu norma (2.5.1)
(1 p < ) sau(2.5.2) (p =). In cazul p = 2, spatiul L2 () este un
spatiu Hilbert cu produsul scalar
(f, g
)L2()
=
f(x) g(x) dx.
In realitate, fiecare element al spatiului Lp() reprezinta o
clasa de functii masurabile siechivalente n . Daca = Rn, atunci vom
nota Lp(Rn) = Lp.
Amintim ca pentru f Lp(), g Lq(), p, q [0,], are loc
inegalitatea lui Holderf gL1()
f Lp()
gLq()
, 1/p+ 1/q = 1, (1.3.9)
iar pentru f, g Lp() si p [0,] are loc inegalitatea lui
Minkowskif + gLp()
f Lp()
+g
Lp(). (1.3.10)
16
-
2 Introducere. Notiuni generale
2.1 Modele din fizica guvernate de ecuatii diferentiale cu
derivate
partiale
Ecuatia oscilatiilor mici ale coardei. Vom formula urmatoarea
problema.O coarda de lungimea l, ntinsa de o forta de tensiune
T0(x) se afla ntr-o pozitie rectilinie
de echilibdu. La momentul initial t = 0 tuturor punctelor
coardei li se comunica deplsarilevitezele initiale (x) si (x). Sa
se determine modelul matematic al oscilatiilor mici transver-sale
ale coardei pentru t > 0, cauzate de actiunea unei forte
exterioare cu demsitatea liniarap(x, t), n cazurile cand capetele
coardei sunt fixate. Rezistenta mediului se neglijeaza.
Fie ca n starea nedeformata coarda se afla pe axa intervalul [0,
l] al axei Ox. Notam cuu(x, t) abaterea coardei de la starea de
echilibru n punctul x la momentul de timp t. Atuncigraficul
functiei u(x, t) n planul cartezian xOu va nsemna forma coardei la
momentul detimp t.
Mai ntai, vom talmaci unii termeni din problema.
+ 0 ()
() x
u
( + )
( + )
Prin coarda vom ntelege un fir flevibil tensionat ce nu se opune
deformarilor care nu suntlegate de schimbarea lungimii lui. Aceasta
nsemna ca daca ne imaginam o taetura a coardei
17
-
n punctul x al ei, atunci actiuneaT (x, t) a unei portiuni a
coardei asupra celilalte portiuni
n momentul de timp t are aceeasi directie cu tangenta n x la
curba ce reprezinta coarda.Prin oscilatii mici vom ntelege astfel
de oscilatii la care deplasarile sunt atat de mici
ncat patratele abaterilor u si patratele derivatelor acestora
pot fi neglijate.Oscilatii transversale nsemna ca toate punctele
coardei se deplaseaza ntr-un plan, iar
directia deplasarii fiecarui punct este perpendiculara pe
pozitia de echilibru a coardei.Densitatea liniara a fortelor
exterioare este rezultanta fortelor ce actioneaza pe o portiune
a coardei cu lungimea de o unitate de masura.Pentru a modela
acest proces fizic examinam o portiune a caoardei n pozitia de
echlibru
(x, x + x) care n momentul de timp t reprezinta arcul AB de pe
graficul functiei u(x, t),dar si actiunea tuturor fortelor pe
aceasta portiune.
Avand n vedere ca oscilatiile sunt transversale, fortele
exterioare si cele de inertie actioneazaparalel cu axa Ou.
In virtutea faptului ca osccilatiile sunt mici, lungimea arcului
AB la momentul t va fi
AB = x+xx
1 + u2s(s, t) ds x,
ceea ce nsemna ca n procesul oscilatiilor lungimea portiunii nu
se schimba. Prin urmare,conform legii lui Hoock, marimea fortei de
tensiune n coarda nu se scimba n timp, adicaT (x, t) = T (x).
Vom utiliza principiul lui DAlambert din mecanica, conform
caruia toate fortele ceactioneaza asupra portiunii AB se
echilibreaza, adica rezultanta acestor forte este zero.Prin urmare,
si suma algebrica ale proiectiilor acestor forte pe axele Ox si Ou
vor fi zero.Suma algebrica a proiectiilor a acestor forte pe axele
Ox esteT (x+ x) cos (x+ x) T (x) cos (x) = 0, (2.1.1)unde (x) este
unghiul format de axa Ox si tangenta la graficul functiei u(x, t) n
punctul(x, u). Deoarece
cos (x) =1
1 + tg(x)=
11 + u2(x, t)
1
1
1 + u2(x+ x, t)=
11 + tg(x+ x)
= cos (x+ x),
atunci din (2.1.1) rezulta caT (x + x) T (x), adica se poate
considera ca marimea
fortei de tensiune nu depinde nici de x. Rezulta caT (x, t) =
T0.
Proectia rezultantei fortelor de tensiune a portiunii AB a
coardei pe pe axa Ou este
Ft =T0 [ sin (x+ x) sin (x)] =
18
-
=T0 [ tg(x+ x)
1 + tg2 (x+ x) tg(x)
1 + tg2 (x)
]=
=T0 [ ux(x+ x, t)
1 + u2x(x+ x, t) ux(x, t)
1 + u2x(x, t)
]
T0 [ux(x+ x, t) ux(x, t)] T0uxx(x, t) x.
Avand n vedere ca forta exterioara cu densitatea liniara p(x, t)
actioneaza paralel cu axaOu, proiectia pe axa Ou a rezultantei
fortei ce actiuneaza pe portiunea AB va fi Fe =p(x, t) x. Conform
legii lui Newton, proectia fortei de inertie a portiunii AB pe axa
Oueste Fi = mutt(x, t), unde m este masa acestei portiuni. Daca (x)
este densitatea liniaraa materialului din care este confectionata
coarda, atunci m = (x) x. Rezulta ca Fi =(x) x. Astfel, egaland cu
zero suma algebrica a proiectiilor pe axa Ou a tuturor fortelorce
actioneaza pe portiunea AB, obtinem ca Ft + Fe + Fi = 0,
adica[T0uxx(x, t) + p(x, t) (x)utt(x, t)]x.Prin urmare,
utt(x, t) = a2(x)uxx(x, t) + f(x, t), x (0, l), t > 0,
(2.1.2)
unde a2(x) =T0/(x) si f(x, t) = p(x, t)/(x). Daca coarda este
omogena, adica (x) =
const, atunci si a(x) = const. Ecuatia (2.1.2) se numeste
ecuatia oscilatiilor mici fortate alecoardei. In plus, functia u
verifica si conditiile initiale
u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x (0, l). (2.1.3)
Deoarece capetele coardei sunt fixate atunci pentru funtia u
obtinem conditiile la frontiera
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t 0. (2.1.4)
Astfel rezumand, problema enuntata mai sus se reduce la gasirea
unei functii u C2((0, l) (0,))C([0, l] [0,)) ce verifica ecuatia
(2.1.2), conditiile initiale (2.1.3) si
conditiile la frontiera (2.1.4).In cazul cand f(x, t) = 0, adica
fortele exterioare lipsesc, ecuatia (2.1.2) se mumeste
ecuatia oscilatiilor mici libere ale coardei.Oscilatiile coardei
pot fi conditionate si de alte conditii la frontiera. Astfel, daca
capetele
coardei sunt libere, adica ele se deplaseaza liber si
transversal, atunci aceste condtii au forma
ux(0, t) = 0, ux(l, t) = 0, t 0. (2.1.5)
Daca capetele coardei se deplaseaza transversal suportand o
rezistenta proportionalaabaterii, acestea fiind fixate de arce
elastice, atunci conditiile la frontiera au forma
ux(0, t) hu(0, t) = 0, ux(l, t) + hu(l, t) = 0, t 0, (2.1.6)
19
-
unde h =T0/k, k fiind coeficientul de elasticitate al arcului de
care sunt fixate capetele
coardei.Daca capetele coardei se deplaseaza transversal dupa
anumite legi, atunci conditiile la
frontiera au formau(0, t) = 1(t), u(l, t) = 2(t), t 0,
(2.1.7)
unde 1 si 2 sunt functiile ce determina legile de deplasare a
capetelor coardei.O idealizare a oscilatiilor mici ale unei coarde
de o lungime suficiemt de mare, a carei
capete au influente neglijabile asupra oscilatiilor ei ne
conduce la modelul matematic guver-nat de problema Cauchyutt(x, t)
= a2(x)uxx(x, t) + f(x, t), x R, t > 0,u(x, 0) = (x), ut(x, 0) =
(x), x R.
Mentiona ca modelul guvernat de problema (2.1.2), (2.1.3),
(2.1.4), descrie si alte fenomenefizice, cum ar fi spre exemplu,
propagarea undelor longitudinale ntr-o bara.
Ecuatia oscilatiilor mici ale membranei omogene. O membrana
plana (placa flex-ibila subtire ce nu se opune deformarilor ce nu
sunt legate de schimbarea suprsfetei ei)este amplasata n pozitia de
echilobru pe domeniul din planul de coordonate rectangularx1Ox2. La
momentul initial t = 0 tuturor punctelor membranei li se comunica
deplsarileinitiale (x) si vitezele initiale (x). Sa se determine
modelul matematic al oscilatiilor micitransversale ale membranei
pentru t > 0, cauzate de actiune unei forte exterioare cu
dem-sitatea p(x, t) (rezultanta fortelor ce actioneaza pe o unitate
de suprafata), n cazurile candmarginea membranei este fixata.
Rezistenta mediului se neglijeaza.
Daca notam cu u(x1, x2, t) abatetrea punctului x = (x1, x2) de
la pozitia de ecilibrun momentul de timp t, atunci modelul
matematic ce guverneaza acest proces de oscilatiieste
utt(x, t) = a2 u(x, t) + f(x, t), x , t > 0,
u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x ,u(x, t)
x
= 0, t > 0,
(2.1.8)
unde a = const > 0 si =2
x21+
2
x22este operatorul lui Laplace. Conditia la frontiera din
(2.1.8) se numeste conditia lui Dirichlet.
20
-
1
2
Deseori n umele modele conditia la frontiera este data sub forma
conditiei lui Neumann
u
x
= 0, t 0, (2.1.9)
sau a condictiei lui Robin (u
+ g(x, t)u)
x= 0, t 0, (2.1.10)
unde este normala exterioara la si g este o functie data.In
cazul cand memrana = R2, conditiile la frontiera lipsecs si modelul
matematic este
guvernat de problema Cauchyutt(x, t) = a2 u(x, t) + f(x, t), x
R2, t > 0,u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R2. (2.1.11)Ecuatia
propagarii undelor. Diverse procese de propagare a undelor sonore,
electromag-netice, de lumina si de alta natura ntr-un corp R3 sunt
descrise de ecuatia undelor
utt(x, t) = a2 u(x, t) + f(x, t), x , t > 0,
conditiile initialeu(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x ,
si una din conditiile la frontiera de tip Dirichlet, Neuman sau
Robin, unde =2
x1+2
x2+
2
x3este operatorul lui Laplace.
21
-
Ecuatia propagarii caldurii. Fie un corp din R3 cu frontiera
.
3
1
2
V
S
Deducerea ecuatiei propagarii caldurii se bazeaza pe legea lui
Fourier din termodinamica,conform careia cantitatea de caldura Q ce
trece printr-o suprafata S din interiorul cor-pului n intervalul de
timp t se determina de formula
Q = k(x, u) u(x, t)
St,
unde este normala la suprafata S, ndreptata n directia
transmiterii caldurii (caldura setransmite de la punctele corpului
cu temperatura mai ridicata la punctele cu cu temperaturamai
joasa), k(x, u) este coeficientul conductibilitatii termice
interioare (cantitate de caldurace trece printr-o unitate de
suprafata ntr-o unitate de timp), u(x, t) este temperatura
cor-pului n punctul x = (x1, x2, x3) n momentul de timp t.
Presupunem ca conductibilitateatermica a corpului Q este izitropa,
adica k(x, u) nu depinde de directia propagarii caldurii.Pentru a
deduce ecuatia pentru u, evidentiem n Q un corp arbitrar V Q
marginit defrontiera S. Atunci, conform legii lui Fourier,
cantitatea de caldura ce trece prin suprafataS n intervalul de timp
[t1, t2] este
Q1 = t2t1
dt
S
k(x, u)u(x, t)
dS =
t2t1
dt
V
3i=1
xi
(k(x, u)
u(x, t)
xi
)dx.
Daca n interiorul corpului Q exista o sursa de caldura de
densitate f(x, t) (cantitatea decaldura generata de o unitate de
volum de sursa ntr-o unitate de timp), atunci cantitatea
22
-
de caldura generata de aceasta sursa n V va fi
Q2 =
t2t1
dt
V
f(x, t) dx.
Prin urmare, camtitatea totala tarnsmisa n V n intervalul de
timp [t1, t2] este Q1 + Q2.Aceeasi cantitate de caldura poate fi
calculata prin variatia temperaturii n acelasi intervalde timp, si
anume
Q =
V
c(x) (x)[u(x, t1) u(x, t2)
]dx =
t2t1
dt
V
c(x) (x)u(x, t)
tdx,
unde c(x) este capacitatea termica specifica a substantei
(cantitatea de caldura necesarapentru a ncalzi o unitate de masa de
substanta cu un grad) si (x) este densitatea substantei(masa unei
unitati de volum de substanta). Deoarece Q = Q1 +Q2, atunci
t2t1
dt
V
[c(x) (x)
u(x, t)
t
3i=1
xi
(k(x, u)
u(x, t)
xi
) f(x, t)
]dx = 0.
Considerand functia de sub integrala continua si avand n vedere
ca V Q si [t1, t2] suntarbitrare, din egalitatea de mai sus deducem
ca
c(x) (x)u(x, t)
t
3i=1
xi
(k(x, u)
u(x, t)
xi
)= f(x, t), x Q, t > 0. (2.1.12)
Ecuatia (2.1.12) se numeste ecuatia propagarii caldurii. In caz
general aceasta ecuatie esteneliniara. Daca coeficientul de
conductibilitate termica k nu depinde de temperatura u, adicak(x,
u) = k(x), atunci ecuatia (2.1.12) devine liniara. In cazul cand
corpul este omogen,adica c(x) = const, (x) = const si k(x) = const
ecuatia (2.1.12) ia forma
ut(x, t) = a2 u(x, t) + F (x, t), x , t > 0,
unde a2 = k/(c ), F (x, t) = f(x, t)/c si =
x1+
x2+
x3. Din considerente de natura
fizica rezulta ca pentru a determina n mod unic solutia ecuatiei
(2.1.12) este necesar de acunoaste temperatura initiala a corpului,
adica
u(x, 0) = (x), x , (2.1.13)
si regimul de tenprtatura la frontiera . Acest regim, de cele
mai dese ori, este definit deuna din conditiile lui Dirichlet,
Neumann sau Robin, definite mai sus n (2.1.8), (2.1.9) si(2.1.10),
respectiv.
23
-
Uneori ecuatia (2.1.12) se mai numeste si ecuatia difuziei,
deoarece ea guverneaza siprocese de difuzie, cum ar fi, spre
exemolu, reactiile chimice.
In cazul cand corpul este omogen si coincide cu ntreg spatiul
R3, modelul matematical fenomenul de propagare a caldurii este
descris de problema Cauchyut(x, t) = a2 u(x, t) + f(x, t), x R3, t
> 0,u(x, 0) = (x), x R3. (2.1.14)
In cazul a doua variabile spatiale x = (x1, x2) R2 ecuatia
(2.1.12) guverneazaprocesul de propagare a caldurii ntr-o placa
plana, iar n cazul a unei variabile spatialex (0, l) R2 ecuatia
(2.1.12) guverneaza procesul de propagare a caldurii ntr-un
bara.
In cazul proceselor stationare (procese care nu depind de timp)
f(x, t) = f(x) si u(x, t) =u(x), ecuatiile propagarii undelor si
cea de propagare a caldurii iau forma
u(x) = f(x), x . (2.1.15)
Din considerente fizice, pentru a determina n mod unic solutia
ecuatiei (2.1.15), acesteiecuatii se mai ataseaza o conditie la
frontiera care poate fi conditia lui Dirichlet, conditia luiNeumann
sau conditia lui Robin.
Ecuatiei (2.1.15) se numeste ecuatia lui Poisson. Daca n
(2.1.15) f(x) = 0, atunciobtinem ecuatia lui Laplace
u(x) = 0, x . (2.1.16)Ecuatiile (2.1.15) si (2.1.16) descriu
diverse marimi fizice stationare, cum ar fi potentialul
unui camp electrostatic, potentialul unui camp magnetic
stationar si alltele.Un sir de alte modele din fizica guvernate de
ecuatii diferentiale cu derivate partiale pot
fi gasite n [2], [3], [8].
2.2 Clasificarea ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale
semiliniare
de ordinul al doilea
In aseasta sectiune vom efectua o clasificare algebrica a
ecuatiilor diferentiale cu derivatepartiale semiliniare de ordinul
al doilea.
Fie Rn o multime deschisa. Examinam ecuatia diferentiala cu
derivate partialesemiliniara de ordinul al doilea
ni,j=1
aij(x)uxixj(x) + f(x, u,u) = 0, x = (x1, . . . , xn) Rn,
(2.2.1)
24
-
unde aij, f : 7 R sunt functii date. Membrul din ecuatia (2.2.1)
ce contine derivatelede ordinul al doilea se numeste partea
principala a ecuatiei. Clasificarea ecuatiilor de forma(2.2.1) se
efectuiaza dupa partea principala a acestor ecuatii. In acest scop,
vom asocia partiiprincipale a ecuatiei (2.2.1) matricea
A(x) =
a11(x) a12(x) . . . a1n(x)
a21(x) a22(x) . . . a2n(x)
. . . . . . . . . . . .
an1(x) an2(x) . . . ann(x)
.
Deoarece ecuatia (2.2.1) este de ordinul doi, rezulta ca A(x) 6=
0 pentru x . Fara arestrange generalitatea, putem considera ca
aij(x) = aji(x), x , adica matricea A(x)este simetrica.
Intr-adevar, notan cu
aij(x) =1
2
(aij(x) + aji(x)
), aij(x) =
1
2
(aij(x) aji(x)
).
Deoarece uxixj = uxjxi si aij(x) = aij(x) + aij(x) si, prin
urmare,
ni,j=1
aij(x)uxixj(x) =1
2
ni,j=1
aij(x)uxixj(x)1
2
ni,j=1
aji(x)uxjxi(x) = 0,
atuncin
i,j=1
aij(x)uxixj(x) =n
i,j=1
aij(x)uxixj(x) +n
i,j=1
aij(x)uxixj(x) =n
i,j=1
aij(x)uxixj(x)
cu aij(x) = aji(x).Fie x0 arbitrar dar fixat. Nota cu 1(x0),
2(x0), . . . , n(x0) valorile proprii ale
matricei A(x0), adica radacinile ecuatiei
det(A(x0) En
)= 0,
unde En este matricea unitate din Mn(R). Deoarece matricea A(x0)
este simetrica, rezultaca toate valorile proprii ale ei sunt reale.
Nota cu n+(x0) valorile proprii pozitive, cu n(x0)valorile proprii
negative si cu n0(x0) valorile proprii nule ale matricei A(x0).
Definitia 2.2.1. Ecuatia (2.2.1) se numeste:a) de tip eliptic n
x0 daca n+(x0) = n sau n(x0) = n;b) de tip parabolic n x0 daca 0
< n0(x0) < n;c) de tip hiperbolic n x0 daca n0(x0) = 0 si
n+(x0) = n 1 sau n(x0) = n 1;d) de tip ultrahiperbolic n x0 daca
n0(x0) = 0 si 1 < n+(x0) < n 1.
25
-
Exemplul 2.1.1. Ecuatia lui Laplacenk=1
uxkxk = 0 este de tip eliptic n Rn, deoarece
n acest caz A = En si, prin urmare, 1 = 2 = = n = 1. Adica toate
valorile propriiale matricei A n acest caz sunt pozitive.
Exemplul 2.1.2. Ecuatia propagarii undelor utt nk=1
uxkxk = 0 este de tip hiperbolic
n Rn+1, deoarece n acest caz 1 = 1 si 2 = 3 = = n+1 = 1.Exemplul
2.1.3. Ecuatia difuziei ut
nk=1
uxkxk = 0 este de tip parabolic n Rn+1,
deoarece n acest caz 1 = 0 si 2 = 3 = = n+1 = 1.Exemplul 2.1.4.
Examinam tipul ecuatiei lui Tricomi x2 ux1x1 ux2x2 = 0 n R2.
Usor
se observa ca n acest caz 1(x) = x2 si 2(x) = 1. Prin urmare,
aceasta ecuatie estede tip eliptic n semiplanul {x = (x1, x2) R2;
x2 < 0}, de tip hiperbolic n semiplanul{x = (x1, x2) R2; x2 >
0} si de tip parabolic pe axa x2 = 0.
Sa observam ca clasificrea algebrica a ecuatiilor (2.2.1)
efectuata mai sus, epuizeaza toatecazurile posibile.
Fie x0 un punct arbitrar si U(x0) o vecinate a acestui punct.
Vom efectua necuatia (2.2.1) transformarea
y = y(x),(yk = yk(x1, x2, . . . , xn), k = 1, 2, . . . , n
). (2.2.2)
Vom presupune ca transformarea (2.2.2) aplica bijectiv U(x0)
ntr-o vecinate V (y0), undey0 = y(x0). In plus, mai presupunem ca
aceasta transformare este neteda, adica yk C2(U(x0)
)si nedegenerata, adica det J(x) 6= 0, x U(x0), unde J(x) este
matricea Jacobi
a acestei transformari
J(x) =
y1x1
(x)y1x2
(x) . . .y1xn
(x)
y2x1
(x)y2x2
(x) . . .y2xn
(x)
. . . . . . . . . . . .ynx1
(x)ynx2
(x) . . .ynxn
(x)
.
In aceste conditii, conform teoremei de existenta a functiei
implicite, exista transformareainversa a transformarii (2.2.2) x =
x(y) C2(V (y0)), care aplica bijectiv V (y0) n U(x0).Prin urmare,
u(x) = u
(x(y)
)= v(y) si
uxi(x) =nk=1
vyk(y)ykxi
(x(y)
), (2.2.3)
uxixj(x) =n
k,l=1
vykyl(y)ykxi
(x(y)
) ylxj
(x(y)
)+
nk=1
vyk(y)2ykxixj
(x(y)
). (2.2.4)
26
-
Inlocuind (2.2.3) si (2.2.4) n (2.2.1), obtinem
nk,l=1
bkl(y) vykyl(y) + F (y, v,v) = 0, y V (y0), (2.2.5)
unde
bkl(y) =n
i,j=1
aij(x(y)
) ykxi
(x(y)
) ylxj
(x(y)
). (2.2.6)
Daca notam cu B(y) = ||bkl(y)||nk,l=1, atunci, prin calcul
direct, deducem ca B = J AJ t,unde J t este matricea transpusa
matricei J . Din algebra se cunoaste ca numarul valorilorproprii
pozitive si numarul valorilor proprii negative ale matricei A
coincide cu numarulvalorilor proprii pozitive si numarul valorilor
proprii negative ale matricei B. Astfel are locurmatoarea
propozitie.
Propozitia 2.2.1. Tipul ecuatiei (2.2.1) ramane neschimbat la
orice transformare de clasaC2, bijectiva si nedegenerata.
2.3 Forma canonica a ecuatiilor diferentiale cu derivate
partiale
semiliniare de ordinul al doilea cu coeficienti constanti
Pe parcursul cursului se va vedea ca la fiecare tip de ecuatii
se vor aplica diferite metodede cercetare. De aceea, este necesar
de a gasi pentru fiecare tip de ecuatie o forma speciala,numita
forma canonica. Pentru aceasta forma canonica vor fi studiate
metodele principalede cercetare, metode care pot fi aplicate la
ntreaga clasa de ecuatii, reprezentata de aceastaforma canonica.
Mentionam ca, n caz general, ecuatia (2.2.1) nu poate fi adusa la
formacanonica cu ajutorul unei transformari comune pentru toate
punctele dintr-un subdomeniual domeniului , n care ecuatia (2.2.1)
si pastreaza tipul. Totusi, astfel de transformari potfi gasite n
doua cazuti: i) cand coeficientii partii principale a ecuatiei
(2.2.1) sunt constantisi ii) cand n = 2.
In aceasta sectiune vom examina cazul i). Asadar, presupunem ca
cueficientii ecuatiei(2.2.1) sunt constanti, adica examinam
ecuatia
ni,j=1
aij uxixj(x) + f(x, u,u) = 0, x = (x1, . . . , xn) Rn,
(2.3.1)
Asociem ecuatiei (2.3.1) forma patratica
ni,j=1
aij ti tj. (2.3.2)
27
-
si efectuam n ea o transformare nedegenerata t = C , detC 6= 0,
care n coordonate areforma
ti =nk=1
cik k, i = 1, . . . , n.
Atuncin
i,j=1
aij ti tj =n
i,j=1
aij
nk=1
cik k
nl=1
cjl l =
=n
k,l=1
k l
ni,j=1
aij cik cjl =n
k,l=1
bkl k l (2.3.3)
unde
bkl =n
i,j=1
aij cik cjl.
Efectuam, acum, n ecuatia (2.3.1) transformarea y = Ct x, care n
coordonate are forma
yi =np=1
cpi xp, i = 1, . . . , n.
Atunci u(x) = u((Ct)1 y
)= v(y) si
uxi =nk=1
vyk(y) cik, i = 1, . . . , n. (2.3.4)
uxixj =nk=1
nl=1
vykyl(y) cik cjl, i, j = 1, . . . , n. (2.3.5)
Inlocuind (2.3.4) si (2.3.6) n (2.3.1) obtinem ecuatian
k,l=1
bkl vykyl(y) + F (y, v,v) = 0, y Rn, (2.3.6)
unde bkl sunt aceeiasi ca si n forma patratica (2.3.3). Prin
urmare, conchidem ca la trans-formarea x = Cty n ecuatia (2.3.1) pe
langa derivatele vykyl se obtin aceeiasi coeficienti casi la
transformarea t = C n forma patratica (2.3.2).
Din algebra se cunoaste, ca exista o trabsformare nedegenerata t
= C , care aduce formapatratica (2.3.1) la forma
21 + + 2n+ 2n++1 2n++n .Atunci, avabd n vedere ovservatia de mai
sus, deducem ca la transformarea y = Ct x ecuatia(2.3.1) va lua
forma
n+i=1
vyiyi n++ni=n++1
vyiyi + F (y, v,v) = 0, y Rn. (2.3.7)
Ecuatia (2.3.7) se numeste forma canonica a ecuatiei
(2.3.1).
28
-
2.4 Forma canonica a ecuatiilor diferentiale cu derivate
partiale
semiliniare de ordinul al doilea cu doua variabile
In aceasta sectiune vom ara cum se aduce la forma canonica
ecuatia
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u,u) = 0, (x,
y) , (2.4.1)
unde R2 este o multime deschisa. Vom presupune ca a, b, c C2(1).
Mai ntai, vomprezenta o clasificare a ecuatiilor de forma (2.4.1),
echivalenta cu cea data n sectiunea 2.2
Definitia 2.4.1. Ecuatia (2.4.1) se numeste:de tip hiperboloc n
(x0, y9) (n 1 ), daca b2 a c > 0 n (x0, y0) (n 1 ):de tip
parabolic n (x0, y9) (n 1 ), daca b2 a c = 0 n (x0, y0) (n 1 ):de
tip eliptic n (x0, y9) (n 1 ), daca b2 a c < 0 n (x0, y0) (n 1
).
Vom efectua n ecuatia (2.4.1) schimbul de variabile
= (x, y), = (x, y), (2.4.2)
care se presupune ca este de clasa C2(1) si nedegenerata,
adica
J =
x yx y 6= 0, (x, y) 1 . (2.4.3)
Atunci, conform teoremei de existenta a functiei implicite, avem
ca x = (, ), y =(, ) si u(x, y) = u
((, ),(, )
)= v(, ) pentru (, ) = { = (x, y), =
(x, y); (x, y) 1}. Prin urmare,
ux = v x + v x, uy = v y + v y,
uxx = v 2x + 2 v x x + v
2x + v xx + v xx,
uxy = v x y + v(x y + y x
)+ v x y + v xy + v xy,
uyy = v 2y + 2 v y y + v
2y + v yy + v yy.
Substituind aceste derivate n ecuatia (2.4.1), obtinen
a(, ) v + 2 b(, ) v + c(, ) v + F (, , v,v) = 0, (, ) R2,
(2.4.4)
unde a(, ) = a 2x + 2 b x y + c
2y ,
b(, ) = a x x + b(x y + y x
)+ c y y,
c(, ) = a 2x + 2 b x y + c 2y .
(2.4.5)
29
-
Observam ca ecuatia (2.4.4) are acelasi tip n ca si ecuatia
(2.4.1) n 1, deoarece
b2 a c = J2 (b2 a c). (2.4.6)
In continuare, vom aduce ecuatia (2.4.1) la forma canonica n
dependenta de semnulexpresiei b2 ac.
Cazul hiperbolic. In acest caz (x, y) = b2(x, y)a(x, y) c(x, y)
> 0 n 1. Examinamurmatoarea ecuatie
a(x, y)(x
)2+ 2 b(x, y)
x
y+ c(x, y)
(y
)2= 0, (x, y) 1, (2.4.7)
numita ecuatia diferentiala a caracteristicelor ecuatiei
(2.4.1). Daca a(x, y) 6= 0 n 1, atunciecuatia (2.4.7) se descompune
n doua ecuatii a(x, y)
x( b(x, y)
(x, y)
) y
= 0,
a(x, y)
x( b(x, y) +
(x, y)
) y
= 0.(2.4.8)
Pentru a integra ecuatiile din (2.4.8) alcatuim sistemul de
ecuatii diferentiale ordinare (a sevedea [7])
dx
a(x, y)=
dy
b(x, y) +
(x, y)= 0,
dx
a(x, y)=
dy
b(x, y)(x, y) = 0,echivalent cu sistemul [
a(x, y) dy (b(x, y)(x, y)) dx = 0,a(x, y) dy (b(x, y) +(x, y))
dx = 0, (2.4.9)
care la randul sau este ecivalent cu ecuatia
a(x, y)(dy)2 2 b(x, y) dx dy + c(x, y) (dx)2 = 0. (2.4.10)
Integrand sistemul (2.4.9), obtinem integralele prime ale
acestor ecuatii[(x, y) = c1,
(x, y) = c2,(2.4.11)
care, datorita faptului ca a, b, c C2(1), exista si , C2(1).
Atunci si verificaecuatiile (2.4.8). Curbele (2.4.11) se numesc
curbe caracteristice ale ecuatiei (2.4.1). Dacaefectuam n ecuatia
(2.4.1) transformarea = (x, y), = (x, y), (2.4.12)
30
-
cu si din (2.4.11), atunci din (2.4.5) rezulta ca a(, ) = c(, )
= 0, iar din (2.4.6)urmeaza ca b2(, ) = J2 (x, y) > 0, adica b(,
) 6= 0 n .
Vom mentiona ca transformarea (2.4.12) poate fi alesa
nedegenerata. Intradevar, fara arestrnge generlitatrea, putem alege
conditiile initiale pentru solutiile ecuatiilor din (2.4.8),
astfel ncat
y6= 0 si
y6= 0 n 1. Iar atunci
x:
y=b
a,
x:
y=b
a.
Deorece > 0 rezulta ca
x:
y6= x
:
y.
Prin urmare, J 6= 0 si transformarea (2.4.12) este
nedegenerata.Impartind ecuatia (2.4.4) la 2 b(, ), obtinem forma
canonica a ecuatiei de tip hiperbolic
v + f(, , v,v) = 0, (, ) R2, (2.4.13)
Remarca 2.4.1. Uneori drept forma canonica a ecuatiei de tip
hiperbolic se consideraecuatia
v (, s) vss(, s) + f(, s, v,v) = 0,care se obtine din (2.4.13),
efectuand substitutia nedegenerata
= + s
2,
= s
2.
Cazul parabolic. In acest caz (x, y) = b2(x, y) a(x, y) c(x, y)
= 0 n 1. Dacaa(x, y) 6= 0 n 1, atunci sistemul (2.4.9) degenereaza
ntr-o singura ecuatie
a(x, y) dy + b(x, y) dx = 0.
Fie(x, y) = c (2.4.14)
integrala prima a acestei ecuatii. In acest caz, vom efectua n
ecuatia (2.4.1) transformarea = (x, y), = (x, y), (2.4.15)
31
-
cu din (2.4.15) si ales arbitrar cu conditia ca aceasta
transformare sa fie nedegenerata,adica sa verifice conditia
(2.4.3). In acest caz, din (2.4.5) rezulta ca a(, ) = 0, iar
din(2.4.6) urmeaza ca b(, ) = 0 n . Deoarece functia este aleasa
astfel ncat jacobianultransformarii (2.4.15) este diferit de zero n
, atunci c(, ) = 0 n . In caz contrar ecuatia(2.4.4) ar fi de
ordinul ntai, ceea ce este imposibil, avand n vedere ca
transformarile nede-generate nu schimba ordinul ecuatiei (2.4.1).
Impartind ecuatia (2.4.4) la c(, ), obtinemforma canonica a
ecuatiei de tip parabolic
v + f(, , v,v) = 0, (, ) R2.
Deoarece sistemul (2.4.8) degenereaza ntr-o singura ecuatie,
atunci se poate ntampla can ecuatia (2.4.4) sa avem ca c(, ) = b(,
) = 0 si a(, ) 6= 0 n . In acest caz formacanonica a ecuatiei
(2.4.1) va lua forma
v + f(, , v,v) = 0, (, ) R2.
Remarca 2.4.2. Avand n vedere ca n cazul parabolic functia din
transformarea (2.4.15)poate fi alesa arbitrar, pentru a evita
calcule mari se recomanda a alege functia cat maisimpla, spre
exemplu, dependenta numai de una din varisbilele x sau y, totodata
urmarindrespectarea conditiei (2.4.3).
Cazul eliptic. In acest caz (x, y) = b2(x, y)a(x, y) c(x, y)
< 0 n 1. Vom presupuneca coeficientii a, b, c sunt functii
analitice n 1. Atunci, conform Teoremei Kowalevski (a sevedea
sectiunea 2.5), sistemul (2.4.9) poseda integrale prime analitice
de forma
(x, y) = (x, y) i (x, y) = c, , : 1 7 R (2.4.16)
ntr-un subdomeniu al lui 1, care fara a restrange generalitatea,
poate fi considerat chiar1. Rezulta ca functiile verifica ecuatia
(2.4.7). Vom alege o astfel de solutie, pentrucare
x
+ y
6= 0 n 1, (2.4.17)si vom efectua n ecuatia (2.4.1) transformarea
(2.4.15) cu si din (2.4.16). Aceastatransformare este nedegenerata,
deoarece J 6= 0 n 1. Intradevar, substituind n (2.4.8)si separand
partea reala si partea imaginara n identitatile obtinute, avem
a(x, y)
x= b(x, y)
y+(x, y)
x,
a(x, y)
y= b(x, y)
y+(x, y)
x.
(2.4.18)
32
-
Substituind x = x si x = x din (2.4.18) n (2.4.3), obtinem
J =
a
[(y
)2+(y
)2]n 1.
Din aceasta egalitate rezulta ca daca J ar fi egal cu zero n 1,
atunci
y=
y= 0 n 1.
Rezulta din (2.4.18) ca si
x=
x= 0 n 1. Prin urmare,
+x
=+y
= 0 n 1, ceea
ce contrazice conditiei (2.4.17).Separamd n identitatea
a(x, y)(+x
)2+ 2 b(x, y)
+x
+y
+ c(x, y)(+y
)2= 0, (x, y) 1,
partea reala si partea imaginara, obtinem
a(x, y)(x
)2+ 2 b(x, y)
x
y+ c(x, y)
(y
)2=
= a(x, y)(x
)2+ 2 b(x, y)
x
y+ c(x, y)
(y
)2n 1 (2.4.19)
si
a(x, y)
x
x+ b(x, y)
[x
y+
y
x
]+ c(x, y)
y
y= 0 n 1. (2.4.20)
Deoarece forma patratica
a(x, y) t21 + 2 b(x, y) t1 t2 + c(x, y) t22
este de semn determinat (pozitiva sau negativa) n 1, atunci
fiecare din partile egalitatii(2.4.19) poate sa se anuleze n 1
numai daca
x=
y=
x=
y= 0, n 1,
ceea ce contrazice conditiei (2.4.17). Prin urmare, din (2.4.5)
rezulta ca a(, ) = c(, ) 6= 0si b(, ) = 0 in .
Impartind ecuatia (2.4.4) la a(, ), obtinem forma canonica a
ecuatiei de tip eliptic
v + v + f(, , v,v) = 0, (, ) R2.
Remarca 2.4.3. Daca a(x, y) = 0 n 1, atunci ecuatia (2.4.10)
este echivalenta cu sistemul[dx = 0,
2 b(x, y) dy c(x, y) dx = 0, (2.4.21)
care determina substitutia care aduce ecuatia (2.4.1) la forma
canonica n acest caz.
33
-
2.5 Problema Cauchy. Notiune de caracteristica
In aceasta sectiune vom formula problema Cauchy si notinea de
caracteristica, ilustradaceste notiuni pentru cazul unei ecuatii
liniare de ordinul al doilea
ni,j=1
aij(x)uxixj(x) +ni=1
ai(x)uxi(x) + a(x)u(x) = f(x), x (2.5.1)
unde Rn este o multime deschisa. Vom presupune ca aij, ai, a, f
: 7 R si A(x) =aij(x)ni,j=1 6= 0, n si aij C().Fie S o varietate
(suprafata) (n1)-dimensionala neteda, definita de ecuatia F (x)
=
0, unde se presupune ca
F : U(S) 7 R, F C2(U(S)), F S6= 0, (2.5.2)
U(S) fiind o vecinatate a varietatii S. Mai presupunem ca pe
U(S) este dat un campvectorial l(x) = (l1(x), . . . , ln(x) 6= 0,
care nu este tangent la varietatea S, adica(F (x), l(x))
xS 6= 0. (2.5.3)
O
1
1
x S
()
Problema Cauchy pentru ecuatia (2.5.1) consta n a gasi o functie
u C2(), care verificaecuatia (2.5.1) n si conditiile Cauchy
u|xS = u0(x), ul
xS
= u1(x), (2.5.4)
unde u0, u1 : S 7 R sunt functii date.
34
-
Daca n = 1, atunci ecuatia (2.5.1) este o ecuatie diferentiala
ordinara si n acest cazproblema Cauchy arata astfela11(x)u(x) +
a1(x)u(x) + a(x)u(x) = f(x), x (c, d) Ru(x0) = u0, u(x0) = u1.In
acest caz, daca a11(x) 6= 0 n (c, d) si a11, a1 a0, f C(c, d),
atunci se stie ca oricare arfi u0, u1 R aceasta problema are o
solutie unica ntr-o vecinatate a oricarui punct x0 din(c, d).
Daca nsa n > 1, atunci conditiile de rezolvabilitate a
problemei Cauchy (2.5.1), (2.5.4)difera esential de cazul n = 1.
Pentru a ne convinge de acest locru luam un pumct arbitrarx0 S si o
vecinatate U(x0) a acestui punct. Notam cu S0 = S
U(x0) si examinam
ecuatia (2.5.1) n U(x0). Deeoarece F S6= 0, atunci putem
presupune ca Fxn(x0) 6= 0
si chiar Fxn(x) 6= 0 pentru x U(x0). Conform teoremei de
existenta a functiei implicite,varietatea S0 se defineste de
ecuatia
xn = (x), x = (x1, . . . , xn1) Dn Rn1,
cu C2(Dn). Notam cu Fn(x) functia F (x) si cu Fi(x) = xi x0i , i
= 1, . . . , n 1, siaplicam bijectiv U(x0) ntr-o vecinate V a
originii de coordonate cu ajutorul transformarii
yi = F (x), x U(x0), i = 1, . . . , n. (2.5.5)
Notam cu imaginea varietatii S0 la transformarea (2.5.5) care,
evident, se afla n hiper-planul yn = 0, adica = V
{(y, yn); y = (y1, . . . , yn1) Rn1, yn = 0}. Conformaceleeiasi
teoreme de existenta a functiei implicite, exista transformarea
inversa a trans-formarii (2.5.5) x = x(y) C2(V ). Prin urmare, u(x)
= u(x(y)) = v(y) si
uxi =nk=1
vyk Fkxi , i = 1, . . . , n,
uxixj =n
k,l=1
vykyl Fkxi Flxj +nk=1
vyk Fkxixj , i, j = 1, . . . , n.
Substituind aceste derivate n ecuatia (2.5.1), obtinem ecuatia
pentru v
nk,l=1
bkl(y)vykyl +nk=1
bk(y) vyk + b(y) v = g(y), y V, (2.5.6)
undebkl(y) =
(A(x(y)
)Fk(x(y)),Fl(x(y))).35
-
In particular,bnn(y(x)
)=(A(x)Fn(x),Fn(x)
), x U(x0). (2.5.7)
Observam cau(x)
l
xS0
=nk=1
u(x)
xkcos(l, xk)
xS0
=
=nk=1
nj=1
v(y(x)
)yj
Fj(x)
xkcos(l, xk)
xS0
=
=nj=1
v(y(x)
)yj
nk=1
Fj(x)
xkcos(l, xk)
xS0
=
=nj=1
v(y(x)
)yj
Fj(x)
l
xS0
=(v(y(x)), Fj(x)
l
) xS0
.
Prin urmare, conditiile (2.5.4) vor lua forma
vy = v0(y), (2.5.8)(v(y), (y))
y = v1(y), (2.5.9)
undev0(y)
= u0(y + x0, (y + x0
)),
v1(y)
= u1(y + x0, (y + x0
)),
(y)y =
(F1(x)l
, . . . ,Fn(x)
l
)xS0
,
si, datorita conditiei (2.5.3),Fn
l
S06= 0. Din conditia (2.5.8) deducem ca
vyiy = v0(y
)yi , i = 1, . . . , n 1, (2.5.10)
iar din conditia (2.5.9) deducem ca
vyny =
F(x(y))l
1 (v1(y) n1i=1
v0yiFi(x(y)
)l
)y
. (2.5.11)
Astfel, valorile vectorului v pe pot fi determinate prin
functiile v0 si v1, ceea ce esteecivalent cu faptul ca valorile
vectorului u pe S0 pot fi determinate prin functiile u0 si u1.
In continuare, vom examina derivatele de ordinul al doilea ale
functiei v pe . Din relatiile(2.5.10) si (2.5.11) rezulta ca pe pot
fi calculate toate derivatele de ordinul al doilea afarade derivata
vynyn . Pentru a calcula vynyn pe utilizam ecuatia (2.5.6). Din
aceasta ecuatieavem
bnn(y) vynyn = g(y)n1k,l=1
bkl(y) vykyl
36
-
n1k=1
bkn(y) vykyn nk=1
bk(y) vyk b(y) v, y V. (2.5.12)
Daca (A(x)F (x),F (x)
)xS0 6= 0, (2.5.13)
atuncibnn(y)
y =
(A(x(y)
)F(x(y)),F(x(y)))y 6= 0.
Deoarece aij,F C(U(S)
), fara a restrange generalitatea, putem considera ca bnn(y) 6=
0
pentru y V . De aceea, mpartind ecuatia (2.5.12) la bnn(y),
avem
vynyn = g1(y)n1k,l=1
kl(y) vykyl
n1k=1
kn(y) vykyn nk=1
k(y) vyk (y) v, y V. (2.5.14)
Punand yn = 0 n ecuatia (2.5.14), calculam vynyn pe . Astfel,
daca se ndeplineste conditia(2.5.13), atunci pe toate derivatele
functiei v de ordinul ntai si de ordinul al doilea seexprima univoc
prin functiile v0, v1 si g. Aceasta este echivalent cu faptul ca, n
acest caz,pe S0 toate derivatele functiei u de ordinul ntai si de
ordinul al doilea se exprima univocprin functiile u0, u1 si f .
Daca, nsa, x S0 este astfel ncat(A(x)F (x),F (x)
)= 0, atunci bnn(y) = 0,
unde y este imaginea transformarii (2.5.5) a punctului x. Prin
urmare, n acest caz,(2.5.12) reprezinta o egalitate ce leaga
marimile v(y), vyk(y) si vykyl(y), k = 1, . . . , n,l = 1, . . . ,
n 1, care apriori sunt date. Rezulta ca valorile functiei v0 si
derivatele sale deorddinele unu si doi sunt legate printr-o
relatie. Prin urmare, functiile u0 si u1 si derivatelesale sunt
legate n x printr-o relatie, ceea ce nseamna ca u0 si u1 nu pot fi
luate arbitrarpe S0.
Definitia 2.5.1. Fie S o varietate definita de ecuatia F (x) =
0, cu F ce verifica conditiile(2.5.2). Punctul x0 S se numeste
punct caracteristic pentru ecuatia (2.5.1) daca(
A(x)F (x),F (x))x=x0
= 0. (2.5.15)
Daca fiecare punct x S este caracteristic, atunci S se numeste
varietate caracteristicapentru ecuatia (2.5.1).
Din cele expuse mai sus rezulta ca daca varietatea S este
caracteristica pentru ecuatia(2.5.1), atunci problema Cauchy
(2.5.1), (2.5.4) are solutie nu pentru orice functii u0 si u1.
37
-
Daca varietatea S este caracteristica pentru ecuatia (2.5.1) si
chiar daca problema Cauchy(2.5.1), (2.5.4) are solutie pentru unele
functii u0 si u1, se poate ntampla ca aceasta solutiesa nu fie
unica dupa cum arata urmatorul exemplu.
Exemplul 2.5.1. ([5]) Examina n = {x = (x1, x2) R2; x21 + x22
< 1} problemaCauchy ux1x2(x) = f(x), x ,u
x2=0= u0(x1), ux2
x2=0
= u1(x1), x1 (1, 1).(2.5.16)
Observam ca dreapta x2 = 0 este caracteristica pentru ecuatia
din (2.5.16). Usor se observa
ca problema (2.5.16) are sulutie din C2() daca si numai
dacadu1(x1)
dx1= f(x1, 0) si aceasta
solutie se defineste de formula
u(x1, x2) =
x10
d1
x20
f(1, 2) d2 + u0(x1) + g(x2),
unde g este o functie arbitrara din C1(1, 1) ce ferifica
conditiile
g(0) = 0,dg
dx2(0) = u1(0).
Mai mentionam ca daca S este caracteristica, atunci este posibil
ca problema Cauchypentru ecuatia (2.5.1) sa fie pusa analog cu
problema Cauchy pentru o ecuatie diferentialaordinara, dar nu de
ordinul al doilea ci de ordinul ntai. Astfel, n capitolul IV vom
arata caproblema ux2 ux1x1 = f(x), x = (x1, x2) R2, x2 > 0u(x1,
0) = u0(x1), x1 R,este rezolbabila. Observam ca, desi ecuatia este
de ordinul al doilea, ea are numai o conditieCauchy, dar aceasta
conditie este data pe dreapta x2 = 0 care este caracteristica
pentruecuatia din problema.
In cele ce urmeaza vom prezenta cateva exemple de suprafete
caracteristice ale celor maisimple ecuatii.
Exemplul 2.5.2. Vom gasi suprafetele caracteristice ale ecuatiei
lui Laplacenk=1
uxkxk = 0, x Rn.
In acest caz, matricea asociata acestei ecuatii este A = En
Mn(R). Daca S este osuprafata caracteristica definita de ecuatia F
(x) = 0, atunci functia F trbuie sa verificeconditiile (2.5.2) si
(2.5.15), adica
F (x)2S
= 0,F (x)2S6= 0,
38
-
care, evident, sunt contradictorii. Prin urmare, ecuatia lui
Laplace nu are suprafete carac-teristice.
Exemplul 2.5.3. Vom gasi csuprafetele aracteristice ale ecuatiei
propagarii undelor
utt nk=1
uxkxk = 0, (t, x) Rn+1.
Matricea A Mn+1(R), asociata acestei ecuatii este
A =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
.
Daca S este o suprafata caracteristica definita de ecuatia F (t,
x) = 0, atunci conditiile(2.5.2), (2.5.15), n acest caz, sunt
(F 2t
nk=1
F 2xk)S
= 0,(F 2t +
nk=1
F 2xk)S
= 0.(2.5.17)
Prin calcul direct se stabileste ca pentru orice (t0, x0) Rn+1
functia
F (t, x) = m0 (t t0) +nk=1
mk (xk x0k)
verifica conditiile (2.5.17) daca m20 =
nk=1
m2k,
m20 +nk=1
m2k 6= 0.(2.5.18)
Adica, orice hiperplan de forma
m0 (t t0) +nk=1
mk (xk x0k) = 0
ce trece prin orice punct (t0, x0) Rn+1 si pentru care se
ndeplinesc conditiile (2.5.18) estesuprafata caracteristica pentru
ecuatia propagarii undelor.
De asemenea, usor se observa ca pentru orice (t0, x0) Rn+1
functia
F (t, x) = (t t0)2 nk=1
(xk x0k)2
39
-
verifica conditiile (2.5.17). Rezulta ca pentru orice (t0, x0)
Rn+1 conul
(t t0)2 =nk=1
(xk x0k)2
este suprafata caracreristica pentru ecuatia propagarii
undelor.Exemplul 2.5.4. Vom gasi suprafetele caracteristice ale
ecuatiei difuziei
ut nk=1
uxkxk = 0, (t, x) Rn+1.
Matricea A Mn+1(R), asociata acestei ecuatii este
A =
0 0 . . . 0
0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
.Daca S este o suprafata caracteristica definita de ecuatia F
(t, x) = 0, atunci conditiile(2.5.2), (2.5.15), n acest caz,
sunt
( nk=1
F 2xk)S
= 0,(F 2t +
nk=1
F 2xk)S
= 0.(2.5.19)
Observam ca, n acest caz, functia F (t, x) = t c verifica
conditiile (2.5.19). Rezulta cahiperplanele t = c cu c R sunt
suprafete caracteristice pentru ecuatia difuziei.
2.6 Teorema S. Cowalevskaia. Notiune de corectitudine n sens
Hadamar
In continuare, vom examina rezolvabilitatea problemei Cauchy
(2.5.1), (2.5.4) n clasafunctiilor analitice si corectitudinea ei n
sens Hadamar.
Definitia 2.6.1. Functiile aij, ai, a, F, l formeaza datele
problemei (2.5.1), (2.5.4).
Definitia 2.6.2. Fie Rn un domeniu (multime deschisa si conexa).
Functia f : 7 Rse numeste analitica n x0 , daca exista o vecinatate
U(x0) a punctului x0 n carefunctia f se descompune n seria de
puteri convergenta catre f n U(x0)
f(x) ==0
a(x x0), x U(x0).
Functia f se numeste analitica n daca ea este analitica n
fiecare punct x0 .
40
-
Vom prezenta fara demonstratie teorema de existenta si unicitate
a problemei (2.5.1),(2.5.4), datorata S.Kowalevskaia. Demonstratia
acestei teoreme poate fi gasita, spre exem-plu, n sursele [1], [5],
[6].
Teorema 2.6.1. Presupunem ca datele problemei (2.5.1), (2.5.4)
sunt analitice n , vari-etatea S definita de (2.5.2) nu este
ecaracteristica pentru ecuatia (2.5.1) si se ndeplinestecondictia
(2.5.3). Atunci exista un subdomeniu 1, S 1 , astfel ncat
problema(2.5.1), (2.5.4) are o unca solutie analitica n 1.
Vom mentiona ca Teorema S. Kowalevskaia poarta un caracter
general, fiind adevaratapentru problema Cauchy de forma normala
m
tmu(x, t) =
0jm1
aj(x, t, x )
j
tju(x, t), (x, t) (0, T ) Rn+1, (2.6.1)
j
tju(x, 0) = j(x), j = 1, . . . ,m 1, x , (2.6.2)
n cazul cand functiile aj su j sunt analitice n si suptafata t =
0 nu este caracteristicapentru ecuatia (2.6.1).
Remarca 2.6.1. Daca suprafata pe care sunt date conditiile
Cauchy este caracteristicapentru ecuatia (2.6.1), atunci problema
Cauchy (2.6.1), (2.6.2) poate sa nu aiba solutiianalitice, dupa cum
arata exemplul S.Kowalevskaia ce urmeaza.
Exemplul 2.6.1. Examinam n = {x = (x1, x2) R2; x21 +x22 < 1}
problema Cauchyux2 ux2x2 = 0, (x1, x2) ,u(x1, 0) =
1
1 + x21, x1 (1, 1).
(2.6.3)
Este evident ca datele acestei probleme Cauchy sunt analitice n
. Totodata observamca dreapta x2 = 0 este caracterictica pentru
ecuatia din (2.6.3). Daca am presupune caproblema Cauchy (2.6.3)
are solutie analitica n vecinatatea punctului (0, 0)
u(x1, x2) =
1=1
2=1
a1,2 x11 x
22 , (2.6.4)
atunci coeficientii a1,2 ar avea forma
a2 k,m =(2 k + 2m)!
(2 k)!m!(1)k+m, a2 k+1,m = 0, k,m N.
Insa seria (2.6.4) nu converge nici ntr-o vecinatate a punctului
(0, 0), deoarece ea divergen orice punct (0, x2) daca x2 6= 0.
Rezulta ca problema (2.6.3) nu are solutie analitica
41
-
n vecinatatea punctului (0, 0), cauza fiind ca conditia Cauchy
este data pe caracteristicaecuatiei x2 = 0.
Deoarece ecuatiile diferentiale cu derivate partiale descriu
diverse procese reale din fizica,chimie, biologie si din alte
domenii ale stiintei, problemele ce guverneaza modelele matem-atice
ale acestor procese trebuie sa ndeplineasca urmatoarele
cerinte:
a) solutia problei trebuie sa existe ntr-o anumita clasa de
functii X;b) solutia problemei trebuie sa fie unica ntr-o anumita
clasa de functii Y ;c) solutia problemei trebuie sa depinda
continuu de datele problemei (de conditiile la
limita, de partea dreapta, de coieficientii ecuatiei etc).
Aceasta nsemna ca daca uk estesirul solutiilor cu datele Uk ale
problemei cercetate si Uk U , k , ntr-un anumitsens, atunci alegand
corespunzator sensul n care ntelegem convergenta trebuie ca uk u,k
, u fiind solutia cu datele U .
Conditia de dependenta continua de datele problemei este impusa
de faptul ca dateleproblemei fizice sunt determinate din experiente
care, de regula, sunt aproximatve. Deaceea, trebuies sa fim siguri
de faptul ca solutia problemei nu este esential afectetata
deerorile experimentale.
Definitia 2.6.3. Problema care verifica conditiile a), b), c) se
numeste corect formulata nsens Hadamard. Multimea X
Y se numeste clasa de corectitudine a problemei.
Exemplul 2.5.1. Problema Cauchy
y = f(x, y), y(x0) = y0, (x, y) R2,
este corect formulata n C(1) (1 este un subdomeniu al domeniului
) daca f C() si fy
verifica conditia Lipschitz n . Atcest fapt este cunoscut din
cursul de ecuatii diferentialeordinare (a se vedea, spre exempu,
[7], [9]).
Remarca 2.6.2. Chiar daca Teorema S. Kowalevscaia poarta un
caracter general, acestateorema asigura ndeplinirea numai primelor
doua conditii a) si b) ale definitiei de corecti-tudine a problemei
Cauchy n sens Hadamar. Insa conditia c) nu este asigurata de
aceastateorema, dupa cum arata urmatorul exemplu datorat lui
Hadamard.
Exemplul 2.6.3. Examinam n = {x = (x1, x2) R2; x21 +x22 < 1}
problema Cauchypentru ecuatia lui Laplaceux1x1 + ux2x2 = 0, x
,u(x1, 0) = n(x1), ux2(x1, 0) = n(x1), x1 (1, 1), (2.6.5)
42
-
unden(x1) = 0, n(x1) = n
1 sin(nx1).
Prin calcul direct deducem ca pentru fiecare n N functia
un(x1, x2) = n2 sh (nx2) sin(nx1)
este solutie analitica a problemei (2.6.5). Deoarece x2 = 0 nu
este caracteristica pentruecuatia lui Laplace si datele problemei
sunt analitice, atunci, conform Teoremei S.Kowalevskaia,aceasta
functie este unica solutie a problemei (2.6.5). Observam ca
max|x|1
n(x1) 0, max|x|1 n(x1) 0, n.In acelasi tump, pentru orice x2 6=
0 avem
u( pi
2n, x2
)= n2 sh (nx2), n.
Rezulta ca solutia pronlemei (2.6.5) nu depinde continuu de
datele problemei.In capitolile ce urmeaza problemele la limita
examinate vor fi studiate din punct de vedere
ale corectitudinii n sens Hadamard.
43
-
3 Problema Cauchy pentru ecuatia undelor
3.1 Problema Cauchy pentru ecuatia oscilatiilor mici ale
coardei
Scopul acestei sectiuni este rezolvarea urmatoarei probleme
Cauchy:
utt(x, t) = a2 uxx(x, t) + f(x, t), x R, t > 0, (3.1.1)
u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R, (3.1.2)unde a = const > 0
si functiile , : R 7 R si f : R [0,) 7 R sunt date.
Definitia 3.1.1. Functia u : R [0,) 7 R se numeste solutie
clasica (n continuarenumita solutie) a problemei (3.1.1), (3.1.2)
daca u C2(R (0,))C1(R [0,)) si uverifica ecuatia (3.1.1) n R (0,)
si conditiile initiale (3.1.2) n R.
Rezolvarea problemei (3.1.1), (3.1.2) se va efectua n cateva
etape. Mai ntai, vom rezolvaurmatoarei probleme Cauchy:
utt(x, t) = a2 uxx(x, t), x R, t > 0, (3.1.3)
u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R, (3.1.4)
Lema 3.1.1. Presupunem ca C2(R) si C1(R). Atunci problema
(3.1.3), (3.1.4)are o solutie unica, definita de formula lui
DAlembert:
u(x, t) =(x+ a t) + (x a t)
2+
1
2 a
x+a txa t
() d. (3.1.5)
Demonstratie. Vom gasi solutia generala a ecuatiei (3.1.3). In
acest scop vom aduceecuatia (3.1.3) la forna canonica, efectuand
substitutia
= x+ a t, = x a t, u(x, t) = u( +
2, 2 a
)= v(, ).
Aceasta substitutie aduce ecuatia (3.1.3) la forma v = 0, a
carei solutie gemerala este
v(, ) = g() + (),
unde g, sunt functii arbitrare de clasa C2(R). Prin urmare,
solutia generala a ecuatiei(3.1.3) este
u(x, t) = g(x+ a t) + (x at). (3.1.6)
44
-
In continuare, nlocuind aceasta functie n conditiile initiale
(3.1.4), obtinem pentru functiileg si urmatorul sistem de
ecuatii:g(x) + (x) = (x),a [g(x)(x)] = (x),care este echivalent cu
sistemul
g(x) + (x) = (x),
g(x)(x) = 1a
x0
() d.(3.1.7)
Rezolvand sistemul (3.1.7), obtinem
g(x) =1
2(x) +
1
2 a
x0
() d + C, (x) =1
2(x) 1
2 a
x0
() d C.
Prin urmare, g(x+ a t) =
1
2(x+ a t) +
1
2 a
x+a t0
() d + C,
(x a t) = 12(x a t) + 1
2 a
0xa t
() d C.
Inlocuind functiile g(x+ a t), (x a t) n (3.1.6), obtinem
formula (3.1.5).Unicitatea solutiei rezulta din modul cum a fost
gasita aceasta. In continuare, vom rezolva urmatoarea probleme
Cauchy:
utt(x, t) = a2 uxx(x, t) + f(x, t), x R, t > 0, (3.1.8)
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x R, (3.1.9)
Lema 3.1.2. Presupunem ca f, fx C(R [0,)). Atunci functia
uf (x, t) =1
2 a
t0
x+a (t)xa (t)
f(, ) d d. (3.1.10)
este o solutie a problemei (3.1.8), (3.1.9).
Demonstratie. Folosind formula de derivarea a integralei n
raport cu parametru
d
d t
(t)(t)
F (x, t) dx = F((t), t
)(t) F((t), t)(t) + (t)
(t)
tF (x, t) dx, (3.1.11)
45
-
avem
tuf (x, t) =
1
2 a
t0
t
x+a (t)xa (t)
f(, ) d d =
=1
2
t0
[f(x+ a (t ), )+ f(x a (t ), )] d, (3.1.12)
2
t2uf (x, t) = f(x, t) +
a
2
t0
[
f(x+ a (t ), )
f(x a (t ), )] d, (3.1.13)
xuf (x, t) =
1
2 a
t0
x
x+a (t)xa (t)
f(, ) d d =
=1
2 a
t0
[f(x+ a (t ), ) f(x a (t ), )] d,
2
x2uf (x, t) =
1
2 a
t0
[
f(x+ a (t ), )
f(x a (t ), )] d. (3.1.14)
Din (3.1.13) si (3.1.14) rezulta ca functia uf verifica ecuatia
(3.1.8), iar din (3.1.10) si (3.1.12)rezulta ca functia uf verifica
conditiile initiale (3.1.9).
Integrala din (3.1.10) se numeste integrala lui Duhamel.
Teorema 3.1.1. Presupunem ca C2(R), C1(R) si f, fx C(R [0,)).
Atunci
problema (3.1.1), (3.1.2) are o solutie unica, definita de
formula
u(x, t) =(x+ a t) + (x a t)
2+
1
2 a
x+a txa t
() d +1
2 a
t0
x+a (t)xa (t)
f(, ) d d. (3.1.15)
Demonstratie. Prin calcul direct, din Lemele 3.1.1 si 3.1.2,
rezulta ca functia u, definitade formula (3.1.15), verifica ecuatia
(3.1.1) si conditiile initiale (3.1.2).
Vom demonstra unicitatea solutiei problemei (3.1.1), (3.1.2).
Presupunem ca u1 si u2sunt doua solutii ale problemei (3.1.1),
(3.1.2) (cu aceleasi functii , si f). Atunci functiau = u1 u2 este
solutie a problemeiutt(x, t) = a2 uxx(x, t), x R, t > 0,u(x, 0)
= 0, ut(x, 0) = 0, x R.Prin urmare, din Lema 3.1.1 rezulta ca u(x,
t) 0 pentru (x, t) R [0,), adica u1 u2.
46
-
Teorema 3.1.2. Solutia problemei (3.1.1), (3.1.2) depinde
continuu de datele problemein sensul urmator: daca u1 si u2 sunt
doua solutii ale problemei (3.1.1), (3.1.2) cu datele(1, 1, f1) si
(2, 2, f2) respectiv, i C2(R), i C1(R) si fi C1
(R [0,)), i = 1, 2,
si pentru T > 0 supxR|1(x) 2(x)| < ,
supxR|1(x) 2(x)| < ,
sup(x,t)R[0,T ]
|f1(x, t) f2(x, t)| < ,(3.1.16)
atinci exista conctanta C(T ), astfel ncat
sup(x,t)R[0,T ]
|u1(x, t) u2(x, t)| < C(T ) . (3.1.17)
Demonstratie. Folosind evaluarile (3.1.16), din formula (3.1.15)
rezulta
|u1(x, t) u2(x, t)| |1(x+ a t) 2(x+ a t)|2
+|1(x a t) 2(x a t)|
2+
+1
2 a
x+a txa t
|1() 2()| d + 12 a
t0
x+a (t)xa (t)
|f1(, ) f2(, )| d d
+ 2 a
x+aTxaT
d +
2 a
T0
x+a (t)xa (t)
d d
+ T + T
0
(t ) d (
1 + T +T 2
2
), (x, t) R [0, T ].
Din acesta evaluare urmeaza (3.1.17) cu C(T ) = 1 + T + T
2/2.
3.2 Unicitatea solutiei problemei Cauchy pentru pentru
ecuatia
undelor
In aceasta sectiune vom demonstra unicitatea solutiei clasice a
problemei Cauchyutt(x, t) = u(x, t) + f(x, t), x Rn, t > 0,u(x,
0) = (x), ut(x, 0) = (x), x Rn. (3.2.1)Definitia 3.2.1. Functia u :
Rn [0,) 7 R se numeste solutie clasica (n continuarenumita solutie)
a problemei (3.3.1), (3.3.2) daca u C2(Rn (0,))C1(Rn [0,)) siu
verifica ecuatia (3.3.1) n Rn (0,) si conditiile initiale (3.3.2) n
Rn.
47
-
Teorema 3.2.1. Problema (3.2.1) are o solutie clasica unica.
Demonstratie. Vom demonstra teorema n cazul n = 2.Presupunem ca
u1 si u2 sunt doua solutii ale problemei (3.2.1). Notan cu v = u1
u2.
Atunci v este solutie a problemei
vtt(x, t) = v(x, t), x = (x1, x2) R2, t > 0, (3.2.2)
v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0, x R2. (3.2.3)Pentru orice functie din
C2(R3), n particular, sipentru v are loc egalitatea
2 vt(vtt v
)=
t
(v2t + v
2x1
+ v2x2) 2
x1
(vt vx1
) 2 x2
(vt vx2
). (3.2.4)
Pentru (x0, t0) (t0 > 0) arbitrar, notam cu K conul
K = {(x, t) R2 (0, t0); (x1 x01)2 + (x2 x02)2 < (t0 t)2}
cu baza = {x = (x1, x2); (x1x01)2 +(x2x02)2 = t02} din planul
x1Ox2 si cu fata laterala,notata cu .
, 0
O
1
2
0, 0
45
0
Integrand egalitatea (3.2.4) pe K, obtinem
0 = 2
K
vt(vtt v
)dx1 dx2 dt =
=
K
[ t
(v2t + v
2x1
+ v2x2) 2
x1
(vt vx1
) 2 x2
(vt vx2
)]dx1 dx2 dt.
48
-
Folosind formula Gauss-Ostrogradski, din egalitatea de mai sus
deducem ca(
+
) [(v2t + v
2x1
+ v2x2)
cos(, t)
2 (vt vx1) cos(, x1) 2 (vt vx2) cos(, x2)] dS = 0, (3.2.5)unde
este vectorul unitate al normalei exterioare la , x1 = (1, 0, 0),
x2 = (0, 1, 0) sit = (0, 0, 1). Din conditiile initiale (3.2.3)
avem ca vt(x, 0) = vx1(x, 0) = vx2(x, 0) = 0. Prinurmare,
egalitarea (3.2.5) ia forma
[(v2t + v
2x1
+ v2x2)
cos(, t)
2 (vt vx1) cos(, x1) 2 (vt vx2) cos(, x2)] dS = 0.
(3.2.6)Oservam ca cos(, t)
=12si cos2(, t) = cos2(, x1) + cos2(, x2) pe . Prin urmare,
din
egalitatea (3.2.6) rezulta
[(vt cos(, x1) vx1 cos(, t)
)2+(vt cos(, x2) vx2 cos(, t)
)2]dS = 0
Deoarece functia de sub integrala este nenegativa si continua
atunci
vt cos(, x1) vx1 cos(, t), vt cos(, x2) vx2 cos(, t) pe ,
sauvt
cos(, t)=
vx1cos(, x1)
=vx2
cos(, x2)= (x, t) pe . (3.2.7)
Fie (x, 0) punctul de intersectie al unei generatoare g a
conului cu planul t = 0. Daca l estevectorul unitate de pe aceasta
generatoare, atunci folosind egalitatile (3.2.7), avem
v
l
g
=(vt
cos(t, l) +v
x1cos(x1, l) +
v
x2cos(x2, l)
)g
=
= (x, t)[
cos(, t) cos(t, l) + cos(, x1) cos(x1, l) + cos(, x2) cos(x2,
l)]g
=
= (x, t) cos(, l)g
= 0.
Rezulta ca functia v este constanta pe generatoarea g. Prin
urmare, v(x0, t0) = v(x, 0) = 0.Avand n vedere ca (x0, t0) este
arbitrar, obtinem ca v(x, t) = 0 pentru orice (x, t) R2 [0,), adica
u1 u2.
49
-
3.3 Existenta solutiei problemei Cauchy pentru ecuatia undelor
n
cazul 3-dimensional
In aceasta sectiune vom demonstra existenta solutiei urmatoarei
probleme Cauchy:
utt(x, t) = u(x, t) + f(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t > 0,
(3.3.1)
u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x R3, (3.3.2)unde functiile , :
R3 7 R si f : R3 [0,) 7 R sunt date.
Mai ntai vom examina urmatoarea problema Cauchy:
utt(x, t) = u(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t > 0, (3.3.3)
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = (x), x R3. (3.3.4)
Lema 3.3.1. Presupunem ca C2(R3). Atunci functia
u(x, t) =1
4pi t
||xy||=t
(y) dSy. (3.3.5)
este o solutie a problemei (3.3.1), (3.3.1).
Demonstratie. Vom efectua schimbul de variabile n integrala din
(3.3.5)
yk = xk + k t, k = 1, 2, 3. (3.3.6)
Folosind formuladSy = t
2 dS, (3.3.7)
functia u va lua forma
u(x, t) =t
4 pi
||||=1
(x+ t) dS. (3.3.8)
Deoarece C2(R3), conform teoremei de derivare a integralei n
raport cu parametru,u C2
(R3 [0,)) si
2 ux2k
(x, t) =t
4 pi
||||=1
2
x2k(x+ t) dS, k = 1, 2, 3.
Prin urmare, folosind schimbul de variabile (3.3.6) si (3.3.7),
avem
u(x, t) =t
4 pi
||||=1
(x+ t) dS =1
4pi t
||xy||=t
(y) dSy. (3.3.9)
50
-
Conform aceleeasi teoreme, avem
ut
(x, t) =1
4 pi
||||=1
(x+ t) dS +t
4pi
||||=1
3k=1
yk(x+ t) k dS. (3.3.10)
Deorecek|||||=1 = cos(, )|||||=1 = cos(, yk)|||xy||=t, k = 1, 2,
3,
unde si sunt vectorii normalelor exterioare la suprafetele
sferice |||| = 1 si ||x y|| = t,respectiv, yk este versorul unitate
de pe axa Oyk, atunci, utilizand (3.3.6), (3.3.7) si formulalui
Gauss-Ostrogradski, termenul al dollea din partea dreapta a
formulei (3.3.10) va luaforma
t
4 pi
||||=1
3k=1
yk(x+ t) k dS =
1
4pi t
||xy||=t
3k=1
(y)
ykcos(, yk) dSy =
=1
4pi t
||xy||
-
adica functia u verifica si conditiile initiale (3.3.4). In
continuare, vom solutiona urmatoarea problema Cauchy:
utt(x, t) = u(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t > 0, (3.3.12)
u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = 0, x R3. (3.3.13)
Lema 3.3.2. Presupunem ca C3(R3). Atunci functia
v(x, t) =ut
(x, t), (3.3.14)
unde u este definita de formula (3.3.5), n care este nlocuit cu
, este o solutie aproblemei (3.3.12), (3.3.13).
Demonstratie. Deoarece C3(R3), conform teoremei de derivare a
integralei nraport cu parametru, v C2(R3 [0,). Din Lema 3.3.1
rezulta ca2v
t2(x, t) =
t
2ut2
(x, t) =
tu(x, t) =
ut
(x, t) = v(x, t), (x, t) R3 (0,).
Adica functia v verifica ecuatia (3.3.12).Tot din Lema 3.3.1
rezulta ca
v(x, 0) =ut
(x, 0) = (x), x R3.
si, datorita formulei (3.3.9),
vt(x, 0) =2ut2
(x, 0) = u(x, 0) = 0, x R3,
adica functia v, definita de (3.3.14), este solutie a problemei
(3.3.12), (3.3.13). In sfarsit, vom solutiona urmatoarea problema
Cauchy:
utt(x, t) = u(x, t) + f(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t > 0,
(3.3.15)
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x R3. (3.3.16)Pentru a solutiona
aceasta problema vom utiliza principiul lui Duhamel enuntat n
urmatoarealema.
Lema 3.3.3. Pentru 0 fixat, presupunem ca v(x, t; ) este solutie
a problemeivtt(x, t; ) = v(x, t; ), x Rn, t > ,v(x, ; ) = 0,
vt(x, ; ) = f(x, ), x Rn. (3.3.17)52
-
Atunci functia
u(x, t) =
t0
v(x, t; ) d (3.3.18)
este o solutie a problemeiutt(x, t) = u(x, t) + f(x, t), x Rn, t
> 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x Rn. (3.3.19)Demonstratie.
Tinand cont de definitia lui v si utilizand formula (3.1.11),
avem
ut(x, t) = v(x, t; t) +
t0
vt(x, t; ) d =
t0
vt(x, t; ) d (3.3.20)
si
utt(x, t) = f(x, t) +
t0
vtt(x, t; ) d. (3.3.21)
In plus,
u(x, t) =
t0
v(x, t; ) d. (3.3.22)
Din (3.3.21) si (3.3.22) rezulta ca
utt(x, t)u(x, t) = f(x, t), x Rn, t > 0.
Din (3.3.18) si (3.3.20) rezulta ca
u(x, 0 = 0, ut(x.0) = 0, x Rn.
Prin urmare, u este solutie a problemei (3.3.19).
Lema 3.3.4. Presupunem ca f C2(R3 [0,)). Atunci functiau(x, t)
=
1
4 pi
||xy||
-
=1
4pi
t0
||xy||=
f(y, t )
dSy d =
=
t0
1
4 pi (t )
||xy||=t
f(y, ) dSy d =
t0
v(x, t; ) d,
unde v(x, t; ) = uf (x, t), uf fiind definit de formula (3.3.5)
si cu nlocuit de f . ConformLemei 3.3.1, functia v este solutie a
priblemei (3.3.17). Atunci, din Lema 3.3.3 urmeaza cafunctia u,
definita de formula (3.3.23) este solutie a problemei (3.3.15),
(3.3.16).
Din Lemele 3.3.1, 3.3.2 si 3.3.4, n mod evident, rezulta
urmatoarea teorema.
Teorema 3.3.1. Presupunem ca C3(R3), C2(R3) si f C2(R3 [0,)).
Atuncifunctia
u(x, t) =
t
1
4pi t
||xy||=t
(y) dSy +1
4 pi t
||xy||=t
(y) dSy+
+1
4 pi
||xy|| 0. Formula (3.3.25) se obtine din (3.3.24), reducand
problema (3.3.26) laproblema (3.3.1), (3.3.2) cu ajutorul
schimbului de variabile x = x, = a t.
Teorema 3.3.2. Solutia problemei (3.3.1), (3.3.2) depinde
continuu de datele problemein sensul urmator: daca u1 si u2 sunt
doua solutii ale problemei (3.3.1), (3.3.2) cu datele
54
-
(1, 1, f1) si (2, 2, f2) respectiv, i C3(R3), i C2(R3) si fi
C2(R3 [0,)),
i = 1, 2, si pentru T > 0
supxR3
{|1(x) 2(x)|, ||1(x)2(x)||} < ,supxR3
|1(x) 2(x)| < ,
sup(x,t)R3[0,T ]
|f1(x, t) f2(x, t)| < ,
(3.3.27)
atinci exista conctanta C(T ), astfel ncat
sup(x,t)R3[0,T ]
|u1(x, t) u2(x, t)| < C(T ) . (3.3.28)
Demonstratie. Folosind formula (2.2.8), avemu(x, t) t4pi
||||=1
|(x+ t)| dS T supxR3
|(x)|, (x, t) R3 [0, T ], (3.3.29)
ut
(x, t) = 1
4 pi
tt
||||=1
(x+ t) dS
1
4pi
[ ||||=1
|(x+ t)| dS + t
||||=1
3k=1
yk
(x+ t) k
dS] sup
xR3|(x)|+ T
4pi
||||=1
(x+ t) |||| dS sup
xR3|(x)|+ T sup
xR3|(x)|, (x, t) R3 [0, T ]. (3.3.30)
Folosind afirmatia a) din Lema 1.2.1 cu n = 3 si = 1, avem 14
pi
||xy||
-
3.4 Existenta solutiei problemei Cauchy pentru ecuatia undelor
n
cazul 2-dimensional
In acesta sectiune, folosindmetoda de coborare, vom demonstra
existenta solutiei urmatoareiprobleme Cauchy:utt(x, t) = u(x, t) +
f(x, t), x = (x1, x2) R2, t > 0,u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x), x
R2, (3.4.1)unde functiile , : R2 7 R si f : R2 [0,) 7 R sunt
date.
Lema 3.4.1. Presupunem ca C2(R2). Atunci functia
u(x, t) =1
2pi
||xy|| 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = (x), x R2. (3.4.3)Demonstratie.
Examinam problema Cauchyutt(x, t) = u(x, t), x = (x1, x2, x3) R3, t
> 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = (x), x = (x1, x2) R2. (3.4.4)
Conform Lemei 3.3.1, functia
u(x1, x2, x3, t) =1
4pi t
||xy||=t
(y1, y2) dSy =
=t
4 pi
||||=1
(x1 + 1 t, x2 + 2 t) dS (3.4.5)
este solutie a problemei (3.4.4). Din (3.4.5) rezulta ca functia
u nu depinde de variabila x3.Prin urmare, u din (3.4.5) este
solutie a problemei (3.4.3). Ramane sa aratam ca aceastafunctie
coincide cu cea definita de formula (3.4.2). Notam cu
S+t (x) = {y = (y1, y2, y3) R3; ||y x|| = t, y3 x3},
St (x) = {y = (y1, y2, y3) R3; ||y x|| = t, y3 x3}.
56
-
O
1
2
()
0
3
+()
Atunci St(x) = {y = (y1, y2, y3) R3; ||y x|| = t} = S+t (x)St
(x) si functia u din
(3.4.5) se va prezenta sub forma
u(x1, x2, t) = I1(x1, x2, t) + I2(x1, x2, t), (3.4.6)
unde
I1(x1, x2, t) =1
4 pi t
S+t (x)
(y1, y2) dSy, I2(x1, x2, t) =1
4 pi t
St (x)
(y1, y2) dSy.
Deoarece
cos(, y3
)S+t (x)
=y3 x3
t
S+t (x)
=
t2 (y1 x1)2 (y2 x2)2
t
S+t (x)
,
fiind vectorul unitate al normalei exterioare la S+t (x), iar y3
vectorul unitate al axei Oy3,Prin urmare,
dSyS+t (x)
=dy1 dy2
cos(, y3
)Bt(x)
=t dy1 dy2
t2 (y1 x1)2 (y2 x2)2Bt(x)
,
unde Bt(x) = {y = (y1, y2) R2; ||x y|| < t}. Atunci
I1(x1, x2, t) =1
4 pi
||yx||
-
Inlocuind I1 si I2 din (3.4.7) si (3.4.8) n (3.4.6), obtinem
formula (3.4.2). In presupunerea ca C3(R2) si f C2(R2 [0,)),
folosind acelasi rationament, din
Lemele 3.3.2 si 3.3.3, n acelasi mod cum a fost obtinuta formula
(3.4.2) din (3.3.5), deducemca functia
v(x, t) =ut
=1
2pi
t
||yx|| 0,u(x, 0) = (x), ut(x, 0) = 0, x R2,iar functia
u(x, t) =1
2 pi
t0
||xy|| 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x R2.Din cele expuse rezulta
urmatoarea teorema.
Teorema 3.4.1. Presupunem ca C3(R2), C2(R2) si f C2(R2 [0,)).
Atuncifunctia
u(x, t) =1
2pi
t
||yx||
-
+1
2 pi a
||xy|| 0. Formula (3.4.10) se obtine din (3.4.9), reducand
problema (3.4.11) laproblema (3.4.1) cu ajutorul schimbului de
variabile x = x, = a t.
O
1
2
0
3
+()
12
12
Teorema 3.4.2. Solutia problemei (3.4.1), depinde continuu de
datele problemei n sen-sul urmator: daca u1 si u2 sunt doua solutii
ale problemei (3.4.1) cu datele (1, 1, f1) si(2, 2, f2) respectiv,
i C3(R2), i C2(R2) si fi C2
(R2 [0,)), i = 1, 2, si pentru
T > 0
supxR2
{|1(x) 2(x)|, ||1(x)2(x)||} < ,supxR2
|1(x) 2(x)| < ,
sup(x,t)R2[0,T ]
|f1(x, t) f2(x, t)| < ,
(3.4.12)
59
-
atinci exista conctanta C(T ), astfel ncat
sup(x,t)R2[0,T ]
|u1(x, t) u2(x, t)| < C(T ) . (3.4.13)
Demonstratie. Mai ntai, vom evalua integrala
I(x, t) =
||xy||
-
12 pi
sup(x,t)R2[0,T ]
|f(x, t)|t
0
I(x, t ) d
T sup(x,t)R3[0,T ]
|f(x, t)|, (x, t) R2 [0, T ]. (3.4.17)
Deoarece functia u = u1u2 este solutie a problemei (3.4.1) cu =
12, = 12si f = f1 f2, atunci, folosind evaluarile (3.4.15),
(3.4.16), (3.4.17) si (3.4.12), din formula(3.4.9) obtinem
evaluarea (3.4.13) a diferentei solutiilor u si u2.
61
-
4 Problema Cauchy pentru ecuatia difuziei
4.1 Principiul de maxim pentru solutiile ecuatiei difuziei n
dome-
niu marginit
In aceasta sectiune vom demonstra principiul de maxim si de
minim pentru solutiileecuatiei difuziei.
Fie Rn un domeniu marginit cu frontiera si T > 0. Notam
cu
T = {(x, T ); x }, QT = {(x, t); x , t (0, T )},
BT = {(x, t); x , t (0, T )}, =
BT .
1 O
1
Q
B
Teorema 4.1.1. Presupunem ca u C(QT )C2,1x,t (QT
T ) verifica ecuatia
ut(x, t) = u(x, t), (x, t) QT . (4.1.1)
Atuncimin
(x,t)u(x, t) u(x, t) max
(x,t)u(x, t), (x, t) QT . (4.1.2)
Demonstratie. Notam cu = max(x,t)
u(x, t) si cu M = max(x,t)QT
u(x, t). Este evident,
ca M . Vom demonstra ca M = . Presupunem contrariul, ca M > .
Deoarece
62
-
u C(QT ), rezuta ca exista (x0, t0) QT
T , astfel ncat M = u(x0, t0), adica (x0, t0)este un punct de
maxim pentru u n QT
T . Examinam functia
v(x, t) =