Ecuaciones y Funciones

MatemáticaOctavo año Básico, Unidad 3, Clase 1

"Ecuaciones y funciones"

1Se autoriza su reproducción con fines educacionales citando la fuente Preparado por: Edotem.Agradecemos comentarios a [email protected]

Establecimiento: …………………………………………………..........… Fecha: ……......………..…

Nombre: …………………………………………………..........………….. Curso: ………...….....…….

¿Qué aprenderás?- "Resolver ecuaciones lineales con una incógnita".

Actividad 1. Para comenzar.Observa las imágenes y luego responde.a) ¿Cuánto pesa una ficha de dominó?

Otra forma es representando lo que hay de cada lado:

4 D + 3 = 1 D + 6

b) ¿Cuánto pesa cada candado?

En el recuadro, expresa de otra forma lo que hay ha cada ladode la balanza y establece la igualdad:

c) ¿Cuánto vale una lupa?

Expresa de una forma algebraica esta expresión:

d) Observa que la balanza está equilibrada.

Llamando con la letra x al peso del saco, expresa la situaciónindicada en la imagen:




e) Representa en una balanza una situación correspondiente a la expresión:

¿Cuál es el valor de x?Se puede concluir que todas estas expresiones representan una ecuación

Para guardar en tu disco duro:Una ecuación es una igualdad en la cual participan algunas cantidades desconocidas,en general designadas por letras. Estas cantidades desconocidas se denominanincógnitas.Resolver una ecuación significa calcular el valor de la incógnita de tal forma que se satisfagala igualdad.Para resolver una ecuación tenemos que ocupar las propiedades de los conjuntos numéricos.Ahora, si deseamos resolver la ecuación: 2x+4 = 12, sumamos el inverso aditivo de 4 quees -4 a ambos lados de la igualdad.

Multiplicar ambos miembros de la igualdad por el inverso multiplicativo de 2 que es ½Luego la solución de la ecuación es 4.

x + 6 = x + x + x + 2

2 X + 4 +- 4 = 12 +-42 X + 0 = 8 2x = 8

Actividad 2. Para ejercitar.

Resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno y luego comprueba lasolución.

a) x + 7 = 7 + 12

b) 5 + x +12 = 25 + 5

c) x - 2 = 8 + 4

d) 24 + x - 6 = 50 + 6

e)

f)

g)

h)

i)

j) 2x -1 = 3x +5

k) 2(x-1) = 3(x+8)

3x4

= 24

4x3

= 12

7x2

= 28

5x2

+ 2 = 20 + 2

1x2

+ 5 = 15 - 5




Actividad 3. Para Aplicar.Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.1. Considera que la balanza no está en equilibrio. ¿Qué peso añadirías

sobre el platillo para que se equilibre?

2. Si en una balanza colocamos dos pesas: de 6kg y 2 kg en la derecha, y en el otrodos de 4 kg c/u, ¿cómo se encuentra la balanza? Dibuja la situación indicada.

3. Explica la situación reflejada en el dibujo.¿Cuál es valor de ?

¿Qué recuerdas?- Debes revisar que tu guía este con sus respuestas completas y corregidas.Síntesis- Escribe con tus propias palabras un resumen en tu cuaderno de lo que

aprendiste.EvaluaciónResponde las siguientes preguntas- ¿Qué conceptos aprendí hoy?- ¿Qué procedimientos aprendí hoy?

53

3 6 4





Nombre: …………………………………………………..........………….. Curso: ………...….....…….

¿Qué aprenderás?- Resolver problemas planteando una ecuación lineal".

Actividad 1. Para ComenzarLee la siguiente situaciónHay situaciones de la vida real en la cual los problemas se expresan en palabras.Se necesitan los hechos, las cifras y cantidades para traducir un problema a unafórmula matemática.Expresa en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones:- El dinero que tengo en bolsillo:- El triple de un número:- La edad de Javiera hace 4 años:- El doble de un número más tres:- La tercera parte de un número:

Inventa una proposición para las siguientes expresiones:- 5y:_____________________________________________________________________- X - 3:_____________________________________________________________________- 2(x + 8):___________________________________________________________________- A - 2:_____________________________________________________________________

Para guardar en tu disco duro:Para no equivocarte en el planteamiento de una ecuación, es conveniente seguiren orden estos pasos:- Lee el problema hasta entenderlo bien.- Subraya las palabras claves.- Haz un círculo en cada dato numérico.- Identifica lo que hay que calcular.- Para resolver problemas, se debe plantear la ecuación que permite dar respuesta a la

pregunta realizada.

Observa la solución de cada uno de los siguientes problemas.

El triple de un número más 39 es igual a 7 veces el mismo número menos 9.¿Cuál es el número? Sea "x" dicho número, entonces la ecuación queda:

3x + 39 = 7x - 939 + 9 = 7x - 3x

48 = 4x48/4 = x

12 = xPor lo tanto el número es 12.




La suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son dichos números?Sea "x" el nº menor, como los enteros se diferencia en una unidad el siguiente será x + 1 y elsubsiguiente x + 2; luego al sumar estos tres números, se obtiene: x + x +1 + x + 2 = 48

3x + 3 = 483x = 48 - 33x = 45

x = 45/3x = 15

En consecuencia:x = 15 nº menorx + 1 = 15 + 1 = 16 nº intermediox + 2 = 15 + 2 = 17 nº mayor

Actividad 2. Para ejercitar.Lee, plantea, resuelve en tu cuaderno y comprueba.

1) El doble de un número disminuido en 5 es igual al triple de éste número aumentadoen 1. ¿Cuál es el número?Resp.: -6

2) La suma de cuatro números consecutivos es 110. ¿Cuáles son esos números?Resp.: 26, 27, 28 y 29

1) L suma de tres números pares consecutivos es 132. ¿Cuáles son esos números?Resp.: 42, 44 y 46

2) La suma de cuatro números impares consecutivos es 176. ¿Cuáles son esosnúmeros?Resp.: 41, 43, 45 y 47

3) La suma de las edades de A y B es de 45 años y A tiene 5 años menos que B. ¿Quéedad tiene cada una de estas personas?Resp.: a = 20 años y B = 25 años

4) La suma de las edades de A y B es de 54 años y la edad de A excede a la de B en8 años. ¿Qué edad tiene A y B?Resp.: Tienen 31 y 23 años respectivamente

5) La suma de tres números es 222. El segundo es un cuarto del tercero y el primeroexcede al tercero en 6. ¿Cuáles son esos números?Resp.: Los números son: 102, 24 y 96.




Actividad 3. Para Aplicar.

1. Si a un número le quito 48 se obtiene 25. ¿Cuál es el número?

2. La suma de dos números es 120. Si uno de ellos es 96, ¿cuál es el otronúmero?

3. La suma de un número y 35, es igual a la diferencia entre 535 y 430. ¿Cuál es elnúmero?

4. Una caja con 30 paquetes de galletas del mismo tipo cuesta $ 7.650. ¿Cuál es elvalor de cada paquete?

5. En una tienda comparan cajas que contienen 500 CD iguales. Si cada caja cuesta$62.500, ¿cuál es el precio de cada CD?

6. Un terreno rectangular de 432 m² de área tiene 12 m. de ancho. ¿Cuántos metrosmide el largo?

7. En un supermercado se encuentran las siguientes promociones para litros de leche:"lleve 4 pague 3, por $1.000" y "2 litros en 600". Además, cada uno, por separado,cuesta $350.a) Si quieres llevar 4 litros de leche, ¿cómo te conviene comprar?b) Si quieres comprar 6 litros de leche, ¿cómo los compararías? ¿cuánto gastarías?

8. En un supermercado se ofrece el choclo congelado en tres paquetes de distintasmasas. El de 500 g. cuesta $499, el de 1.000 g. cuesta $ 899 y el 1.55 g. cuesta $1.299.Si quieres comprar 3 kg. De choclo, ¿cuál de los tres paquetes te conviene comprar?Justifica tu respuesta.

9. Si al triple de un número le sumo 18, obtengo 90. ¿Cuál es el número?

10. Si al quíntuplo de un número le resto ese número, se obtiene 104. ¿Cuál es elnúmero?

11. Un número excede en 15 a otro número. Si la suma de ellos es 55. ¿Cuáles son losnúmeros

12. En el bolsillo izquierdo de su pantalón Gonzalo tiene cierta cantidad de dinero. Sien el bolsillo derecho tiene el triple de dinero y en total tiene $4.800, ¿cuánto dinerotiene en cada bolsillo?

13. Javiera compró el doble de la cantidad de chocolates en dulces. Si la cantidad totalsuma 36, ¿cuántos dulces y chocolates compró?

14. La edad de María es el triple de la edad de su hijo Pablo. Si la suma de las edadeses 48, ¿cuáles son las edades de María y Pablo?

15. Patricia junta monedas de $5 y su hermano Jaime de $10. Si el doble de las monedasque tiene Patricia menos 25 es igual a 65 monedas y Jaime tiene 14 monedas másque Patricia, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

¿Qué recuerdas?- Debes revisar que tu guía este con sus respuestas completas y corregidas.Síntesis- Escribe con tus propias palabras un resumen en tu cuaderno de lo que

aprendiste.EvaluaciónResponde las siguientes preguntas- ¿Qué conceptos aprendí hoy?- ¿Qué procedimientos aprendí hoy?

Comenta tus respuestas con tus compañeros.





Nombre: …………………………………………………..........………….. Curso: ………...….....…….

¿Qué aprenderás?- "Comprender el concepto de función".

Actividad 1. Para comenzar.Valoriza las siguientes fórmulas para los valores dados y calcula lo pedido.

a) d= 320 m (distancia), t= 60 seg. (tiempo), v= ? (velocidad)

b) T = V = d / tSi f=0,8 Hz, (frecuencia),T=? (periodo)

c) R = r1 = 4 ohm, r2 = 6 ohm (resistencia)R = ? (resistencia eléctrica total en paralelo)

En el mundo en que vivimos muchas cosas suelen presentarse en cantidades variables:- kilos de manzanas,- $ boletos de microbuses,- mm de agua caída, etc.

Se puede observar que muchas veces una cantidad depende de otra; es decir, hay relacionesde interdependencia entre ellas. Por ejemplo:

- La cantidad de combustible que consume un vehículo depende de la distancia recorrida.

- La temperatura ambiente depende del instante que la midamos.- La cuenta de luz a fin de mes depende de la cantidad de electricidad que se ha

consumido.

También podemos interpretar dependencia como una correspondencia. Por ejemplo, la cantidadde combustible que se consume está relacionado con la distancia recorrida.Como la cantidad de combustible a consumir depende de la distancia a recorrer y además sepuede determinar cuántos litros se necesitan para viajar una determinada distancia (conociendopreviamente el rendimiento que tiene el vehículo). Se puede afirmar entonces que la cantidadde combustible está en función de la distancia a recorrer (o viceversa). La variable cantidad decombustible depende de la variable distancia a recorrer.Imaginémonos que se tiene un auto que da 14 km por litro de bencina (con 1 litro de bencinapuedo recorrer 14 km).

Con esta información te invito a llenar la siguiente tabla:

r1 x r2r1 + r2

1f




Para guardar en tu disco duro:La tabla que has completado corresponde a una forma de mostrar los datos quecorresponden a esa función. Este método recibe el nombre de Tabla de valores ycorresponde a un registro de la función.Otro registro para la misma función corresponde al conocido diagrama de flechas estudiadoaños anteriores y los datos se mostrarían de la siguiente manera:

Otro registro es la representación de la función en un conjunto como sigue:F = { (0,0); (0.5;7); (1,14); (1,5;21); (2,28); (2,5;35); (5,70) }Se entiende por el punto (1,14) que para 1 litro de bencina se puede recorrer con elvehículo 14 km.Y por último, uno de los registros más importante sería la representación gráfica, dondelo que se hace es ubicar los puntos mencionados antes en el plano cartesiano, donde eleje X representa al conjunto de litros de bencina y el eje Y el conjunto de distanciasrecorridas.Observa:Si miras este registro, el gráfico es una línea recta que nace en el origen del sistema.Si observamos: A más litros de bencina más km a recorrer o viceversa.

Km

Litros

35

28

21

14

7

-0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3.53

00,51

1,52

2,5

0714212835

X Y

Y (litros de bencina)0

0,51

1,52

2,53

3,54

4,55

X (distancia en km)07

1421

35

49

63




Actividad 2. Para ejercitar.Para realizar esta actividad agrúpate con 2 compañeros más y realiza las siguientesactividades en sus cuadernos:

1) Una función se puede representar en distintos registros. Ellos son:______________________, _______________________, _______________________,_____________________ y _____________________.

2) Hay un registro que no se mencionó, corresponde a escribir la fórmula o ecuaciónque genera los datos del problema que hemos usado de modelo.Esta ecuación debe llevar la x, y, cuando sea necesario. Debe ocurrir que al reemplazarun valor en ella y hacer los cálculos debe dar el valor que le corresponda.

X Y X Y0 0 0,5 71 14 1,5 212 28 2,5 35

· ·x x

Complete lo dado y trate de escribir la ecuación que dice Y =3- ¿De qué otra forma se podría escribir la ecuación anterior?4- Si el rendimiento del vehículo hubiera sido 10 km por litro. ¿Cuál sería la ecuación

asociada al problema con la consideración mencionada recién?5- Si la ecuación asociada al problema hubiera sido Y = 18 X. ¿Podrías decir el

rendimiento del vehículo?. ¿Cuántos km recorrería con 27 litros de bencina?¿Cuántos litros de bencina necesita para ir de Río Bueno a Osorno?

Actividad 3. Para aplicar.Resuelve el siguiente problema.1- El consumo de harina per cápita en Chile es de 130 Kg./año siendo el consumo per

capita de pan de 93 Kg./año. Los productos tradicionales, de mayor venta, son lahallulla y la marraqueta, productos que dependiendo de la zona geográfica del paíspueden constituir más del 90 % de la producción de una panadería. El kg de pantiene un valor aproximado de $820, entonces ¿Cuál es el valor total que cancela unafamilia durante el año por concepto de consumo de pan?

2- Confeccionar una tabla de valores que muestre la situación.

3- Representar en una tabla de valores en un plano cartesiano y bosqueja la recta quecontiene los puntos deducidos en la tabla de doble entrada.

4- Escribe la solución algebraica del problema.




¿Qué recuerdas?- Debes revisar que tu guía este con sus respuestas completas y corregidas.

Síntesis- Escribe con tus propias palabras un resumen en tu cuaderno de lo queaprendiste.

EvaluaciónResponde las siguientes preguntas:- ¿Qué conceptos aprendí hoy?- ¿Qué procedimientos aprendí hoy?





Nombre: …………………………………………………..........………….. Curso: ………...….....…….

¿Qué aprenderás?- "Determinar si una relación es una función".

Actividad 1: Para comenzar.Ahora ya empezaremos a definir los conjuntos que se están considerando paraque de a poco te des cuenta de la importancia de conocerlos. 1- Los conjuntos a considerar son A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}.

Visualiza distintos ejemplos en este registro:

Se afirma que sólo 1), 2) y 5) son diagramas que corresponden a funciones. ¿Por qué será?.¿Por qué la 3) y la 5) se dice que no son funciones, que sólo representan una relación?.Anota tus conclusiones:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2- Analiza distintos ejemplos en este registro, donde X = {1, 2, 3} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:

A B

1

2

3

4

5

6

f A B

1

2

3

4

5

6

f A B

1

2

3

4

5

6

f

A B

1

3

a

b

f A B

3

2

1

4

f

1) 2) 3)

4) 5)

Tabla 4X11

Y12

Tabla 4X1233

Y4421

Tabla 3X123

Y123

Tabla 2X123

Y444

Tabla 1X123

Y246




Se dice que la tabla 1, la 2 y la 3 son funciones. ¿A qué se deberá que la tabla 4 y la 5 no sonfunciones?Anota tus conclusiones:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3- Analiza las siguientes situaciones:a) Sombra de un árbol (altura del árbol y su sombra)b) El volumen de una caja (medida de la arista y su respectivo volumen)c) Restricción vehicular (día y el término de las patentes de los vehículos)

Se dice que a) y b) corresponden a funciones. ¿Por qué c) no lo es?. Anota tus conclusiones:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4- Analiza ejemplos siguientes en el registro gráfico:

Se dice que 1) y 2) son sólo funciones. ¿Qué ocurre con las gráficas de aquellas que no sonfunciones?Anota tus conclusiones:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-6

-5

-4

-3

-9

-8

-7

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-6

-5

-4

-3

-9

-8

-7

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-6

-5

-4

-3

-9

-8

-7

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-6

-5

-4

-3

-9

-8

-7




Para guardar en tu disco duro:El concepto de función es una correspondencia entre dos variables en la que acada variable independiente le corresponde una única variable dependiente.Si el valor de la variable y depende del valor de la variable x, entonces; y es lavariable dependiente y x es la variable independiente.Podemos decir que el valor de y "esta en función de x" o que "y es función de x", lo quese escribe:

y = f(x).

Actividad 2. Para ejercitar.Resuelve los siguientes ejercicios.1) Determina si las siguientes relaciones desde el conjunto A ={ 1,2,3} al conjunto

B={ 0,-1,-2.-3} determinan o no una función justifique su respuesta:

2) Inventa 5 ejemplos de los cuales 3 sean funciones y 2 no sean funciones.

3) Según investigaciones médicas un resfrío es contraído por 3 individuos al díasiguiente a partir del contacto con uno que ya posea los virus. Sea x el número dedías se obtiene que la expresión algebraica es:Determina si esta expresión es o no una función justifica tu respuesta.Responde:a) ¿Cuántas personas son contagiadas al 7° día?b) ¿Cuántas personas son contagiadas al 10° día?c) ¿Cuántas personas son contagiadas en el día cero?

¿Qué recuerdas?- Debes revisar que tu guía este con sus respuestas completas y corregidas.Síntesis- Escribe con tus propias palabras un resumen en tu cuaderno de lo queaprendiste.EvaluaciónResponde las siguientes preguntas:- ¿Qué conceptos aprendí hoy?- ¿Qué procedimientos aprendí hoy?

A B

1

2

3

0

-1

-2

-3

A B

1

2

3

0

-1

-2

-3

A B

1

3

-1

-2

a) b) c)

f(x) = 3x





Nombre: …………………………………………………..........………….. Curso: ………...….....…….

¿Qué aprenderás?- "Representar en el plano cartesiano una función".

Actividad 1. Para comenzar.Lee la siguiente información.Para la gráfica de las funciones es importante que relacionescada par ordenado con un punto en el plano.El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectasnuméricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes.El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y eleje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden ubicar todoslos pares ordenados de la forma(a, b), como lo muestra la figura.

Para guardar en tu disco duro:En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P. A lavariable independiente se acostumbra representarla en el eje de abscisas (eje x).La variable dependiente, en el de ordenadas (eje y).

Actividad 2. Para ejercitarResuelve los siguientes ejercicios.1) El perímetro de un rectángulo de lados a y b es 2a + 2b. Para un rectángulo cuyo

perímetro mide 20m, determinar los valores de b para los valores de a indicados enla tabla de doble entrada.

Representa estos valores en un plano cartesiano.

2) La igualdad 2S = 8x correspondiente al perímetro de un cuadrado de lado x, despejarS y determinar su valor si x toma los valores:

y5

4b

3

2

1

-1-1

1 2 3 4xa

P(a b)

d

b

d(m)123456789

b(m)




Grafica la tabla de doble entrada dada

3) Para realizar esta actividad utiliza el computador del laboratorio de computación.Para ello debes utilizar el programa Graphmatica.Utilizando el programa que se dijo antes, escribe cada una de las ecuaciones que acontinuación se dan y en tu cuaderno hace un bosquejo de la gráfica que te entrega lapantalla (estamos utilizando el último registro estudiado, el que corresponde a la ecuaciónde una determinada figura que según como sea podremos decir si es o no una función):a) y = xb) y = x2

c) y = -3x+2d) y = x3

e) y = 2x

f) y = 2g) x = 3h) y = x2+2x+1i) x2 + y2 = 4j) y = |x + 1| [|x + 1| = abs(x+1)]

Una vez que tengas los bosquejos analiza si esas gráficas corresponden o no a funciones:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4) Gráfica en el plano cartesiano las siguientes funciones.a) f( x) = 2x -7b) f(x) = x2c) f(x) = x +1 / xd) f(x) = (3x+2) / 4

¿Qué recuerdas?- Debes revisar que tu guía este con sus respuestas completas y corregidas.Síntesis- Escribe con tus propias palabras un resumen en tu cuaderno de lo queaprendiste.EvaluaciónResponde las siguientes preguntas:- ¿Qué conceptos aprendí hoy?- ¿Qué procedimientos aprendí hoy?

x(m)1234

1215

s(m)

x





Nombre: …………………………………………………..........………….. Curso: ………...….....…….

¿Qué aprenderás?- "Determinar el dominio y recorrido de una función".

Actividad 1. Para comenzar.un alumno lee en voz alta y el resto de los alumnos sigue la lectura.ya has visto que una función es una serie de operaciones que se hacen en unavariable y de las que se obtienen un valor (por ejemplo recuerda la tabla de valoresy la ecuación asociada a esa situación).Podemos imaginarnos la función como una maquina a la que se le suministra unos datos y queobtiene un valor. A veces esta "maquina" no funciona con determinados valores.

Para guardar en tu disco duro:Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los quela maquina funciona) se llama DOMINIO de la función. El conjunto de valores quese obtienen a partir del conjunto de valores del dominio se llama RECORRIDO dela función.

Para comprender estos conceptos consideremos la siguiente situación:

"Pedro invitó a sus compañeros de curso a una fiesta en su casa, cada uno de suscompañeros llegó separado uno del otro, es decir, fueron llegando de uno en uno. Almomento de ingresar al comedor los invitados saludan a los compañeros que se encuentranen él. ¿Cuántos saludos debe realizar cada uno de los invitados que va ingresando alcomedor si solo concurren a esta fiesta 25 compañeros?"

Para dar respuesta a esta situación sea x el número de compañeros, se tiene entonces que si llega el primero y saluda al dueño de casa y hay dos personas, luego llégale terceroy saluda a dos y hay tres personas y así sucesivamente hasta que llega el n° 25 quesaluda a 24 personas es decir en forma general si hay x personas se saludan x-1 personas obteniéndose así: f(x) = x - 1.

El dominio de la función f(x) = x - 1, es el conjunto de los números naturales (N).

El recorrido de la función f(x) = x - 1, es el conjunto de los números naturales incluido elcero. (N U{0}) .¿Porque? .Comenten y justifiquen varazón de porque no pueden ser números negativosy cual es la razón de que el recorrido sean los naturales más el cero.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




Actividad 2: Resuelve los siguientes ejercicios.

1) Un jardinero debe reponer el pasto en un terreno cuadrado cuya áreatotal es de 100 Metros cuadrados. Decide comprar cuadrados de lado1¿Cuántos cuadrados de pasto necesita el jardinero para cubrir el terreno?.Si x es el número de metros cuadrados del terreno ¿Cómo expresa algebraicamente estafunción?Determine el dominio y recorrido de la función.

2) Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones:

3) Complete las tablas , realice el gráfico y determine el dominio y recorrido:a) Considerando que un litro de gasolina vale : $650.

Construya la tabla hasta 10 litros.

¿Qué sucede con el precio que se debe pagar al aumentarla cantidad de litros?

b) Carmen calcula que con la cantidad de bebida que tiene para la fiesta le alcanzapara 120 vasos medianos. Si las personas disminuyen a la mitad

¿Qué sucede con el número de vasos puede tomar cadauno?.Si asisten 80 personas ¿Cuántos vasos pueden tomar?.Complete la tabla

012

3

A Ba)

-101

abc

A Bb)

ab

de

A Bc)

123

149

A Bd)

Litros1...

10

Precio $650

.

.

.6.500

Asistentes1...

120

Vasos120

.

.

.1

Completa la tabla




¿Qué recuerdas?- Debes revisar que tu guía este completa- Escribe con tus propias palabras un resumen en tu cuaderno lo que

aprendiste.

Síntesis y Evaluación:Comenta las respuestas dadas, y la importancia de contestar siempre conrespuesta completa. Lean y comenten sus resultados con sus compañeros yprofesor. Es importante corregir las respuestas erradas.

Matemática Octavo Año Básico Unidad 3: “Ecuaciones y funciones”

Se autoriza su reproducción con fines educacionales citando la fuente Autor: EDOTEM

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1.- PRESENTACIÓN

La unidad de álgebra se presenta por primera vez en el programa de estudio con identidad propia, esto quiere decir, con autonomía de los temas tratados en números. Este hecho es particularmente importante cuando se quiere analizar el enfoque de los temas propuestos en esta unidad, los cuales, tal como indica el título de la unidad, están bajo la mirada del álgebra. La unidad propone el reconocimiento de funciones y su distinción con las relaciones en contextos diversos. Sin embargo, no propone la clásica progresión que se iniciaba con una rigurosa definición de producto cartesiano, para luego definir el concepto de relación y terminar presentando las funciones como un caso particular de las relaciones. Por el contrario, en esta oportunidad se propone desarrollar el concepto de función asociado a algunas metáforas que facilitan su comprensión y vinculado a conceptos matemáticos que ya fueron trabajados años anteriores por los estudiantes, como por ejemplo, la proporcionalidad directa e inversa. Particularmente importante resulta que los alumnos y alumnas sean capaces de reconocer una función con relación a su dominio y recorrido. Aunque tanto el marco curricular como el programa de estudio no desarrollan una progresión del lenguaje conjuntista, si lo estima conveniente puede utilizar términos y conceptos relacionados con teoría de conjuntos. Es importante que se sienta con la libertad de usar cotidianamente aquellos elementos del lenguaje que estima que favorecen la comprensión de sus estudiantes. Una propuesta didáctica de la introducción de funciones se ofrece como ejemplo en el presente programa. En este nivel, el trabajo con ecuaciones progresa con el planteamiento y resolución de ecuaciones con dos incógnitas. Es recomendable que esto se realice a partir de expresiones sencillas provenientes variados contextos. Por ejemplo, plantear y despejar ecuaciones que representan relaciones físicas, fórmulas geométricas o expresiones que representan situaciones de la vida cotidiana, resultan de fácil tratamiento e interesantes para los estudiantes. En énfasis debe estar puesto en que los y las estudiantes comprendan que las variables de este tipo de ecuaciones pueden ser despejadas en función de la otra variable, y que el valor que puede tomar la incógnita dependerá del valor que tome la otra variable. Ejemplos clásicos pueden ser tomados de fórmulas que representan relaciones físicas. Por ejemplo: la frecuencia (f), es el número de ondas (o ciclos) por unidad de tiempo

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Matemática Octavo año básico Unidad 3: “Ecuaciones y funciones”

Se autoriza su reproducción con fines educacionales citando la fuente Autor: EDOTEM.

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2.- PLANIFICACIÓN DE UNIDAD

Mapa de Progreso Nivel Anterior

OFT Aprendizajes esperados Indicadores Habilidades Mapa Progreso del Nivel

Operatoria y número

Mapa de Progreso Nivel Anterior

OFT Aprendizajes esperados Indicadores Habilidades Mapa Progreso del Nivel

Algebra

Resuelve ecuaciones de primer grado donde la incógnita se encuentra a un solo lado de la igualdad, utilizando estrategias informales. Justifica sus soluciones explicitando las estrategias utilizadas. Traduce expresiones desde el lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa. Reduce expresiones algebraicas por medio de la aplicación de propiedades de las operaciones. Resuelve problemas en diferentes contextos que involucran ecuaciones de primer grado con la incógnita en ambos lados de la igualdad, utilizando propiedades y convenciones del álgebra. Reconoce funciones en contextos cotidianos y sus elementos constituyentes, distinguiendo entre variables independientes y dependientes. Resuelve problemas que involucran aplicar el modelo de variación proporcional, explicando la relación entre las variables. Justifica la pertinencia de los procedimientos aplicados aludiendo a la situación que modela.

Tra

ba

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ive

rsos.

Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos

Plantea ecuaciones de primer grado con más de una incógnita que representan diversas situaciones o fenómenos de la vida cotidiana. Despeja una variable en función de las otras en ecuaciones que tienen más de una incógnita.

Comprender Interpretar Calcular Aplica Analiza

Comprende que en las expresiones algebraicas las letras pueden representar distintos valores de acuerdo al contexto. Reconoce las expresiones algebraicas que representan las propiedades de las operaciones e interpreta expresiones algebraicas que representan la generalización de una operación matemática. Comprende que una misma expresión tiene distintas representaciones algebraicas equivalentes

Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.

Diferencia entre una función y una relación no funcional entre dos variables y da ejemplos concretos. Identifica el dominio y recorrido de una función definida en un conjunto determinado. Identifica variables dependientes e independientes y da ejemplos concretos. Representa como una función relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables utilizando notación de funciones. Argumenta acerca del comportamiento de situaciones o fenómenos de la vida cotidiana representadas en gráficos o tablas.

Matemática Octavo año básico Unidad 3: “Ecuaciones y funciones”


3

3. PLANIFICACIÓN CLASE A CLASE

Habilidad

Comprender calcular Aplicar

Comprenden Calculan Aplicar Analiza

Comprender Calcular Aplicar Analizar

Comprender Calcular Aplicar Analizar

Interpretar Resolver Aplicar Analizar

Resolver Aplicar Analizar Sintetizar

Guías Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 4 Clase 5 Clase 6

Inicio

Activan conocimientos previos. Comprenden el objetivo de la clase.






Desarrollo

Resuelven ecuaciones lineales con una incógnita Calculan el valor de la variable Aplican propiedades de los racionales en la resolución de ecuaciones.

Plantean y resuelven problemas con una y dos incógnitas. Aplican ecuaciones en resolución de problemas Analizan y resuelven problemas

Comprenden el concepto de función se interpreta variables dependiente e independiente. Calculan valores de la variable dependiente dado un valor de la variable independiente.

Determinan si una relación determina una función según el concepto Aplican concepto de función para determinar si una relación define una función

Representan en forma gráfica las funciones y además aprenden a ocupar el Graphmatica. Aplican tabla de valores para determinar la gráfica de funciones

Determinan dominio y recorrido de una función. Aplican ecuaciones para determinar dominio de una función. Analizan el dominio y recorrido de una función.

Cierre

Sintetizan a partir de la elaboración de un resumen con la definición de ecuación y cómo se resuelve una ecuación. Evalúan lo aprendido a partir de preguntas dadas en la guía.

Sintetizan a través de la elaboración un problema y detallan su resolución comprueban su respuesta y de un resumen de lo aprendido. Evalúan lo aprendido a partir de preguntas dadas en la guía.

Sintetizan a partir de la elaboración de un resumen y ejemplificando con variables independientes y dependientes. Evalúan lo aprendido a partir de preguntas dadas en la guía.

Sintetizan a partir de la elaboración de un resumen aclarando el concepto de función. Evalúan lo aprendido a partir de preguntas dadas en la guía.

Sintetizan lo aprendido a través de la elaboración de un resumen con las dos formas de graficar e indicando que el plano cartesiano está determinado por cuatro cuadrantes. Evalúan lo aprendido a partir de preguntas dadas en la guía.

Sintetizan a través de la realización de un resumen. Evalúan lo aprendido a partir de preguntas dadas en la guía.



4

4. GUIONES METODOLÓGICOS POR CLASE GUIÓN METODOLÓGICO CLASE 1.

Inicio

(15 min.)

Proponga conceptos tales como el establecimiento igualdades numéricas: sume, reste un mismo número a cada lado de la igualdad y establezca conclusiones. Recuerde algunas propiedades como el inverso aditivo, inverso multiplicativo, elemento neutro, propiedad asociativa, etc. Exprese el objetivo de la clase, para que sepan lo que van aprender: “Resolver ecuaciones lineales con una incógnita” Motivar a los estudiantes con una actividad lúdica, anécdota, video, desafíos matemáticos, etc. Nota: Es relevante que usted junto a sus estudiantes lleguen a consensos

relacionados con el comportamiento.

Desarrollo

(60 min.)

Al iniciar la Actividad 1 es necesario que establezca algunas asociaciones como

establecer otras igualdades y preguntar a los alumnos cuanto falta para establecer el equilibrio de la balanza.

10 + 2 = 4 + 8

Puede cambiar los valores y colocar incógnitas para que ellos calculen el valor que les falta para mantener en equilibrio la balanza Haga que resuelvan ecuaciones sencillas como 3x= 6, luego x+8 = 10 Haga que establezcan algoritmos de resolución de ecuaciones, que despejen variables aplicando el inverso aditivo, multiplicativo, etc. Es importante que interpreten las soluciones y puedan comprobar sus respuestas, haga ejercicios en el pizarrón de manera que se den cuenta como pueden comprobar la solución. Pida que realicen los ejercicios en el cuaderno y al mismo tiempo resuelva los ejercicios en el pizarrón Es importante que le dé a las fichas rojas de dominó la letra D y de esta manera establecer una ecuación como 4D +3=1D +6 Y preguntar cuál debería ser el valor de D para que se cumpla la igual.

Haga lo mismo con las figuras :

y preguntar ahora por el candado darle el valor C y obtener así 6+ 2C=4C+ 3 y preguntar a sus estudiantes ¿Cuál es el valor del candado?

Pídales que expresen esto como una ecuación y determinar el valor de cada paleta, la ecuación que así: 3P +10=5P +6 Pregunte entonces ¿Cuál es el valor de cada paleta? Puede preguntar: ¿Cuánto se debe pagar por 2,3 ó por 4 paletas? Pida que respondan ¿cómo quedaría la balanza? En la actividad d), cuando observen este dibujo pídales que llamen X al saco y que

escriban la ecuación correspondientes es decir: x =22 Recuerde que el inverso aditivo de 10 es -10, el de -24 es 24, etc. Que el inverso multiplicativo de 4 es ¼ y de -1/2 es -2 ,etc. Y recuerde además que todo número sumado a su inverso aditivo da cero y que todo número multiplicado por su inverso multiplicativo da como resultado 1.

Resuelva la ecuación que está en la guía y luego resuelva la del domino, candado y paleta aplicando estas propiedades, Monitoree que sus estudiantes resuelvan estos desafíos. Solicíteles a sus alumnos que lean el ”Para guardar en el disco duro” y comente con ellos ¿qué son las ecuaciones? Pase a la Actividad 2 para que sus estudiantes practiquen lo aprendido. Revise los

ejercicios en la pizarra, pidiendo a sus estudiantes que los realicen y comprueben los procedimientos y resultados en sus cuadernos. Asegúrese que todos lo hagan. Pida a sus estudiantes aplicar lo aprendido en la Actividad 3. Revise la ejecución en la pizarra poniendo atención en los procedimientos y resultados.



5

Cierre

(15 min.)

Pida a sus estudiantes completar el apartado “¿Qué recuerdas?”, donde a modo de síntesis deben realizar un resumen de lo aprendido y como evaluación responder las preguntas dadas en la guía. Sistematice lo realizado en la clase a partir de los resúmenes y respuestas dadas por sus estudiantes. Pregunte por las dificultades que tuvieron al formular las conjeturas propuestas, al realizar las verificaciones de esas conjeturas y aplicar el conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios propuestos.

Nota: Recuerde que estas actividades son sólo sugerencias. Usted puede complementarlas y

contextualizarlas según las necesidades de su grupo curso. Es importante que potencie las habilidades indicadas en cada guía para poder lograr los aprendizajes esperados. Los tiempos establecidos son aproximados, pueden existir modificaciones según el grupo curso.



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GUIÓN METODOLÓGICO CLASE 2.

Inicio

(15 min.)

Es importante que dé a conocer el objetivo de la clase: - “Resolver problemas planteando una ecuación lineal”. Puede escribirlo en la pizarra al momento de escribir la fecha del día. Asegúrese que sea comprendido por todos. Inicie la clase con un situaciones como la siguiente: ¿Cuánto dinero tengo en el bolsillo?; la edad de Juan y su padre suman 50 años, la mitad de un número, etc. Pídales que comente y conjeturen las respuestas dadas

Desarrollo

(60 min.)

Al dar inicio a la Actividad 1 es importante que sus estudiantes sepan que hay situaciones en las cuales su resolución requiere del uso de variables o incógnitas para su resolución, es importante además recordar que no necesariamente esta incógnita es x. Es importante hacer notar que cuando se desea resolver un problema es importante su comprensión lectora, identificando los datos , planteamiento- operatoria y respuesta. Se deben seguir los cuatro pasos de Polya: Cuando se resuelven problemas con dos incógnitas es importante buscar variables más amigables para sus estudiantes como por ejemplo: La suma de las edades de Juan y Pedro es 45 años J+ P =45(1) Si Pedro es mayor que Juan en 5 años P= J+5(2) ¿Qué edad tiene cada uno? En este caso se trata sólo de una sustitución de variables se sustituye P en la ecuación 1 para formar una ecuación en una sola variable es decir: J+ J+5=45 luego 2J +5 =45 2J=40 entonces J=20 como Juan tiene 20 años entonces Pedro tiene 25 años , este resultado se puede comprobar en los enunciados: 20+ 25=45 y 25 = 20+5 . Luego las respuestas están correctas es decir Juan tiene 20 años y Pedro tiene 25 años. Es importante que cuando sus alumnos resuelven un problema no necesariamente todos deben colocar las mismas incógnitas lo importante es como resuelve el ejercicio y su respuesta, por eso es necesario que el trabajo en el pizarrón es importante y el orden en el cual se resuelve el problemas es primordial El monitoreo constante de lo que el alumno realiza en clases es permanente. Revise y corrija en forma permanente los ejercicios. Pase a la Actividad 2 para poner en práctica lo aprendido. Pueden realizarlo grupalmente y comprobando los resultados con las respuestas dadas en la guía. Monitoree y retroalimente constantemente. Revise algunos ejercicios en la pizarra. Solicite a sus estudiantes aplicar lo aprendido en la ejecución de la Actividad 3. Monitoree que todos trabajen en ello, revise y retroalimente la resolución de los problemas en la pizarra. Asegúrese que todos comprendan cómo hacerlo.

Cierre

(15 min.)

Haga el cierre de la clase, pidiendo a sus estudiantes que inventen un problema y detallen todos los pasos en la resolución. Pida a sus estudiantes completar el apartado “¿Qué recuerdas?”, donde a modo de

síntesis deben realizar un resumen de lo aprendido y como evaluación responder las preguntas dadas en guía. Sistematice lo realizado en la clase a partir de los resúmenes y respuestas dadas por sus estudiantes. Pregunte por las dificultades que tuvieron al formular las conjeturas propuestas, al realizar las verificaciones de esas conjeturas y aplicar el conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios propuestos.





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Inicio

(15 min.)

Recuerde que es importante que dé a conocer el objetivo de la clase: “Comprender el concepto de función”. Puede escribirlo en la pizarra al momento de escribir la fecha del día. Asegúrese que sea comprendido por todos. Inicie su clase la clase con una boleta de consumo de agua o de luz y haga ver que a mayor consumo de agua mayor es el costo luego existe una correspondencia entre lo el consumo y el costo

Desarrollo

(60 min.)

Es fundamental que sea capaz de valorar expresiones y en especial formulas que usa en forma habitual en especial de física o geometría tales como: de perímetros y/ áreas de figuras. Es importante que haga notar que si la frecuencia cambia el periodo también sufre un cambio. Es importante que sean capaces de completar la tabla y que ellos busquen estrategias para completarlas. Hacer ver que a mayor cantidad de bencina mayor es la distancia que puede recorrer. Aquí es importante hacer notar que esta correspondencia se puede registrar a través de una tabla de valores, a través de un diagrama de flechas, con pares ordenados, representar en forma gráfica o algebraica(es decir a través de una fórmula que describa la situación). Es importante que antes de realizar la Actividad 2 de más ejemplos de funciones en las cuales se pueden describir como las situaciones anteriores Algunos de estos ejemplos pueden ser establecer el área constante de un triángulo y dar valores de la altura y ver qué ocurre con la base o al revés, también puede ser con el precio de las fotocopias 1 vale $20 2, 3, 4, etc. Que construyan las tablas en su cuaderno, hagan los diagramas de flecha, grafiquen cada situación , la expresen como pares ordenados y por último expresen una fórmula para representar lo anterior. El monitoreo constante es fundamental, que sus alumnos comprendan cual es la correspondencia, cual es la variable independiente y cual dependiente. Inicie y luego corrija la Actividad 2. Pida a sus estudiantes resolver los problemas de la Actividad 3. Dé tiempo suficiente para ello. Revise y retroalimente en la pizarra la resolución de estos problemas. Asegúrese que todos sus estudiantes comprendan los procedimientos.

Cierre

(15 min.)

Repase los procesos de deducción y reitere los resultados obtenidos en esta experiencia. Explique la importancia de las variables independientes y dependientes. Pida a sus estudiantes completar el apartado “¿Qué recuerdas?”, donde a modo de síntesis deben realizar un resumen de lo aprendido y como evaluación responder las preguntas dadas en guía. Sistematice lo realizado en la clase a partir de los resúmenes y respuestas dadas por sus estudiantes. Pregunte por las dificultades que tuvieron al formular las conjeturas propuestas, al realizar las verificaciones de esas conjeturas y aplicar el conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios propuestos.

Nota: Recuerde que estas actividades son sólo sugerencias. Usted puede completarlas y




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Inicio

(15 min.)

Incentive a sus alumnos a utilizar conocimientos previos incentive la correspondencia a través del amor para que funcione deben existir dos ya que cuando aparece un tercero ya no funciona, haga un dibujo como el siguiente:

De ejemplos para recordar contenidos anteriores que los anoten en su cuaderno Dé a conocer el objetivo de la clase: “Determinar si una relación es una función”.

Desarrollo

(60 min.)

Una vez que comprenden la definición de una correspondencia donde a cada valor independiente se le corresponde un único valor de la variable dependiente, a través del diagrama de flechas que sean capaces de identificar si es o no función y puedan argumentar porque no es función.

El tres no tiene correspondencia El uno tiene 2 imágenes Es importante establecer y dejar muy claro porque define función y porque no define una función , si es necesario de otros ejemplos que cumpla con cada una de estas situaciones Es importante que el estudiante también se de cuenta que no importa como se presente la relación para poder establecer si es o no función. Pídales que analicen los ejemplos dados en las tabla en este registro, donde X =

{1, 2, 3} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5

X Y

1 2

2 4

3 6

X Y

1 4

2 4

3 4

X Y

1 1

2 2

3 3

X Y

1 4

2 4

3 2

3 1

X Y

1 1

1 2

Analizar cada tabla y dar claramente cada especificación si es o no función En la tabla 5 y 5 por ejemplo el 1 se relaciona con 1 y 3 en la tabla 5 y en la tabla 4 el 3 se relaciona con 2 y 2 por lo tanto no son funciones lo que indica que no se debe relacionar todo x con 2 de Y sólo con uno. Deben quedar claramente identificados los conjuntos que identifican las variables independiente o dependiente por ejemplo si escribe en el pizarrón f(x)= 3x y considera valores independiente los naturales, los valores de la variable dependiente son los naturales que representan su triple. Es importante que al momento de realizar la Actividad 2 el concepto de función esté claro para sus estudiantes. Para ello pida a sus estudiantes que lean el “Para guardar en tu disco duro”. Solicite que subrayen los conceptos claves, y expliquen lo comprendido. Realice ejercicios en el pizarrón de la Actividad 2, monitoree en forma permanente los ejercicios que hacen sus alumnos.

Cierre

(15 min.)

Pida a sus estudiantes completar el apartado “¿Qué recuerdas?”, donde a modo de síntesis deben realizar un resumen de lo aprendido y como evaluación responder las preguntas dadas en guía. Sistematice lo realizado en la clase a partir de los resúmenes y respuestas dadas por sus estudiantes. Pregunte por las dificultades que tuvieron al formular las conjeturas propuestas, al realizar las verificaciones de esas conjeturas y aplicar el conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios propuestos.





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GUIÓN METODOLÓGICO CLASE 5

De inicio a su clase haciendo una construcción de una tabla por ejemplo un kilo de pan vale $ 720 y completar hasta 10 kilos. Luego recurra a la representación grafica de esta situación y pida además que la expresen en forma algebraica. Dé a conocer el objetivo de la clase: “Representar en el plano cartesiano una función”.

Desarrollo

(60 min.)

Haga que sus estudiantes construyan un plano cartesiano con números enteros y que representen diferentes pares de puntos. El par (x,y) representa el x en el eje horizontal e y en el eje vertical. Haga que representen diferentes puntos tanto positivos como negativos; por ejemplo: (2,5) , (5,-2), (-4,6) , (-3,-6) , etc. Es importante mostrar diferentes tipos de gráficos, no necesariamente lineales que son rectas. Hay parábolas , hipérbolas , etc. Puede darles funciones como f(x) = x

2 , g(x) = 3x-1 h(x) = 1/x. Decirles que no

siempre está definida como en este ejemplo, 3 no está definida para cero. Pida a sus estudiantes leer el “Para guardar en tu disco duro” y subrayar los conceptos claves. Pase a la Actividad 2. El programa Graphmatica es liviano y sirve de una manera muy rápida para que comprueben sus resultados. Hay que tener presente que la función siempre debe ir con Y = algo y si es potencia como por ejemplo F(x)= x

2 se escribe y= x ^ 2 las sumas o restas divisiones o

Multiplicaciones son iguales a como se presentan. Si ocupa el laboratorio de computación para trabajar este programa bájelo antes de Internet y verifique que este en todos los PC para que no pierda su tiempo. Siempre este monitoreando en forma permanente es importante que haga notar que ocurre con el gráfico cuando no es una función. Pídales que indaguen en el programa, cambien el color de la función . Etiqueten, pongan nombre de la función, identifiquen los ejes y copien en Word. Pídales que impriman algunos gráficos y los peguen en sus cuadernos, Dígale a sus estudiantes que realicen la actividad 2, tanto manual como aplicando el programa.

Cierre

(15 min.)

Haga el cierre recordando que ocupar dos procedimientos para graficar funciones, recuerde la forma manual deben identificar claramente el plano cartesiano para ubicar los puntos. Pida a sus estudiantes completar el apartado “¿Qué recuerdas?”, donde a modo de síntesis deben realizar un resumen de lo aprendido y como evaluación responder las preguntas dadas en guía. Sistematice lo realizado en la clase a partir de los resúmenes y respuestas dadas por sus estudiantes. Pregunte por las dificultades que tuvieron al formular las conjeturas propuestas, al realizar las verificaciones de esas conjeturas y aplicar el conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios propuestos.





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GUIÓN METODOLÓGICO CLASE 6

Inicio

(15 min.)

Active conocimiento previos es importante hacer notar que no todas las funciones están siempre definidas, es importante hacer notar el conjunto de referencia. Por ejemplo f(x)= 1/x no está definida para el cero Si G(x)= 40/x representa el ancho de un rectángulo este no está definido para cero, para valores negativos. Dé a conocer el objetivo de la clase: “Determinar el dominio y recorrido de una función”.

Desarrollo

(60 min.)

Aquí es importante que el estudiante identifique claramente cual es la variable independiente y cual la dependiente para que pueda identificar claramente el dominio y el recorrido, o bien el conjunto de partida y de llegada. El problema de los saludos se asocia claramente a dejar a la persona que va llegando sin considerar es importante que lo haga hacer una tabla para que comprenda que el dueño de casa cuando esta sólo no saluda a ninguno, en cambio el primero que llega saluda a uno y así sucesivamente

X Personas que están llegando Apretones de mano que da

1 0 x-1= 1-1=0

2 1 x-1= 2-1=1

.

.

25 24 25-1=24

El problema del jardinero es importante igual que generalicen hagan el gráfico y luego identifiquen el dominio y recorrido. En cada ejercicio es importante llegar luego a un formulismo de manera tal que pueda identificar claramente el conjunto de partida y de llegada, al realizar la tabla le va dando la pauta de lo que va ocurriendo. En los diagramas de flechas claramente se puede identificar el dominio y recorrido, bueno dejar claro que para que exista debe estar definido. Monitoree el trabajo de sus estudiantes, corrija los errores de sus estudiantes y verifique que ellos lo hagan. Vuelva a explicar si es necesario. Pase a la Actividad 2 para aplicar lo aprendido. Revise y retroalimente en la pizarra. Asegúrese que todos comprendan.

Cierre

(15 min.)

Pida a sus estudiantes completar el apartado “¿Qué recuerdas?”, donde a modo de síntesis deben realizar un resumen de lo aprendido y como evaluación responder las preguntas dadas en guía. Sistematice lo realizado en la clase a partir de los resúmenes y respuestas dadas por sus estudiantes. Pregunte por las dificultades que tuvieron al formular las conjeturas propuestas, al realizar las verificaciones de esas conjeturas y aplicar el conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios propuestos.





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5. TABLA DE ESPECIFICACIONES DE EVALUACIÓN

5.1. Tabla de Especificaciones Evaluación

Ítem Pregunta Respuesta Habilidad Aprendizaje Esperado Indicador Contenido

Ítem I 1 B

Calcular Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.

Calculan el valor de las imágenes de funciones

Imagen de funciones

Ítem I 2 B Aplicar Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos

Despejan variables para resolver ecuaciones

Ecuaciones lineales

Ítem I 3 B Calcular Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Imagen de funciones

Ítem I 4 D Aplicar Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos


Ecuaciones lineales

Ítem I 5 D Analizar Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos

Resuelven problemas cotidianos

Resolución de problemas que involucren ecuaciones o funciones

Ítem I 6 C Analizar Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos



Ítem I 7 B Comprender Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Concepto de función

Ítem I 8 D Calcular Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Ecuaciones lineales

Ítem I 9 B Calcular Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Imagen de funciones

Ítem I 10 A Aplicar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.



Ítem I 11 B Aplicar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.



Ítem I 12 B Aplicar Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos


Ecuaciones lineales

Ítem I 13 A Comprender Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.



Ítem I 14 C Aplicar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Imagen de funciones


Interpretan gráfico de funciones




12

Ítem I 16 D Comprender Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Representar funciones en el plano cartesiano




Ítem I 18 B Aplicar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Imagen de funciones

Ítem I 19 C Calcular Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos


Ecuaciones lineales

Ítem I 20 D Analizar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.



Ítem II 1) A X=-3 Aplicar Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos


Ecuaciones lineales

Ítem II 1) B X= ¼ Aplicar Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos


Ecuaciones lineales

Ítem II 2 Antonia tiene 9 años

Analizar Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos



Ítem II 3)a) F(x)= 5x Analizar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.



Ítem II b) Aplicar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.



Ítem II c) 375 cm Analizar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.

Interpretan gráfico de funciones


Ítem II d) 9minutos y 18 segundos

Analizar Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables e diversos contextos



Ítem II 4) a) 7 Aplicar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Imagen de funciones

Ítem II b) 3 Aplicar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Imagen de funciones

Ítem II c) -4 Aplicar Reconoce funciones en diversos contextos, identifica sus elementos y representa diversas situaciones a través de ellas.


Imagen de funciones



13

5.2. Tabla de Resumen por Habilidad

5.3. Tabla Resumen por Contenido

Habilidad Preguntas Puntaje % Habilidad en la prueba

Comprender Ítem I: 7-13-16 3 7

Calcular Ítem I : 1-3-8-9-19 5 12

Aplicar Ítem I: Ítem II:

2-4-10-11-12-14-15-17-18 1) A y B-3)B-4)A-B-C

19 45

Analizar Ítem I: Ítem II

5-6-20- 2-3) a-c-d

15 36

Contenido Ítems Preguntas Puntaje % Habilidad en la prueba

Ecuaciones lineales I II

2-4-8-12-19 1) A-B

9 21


I II

5-6-20 2- 3) Ay B

12 29

Concepto de funciones I II

7-10-11-13-15-17 3A

9 21

Imagen de funciones I II

1-3-9-14-18 4) A-B-C

8 19


I II

16 3B

4 10

MatemáticaOctavo año Básico, Unidad 3, Prueba



Establecimiento: …………………………………………………...… Fecha: ……......………..…

Nombre: …………………………………… Curso: .... Puntaje: …. Porcentaje: ….. Nota: ...…

Instrucciones generales:Use lápiz grafito para contestar la prueba.No se aceptan borrones ni uso de correctorDispone de 90 minutos para contestar esta pruebaContenidos: Ecuaciones lineales, Resolución de problemas con planteamiento de ecuaciones, Funciones: dominio-recorrido- gráfico.

1) Si f(x) = 2x entonces f(2)=?a) 3 b) 4 c) 6 d) 8

2) Se tiene la ecuación 3a - 5 = 7. Entonces el valor de a - 1 es:a) 4 b) 3 c) 5 d) 6

3) Si y = -2x entonces f ( ? ) = 6a) 3 b) -3 c) 4 d) -1

4) Se tiene la ecuación 2x + 5 = 11. Entonces el valor de -3x - 9 es:a) 0 b) 9 c) -9 d) -18

5) Un rectángulo tiene un largo que es el cuádruple de su ancho. Si su perímetro esde 120 cm, ¿cuál es el largo?

a) 10 b) 12 c) 30 d) 48

6) Javier hace 7 años tenía 3 años de edad.¿Qué ecuación nos permite determinar laedad de Javier actualmente?a) x + 7 = 3 b) 7 - x = 3 c) x - 7 = 3 d) 3 - x = 7

7) Una expresión que asocia a la función : a cada número le corresponde su doble.a) f(2x) =x b) f(x) = 2x c) f(x) = 2 d) f(x) = 2 - x

8) Si b = -3, la expresión 3b + 19 tiene un valor de:a) 0 b) -1 c) -4 d) 10

9) La imagen de -1 en la función f(x)=x2 es :a) 0 b) 1 c) -1 d) 2

10) En el punto A(-3,4) la absisa es :a) -3 b) 4 c) 1 d) 7




11) Según la tabla siguiente indique cual es la variable dependiente:

a) Peso b) Precio c) 180 d) No se puede determinar

12) Paula hace 8 años tenía x años. En 6 años más tendrá:a) x - 8 + 6 b) x + 8 + 6 c) 8 + 6 - x d) 8 - x - 6

13) Una función es una _______________entre dos magnitudes.a) correspondenciab) variablec) abscisad) ordenada

14) Si f(x) = x + 10 y f(b) = 20, entonces b es igual a:a) 30 b) 20 c) 10 d) 0

15) El precio de un ramo de rosas depende del número de rosas que lo componga. Eneste caso:a) La variable dependiente es el preciob) La variable dependiente es el número de rosasc) Las dos son variables independientesd) La variable independiente es el precio

16) El gráfico, de la figura, muestra el desplazamiento que realizó una persona durante3 horas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones de información es más completa?

a) La persona caminó 12 kilómetros en total, de los cuales la mayoría fue cuesta arriba.b) La persona caminó 12 kilómetros en 3 horas.c) La persona caminó en total 12 kilómetros.d) La persona caminó 12 kilómetros en 3 horas y se detuvo 2 veces.

Peso Kg.

Precio $

Km

12108642

21 3n° horas

740

1 2 3 4

180 360 540




x + 12

=23

17) ¿Cuál(es)de los siguientes gráficos representa(n) una función ?

a) Sólo Ib) Sólo IIc) I y IId) II y III

18) Si f(u) = 2u + 3, determinar f(?2) + f(3) .a) 1b) 8c) 2u + 3d) 4u + 6

19) El valor de x en la ecuación 3x -1 = 8 es :a) 0 b) 1 c) 3 d) 7/3

20) En un canasto hay 45 manzanas distribuidas en tres bolsas. La primera tiene 8manzanas menos que la tercera y la segunda tiene 5 más que la tercera. ¿Cuántasmanzanas tiene la segunda bolsa?a) 10 b) 18 c) 21 d) 16

II. Resuelve cada problema según lo que indica la instrucción. Debes dejar registradoslos ejercicios que resuelven el problema cuando sea necesario.

1) Resuelve las siguientes ecuaciones: (2 puntos cada una)

a) 3x + 7 +x = -5 b)

I. II. III.



Revisa bien.


2) lee, platea la ecuación y luego resuelve para dar respuesta al problema:"La madre de Antonia tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple deladead de su hija.¿Qué edad tiene Antonia?"

3) Un caracol se desliza con lentitud pasmosa por el borde de una piscina a razón de5cm por minutos. Contesta:a) Encuentra la representación algebraica para esta función.___________(3 puntos)b) Representa en el plano cartesiano esta función.(3 puntos)c) ¿Qué distancia recorre el caracol en 1 hora y 15 minutos?_____________(2 puntos)d) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 46cm?______________(2 puntos)

4) Si f(x) = 2x + 3 . Determine : f(2) =________________________f(0)=_________________ F(--1) - f(1)=_____________________ (1 punto cada una)

Ecuaciones y Funciones

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