Ecuaciones generales Referencia Básica [Pad96]aero.us.es/heli/downloads/0708/estabilidadEcuacionesGenerales070… · Las ecuaciones que rigen la dinámica del helicóptero serán

EstabilidadEcuaciones generales

Referencia Básica [Pad96]

Helicópteros () Estabilidad Ecuaciones generales 1 / 23

Mecánica del vuelo del helicóptero I

Las ecuaciones que rigen la dinámica del helicóptero seránreferidas a un sistema de ejes ligados a la estructura de laaeronave, denominado sistema de ejes cuerpo y con centro en elcentro de gravedad de la aeronave.


Mecánica del vuelo del helicóptero II

Debido a los movimientos de batimiento y arrastre de las palas elcentro de gravedad cambiará su situación.

Las fuerzas exteriores que actúan sobre el helicóptero produciránno sólo el vuelo de la aeronave y desplazamientos relativos entresus componentes sino también y debido a la elasticidad de losdiversos componentes, deformaciones de los mismos.


Hipótesis

El centro de gravedad se encuentra en una posición fija en elhelicóptero.El helicóptero se considera un sólido rígido.La dinámica de alta frecuencia del rotor y la del flujo del rotor seconsideran mucho más rápidas que las que corresponden almovimiento global del helicóptero y tienen tiempo para alcanzarsu régimen estacionario dentro de los valores típicos de lasconstantes de tiempo del movimiento global del helicóptero. Estopermite describir la dinámica del helicóptero mediante 6 gradosde libertad.La dinámica del helicóptero se describirá a través de 6 grados delibertad:

velocidad del centro de gravedad con respecto un sistema de ejesfijo: vc =

(u v w

)velocidad angular del helicóptero con respecto un sistema de ejesfijo: ω =

(p q r

)Helicópteros () Estabilidad Ecuaciones generales 4 / 23

Relación entre ángulos de Euler y velocidad angular

Relación entre las velocidades angulares y los ángulos de Eulerω =

[p q r

]T= Ψk1 + Θj2 + Φib se obtiene p

qr

=

Φ− Ψ sin Θ

Θ cos Φ + Ψ sin Φ cos Θ

−Θ sin Φ + Ψ cos Φ sin Θ

La relación entre las derivadas de los ángulos de Euler y lasvelocidades angulares será Φ

Θ

Ψ

=

p + q sin Φ tan Θ + r cos Φ tan Θq cos Φ− r sin Φq sin Φ + r cos Φ

cos Θ

(1)


Sistema de ecuaciones I

El sistema de ecuaciones teniendo en cuenta las fuerzas deinercia y las fuerzas gravitatorias se puede escribir como

u = rv − qw +Xm− g sin Θ

w = qu − pv +Zm

+ g cos Θ cos Φ

q =Iz − Ix

Iypr +

Ixz

Iy

(r 2 − p2

)+

MIy

Θ = q cos Φ− r sin Φ

v = pw + ru +Ym

+ g cos Θ sin Φ

p = k1pq − k2rq + L∗

Φ = p + q sin Φ tan Θ + r cos Φ tan Θ

r = −k3pq − k1rq + N∗

Ψ =q sin Φ + r cos Φ

cos Θ


Sistema de ecuaciones IIdonde

k1 =Ixz (Iz + Ix − Iy )

Ix Iz − I2xz

k2 =Iz (Iz − Iy ) + I2

xz

Ix Iz − I2xz

k3 =Ix (Iy − Ix )− I2

xz

Ix Iz − I2xz

y

L∗ =Iz

Ix Iz − I2xz

L +Ixz

Ix Iz − I2xz

N

N∗ =Ixz

Ix Iz − I2xz

L +Ix

Ix Iz − I2xz

N


Sistema de ecuaciones III

La solución del sistema EDO no lineal dependerá de lascondiciones iniciales y de la dependencia temporal de las fuerzasy momentos (de origen aerodinámico, gravitacional, propulsivo,inercial...)

Habitualmente se emplean diferentes esquemas de integraciónnumérica para obtener la solución de la evolución temporal delvector de estado. Este tipo de problema desde el punto de vistanumérico puede resolverse de forma eficiente.

El principal inconveniente de este tipo de solución es la pocainformación cualitativa que aporta acerca del comportamientodinámico del helicóptero.


Tipos de problemas I

Equilibrio global: es aquella condición de vuelo en la que laderivada con respecto el tiempo del vector de estado es nula y laresultante de momentos y fuerzas es nula. Matemáticamenterepresenta la resolución de un problema algebraico no lineal

El planteamiento del problema de equilibrio se puedeenunciar como: dado un vector de estado fijo, xe obtenerel valor del vector de variables de control necesario paraobtener dicho estado, ue.

Dado que se dispone de cuatro controles (colectivo,cíclico lateral, cíclico longitudinal y pedales), sólo cuatroestados pueden ser prescritos en el problema deequilibrio. Los otros 5 estados son incógnitas delproblema de equilibrio.

Estabilidad: estudia el comportamiento dinámico del helicópterocuando es separado de una posición de equilibrio mediantepequeñas perturbaciones.


Tipos de problemas II

La solución del problema de estabilidad se obtienemediante la linealización del sistema de ecuacionesdinámicas y analizando el problema de autovalores

Los autovalores obtenidos determinan el tipo deestabilidad de cada uno de los modos en los que sedescompone el movimiento general del helicóptero.

El interés del análisis de la estabilidad es determinar laevolución de la estabilidad dinámica en función de lavelocidad de avance.

Respuesta al mando: ante una posición de mando determinar larespuesta dinámica del helicóptero mediante la determinación dela evolución temporal del vector de estado. Corresponde a laresolución del sistema de EDO no lineal de la forma:

x(t) = x(0) +

∫ t

0G (x(τ), u(τ)) dτ


Tipos de problemas III

En general no existen soluciones analíticas y sólomediante técnicas numéricas se obtiene la solución deeste problema.


Estabilidad I

Se considera una pequeña perturbación de vector de estado,x = xe + δx y del vector de variables control u = ue + δu.El vector de estado de equilibrio se conocerá de la posición deequilibrio xe =

[Ue We Qe Θe Ve Pe Φe Re Ψe

]Hipótesis:

En el vuelo posterior a la perturbación del vector de estado, vueloperturbado, el rotor se comporta como si el movimiento fuera unasecuencia de condiciones estacionarias. Es decir las aceleracionesdel helicóptero son lo bastante pequeñas para tener un efectodespreciable en la respuesta del rotor.Se considera que la velocidad angular del rotor permanececonstante.

A partir de considerar las perturbaciones como pequeñas elsistema de EDO no lineal se puede linealizar.


Estabilidad II

Hipótesis: se asume que las fuerzas y momentos exteriores sonfunciones analíticas del movimiento perturbado y sus derivadaspor lo que se puede aplicar el desarrollo en serie de Taylor, esdecir:

X = Xe +∂X∂u

δu +∂X∂v

δv +∂X∂w

δw . . .

= Xe + Xuu + Xv v + Xww + . . .

Para no complicar la notación a partir de aquí, se consideraráδx := x.Los coeficientes Xu, Xv , Xw , . . . reciben el nombre de derivadasde estabilidad.Las acciones exteriores serán funciones,F = F(u,w ,q, u, w , q, v ,p, r , v , p, r).


Estabilidad IIIPor tanto para determinar completamente la estabilidad senecesita evaluar 72 (12x6) derivadas de estabilidad.Inicialmente para analizar la estabilidad del helicóptero sedespreciarán las derivadas de estabilidad referentes a lasaceleraciones. Por tanto, en principio se deberían calcular 36derivadas de estabilidad.


Estabilidad IVSin embargo las derivadas de estabilidad mas importantes y quejuegan un papel principal en la estabilidad del helicóptero son

Derivada Nombre Derivada NombreXu Amortiguamiento de resistencia Lp Amortiguamiento de balanceYv Fuerza lateral Mq Amortiguamiento de cabeceoZw Amortiguamiento de sustentación Nr Amortiguamiento de guiñadaLv Estabilidad estática lateral Lθ1s

Potencia de control en alabeoMu Estabilidad de velocidad Mθ1c

Potencia de control en cabeceoMw Estabilidad de ángulo de ataque Nθtr Potencia de control en guiñadaNv Estabilidad estática direccional Zθc Potencia de control en sustentaciónLθtr Balance del rotor antipar Yθtr Deriva de rotor antiparMθ0

Cambio de momento con potencia Nθ0Reacción de par


Estabilidad VSistema de ecuaciones linealizado:

x = Ax + Bu

A =

Xu Xw − Qe Xq − We −g cos ΘeZu + Qe Zw Zq + Ue −g sin Θe cos Φe

Mu Mw Mq 00 0 cos Φe 0

Yu − Re Yw + Pe Yq −g sin Θe sin ΦeL∗u L∗w L∗q + k1Pe − k2Re 0

0 0 sin Φe tan ΘeΩa

cos ΘeN∗u N∗w N∗q − k1Re − k3Pe 0

Xv + Re Xp 0 Xr + VeZv − Pe Zp − Ve −g cos Θe sin Φe Zr

Mv M+p 0 M+

r0 0 −Ωa cos Θe − sin Φe

Yv Yp + We −g cos Θe cos Φe Yr − UeL∗v L∗p + k1Qe 0 L∗r − k2Qe0 1 0 cos Φe tan Θe

N∗v N∗p − k3Qe 0 N∗r − k1Qe


Estabilidad VI

donde

M+p = Mp − 2Pe

Ixz

Iy− Re

Ix − IzIy

M+r = Mr + 2Re

Ixz

Iy− Pe

Ix − IzIy

y la velocidad de rotación de guiñada de equilibrio es:

Ωa = Ψe


Estabilidad VIILa matriz B tendrá como expresión

B =

Xθ0 Xθ1s Xθ1c Xθtr

Zθ0 Zθ1s Zθ1c Zθtr

Mθ0 Mθ1s Mθ1c Mθtr

0 0 0 0Yθ0 Yθ1s Yθ1c Yθtr

Lθ0 Lθ1s Lθ1c Lθtr

0 0 0 0Nθ0 Nθ1s Nθ1c Nθtr

Es importante tener presente que en las anteriores expresioneslas derivadas de estabilidad se han escrito en formaseminormalizada. Es decir:

X :=Xu

mHelicópteros () Estabilidad Ecuaciones generales 18 / 23

Estabilidad VIII

Los coeficientes en las matrices A y B representan la pendientesde las fuerzas y momentos en el punto de equilibrio inicial.

Para evaluar las derivadas de estabilidad existenfundamentalmente diversos métodos:

Derivación analítica. Permite proporcionar los valores exactos. Enla mayor parte de los casos de interés real la obtención de estasderivadas exactas será complicado.Derivación numérica. Las fuerzas y momentos son perturbadospor cada uno de los estados de interés y en base a la amplitud deestos estados con respecto la posición de equilibrio se obtienen lasderivadas de estabilidad.


Dinámica longitudinal I

Variables:[

u w q θ]

Rígido Articulado


Dinámica longitudinal II

Fugoide en VPF: modo pendular


Dinámica lateral I

Variables:[

v p r φ]

Rígido Articulado


Dinámica lateral II

Balanceo holandés en VPF: modo oscilatorio


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