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Clculo de Cables
Jos M.a Goicolea Ruigmez
Ctedra de Mecnica
Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Universidad Politcnica de Madrid
mayo 2012
ndice
1. Conceptos e hiptesis bsicas 21.1. Los cables en la mecnica
estructural . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Hiptesis de los
modelos de cables . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Ecuaciones de equilibrio bajo cargas continuas 52.1. Ecuacin
vectorial del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.
Ecuaciones en coordenadas intrnsecas . . . . . . . . . . . . .
72.3. Ecuaciones en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . .
. 92.4. Casos de fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 92.5. Casos de fuerzas centrales o paralelas . . . . . . .
. . . . . . . 10
3. Configuraciones de equilibrio de cables 123.1. Cable homogneo
sometido a peso propio (catenaria) . . . . . 123.2. Cable sometido
a carga constante por unidad de abscisa (pa-
rbola) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 153.3. Efecto de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 223.4. Algunos tipos de condiciones de apoyo en los
extremos . . . . 23
4. Cables apoyados sobre superficies 274.1. Superficie lisa sin
cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Superficie
lisa con cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.
Enrollamiento sobre tambor rugoso . . . . . . . . . . . . . . .
29
1
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Aptdo. 1. Conceptos e hiptesis bsicas 2
1. Conceptos e hiptesis bsicas
1.1. Los cables en la mecnica estructural
Los cables o hilos son elementos que slo resisten traccin. A
pesar de lasimplicidad de su comportamiento mecnico tienen
importantes aplicacionesen la tecnologa, para sistemas de
transporte por traccin y guiado, paramquinas, o en sistemas
estructurales.
Cindonos a los sistemas estructurales, en la antigedad las
solucioneseran de dos tipos. Por una parte las basadas en
materiales de slo compresincomo la piedra o el barro cocido, que
condujeron a los arcos, bvedas o c-pulas, en los cuales
aprovechando la geometra se consigue el funcionamientoadecuado del
material. En estos la forma se debe imponer previamente me-diante
una cimbra. Por otra parte los materiales de slo traccin como
loscables o lonas, que adquieren la forma resistente de manera
natural por supropio peso, aunque se encontraban ms limitados en
cuanto a la durabilidaddebido a su naturaleza orgnica. Un
interesante ejemplo son los puentes In-cas fabricados con sogas de
los cuales pervive en la actualidad algn ejemplorepresentativo
(figura 1).
(a) Puente de Queshwa Chaca, Ecuador (b) Puente sobre el ro
Apurimac,Per (grabado s XIX)
Figura 1: Puentes Incas de Amrica
La tecnologa de los cables de acero de alta resistencia permite
en laactualidad sistemas estructurales con gran durabilidad y de un
tamao muchomayor. De hecho los puentes colgantes son la nica
tipologa con la que sepueden alcanzar luces1 mayores de 1000 m.
Cabe destacar en esta categorael puente Akashi-Kaikyo (figura 2a)
que constituye el rcord mundial eneste momento con casi 2 km, o el
Golden Gate (figura 2b) en la baha deSan Francisco que constituye
un icono de la ciudad y fue asimismo rcordmundial en su
momento.
Una tipologa muy interesante y que se ha desarrollado
recientemente esla de los puentes atirantados, cuyo rango de luces
abarca aproximadamenteentre los 200 m y los 1000 m. En la pennsula
Ibrica existen dos interesantes
1Luz : distancia entre apoyos de un puente o sistema
estructural
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1.1 Los cables en la mecnica estructural 3
(a) Akashi-Kaikyo, Kobe, Japn (1991 m deluz, 1998)
(b) Golden Gate, San Francisco, USA(1280 m de luz, 1937)
Figura 2: Puentes colgantes
ejemplos, el de Barrios de Luna en Len (figura 3a) obra del
profesor JavierManterola, y el de Vasco da Gama en el estuario de
Tajo en Lisboa. Recien-temente se han construido puentes
atirantados que superan incluso los 1000m de luz, un ejemplo es el
puente de Sutong sobre el ro Yangtze en China(figura 3b)
(a) Barrios de Luna, Len, Espa-a (440 m de luz, 1983)
(b) Sutong, ro Yangtze, China (1088 m de luz, 2008
Figura 3: Puentes atirantados
Es interesante tambin el uso de los cables como sistemas de
lanzamien-to o estabilizacin temporal para estructuras. Un ejemplo
representativo loconstituye el viaducto sobre el barranco de
Lanjarn, en el cual el sistemaestructural de un arco atirantado
(autoequilibrado) fue lanzado sobre unprofundo barranco mediante
unos cables y torres temporales como puede
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1.2 Hiptesis de los modelos de cables 4
apreciarse en la figura 4a. Otro caso reseable es la construccin
de puentesmediante atirantamiento provisional con cables, como el
puente de Contreraspara el AVE (figura 4b).
(a) Viaducto de Lanjarn (cortesa deTorroja Ingeniera SL)
(b) Puente arco para el AVE sobre el embalsede Contreras
(cortesa de CFC SL)
Figura 4: Uso de cables como mecanismos temporales para la
construccin oel lanzamiento de puentes.
Por ltimo quiero mencionar tambin el uso de cables combinados
conmembranas como sistemas de cubrimiento o techado en grandes
superficies.En estas la geometra natural impuesta por la gravedad y
la propia tensincontribuye a una expresividad formal intensa. Quizs
el ejemplo ms repre-sentativo sea el estadio de Munich para las
olimpiadas de 1972, obra delarquitecto Frei Otto y el ingeniero Jrg
Schlaich, figura 5.
Figura 5: Cubierta con membranasy cables, estadio olmpico de
Mu-nich, 1972
1.2. Hiptesis de los modelos de cables
El objeto de este documento es la aplicacin de los mtodos de la
estticaal clculo de hilos o cables flexibles e inextensibles. La
flexibilidad de los hiloshace que su estudio difiera en cierta
medida de los sistemas discretos consi-derados en el resto de este
curso. En efecto, uno de los objetivos principales
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Aptdo. 2. Ecuaciones de equilibrio bajo cargas continuas 5
de su estudio ser determinar la configuracin que adoptan, a
priori descono-cida. Sin embargo, resulta apropiado su estudio en
el mbito de la mecnicade sistemas rgidos ya que comparten una
propiedad esencial: las fuerzas in-ternas (las que no permiten la
extensin del cable) no desarrollan ningntrabajo. En este aspecto
crucial se diferencian de los sistemas estructuralesdeformables, en
los que se produce una energa de deformacin interna bajocarga
(generalmente energa elstica).
Las caractersticas que definen los hilos flexibles e
inextensibles y se ad-miten aqu como hiptesis de partida son las
siguientes:
1. Seccin despreciable. Se considera que el hilo posee una
dimensin pre-dominante, mucho mayor que los otros dos, por lo que
puede ser idea-lizado segn una lnea, sin seccin transversal. Tan
slo ser necesarioconsiderar esta seccin a efecto de calcular su
peso especfico por unidadde longitud, en funcin de la seccin
transversal y su densidad.
2. Flexibilidad perfecta. El hilo no resiste esfuerzos de
flexin, y por lotanto tampoco de corte. Tan slo resiste esfuerzos
en direccin longi-tudinal, tangentes a la curva que forma el
hilo.
3. Inextensibilidad. Cuando est sometido a traccin, el hilo es
lo sufi-cientemente rgido (en direccin longitudinal) como para que
se puedadespreciar su extensibilidad. Por el contrario, sometido a
compresin,el hilo no ofrece resistencia y se arruga.
Debe quedar claro que estas hiptesis son una idealizacin que
conformael modelo de hilos flexibles inextensibles al que se cie
este captulo. Encircunstancias reales, los cables o cuerdas no
cumplen exactamente ningunade las hiptesis anteriores; sin embargo,
en numerosos casos prcticos essuficientemente vlida esta
idealizacin.
2. Ecuaciones de equilibrio bajo cargas conti-nuas
2.1. Ecuacin vectorial del equilibrio
El cable o hilo queda definido por su curva directriz, r(s), que
supondre-mos parametrizada en funcin de la longitud de arco s de la
misma. En unpunto dado del hilo definido por s podremos considerar
una seccin normalA, en la cual definimos como cara frontal A+ la
que est orientada en senti-do de s creciente, y cara dorsal A la
orientada en sentido de s decreciente(figura 6).
Si se considera el hilo cortado por esta seccin, la parte que
queda pordetrs queda limitada por la seccin frontal A+, en la que
el efecto del hilo
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2.1 Ecuacin vectorial del equilibrio 6
T
Ts
r(s)
A+A
Figura 6: Directriz del hilo (r(s)), sec-ciones frontal (A+) y
dorsal (A), yconcepto de tensin (T )
por delante que se ha eliminado puede sustituirse por una fuerza
T que sedenomina tensin. Si por el contrario se considera la parte
del hilo por de-lante, queda limitado por la seccin dorsal A, sobre
la que el resto del hiloproduce una fuerza T , de forma que est en
equilibrio con T . En principioT podra llevar cualquier direccin,
aunque como veremos ms abajo su di-reccin ser tangente al propio
hilo. Por otra parte, debe ser siempre T > 0de forma que
corresponda a una traccin; T < 0 correspondera a un esfuerzode
compresin que no puede ser resistido.
Sea un elemento PQ del hilo, de longitud infinitesimal ds. El
punto Pcorresponde a la coordenada s y Q a (s+ ds). La seccin en P
ser dorsal yla seccin en Q frontal (figura 7).
Sobre el hilo acta una carga continua q por unidad de longitud.
Alcortar el elemento de hilo por los puntos P y Q, el equilibrio
del mismoqueda garantizado por la tensin del hilo en cada
extremo.
T
T + dT
q ds
dsP
Q
Figura 7: Equi-librio de unelemento PQ dehilo sometido acargas
continuasq por unidad delongitud
En primer lugar, establecemos el equilibrio de fuerzas sobre
este elementode hilo. Las fuerzas que actan sobre el mismo son:
Tensin en P : (T )Tensin en Q: (T + dT )
Cargas externas: (q ds)
Expresando la anulacin de la resultante,
T + (T + dT ) + q ds = 0
-
2.2 Ecuaciones en coordenadas intrnsecas 7
de donde resulta la ecuacin vectorial del equilibrio:
dT + q ds = 0 dTds
+ q = 0 (1)
Para completar las condiciones de equilibrio, expresamos la
anulacin delos momentos en P . Denominando dr = t ds ' PQ, siendo t
la tangente alhilo:
dr (T + dT ) + dr q ds = 0 ,donde hemos supuesto que la
resultante de cargas exteriores (q ds) actaen un punto intermedio
del elemento, definido por ( dr) desde P , siendo (0, 1).
Prescindiendo de infinitsimos de 2.o orden, resulta
dr T = 0 .De aqu se deduce que la tensin ha de ser tangente al
hilo, en conformidadcon la hiptesis 2. enunciada en el apartado
1.
2.2. Ecuaciones en coordenadas intrnsecas
Expresemos ahora la ecuacin del equilibrio (1) en funcin de sus
compo-nentes en el triedro de Frenet2. Recordamos que la primera
frmula de Frenetpermite expresar la derivada de la tangente
como:
dt
ds=n
R,
siendo n la normal principal y R el radio de curvatura.La tensin
lleva la direccin de la tangente, quedando definida por un
escalar T de forma que T = T t. Sustituyendo en la ecuacin del
equilibrio(1):
d(T t)
ds+ q = 0
dT
dst+ T
n
R+ q = 0
Podemos extraer de esta ltima expresin las componentes segn las
di-recciones del triedro. Denominando (qt, qn, qb) las componentes
de q segncada una de las direcciones,
dT
ds+ qt = 0 (direccin tangente)
T
R+ qn = 0 (direccin normal)
qb = 0 (direccin binormal)
(2)
2Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010), apartado 2.2.4
-
2.2 Ecuaciones en coordenadas intrnsecas 8
Figura 8: Equilibrio en compo-nentes intrnsecas
SSSo
SSSSSSo
7
n
t
btT = T t
Observaciones:
La componente qb segn la binormal es nula. Esto quiere decir que
elhilo adopta una configuracin que contiene a la fuerza q en su
planoosculador, definido por los vectores (t,n).
Si no existe componente tangencial de la fuerza aplicada (qt =
0), latensin del hilo se mantiene constante. Si adems la fuerza
normal (qn)es constante, el radio de curvatura adoptado ser tambin
constante,resultando una circunferencia como configuracin de
equilibrio del hilo.
Ejemplo 1: Membrana cilndrica sometida a presin interna de valor
p.Consideramos una rebanada de la membrana normal a la directriz
del
cilindro (figura 9), por lo que podremos considerarla como un
hilo. La presin
pFigura 9: Membrana cilndrica sometida a presininterna p
hidrosttica de un fluido es normal a la superficie, por lo que
la tensin esconstante. Aplicando la expresin (22):
T = pR.
-
2.3 Ecuaciones en coordenadas cartesianas 9
2.3. Ecuaciones en coordenadas cartesianas
Empleamos la siguiente nomenclatura para las componentes
cartesianasde los vectores
r (x, y, z)q (qx, qy, qz)t
(dx
ds,dy
ds,dz
ds
).
Considerando que la tensin se puede expresar como T = T t, las
ecuacionesde equilibrio (12) resultan en las tres ecuaciones
escalares
d
ds
(T
dx
ds
)+ qx = 0
d
ds
(T
dy
ds
)+ qy = 0
d
ds
(T
dz
ds
)+ qz = 0 .
(3)
2.4. Casos de fuerzas conservativas
Supongamos que q, fuerza aplicada por unidad de longitud del
hilo, sepuede obtener de un potencial:
q = grad(V ) dV = q dr . (4)Puesto que q es una fuerza por
unidad de longitud, V tiene la dimensin deenerga por unidad de
longitud, es decir de fuerza.
Proyectemos la ecuacin vectorial (1) sobre la tangente t:
dT t+ q ds t = 0es decir,
dT + q dr = 0;y empleando (4) se obtiene
dT = dV
e integrandoT = V + h (5)
donde h es una constante de integracin arbitraria.Esta expresin
es de gran utilidad prctica, puesto que permite de forma
muy sencilla obtener la tensin en cada punto del hilo.
Ejemplo 2: Hilo homogneo sometido a su propio peso en el campo
gravi-tatorio simplificado
-
2.5 Casos de fuerzas centrales o paralelas 10
x
z
bbTT
T 0
6
-
6
?a = T0q
SSo
7
Figura 10: Hilo sometido a supropio peso (campo
conservativo)
Sea el peso de valor q por unidad de longitud del hilo (figura
10). Elpotencial gravitatorio es V = qz, por lo que aplicando (5)
obtenemos latensin en cada punto del hilo como
T = qz + h
En la prctica conviene elegir un origen de coordenadas de forma
que se anulela constante arbitraria h. Esto se consigue situando el
origen a una distanciaa = T0/q por debajo del vrtice o punto ms
bajo de la curva de equilibrio,siendo T0 la tensin del hilo en
dicho vrtice. As resulta
T = qz. (6)
2.5. Casos de fuerzas centrales o paralelas
Si el campo de fuerzas aplicadas q pasa por un punto fijo,
tomando elradio vector r desde dicho punto, se cumplir
r q = 0Multiplicando vectorialmente la ecuacin del equilibrio
(1) por r,
r dT +:0
r q ds = 0pero
r dT = d(r T ):0dr Tya que T lleva la direccin de la tangente, T
= T dr/ds. Se llega por tantoa
r T = cte. (7)Esta expresin indica que la curva de equilibrio
ser plana, puesto que r esperpendicular a una direccin
constante.
Supongamos ahora que el campo de fuerzas es paralelo a una
direccin udada (q = qu). Multiplicando vectorialmente la ecuacin
del equilibrio (1)por u
u dT +:0
u qds = 0
-
2.5 Casos de fuerzas centrales o paralelas 11
pero
u dT = d(u T ):0du Tya que u es constante. Se obtiene por
tanto
u T = cte. (8)
Vemos pues que en este caso tambin ha de ser plana la curva por
unrazonamiento similar al anterior. En realidad, podramos haber
consideradoeste como un caso particular de fuerzas centrales,
dirigidas hacia un puntoimpropio.
La expresin (8) indica adems que la componente de T normal a u
esconstante; llamando a esta componente Tn,
Tn = T0 (cte.) (9)
Por otra parte, para evaluar la componente de T segn u,
proyectamosla ecuacin del equilibrio (1) sobre esta direccin
dTu + q ds = 0
de donde
Tu = s0
q ds+ C (10)
Siendo C una constante de integracin.Si elegimos el origen de
arcos (s = 0) en el punto del vrtice de la curva,
definido como aqul en el cual la tangente se perpendicular a u y
por tantoTu = 0, se anula la constante de integracin:
Tu = s0
q ds
Ejemplo 3: Hilo homogneo sometido a su propio peso, bajo la
accin gra-vitatoria simplificada
Se trata de un campo de fuerzas conservativo y paralelo.
Denominamoslas componentes vertical y horizontal de la tensin Tz y
Tx respectivamente(figura 11).
Si el peso del hilo por unidad de longitud es q, el campo de
fuerzas serq = qk, por lo que
dTz = qds Tz = qs; (11)
Tx = T0 (cte) (12)
donde se ha elegido como origen de arcos (s = 0) el vrtice o
punto ms bajode la curva, con tangente horizontal (Tz = 0).
-
Aptdo. 3. Configuraciones de equilibrio de cables 12
Figura 11: Hilo sometido a supropio peso
x
z
bb TTx
TzT
T 0
6
-
6
?a =
T0q
SSo
7-6
La tensin total es segn (6)
T = qz =T 2z + T
2x (13)
El origen de coordenadas se ha elegido a una distancia a por
debajo delvrtice de la curva, de forma que la tensin ms baja, en el
punto de tangentehorizontal, vale
T0 = qa (14)De las expresiones (11), (13) y (14) se deduce la
relacin
z2 = s2 + a2. (15)
Esta condicin es una propiedad que cumple la curva de equilibrio
del hilo,denominada catenaria. La determinacin precisa de la
ecuacin de la cate-naria se realiza ms adelante (apartado 3.1).
3. Configuraciones de equilibrio de cables
3.1. Cable homogneo sometido a peso propio (catena-ria)
Se denomina catenaria la curva de equilibrio que adopta un hilo
uniformesometido a su propio peso. Supongamos que ste vale q por
unidad de longi-tud, es decir q = qk. Tomando el eje z como
vertical y el eje x horizontal,las ecuaciones cartesianas del
equilibrio (3) con Fx = 0 y Fz = q arrojan:
d
ds
(T
dx
ds
)= 0;
d
ds
(T
dz
ds
) q = 0.
De la primera ecuacin,
Tdx
dsTx
= cte Tx = T0 = cte .
-
3.1 Cable homogneo sometido a peso propio (catenaria) 13
Aplicando la regla de la cadena a la segunda ecuacin de
equilibrio,
d
ds
[T
dz
dx
dx
ds
] q = 0,
y eliminando T en favor de T0,
d
ds
(T0
dz
dx
) q = 0.
Reorganizando trminos y aplicando de nuevo la regla de la
cadena,
T0q
d
dx
(dz
dx
)dx
ds= 1. (16)
Llamando a def= T0/q (parmetro de la catenaria) y zdef= dz/dx, y
conside-
randodx
ds=
dxdx2 + dz2
=1
1 + (z)2,
la ecuacin (16) se convierte en
a
d
dxz
1 + (z)2= 1
La primitiva de esta expresin es: a senh1(z). Integrando con la
condicininicial que corresponde a situar el origen de abscisas en
el vrtice o punto detangente horizontal,
z|x=0 = 0se obtiene
x = a senh1 z
o bien, invirtiendo la relacin
z = senhx
a.
Integrando de nuevo con la condicin inicial z|x=0 = a resulta
finalmente
z = a coshx
a(17)
La configuracin de equilibrio puede verse en la figura 12.
Debido a lasconstantes de integracin tomadas, el vrtice de la
catenaria corresponde alas coordenadas (x = 0, z = a).
La tensin en un punto cualquiera, segn la frmula general (6)
parafuerzas conservativas y paralelas, es
T = qa coshx
a(18)
-
3.1 Cable homogneo sometido a peso propio (catenaria) 14
Figura 12: Configuracin deun hilo sometido a su propiopeso
(catenaria)
x
z
bb TTx = T0
TzT
T 0
6
-
6
?a =
T0q
SSo
7-6
3.1.1. Longitud del arco de catenaria
Obtengamos ahora la longitud del arco de la catenaria entre dos
puntosdados. Para ello, integramos el elemento infinitesimal de
arco ds :
ds2 = dx2 + dz2 = dx2(1 + (z)2
)= dx2
(1 + senh2
x
a
)= dx2 cosh2
x
a.
Por tanto, el arco s medido entre el vrtice (x = 0) y un punto
cualquiera deabscisa x es
s =
x0
ds =
x0
cosh
ad = a senh
x
a. (19)
Observamos inmediatamente, aplicando la relacin entre funciones
hiperb-licas (senh2 x+ 1 = cosh2 x), que
s2 = z2 a2
ecuacin que coincide con la deducida antes (15).Observemos
tambin que, segn se dedujo en (11) y (14), las componentes
vertical y horizontal de la tensin son
Tz = qs = qa senhx
a,
Tx = T0 = qa.
3.1.2. Segmento desde el pie de la ordenada a la tangente
Demostraremos a continuacin una propiedad geomtrica interesante
dela catenaria que en ocasiones puede resultar til. Sea P el pie de
la ordenadade un punto P de la catenaria (figura 13), es decir la
proyeccin de P sobreel eje Ox.
Llamando al ngulo que forma la tangente a la catenaria con la
hori-zontal,
tg =dz
dx= senh
x
a
cos =1
1 + tg2 =
1
coshx
a
=a
z
-
3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa
(parbola) 15
Figura 13: La distancia P Q des-de el pie de la ordenada a la
tan-gente a la catenaria es constan-te e igual al parmetro a de
lamisma; la distancia PQ es igualal arco s entre P y O (ntese queel
dibujo no est a escala, por loque en ste ambas magnitudes
nocoinciden).
6
-x
z
b######
\\\\
Q
s
P
P
z
a
b-
M
O
considerando el tringulo rectngulo PQP (figura 13), obtenemos la
distan-cia P Q desde el pie de la ordenada a la tangente:
P Q = z cos = a (cte)
Por otra parte, la distancia desde el punto P de la curva al
punto Q vale
PQ =z2 (P Q)2 =
z2 a2 = s
Es decir, es igual al arco de catenaria medido desde el
vrtice.
3.2. Cable sometido a carga constante por unidad deabscisa
(parbola)
Un hilo sometido a carga vertical uniforme por unidad de abscisa
x (coor-denada horizontal) adopta una parbola como configuracin de
equilibrio.Como ejemplo ms caracterstico puede citarse el de un
puente colgante, enque el peso del tablero es soportado por los
cables mediante pndolas (figu-ra 14). Como se ha dicho, esta
tipologa es la empleada en los puentes mslargos que existen en la
actualidad (figura 2). El caso es distinto al del hilo
Figura 14: Puente colgante: ejem-plo de carga constante por
unidadde abscisa.
sometido a peso propio, que forma una catenaria, aunque si el
cable est muytenso ambas curvas se aproximan bastante. En este caso
la parbola podraservir como una primera aproximacin a la
catenaria.
-
3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa
(parbola) 16
Si el peso por unidad de abscisa es q, un elemento de cable de
longitudds pesar q(dx/ds). Expresando las ecuaciones cartesianas
del equilibrio (3):
d
ds
(T
dx
ds
)= 0;
d
ds
(T
dz
ds
) qdx
ds= 0.
De la primera ecuacin se deduce que la tensin horizontal es
constante:
Tx = Tdx
ds= T0 (cte.)
Desarrollando la segunda ecuacin y empleando este resultado,
d
ds
(T
dz
dx
dx
ds
)=
d
ds
(T0
dz
dx
)= q
dx
ds.
Simplificando las derivadas, esta expresin equivale a
d
dx
(T0
dz
dx
)= q T0 d
2z
dx2= q.
Esta ltima es la ecuacin diferencial del equilibrio, que resulta
particular-mente simple para integrar. Integrando dos veces
obtenemos:
z =1
2
q
T0x2. (20)
Esta ecuacin corresponde a una parbola de eje vertical. Al
integrar se hanescogido los ejes para anular las constantes de
integracin, imponiendo
z|x=0 = 0;dz
dx
x=0
= 0,
es decir, el origen de los ejes est situado en el vrtice de la
parbola (figu-ra 15), a diferencia de la catenaria (figura 12).
Figura 15: Hilo sometido a car-ga uniforme por unidad de
abscisa(parbola)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
x
z
q bbT 0T 0
6
-
-
Anlogamente al caso de la catenaria, la tensin horizontal es
constantepara todo el cable, puesto que no hay fuerzas horizontales
sobre l. La tensin
-
3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa
(parbola) 17
mnima se produce en el vrtice de la parbola, donde la nica
componentede la tensin es la horizontal, T = Tx = T0.
La tensin vertical vale, proyectando la ecuacin (1) sobre la
vertical,
dTz + qzds = 0 dTz = qdxds
ds
e integrando, considerando que para x = 0 es Tz = 0,
Tz = qx
Esto equivale a decir que la tensin vertical es precisamente el
peso del cableentre el vrtice (x = 0) y un punto genrico de abscisa
x.
La tensin total es
T =T 20 + (qx)
2 (21)
siendo su valor mayor cuanto ms alejados estemos del vrtice.En
este caso las fuerzas no provienen del potencial gravitatorio que
se
deducira del peso uniforme del cable, por lo cual la tensin
total no valeT = qz como en el caso de la catenaria. Sin embargo,
podemos comprobarque provienen de un potencial V definido como
V =T 20 + 2q T0 z
En efecto las fuerzas se obtienen derivando V :
qz = V
z=
q1 + 2q
T0z
= qdxds
; Fx = V
x= 0
Por otra parte, empleando (21) y (20) se comprueba que resulta
ser T = V ,de acuerdo con la expresin (5) deducida antes.
Ejemplo 4: Sea un cable sometido a una carga repartida por
unidad deabscisa q, del cual conocemos su flecha f y la luz entre
apoyos L a la mismaaltura (figura 16). Se desea calcular las
tensiones mnimas y mximas enel cable. Solucionar de forma genrica y
aplicar para los valores numricosq = 1 kg/m, L = 200 m, f = 20
m.
La configuracin de equilibrio es una parbola, por lo que su
ecuacin esla (20):
z =1
2
q
T0x2.
Para x = L/2 es z = f , luego
T0 =1
2
q
zx2 =
1
8qL2
f
-
3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa
(parbola) 18
Figura 16: Ejemplo: cable some-tido a carga constante por
unidadde abscisa
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
q
bb6
?
f
-L
La tensin mnima es por tanto
T0 =qL2
8f,
y la tensin mxima, aplicando (21) para x = L/2,
Tmax =
T 20 +
(qL
2
)2; Tmax = qL
2
L2
16f 2+ 1
Aplicando los datos numricos del enunciado, resulta
T0 = 250,0 kg; Tmax = 269,26 kg; S = 205,2121m.
Ejemplo 5: Supongamos ahora el mismo problema que en el ejemplo
ante-rior 4 (cable de flecha f y luz L entre apoyos a la misma
altura) pero concarga q constante por unidad de longitud del
cable.
La curva de equilibrio es ahora una catenaria (17):
z = a coshx
a
Particularizando para la flecha f en x = L/2,
(a+ f) = a coshL
2a. (22)
Para resolver el problema es preciso solucionar la ecuacin
anterior en a. Setrata de una ecuacin trascendente que carece de
solucin analtica, debiendoresolverse por mtodos numricos3 para
obtener el parmetro a de la catena-ria. Esto se puede realizar por
diversos procedimientos: dicotoma, mtodo
3No es objeto de este curso de mecnica el estudio de los mtodos
numricos de reso-lucin de ecuaciones; si se precisa, consultar algn
texto de anlisis numrico, como p.ej.J. Puy: Algoritmos Numricos en
Pascal, Servicio de Publicaciones de la E.T.S. de Ing.de Caminos de
Madrid, o R.L. Burden y J.D. Faires: Anlisis Numrico, Grupo
EditorialIberoamericana, 1985.
-
3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa
(parbola) 19
de Newton, etc. (este ltimo es el ms recomendado con carcter
general).Otra alternativa es aproximar la solucin considerando la
catenaria como unaparbola, tal y como se justifica ms abajo. Una
vez obtenido el valor de a,los valores de la tensin se obtienen
como:
T0 = qa (Tensin mnima, en el vrtice)Tmax = q(f + a) (Tensin
mxima, en el apoyo)
En el caso que nos ocupa, resolviendo para los valores numricos
del enun-ciado (vase ejemplo 4), resulta:
T0 = 253,2649 kg; Tmax = 273,2649 kg; S = 205,2374m.
3.2.1. Aproximacin de la catenaria por la parbola
Como se ha dicho antes, la parbola es una buena aproximacin de
lacatenaria para hilos muy tendidos, es decir, en los que la
pendiente mximasea pequea. Puede comprobarse esto desarrollando en
serie la ecuacin dela catenaria en funcin del argumento (x/a):
zc = a coshx
a= a
[1 +
1
2
(xa
)2+
1
24
(xa
)4+
1
720
(xa
)6+O
(xa
)8].
El segundo trmino en el desarrollo anterior corresponde
precisamente a laecuacin de la parbola (20), en la que se toma T0/q
= a. El primer trminocorresponde a la traslacin vertical de ejes,
ya que los de la catenaria setoman una distancia a por debajo del
vrtice.
Esta propiedad permite, siempre que el parmetro (x/a) sea
suficiente-mente pequeo, aproximar la catenaria por una parbola.
Esta aproximacines tanto mejor cuanto ms baja sea la pendiente, ya
que un hilo ms tensotiene un valor mayor de a = T0/q. De esta
forma, pueden resolverse de formaaproximada con operaciones ms
sencillas algunos problemas de catenarias.Asimismo, esta
aproximacin sirve como un primer valor para comenzar lasiteraciones
en una resolucin numrica aproximada de la ecuacin de la ca-tenaria
(22).
3.2.2. Longitud de la parbola
Desarrollamos a continuacin el clculo de la longitud del hilo en
el casode la parbola. Partimos de la ecuacin de la misma (20), en
la que parasimplificar sustituimos T0 = qa, es decir:
z =1
2
x2
a.
La longitud se obtiene integrando el elemento de arco:
s =
x0
ds =
x0
1 + (z)2 dx =
x0
1 + (x/a)2 dx
-
3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa
(parbola) 20
Resolviendo la integral4, resulta:
s =1
2x
1 + (x/a)2 +a
2ln(xa
+
1 + (x/a)2). (23)
Este resultado representa la longitud del hilo parablico entre
el vrtice (x =0) y un punto genrico de abscisa x. Como puede
comprobarse, la expresinresulta ms difcil de obtener y engorrosa de
trabajar que la que correspondaa la catenaria (cf. ecuacin
(19)).
Para trabajar en la prctica, a menudo conviene desarrollar en
serie lalongitud de la parbola (23), obtenindose:
s = x
[1 +
1
6
(xa
)2 1
40
(xa
)4+
1
112
(xa
)6+O
(xa
)8]. (24)
En los casos usuales basta con tomar los dos primeros trminos
del desarrolloen serie, es decir
s x[1 +
1
6
(xa
)2]. (25)
Ejemplo 6: Obtener la longitud del hilo en una parbola de luz L
y flechaf (figura 16).
La ecuacin de la parbola (20), particularizada para x = L/2, z =
farroja:
f =1
2
T0q
(L/2)2, a = T0q
=1
8
L2
f.
Sustituyendo en la ecuacin (23), y teniendo en cuenta que la
longitud delhilo es S = 2s|x=L/2, resulta:
S =1
2L
1 + 16(f/L)2 +1
8
L2
fln
(4f
L+
1 + 16(f/L)2).
Empleando el desarrollo en serie (24), resulta:
S = L
[1 +
8
3
(f
L
)2 32
5
(f
L
)4+
256
7
(f
L
)6+O
(f
L
)8]
L[
1 +8
3
(f
L
)2].
Ejemplo 7: Un cable de peso Q est anclado entre dos puntos a
igual altura,a una determinada distancia horizontal L, de forma que
su tensin horizontalvale H = 10Q. Se desea saber la rigidez
geomtrica kG del cable respecto aldesplazamiento horizontal de un
extremo, es decir, el aumento de la tensin
4Mediante el cambio t = senh(x/a) y haciendo la integral
resultante por partes. Laexpresin final se obtiene teniendo en
cuenta que senh1 x/a = ln(x/a+
1 + (x/a)2).
-
3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa
(parbola) 21
horizontal H producida para un desplazamiento unidad, supuesto
el cableinextensible5. Resolver el problema de dos formas
distintas, como catenariay empleando la aproximacin de la
parbola.
Resolucin como catenaria. En primer lugar, expresamos la
ecua-cin del peso del cable, llamando x = L/2:
Q/2 = qa senhx
a= 10Q senh
x
a.
Despejando en esta expresin se obtiene
a
x=
1
senh1(1/20)= 20,00832744. (26)
A continuacin, expresamos la ecuacin de la longitud del cable y
la diferen-ciamos:
S = 2a senhx
a;
0 = 2da senhx
a+ a
(adx xda
a2
)cosh
x
a;
operando extraemos da/dx:
da
dx=
1
(x/a) tgh(x/a)Teniendo en cuenta que H = qa, x = L/2, obtenemos
la expresin de larigidez:
kG =dH
dL=q
2
da
dx=
H/2a
(x/a) tgh(x/a)Sustituyendo el valor de a calculado antes (26),
resulta
kG = 12021,99355Q
L
Resolucin como parbola. Tomando la aproximacin de la lon-gitud
de la parbola (25), la expresin del peso del cable, siendo x =
L/2,es
Q/2 = qS =10Q
ax
[1 +
1
6
(xa
)2].
5Se denomina esta razn como rigidez geomtrica, ya que la rigidez
real tendr ademsuna contribucin adicional (rigidez elstica) debido
a la elongacin del cable bajo carga,kE = EA/S, siendo E el mdulo
elstico, A la seccin del cable, y S su longitud total; larigidez
conjunta se calcular mediante 1/k = 1/kG + 1/kE .
-
3.3 Efecto de cargas puntuales 22
Esta expresin resulta en una ecuacin cbica en a, de la cual
despejando lanica raz real se obtiene
a
x= 20,00832640 (27)
A continuacin, expresamos la ecuacin de la longitud del cable y
la diferen-ciamos:
S
2= x
[1 +
1
6
(xa
)2];
0 = dx
[1 +
1
6
(xa
)2]+ x
1
3
x
a
adx xdaa2
;
operando extraemos da/dx:
da
dx=
1 + (x/a)2/2
(x/a)3/3
Teniendo en cuenta que H = qa, x = L/2, obtenemos la expresin de
larigidez:
kG =dH
dL=q
2
da
dx=H
2a
1 + (x/a)2/2
(x/a)3/3
Sustituyendo el valor de a calculado antes (27), resulta
kG = 12024,99376Q
L.
Como puede comprobarse, resulta un valor bastante aproximado al
obtenidorealizando el clculo como catenaria.
3.3. Efecto de cargas puntuales
En lo anterior se ha considerado tan slo el efecto de cargas
continuasdistribuidas sobre el hilo, que dan lugar a la ecuacin de
equilibrio (1). Enun caso general pueden existir tambin sobre el
hilo cargas puntuales o con-centradas aisladas, que provengan de
apoyos intermedios o de cargas suspen-didas.
El efecto que tienen las cargas puntuales sobre la configuracin
del hiloes producir una discontinuidad en la tangente. En efecto,
debido a una cargapuntual R, planteando el equilibrio en el nudo de
aplicacin de la carga(figura 17),
T 1 + T 2 +R = 0Si no hay rozamiento en el punto de aplicacin de
la carga, no se transmi-
ten fuerzas al hilo en direccin tangencial. La carga puntual R
estar en labisectriz de las tangentes, al ser el mdulo de la tensin
igual a ambos lados,T1 = T2.
-
3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos 23
bb b
RT 1 T 2
6/
SSSSSSw
b6@@R
T 1 T 2
R
Figura 17: Las cargaspuntuales o concentra-das en un hilo
flexibleproducen una disconti-nuidad en la tangente;en este caso R
se apli-ca mediante un apo-yo deslizante o poleade radio muy
pequeo,por lo cual se orientacomo bisectriz de T 1 yT 2, siendo
igual el m-dulo de estas dos ten-siones.
El procedimiento general de anlisis para estos casos consiste en
dividirel hilo en tramos entre cada dos apoyos o cargas puntuales,
y solucionar cadatramo por separado, en funcin de las cargas
distribuidas en l. Si estas cargasdistribuidas son el propio peso
del hilo, se formarn arcos de catenaria.
Si lo nico que existen sobre el hilo son cargas puntuales y no
hay cargasrepartidas, el hilo se configura formando tramos rectos
entre cada dos cargas.La configuracin resultante se denomina
polgono funicular.
Figura 18: Polgono funicular de-bido a cargas concentradas
sobreun hilo, sin cargas repartidas; lascargas Pi se aplican en
puntos fi-jos del hilo (no deslizantes), porlo que su direccin no
es bisectrizdel hilo.
eCCCCCC@@@@@HHHHH
%%%%e
?
?? ?
?
P1
P2P3
P4
P5
3.4. Algunos tipos de condiciones de apoyo en los ex-tremos
Discutimos a continuacin, a ttulo de ejemplos y sin nimo de
exhaus-tividad, algunas condiciones de extremo y su tratamiento
esttico en lasecuaciones de los hilos.
-
3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos 24
3.4.1. Extremo con tensin mxima dada
Para materializar esta condicin basta colocar un contrapeso P en
elextremo ms alto (figura 19), cuyo valor equivaldr a la tensin
mxima enel cable. El contrapeso cuelga de una pequea polea lisa,
que transmite lacarga P al cable, sin variar el mdulo, hasta la
direccin de la tangente al hiloen el apoyo. Como la tensin en un
cable es mxima en el punto ms alto,se obtiene un cable cuya tensin
mxima es constante, independientementede las cargas intermedias que
luego vaya a soportar.
P
T = P
Figura 19: Cable sometido a carga constante P enun extremo a
travs de un contrapeso.
3.4.2. Extremo con tensin horizontal dada
Se materializa mediante el hilo anclado a un carrito, y otro
hilo auxiliar(sin peso) unido a un contrapeso P a travs de una
polea lisa (figura 20).La polea de la derecha transmite la carga P
fija como tensin horizontal alcarrito. El apoyo del carrito
proporciona la necesaria componente de tensinvertical en el extremo
del hilo.
P
T0 = P
Tz
Figura 20: Cable sometido a tensinhorizontal dada.
3.4.3. Punto de anclaje con rozamiento
En el extremo apoyado sobre la recta la reaccin vertical es Tz y
la ho-rizontal T0 (figura 21). La relacin entre las componentes de
la tensin esTz T0 = Tz/ tg, por lo cual para el equilibrio habr de
ser
1/ tg = cotg pi/2 .En el lmite estricto de equilibrio ser 1/ tg
= .
-
3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos 25
T0 Tz
TzT
Figura 21: Cable anclado en una anillaque desliza en una recta
horizontal conrozamiento.
3.4.4. Anclaje en bloque pesado con rozamiento
Se considera aqu un extremo A anclado a un bloque pesado sobre
unsuelo rugoso, del cual tira hacia arriba el cable (figura 22).
Para el equilibriodebe considerarse que la normal es N = mg TA,z, y
de nuevo que el lmitede la tensin horizontal es N . En este caso se
considera la masa del bloquecomo puntual y por lo tanto no se
estudia el posible vuelco del mismo.
mg
T
A
N = mg TA,zT0 N
Figura 22: Cable anclado en bloque pesado so-bre suelo
rugoso.
3.4.5. Carga puntual deslizante
Suponemos en este caso un cable con extremos anclados a igual
altura,y una carga puntual situada en el mismo de forma que pueda
deslizar libre-mente. Obviamente se tender a situar en el punto
medio, de forma que seforme un ngulo entre las dos ramas de
catenaria simtricas que se formana derecha e izquierda de la carga
(figura 23). Debe tenerse en cuenta que elpunto A donde se sita la
carga no es el vrtice de esta catenaria. Por elcontrario, con la
convencin usual de considerar el origen de abscisas bajoel vrtice
de la catenaria, la abscisa de este punto es a priori una
incgnitadel problema (xA). Para relacionar sta con los datos del
problema, expre-samos en forma de ecuacin que cada una de las
catenarias simtricas debeequilibrar la mitad de la carga
vertical:
TA,z =P
2= qa senh
xAa.
-
3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos 26
P
A
P/2
x
z
xA
A
Figura 23: Cable con extremos anclados a igual altura y sometido
a una cargapuntual deslizante, que se sita en el medio formando dos
arcos simtricosde catenaria.
3.4.6. Anclaje en puntos a distinta altura
Sea un cable homogneo, de peso unitario q, con anclajes en los
puntos Ay B, situados a distinta altura (figura 24). Se conoce el
valor de la reaccinhorizontal en uno de los anclajes H, la luz
entre ambos L y el desnivel h.
A
x
z
h
H
L
B
Figura 24: Cable anclado en apoyos adistinta altura, sometido a
carga hori-zontal constante H.
La tensin horizontal en el hilo es constante, de valor T0 = H,
por lo quese conoce a = H/q. La incgnita es la abscisa xA del apoyo
A en relacincon el vrtice de la catenaria, ya que xB = xA + L. Se
plantea por tanto laecuacin siguiente:
a coshxA + L
a a cosh xA
a= h.
Para resolver esta ecuacin, desarrollamos el coseno hiperblico
de la suma.Denominando u = cosh(xA/L) (incgnita) y = cosh(L/a)
(dato), resulta:
u+2 1
u2 1 u = h
a,
Expresin que equivale a una ecuacin cuadrtica de fcil resolucin
para u.
-
Aptdo. 4. Cables apoyados sobre superficies 27
4. Cables apoyados sobre superficies
4.1. Superficie lisa sin cargas
Una superficie lisa sobre la que se apoya un hilo proporciona
una reac-cin que es normal a la superficie y al propio hilo. Puesto
que las fuerzasexteriores estn siempre en el plano osculador
(ecuacin (2)3), esta normales precisamente la normal principal del
hilo.
Las curvas trazadas sobre una superficie para las que la normal
principala la curva es en todo punto la normal a la superficie, son
las denominadasgeodsicas6. Por lo tanto la curva de equilibrio que
adopta un hilo apoyadosobre una superficie lisa, sin otras cargas
exteriores, es una geodsica de lasuperficie.
Por ejemplo, en una esfera las geodsicas son siempre crculos
mximos.En un cilindro, las geodsicas son bien secciones rectas
normales al eje, biengeneratrices, o bien hlices.
Observaciones:
Al no existir fuerza tangencial, de (2) se deduce que la tensin
en elhilo es constante.
Tambin de (2) se deduce que la reaccin normal sobre la
superficie
esT
R, siendo R el radio de curvatura del hilo. Ntese que sta es
la
reaccin por unidad de longitud del hilo.
4.2. Superficie lisa con cargas
Consideremos ahora, que adems de la reaccin normal a la
superficie,actan unas cargas exteriores de valor q por unidad de
longitud del hilo.
LlamemosQ a la reaccin normal de la superficie, que ahora no
coincidirnecesariamente con la normal principal del hilo, aunque
seguir siendo normala este (al ser normal a la superficie tambin es
normal a cualquier curva sobrela misma).
Denominamos n a la normal principal al hilo, b a la binormal, y
N a lanormal a la superficie. Todos estos vectores son versores
unitarios. Sea elngulo que forman n y N :
n N = cos
La reaccin vale (figura 25)Q = QN
6 Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010) apartado 2.5, o D.J.
Struik, GeometraDiferencial Clsica, ed. Aguilar, (apartado
2.5).
-
4.2 Superficie lisa con cargas 28
Figura 25: Hilo sobre superficielisa con cargas exteriores FFF :
lareaccin normal de la superficieN no es necesariamente la nor-mal
principal al hilo.
bCCCCCCO
@@I
7
CCCCO
Q
N
bn
t
-
y en componentes Q cos, componente segn n
Q sen, componente segn b
Escribimos las ecuaciones de equilibrio en las direcciones del
triedro in-trnseco (2)
0 = qt +dT
ds
0 = qn +Q cos +T
R0 = qb +Q sen
(28)
Proyectamos stas sobre la normal a la superficie, N ,
multiplicando la2.a ecuacin por cos y la 3.a por sen:
qn cos + qb sen = qN
+Q+T
Rcos = 0
Apliquemos ahora el Teorema de Meusnier de geometra
diferencial7. Esteafirma que para una curva sobre una superficie,
con radio de curvatura R(de la curva), el radio de curvatura Rn de
la seccin normal a la superficieque es tangente a en ese punto
verifica
Rn cos = R,
por lo que podemos escribir la ecuacin anterior como
qN +Q+T
Rn= 0 (29)
siendo Rn el radio de curvatura de la seccin normal a la
superficie tangenteal hilo en cada punto.
7 D.J. Struik, Geometra Diferencial Clsica, ed. Aguilar,
(apartado 2.5).
-
4.3 Enrollamiento sobre tambor rugoso 29
Ejemplo 8: Hilo homogneo pesado, situado sobre un paralelo
horizontalen una esfera lisa, en una latitud (figura 26).
R
Q
bN
n
Figura 26: Hilo pesado situado sobreuna esfera lisa, en un
paralelo de lati-tud .
La normal principal del hilo n est dirigida hacia el centro del
paralelo,la normal a la superficie N hacia el centro de la esfera,
y la binormal bes perpendicular al plano del paralelo, es decir
vertical. La carga del pesodistribuido es q = q b. Denominando Q =
QN a la reaccin de la esferasobre el hilo, la ecuacin de equilibrio
en la direccin de b (283) arroja:
Q sen + q = 0 Q = qsen
.
Por otra parte, la ecuacin de equilibrio en la direccin N (29)
conduce a:
q senQ+ TR
= 0 T = qR(
1
sen sen
)= qR cos cotg.
4.3. Enrollamiento sobre tambor rugoso
Si el hilo est apoyado sobre una superficie rugosa, se producen
fuerzastangenciales debido al rozamiento y el problema se complica
considerable-mente. En principio se podra tratar como el caso
estudiado en el apartadoanterior, considerando las fuerzas de
rozamiento como cargas aplicadas q. Sinembargo las fuerzas de
rozamiento son por lo general desconocidas a prio-ri, y definidas
por desigualdades (R N), lo cual complica an ms sutratamiento.
Un caso particular importante y que tiene solucin analtica es el
del enro-llamiento sobre un tambor rugoso. Haremos para ello las
siguientes hiptesis:
1. No existen cargas exteriores aplicadas sobre el hilo;
2. El tambor tiene una seccin recta convexa (no es necesario
exigir questa sea circular);
-
4.3 Enrollamiento sobre tambor rugoso 30
3. El hilo se enrolla segn una seccin recta del tambor.
Se desea calcular la situacin lmite del equilibrio, cuando al
tirar de unextremo ms que del otro el hilo est a punto de deslizar
sobre el tambor.En esta situacin lmite, por ser inextensible el
hilo, el rozamiento se agotasimultneamente en toda la longitud del
hilo apoyada sobre el tambor. Supo-nemos que se est tirando desde
un extremo con una tensin T , mientras queen el origen existe una
tensin T0 fija. Por tanto el rozamiento se moviliza ensentido
contrario a T (figura 27).
Figura 27: Hilo enrollado sobreun tambor rugoso, en el cual se
ti-ra desde T , en situacin de equili-brio estricto (a punto de
deslizar)
T
Q
T0
qnn
Planteamos las ecuaciones de equilibrio (2), denominando qn la
reaccinnormal del tambor (figura 27).
Segn la tangente:dT
ds qn = 0, (30)
Segn la normal:T
R qn = 0. (31)
El signo negativo de qn proviene de considerar sentido positivo
el opuesto ala normal n, es decir hacia el lado convexo del
tambor.
De (31) obtenemos qn = T/R, por lo que de (30)dT
ds=
T
R,
y separando variablesdT
T=
ds
R= d.
Integramos entre dos puntos, el origen = 0, donde suponemos que
latensin vale T = T0, y un punto genrico donde la tensin vale T
:
T = T0e . (32)
Esta frmula indica el aumento de la tensin producido por el
rozamiento,desde un punto en = 0 con tensin T0, hasta un punto en
que el hilo se haenrollado un ngulo , desde el que se tira con
tensin T > T0.
1 Conceptos e hiptesis bsicas1.1 Los cables en la mecnica
estructural1.2 Hiptesis de los modelos de cables
2 Ecuaciones de equilibrio bajo cargas continuas2.1 Ecuacin
vectorial del equilibrio2.2 Ecuaciones en coordenadas intrnsecas2.3
Ecuaciones en coordenadas cartesianas2.4 Casos de fuerzas
conservativas2.5 Casos de fuerzas centrales o paralelas
3 Configuraciones de equilibrio de cables3.1 Cable homogneo
sometido a peso propio (catenaria)3.2 Cable sometido a carga
constante por unidad de abscisa (parbola)3.3 Efecto de cargas
puntuales3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los
extremos
4 Cables apoyados sobre superficies4.1 Superficie lisa sin
cargas4.2 Superficie lisa con cargas4.3 Enrollamiento sobre tambor
rugoso