Ecuaciones DiferencialesUnidad 1. Ecuaciones de primer orden Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática Ingeniería en Telemática 6° cuatrimestr e Programa de la asignatura: Ecuaciones diferenciales Unidad 1. Ecuaciones de primer orden Clave: 220920624 / 210920624 Universidad Abier ta y a Distancia de México
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7/15/2019 Ecuaciones Diferenciales. Unidad 1. Ecuaciones de Primer Orden. UNADM.
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Unidad 1. Ecuaciones de primer orden
Presentación de la unidad
Muchas de las leyes que rigen la naturaleza, ya sea físicas, químicas o astronómicas,por ejemplo, pueden ser analizadas mediante modelos matemáticos. Estos modelos
son, generalmente, funciones matemáticas.
Recuerda que si y f x es una función, su derivada se puede interpretar como la
razón de cambio de y con respecto a x . En cualquier proceso natural, las variables
involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de las
leyes que gobiernan dicho proceso. Por ello, al expresar tal conexión en el lenguaje
matemático, el resultado con frecuencia es una ecuación diferencial.
Propósitos
Al finalizar esta unidad, serás capaz de:
Identificar una ecuación diferencialpor medio de su orden, grado ylinealidad.
Resolver una ecuación diferencial por medio del teorema de existencia yunicidad.
Resolver ecuaciones diferenciales encampos de soluciones vectoriales ymultivariables.
Resolver una ecuación exacta, noexacta, factor integrante y separaciónde variables.
Competencia específica
Determinar el método de solución de unaecuación diferencial a través de su orden,grado y linealidad para establecer suresultado o conjunto de resultados.
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0 0 y el teorema no garantiza nada, porque las funciones , f x y y
f
v
no son
continuas en 0 0 y . (Porque no se puede dividir entre cero
1
2 0 y ).
En estos casos puede haber solución única, varias soluciones o que la ecuación no
tenga solución.
Actividad 2. Ecuaciones diferenciales con solución única
Mediante este ejercicio podrás identificar una ecuación diferencial, analizar suestructura para conocer su categoría y, de esta manera, diferenciar entre una
ecuación de una solución o más.
1. De la información que te hará llegar tu Facilitador(a).
2. Observa detenidamente las ecuaciones diferenciales que se te presentan.
3. Determina si se trata de una ecuación diferencial con solución única o no.
4. Selecciona la respuesta correcta anotando dentro del cuadro una .
5. Envía tu documento con la nomenclatura KED1_U1_A2_XXYZ. El peso del
archivo no debe exceder los 4 MB.
1.1.4. Casos particulares (generalidades)
Ecuaciones diferenciales lineales
Ahora analizaremos como obtener la solución general de una ecuación diferencial
lineal de primer orden dy
p x y g xdx
.
Podemos obtener la solución general la mediante la siguiente fórmula:
1 p x d x
p x dx y x e g x dx C
e
Ejemplo 5:
Hallar la solución general de la siguiente ecuación:
2
dy
xy xdx
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diferencial exacta de una no exacta?
Mediante este ejercicio podrás responder la pregunta que se te ha planteado, raraello:
Compartir con los compañeros la forma en que se categorizan las ecuaciones
diferenciales. Comentar la diferencia encontrada entre una ecuación diferencial exacta y una no
exacta.
Comparar los conocimientos de los compañeros con los propios para reforzar elaprendizaje obtenido.
1. Entra en la sección del Foro llamado “ Clasificación de ecuacionesdiferenciales.”
2. Lee la pregunta que ahí se plantea.
3. Redacta tus conclusiones y súbelas al Foro.
4. Comenta la respuesta de tres de tus compañeros.
Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en lasección Material de apoyo.
1.3. Ecuación de Bernoulli
Existen algunas ecuaciones diferenciales que no son lineales pero que empleandoartificios matemáticos podemos transformarlas en ecuaciones lineales. Un caso muy
importante y que aquí desarrollamos, lo tenemos mediante las Ecuaciones deBernoulli, pero también, podemos resolver una ecuación diferencial no lineal a través
de las ecuaciones de Riccati.
Riccati
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lineal mediante la fórmula para ecuaciones lineales dv
p x y g xdx
vista
anteriormente:
1 p x dx
p x dxv x e g x dx C e
En este caso 242 p x y g x x
x
44
4ln ln 4dx
x x xe e e x
Sustituyendo nos queda:
4 2
4
12v x x x dx C
x
6
4
12v x x dx C
x
42
5v x Cx
x
Por último, usamos nuevamente el cambio de variable 2v y
:
2 42
5 y Cx
x
Actividad 4. Representación de un modelo matemático
Al finalizar esta actividad podrás:
Analizar un problema de aplicación de ecuaciones diferenciales.
Resolver las ecuaciones necesarias para obtener un resultado.
Graficar el resultado obtenido.
1. Lee el planteamiento que te hará llegar tu Facilitador(a).
2. Resuelve la ecuación que se te presenta para obtener el valor de la poblaciónen función del tiempo.
3. Grafica la solución correspondiente con un software (puede ser en línea comoel Wolfram Alpha).
*Para ejecutar este software en línea visita: http://www.wolframalpha.com/. EnMaterial de apoyo de la unidad puedes consultar el archivo Tutorial Wolfram quepretende ser una guía básica para su uso.
4. Anexa las capturas de pantalla al documento, en caso de requerir gráficos oalguna otra especificación de tu Facilitador(a).
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5. Envía tu documento con la nomenclatura KEDI_U1_A4_XXYZ. Espera laretroalimentación de tu Facilitador (a).
Autoevaluación
¡Muy bien! Haz llegado al final de la unidad.
Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, deberás ingresar a laautoevaluación y responder las preguntas que ahí se te plantean. La calificaciónobtenida quedará registrada en el portafolio de evidencias.
Para ingresar a la autoevaluación: Verifica el enlistado de las actividades y da clicen Autoevaluación.
Evidencia de aprendizaje. Sistemas algebraicos de computación (SAC)
Al finalizar serás capaz de:
Identificar algunos tipos de software como herramientas en la solución deecuaciones diferenciales.
Manejar el software elegido para la solución de ecuaciones diferenciales.
Solucionar ecuaciones diferenciales por medio de aplicaciones informáticas.
Para realizar la actividad:
1. Utiliza el programa recomendado u otro que conozcas.
2. Consulta las instrucciones con que te de tu Facilitador(a).
3. Utiliza el programa elegido para encontrar la solución al problema propuesto.
4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura KEDI_U1_EA_XXYZ.
5. Envía tu reporte al portafolio de evidencias, espera la retroalimentación de tuFacilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tuevidencia.
6. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que seráevaluado tu trabajo.
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Autorreflexión
Con el propósito de ayudarte a poner en contexto lo que has aprendido en estaunidad, es conveniente que respondas realices las siguientes actividades:
1. Investiga acerca de las ecuaciones de Ricatti y Bernoulli.
2. Responde las siguientes preguntas:
¿Es posible convertir una ecuación de Riccati a una ecuación de Bernoulli?
¿Cuál es el cambio de variable necesario para realizar dicho cambio?
Para saber más
Consulta en cualquier texto de los sugeridos en la bibliografía básica o específica el
tema “Familia de soluciones.” Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Familia de soluciones
Cierre de la unidad
En esta unidad se inició el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Deacuerdo al tipo de ecuación, se implementaron los métodos más adecuados para su
solución; además, se sentaron las bases necesarias para el estudio de ecuaciones
diferenciales de orden superior. De esta manera, has adquirido los conocimientos
mínimos necesarios para la solución de problemas en distintas aéreas, por lo que se te
invita a continuar con tus estudios sin olvidar que la práctica constante te dará el
dominio de un tema tan fascinante como lo son las ecuaciones diferenciales.
Fuentes de consulta
Bosch, C., (2006), Cálculo diferencial e integra, México: Publicaciones Cultural.
Larson, R., (2009), Matemáticas II Cálculo integra,. México: Mc Graw Hill.