ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y APLICACIONES F. Bautista, M. Romero, J. Saavedra y R. Bazán Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión Facultad de Ciencias
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y APLICACIONES
F. Bautista, M. Romero, J. Saavedra y R. Bazán
Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión
Facultad de Ciencias
Datos de catalogación bibliográfica
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN
ISBN: En consulta
Formato: 210 x 297mm Páginas: 106
No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisión por cualquier medio o método sin autorización escrita de la Editorial.
DERECHOS RESERVADOS
2013 respecto a la primera edición en español por:UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓNAv. Mercedes Indacochea609 Huacho (Perú)
c
ISBN: En consulta
Depósito Legal: En consultaÚltima reimpresión, 2013
Edición en español:Editor: Diseño y Diagramación:
Este libro fue financiado con los recursos de FEDU.
F. BAUTISTA, M. ROMERO, J. SAAVEDRA Y R. BAZÁN
AGRADECIMIENTO
Agradecemos en forma muy especial a cada una de nuestras familias, reconocen el
esfuerzo en cada una de nuestras actividades académicas y que hacen de nuestro
trabajo investigación sea el más valorable aporte a la Ciencia. También
agradecemos a nuestros colegas del área de matemáticas autores de otros textos
universitarios que nos han servido de consulta para el desarrollo y culminación de
nuestro texto universitario.
LOS AUTORES
INDICE
Prólogo
Capítulo I: Conceptos básicos 1
1.1. Introducción 1
1.2. Definiciones 1
1.2.1. Ecuación diferencial 1
1.2.2. Clasificación según su tipo 1
1.2.3. Clasificación según el orden 2
1.2.4. Clasificación según la linealidad 3
1.3. Propiedades de una ecuación diferencial 3
1.4. Solución de una ecuación diferencial 4
1.5. Solución explícita 5
1.6. Solución implícita 5
1.7. Solución general de una ecuación diferencial 5
1.8. Solución particular 6
1.9. Problemas de valor inicial 10
1.10. Unicidad y existencia de la solución 13
Capitulo II: Ecuaciones diferenciales de primer orden 16
2.1. Introducción 16
2.2. Ecuaciones diferenciales de Variable separable 16
2.3 Ecuaciones reducibles a Variable Separable 26
2.4. Funciones Homogéneas 30
2.5. Ecuaciones diferenciales Homogéneas 31
2.6. Ecuaciones reducibles a Homogéneas 37
2.7. Ecuaciones diferenciales Exactas 44
2.8. Ecuaciones reducibles a Exactas 53
2.9. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 60
2.10. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 65
Capítulo III: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 72
3.1. Introducción
3.2. Aplicaciones a problemas geométricos 72
3.3. Aplicaciones al cambio de temperatura 74
3.4. Descomposición y crecimiento poblacional 78
Capítulo IV: Ecuaciones diferenciales Lineales de Orden “n” 83
4.1. Ecuaciones diferenciales Homogéneas con 83
coeficientes constantes
4.2. Ecuaciones diferenciales Lineales No Homogéneas 91
con Coeficientes Constantes
Referencia bibliográfica 106
Apéndice
PROLOGO
Este texto que presentamos está orientado básicamente para los estudiantes
de Ciencias Matemáticas, Física e Ingeniería, teniendo en cuenta que el estudio de
las Ecuaciones Diferenciales ordinarias es muy importante en la formación básica
de los estudiantes de Ciencia e Ingeniería, debido a que con frecuencia aparecen en
el estudio de los fenómenos naturales.
En este texto titulado Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y aplicaciones,
hemos usado la experiencia adquirida en la larga carrera de la docencia
universitaria, en el se presenta ejercicios resueltos y propuestos. La teoría se
expone en forma precisa y necesaria para la solución de los diversos ejercicios y
problemas presentados.
Para entender este texto los estudiantes tienen que tener conocimiento del
Cálculo Diferencial e Integral.
Este texto contiene en el primer Capítulo los Conceptos Básicos de
Ecuaciones Diferenciales, en el Capítulo II se estudia las Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias de primer Orden, en el Capítulo III se presenta algunas aplicaciones que
son importantes y en el Capítulo IV se hace el estudio de las Ecuaciones
Diferenciales Lineales de Orden ”n”, en el apéndice se presenta el desarrollo de
ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas con Coeficientes
Constantes.
LOS AUTORES
RESUMEN
En este texto se presenta el estudio de las Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias de Primer Orden y sus aplicaciones, donde se consideran los
conceptos básicos como Ecuación Diferencial, clases de Ecuaciones
Diferenciales, Orden, Grado y solución de una Ecuación Diferencial.
También se estudian las Ecuaciones Diferenciales de Variable Separable y
reducibles a Variables Separables. Las Ecuaciones Homogéneas y
reducibles a Homogéneas. Las Ecuaciones diferenciales Exactas y
reducibles a Exactas; las Ecuaciones Diferenciales Lineales de primer orden
y las Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli.
En las aplicaciones se ha considerado la aplicación a problemas
geométricos, al cambio de temperatura y a la descomposición y crecimiento
poblacional. También se hace el estudio de como se resuelve una Ecuación
Diferencial Lineal de Orden “n” Homogéneas y no Homogéneas de
coeficientes Constantes y por último se presenta la forma como se halla la
solución general de las ecuaciones diferenciales Lineales de orden “n”
aplicando el método de Variación de parámetros.
Los autores
1
CAPITULO I: CONCEPTOS BASICOS
1.1. INTRODUCCION
Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de
cierto tipo de ecuaciones que tengan derivadas así como al estudiar algebra y
trigonometría se invierten bastante tiempo en resolver ecuaciones, como
con la variables x. Nosotros resolveremos ecuaciones como
para conocer la función desconocida Pero antes de
conocer cualquier tema es necesario conocer las definiciones y sus
terminologías.
1.2. DEFINICIONES
1.2.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de
una o más variables dependientes con respecto a una o más variables
independientes.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y
linealidad.
1.2.2. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU TIPO
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA (EDO):
Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas ordinarias de una o
más variables dependientes con respecto a una sola variable
independiente.
2
( )
Ecuación diferencial para circuitos
eléctricos
Ecuación diferencial de caída libre
Ecuación diferencial de decaimiento
radiactivo
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP):
Son las ecuaciones que contienen derivadas parciales de una función de
una o más variables independientes.
( )
Ecuación diferencial de Poissón
Ecuación diferencial de Laplace
(
)
Ecuación diferencial del calor
Ecuación diferencial de la fusión nuclear
1.2.3. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN
Pueden ser de primer orden, segundo orden, tercer orden, hasta de orden
“n” El orden de una ecuación diferencial esta dado por la mayor derivada
en la ecuación diferencial.
⏟
(
*
⏟
3
( )
Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
NOTA: Una ecuación diferencial ordinaria general se puede
representar por:
( ( ))
Por notación suponemos que la derivada de orden máximo, ( ) de
una ecuación diferencial se puede despejar quedando la ecuación:
( ) ( ( ))
1.2.4. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD
Se dice que una ecuación diferencial de la forma ( ) ( ( ))
es lineal cuando es una función lineal de ( ) Esto significa que
una ecuación es lineal de orden “n”, si se puede escribir de la forma:
( )
( )
( )
( ) ( )
1.3. PROPIEDADES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado es
decir que la potencia de todo termino donde aparece y es de primer
grado.
Los coeficientes solo dependen de x, que es la variable independiente.
Las funciones de y como ( ) no pueden aparecer en una
ecuación lineal.
4
Ejemplo de ecuaciones diferenciales lineales
( )
primer orden segundo orden tercer orden
Ejemplo de ecuaciones diferenciales no lineales
( )⏟
⏟
( )
⏟
primer orden segundo orden Cuarto orden
1.4. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL
Cuando una función ( ) definida en algún intervalo se sustituye en una
ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es
una solución de la ecuación en el intervalo.
Se dice que ( ) satisface la ecuación diferencial. El intervalo puede ser
abierto, cerrado, infinito, etc. Supondremos que ( ) es una función de valores
reales.
Por ejemplo:
SOLUCIÓN:
(
) (
)
(
)
5
1.5. SOLUCIÓN EXPLICITA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Es una solución en la que la veriable dependiente se expresa tan solo en
terminos de la variable independiente y constantes, es decir que una solución
explícita ( ) es la cual podemos manipular (evaluar y diferenciar)
1.6. SOLUCIÓN IMPLICITA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una solución implícita de una ecuación diferencial, es una relación ( )
en un intervalo I , y define a una o mas soluciones implícitas en I .
Ejemplo:
( )
No se puede despejar en términos de x luego se puede hallar la derivada
implícitamente.
( )
( ) (
*
( )( ) ( )( )
Luego, esto verifica que es una solución de la ecuación diferencial.
1.7. SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
La solución general de una ecuación deferencial es una función de la de la forma
( ) que contiene constantes arbitrarias.
6
La ecuación diferencial de orden “n”, ( ( )) en un intervalo I,
expresada en parámetros (n-parámetros) como la familia ( )
con valores adecuados para ( ) Tiene una solución general que es
una familia de soluciones.
El nombre de soluciones generales, solo se aplica a ecuaciones diferenciales
lineales.
1.8. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una solución particular es una solución donde se conocen los parámetros de
una solución general, es decir no tiene constantes arbitrarias.
-
7
EJERCICIOS PROPUESTOS:
En las siguientes ecuaciones, establezca si la ecuación diferencial es lineal o no
lineal, indique el orden de cada ecuación:
( ) ( )
( )
(
*
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
√ (
)
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
8
En los problemas siguientes, compruebe que la función indicada sea una solución
de la ecuación diferencial dada. En algunos casos suponga un intervalo adecuado
para que la solución sea valida. Indican constantes.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
√
(√ )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) (
*
( ) √| | | |
( )
9
( )
( )
( )
( )( )
( ) ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) | |
( ) ( ) ( ) | ( ) ( )|
( )
( ) ( ( ))
( ) ( )
( ) ( ) ( )
10
( )
( )
( )
1.9. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Resolver un problema de ecuaciones diferenciales sujeta a condiciones
prescritas, que son las condiciones iníciales que se imponen a ( ) o a sus
derivadas, es hallar la solución de una ecuación en un intervalo que satisfaga
en las n condiciones iníciales.
Un problema con valor inicial se puede escribir de la siguiente manera:
( ( ))
{
( )
( )
( )( )
Donde son constantes reales especificadas arbitrariamente.
Si una ecuación diferencial es de primer orden se tendrá una sola condición
inicial.
( )
( )
Si una ecuación diferencial es de segundo orden se tendrá dos condiciones
iníciales
( )
11
{ ( )
( )
Para la solución de una ecuación diferencial de primer orden con la constante
“C” se tiene una familia de soluciones de las cuales solo una de las curvas pasa
le punto ( ) donde y esa es la solución particular.
Para la solución de una ecuación diferencial de segundo orden no sólo se pide
que pase por ( ) si no también que la pendiente en ese punto sea por la
segunda condición inicial( ( ) )
(𝑥 𝑦 )
𝑥
𝑦
Soluciones De La Ecuación Diferencial
Solución particular con la condición inicial 𝑦(𝑥 ) 𝑦 es decir (𝑥 𝑦 )
𝐼
(𝑥 𝑦 )
𝑥
𝑦
Soluciones De La Ecuación Diferencial
Solución particular con la condición inicial 𝑦(𝑥 ) 𝑦 es decir (𝑥 𝑦 ) 𝑦 (𝑥 ) 𝑦 Es decir 𝑚 𝑦
𝐼
𝑚 𝑦
12
La solución de una ecuación diferencial de orden n tiene una familia n -
paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada para determinar n
constantes especificadas de tal manera que la solución se ajuste a la n
condiciones iníciales.
Ejemplo Resolver los siguientes problemas con valor inicial.
(01) Muestre que ( ) ( ) es una solución del problema con
valores iníciales.
( )
( )
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Al verificar las condiciones iníciales tenemos:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Cumple los requisitos, por tanto y es una solución del problema con
condiciones iníciales.
(02) Determine una solución del problema con valor inicial, si
es una solución biparamétrica de soluciones de
13
{
.
/
.
/
.
/ .
/
⏟
⏟
⏟
Primero derivamos:
.
/ .
/
⏟
⏟
⏟
Por lo tanto:
1.10. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN
Al resolver un problema con condiciones iníciales surgen dos asuntos
fundamentales:
¿El problema tiene solución? Si tiene, ¿es única?
TEOREMA 1.1 Existencia y unicidad
Dado el problema con valor inicial
( ) ( )
Supóngase que:
( )
*( )| +
14
Que contiene al punto ( ) Entonces el problema con valor inicial tiene una
solución única ( ) en algún intervalo ⟨ ⟩
donde es un número entero positivo.
Ejemplo 01 Problema con valor inicial
( )
Examinar la función según el teorema 1.1
( )
que contenga al punto ( ) el problema con valor inicial tiene una solución única
según el teorema 1.1.
Ejemplo 02 Problema con valor inicial
( )
Examinar la función según el teorema 1.1
( )
REGIÓN RECTANGULAR
𝑑
𝑎 𝑏
𝑐
(𝑥 𝑦 )
𝑥
𝑦
𝑥 𝛿 𝑥 𝛿 𝐼
15
Rectángulo que contenga al punto ( ) el problema con valor inicial no tiene una
solución única según el teorema 1.1.
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los problemas siguientes determine una región del plano para que la
ecuación diferencial dada tenga solución única que pase por el punto ( ) en la
región.
)
Rpta. Semiplanos definidos por y >0 o por y<0
)
√
)
Rpta. Semiplanos definidos por x >0 o por x<0
)
) ( ) Rpta. Las regiones definidos por y >2 , y<-2
o por -2 < y < 2
) ( )
) ( ) Rpta. Cualquier región que no contenga a (0,0)
) ( ) x
)
Rpta. Todo el plano xy.
)
( )
16
CAPITULO II: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN
2.1. INTRODUCCION
Ya podemos resolver algunas ecuaciones diferenciales. Comenzaremos con las
de primer orden y veremos cómo hacerlo; el método dependerá del tipo de
ecuación. A través de los años, los matemáticos han tratado de resolver muchas
ecuaciones especializadas. Por ello hay muchos métodos; sin embargo, lo que
funciona bien con un tipo de ecuación de primer orden no necesariamente se
aplica a otros. En este capítulo nos concentraremos en ver como se halla la
solución de estas ecuaciones de primer orden.
2.2. ECUACION DE VARIABLES SEPARABLES
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma:
( ) ( )
es de variable separable, si se puede escribir en forma f(x)dx + g(y) = 0,
y cuya solución general se halla por integración directa de cada término de la
ecuación.
Dada la ecuación:
( ) ( )
Se expresa de la forma siguiente
( ) ( )
se separan las variables y obtenemos:
( ) ( )
17
Luego, integramos para hallar la solución general.
∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( )
Donde C es la constante de integración.
Ejemplo 01
( )
Solución:
( ) ( )
∫
∫
| | | | | | | |
| |
( )
( )
También se puede hacer
∫
∫
| | | | | | | | |
| | | |
|
( )
Ejemplo 02 Problema con valor inicial.
18
( )
Solución:
Primero separamos variables
∫ ∫
Es la ecuación de una circunferencia en forma general, aplicando la condición
general tenemos:
( ) {
( ) ( ) Solución
Particular.
Ejemplo 03
Resolver ( )
19
Solución:
También se puede resolver multiplicando por y dividiendo en
( )
( )
∫ ∫( ) ∫
( )
Observe que no puede ser condición inicial de este ejemplo.
Ejemplo 04 Problema con valor inicial.
( )
Solución:
Primero separamos variables
∫
∫
( ) |
|
|
|
Luego despejamos y:
20
Luego aplicamos la condición inicial ( ) {
( )
( )
( )
Al llegar a esta ultima igualdad debemos examinar con más cuidad la ecuación
diferencial. El hecho de que
( )( )
Queda satisfecha con dos funciones constantes, que son pero
en la solución se advierte que debe de excluirse a Luego en la
solución se puede tomar siendo
1) ( )
Solución
( ) ( )
( )
∫
∫(
*
2)
Solución
( )
( )
∫
∫
∫
( )
∫
( )
( ) ( )
21
( ) ( )
3)
√ √
Solución
√ √
√ ( √ )
( √ )
√
∫( √ )
∫
√ { √
} √
∫( )
√ ∫
( )
√
∫ ( )
∫
∫
√
∫ ( ) ( ) √
( ) ( ) √
√ ( ) (√ ) √
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ∫
( )
∫
( ) ∫
| |
| | ,( ) - ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
| |
Solución
22
( )
∫
∫( )
∫(
* ∫( )
∫(
* ∫( ) | |
| |
Remplazando las condiciones iniciales ( )
| |
| |
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los problemas siguientes resuelva la ecuación diferencial respectiva por
separación de variables.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )
23
( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
*
( )
(
*
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
24
( )
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( )
( ) ( )
( ) √ ( ) √ ( )
( )( )
( )( √ )
√
En los siguientes problemas resuelva las ecuaciones diferenciales, sujeta a la
condición inicial respectiva.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) .
/
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
En los siguientes ejercicios determine una solución de la ecuación diferencial
dada que pasa por los puntos indicados.
( )
( )( )( )( )( ) (
*
( )
( )( )( )( )( ) (
*
25
Con frecuencia, un cambio radical en la solución de una ecuación diferencial
corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación
misma. Compare las soluciones de los problemas de valor inicial respectivos
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) Caída Libre. Analizamos un modelo para un objeto que cae hacia la tierra.
Si sobre el objeto sólo actúan la resistencia del aire y la gravedad, se
observó que la velocidad debe satisfacer la ecuación.
Donde es la masa, es la aceleración debida a la gravedad y es
una constante, Si ⁄ ⁄ ( ) ⁄
encuentre ( ) ¿Cuál es la velocidad limite (es decir terminal) del objeto?
Donde: -bv es la resistencia del aire
26
V es la velocidad
Mg es la gravedad
( ) Interés Compuesto. Si ( ) es la cantidad de dinero en una cuenta de
ahorros que paga la tasa de interés anual de compuesta
continuamente, entonces
Suponga que el interés es de 5% anual, ( ) y no hay retiros.
(a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 2 años?
(b) ¿En qué momento tendrá en la cuenta $4000?
(c) Si se agrega $1000 a la cuenta cada 12 meses, ¿Cuánto dinero
habrá al cabo de 3,5 años?
2.3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIBLES A VARIABLES
SEPARABLES
Estas ecuaciones son de la forma siguiente:
( )
Donde: a, b y c son constantes, no son de variables separables.
Para resolver estas ecuaciones se hace un cambio de variables de la siguiente
forma:
27
(
*
Luego esta ecuación se resuelve por separación de variables:
( )
( ) ( ( ) )
( )
Esta ecuación esta lista para ser resuelta por separación de variables.
En forma de diferencial
( )
Luego, se remplaza en la ecuación:
⏟ ( )⏟
( ) ( ) ( )
, ( )-
( )
EJERCICIOS RESUELTOS
( )
29
√ ∫
√ ∫
[ √ √
( )
( )
]
∫
( )
∫
∫
∫
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
(
√ *
( √ )
( )
Solución:
∫( ) ∫
( ) ( )
( )
30
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los problemas siguientes resuelva la ecuación diferencial respectiva
reduciendo a separación de variables.
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) | | | | ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) √
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2.4. FUNCION HOMOGENEA
La función ( ) se llama homogénea de grado en las variables e si se
verifica la siguiente propiedad:
( ) ( )
Donde n es el grado de la función homogénea.
31
EJERCICIOS PROPUESTOS
Determinar si las funciones siguientes son Homogéneas y diga cual es su grado
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) √
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
/ (
*
2.5. ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA
La ecuación diferencial de primer orden de la forma:
( )
Será homogénea respecto las variables x e y, si la función ( ) es homogénea
de grado cero respecto a x e y.
La ecuación diferencial:
( ) ( )
32
Será homogénea si ( ) ( ) son funciones homogéneas ambas y
del mismo grado en x e y.
Para hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales homogéneas se
hace y = ux, de donde dy = udx + xdu y al remplazar en la ecuación diferencial
dada se convierte en una ecuación diferencial de variable Separable.
Ejercicios Resueltos:
1) Resolver la ecuación: 2(2x2 + y2)dx - xydy = 0
Solución
Como la ecuación diferencial es Homogénea, hacemos:
y = ux de donde dy = udx + xdu
Remplazando tenemos:
2(2x2 +u2x2)dx - ux2(udx + xdu) = 0 , de donde
(4x2 + 2u2x2 - u2x2)dx - ux3du = 0 , que es una ecuación de Variable
Separable de la forma:
x2(4 + u2)dx - x3udu = 0
de donde obtenemos:
Integrando tenemos:
Ln(x) – 1/2Ln( u2 +4) = Ln C, pero u = y/x
De donde, la solución general es:
X4 = C(4x2 + y2).
2) Resolver: (6x2 - 7y2)dx - 14xydy = 0
Solución
Como la ecuación diferencial es Homogénea, hacemos:
y = ux de donde dy = udx + xdu
Remplazando tenemos:
33
(6x2 - 7u2x2)dx - 14ux2(udx + xdu) = 0 , de donde
(6x2 + 21u2x2)dx - 14ux3du = 0 , que es una ecuación de Variable Separable
de la cual obtenemos:
De donde resulta la solución general siguiente:
2x3 - 7xy2 = C
( ) .
/
.
/
( ) [
] ( )
( )
( )
( )
( ) ∫
( ) ∫
∫ ( )
∫
( ) .
/
( )
√
√
√ ∫
√ ∫
0 √ 1
√
√.
/
√.
/
34
( ) .
/
.
/ .
/
Solución:
reemplazando
( ) [
] ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
∫ ( ) ∫
.
/ .
/
. /
( )
Solución:
(
*
36
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Homogéneas.
( )
( ) ( )
( )
. /
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) |
| |
| ( ) ( ) ( )
( )
( )
.
/
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( √ ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
. /
( )
( )
√
( )
( )
37
2.6. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS
Las ecuaciones diferenciales de la forma siguiente:
(
* ( )
Donde a, b, c, son constantes.
Que no es Homogénea se puede reducir a Homogénea, siguiendo los pasos
siguientes:
1. Se halla el punto de intersección de las rectas:
{
Resolviendo estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones
Luego, se hace:
Donde (h, k) es el punto de intersección de las rectas
1. Esto se sustituye en (1) quedando:
(
( ) ( )
( ) ( ) )
(
⏞
⏟
,
Y se consigue la Ecuación homogénea de grado 0:
(
*
2. Esta ecuación se resuelve con la sustitución
Si las dos rectas no se interceptan (o sea son paralelas), entonces esta es una
ecuación homogénea directa que definimos anteriormente.
( )
Y por tanto, para hallar la solución general se hace la sustitución lo
cual quiere decir que ; esta sustitución convierte la Ecuación
Diferencial (1) en una Ecuación Diferencial de variables separables.
38
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
( )
Solución:
{
{
{
2
Sea el cambio de variable
{
{
{
Reemplazando se tiene:
( ) ( )
( ) ( )
Ahora esta ecuación es homogénea
Remplazando
Separando variables se tiene:
39
( )
∫
∫
∫
| |
Reemplazando u y z se tiene
(
* | (
*
| | |
( ) ( ) ( )
Solución:
{
{
{
2
Sea el cambio de variable
{
{
{
Reemplazando se tiene:
( ) ( )
( ) ( )
Ahora esta ecuación es homogénea
Reemplazando
40
Separando variables se tiene:
( )
∫
( )
∫
| |
| |
Reemplazando u y z se tiene
| |
|(
*
(
* |
( )
(
*
Solución:
{
{
{
2
Sea el cambio de variable
{
{
{
Reemplazando se tiene:
*
( ) ( )
( ) ( ) +
(
*
Ahora esta ecuación es homogénea
41
Remplazando
(
*
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
Separando variables se tiene:
( )
( )( )
∫
( )
( )( ) ∫
Resolviendo por fracciones parciales
( )( )
( ) ( ) ( ) Comparamos los
grados
{
2
2
∫
∫
| | ∫
∫
| | | | ∫
( )
| | | | *
√ |
√
√ |+
42
|
|
√ |
√
√ |
Remplazando u y z se tiene
|. /
. /
|
√ |
√
√
|
| |
( )
Solución
{
∫
( )
∫
∫
∫
∫
, -
, -
, ( )- ( )
43
( ) [ .
/
] 0
1
( ) *( )
( ) + 0
1
( ) 0
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los problemas siguientes resuelva la ecuación diferencial reduciendo a una
ecuación diferencial homogénea
( )
( )
(
*
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
44
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2.7. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS
Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma:
( ) ( ) ( )
Es exacta si su primer miembro:
( ) ( )
Es la diferencial exacta o total de una cierta función ( ) es decir:
( ) ( ) ( )
La diferencial exacta de ( ) es:
Por comparación tenemos:
( ) ( )
( )
( )
45
Si M y N tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:
Ademas para la solución tenemos que ( ) ( )
Entonces
Luego ( ) .
El proceso para hallar la solución general es:
(01) Primero debemos comprobar que ( ) ( ) sea exacta,
es decir:
(02) Debemos aplicar la condición necesaria
( ) ( ) ∫ ∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( ) ( )
( )
[∫ ( ) ( )]
( )
[∫ ( ) ( )]
46
Este último paso permite calcular de valor de ( ) que se reemplazara en
(2), para obtener:
( )
∫ ( ) ( )
EJERCICIOS RESUELTOS:
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
( ) ( )⏟ ( )
( )⏟ ( )
Solución
Primero veremos si la ecuación dada es homogénea
Entonces existe la función F(x, y) = C, talque cumple que:
( )
( )
Entonces tenemos, que:
( ) ∫ ∫( )
( )
( )
( )
Luego se tiene: ( )
( ) ( )
( )
47
( ) ( )⏟ ( )
( )⏟ ( )
Solución
Tenemos que:
Entonces existe F tal que cumple:
( )
( )
Luego tenemos:
( )
∫ ∫( )
( ) ( )
( )
Luego se tiene:
( )
( ) ( )
( )
( )
48
Solución:
( )⏟ ( )
( )⏟ ( )
Tiene que cumplir:
( )
( )
( )
∫ ∫( )
( )
( )
Derivando
( )
Luego se tiene:
( )
( ) ( )
( )
( ) .
/ ( )
Solución:
.
/
⏟ ( )
( )⏟ ( )
49
Tiene que cumplir:
( )
( )
.
/
∫ ∫.
/
( )
( )
Derivando
( )
Luego se tiene:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) , ( ) -
Solución:
( ) ⏟ ( )
, ( ) -⏟ ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
50
( )
( )
Tiene que cumplir:
( )
( )
( ) ( )
∫ ∫( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
Derivando
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
Luego se tiene:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Usando las condiciones iniciales
( )
( )
( )
51
EJERCICIOS PROPUESTOS:
En los problemas siguientes resuelva las que son ecuaciones diferenciales exactas
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (
*
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) (
*
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) .
/ ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) (
* (
*
( )
( ) (
*
( )
( ) ( ( ))
( ) ( )
( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
52
( ) (
* (
*
( ) ( ) ( )
Resuelva cada ecuación diferencial sujeta a la condición inicial indicada.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
*
( ) ( )
En las siguientes ecuaciones determine el valor de k para que la ecuación diferencial
correspondiente sea exacta.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) Deduzca la función ( ) tal que la siguiente función sea exacta:
( ) ( ) (
*
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ) Deduzca la función ( ) tal que la siguiente función sea exacta:
( ) (
* ( )
53
( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
2.8. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A EXACTA
Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma:
( ) ( ) ( )
Que no sea exacta se puede reducir a exacta multiplicando por un factor
integrante ( )en la ecuación (1) quedando
( ) ( ) ( ) ( )
Es decir esta ecuación diferencial ya es exacta, el procedimiento de solución ya lo
conocemos.
METODO DE SOLUCION
(01) Primero debemos comprobar que ( ) ( ) no sea exacta,
es decir:
(02) Luego debemos encontrar el factor integrante para lo cual usaremos el
siguiente teorema
FACTOR DE INTEGRACION ESPECIAL
(
*
( ) ∫ ( ) ( ) (
*
54
(
*
( ) ∫ ( ) ( ) (
*
(03) Luego este factor integrante se multiplica a la ecuación (1) quedando esta
ecuación como una ecuación exacta.
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
( ) ( ) ( )
Solución
( )
( ) ( )
Luego buscamos el factor de integración
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
∫
55
(
* ( )
( )
( )
∫ ∫(
*
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
Luego, remplazamos g(y) para obtener la solución general:
( ) ⏟ ( )
. /⏟ ( )
Solución
( )
( )
( ) ∫ ( )
⏟ ( )
. /⏟ ( )
56
Tiene que cumplir:
( )
( )
( ) ∫ ∫( )
( ) ( )
( )
Luego se tiene: ( )
( ) ( ) ∫
{
}
( ) {
∫
} ( )
( )
( ) ⏟ ( )
( )⏟ ( )
Solución
Primero probamos que:
( )
( )
( )
∫
( )
57
⏟ ( )
( )⏟ ( )
Tiene que cumplir:
( )
( )
( ) ∫ ∫( )
( ) ( )
( )
Luego se tiene: ( )
( ) ( ) ∫( ) ( )
( )
( ) ( )⏟ ( )
( )⏟ ( )
Solución
Vemos que:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
58
( ) ∫
( )
(
*
⏟ ( )
(
*
⏟ ( )
Tiene que cumplir:
( )
( )
(
* ∫ ∫(
*
( )
( )
( )
Luego se tiene:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )⏟ ( )
( )⏟ ( )
Solución
Vemos que:
59
( )
( )
( )
( ) ∫ ( )
( )⏟ ( )
( )⏟ ( )
Tiene que cumplir:
( )
( )
( )
∫ ∫( )
( ) ( )
( )
Luego se tiene:
( ) ( ) ( )
( )
60
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los problemas siguientes resuelva las que son ecuaciones diferenciales reducibles a
exactas
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2.9. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Una ecuación diferencial ordinaria es:
( )
( ) ( ) ( )
Donde: ( ) ( ) ( ) son funciones de o constantes.
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
A esta ecuación la llamaremos una ecuación diferencial lineal de primer orden
Donde:
61
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Se quiere determinar ( ) multiplicando a la ecuación (2)
De modo
( )
( ) ( )⏟
( )
⏟
( ( ) )
( ) ( )
Luego:
( ( ) ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ) ( ) ∫ ( ( ) ) ∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( )
( )∫ ( ) ( )
Por lo tanto la solución general es::
∫ ( ) [∫ ∫ ( ) ( ) ]
Hallamos ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫
( ) ∫ ( )
, ( )- ∫ ( ) ( ) ∫ ( )
62
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolver las ecuaciones diferenciales Lineales
( )
Solución:
Como vemos que la ecuación diferencial es Lineal en y e x.
La solución general es:
∫
[∫
∫ ]
[∫ ]
[∫ ]
[
]
( ) La corriente , en amperios, en un circuito eléctrico satisface la ecuación
diferencial:
Donde es el tiempo. Si donde , encuentre como función del tiempo.
Solución:
Sabemos que:
63
Se busca el factor integrante ( )
( ) ∫
( )
Multiplicamos a todo por
⏞
⏞
⏞
⏞
, -
∫ , - ∫
Integrando por partes forma especial
[
]
Usando las condiciones iniciales donde se tiene:
[
]
( ) (
+
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver las ecuaciones diferenciales Lineales siguientes
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
64
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
.
/
√
( )
( )
( ) 2
( )
( ) ( )
( )
( ) 2
( )
En los problemas siguientes resuelva las que son ecuaciones diferenciales Lineales
( ) ( )
( ) √ √ √
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
(25) El suministro de glucosa al torrente sanguíneo es una técnica importante para
detectar la diabetes en una persona. Para estudiar este proceso definimos ( )
65
como la cantidad de glucosa presente en la sangre de un paciente en el tiempo
supongamos que la glucosa se suministra al sistema sanguíneo a una tasa
constante
Al mismo tiempo la glucosa se transforma y se separa de la
sangre a una tasa proporcional a la cantidad de glucosa presente. Construir la
ecuación diferencial. y resuélvala. Hallar ( ) cuando
(26) Hallar la solución general en términos de ( ) de la ecuación diferencial
( )
( ) ( )
2.10. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI
Es una ecuación diferencial de la forma:
( ) ( ) ( )
Con: se llama ecuación diferencial de Bernoulli.
Se observa que está, no es una ecuación diferencial lineal.
Para hallar la solución se trasforma en una ecuación lineal para lo cual
presentamos el siguiente procedimiento:
1º Se divide entre a toda la ecuación, quedando:
( ) ( )
( )
66
3º Damos la forma para el cambio de variable multiplicando a la ecuación por
( ) quedando:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
4º Reemplazamos:
( ) ( ) ( ) ( )
5º Esta ya es una ecuación diferencial lineal.
( )∫ ( ) [∫ ( )∫ ( ) ( ) ( ) ]
Luego la solución será:
( )∫ ( ) [∫ ( )∫ ( ) ( ) ( ) ]
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolver las ecuaciones diferenciales:
( )
√
( ) ( )
Solución
La ecuación lo escribimos como:
.
67
Que es una ecuación diferencial Lineal, cuya solución es:
∫
[∫
∫ ] [∫ ]
[∫ ] √ 0
1
√ ∫ √ | |
( )
√
( ) ( )
Solución
Procedemos del mismo modo del ejemplo anterior
∫
[∫
∫
] [
∫ ]
[∫ ] √ [∫
] √ , -
√ , -
( )
Solución:
68
∫ *∫
∫ +
[∫ ] [∫ ]
Reemplando
, -
( )
( )
Solución:
∫
[∫ ∫
]
| | [∫ | | ]
( ) [∫( ) ]
( ) [∫( ) ]
( )
( )
( )
Solución:
( ) ( )
70
∫
EJERCICIOS POROPUESTOS
En los problemas siguientes resuelva las que son ecuaciones diferenciales de Bernoulli
( )
( )√ ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Resuelva las que son ecuaciones diferenciales de Bernoulli con condiciones iníciales.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) √
( ) ( ) ( ) ( )
( )
72
CAPITULO III: APLICACIONES DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
3.1. INTRODUCCION
En esta sección nos concentraremos en la formulación de ecuaciones
diferenciales como modelos matemáticos. Una vez examinados algunos
métodos con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema
o fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser
físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema
o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en
mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto
ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o
podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia
radiactiva, sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba.
3.2. APLICACIÓN A PROBLEMAS GEOMETRICOS
Los problemas geométricos ofrecen una gran cantidad de ecuaciones
diferenciales teniendo en cuanta a las rectas tangentes y normales como se
plantea el siguiente modelo:
Se una curva descrita por la ecuación:
( )
Tomamos:
Sea ( ) cualquier punto de la recta tangente
Sea ( )un punto de tangencia en la curva
Sea una recta tangente a si ( ) es cualquier punto de
tangencia de la recta tangente, entonces la ecuación de la recta tangente es:
( )
|
73
Sea una recta normal (perpendicular) a en el punto ( ),
entonces la ecuación de la recta Normal es:
( )
En el siguiente grafico podemos observar lo dicho anteriormente.
𝛼
𝜃
𝑃(𝑥 𝑦 )
B A
𝑇
𝑁
𝑥
𝑦
𝑦
𝐶(𝑥 )
74
3.3. APLICACIÓN AL CAMBIO DE TEMPERATURA
La ley de enfriamiento de Newton establece, que la rapidez de cambio de
temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t, es proporcional a la diferencia de
temperaturas del cuerpo y del medio ambiente en el tiempo t.
Esto es:
( ) o
( )
Ya sea que aumente o disminuya, donde es la constante de proporcionalidad:
Si
( ),entonces
( ), que es una ecuación lineal de
primer orden y su solución se halla Integrando esta ecuación con la condición que
la temperatura ambiente es constante.
Obtenemos la relación lineal siguiente.
Problema aplicativo Nº 01
Una varilla de acero corrugado a una temperatura de se pone en cuarto a
una temperatura constante de . Después de 20 minutos la temperatura de la
barra es de .
¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de ?
¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos?
Solución:
Sea ( ) la temperatura de la barra al tiempo , luego ( ) y ( )
. La temperatura del medio ambiente, , es . Nótese que
es l
velocidad a la que se enfría la barra.
Por la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:
( )
75
Y como , este problema queda formulado con la siguiente ecuación
diferencial y sus condiciones
( )
( )
La solución general ya es conocida
( )
Como ( ) se tiene que:
( )
Cuando ( ) resulta:
La ecuación resultante quedaría:
( )
Rptas:
a) El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de
( )
La barra tardará 40 minutos en alcanzar una temperatura de .
b) La temperatura de la barra después de 10 minutos es igual a
76
( ) (
*
( )
La temperatura de la barra después de 10minutos será aproximadamente de
.
Problema aplicativo Nº 02
Una taza de café cuya temperatura se coloca en cuarto cuya
temperatura es . Dos minutos más tarde la temperatura del café es
.
¿Después de cuánto tiempo la temperatura del café será ?
Solución:
Datos:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ( ))
→
( )
77
6° 2’ 7.46” Rpta.
Problema aplicativo Nº 03
Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una
temperatura constante de . Si después de 20 minutos la temperatura del
cuerpo es de y des pues de 40 minutos a temperatura del cuerpo es de
, hallar la temperatura inicial de éste.
Solución:
Denotemos nuevamente con ( ) a la temperatura del cuerpo en u instante dado.
Así ( ) , ( ) , y
es la velocidad con que se enfría el cuerpo.
Ahora la temperatura constante del medio ambiente es
( )
( )
( )
La solución general de la ecuación diferencial es:
( )
Para obtener y utilizamos las condiciones iniciales dadas, como siempre.
( )
( )
De donde:
78
Aplicando logaritmo natural a las ecuaciones anteriores:
De aquí que:
Sustituyendo en y hallando :
Obtenemos la ecuación:
( )
.
/
( )
(
*
⁄
Rptas:
La temperatura inicial del cuerpo era aproximadamente .
3.4. DESCOMPOSICION Y CRECIMIENTO POBLACIONAL
3.4.1. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Sea ( ) el numero de individuos en el timpo . La ley de Malthus de
crecimiento de poblaciones dice que la razon de cambio de la población
es proporcional al numero de individuos en ese tiempo, es decir:
( )
79
Este modelo lineal para crecimientode poblaciones, son satissfactorios
siempre que la población no sea demasiado grande o bien que no se
aplique a un futro distante.
Cuando la poblacion es demasiado grande, este modelo matematico no
puede ser exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos
compiten entre si por el limitado espacio vital, por recursos naturales,
etc. Asi pues, hay que agregar un termino de competicion para que el
crecimiento de la poblacion esté representado en forma mas realista.
Una eleccion adecuada del termino competitivo es , llamda ley de
logistica(Verhulst, en 1837):
Ahora bien, en general la constante es muy pequeña comparada con ,
de tal modo que si no es demasiado grande entonces el termino
es insignificante comparado con . Sin embargo, si es grande
entonces el termino debe tomarse en cuenta ya que dismnuye la
tasa de crecimiento.
Problema aplicativo Nº 04
La aparición de salitre en estructuras de concreto armado cerca a las
orillas del mar se ve incrementando muchísimo al pasar del tiempo. Si se
tuvo una cierta cantidad de salitre . Después de 5 días se observó que
aumento en un 100 por ciento y después de 8 días 400 por ciento.
Encontrar la expresión para la cantidad de salitre presente en estructuras
de concreto al tiempo y el porcentaje que había originalmente de salitre.
Solución:
Sea ( ) la cantidad de salitre que hay en días. De ahí que ( ) y
( ) y
es la velocidad a la que se incrementa el salitre.
80
Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente
manera:
( )
( )
Cuya solución integrada es conocida:
( )
Como ( ) se tiene que:
( )
Cuando ( ) resulta:
( )
La ecuación resultante quedaría:
( )
Hallan , si ( )
( )
La ecuación resultante quedaría:
( )
Rpt: El porcentaje que habia inicialmente aproximadamente es de 9.9213
porciento .
Problema aplicativo Nº 05
En un cultivo de bacterias se tenían número de familias. Después de
una hora se observaron en el cultivo 1000 familias de la bacteria y
después de cuatro horas, 3000 familias. Encontrar la expresión para el
81
número de familias de la bacteria presentes en el cultivo al tiempo y el
numero de familias de la bacteria que había originalmente n el cultivo.
Solución:
Sea ( ) la cantidad de familias de la bacteria que hay en horas. De ahí
que ( ) y ( ) y
es la velocidad a la que crece el
cultivo de bacterias.
Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente
manera:
( )
( )
Cuya solución integrada es conocida:
( )
y considerando las ecuaciones iniciales se tiene que:
( )
Rpta.
Es la expresión que nos da el número de familias presentes en un
momento .
Observamos que el número de familias que había originalmente en el
cultivo es
( ) Familias
Problema aplicativo Nº 06
Una población de cierta comunidad aumenta con una razón proporcional a
la cantidad de personas, si la población se duplico en 5 años ¿en cuanto
tiempo se va a triplicar la población?
82
( )
( )
Como:
( )
Cuando
( ) Por lo tanto : ( ) ( )
( )
Entonces:
( )
( )
Aplicando logaritmo natural:
Hallando
( )
Rpta:
La población se triplicara en 7.85 años
83
CAPITULO IV: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE
ORDEN “n”
La forma general de escribir una ecuación diferencial es la siguiente:
an(x).yn + an-1(x).yn-1 + an-2(x)yn-2 + …. + a1(x)y¡ + a0(x)y = R(x) (1)
donde, a0, a1, a2, … , an y R son funciones solo de x, por lo que recibe el nombre
de ecuación diferencial Lineal no Homogénea con coeficientes variables.
Si en la ecuación (1) el segundo miembro es igual a cero, se obtiene la ecuación
an(x).yn + an-1(x).yn-1 + an-2(x)yn-2 + …. + a1(x)y¡ + a0(x)y = 0 (2)
Que recibe el nombre de Ecuación diferencial Lineal Homogénea con coeficientes
variables.
Si en la ecuación (2) los a0, a1, a2, … , an son constantes, la ecuación se llama
Lineal Homogénea con coeficientes constantes.
4.1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES
La forma general de escribir estas ecuaciones es:
an.yn + an-1.y
n-1 + an-2.yn-2 + …. + a1.y
¡ + a0.y = 0
Para hallar la solución general de esta ecuación, se recurre al llamado
polinomio característico de la forma:
P(r) = an.rn + an-1.r
n-1 + an-2.rn-2 + …. + a1.r + a0. = 0 ,
84
Donde, yn = rn.
Al resolver la ecuación an.rn + an-1.r
n-1 + an-2.rn-2 + …. + a1.r + a0. = 0, se
obtiene “n” raíces de la forma r1, r2, r3, …, rn , las cuales pueden ser reales
iguales, reales diferentes y raíces complejas.
Si las raíces son todas reales diferentes, la solución general tiene la forma:
Yg = C1 + C2 + C3 + … + Cn .
Si las raíces son reales iguales todas, la solución general tiene la forma:
Yg = C1 + C2 + C3 + … + Cn .
Si las raíces del polinomio característico son complejas, la solución general
de la ecuación tiene la forma:
EJERCICIOS RESUELTOS
( )
Solución:
Primero hallamos la raíces del polinomio característico
( )
( )
Luego la solución general es:
85
02) Se da la solución de una ecuación diferencial. Determine la solución general
si:
a) ( ) ( )
Solución:
Es solución es solución, También es solución.
Luego es un factor de la solución.
Luego formamos la ecuación característica:
.
Luego dividimos entre el factor hallado para encontrar los otros factores.
Encontrando el factor
Quedando:
( )( )
√
Luego las raíces son:
Luego la solución general es:
⁄
⁄
3) Determine una función ( ) tal que ( )( ) ( )( ) para todo donde
( ) ( ) ( ) ( )
Solución:
Sea la ecuación diferencial ( )( ) ( )( )
86
Luego formamos la ecuación característica:
Resolviendo la ecuación
Multiplicidad 3
( )
Luego la solución general es:
( )
Usando las condiciones iniciales tenemos:
La primera condición
( ) Reemplazando en (1)
( ) ( )
( )
La segunda condición
( )
Derivamos a (1)
( )
Reemplazamos la condición inicial en (2)
( )
( )
La tercera condición
( )
Derivamos a (2)
( )
Reemplazamos la condición inicial en (3)
( )
La cuarta condición
( )
Derivando a (3)
( )
87
Reemplazando la condición
( )
Reemplazando ( ) en ( )
Reemplazando ( ) en ( )
Reemplazando (( ) en ( )
Luego la solución queda:
4) Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
homogénea de coeficiente constantes
a) ( )
Solución:
Formaron la ecuación característica
( )
( ) ( )
Luego la solución general es:
b)
Solución:
Formaron la ecuación característica
√
√
√
88
√ √
Luego la solución general es:
( √ )
( √ )
c) ( )
Solución:
( )
Formaron la ecuación característica
( )( )
Luego la solución general es:
d) ( ) ( )
Solución:
Formaron la ecuación característica
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
√
√
√
√
√
89
Luego la solución general es:
( )
√
( )
√
e) ( ) ( )
Solución:
Formaron la ecuación característica
Factorizando obtenemos las raíces siguientes:
Luego la solución general es:
(
)
EJERCICIOS PROPUESTOS
Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
homogénea de coeficientes constantes
1)
2)
3) ( )
4)
5)
6)
7)
8)
9) ( )
10) ( )
11) ( )
12) ( )
13) ( )
90
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20) ( ) ( ) ( ) ( )
21) ( ) ( ) ( ) ( )
Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales sujeta a las condiciones
iniciales indicadas.
1) ( ) ( )
2) ( ) ( )
3) ( ) ( )
4) ( ) ( ) ( )
5) ( ) ( ) ( ) ( )
6) ( ) ( ) ( )
La reducción de orden se generaliza de las ecuaciones de segundo orden a las
de orden superior. Resulta particular simple en el caso de coeficientes
constantes, ya que entonces basta dividir las ecuaciones características
donde es una solución conocida. Reducir y resolver las siguientes
ecuaciones, usando dado:
1)
2) ⁄
3) ( ) ( )
4)
5)
6)
91
4.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
NO HOMOGÉNEAS
La forma general de escribir esta ecuación es:
an.yn + an-1.y
n-1 + an-2.yn-2 + …. + a1.y
¡ + a0.y = R(x) (1)
La solución general de esta ecuación diferencial, es la suma de la solución
general de la ecuación diferencial Homogénea Yg más la solución particular
Yp de la ecuación diferencial no Homogénea, es decir:
Y = Yg + Yp.
Por lo tanto el problema es al final hallar Yp de la ecuación no homogénea,
para eso consideraremos los casos siguientes:
Primer Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación es un polinomio
de grado “n”, es decir:
R(x) = Pn(x), entonces:
a) Si r = 0 , no es raíz del polinomio característico, entonces la solución
particular tiene la forma
Yp = p*n(x)
b) Si r = 0, es raíz del polinomio característico, entonces Yp tiene la forma
Yp = xs p*n(x), donde s es la multiplicidad de r = 0.
Segundo Caso: Cuando R(x) = pn(x), entonces:
a) Si r = no es raiz del polinomio característico, entonces la solución
particular tiene la forma:
Yp = p*n(x),
92
( )
( )
(
)
( )b) Si r = , es raíz del polinomio característico, entonces
Yp tiene la forma
Yp = xs c donde s es la multiplicidad de r = .
Tercer Caso: Cuando R(x) = pn(x)cos + Qm(x) , entonces.
a) Si r = i , no es raiz del polinomio característico, entonces la
solución particular tiene la forma:
Yp = Pk(x)cos + Qk(x)
Donde k = Max(m, n)
b) Si r = i , es raíz del polinomio característico, entonces la solución
particular tiene la forma:
Yp = xs( Pk(x)cos + Qk(x) )
Donde s es la multiplicidad de la raíz r = i y k = Max(m, n)
Cuarto caso: Cuando R(x) = (pn(x)cos + Qm(x) ), entonces:
a) Si r = i , no es raíz del polinomio característico, entonces la
solución particular tiene la forma:
R(x) = (pk(x)cos + Qk(x) ),
Donde k = Max(m, n)
b) Si r = i es raíz del polinomio particular, entonces la solución
particular tiene la forma:
Yp = xs( (pn(x)cos + Qm(x) ))
Donde s es la multiplicidad de la raíz r = i y k = Max(m, n)
93
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
( )
Solución
Primero hallamos la solución complementaria de la ecuación Homogénea, para
luego hallar la solución particular de la ecuación dada
( )
( ) ( )
( ) {
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
Remplazando:
, ( ) - , ( ) - ( )
, -
, -
94
(
*
(
*
( )
Solución
{
( ) ( )
{
{
( )
Solución:
( )
No se agrega
Luego la solución complementaria es:
( )
Remplazando:
95
( )
( ) (
*
{
( )
Solución:
{
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
,
( ) ( )
( )
( ) ( )
(
)
La solución general es:
(
)
96
4) Encuentre la solución particular de la ecuación dada.
a)
Solución:
Primero formamos a ecuación característica
( )( )
Hallamos la solución particular, luego sus derivadas para remplazar y hallar
su coeficientes
Remplazando en la ecuación
Luego la solución general es luego se tiene:
97
b)
Solución:
Primero formamos a ecuación característica
( )
La solución complementaria es:
⁄
⁄
Ahora formamos la Solución parcial si ( )
( )
Derivando
( )
( )
Remplazando las derivadas en la ecuación diferencial
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Entonces ( )
Luego la solución general es:
⁄
⁄ ( )
c)
Solución:
Primero formamos a ecuación característica
98
√
√
La solución complementaria es:
Ahora formamos la Solución parcial si ( )
Derivando
( ) ( ) (
)
Remplazando las derivadas en la ecuación diferencial
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )⏟
,
,
Luego la solución general es:
99
d)
Solución:
Primero formamos a ecuación característica
( )( )
La solución complementaria es:
Ahora formamos la Solución parcial si ( )
( )
( )
Derivando
( ) ( ) , ( ) -
( ) ( )
( )
, ( ) ( )-
Ordenando las ecuaciones para sumar
( )
( ( ) )
( ( ) )
,( ) ( )-
( ) ,( ) ( )-
100
(
)
Luego la solución general es:
(
)
e) ( ) ( )
Solución:
Primero formamos a ecuación característica
( ) ( )
Solución complementaria
( )
( )( )
Luego eliminamos los operadores en la ecuación diferencial
( )
Solución particular si ( )
( ) ( )
( )
( )
Derivando
( ) ( )
( ) ( ) ( )
101
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
Formamos el sistema de ecuaciones para sumar
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
Comparamos los coeficientes de esta identidad
102
Remplazando en la solución particular
(
*
Luego la solución general es:
(
*
f)
Solución:
Primero formamos a ecuación característica
Solución complementaria
Luego formamos la solución particular si ( )
Remplazando
103
Luego la solución general es:
g)
Solución:
Usamos las identidades
( )
(
*
( )
Quedando la ecuación de la siguiente manera
Primero formamos a ecuación característica
Encontrando la ecuación complementaria
Ordenado para sumar:
⏟
⏟
104
De donde resulta:
Luego la solución general es:
EJERCICIOS PROPUESTOS
Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10) ( )
11) ( )
12)
106
GLOSARIO DE TERMINOS
Ecuación Diferencial: Ecuación que contiene la derivada o diferencial de una
función desconocida llamada solución de la ecuación.
Ecuación Diferencial Ordinaria: Cuando la función desconocida, llamada
solución depende de una sola variable independiente.
Ecuación Diferencial Parcial: Cuando la función desconocida, llamada solución
depende de más de una variable independiente.
Función Homogénea: Una función en dos variables es homogénea, cuando cumple
la igualdad f(x, y) = kn f(x, y), donde indica el grado.
Ecuación Diferencial Exacta: Cuando cumple la igualdad siguiente:
Ecuación Diferencial Lineal de Orden “n”: es una Ecuación Diferencial de la forma:
an(x).yn + an-1(x).yn-1 + an-2(x)yn-2 + …. + a1(x)y¡ + a0(x)y = R(x)
Parámetro: Constantes indeterminadas que toman valores en un subintervalo.
107
BIBLIOGRAFÍA
ESPINOZA, EDUARDO. ANÁLISIS MATEMÁTICO IV PARA ESTUDIANTES
DE CIENCIAS E INGENIERÍA, Lima – Perú: Edit. San Marcos, Sexta Edición
2012
Nota: Se ha considerado en la bibliografía un solo libro aomo guía porque el texto es
el conocimiento de nuestra experiencia en el dictado del Curso de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias en la Facultad de Ciencias y en la Facultad de Ingeniería.
108
APENDICE
EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
( )
Solución
{
( ) ( )
{
*
+
*
+
*
+
∫ ( )
| |
∫ ( )
| |
109
| |
( ) ( )
Solución:
{
( ) ( )
Formamos el sistema de ecuaciones
{
( )
0
1
[
( ) ] ( ) ( )
[
( )] ( ) ( )
( )
∫ ( )
0
1 ( ) ∫ ( )
( ) ( )
( )
∫ ( ) ( )
( )
La solución general es
110
( )
( )
Solución:
Formamos la solución particular
( ) ( )
{ ( )
( )
( )
( )
Usando Cramer
|
|
|
|
|
|
( )
( )
∫
( )
( )
| |
( )
∫ ( )
| |
( ) ( )
| |
04)
Solución:
112
05) ( )
Solución:
La solución particular es:
( ) ( )
{
Aplicando Cramer
|
|
|
| ( ) (
)
|
| ( ) (
)
( ) ∫(
)
( ) ∫(
)
(
) (
)
113
.
/
(
)
(
)
06)
Solución:
( )
La solución complementaria es:
Formamos la solución particular
( ) ( ) ( )
{
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
|
|
( ) |
| ( )