ecuaciones diferenciales

En los problemas1a22, resuelva la ecuacin diferencial dada por separacin de variables:

En los problemas23a28, encuentre la solucin explcita del problema con valores iniciales dados:

Lista de todos los Ejercicios y Problemas del libro Ecuaciones Diferenciales de Zill (Ed. 7):1.1, 1.2, 1.3, 1.R, 2.1, 2.2,2.3,2.4, 2.5, 2.6, 2.R, 3.1, 3.2, 3.3, 3.R, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.R, 5.1, 5.2, 5.3, 5.R, 6.1, 6.2, 6.3, 6.R, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.R, 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.R, 9.1, 9.2, 9.2, 9.4, 9.5, 9.R, 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.R, 11.1, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 11.R, 12.1, 12.2, 12.3, 12.4, 12.3, 12.5, 12.6, 12.7, 12.8, 12.R, 13.1, 13.2, 13.3, 13.R, 14.1, 14.2, 14.3, 14.4, 14.R, 15.1, 15.2, 15.3, 15.R

Sgueme y colabreme (gato) en:

En los problemas1a22, resuelva la ecuacin diferencial dada por separacin de variables:1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Dennis G. Zill 2.3.1: ecuaciones linealesEn los problemas1a24determine la solucin general de la ecuacin diferencial dada. Indique el intervaloIms largo en el que est definida la solucin general. Determine si hay algunos trminos transitorios en la solucin general.

MARTES, 23 DE OCTUBRE DE 2012Dennis G. Zill 2.2_12: Variables separables

Publicado porJuan Beltrnen11:19No hay comentarios:Enlaces a esta entradaEtiquetas:Zill 2.2Dennis G. Zill 2.2_11: Variables separables









CUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Ejemplo 1.- sea la funcin diferencial:

Solucin

Para ver que esta ecuacin diferencial es de diferenciales exactas hacemos:

Y tenemos:

Siendo cierto que la ecuacin es del tipo de diferenciales exactas, podemos calcular con facilidad la funcin integral:

Para conocer el valor de la funcin (x) derivamos U(x, y) respecto de y, e igualamos el resultado a Q:

As pues, la solucin general de la ecuacin diferencial estudiada ser:


Solucin

Para ver si es diferencial exacta hacemos:

Puesto que se verifica la condicin necesaria y suficiente, podemos poner:

E integrando:

Derivando ahora respecto de y e igualando a Q:

Con lo que la solucin general de la ecuacin ser:


Solucin.

Operando como en los casos anteriores se comprueba que esta ecuacin no es una ecuacin diferencial exacta, no obstante, si multiplicamos todos los trminos por 1/xy nos queda:

Con lo que obtenemos una ecuacin diferencial que si cumple las condiciones de ser diferencial exacta y a la que podemos aplicarle el mtodo que estamos desarrollando:

Derivando respecto de y e igualando a Q:

Y de esa forma, la solucin general ser:

Que es vlida para todos los puntos en los que se cumpla que x e y son distintos de 0.

Aparte de la solucin general, podemos ver que existe una solucin singular para el caso y = 0 x = 0 ya que entonces la ecuacin se verifica trivialmente.

El trmino 1/xy recibe el nombre de factor integrante y resulta fcil comprobar que, en general, introduce soluciones singulares en los casos en los que se opera con l.

Ecuaciones Diferenciales ExactasAGOSTO 28, 2014BYMANUEL ALEJANDRO VIVAS RIVEROL2Ecuaciones Diferenciales ExactasEl siguiente mtodo te ayudara a resolver cualquier tipo de ecuacionesdiferenciales exactas de primer orden en 4 pasos sencillos.Estudios cientficos recientes realizados por el Dr. Terrence Sejnowskiinvestigador el Instituto Howard Huges, apuntan a que utilizar el pensamientodifuso a la vez que el enfocado durante en proceso de aprendizaje es unatcnica efectiva para aprender cualquier cosa, ya que se necesita accederrecursos de la mente que se ignoran al momento de estar enfocado; una de lasforma de utilizar el pensamiento enfocado y el difuso como lo dice el Dr.Terrence, es mediante el aprender haciendo y para eso te propongo que empleeslos pasos que te describo sin tratar de entenderlos del todo al principio yconfiando que, cuando entres en el modo de pensamiento difuso (al realizarotra actividad que te despeje de tu concentracin) el entendimientoconceptual de los temas se dar.El mtodo para resolver en 4 pasos ED exactas lo describo acontinuacin:METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTASPrimero definimos si la ecuacion es exacta o no, mediante los siguiente doscriterios: FORMA ESTNDAR DE LA ED EXACTAM(x,y)dx+N(x,y)dy=0 CRITERIO PARA DEFINIR EXACTITUD DE LA EDMy=Nx4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS1.F(x,y)=M(x,y)dx+g(y)2.yM(x,y)dx+g(y)=N(x,y)3.g(y)=N(x,y)dyyM(x,y)dxdy4.Sustituimosg(y)del paso (3) en (1) e igualamos ac(c= constante)M(x,y)dx+g(y)=cSi encontramos que la funcionN(x,y), es ms facilmente integrablepodemos utilizar los mismos cuatro pasos en funcion deN, ver elEjemplo 5al final y revisar los pasosaqui, click aqui.EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTASEn los siguientes problemas determine si la ED es exacta, si lo es resuelvala.Ejemplo 1.Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 3)(5x+4y)dx+(4x8y3)dy=0-Determinamos si es exacta la EDM(x,y)dx=5x+4y; N(x,y)=4x8y3My=4; Nx=4-De donde concluimos que la ecuacin si es exacta ya que:My=NxResolvemos la ecuacin de acuerdo a los pasos listados anteriormentePaso 1.M(x,y)dx+g(y)===(5x+4y)dx+g(y)5xdx+4ydx+g(y)52x2+4xy+g(y)

Paso 2.yM(x,y)dx+g(y)y(52x2+4xy)+g(y)0+4x+g(y)0+g(y)g(y)=====N(x,y)4x8y34x8y38y38y3

Paso 3.g(y)g(y)====N(x,y)dyyM(x,y)dxdy8y3dy84y42y4

Paso 4.M(x,y)dx+g(y)52x2+4xy2y4==cc

La solucin es:52x2+4xy2y4=cEjemplo 2.Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 5)(2xy23)dx+(2x2y+4)dy=0-Determinamos si es exacta la EDM(x,y)=2xy23; N(x,y)=2x2y+4My=4xy; Nx=4xy-De donde concluimos que la ecuacin si es exacta ya que:My=NxResolvemos la ecuacin de acuerdo a los pasos listados anteriormentePaso 1.M(x,y)dx+g(y)===2y2xdx3dx+g(y)22y2x23x+g(y)y2x23x+g(y)

Paso 2.yM(x,y)dx+g(y)y(y2x23x)+g(y)2x2y+g(y)g(y)====N(x,y)2x2y+42x2y+44

Paso 3.g(y)g(y)g(y)===N(x,y)dyyM(x,y)dxdy4dy4y

Paso 4.M(x,y)dx+g(y)y2x23x+4y==cc

La solucin es:y2x23x+4y=cEjemplo 3.Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 6)(2y1x+cos3x)dydx+yx24x3+3ysin3x=0-Determinamos si es exacta la ED, pero en este caso antes, escribimos la FORMAESTANDAR, de una ecuacin exacta.(2y1x+cos3x)dy+yx24x3+3ysin3x=0 Determinamos exactitud de la EDM(x,y)=2y1x+cos3x; N(x,y)=yx24x3+3ysin3xMy=2; Nx=2yx12x+3ycos3x-De donde concluimos que la ecuacin NO es exacta ya que:MyNxEjemplo 4.Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 7)(x2y2)dx+(x22xy)dy=0-Determinamos si es exacta la EDM(x,y)=x2y2; N(x,y)=x22xyMy=2y; Nx=2x2y-De donde concluimos que la ecuacin NO es exacta ya que:MyNxEjemplo 5.Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 8)(1+lnx+yx)dx=(1lnx)dy-Determinamos si es exacta la ED, pero en este caso antes, escribimos la FORMAESTANDAR, de una ecuacin exacta.(1+lnx+yx)dx(1lnx)dy=0(1+lnx+yx)dx+(1+lnx)dy=0-Determinamos si es exacta la EDM(x,y)=1+lnx+yx; N(x,y)=1+lnxMy=1x; Nx=1x-De donde concluimos que la ecuacin si es exacta ya que:My=NxResolvemos la ecuacin de acuerdo a los pasos listados anteriormentePaso 1.N(x,y)dy+h(x)===(1+lnx)dy+h(x)dy+lnxdy+h(x)y+ylnx+h(x)

Paso 2.xN(x,y)dy+h(x)x(y+ylnx)+h(x)y(1x)+h(x)h(x)h(x)=====M(x,y)1+lnx+yx1+lnx+yx1+lnx+yxyx1+lnx

Paso 3.h(x)h(x)===M(x,y)dxxN(x,y)dydx(1+lnxdx)dxdx+lnxdx

Integramos por partes la integrallnxdx:dv=dx; u=lnxv=x; du=1x Por tanto:lnxdx===xlnxxxdxxlnxdxxlnxx

De modo que, regresando a nuestro ejercicio:h(x)==x+xlnxxxlnx

Paso 4.N(x,y)dy+h(x)y+ylnx+xlnx==cc

La solucin es:y+ylnx+xlnx=cy(x)=xlnx+clnx1La representacin grfica de las curvas solucin de ste ltimo ejemplo, se muestra en laFigura 1.

Figura 1.Grfica de Relieve para la solucin del Ejemplo 5.sta grfica se puede ver en tonos de azul ms oscuro las partes bajas del relieve y en tonos ms claros las partes mas elevadas, ver ms abajo una representacin en 3D.Una representacin en 2D, de la familia de curvas solucin para elEjemplo 5, se muestra a continuacin.

Figura 2.Familia de soluciones para la Ecuacin Diferencial Exacta del Ejemplo 5.La siguiente figura en 3D es manipulable. Para ver a detalle la figura, posicinate con el puntero del mouse sobre ella y deja presionado el botn izquierdo (click izquierdo con el mouse) mientras lo mueves. Con esto podrs ver el detalle de la figura en 3D.Nota: es posible que necesites instalar el software para manejo de CDF de Wolfram, da clickaqu para instalarlo.Por ltimo, te dejo el cdigo de MATHEMATICA, para obtener las grficas de arriba:Clear[''Global`*'']P[x_, y_] := (1 + Log[x] + y/x)Q[x_, y_] := (-1 + Log[x])

(*Criterio de EXACTITUD*)xx = Exct == Simplify[D[P[x, y], y] - D[Q[x, y], x]] (* Es exacta? *)

(*Paso 1*)f3 = fx == Integrate[Q[x, y], y] + h[x]

(*Paso 2*)df3 = D[f3[[2]], x] == P[x, y]

(*Paso 3*)s3 = Solve[df3, h'[x]] // Expand

(*Paso 4*)sf3 = hx == Integrate[s3[[1, 1, 2]], x]sg3 = f == Evaluate [f3[[2]] /. h[x] -> sf3[[2]]] // ExpandSolve[sg3[[2]] == c, c] // Expand

(* GRFICA *)eqn = y'[x] == -P[x, y[x]]/ Q[x, y[x]]; sol = DSolve[eqn, y[x], x] // Simplifysols = Table[Evaluate[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -8, 8, 4}];Plot[Tooltip[sols], {x, .1, 5}, PlotRange -> {-100, 100}, PlotStyle -> Thick]ContourPlot[-y + x Log[x] + y Log[x], {x, .1, 5}, {y, -100, 100}]Para que obtengas la confianza necesaria debers practicar los ejercicios con las tcnicas que te presento antes de analizarlos para preparar tu mente, de manera que luego, al estudiar los conceptos a fondo tengas toda la informacin necesaria y vers como todo se aclara, pues tendrs la informacin necesaria para que tu mente entienda con facilidad los conceptos ms abstractos.Daclick aqupara leer sobrela mejor tcnica para aprender ecuaciones diferenciales.Encontraste la informacin que buscabas?No,necesito ms ejemplos. (da click aqu)Te invito a que me contactesaqupara cualquier sugerencia sobre la pgina y si tienes una duda en particular sobre el tema tratado, por favor, deja tu comentario al final de esta pgina. Que ests bien.This entry was posted inEcuacion diferencial ejercicios resueltos,ecuaciones diferenciales exactas,ejemplos de ecuaciones diferenciales exactas,pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactasand taggedecuaciones diferenciales exactas,ejemplos de ecuaciones diferenciales exactas,pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas. Bookmark thepermalink.

cuacion diferencial lineal de primer ordenIntervalo de definicin de la solucin del problema del valor inicial.Problema 25 Captulo 2.3. Dennis G. Zill.Utilizaremos el mtodo de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrs resolver cualquier ED lineal de 1er orden.Mtodo: Factor Integrante (ver enlace)Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 25).Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.xy+y=exPasos:I.El primer paso consiste en escribir la forma estndar de la ED a resolver:Dividimos, entonces,entreel coeficiente dedydx, que es x, los coeficientes de los dems trminos de la ecuacin que dependen de x. Simplificamos.dydx+P(x)y=f(x)dydx+yx=exxII.En el segundo paso encontramos el factor integrante:eP(x)dx,El valor deP(x)eneP(x)dx,P(x)=1x. El manejo de las funciones trascendentes e integrales se muestra al final del ejercicio.e1xdx=elnx=xIII.Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogneo asociado:El sistema homogneo asociado es la ecuacin diferencial:dydx+yx=0. Sustituimos enyc=CeP(x)dx, donde:P(x)=1xencontrado en el primer paso, y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la frmulayc=CeP(x)dx, siga el siguiente enlace:Solucin del sistema homogneo asociado.yc=Ce1xdx=Celnx=Celnx1=Cx1Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:yc=Cx

Mostramos, primero la famila de soluciones del sistema homogneo asociadoyc=Cx . Adems, mostramos una solucin particularyc1=2xdondeC=2. Notar que la funcinyc=Cx , tiene como dominio ms largo el intervalo:Dyc:xR(0,0). Es decir, el dominio de la funcin abarca todos los reales a excepcin del CERO. Sin embargo, decimos que el intervalos ms largo de solucin de la funcin es 0

ecuaciones diferenciales

Documents