Ecuaciones Del Movimiento de Un Fluido

1

Ecuaciones del movimiento de un fluido

Forma fundamental

El tensor de tensiones

Relacion constitutiva para un fluido Newtoniano

La ecuacion de Navier-Stokes

El tensor de tensiones para flujos incompresibles

Condiciones de contorno

2

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cartesianas (flujo incompre-sible)

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cilındricas (flujo incompresi-ble)

Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfericas (flujo incompresible)

Ecuacion de la vorticidad

Vorticidad y circulacion

3

Forma fundamental

El cambio de momento dentro de un volumen V , rodeado por unasuperficie S depende de:

Flujo de momento:

−∫

S

ρviv · dS.

Suma de fuerzas actuando en el interior de V :∫V

ρFidV.

Suma de fuerzas actuando sobre S:∫S

σijdSj.

4

Por lo tanto, las ecuaciones del movimiento son

d

dt

∫V

ρvidV = −∫

S

ρviv · dS +∫

V

ρFidV +∫

S

σijdSj.

Usando el teorema de la divergencia y notando que

ρviv · dS = ρvivjdSj.

obtenemos∫V

{∂

∂t(ρvi) +

∂

∂xj(ρvivj)− ρFi −

∂

∂xjσij

}dV = 0,

donde hemos tenido en cuenta que V es independiente del tiempo. Como

5

V es arbitrario

∂

∂t(ρvi) +

∂

∂xj(ρvivj)− ρFi −

∂

∂xjσij.

Usando la ecuacion de continuidad

∂ρ

∂t+

∂(ρvj)∂xj

= 0

obtenemos

ρ∂vi

∂t+ ρvj

∂vi

∂xj= ρFi +

∂σij

∂xj.

6

El tensor de tensiones

El tensor de tensiones ha de ser simetrico, σij = σji.

Las componentes i = j son las tensiones normales.

Las componentes i 6= j son las tensiones tangenciales (o de cizalla).

En un fluido en reposo el tensor de tensiones es isotropico, σij = −pδij,p es la presion hidrostatica.

En un fluido en movimiento, podemos separar σij en una parte isotropicay otra no isotropica

σij =13σkkδij + (σij −

13σkkδij).

7

definimos la presion mecanica (en general distinta de la presion ter-modinamica) como P = −1

3σii y escribimos

σij = −Pδij + sij,

donde la parte no isotropica sij se debe al movimiento del fluido.

8

Relacion constitutiva para un fluido newtoniano

Fluido isotropico.

El tensor de tensiones depende linealmente del tensor velocidad dedeformacion, eij = 1

2(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi).

σij = −(p−Kekk)δij + 2µ(eij −13ekkδij)

donde p = P + Kekk es la presion termodinamica.

9

La ecuacion de Navier-Stokes

En la ecuacion del movimiento

ρDvi

Dt= ρFi +

∂σij

∂xj.

Substituimos la expresion del tensor de tensiones teniendo en cuenta que

eij =12(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi),

ekk = ∂vk/∂xk = ∇ · v.

La ecuacion completa de Navier-Stokes es

10

ρDvi

Dt= ρFi −

∂p

∂xj+

∂

∂xj

{µ

∂vi

∂xj+ µ

∂vj

∂xi

}+

∂

∂xj

{(K − 2

3µ)

∂vk

∂xk

}

despreciando las pequenas variaciones de µ y K con la posicion (debidassobre todo a cambios de temperatura), podemos escribir

ρDvDt

= ρF−∇p + µ∇2v + (K +13µ)∇∇ · v

Flujo incompresible, ∇ · v = 0 (lıquidos y gases),

ρDvDt

= ρF−∇p + µ∇2v

11

Flujo no viscoso µ = K = 0,

ρDvDt

= ρF−∇p

12

El tensor de tensiones para flujos incompresibles

Como ekk = ∇ · v = 0,

σij = −pδij + µ(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi)

13

Condiciones de contorno

Contorno rıgido: velocidad del contorno y fluido iguales.

Contorno flexible: velocidad y tensiones del contorno y fluido iguales.

Condiciones de contorno asintoticas.

Condiciones de contorno en la presion.

14

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cartesianas(flujo incompresible)

∂vx

∂t+ (v · ∇)vx = −1

ρ

∂p

∂x+ ν∆vx

∂vy

∂t+ (v · ∇)vy = −1

ρ

∂p

∂y+ ν∆vy

∂vz

∂t+ (v · ∇)vz = −1

ρ

∂p

∂z+ ν∆vz

donde

(v · ∇)f = vx∂f

∂x+ vy

∂f

∂y+ vz

∂f

∂z

∆f =∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2

15

La ecuacion de continuidad es

∂vx

∂x+

∂vy

∂y+

∂vz

∂z= 0

El tensor de tensiones tiene la forma

σik = −pδik + η

(∂vi

∂xk+

∂vk

∂xi

)

16

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cilındricas(flujo incompresible)

∂vr

∂t+ (v · ∇)vr −

v2φ

r= −1

ρ

∂p

∂r+ ν

(∆vr −

2r2

∂vφ

∂φ− vr

r2

)∂vφ

∂t+ (v · ∇)vφ +

vrvφ

r= − 1

ρr

∂p

∂φ+ ν

(∆vφ +

2r2

∂vr

∂φ− vφ

r2

)∂vz

∂t+ (v · ∇)vz = −1

ρ

∂p

∂z+ ν∆vz

donde

(v · ∇)f = vr∂f

∂r+

vφ

r

∂f

∂φ+ vz

∂f

∂z

∆f =1r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+

1r2

∂2f

∂φ2+

∂2f

∂z2

17

La ecuacion de continuidad es

1r

∂(rvr)∂r

+1r

∂vφ

∂φ+

∂vz

∂z= 0

El tensor de tensiones tiene la forma

σrr = −p + 2η∂vr

∂r

σφφ = −p + 2η

(1r

∂vφ

∂φ+

vr

r

)σzz = −p + 2η

∂vz

∂z

σrφ = η

(1r

∂vr

∂φ+

∂vφ

∂r− vφ

r

)

18

σφz = η

(∂vφ

∂z+

1r

∂vz

∂φ

)σzr = η

(∂vz

∂r+

∂vr

∂z

)

19

Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfericas(flujo incompresible)

∂vr

∂t+ (v · ∇)vr −

v2θ + v2

φ

r=

−1ρ

∂p

∂r+ ν

(∆vr −

2r2 sin2 θ

∂(vθ sin θ)∂θ

− 2r2 sin θ

∂vφ

∂φ− 2vr

r2

)

∂vθ

∂t+ (v · ∇)vθ +

vrvθ

r−

v2φ cot θ

r=

− 1ρr

∂p

∂θ+ ν

(∆vθ −

2 cos θ

r2 sin2 θ

∂vφ

∂φ+

2r2

∂vr

∂θ− vθ

r2 sin2 θ

)

20

∂vφ

∂t+ (v · ∇)vφ +

vrvφ

r+

vθvφ cot θ

r=

− 1ρr sin θ

∂p

∂φ+ ν

(∆vφ +

2r2 sin θ

∂vr

∂φ+

2 cos θ

r2 sin2 θ

∂vθ

∂φ− vφ

r2 sin2 θ

)

donde

(v · ∇)f = vr∂f

∂r+

vθ

r

∂f

∂θ+

vφ

r sin θ

∂f

∂φ

∆f =1r2

∂

∂r

(r2∂f

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂f

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2f

∂φ2

La ecuacion de continuidad es

1r2

∂(r2vr)∂r

+1

r sin θ

∂(vθ sin θ)∂θ

+1

r sin θ

∂vφ

∂φ= 0

21

El tensor de tensiones tiene la forma

σrr = −p + 2η∂vr

∂r

σφφ = −p + 2η

(1

r sin θ

∂vφ

∂φ+

vr

r+

vθ cot θ

r

)σθθ = −p + 2η

(1r

∂vθ

∂θ+

vr

r

)σrθ = η

(1r

∂vr

∂θ+

∂vθ

∂r− vθ

r

)σθφ = η

(1

r sin θ

∂vθ

∂φ+

1r

∂vφ

∂θ− vφ cot θ

r

)σφr = η

(∂vφ

∂r+

1r sin θ

∂vr

∂φ− vφ

r

)

22

Ecuacion de la vorticidad

Tomando el rotacional de la ecuacion de Navier-stokes obtenemos laecuacion de la vorticidad, ω = ∇× v,

∂ω

∂t+ v · ω − ω · ∇v = ν∇2ω

donde hemos utilizado ∇ · v = 0.

Podemos reescribir la ecuacion como

Dω

Dt= ω · ∇v + ν∇2ω

23

Vorticidad y circulacion

Por el teorema de Stokes, el flujo de la vorticidad a traves de unasuperficie es igual a la circulacion de la velocidad a lo largo del contorno dedicha superficie: ∫

v · dl =∫∇× v · dS =

∫ω · dS