Ecuaciones de Movimiento: Ecuaciones de Movimiento: Flujo viscoso Flujo viscoso Claude Navier (1785-1836) Georges Stokes (1819-1903) Osborne Reynolds (1842-1912) Fluido Viscoso Fluido Viscoso- Fluido Newtoniano Fluido Newtoniano • En los flujos viscosos no En los flujos viscosos no despreciamos el efecto de despreciamos el efecto de la viscosidad sobre el la viscosidad sobre el movimiento del fluido. movimiento del fluido. • En los fluidos newtonianos En los fluidos newtonianos admitimos admitimos • Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (caso que vamos a analizar en estas clases) (caso que vamos a analizar en estas clases) P I p r r r r r r + − = σ E I u div P r r r r r r r µ λ 2 * + = E P r r r r µ 2 = Ecuación de conservación de la masa Ecuación de conservación de la masa 0 = + + ∂ ∂ u div div u t r r ρ ρ ρ P I p r r r r r r + − = σ 0 = + u div Dt D r ρ ρ No hay cambios porque no depende de la relación constitutiva No hay cambios porque no depende de la relación constitutiva Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible 0 ) ( = = + ∂ ∂ = u div div u t Dt D r r ρ ρ ρ Ec Ec . De . De Conservac Conservac . . Cant Cant . . Mov Mov . Lineal . Lineal • Sustituyendo nos queda Sustituyendo nos queda • Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (Ecuación de Navier (Ecuación de Navier-Stokes Stokes) • Que se puede escribir Que se puede escribir también como también como ( ) ( ) () ( ) () u u div grad p grad f Dt u D v r r r r 2 * ∇ + + + − = µ µ λ ρ ρ ( ) () u p grad f Dt u D v r r r 2 1 ∇ + − = υ ρ ( ) ( ) ω υ ρ r r r rot p grad f Dt u D v + − = 1 Ecuación de la Vorticidad Ecuación de la Vorticidad • Partiendo de N Partiendo de N-S bajo la S bajo la forma forma • Considerando un flujo Considerando un flujo incompresible y que las incompresible y que las fuerzas volumétricas fuerzas volumétricas derivan de una función derivan de una función potencial, Si aplicamos el potencial, Si aplicamos el operador rotor y operador rotor y efectuamos sucesivos efectuamos sucesivos desarrollos llegamos a desarrollos llegamos a ( ) ( ) ω υ ρ r r r rot p grad f Dt u D v + − = 1 () ( ) ω υ ω ω r r r r 2 ∇ + = u grad Dt D Resumen Ecuaciones Resumen Ecuaciones Relación de Relación de Gibbs Gibbs Entropía específica Entropía específica Coef Coef. Calóricos ( . Calóricos (e=cvT e=cvT) Energía int. Esp. Energía int. Esp. Cons Cons. Energía (1) . Energía (1) Temperatura (1) Temperatura (1) Ecuación de Estado (1) Ecuación de Estado (1) Densidad (1) Densidad (1) Conserv Conserv. Masa (1) . Masa (1) Presión (1) Presión (1) Cons Cons. . Cant Cant. . Mov Mov (3) (3) Velocidad (3) Velocidad (3) Variables Variables Incognitas Incognitas Sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de 4x4 Desaparecen los términos de orden elevado. Permanece la no linealidad Soluciones simples cuando se aceptan simplificaciones: v.g. si flujo unidimensional Vt= Vt=? Vt=0 Vt=0 Vn=0 Vn=0 Vn=0 Vn=0 Cond Cond Frontera Frontera Fluidos No Fluidos No viscosos viscosos Cond. Cond. Forntera Forntera Fluidos Fluidos Reales Reales
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Ecuaciones de Movimiento: Fluido Viscoso-Fluido Newtoniano ...materias.fi.uba.ar/6718/adimensionaliz-de las ecs-2c2007.pdf · 1 Ecuaciones de Movimiento: Flujo viscoso Claude Navier
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Ecuaciones de Movimiento:Ecuaciones de Movimiento:Flujo viscosoFlujo viscoso
ClaudeNavier
(1785-1836)
GeorgesStokes
(1819-1903)
Osborne Reynolds (1842-1912)
Fluido ViscosoFluido Viscoso--Fluido NewtonianoFluido Newtoniano•• En los flujos viscosos no En los flujos viscosos no
despreciamos el efecto de despreciamos el efecto de la viscosidad sobre el la viscosidad sobre el movimiento del fluido.movimiento del fluido.
•• En los fluidos newtonianos En los fluidos newtonianos admitimosadmitimos
•• Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (caso que vamos a analizar en estas clases)(caso que vamos a analizar en estas clases)
PIprrrrrr
+−=σ
EIudivPrrrrrrr
µλ 2* +=
EPrrrr
µ2=
Ecuación de conservación de la masaEcuación de conservación de la masa
0=++∂∂ udivdivut
rr ρρρ
PIprrrrrr
+−=σ
0=+ udivDtD rρρ
No hay cambios porque no depende de la relación constitutivaNo hay cambios porque no depende de la relación constitutiva
Si el flujo es incompresibleSi el flujo es incompresible
0)( ==+∂∂
= udivdivutDt
D rrρρρ
EcEc. De . De ConservacConservac. . CantCant. . MovMov. Lineal. Lineal
•• Sustituyendo nos quedaSustituyendo nos queda
•• Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (Ecuación de Navier(Ecuación de Navier--StokesStokes))
•• Que se puede escribir Que se puede escribir también comotambién como
( ) ( ) ( )( ) ( )uudivgradpgradfDtuD
vrrrr
2* ∇+++−= µµλρρ
( ) ( )upgradfDtuD
vrrr
21∇+−= υ
ρ
( ) ( )ωυρ
rrr
rotpgradfDtuD
v +−=1
Ecuación de la VorticidadEcuación de la Vorticidad
•• Partiendo de NPartiendo de N--S bajo la S bajo la forma forma
•• Considerando un flujo Considerando un flujo incompresible y que las incompresible y que las fuerzas volumétricas fuerzas volumétricas derivan de una función derivan de una función potencial, Si aplicamos el potencial, Si aplicamos el operador rotor y operador rotor y efectuamos sucesivos efectuamos sucesivos desarrollos llegamos adesarrollos llegamos a
( ) ( )ωυρ
rrr
rotpgradfDtuD
v +−=1
( ) ( )ωυωω rrrr
2∇+= ugradDtD
Resumen EcuacionesResumen Ecuaciones
Relación de Relación de GibbsGibbsEntropía específicaEntropía específicaCoefCoef. Calóricos (. Calóricos (e=cvTe=cvT))Energía int. Esp.Energía int. Esp.ConsCons. Energía (1). Energía (1)Temperatura (1)Temperatura (1)Ecuación de Estado (1)Ecuación de Estado (1)Densidad (1)Densidad (1)ConservConserv. Masa (1). Masa (1)Presión (1)Presión (1)ConsCons. . CantCant. . MovMov (3)(3)Velocidad (3)Velocidad (3)
VariablesVariablesIncognitasIncognitas
Sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de 4x4
Desaparecen los términos de orden elevado. Permanece la no linealidad
Soluciones simples cuando se aceptan simplificaciones: v.g. si flujo unidimensional
Vt=Vt=??Vt=0Vt=0
Vn=0Vn=0Vn=0Vn=0
CondCondFronteraFronteraFluidos No Fluidos No viscososviscosos
•• Analizar la formulación de las ecuaciones de Analizar la formulación de las ecuaciones de conservación considerando un fluido newtoniano e conservación considerando un fluido newtoniano e incompresibleincompresible
–– AdimensionalizaciónAdimensionalización de de laslas ecuacionesecuaciones de de conservaciónconservación–– NúmeroNúmero de Reynolds de Reynolds críticocrítico: regimen laminar: regimen laminar-- régimenrégimen
turbulentoturbulento–– InterpretacionesInterpretaciones físicasfísicas del del númeronúmero de Reynoldsde Reynolds–– FlujosFlujos con el con el mismomismo númeronúmero de Reynoldsde Reynolds–– CasosCasos límitelímite del del númeronúmero de Reynoldsde Reynolds–– Panorama de Panorama de soluciónsolución de de problemasproblemas par par fluidosfluidos newtonianosnewtonianos..
AdimensionalizaciónAdimensionalización de las de las ecuaciones de conservaciónecuaciones de conservación
Interpretaciones Físicas del Número de ReynoldsInterpretaciones Físicas del Número de Reynolds
•• Relaciones entre flujosRelaciones entre flujos
–– Flujo Flujo convectivoconvectivo cantidad cantidad de movimientode movimiento
–– Flujo Flujo difusoriodifusorio cantidad de cantidad de movimientomovimiento
–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds
( ) ( )L
LU
LUUuu
≈∇
=≈∇ ∞∞∞
2
ρρρ rr
( ) ( )2
2
22
L
LUu
≈∇
≈∇ ∞µµ r
υLU
FlujoFlujo
dif
conv ∞==Re
( ) ( )upgradfDtuD
vrrr
2∇+−= µρρ
ResumiendoResumiendo
Flujos dominados por los Flujos dominados por los efectos de Inerciaefectos de InerciaFenómenos de convección Fenómenos de convección prevalecen sobre los deprevalecen sobre los deDifusiónDifusión
Flujos dominados por Flujos dominados por los efectos viscososlos efectos viscososFenómenos de difusión Fenómenos de difusión prevalecen sobre los de prevalecen sobre los de convecciónconvección
L >>L L >>L ViscosasViscosasL L Viscosas Viscosas >>L>>L
FFInerciaInercia >> F >> F Viscosas Viscosas F F Viscosas Viscosas >>F >>F InerciaInercia
Re grandesRe grandesRe pequeñosRe pequeños
Flujos con el mismo número de ReynoldsFlujos con el mismo número de Reynolds
( ) ( )*2******
*
Re1 ωωωω rrr
r
∇+= gradtD
D
Video
Mas que caracterizar los flujos indicando que son con alta o bajMas que caracterizar los flujos indicando que son con alta o baja viscosidad, alta o a viscosidad, alta o baja velocidad, alta o baja dimensión característica resulta másbaja velocidad, alta o baja dimensión característica resulta más apropiado apropiado analizarlos en términos del número de Reynolds analizarlos en términos del número de Reynolds
En coordenadas adimensionales el campo de velocidades o de vortiEn coordenadas adimensionales el campo de velocidades o de vorticidad para una cidad para una dada condición frontera e inicial sólo depende de un único parámdada condición frontera e inicial sólo depende de un único parámetro adimensional: etro adimensional: El número de ReynoldsEl número de Reynolds
Esto permite efectuar estudios sobre maquetas o valernos de resuEsto permite efectuar estudios sobre maquetas o valernos de resultados ltados experimentales obtenidos previamenteexperimentales obtenidos previamente
( ) ( ) ( )*2******
*
Re11 upgrad
tDuD rr
∇+=ρ
Algunos valores de Re en la Algunos valores de Re en la naturalezanaturaleza•• Glaciar ReGlaciar Re≈≈1010--1111
•• Bacteria en Agua ReBacteria en Agua Re≈≈1010--55
•• Espermatozoides en líquido Espermatozoides en líquido seminal Reseminal Re≈≈1010--33
Baja Velocidad
Pequeña dimensión
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•• Pez de Acuario RePez de Acuario Re≈≈101022
•• Persona nadando RePersona nadando Re≈≈101055
•• Serpiente de Agua ReSerpiente de Agua Re≈≈101066
•• Pájaro RePájaro Re≈≈101066
•• Tiburón ReTiburón Re≈≈101088
Flujos para los cuales el número de Flujos para los cuales el número de Reynolds es muy bajo (Flujo Reynolds es muy bajo (Flujo StokesStokes))•• Se ajustan a este tipo Se ajustan a este tipo
de modelos de modelos fenómenos de fenómenos de –– Lubricación a través Lubricación a través
de fluidosde fluidos–– Procesos como Procesos como
producción producción filmsfilms, , cintas magnéticascintas magnéticas
–– Biomecánica Biomecánica
( ) ( ) ( )*2******
*
Re11 upgrad
tDuD rr
∇+=ρ
L
Video Cavidad
Propiedad: Flujos con inercia Propiedad: Flujos con inercia cuasicuasi nula nula son son cinemáticamentecinemáticamente reversiblesreversibles
Video 1
Video 2
Flujos para los cuales el número de Flujos para los cuales el número de Reynolds es muy altoReynolds es muy alto
( ) ( ) ( )*2******
*
Re11 upgrad
tDuD rr
∇+=ρ
Se ajustan a este tipo de modelos Se ajustan a este tipo de modelos los flujos externoslos flujos externos
710Re ≈
610Re ≈
L
U∞
LU∞
Propulsión y número de ReynoldsPropulsión y número de Reynolds
•• Flujos con alto Re Flujos con alto Re (inercia domina) Debe (inercia domina) Debe lograr la impulsión a lograr la impulsión a partir de fuerzas de partir de fuerzas de InerciaInercia
Impulsión por fuerzas de inercia (Acción-Reacción)
A: Cohete
B: Jet detrás de la lancha
C: Impulso de líquido con la cola
•• Flujos con bajo Re (viscoso domina) Debe Flujos con bajo Re (viscoso domina) Debe lograr el impulso a partir de la generación lograr el impulso a partir de la generación de fuerzas viscosasde fuerzas viscosas
Video 1 Propulsores en agua Re~103
Video 2 Propulsor en glicerina Re<<1
Video 3 Propulsor en glicerina Re<<1
Flujos Re ~10-5 Video
ConclusionesConclusiones
•• Un fluido newtoniano escurriendo en régimen incompresible Un fluido newtoniano escurriendo en régimen incompresible desarrolla un campo de velocidades que depende de un parámetro desarrolla un campo de velocidades que depende de un parámetro adimensional : el número de Reynoldsadimensional : el número de Reynolds
•• Este parámetro cuantifica la importancia relativa de los fenómenEste parámetro cuantifica la importancia relativa de los fenómenos os de convección frente a los de difusiónde convección frente a los de difusión
•• Es un parámetro que indica asimismo la proximidad a la pérdida dEs un parámetro que indica asimismo la proximidad a la pérdida de e estabilidad de la solución que se pueda hallar. Permite entoncesestabilidad de la solución que se pueda hallar. Permite entoncesconocer si el flujo se encuentra en régimen laminar o en régimenconocer si el flujo se encuentra en régimen laminar o en régimenturbulentoturbulento
•• Si el flujo es a bajos números de Reynolds el escurrimiento es Si el flujo es a bajos números de Reynolds el escurrimiento es laminar y las soluciones de NS son válidas.laminar y las soluciones de NS son válidas.
•• Si el flujo es turbulento se requiere reformular el problema parSi el flujo es turbulento se requiere reformular el problema para a tener en cuenta este fenómeno tener en cuenta este fenómeno