Ecuaciones Cuadráticas

Ecuaciones CuadráticasPor: Jhony Sandoval JuárezEspecialidad: Matemática4to “B”

COLEGIO PARROQUIAL MIXTO “SAN PEDRO CHANEL”SOCIEDAD DE MARIA (PADRES MARISTAS)

SULLANA

DEFINICION:Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma , donde  a, b, y c son números reales y a es diferente de cero

EJEMPLOS            a = 9, b = 6, c = 10                a = 3, b = -9, c = 0               a = -6, b = 0, c = 10

La ecuación se llama completa cuando tiene los tres términos a, b y c, es decir cuando estos términos son distintos de cero.

La ecuación es incompleta si faltan las constante “b” ó “c”. Pero sí b=0, la ecuación recibe el nombre de ecuación pura.

01069 2 xx

0106 2 x

093 2 xx010

44

6 2 xe

Una ecuación cuadrática gráficamente representa una parábola.

•Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:  

•1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrados 3. Fórmula Cuadrática

FORMAS DE SOLUCIONAR UNA

ECUACION CUADRÁTICA

Factorización Simple:  La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

• Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación •           a = 1    b = 2    c = - 8

•   • (x       )   (x       ) = 0                 

( x +   )   (x  -   ) = 0

4 y –2     4 + -2 = 2 4 · -2 = -8

• (x + 4 ) (x – 2) = 0                                                                                                         

• x + 4 = 0       x – 2 = 0    

• x + 4 = 0      x – 2 = 0 x = 0 – 4      x = 0 + 2 x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.    

Completando Cuadrados: En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.

Para lograrlo hay que dividir a toda la ecuación por el valor de a así:

Luego pasamos al otro miembro el valor de c/a y a la ecuación restante le sumaremos a ambos miembros el valor de:

 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay

que despejar de la siguiente forma:

   Ahora,  a= 1. 40

48

412

44 2

xx

0232 xx

Ahora la nueva ecuación será:

   Donde,  a= 1, b= 3 y c= -2.

Luego:

Le sumamos a ambos miembros el (b/2)2

Finalmente la ecuación quedará:

0232 xx

222 )23

(2)23

(3 xx

22 )23

(2))23

(( x

232 xx

METODO DE LA FORMA GENERAL O CUADRÁTICA

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación

cuadrática a la siguiente fórmula:   Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8      x = -2 ± 6           2 X =  -2 + 6     x = -2 - 6            2                  2      x = 4          x = -8         2                  2 x = 2      x = - 4

aacbb

x2

42

EL DISCRIMINANTEComo se vio anteriormente para resolver una ecuación cuadrática

disponemos de la siguiente fórmula general

a

acbbx

2

42

Si llamamos D al discriminante de esta ecuación.

acbD 42

Se concluye lo siguiente:

D>0 La ecuación tiene 2 soluciones reales diferentesD=0 La ecuación tiene 2 soluciones reales igualesD<0 La ecuación tiene 2 soluciones complejas

•En una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0

•donde a = 0 , se tiene como raíces :

aacbb

x

aacbb

x

24

24

2

2

2

1

Ecuaciones cuadráticas: PROPIEDADES DE LAS

RAÍCES

El producto de sus raíces ( x1 . X2 ) es igual a :

-b

a

aacbb

x

aacbb

x

24

24

2

2

2

1

Sumando miembro a miembro,

se obtiene :

a

b

a

bxx

2

221 a

bxx 21

c

a

La suma de sus raíces ( x1 + x2 ) es igual a :

Se desarrolla como un binomio suma por su diferencia,

por tanto :

a

cxx 21

a

c

a

ac

a

acbb

a

acbb

a

acbb

aa

acbbacbbxx

22

22

2

22

2

222

22

21

4

4

4

4

4

)4(

4

4

22

44

1

2

Determinación de la ecuación

Si en la ecuación ax2 + bx + c = 0 dividimos entre “a” la podemos transformar en :

x2 –(-b/a)x + c/a = 0 y por tanto reemplazar “–b/a” por la suma y

“c/a” por el producto. x2 – (x1+x2) x + (x1. x2) = 0

EJERCICIOS :

1.- Determina ( halla) la ecuación cuadrática cuyas raíces son 5 y -3

Recordar que la ecuación ax2 + bx + c = 0 se puede transformar en :

x2 –(-b/a)x + c/a = 0 x2 – (x1+x2) x + (x1.x2) = 0

Si consideramos a = 1

será b = ( x1+ x2 ) = [ 5 +(-3)] = 2

será c = (x1 . X2 ) = 5 ( -3 ) = - 15

Por tanto, la ecuación será : x2 – 2x – 15 = 0

2.- Determina la ecuación cuadrática cuyas raíces son 3/4 y 1/4

Será b = ( x1 +x2) = ( ¾ + ¼ ) = 4/4 = 1

Será c = (x1 . x2 ) = ( ¾ . ¼) = 3/16

Por tanto la ecuación será : x2 – (1)x + 3/16 = 0

(se reduce a denominador común : 16x2 – 16x + 3 = 0

Es conveniente recordar que en un trinomio como: x2 + 5x + 6 = 0, por la descomposición por método de aspa se cumple que b sale con la suma de factores y c con el producto de los mismos

ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICASECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS

• ECUACIONES RACIONALES FRACCIONARIAS

• ECUACIONES IRRACIONALES (con RADICALES)

• ECUACIONES POLINÓMICAS DE LA FORMA ax4 + bx2 + c = 0 (ecuaciones bicuadradas)

Ecuaciones racionales fraccionarias

Son ecuaciones que al ser transformadas en otras equivalentes resultan ser

cuadráticas.Ejemplo: 65

20

3

2

2 2

xx

x

xx

x

)3)(2(

20

3

2

2

xx

x

xx

x

)3)(2(

20

)3)(2(

)2(2)3(

xx

x

xx

xxx 20)2(2)3( xxxx

204232 xxxx

Determinamos las restricciones

3;2x Reducimos a denominador común y eliminamos denominadores

Multiplicamos, reducimos y factorizamos

01662 xx

(x – 8) (x + 2) = 0 por tanto x’ = 8 ; x” = -2

C.S. = { -2 ; 8 }

E C U A C I O N E S I R R A C I O N A L E S

Son ecuaciones donde la variable está afectada por un radical.

Método para resolverlas* Se pasa a un miembro el término en que la incógnita esté bajo

radical y al otro los demás términos.* Se elevan ambos miembros al cuadrado con el fin de hacer

desaparecer los radicales y luego se procede como en los demás casos.

* Se debe comprobar si las raíces halladas satisfacen a la ecuación inicial.

xxxxx

xxxx

422530)2()15(

215152222

EJEMPLO:

Se ordena, se factoriza y se hallan las raíces

0)9)(25(

0225342

xx

xx Por tanto: x’ = 25 ; x” = 9

La raíz x” = 9 no satisface la ecuación inicial; se rechaza. C.S. = { 25 }

Otro ejemplo:Ecuación con 2 radicales.

272 xx

Se pasan ambos radicales a un miembro de la ecuación y el resto al otro, para proceder a elevar al cuadrado, y desarrollar.

22272 xx

272 xx

4))(72(27222 xxxx 472272 2 xxxx

xxx 72233 2 222 72233 xxx

xxxx 2889189 22 09102 xx 0)1)(9( xx

Habiendo quedado radical en el doble producto se repite el mismo proceso: se ordena,

se eleva al cuadrado,

se resuelve.

Por tanto: x’ = 9 ; x” = 1

Al comprobar las raíces en la ecuación original,las 2 sirven..

C.S.={1;9}

ECUACIONES BICUADRADAS

Son ecuaciones de cuarto grado : ax4 + bx2 + c = 0 ;

No contienen más que las potencias pares de la incógnita.Para resolverlas se hace un cambio de variable.El número de soluciones lo determina el grado de la ecuación (4).EJEMPLO :

osfactorizamyy

tendremosyxhacemosSixx

03613

03613

2

224

(y - 4)(y - 9) = 0 y resolvemos; por tanto:

y = 4 y = 9 Como habíamos hecho x2 = y lo reemplazamos

32

94

94 22

xx

xx

xx

Por tanto : C.S. = {-3; -2; 2; 3 }

y resolvemos