-
1
TEMA2 LA ECUACIN DE ONDA DE SCHRDINGER 1. Introduccin El
movimiento de los cuerpos que observamos a nuestro alrededor puede
describirse en funcin de reglas generales basadas en evidencias
experimentales. Estas reglas o principios son: 1) la conservacin
del momento lineal, 2) la conservacin del momento angular y 3) la
conservacin de la energa. Basndose en estas leyes de conservacin
fue desarrollado un formalismo, llamado mecnica clsica, que
describe en detalle el movimiento de las partculas bajo la hiptesis
de que stas estn localizadas en el espacio y podemos observarlas
sin perturbar apreciablemente sus movimientos. Esta mecnica clsica
resulta inadecuada cuando se intenta estudiar el movimiento de los
constituyentes bsicos de la materia. En el tema anterior hemos
visto que, como resultado de evidencias experimentales, necesitamos
introducir conceptos nuevos (y revolucionarios en algunos casos)
para poder describir el comportamiento microscpico de la materia.
Aunque las leyes de conservacin del momento lineal, del momento
angular y de la energa permanecen vlidas, el principio de
indeterminacin nos obliga a renunciar a una descripcin detallada
del movimiento de las partculas atmicas. El concepto de cuantizacin
(de la energa y de otras magnitudes fsicas) es otra idea nueva que
no aparece en la mecnica clsica. La interaccin de la radiacin y la
materia por medio de la absorcin o emisin de fotones es otro
concepto nuevo que debe ser incorporado. Adems, tal y como hemos
visto en el tema anterior, la energa y el momento lineal de una
partcula libre pueden ser expresados en trminos de la frecuencia
angular y el vector de ondas de la onda plana asociada, de acuerdo
con las relaciones de de Broglie1,
h=E (2.1a) kpr
hr = . (2.1b) Nosotros utilizaremos las anteriores relaciones de
de Broglie y las propiedades de las ondas clsicas para establecer
una ecuacin de onda apropiada para las ondas de materia. Esta
ecuacin de onda es conocida como ecuacin de onda de Schrdinger.
Cuando resolvamos la ecuacin de onda de Schrdinger en el caso de
partculas que no sean libres, es decir, partculas sometidas a un
potencial, encontraremos que nicamente existen soluciones para
valores discretos de la energa total. 3. La ecuacin de Schrdinger
dependiente del tiempo La existencia de ondas de materia, postulada
por de Broglie, sugiere la existencia de la ecuacin de ondas que
las describa. Tal ecuacin de onda fue propuesta, por primera vez,
por el fsico austriaco Edwin Schrdinger en 1926. Uno de los rasgos
ms llamativos de esta ecuacin es que conduce a los nmeros cunticos
de manera natural; es decir, sin necesidad de asumirlos a priori,
tal y como necesitaron hacerlo Planck y Bohr. Restringiendo, de
momento, nuestro anlisis al caso de una dimensin, comencemos
recordando la ecuacin de una onda plana que se mueve a lo largo del
eje x. Su
1 En el caso de una dimensin, el vector de onda y el momento
lineal pueden ser tratados como escalares y, por tanto, la segunda
de las relaciones de de Broglie se escribe como kp h= .
-
2
desplazamiento en el punto x y en el instante t viene dado por
la parte real de la cantidad compleja A(x,t) )](exp[),( 0 tkxiAtxA
= (2.2) La expresin anterior es solucin de una ecuacin de onda
aplicable a muchas ondas clsicas (es la llamada ecuacin de
DAlembert). Dicha ecuacin de onda, para una dimensin, tiene la
forma:
22
22
2 1tA
cxA
=
(2.3) donde c es una constante real igual a la velocidad de la
onda. A partir de la ecuacin (2.2) para la magnitud A, tenemos:
),(),( txikAx
txA = ),(),(),( 2222
2
txAktxAkix
txA == (2.4a)
),(),(),( 22222
txAtxAit
txA == ),(),(1 2
2
2
2
2 txActtxA
c=
(2.4b) Llevando (2.4a) y (2.4b) a la ecuacin (2.3) se tiene
),(),( 22
2 txAc
txAk = 22
2
ck = ck= (2.5)
La ecuacin (2.5) indica que la frecuencia angular debe ser
directamente proporcional (c es una constante) al vector de ondas
k. Ahora bien, si llevamos (2.5) a (2.1a) tendremos ckE h= , que de
acuerdo con (2.1b) conduce a cpE = ; es decir, a que la energa es
directamente proporcional al momento lineal p. Puesto que para
partculas libres no relativistas es bien conocido que la energa es
proporcional al cuadrado del momento lineal,
)2/(2 mpE = , (2.6) concluimos que la ecuacin clsica de las
ondas, ecuacin (2.3), no puede gobernar el comportamiento de las
ondas de materia. En el caso de las ondas de materia debemos buscar
una ecuacin cuya forma sea diferente a la ecuacin clsica (2.3),
pero, puesto que sabemos que las ondas planas estn asociadas a
partculas libres, la ecuacin (2.2) debe ser solucin a esta nueva
ecuacin de onda. Si las ecuaciones (2.1a) y (2.1b) deben ser
satisfechas simultneamente con la ecuacin (2.6), es necesario que
la frecuencia angular sea proporcional al cuadrado del vector de
onda (y no a k, tal y como indica la ecuacin (2.5)); es decir, 2
kcte= . Esto sugiere que una ecuacin de onda adecuada debe contener
una segunda derivada respecto a x (para que aparezca k2), igual que
en la ecuacin (2.3), pero slo una derivada primera respecto al
tiempo (para que nicamente aparezca ). Por tanto, podemos
considerar una ecuacin del tipo
tx =
22
(2.7)
-
3
donde es una constante y ),( tx es una magnitud conocida como
funcin de onda cuyo significado ser discutido ms adelante.
Para obtener el valor de la constante consideremos ),( tx como
una onda plana del tipo indicado en la ecuacin (2.2), )](exp[),( 0
tkxitx = , y sustituyamos dicha expresin en la ecuacin (2.7). As,
obtenemos
= )(22 iki = 1 2i ik =2 (2.8)
Por otra parte, de las ecuaciones (2.1a,b) obtenemos 22
2
hpk = y h
E= , que llevadas a la ecuacin (2.8) conduce a
hhEip =2
2
hipE
2
= (2.9)
Si comparamos las ecuaciones (2.6) y (2.9) obtenemos him1
21 = hi
m2= . Llevando este valor de a la ecuacin (2.7) obtenemos
finalmente,
t
txix
txm
= ),(),(
2 222
hh (2.10) Podemos verificar que la ecuacin de onda (2.10) cumple
el requerimiento de que la partcula, cuyo comportamiento reproduce,
sea una partcula libre. Para ello, sustituimos las relaciones de de
Broglie en la onda plana )](exp[),( 0 tkxitx = . Obtenemos:
)](exp[),( 0 tExpitx hh = (2.11)
A partir de (2.11), y de acuerdo con la ecuacin (2.10),
calculamos
=
==
==
Em
p
EiEit
txim
pipmx
txm
2
),(
2
)(2
),(2
2(2.10) ec.
2
2
22
2
22
hhhh
hh (2.12)
Evidentemente la ecuacin (2.12) implica que )2/(2 mpE = ; es
decir, la energa E de la partcula es toda ella energa cintica,
p2/(2m), como debe ser en el caso de una partcula libre. Si
analizamos lo que hemos hecho hasta este momento, veremos que hemos
encontrado la ecuacin de onda, ecuacin (2.10), que reproduce los
resultados correctos de una partcula libre. Obviamente, nosotros
estamos interesados en encontrar una expresin ms general que
incluya el caso de una partcula movindose bajo la influencia de un
potencial V(x,t). En este caso la suma de la energa cintica, )2/(2
mpE = , ms la potencial, V(x,t), nos dar la energa total E de la
partcula. Esto nos sugiere generalizar la expresin (2.12) en la
forma
=+ EVmp ))2/(( 2 , (2.13)
-
4
lo cual, a su vez, sugiere que la ecuacin (2.10), vlida slo para
una partcula libre, puede ser generalizada en la forma
t
txitxtxVx
txm
=+ ),(),(),(),(
2 222
hh (2.14) La ecuacin (2.14) es conocida como ecuacin de
Schrdinger dependiente del tiempo (monodimensional, en este caso).
Es importante notar que los argumentos utilizados para obtener la
ecuacin (2.14) no constituyen, de ninguna forma, una rigurosa
deduccin. Si recordamos lo que hemos hecho, podemos apreciar que
hemos empezado con magnitudes limitadas al conocimiento
experimental concerniente con las propiedades de la partcula libre.
De esta forma hemos podido obtener la ecuacin de onda (2.10). Acto
seguido, a partir de la similitud entre las ecuaciones (2.13) y
(2.12), hemos propuesto la ecuacin (2.14) como forma adecuada para
la ecuacin de onda en el caso general de la partcula sometida a un
potencial V(x,t). Este proceso mental que nos ha permitido pasar de
un caso particular, ecuacin (2.10), al caso general, ecuacin
(2.14), es lo que conocemos como proceso de induccin (proceso
inverso al de deduccin, que permite pasar del general al
particular). El proceso de induccin es muy importante en la
ciencia, y constituye una parte esencial de los procesos de
desarrollo de nuevas teoras, pero no puede, por s solo, establecer
como ciertas las leyes generales obtenidas de esta forma. Las
teoras obtenidas por induccin conducen a resultados que deben ser
contrastados con la experimentacin. nicamente si no se observa
ningn desacuerdo, estas leyes generales son aceptadas
universalmente. La ecuacin (2.14) es fcilmente generalizable a tres
dimensiones sin ms que
reemplazar el operador 22
x por el operador laplaciano 2
2
2
2
2
22
zyx +
+= .
Evidentemente, en el caso tridimensional tendremos una funcin de
onda (x,y,z,t) y un potencial V(x,y,z,t). La ecuacin de onda de
Schrdinger, dependiente del tiempo, para el caso general
tridimensional ser, por tanto,
t
iVm
=+ hh 22
2 (2.15)
4. Funcin de onda y densidad de probabilidad En este apartado
vamos a discutir el significado fsico de la funcin de onda, ),( tx
, que ha sido introducida mediante la ecuacin (2.7). Pero antes de
ello, debemos darnos cuenta de que, a diferencia de las ondas
clsicas, la funcin de onda cuntica es compleja. Es cierto que para
una onda clsica hemos tomado la ecuacin (2.2) (complejo en forma
exponencial) como solucin de la ecuacin clsica (2.3) (ecuacin de
DAlembert); pero esto se ha hecho a sabiendas de que nicamente la
parte real del complejo tiene significado fsico. Es ms, si
descomponemos la forma compleja (2.2) como )()cos(),( 00
tkxseniAtkxAtxA +=
-
5
la parte real, )cos(0 tkxA , es solucin de la ecuacin clsica de
DAlembert. Tomar el complejo entero como solucin es una cuestin
puramente de comodidad a la hora de realizar las derivadas
correspondientes. En cambio, ni la parte real, )cos(0 tkxA , ni la
imaginaria, )(0 tkxsenA , es por s sola solucin de la ecuacin de
onda (2.7) (comprubalo como ejercicio). La solucin a la ecuacin
(2.7) es la funcin compleja entera, ecuacin (2.2). Cuando tratamos
con sistemas compuestos de un gran nmero de partculas, la mecnica
clsica necesita recurrir a mtodos estadsticos, tales como la teora
de la probabilidad, al objeto de poder obtener informacin relativa
a dichos sistemas. Esta necesidad proviene de la prctica
imposibilidad de conocer las coordenadas y el momento lineal de
cada partcula. Los sistemas cunticos, constituidos por una o ms
partculas, requieren tambin una descripcin probabilstica, pero por
razones fundamentalmente diferentes: el principio de incertidumbre
excluye cualquier posibilidad de conocer con precisin las
coordenadas y el momento lineal en cualquier instante. La
estadstica clsica hace uso de la funcin distribucin de
probabilidades P(x), la cual se define siempre positiva y de tal
modo que P(x)dx es la probabilidad de que la variable x, que puede
tomar cualquier valor real, se encuentre en el intervalo
comprendido entre x y x+dx. El valor medio (o valor esperado) de x
viene dado por
=dxxP
dxxxPx
)(
)( (2.16)
donde, normalmente, P(x) se encuentra normalizada2 en la
forma
1)( =
dxxP (2.17)
El valor medio, o valor esperado, de x es la media de los
valores obtenidos despus de un largo nmero de repetidas medidas de
x. La normalizacin de P(x) a la unidad significa simplemente que
estamos usando de 0 a 1 como rango de probabilidades. Una
probabilidad de cero, para un cierto valor de x, indica que dicho
valor no tiene ninguna posibilidad de ser cierto; por el contrario,
una probabilidad de 1 indicar absoluta certeza de que la medida nos
de ese valor de x. Si asumimos, de momento, un sistema cuntico
simple mono-dimensional descrito por la funcin de onda (x,t), la
descripcin cuntica reemplaza P(x) por ),(),(* txtx y no por (x,t),
como podramos pensar. Esto es as porque P(x) se define como real y
positiva y, en cambio, la funcin cuntica (x,t) es compleja. Por
),(* tx representamos el complejo conjugado de (x,t), con lo
cual,
2* ),(),(),( txtxtx = , 2 En el caso de la condicin de
normalizacin expresada por la ecuacin (2.17) normalizamos a 1, pero
podramos haber normalizado a 100 y, entonces, las distintas
probabilidades vendran dadas en porcentaje.
-
6
es decir, consideramos una probabilidad cuntica real y positiva.
En el caso de tres dimensiones, y en coordenadas cartesianas,
2),,,( tzyx ser la funcin distribucin de probabilidades (o densidad
de probabilidad) y, por tanto, la probabilidad de que la nica
partcula de que consta el sistema cuntico tenga la coordenada x
entre x y x+dx, la coordenada y entre y e y+dy y la coordenada z
entre z y z+dz, vendr dada, en el instante t, por3 dzdydxtzyx ),,,(
2 . El valor medio (o valor esperado), a un tiempo dado t, de
alguna propiedad f de un sistema mecanocuntico, se postula como
=
dzdydx
dzdydxff
*
*
(2.18)
donde f es el operador representacin de la propiedad f. Debe
observarse que, en el numerador de la ecuacin (2.18), el operador f
se encuentra intercalado entre * y ; no existe nada anlogo a esto
en la estadstica clsica.
En el caso en que la funcin est normalizada a uno, 1 * =
dzdydx , y la
propiedad f dependa nicamente de la posicin, f=f(x,y,z), el
operador f no incluye ninguna derivada y por consiguiente se cumple
f = f. En estas condiciones la ecuacin (2.18) se reduce a
==
== dzdydxfdzdydxf
dzdydx
dzdydxfff ||
2*
*
*
,
cuyo parecido con el valor medio obtenido mediante la estadstica
clsica es evidente. Ahora debemos considerar un postulado
importante: Para cualquier sistema aislado existe una funcin
matemtica de las coordenadas y del tiempo, (x,y,z,t), tal que dicha
funcin contiene toda informacin relevante acerca del estado del
sistema. A (x,y,z,t) la denominamos funcin de onda o funcin de
estado del sistema. La funcin de onda (o funcin de estado) de un
sistema debe ser obtenida como solucin de la ecuacin de onda
(2.15). 3 Si el sistema cuntico estuviera constituido por dos
partculas, la densidad de probabilidad sera
|Y(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t|2 y la probabilidad de que la partcula i (i
= 1,2) tenga sus coordenadas (xi, yi, zi) comprendidas entre [xi,
xi+dxi], [yi, yi+dyi] y [zi, zi+dzi], respectivamente, vendra dada
por |Y(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t|2dx1dy1dz1dx2dy2dz2.
-
7
5. La ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo. Estados
estacionarios En el apartado 3 hemos considerado el caso ms general
de ecuacin de onda; es decir, aquel que involucra estados del
sistema dependientes del tiempo (adems de depender de la posicin).
En este apartado vamos a considerar un caso particular de especial
inters: el movimiento estacionario. Estamos interesados en abordar
problemas como el de la descripcin de las rbitas estacionarias del
tomo de hidrgeno; es decir, estamos interesados en situaciones
donde la hiptesis de de Broglie proporciona una imagen e
interpretacin ms acertada. Antes de abordar el estudio de la
ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo; es decir, de la
ecuacin cuya solucin conduce a los llamados estados estacionarios,
vamos a realizar, a modo de apndice, un estudio sencillo de las
ondas estacionarias clsicas. La ecuacin de una onda en la forma
A(x,t) = A0cos(kx-t) no es vlida cuando el movimiento ondulatorio
se encuentra restringido entre dos puntos fijos x = 0 y x = L. En
este caso, se producen ondas de ida y vuelta cuya superposicin da
lugar a las llamadas ondas estacionarias. Supongamos como ejemplo
las vibraciones que se producen en una cuerda de guitarra cuando
sometemos una porcin de la misma a un movimiento armnico simple en
una direccin perpendicular a la cuerda. Cuando la onda viaja sobre
la cuerda y llega a un extremo fijo, sucede que el soporte produce
fuerzas de reaccin sobre la cuerda como respuesta a la onda
incidente. Estas fuerzas varan, tambin, peridicamente y generan una
segunda onda, onda reflejada, idntica a la onda incidente pero que
se propaga en sentido opuesto. Si el movimiento es estacionario,
como en el caso de una cuerda que est emitiendo continuamente una
determinada nota musical, la onda incidente y la reflejada dan una
interferencia que es la superposicin de los dos movimientos
ondulatorios enfrentados. De esta manera, a determinados valores de
x e independientemente del valor de t, se forman una serie de nodos
(puntos de elongacin cero) y vientres (puntos de elongacin mxima,
es decir de elongacin igual a la amplitud del movimiento
resultante). Matemticamente podemos considerar el movimiento
ondulatorio estacionario como la superposicin de dos ondas4 A+ y A,
idnticas en todo salvo en que se desplazan con sentidos opuestos:
)cos(0 tkxAA =+ (2.19)
)cos('0 tkxAA += (2.20) La elongacin o desplazamiento total ser
la suma de A+ y A:
)]cos()cos( '00 tkxAtkxAAAA ++=+= + (2.21) En el punto x = 0 la
ecuacin (2.21) conduce a
0)cos()()cos()cos()0( '00'00 =+=+== tAAtAtAxA
De la anterior expresin tenemos que 0'0 AA = , y por tanto, la
ecuacin (2.21) queda
)]cos()[cos(0 tkxtkxAAAA +=+= + (2.22) Por otra parte, teniendo
en cuenta las relaciones trigonomtricas
cos(a+b) =cosa cosb sena senb y cos(ab) =cosa cosb + sena senb 4
El movimiento ondulatorio A+ se desplaza en la direccin del eje x
con sentido hacia la derecha, mientras que A se desplaza en el eje
x con sentido hacia la izquierda. La justificacin de ello es bien
sencilla si nos fijamos en la evolucin de un cierto valor constante
de la fase; es decir, fase = kx-t = cte. Diferenciando se tiene
kdxdt = 0 dx/dt = /k >0; es decir, si t aumenta x aumenta la
onda se desplaza hacia la derecha. De forma anloga podemos
demostrar que A se desplaza hacia la izquierda.
-
8
obtenemos
cos(ab) cos(a+b) = 2 sena senb (2.23) Particularizando (2.23) al
caso que nos ocupa, podemos escribir
)(en )2/cos(2)()(2)]cos()[cos( 000 kxstAkxsentsenAtkxtkxAA +==+=
donde vemos que el movimiento ondulatorio resultante tiene una
amplitud variable en el tiempo,
)2/cos(2)( 00 += tAtA . Grficamente,
Como puede observarse en la figura anterior, hay unos valores de
x que corresponden a nodos (elongacin cero) independientemente del
tiempo. Por el contrario hay unos valores de x que corresponden
siempre a vientres (o antinodos). La localizacin de los nodos es
inmediata si hacemos sen(kx) = 0; con lo cual tenemos kx = n
(siendo n = 0, 1, 2, ). Puesto que k =2/, la posicin de los nodos
viene dada por
2nx = (n = 0, 1, 2, ).
La localizacin de los vientres se obtiene haciendo sen(kx) = 1;
con lo cual 2
)12( += nkx . Llevando a k el valor 2/, tendremos para la
posicin de los vientres:
4)12( += nx (n = 0, 1, 2, 3, ).
La segunda condicin de contorno, A(x=L) = 0, exige que 0)(
=kLsen nkL = nL =2
nL2= . Esta ltima condicin delimita las longitudes de onda que
pueden dar estados estacionarios.
En lo que a este apartado se refiere, es interesante notar que
una onda estacionaria clsica viene factorizada como producto de una
funcin exclusiva del tiempo por otra exclusiva de la posicin:
)()(),( xgtftxA = . Esta misma hiptesis haremos para, a partir de
la ecuacin de onda dependiente del tiempo, obtener la ecuacin de
Schrdinger independiente del tiempo. La ecuacin de Schrdinger a
menudo suele escribirse en la forma
N
V
x = L x = 0
A t = t1 t = t2 t = t3
t = t4 t = t5
-
9
tiH
= h (2.24)
donde H representa el llamado operador hamiltoniano
Vm
H 2
22
+= h (2.25) El nombre de hamiltoniano deriva de la ecuacin de
Hamilton de mecnica clsica, la cual emplea una funcin anloga para
generalizar las leyes de Newton del movimiento. En el caso de
sistemas conservativos5, el hamiltoniano clsico H representa la
energa total del sistema. Por analoga con lo que sucede en el caso
de ondas estacionarias clsicas, vamos a ensayar una solucin
particular de la ecuacin de Schrdinger, ecuacin (2.15), en la forma
)( ),,(),,,( tzyxtzyx = o, simplemente, = (2.26) Sustituyendo la
ecuacin (2.26) en la ecuacin (2.24) tenemos
t
iH = )()( h (2.27)
Puesto que el operador H solo opera sobre (ya que dicha funcin
no contiene al tiempo), y puesto que el operador t / opera
nicamente sobre , podemos reescribir la ecuacin (2.27) en la
forma
=
tiH h (2.28)
Dividiendo ambos miembros de la ecuacin (2.28) por el producto
obtenemos
t
iH=
h (2.29)
En la ecuacin (2.29) observamos que el trmino de la izquierda,
/H , es, en principio, una funcin de las coordenadas (x,y,z si
utilizamos coordenadas cartesianas);
mientras que el trmino de la derecha, t
i
h , es, tambin en principio, una funcin del
tiempo. Para que ambos trminos sean iguales, la nica posibilidad
es que ambos sean iguales a una misma constante W. Es decir,
WH = WH = (2.30)
5 Los sistemas conservativos son aquellos en los que el
potencial es funcin nicamente de la posicin.
-
10
Wt
i =
h W
dtdi =h (2.31)
En la ecuacin diferencial (2.31) se ha sustituido la derivada
parcial por una derivada total ya que la funcin nicamente depende
del tiempo. Se trata de una ecuacin diferencial de variables
separables cuya integracin es inmediata. En efecto, de (2.31)
reordenando trminos tenemos:
dtiWdtiWd
hh==
)/exp()( hiWtt = (2.32)
Puesto que 1)/exp( )/exp(|| *2 === hh iWtiWt , la funcin
distribucin de probabilidades (o densidad de probabilidad) ser
22222 || |||| || || === (2.33) la cual resulta independiente del
tiempo. Esto significa que la solucin particular plasmada en la
ecuacin (2.26) representa una solucin fsica para la que la densidad
de probabilidad no vara con el tiempo. Esto nos permite concluir
que la ecuacin (2.30), ecuacin de Schrdinger independiente del
tiempo, representa estados estacionarios del sistema. Las
ecuaciones (2.30) y (2.31) tienen la forma general
)( )( qfaqfA = (2.34)
donde A es un operador, a es una constante y f(q) es una funcin
de la variable (o variables) q. A este tipo de ecuacin las
denominamos ecuaciones de valor propio (eigenvalue equations); la
constante a se denomina valor propio del operador A , y f(q) recibe
el nombre de funcin propia del operador A . De acuerdo con lo
anterior, las ecuaciones (2.30) y (2.31) son ecuaciones de valor
propio en las que los operadores son,
respectivamente, H y dtdih . Adems, la constante W (ver ecuacin
(2.30)) es un valor
propio del operador hamiltoniano. Puesto que en mecnica clsica
el hamiltoniano H representa la energa total del sistema
conservativo, nosotros identificaremos W con la energa total del
sistema cuntico en uno de sus estados estacionarios. Por tanto,
podemos reescribir la ecuacin de Schrdinger independiente del
tiempo, ecuacin (2.30), en la forma EH = (2.35) donde el
hamiltoniano H viene dado por la ecuacin (2.25). Las soluciones de
la ecuacin (2.35) han de satisfacer las condiciones de contorno
particulares impuestas al sistema. Lo mismo que ocurre con la onda
estacionaria asociada a la vibracin de una cuerda de guitarra,
cuyas soluciones particulares y
discretas deben satisfacer la ecuacin nL2= , las soluciones de
la ecuacin (2.35) solo
son posibles para determinados valores discretos de la energa.
En el caso de la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo
para un electrn, se encuentran valores de
-
11
energa discretos siempre y cuando el electrn est obligado a
moverse en un espacio definido, mientras que se encuentra un
intervalo continuo de energas para dicho electrn si ste se mueve
libremente en el espacio. Desde un punto de vista puramente
matemtico, la ecuacin (2.35) puede tener numerosas soluciones, pero
las nicas fsicamente aceptables sern aquellas correspondientes a
diversos valores de la energa E que satisfagan las siguientes
condiciones: 1. debe ser cuadrticamente integrable; es decir, la
integral
espacioeltodo
d
2|| 6 debe ser un
nmero finito (< ). Alternativamente, podemos enunciar esta
condicin diciendo que la funcin debe ser cero en los lmites o
contornos del sistema.
2. debe tomar un nico valor en cada punto del espacio.
3. debe ser continua. Las funciones que satisfacen las tres
condiciones anteriores se dice de ellas que se comportan bien. El
buen comportamiento para la funcin es un requerimiento que tiene
como base esperar un valor razonable, desde el punto de vista
fsico, para la densidad de probabilidad 2|| , ya que debe conducir
a una probabilidad total finita, debe ser continua (como la
probabilidad clsica) y debe asignar, sin ambigedad, una nica
densidad de probabilidad para el sistema en cada punto del espacio.
Las distintas soluciones a la ecuacin de Schrdinger independiente
del tiempo suelen ser designadas por7 n(r), donde n = 1, 2, 3, y
representan diferentes estados estacionarios. Estas soluciones
constituyen un ejemplo de conjunto completo de funciones. Un
conjunto { n(r)} de funciones se dice que es completo si cualquier
funcin arbitraria f(r), que cumpla las mismas condiciones de
contorno que las funciones n(r), puede ser expandida como8
=
=1
)()(i
ii rcrf (2.36) donde los coeficientes {ci} son constantes que,
en general, pueden ser nmeros complejos.
6 En el caso de una partcula (por ejemplo un electrn) y de un
espacio tridimensional cartesiano, d=dxdydz. Si el sistema
estuviera constituido por dos partculas y el mismo tipo de esapcio,
d=dx1dy1dz1dx2dy2dz2. 7 Para abreviar, utilizaremos el trmino n(r)
en lugar de n(x,y,z); r hace referencia al vector posicin de la
partcula, vector cuyas componentes cartesianas son (x,y,z). 8 Este
concepto es semejante al que conocemos en el caso de los vectores
en el espacio. El conjunto de vectores unitarios {i,j,k} constituye
un conjunto completo de vectores en el espacio, ya que cualquier
vector a, puede ser expresado como combinacin lineal de ellos; es
decir, a = ax i + ay j + az k. Las componentes ax, ay y az
desempean un papel anlogo al que desempean los coeficientes ci en
la ecuacin (2.36).
-
12
Una solucin general de la ecuacin de Schrdinger dependiente del
tiempo,
tiH
= h , puede ser expresada como una combinacin lineal de
soluciones del estado estacionario (ecuacin (2.26)):
=
=1
)/exp( )(),(n
nnn tiEratr h (2.37) EJERCICIO 2.1 Siendo i(r) funcin propia del
operador hamiltoniano H , con valor propio Ei, (es decir, iii ErH
=)( ), comprueba que, en general, f(r) dada por la ecuacin (2.36)
no es funcin propia de dicho operador. En qu caso s lo sera?.
EJERCICIO 2.2 Siendo i(r) funcin propia del operador hamiltoniano H
, demuestra que la funcin (r,t), dada por la ecuacin (2.37), es
solucin de la ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo. 6.
Interpretacin vectorial de las funciones de onda La ecuacin de
Schrdinger dependiente del tiempo, ecuacin (2.15) o (2.24), es una
ecuacin diferencial lineal, homognea y de segundo orden, cuyas
soluciones satisfacen una propiedad de superposicin muy
importante:
Si 1, 2, 3, ..., son soluciones de la ecuacin de Schrdinger,
cualquier combinacin lineal de ellas, iia , donde los coeficientes
ai son, en el caso ms general, nmeros complejos, es tambin una
solucin de dicha ecuacin.
El principio de superposicin enunciado implica que, de alguna
forma, las funciones representativas de los estados pueden ser
sumadas para producir nuevos estados. Esto sugiere que las
funciones de estado se comportan, ellas mismas, de forma anloga a
como se comportan los vectores, puesto que los vectores pueden ser
sumados para generar nuevos vectores. Sin embargo, los vectores que
uno debe contemplar como anlogos a las funciones de onda, deben ser
vectores definidos en un espacio complejo de dimensiones infinitas.
Aunque es imposible visualizar vectores ms all de un espacio real
tridimensional, mucha de la terminologa del espacio vectorial real
tridimensional puede ser aplicada a un espacio complejo de
cualquier dimensin. Adoptando la terminologa introducida por Dirac,
los vectores que describen los estados estacionarios cunticos A, B,
C, son denominados vectores ket y se escriben en la forma A , B , C
, . Estos vectores son representacin de las funciones de onda A, B,
C, correspondientes a los anteriores estados estacionarios A, B, B,
. Puesto que estos vectores estn definidos en un espacio vectorial
complejo, resulta matemticamente necesario introducir un segundo
conjunto de vectores, relacionados con los anteriores, A , B , C ,
llamados vectores bra9. Conjuntamente los bra y
ket vectores constituyen un conjunto dual. El ket A y el bra A
son igualmente
9 Los nombres bra y ket provienen de la palabra bracket, en
referencia a los smbolos < y >.
-
13
vlidos para representar el estado A del sistema cuntico. El
vector bra A es el
complejo conjugado transpuesto (o lo que es lo mismo el adjoint)
del vector ket A y viceversa10. Por tanto, podemos escribir
AA =+ y AA =+
El producto escalar de un bra A y un ket B se escribe BA ; en
general esto no es
igual al producto escalar del bra B por el ket A , es decir,
generalmente,
ABBA 11. Supongamos que tenemos un estado estacionario descrito
por la funcin de onda
)exp( 21)( iA = (2.38)
donde 20 define la configuracin espacial. El vector ket A
representa )( A tal como se indica en la expresin (2.38) y el
vector bra A representa el complejo
conjugado )exp( 2)(* iA += (en este caso, al tener solo una
componente, no tiene sentido el trmino transpuesto). El cuadrado
del mdulo (o de la norma) del vector A
(o del A ) viene dado por el producto escalar
121
21 2
0
2
0
2
0
* ==== ddeedAA iiAA
Ntese que la normalizacin (a un valor 1) de la funcin de onda )(
A es equivalente a tomar el vector A , o el A , de longitud unidad.
Un vector A y cualquiera de sus
mltiplos A (donde R) representan el mismo estado cuntico del
sistema. Esta propiedad de los vectores bra y ket implica que es la
direccin del vector la que especifica el estado del sistema y no su
magnitud o mdulo.
10 El trmino complejo conjugado transpuesto (es decir, adjoint)
de un vector es una generalizacin del complejo conjugado de un
nmero complejo. Sin embargo, los bras y kets son, en general,
funciones complejas y no pueden ser divididas siempre en una parte
real y otra imaginaria, tal como ocurre siempre con un nmero
complejo. Sin embargo, con ciertas restricciones, esta analoga con
los nmeros complejos es til. Cuando un vector bra se multiplica,
por la derecha, con su dual ket, el resultado es un escalar. Ocurre
algo anlogo a lo que ocurre cuando multiplicamos un nmero complejo
z = a + ib con su complejo conjugado z* = a ib, obtenemos el
cuadrado del mdulo de z, o de z*, a2 + b2. La parte transpuesto del
concepto adjoint ( = complejo conjugado transpuesto) es importante
cuando los vectores vienen representados por matrices fila o
matrices columna de sus componentes; entonces el trmino transpuesto
exige transformar un vector fila en uno columna (o viceversa). 11
Esto es anlogo al hecho de que si z y w son dos nmeros complejos
diferentes, entonces z*w no es igual a w*z, a menos que z y w sean
reales puros o imaginarios puros. Evidentemente, si |A> y |B>
son reales, entonces = ; ya que se trata de un producto escalar de
dos vectores ordinarios (de componentes reales).
-
14
EJERCICIO 2.3 Considera los vectores columna
+=
iir
31
2
1 y
=4
222 ii
r .
Se pide: a) Calcula los productos escalares 21 rr y 12 rr .
b) Normaliza 1r y 2r .
c) Haz cero la parte imaginaria de cada componente de los
vectores 1r y 2r , y, con estos nuevos vectores, vuelve a calcular
los apartados a) y b). 7. Ortonormalidad de funciones de onda
Supongamos que i y j representan los vectores ket correspondientes
a dos estados cunticos cuyas funciones de onda son,
respectivamente, i y j. Podemos introducir la notacin integral en
la forma
jijiR AdA ... * = (2.39)
donde A representa un operador arbitrario, el conjunto de
variables (por ejemplo x,y,z) y R la regin del espacio sobre la que
se integra. Las integrales de este tipo son las que comnmente nos
encontramos en la qumica cuntica12. Cuando A es el operador unidad
(1 , o lo que es lo mismo, multiplicar por 1), la integral (2.39)
se reduce al producto escalar ji . Frecuentemente los vectores
representativos de estados mecanocunticos suelen ser, o bien
directamente ortogonales, o pueden ser ortogonalizados por
conveniencia. Dos vectores i y j se dicen ortogonales si ji = 0. Si
estos vectores son tambin escogidos de modo que su mdulo sea la
unidad, ii = jj =1, ambas situaciones pueden ser representadas
utilizando un delta de Kronecker (ij):
ijji = i,j = 1,2,3, (2.40)
donde ij = 0 si i j y ij = 1 si i = j.
Cuando se cumple la condicin (2.40), los vectores i y j (o
equivalentemente i y j ) se dice que son ortonormales, es decir,
son ortogonales y estn
normalizados.
Si una funcin de onda no est normalizada, el producto escalar de
ella consigo misma ser
12 Estas integrales tambin son conocidas como elementos ij de
matriz correspondientes, en este caso, al operador A . A menudo se
simboliza en la forma Aij.
-
15
2Q= (2.41)
donde Q es el mdulo o longitud del vector . Por tanto, el nuevo
vector 1Q tendr longitud unidad. As,
122211 === QQQQQ . Para normalizar una funcin de onda,
simplemente la hemos de multiplicar por la inversa de su mdulo (es
lo que llamamos constante de normalizacin). Como ejemplo sencillo,
vamos a normalizar la funcin senx= en el intervalo
x0 .
2
0
== dxsenxsenx Por tanto, 2/1)2/(=Q , y la funcin normalizada es
senx
2/1
2
= . El concepto de ortogonalidad puede ser fcilmente visualizado
mediante el ejemplo de dos vectores en un espacio cartesiano bi o
tridimensional:
Evidentemente, cuando dos vectores, como los de la figura
anterior, son ortogonales (perpendiculares), la proyeccin de uno
sobre el otro es nula; a diferencia de dos vectores no ortogonales
como los de la figura siguiente:
As, dos vectores que representen sendas funciones de onda 1 y 2
sern ortogonales cuando el solapamiento entre ellos sea cero. Por
ejemplo, consideremos los vectores
1 y 2 que representan, respectivamente, las funciones de onda
senx y cosx. El solapamiento entre ambas, en el intervalo x0 , ser
0 cos
021 == dxxsenx .
Por tanto, 1 y 2 son ortogonales. En la figura siguiente podemos
apreciar que el solapamiento entre las funciones senx y cosx, en el
intervalo x0 es cero; o
Producto escalar = 0 = ba rr /2 ar
br
bsobreadeproyeccinarr cos =
ar
br
-
16
equivalentemente, el rea encerrada bajo la curva y = senx cosx,
en el mencionado intervalo, es nula.
Como hemos visto, podemos entender la ortogonalidad de dos
vectores que representan funciones de onda, de una forma intuitiva,
similar a la de dos vectores en un espacio cartesiano
tridimensional. 8. Operadores. Adjunto de un operador. Operador
hermtico Un concepto fundamental dentro del campo de la mecnica
cuntica es el de operador. Un operador simboliza una operacin
matemtica, ms o menos compleja, que debe aplicarse a una funcin.
Por ejemplo, x / es el operador que indica que, la funcin a la que
acompaa, debe derivarse con respecto a x (as, 23)2( 23 +=+
xxxx
); el
operador x) indica que, la funcin a la que acompaa, debe
multiplicarse por x (por ejemplo, 2322 2)2()2( xxxxxxxx +=+=+) ).
El operador ms simple que podemos considerar es el operador
identidad I
), el cual deja invariante la funcin sobre la que
acta (as, ffI =) ). Nosotros designaremos los operadores con un
signo de intercalacin, como en A . El smbolo del operador siempre
se colocar a la izquierda de la funcin sobre la que aplica. Para
cualquier variable dinmica clsica a(p,q), dependiente del momento
lineal p y de la posicin q, existe el correspondiente operador
mecanocuntico ),( qpA
). Es ms,
existen operadores mecanocunticos para los cuales no existe el
anlogo clsico. Los operadores mecanocunticos relacionados con
magnitudes mensurables siempre son lineales; esto es as ya que el
resultado de una operacin sobre un sistema compuesto, debe ser el
mismo que cuando la operacin se realiza sobre cada una de las
partes componentes del sistema y luego se combinan los resultados
parciales. Matemticamente diremos que un operador A es lineal si
dadas dos (o ms) funciones f1 y f2 sobre las que opera, se
cumple
22112211 )( fAcfAcfcfcA))) +=+ (2.42)
siendo c1 y c2 dos constantes cualesquiera. Adems, puesto que
todas las magnitudes mensurables estn, en ltima instancia,
relacionadas con aparatos de medida, es necesario que los
correspondientes operadores tengan valores esperados reales. Tanto
este ltimo requerimiento, como el anterior (el
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.4
-0.2
0.2
0.4
+
-
17
operador debe ser lineal), lo encontramos en un clase de
operadores conocidos como operadores auto-adjuntos o hermticos. Por
definicin, dos operadores, G
) y +G
), se dice que son adjuntos si sus respectivos
valores esperados son complejos conjugados uno del otro. Por
tanto, si G)
y +G)
son un par de operadores adjuntos (que tienen el mismo
dominio13), entonces
*GG)) =+ (2.43)
y, adems, GG)) =++ )( (el adjunto del adjunto de un operador es
el mismo operador).
De acuerdo con la ecuacin (2.43), si los valores propios de un
operador son nmeros reales, es necesario que +G
)= G
); esto es, el operador G
) debe ser auto-adjunto, o
hermtico. A continuacin vamos a demostrar un importante teorema
concerniente a operadores adjuntos, el cual constituye una
herramienta muy til para otras demostraciones y manipulaciones de
integrales que involucran operadores. Teorema 1 Si G
) y +G
) son dos operadores adjuntos, y 1 y 2 son dos funciones de su
dominio, entonces
2121 GG)) =+
Demostracin
Por definicin de operadores adjuntos, ecuacin (2.43), se tiene
*
GG)) =+ , o lo que es lo mismo
* GG )) =+ (2.44)
donde es una funcin arbitraria del dominio de G) y +G) .
Consideremos ahora dos casos concretos para la funcin :
caso 1) = 1 + 2 caso 2) = 1 + i 2
Sustituyendo la funcin del caso 1 en la expresin (2.44)
obtenemos
*21212121 )( )()( )( ++=++ + GG
))
*22
*12
*21
*11
22122111
GGGG
GGGG))))
))))
+++==+++ ++++
De acuerdo con la ecuacin (2.44), *1111 GG)) =+ y *2222 GG
)) =+ , con lo cual, la ecuacin anterior se simplifica para
dar
*12*
211221 GGGG)))) +=+ ++ (2.45)
Por otra parte, si sustituimos la funcin del caso 2 en la
expresin (2.44) obtenemos
*21212121 )( )()( )( iGiiGi ++=++ +))
13 Una funcin se dice que pertenece al dominio de un operador F)
si existe el mdulo de F) ; es decir, si FFF ))) =|| existe.
-
18
++=++ + )( )( )()(
*
space all21
*21
space all21
*21 diGidiGi
))
+=+ + )( )( )( )(
*
space all21
*2
*1
space all21
*2
*1 diGidiGi
))
( ) ( ) ( )*222*12*21*1122
2122111
GiGiGiG
GiGiGiG))))
))))
+==+ ++++
Si en la igualdad anterior tenemos en cuenta que
i2 = -1 ( ) *21* 21 GiGi )) = y ( ) *12* 12 GiGi )) = y,
nuevamente, que *1111 GG
)) =+ y *2222 GG)) =+
tendremos, despus de dividir por el factor comn i, *21
*121221 GGGG
)))) = ++ (2.46) Sumando las ecuaciones (2.45) y (2.46) y
dividiendo por 2 tenemos *1 221 GG
)) =+ . Si tenemos en cuenta que
21
2*
1
*
1
*2
*
12*
12 )( )()( GdGdGGGspaceallspaceall
))))) ==
== ,
obtenemos finalmente,
2121 GG)) =+ (2.47)
La ecuacin (2.47) (vlida para un par de operadores adjuntos) se
conoce como regla de turnover. Un caso particular de la regla de
turnover lo tenemos cuando el operador G
) es hermtico. En este caso,
puesto que entonces GG)) =+ , la ecuacin (2.47) queda en la
forma
2121 GG
)) = (2.48) que utilizando la notacin estndar para las
integrales, la podemos escribir en la forma = dGdG 2*1 2*1 ) ( ))
(2.49) La anterior ecuacin (2.49), o su equivalente ecuacin (2.48),
suele utilizarse, en la prctica, como definicin de operador
hermtico. La regla de turnover puede ser usada para demostrar
algunas relaciones concernientes a sumas y productos de operadores:
1. +++ +=+ GFGF )))) )( Demostracin 21212121 )()( GFGFGF ))))))
+=+=+ +
-
19
212121 )( ++++ +=+= GFGF )))) +++ +=+ GFGF )))) )( (2.50) 2. +++
= FGGF )))) ) ( Demostracin
==== ++++ 2121212121 )( ) () ( FGFGGFGFGF )))))))))) +++ = FGGF
)))) ) ( (2.51) La regla de turnover tambin nos va a permitir la
demostracin de los dos teoremas siguientes. En ellos estableceremos
dos propiedades muy importantes de los operadores hermticos.
Teorema 2 Los valores propios de los operadores hermticos son
reales
Demostracin Consideremos la ecuacin de valores propios aA =) ,
donde asumimos que el operador A
) es hermtico ( AA
)) =+ ). Multiplicando, la anterior ecuacin de valores propios,
por * (por la izquierda) e integrando obtenemos
= dadA ** ) , o equivalentemente, aA =) (2.52)
Puesto que A)
es hermtico, la regla de turnover (ecuacin (2.48) para
operadores hermticos) nos permite escribir
**** )( adadAAA ==== ))) (2.53)
Comparando (2.52) y (2.53), se tiene aa =* a es real Teorema 3
Las funciones propias no-degeneradas14 de un operador hermtico son
automticamente ortogonales
Demostracin Supongamos que k y m son dos funciones propias de un
operador hermtico A
). Las
ecuaciones de valor propio sern
mmm
kkk
aA
aA
==
))
14 Dos funciones propias de un operador se dice que son
no-degeneradas cuando los valores propios de las mismas son
distintos. Funciones propias degeneradas sern, por tanto, aquellas
funciones distintas que tienen idntico valor propio.
-
20
Si mk aa , las funciones k y m son no-degeneradas; de otra
forma, dichas funciones seran degeneradas. Nosotros vamos a asumir
que las funciones k y m son no-degeneradas. Consideremos, a
continuacin, la integral
mkmmk aA = ) (2.54) Aplicando la regla de turnover tenemos
mkkmkkmkmk aaAA === * )) (2.55)
(para llegar a la ecuacin (2.55) hemos considerado que kk aa =*
; esto es as puesto que los valores propios de un operador hermtico
son reales teorema 2) Restando miembro a miembro las ecuaciones
(2.55) y (2.54) obtenemos
0)( = mkmk aa
Puesto que, por hiptesis, mk aa , la anterior expresin conduce a
0=mk ; es decir, las funciones k y m son ortogonales. Puesto que
las funciones propias degeneradas son linealmente independientes,
siempre pueden ser transformadas en un conjunto de funciones
ortogonales. Por tanto, siempre que tratemos con operadores
hermticos, asumiremos que las funciones propias son ortogonales
(bien porque lo sean de forma automtica, o porque previamente se
hayan ortogonalizado ver apndice 2: mtodo de ortogonalizacin de
Schmidt -). 9. Operador normal Algunas de las propiedades ms
importantes de los operadores hermticos son ms fcilmente deducibles
considerando una clase de operadores definidos por BiA
))) += (2.56)
donde A)
y B)
son operadores hermticos. Al considerar el adjunto del operador
Bi)
, vemos que BiiBiBiBBi
))))) ==== +++ )()( * (tener en cuenta que B) es hermtico).
Cualquier operador M
) cuyo adjunto sea su opuesto ( )MM
)) =+ se dice que es antihermtico. Por tanto, el operador Bi
) es antihermtico y ) resulta ser la suma de un
operador hermtico A)
y otro antihermtico Bi)
. El adjunto del operador ) ser, por tanto,
BiA))) =+ (2.57)
Vamos a restringir nuestro estudio a aquellos operadores ) que
conmutan15 con sus adjuntos, esto es,
.0],[ = +)) (2.58)
15 Dos operadores A
) y B
) se dice que conmutan si el conmutador BABA
)))) =],[ AB )) = 0.
-
21
Un operador que conmute con su adjunto recibe el nombre de
operador normal. Evidentemente cualquier operador hermtico es
normal, ya que todo operador conmuta consigo mismo16; en cambio, lo
inverso no es necesariamente cierto, es decir, hay operadores
normales que no son hermticos. Supongamos un operador ) definido
mediante la ecuacin (2.56) y su adjunto definido mediante (2.57).
Es inmediato calcular: ],[)())(( 2222 ABiBABAABiBABiABiA
)))))))))))))))) ++=++=+= + ],[)())(( 2222
ABiBABAABiBABiABiA
)))))))))))))))) +=+=+=+ Restando las dos anteriores expresiones
tenemos
],[2 ],[ ABi)))))))) == +++ (2.59)
La anterior expresin muestra que ) es normal (conmuta con su
adjunto) slo si 0],[ =AB )) , es decir, si los operadores hermticos
B) y A) conmutan. En cambio, de las
ecuaciones (2.56) y (2.57) se deduce que ) es hermtico slo si B)
= 0 (ya que slo entonces ) = +) ). Por tanto un operador ) ,
definido de acuerdo con (2.56), con B) y A) hermticos (siendo B
) 0) y que conmuten, representa un ejemplo concreto de operador
normal no hermtico. A continuacin vamos a demostrar algunos
teoremas relativos a operadores normales. Las conclusiones que
saquemos tambin sern vlidas para operadores hermticos, puesto que,
como ya hemos dicho, todo operador hermtico es normal. Teorema 4 Si
un operador normal ) tiene una funcin propia k con valor propio k,
el operador adjunto +) tiene un valor propio *k para la misma
funcin propia k
Demostracin Sea kkk =
) y consideremos la integral
kkkk )( )( ** ++))
. (2.60)
Aplicando, en sentido inverso, la regla de turnover (ecuacin
(2.47) porque ) , o +) , es un operador normal pero no tiene por qu
ser hermtico) resulta kkkk ))(( * +
))
Puesto que ) y +) conmutan, el trmino central ))(( *kk +))
puede ser intercambiado a
))(( * kk +))
, dando
0))(())(( ** == ++ kkkkkkkkk )))
(2.61) (en (2.61) tngase en cuenta que 0)( === kkkkkkkkk
))).
El valor cero de la expresin (2.61) requiere que la integral de
partida sea tambin cero; es decir, kkkkkk )( 0 )( )( *** = +++
)))= 0 kkk *=+
) *k es, tambin, el
valor propio del operador +) para la funcin k . 16 Tener en
cuenta que el adjunto de un operador hermtico es l mismo.
-
22
Teorema 5 Si ) es un operador normal que conmuta con un operador
cualquiera F) , y k y l son dos funciones propias no-degeneradas de
) , entonces 0== kllk FF
); es decir, los elementos de matriz
no diagonales ( lk ) del operador F) en la base } { i son
nulos.
Demostracin Consideremos lklklkllklkl FFFFF
)))))))) +==== (2.62)
(en el ltimo paso de la cadena de igualdades (2.61), se ha
tenido en cuenta la regla de turnover)
Por el teorema 4, kkk *=+)
, por tanto lkklkklk FFF *)))) ==+ 17 (2.63)
Llevando (2.63) a la ecuacin (2.62) se tiene lkklkl FF )) = , y
por tanto,
0 )( 0 )( == kllklklk FF )
Puesto que, por hiptesis, lk (ya que las funciones de onda k y l
son no-degeneradas), se tiene finalmente, 0 == kllk FF
)
Este teorema es muy til cuando se utilizan funciones propias de
un operador normal (tal como el operador hamiltoniano) para formar
elementos de matriz de un segundo operador que conmuta con el
primero. Teorema 6 Si dos operadores A
) y B
) conmutan, existe al menos un conjunto completo comn de
funciones propias
}{ k tal que kkk aA =)
y kkk bB =)
.
Demostracin Puesto que, por hiptesis, A
) y B
) conmutan, [ A
), B)
] = 0, de acuerdo con la ecuacin (2.59), los operadores BiA
))) += y BiA ))) =+ tambin conmutan y, por consiguiente, son
normales. Por tanto, de acuerdo con el teorema 4, si k es una
funcin propia del operador ) con valor propio k , el operador +)
tendr un valor propio *k para la misma funcin k . Con lo cual
podemos escribir
kkkkkkk ibaBiA )( )( =+=+=)))
(2.64)
kkkkkkk ibaBiA * )( )( ===+)))
(2.65)
donde ak y bk son los valores propios de los operadores A)
y B)
, respectivamente, para la funcin k .
Sumando y restando las ecuaciones (2.64) y (2.65) obtenemos,
respectivamente,
kkkkkkk aAaA 22 )( ===+ +))))
kkkkkkk bBibBi 22 )( === +))))
lo cual demuestra que los operadores A)
y B)
tienen un conjunto comn }{ k de funciones propias.
El inverso de este teorema es tambin cierto: Si existe un
conjunto completo de funciones comunes a los operadores A
) y B
), entonces dichos operadores deben conmutar.
17 Ntese que lkklkklkklkklkk FdFdFdFF )( *****
))))) ====
-
23
10. Valor medio, o valor esperado, en mecnica cuntica De acuerdo
con la ecuacin (2.18) y utilizando d como elemento de volumen en
coordenadas generalizadas, el valor esperado de un operador A
), supuesto hermtico,
ser
*
* Ad
dAA
))) ==
donde es la funcin de onda del sistema.
Si la funcin de onda esta normalizada ( = 1), la anterior
expresin adopta la forma * AdAA ))) == (2.66) Puesto que las
funciones propias del operador hermtico A
) forman un conjunto
completo {i} (que asumiremos ortonormal), podemos expresar la
funcin de onda del sistema como una combinacin lineal de dichas
funciones, es decir,
=
=1
i
iic (2.67) La mecnica cuntica establece el siguiente postulado:
Cuando se realiza una medida de la variable dinmica representada
por el operador A)
, en un sistema cuya funcin de onda es (dada por la ecuacin
(2.67)), la probabilidad de que el resultado coincida con un
autovalor discreto ak es 2* || kkk ccc = ; donde kc es el
coeficiente correspondiente a la funcin propia k en la expansin de
como combinacin lineal de {i}, de acuerdo con (2.67).
En el caso en el que tanto la funcin de onda como las funciones
propias {i} sean conocidas, el coeficiente ck viene dado por la
expresin
kkc = (2.68) En efecto,
ki
kiii
ikii
iikk cccc ====
(tngase en cuenta que el conjunto de funciones {i} es
ortonormal, por tanto kiik = , lo cual da cero cuando ki y uno
cuando ki = ).
A partir del postulado anterior podemos predecir el valor medio
(o valor esperado) que se obtendra para la variable dinmica
representada por el operador A
), a partir de una
larga serie de medidas sobre el sistema, colocado en idnticas
condiciones inmediatamente antes de cada una de las medidas18. El
valor medio del operador A
) para
la funcin de onda se obtiene como sigue: 18 De esta forma nos
aseguramos que la funcin de onda del sistema es la misma en cada
medida (es decir, en cada experimento).
-
24
De acuerdo con las ecuaciones (2.66) y (2.67) se tiene
dcAcdAAAl
llk
kk ***
=== ))))
daccdAccl
lllk
kkl
llk
kk **
**
=
= )
==k l
klllkk l
lkllk accdacc * * *
==l
lll
lll acacc2
* || (2.69)
Puesto que 2|| lc es la probabilidad de que el valor al sea
obtenido en una medida, el resultado anterior pone de manifiesto
que el valor esperado (o valor medio) del operador A)
es la suma de todos sus valores propios multiplicados, cada uno
de ellos, por sus correspondientes probabilidades. 11. Construccin
de operadores mecanocunticos Para estados estacionarios, la funcin
de onda ),,( zyx es una funcin de las coordenadas del sistema. Por
tanto, en mecnica cuntica, es conveniente emplear operadores que
estn expresados tambin en funcin de estas coordenadas. En tales
sistemas,
el operador asociado a una coordenada q (= x, y, z) ser q) (= x)
, y) , z) ). Estos operadores actan sobre una funcin, simplemente,
multiplicndola por la correspondiente coordenada. As, qq =)() .
los operadores asociados a las componentes del vector momento
lineal ( xmpx & = , ympy & = , zmpz & = ) vienen
representados por los operadores diferenciales:
x
ixi
px =
= hh) , yi
py = h) ,
zipz
= h) (2.70)
el momento lineal total (vector zyx ppp k jip ++= ) vendr
representado por
=
+
+=++= rhh))))
iippp zyx zyx
k ji k jip (2.71)
La energa total de un sistema conservativo est dada por Vm
pVTE +=+=2
2
, donde
T es la energa cintica ( )2/( 2/ 22 mpmvT == ), V es la energa
potencial y p2 = p p. El operador representacin de p2 ser
2 22 == hrhrh)ii
p (2.72)
-
25
donde 2 recibe el nombre de operador laplaciano y viene dado (en
coordenadas cartesianas) por
22
2
2
2
22
zyx +
+= (2.73)
Por consiguiente, el operador asociado a la energa total
(operador hamiltoniano) ser
Vm
HE)h)) +== 2
2
2 (2.74)
El operador de energa potencial, V)
, vara de un sistema a otro, y por tanto no es posible asignarle
una forma general. La construccin de operadores mecanocunticos para
otras variables dinmicas puede llevarse a cabo escribiendo la
expresin clsica y, a continuacin, reemplazar las coordenadas y las
componentes del momento lineal por sus correspondientes operadores.
Como ejemplo, podemos obtener el operador asociado al momento
angular Lr
. Clsicamente,
zyx pppzyxprLkji
== rvv (2.75)
El correspondiente operador mecanocuntico ser
///
zyx
zyxi
ri
L
== )))hr)h)kji
. (2.76)
12. Principio generalizado de incertidumbre En el apartado 5 del
tema 1 ya introdujimos el principio de incertidumbre
particularizado para la posicin y el momento lineal. En este
apartado vamos a obtener dicho principio de una forma ms general y
rigurosa. Consideremos una serie de medidas del observable f
(representado por el operador F
)) en un sistema
cuya funcin de onda es inmediatamente antes de cada medida. El
valor medio que resulta es igual al valor esperado F
), el cual si est normalizada vendr dado por
= dFF * ))
Por incertidumbre entenderemos el valor medio de la desviacin de
la medida respecto de la media. El operador que representa esta
incertidumbre ser ( )FF )) . De esta forma el cuadrado de la
incertidumbre estar asociado al operador ( )2 FF )) . Si
representamos por f la incertidumbre de la medida del observable f,
tendremos:
( ) ( ) ( ) dFdFFf 21*2 *2 ))) == (2.77)
Donde hemos definido FFF))) =1 (2.78)
-
26
Si el operador F)
es hermtico, 1F)
tambin lo ser, ya que F)
es un nmero. Por tanto,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dFdFFfdFFf 211*12 turnoverregla11*2 || == =
))))) (2.79) Anlogamente, si efectuamos (en el mismo sistema)
medidas del observable g, representado por el operador hermtico
G
), el valor esperado ser = dGG * )) y, mediante un procedimiento
idntico al
empleado para obtener la expresin (2.79), podemos obtener, para
el cuadrado de la incertidumbre de la medida de g, la expresin: ( )
= dGg 212 || ) (2.80) Siendo GGG
))) =1 (2.81)
Multiplicando las expresiones (2.79) y (2.80), obtenemos
( ) ( ) dGdFgf 212122 || || = )) (2.82)
Si tenemos en cuenta la desigualdad de Schwarz, 2 *22 || ||
dgfdgdf , en la ecuacin (2.82),
tendremos
( ) ( ) ( ) ( ) 2 1*1212122 d || || = GFdGdFgf )))) (2.83)
Por otra parte, aplicando (a la inversa) la regla de turnover,
tendremos
( ) ( ) = d d 1 1*1*1 GFGF )))) (2.84)
Adems,
)(21)(
21
1111111111 FGGFFGGFGF)))))))))) ++= (2.85)
Si llevamos la ecuacin (2.85) a la (2.84) obtenemos
( ) ( ) ++= d )(21 d )(21 d 1111*1111*1*1 FGGFFGGFGF
))))))))))
( ) ( ) ++= d )(21 d )}( {2 d 1111*1111*1*1 FGGFFGGFiiGF
)))))))))) (2.86)
Aplicando las relaciones 1 y 2, consecuencia del teorema 1, es
inmediato demostrar que si los operadores
1F)
y 1G)
son hermticos, tambin lo sern los operadores ( )1111 FGGFi ))))
y ( )1111 FGGF )))) + . Con lo cual, de acuerdo con el teorema 2,
sus valores son reales; y, por consiguiente tambin son reales las
cantidades
d )}( { 1111* FGGFi )))) y + d )( 1111* FGGF )))) . Lo anterior
implica que la ecuacin (2.86) es del tipo ( ) ( ) biaGF = d 1*1 ))
donde
+= d )(21 1111* FGGFa))))
y = d )}( {21 1111* FGGFib))))
Puesto que el mdulo de un nmero complejo biac = cumple 222 bac
+= , aplicndolo a la expresin (2.86) conduce a
( ) ( ) 2 1111*2 1111*2 1*1 d )(41 d )(41 d ++= FGGFFGGFGF
)))))))))) (2.87)
Llevando (2.87) a la ecuacin (2.83) tenemos
-
27
( ) ( ) 2 11*2 1111*2 11*22 d ][41 d )(
41 d ][
41 ++ G,FFGGFG,Fgf )))))))) (2.88)
Donde hemos sustituido )( 1111 FGGF)))) por el conmutador ][ 11
G,F
)) y hemos tenido en cuenta que si q > 0
y h > 0, entonces q + h q (la posibilidad = cuando h = 0).
Tngase en cuenta que la cantidad h = 2
1111* d )(
41 + FGGF )))) siempre es 0.
Si tenemos en cuenta que FFF))) =1 y GGG
))) =1 , el conmutador ][ 11 G,F))
coincide con ][ G,F))
. En
efecto, ],[)( )( )( )(][ 111111 GFFGGFFFGGGGFFFGGFG,F
)))))))))))))))))))) ====
De acuerdo con esto ltimo, la ecuacin (2.88) queda en la
forma
( ) ( ) 2 *22 d ][41 G,Fgf ))
y, por tanto,
( )( ) d ][21 * G,Fgf))
( ) ( ) ][ 21 G,Fgf
)) (2.89) Por tanto, de acuerdo con la ecuacin (2.89), si
conocemos el conmutador de dos operadores, podemos calcular el
producto de las incertidumbres asociadas a las medidas de los
correspondientes observables. Si dos observables son compatibles,
es decir, si sus operadores conmutan, 0],[ =GF )) y, por
consiguiente, 0 gf ; lo cual indica que no hay limitacin en la
precisin de la medida de ambos observables (salvo aquellas
limitaciones inherentes al aparato de medida). EJERCICIO 2.4
Particulariza la expresin (2.89) para el caso en que f sea la
posicin x y g la componente x del momento lineal, px. Demuestra que
la relacin a la que se llega es
2 h xpx .
13. Operador paridad. Funciones pares e impares Existen ciertos
operadores mecanocunticos que no tienen analoga en mecnica clsica.
Uno de estos es el operador paridad. El operador paridad ) se
define por su efecto sobre una funcin arbitraria f:
),,(),,( zyxfzyxf =) (2.90) El operador paridad reemplaza cada
coordenada cartesiana por su negativa. Por ejemplo, ayyaay
zexezxzex +== 2)(22 )()()() . Veamos a continuacin cuales son los
valores propios ci y las funciones propias gi del operador paridad.
La ecuacin de valores propios ser:
iii gcg =)
(2.91)
-
28
La clave para poder lograr nuestro objetivo est en calcular el
cuadrado de ) :
( ) ),,(),,(),,( ),,(2 zyxfzyxfzyxfzyxf === ))))
12)) = (2.92)
Si ahora aplicamos ) a la ecuacin (2.91) tendremos
)( )( iii gcg =))) iii gcg =
)) 2 (2.92)y (2.91) .ecs
iii gcg21 =) 12 =ic 1=ic .
Vemos, por tanto, que los valores propios del operador ) son +1
y -1. (Es interesante notar que la deduccin que hemos hecho es
aplicable a cualquier operador cuyo cuadrado sea el operador
unidad). Veamos a continuacin cuales son las funciones propias gi.
La ecuacin de valores propios (2.91) la podemos escribir como
),,(),,( zyxgzyxg ii =)
pero, ),,(),,( zyxgzyxg ii =
)
Por tanto, ),,(),,( zyxgzyxg ii = (2.93)
As pues, las funciones propias del operador paridad ) son todas
las funciones pares, ),,(),,( zyxfzyxf = , y las impares, ),,(),,(
zyxfzyxf = . Ntese que si la
funcin es par, el valor propio del operador paridad ser +1,
mientras que ser 1 si la funcin es impar.
Veamos ahora en qu condiciones el operador paridad ) conmuta con
el hamiltoniano H)
. Consideremos, para ello, el caso de sistemas monopartcula:
],[],[],[],[ +=+= ))))))))) VTVTH (2.94)
Veamos en primer lugar ],[ ))H :
+
+==
= )h)h)h)) ,
2],[
2,
2],[ 2
2
2
2
2
222
22
2
zyxmmmT
0 , , , 2 2
2
2
2
2
22
=
+
+
= )))h
zyxm (2.95)
ya que cualquier conmutador [ ] ) ,/ 22 q (donde q = x,y,z) es
lgicamente cero (sabras demostrarlo?).
Veamos ahora qu ocurre con el conmutador ],[ ))V :
( ) ( )),,(),,(),,( ),,(),,(],[ zyxfzyxVzyxfzyxVzyxfV ))))))
=
-
29
),,(),,(),,(),,( zyxfzyxVzyxfzyxV =
= ( ) = 0),,(),,(),,( zyxfzyxVzyxV ),,( zyxV es una funcin par.
Podemos concluir, que si la funcin potencial es par, el operador
hamiltoniano conmuta con el operador paridad. Es decir, paresVH
0],[ =)) Estos resultados que hemos obtenidos son fcilmente
generalizados para el caso de sistemas con n partculas. Si todos
los niveles de energa son no-degenerados (como ocurre generalmente
en problemas unidimensionales) y el potencial es una funcin par,
entonces las funciones de onda tienen paridad definida. En el caso
de que exista degeneracin (y el potencial sea una funcin par),
podemos escoger las funciones de onda con una paridad determinada
tomando combinaciones lineales adecuadas de las funciones
degeneradas. 14. Postulados de la mecnica cuntica Durante el
desarrollo del presente tema hemos ido introduciendo una serie de
postulados a medida que ha sido necesario. Ahora, a modo de
recapitulacin, vamos a escribirlos todos juntos. Postulado 1 El
estado mecanocuntico de un sistema est completamente especificado
por una funcin de onda ),( tr que es una funcin de las coordenadas
del sistema y del tiempo. Para los estados estacionarios el tiempo
no es una variable, y el sistema que especificado por una funcin de
onda independiente del tiempo )(r . Estas funciones de onda tienen
un solo valor para cada punto del espacio (y cada valor del tiempo
cuando dependa de t), son continuas y cuadrado-integrables. La
funcin de onda para una simple partcula puede ser interpretada como
sigue: dtrtr ),(),(* es la probabilidad de que la partcula est en
el elemento de volumen d (= dxdydz en coordenadas cartesianas)
localizado en la posicin r en el instante t. Postulado 2 Para cada
observable en mecnica clsica existe un operador mecanocuntico
lineal. El operador se obtiene de la expresin clsica del
observador, escrita en trminos de coordenadas cartesianas y momento
lineal, reemplazando cada coordenada q por ella
misma y cada componente del momento lineal por q
i h .
Postulado 3 Los posibles valores medidos del observable fsico A,
correspondiente al operador A
),
son los valores propios ai de la ecuacin de valores propios ii
aA =)
. Postulado 4 El valor medio de un observable correspondiente
con el operador A
) viene dado por
= dAA * ))
-
30
donde es la funcin de onda normalizada del estado, * es su
compleja conjugada y la integral se lleva a cabo en todo el espacio
en donde la funcin no sea nula. Postulado 5
La ecuacin de onda dependiente del tiempo es t
tritrH = ),(),( h) , donde H) es el
operador hamiltoniano para el sistema. Postulado 6 La funcin de
onda de un sistema de electrones debe ser antisimtrica al
intercambio de dos cualesquiera de los electrones. Este postulado
surge en conexin con el spin y es la forma fundamental de lo que
llamamos principio de exclusin de Pauli. Ms adelante entraremos en
detalles acerca de lo que supone este sexto postulado.
-
31
PROBLEMAS TEMA 2 2.1 Comprueba que )exp( ax , donde a es una
constante, es una funcin propia de los operadores dxd / y 22 / dxd
, y encuentra los correspondientes valores propios. Cul sera el
correspondiente valor propio para el operador nn dxd / ? Solucin.-
-a, (-a)2, (-a)n
2.2 Dado el operador 222
xdxdP +=) y la funcin 2 xexf = , comprueba si f es funcin
propia del operador P)
y, en caso afirmativo, obtener el valor propio correspondiente.
Solucin.- f no es funcin propia de P
).
2.3 Dado el operador 2=P) y )( )( )( mzsenlysenkxsenf = ,
comprueba si f es funcin propia del operador P
) y, en caso afirmativo, obtener el valor propio
correspondiente.
Solucin.- S, es funcin propia. Valor propio = )( 222 mlk ++
*2.4 Considera el operador 222
kxdxdP =) , donde k es una constante. Qu valor debe
tener la constante a en 2 xaef = para que f sea funcin propia
del operador P) ? Cul es
el correspondiente valor propio? Solucin.- 2/ka = , valor propio
= ka =2
2.5 Normaliza la funcin 2 1 uku += (k es una constante y 1u y 2u
son funciones normalizadas) para cada uno de los siguientes casos:
a) 1u y 2u son ortogonales. b) 0|| 1221 == uuuu . Solucin.- a)
)(
11
2 12uku
k+
+= b) )(
)2(11
21 kuukk+++
2.6 Normaliza la funcin 2 ),,( raeru = en el intervalo r0 , 0
y
20 . Tener en cuenta que, en coordenadas esfricas, el elemento
de volumen es drddsenrd 2 = .
Solucin.- 2
4/32),,( raearu
= .
*2.7 Normaliza la funcin 2 21 1 cc += en el caso de que 0|| 1221
== y 21 cc = . Asume que las funciones 1 y 2 estn normalizadas.
Repite con 12 cc = . Solucin.- a) )(
)1(21
21 ++= , b) )()1(21
21 = .
2.8 Considera los vectores
=
001
ar ,
=
0
0
2 br y
=
cr 0
0
3 , donde a, b y c son
constantes reales. Normaliza los vectores y muestra que son
mutuamente ortogonales. Solucin.- a) 1
'1 )/1( rar = , 2'2 )/1( rbr = , 3'3 )/1( rcr = . c) jiji rr ,''
= .
-
32
2.9 Considera los vectores
=23
1
1r y
=
123
2r .
a) Comprueba que 1r y 2r no son ortogonales
b) Comprueba que los vectores 1r + 2r y 1r - 2r son
ortogonales.
c) Normaliza los vectores 1r y 2r , y normaliza tambin los
vectores ortogonales del apartado b).
Solucin.- a) 121 =rr , b)
=+=31
4
21 rrs y
==152
21 rrd , 0=ds
c) 1'
1 )14/1( rr = , 2'2 )14/1( rr = , ss )26/1(' = , dd )30/1(' = .
*2.10 Encuentra el adjunto de: a) La funcin real A(x,y) b) La
funcin W = A(x,y)+i B(x,y), donde A y B son funciones reales e i =
1 . c) El operador
dxd
d) El operador del momento lineal dxd
ih
e) El operador 22
dxd
f) El operador laplaciano 2 g) El operador hamiltoniano V
mH
)h) += 22
2, donde V
) es real.
*2.11 Demostrar que si el operador G
) es hermtico, 2 G
) (y en general, nG
)) tambin lo
es (ver relacin 2 derivada de la regla de Turnover). 2.12
Demuestra que si el operador G
) es hermtico, kG
) (donde k es una constante real)
tambin es hermtico. 2.13 Dado un operador arbitrario F
), demuestra que: a) el operador FF
)) + es hermtico. b) 0| | + FF )) . Ayuda para b).- Segn regla
Turnover FFFF |)(| | +++ =)) 2.14 Sean 1 y 2 dos funciones propias
degeneradas del operador A
). Demuestra que
las funciones 11 =u y 122 ku += son ortogonales si se escoge
convenientemente el valor de la constante k. Demuestra que las
funciones 1u y 2u son tambin funciones propias degeneradas del
operador A
) con el mismo valor propio que 1 y 2 .
Solucin.- 1121 |/| =k
-
33
*2.15 El operador hamiltoniano de un sistema dado es Vdxd
mH +=
22
2h) (donde V es
una cte). Las funciones propias no normalizadas son )exp( xnin =
(n = 1,2,3, ). a) Cul es el valor propio de H
) cuando el sistema est en el estado estacionario n = 3?
b) Comprueba que 0],[ =xpH ))
(donde dxd
ipx
h) = ). c) Cul es el valor esperado de la componente x del
momento lineal cuando n = 3?
Solucin.- a) Vm
+29 2h , c) h3 .
*2.16 Para cierto sistema el operador hamiltoniano es Vdxd
mH += 2
22
2h) (V es una
constante) y las funciones propias son )/exp()/(),(
htEiaxnAsentx = , donde A y a son constantes y el intervalo de
integracin es de x = 0 a x = a. Se pide: a) Normaliza la funcin de
onda dada en el intervalo ax 0 b) Evala y compara H) , 2H) y
2 H
).c) Evala y compara x) , 2x) y 2 x) .
2.17 Un operador hermtico A
) tiene solo cuatro funciones propias i (i = 1, 2, 3, 4)
(que se suponen ortonormales) con valores propios 11 =a , 22 =a
, 13 =a y 34 =a . La funcin de onda del sistema es 4321
316.05.0632.05.0 +++= .Calcula A) para este sistema. Solucin.-
1.598 2.18 Demuestra que la funcin )cos( )cos( )cos( czbyax= es
funcin propia del operador 2 . Quin es el valor propio? Solucin.-
)( 222 cba ++ 2.19 El operador traslacin hT
) se define en la forma )()( hxfxfTh +=
). Determina
21
21 )23( xTT +
)).
*2.20 El operador Ae) se define en la forma
==++++=
0
3
2
!...
!31
211
k
kA
kAAAAe))))))
.
Demuestra que De), donde
dxdhD =) (siendo h una constante), coincide con el operador
traslacin hT)
definido en la forma )()( hxfxfTh +=)
.
Ayuda.- considera el desarrollo ...)(!3
)(!2
)()()( '''3
''2
' ++++=+ xfhxfhxhfxfhxf 2.21 Una partcula se mueve en una
dimensin entre x = a y x = b, en cuya regin una solucin de la
ecuacin de Schrdinger es xA /= (siendo A una constante de
normalizacin). a) Calcular A, b) demostrar que
ab
ababx ln= .
Solucin.- )/( ababA =
-
34
2.22 El operador Ae) viene dado por
==++++=
0
3
2
!...
!31
211
k
kA
kAAAAe))))))
. Demuestra
que si es funcin propia de A) con autovalor a, tambin ser funcin
propia de Ae ) . Cul ser su autovalor? Solucin.- ae 2.23 Supngase
la funcin 4cos2)( += xxf . Esta funcin puede expandirse en la base
completa infinito-dimensional de los polinomios
==
0 )(
k
kk xcxf . Calcular 0c , 1c y 2c .
Solucin.- 0c = 6, 1c = 0 y 2c = -1. Ayuda.- con Mathemat:
Series[2*Cos[x]+4,{x,0,6}] 2.24 Una partcula se mueve en una
dimensin sujeta a un potencial que es cero en la regin axa e en
cualquier otro sitio. En un instante la funcin de onda es
axsen
aax
a
52
2cos
51 +=
a) Cules son los posibles resultados de la medida de la energa
de este sistema y cuales son sus probabilidades relativas? b) Cul
es la forma de la funcin de onda inmediatamente despus de cada
medida? NOTA.- Para el problema que nos ocupa, las funciones
propias normalizadas del operador hamiltoniano tienen la forma
axn
an 2cos1 = si n es impar (n = 1, 3, 5, )
axnsen
an 21 = si n es par (n = 2, 4, 6, )
Obsrvese que estas funciones cumplen las condiciones de
contorno; es decir, se anulan en x = a y en x = a. Solucin.- a)
2
22
1 8maE h= , 2
22
2 2maE h= , probabilidad de E1 = 1/5 y de E2 = 4/5.
b) Inmediatamente despus de cada medida la funcin de onda es 1 o
2 .
*2.25 Demostrar, teniendo en cuenta la ecuacin de Schrdinger
t
iH = h) , la
llamada ecuacin cuntica del movimiento:
[ ] 212121 |,||||| = HOitOOt ))h))
Siendo [ ]HO )), el conmutador de los operadores O) y H) .
2.26 Demostrar que [ ] xpmixH )h)) =,
2.27 Un sistema est descrito por la funcin propia 2
resenN = y tiene una energa
E = 0. Cul es la expresin del potencial V si 22
22
22 11
+
+=
rrrr?
Solucin.- )2/()144( 2242 mrrrV = h . Nota.- Utiliza el
Mathematica
-
35
2.28 Demostrar que dt
xdmpx
)) = procediendo de la siguiente manera:
a) Demostrar primero que ],[ xHidt
xd ))h
)= , b) tener en cuenta que, como se ha
demostrado en el ejercicio 2.26, [ ] xpmixH )h)) =, . Ayuda.-
Para la demostracin de a) recordar la ecuacin cuntica del
movimiento, demostrada en el ejercicio 2.25, y tener en cuenta que
0/ = tx .
2.29 Sean los operadores xdxdP +=) ,
dxdxQ =) y x
dxdR =) . Hallar los operadores 2P) ,
2Q)
y 2R)
Solucin.- 12 222
2 +++= xdxdx
dxdP
),
dxdx
dxdxQ += 2
222) , 132
222 ++=
dxdx
dxdxR
).
2.30 Demuestra que el operador dxdxih no es hermtico.
2.31 Asume que A es un operador hermtico y que 1 , 2 y 2 son
tres de sus funciones propias normalizadas con los valores propios
21 =a , 32 =a y 23 =a , respectivamente. Examina cada una de las
siguientes integrales y establece su valor numrico en aquellos
casos en los que sea posible hacerlo sin ninguna ambigedad. Si el
valor de la integral queda indeterminado explica por qu. a) 11 || A
; b) 1 2 || A ; c) 2 |1 ; d) 3 |1 ; e) 3 2 || A ; f) 1 3 | ; g) 3
||1 A ; h) 3 3 11 || + A ; i) 3 3 11 || A . 2.32 Un operador
hermtico A tiene nicamente tres funciones propias: 1 , 2 y 3 , con
los correspondientes valores propios 11 =a , 22 =a y 33 =a ,
respectivamente. En un estado determinado , hay un 50% de
probabilidad de que una medida produzca a1 y la misma probabilidad
(el 25%) de que se obtenga a2 y a3. Se pide: a) Calcular A
b) Expresar la funcin de onda del estado mencionado en funcin de
1 , 2 y 3 .
*2.33 Demuestra que: a) kllk ipq h=],[ b) 1 1-n 2],[ = nknkk
pipq h Siendo 1q , 2q y 3q los operadores de posicin x , y y z
respectivamente; y 1p , 2p y
3p los operadores de momento lineal xp , yp y zp ,
respectivamente. 2.34 Si A y B son dos operadores hermticos: a) El
operador ABBA + es siempre hermtico? b) Son hermticos los
operadores ( )AAi + y ( )AA ++ ? Solucin.- a) Si, b) Si
-
36
2.35 Supongamos que la funcin de onda para un sistema en un
estado puede escribirse como
3
21 423
41
21 i+++=
Donde 1, 2 y 3 son funciones propias normalizadas del operador H
con valores propios E1, 3E1 y 7E1, respectivamente. a) Verifica que
la funcin de onda est normalizada. b) Cules son los valores
posibles que podramos obtener midiendo la energa del sistema
preparado en idnticas condiciones? c) Cul es la probabilidad de
medir cada uno de esos valores propios? d) Cul es el valor promedio
de la energa que obtendramos realizando un gran nmero de medidas?
Solucin.- c) 1/4, 1/16, 11/16 d) 125.5 EE = 2.36 Una onda que se
propaga a lo largo del eje x de izquierda a derecha, con longitud
de onda y frecuencia , est descrita por la funcin ( ))/(2exp),(
txiAtx = . Comprueba que: a) Esa funcin de onda es solucin de la
ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo de una partcula
libre y, por tanto, describe un estado estacionario de la misma. b)
La relacin de de Broglie entre la longitud de onda asociada a una
partcula y su momento lineal est contenida en la ecuacin de
Schrdinger. c) Esa funcin tambin es solucin de la ecuacin de
Schrdinger dependiente del tiempo y el hecho de que la energa de
una partcula con una onda asociada de frecuencia sea hE = tambin
est contenida en la ecuacin de Schrdinger. *2.37 Sean xkieNk 1 11 =
y xkieNk 2 22 = dos ondas planas, y sea la funcin de onda
2211 kckc += (donde c1 y c2 son constantes reales). Se pide: a)
Normaliza 1k y 2k en el intervalo ]2/ ,2/[ aa + . b) Comprueba que
1k y 2k son funciones propias del operador momento lineal xp .
Cules son sus valores propios? c) Es una funcin propia del operador
xp ? d) Normaliza la funcin en el intervalo ]2/ ,2/[ aa + . e) Si
la partcula se encuentra en el estado , qu valores podramos en una
medida individual de xp ? f) Cul es el valor promedio de xp en el
estado ?
Solucin.- a) aNN /121 == b) h11)( kpx = , h22)( kpx = c) No d) (
)2211
212122
21 2
1 kckckkcccc
+++
= e) h1k y h2k
-
37
2.38 a) Demuestra que si V es real y ),,,( tzyx satisface la
ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo, entonces ),,,(* tzyx
es tambin solucin de dicha ecuacin (esto es lo que se conoce como
invarianza bajo la inversin del tiempo). b) Demuestra que, para
estados estacionarios, la invarianza bajo la inversin del tiempo
implica que ** EH = si se cumple EH = y si V es real. c) Demuestra,
a partir de b), que las funciones propias no degeneradas de H (con
V real) deben ser reales. 2.39 Normaliza las funciones no
ortogonales re=1 y rer = 2 . A partir de ellas construye otra
funcin que sea ortogonal a 1 . Nota.- ver el apndice 2: Mtodo de
ortogonalizacin de Schmidt
Solucin.- a) re 11 = ,
rer = 2 31 , b)
rr ere 65147.0 977205.0 += *2.40 Dado un operador B , tal que
0],[ =HB (donde H es el operador hamiltoniano del sistema) y
suponiendo que 11 aH = , 22 bH = , 33 bH = y 44 cH = (donde a, b y
c son distintos entre si), Qu integrales de las siguientes sabemos
con seguridad que son cero?
1) 41 2) 42 3) 32 4) 43 5) 31 || H 6) 32 || H 7) 41 || B 8) 32
|| B 9) 3232 || + B 10) 3232 || + H 11) 3232 | +