C AP i7: TJ L C 1 . E C U ACI O¡T¿TS DIFE]Itr¡üCiA¿ES OEDI¡\TARI.L: Resolr.er Ia ecuacién diferenciai ,t;' : y -l *2',,J2. .,,! ., Solución: La ecuaciótt '!¡' :'il*r2y2, se ¡ruede cscribir ccrru, t'¡ -: - 12. Hacieurlo; : l ?l' lJ ', ,sc riene que;' : -* y por lo tanto la ecrra,cióri *-:: ,'2 se transforma en -z'-'z: r) . :J_ !t- a ,_ que es una ecu¿¡,ción iineal cle prirrrer orden. A<lerrrtís, la ecuacil¡ti ii * , : -r2, tiene col:-: solucióu v cOll]o Y corno It : y*2, tenernos ?J : sohrciones son: e\ geueral scrá, -L/2, se obtiene que t¡ : *(.Ce-"¿a - 11-tlz. Todas l¿u U:*{Ce-zr,*71-1i2 3/:0. z : t- J,i,i, - { "t ,i,,.:¿r]: c-, i, { *2r,d,*1 iJILJ) : "- " iC -- §2e-o * 2re" - 2r"): -r2 l2¡; * 2 + C 11 z : -! se st,Eue c{Lre } : - y ci} consecueircia la solución yz 1 -:t:2 ¿* 2t: -- 2 * Ce*¡' 2. Resolver la ecuación de Bernorüi dad'a por 3ir - 23tari r':Z',fr)' Solucién: Enestecaso,p(r) : -2tan r. q(:i)-.2 y n:f,. Laecuación yt-Zytanr:2.,f o/ se puede escribir como j7z *')'¡st¡2tan:r:2 (Sienipre *" ,l C). t{aciendo e: g1l2' sr sigue que y : 22, luego g' : 22zt ,cou io qui: 1a ecuación dada se convierte en z'--(tartr)z : -- cuya solur:ión es: z:,tl'ra¡r¡d¿ ic* l¿-f ran.r'dr¿rl : ' l"* ["orr¿rl :tanr r q . L- J I cosrl J I cosr y como , -- grl2 , se ct;nchrSre que ia s,¿iución generai de la, ccuación propuesta es / c \2 ¿ U: (tan, *;#J u rarnl¡iért r7 -- ltatr ): + C secr)' Como g : 0 es tarnbiérr solucién de la ecuación dada y ella no se puede otrtener a partir 'x la últirna explesión pnra algún valor de C. se dice que es tna saht,r:'ión s'ing'ular. 3. Elncontrar todas 1as soluciorres de la ecuación diferencial * : y + y'. ds Solución: En este caso, tenemos uila cruación de Bernoulli con n : 3. Haciendo el cambio i¿ variable u * rJl-- 3 : U_2 , se obtiene ia ecuación diferencial (satisfecha por u ) ff + Zr, : -: Esta es una ecuacién lineal y un factor integrani,e es p(r) : expil 2dr) -- a'2". La soluciól generai es dada por -e2" + C n2t 1 :lte -I. e'" 1.) j I
Ecuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y RiccatiEcuacion de Bernoulli y Riccati
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C AP i7: TJ L C 1 . E C U ACI O¡T¿TS DIFE]Itr¡üCiA¿ES OEDI¡\TARI.L:
Resolr.er Ia ecuacién diferenciai ,t;' : y -l *2',,J2..,,! .,
Solución: La ecuaciótt '!¡' :'il*r2y2, se ¡ruede cscribir ccrru, t'¡ -: - 12. Hacieurlo; : l?l' lJ ',
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2. Resolver la ecuación de Bernorüi dad'a por 3ir - 23tari r':Z',fr)'
Solucién: Enestecaso,p(r) : -2tan r. q(:i)-.2 y n:f,. Laecuación yt-Zytanr:2.,fo/
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sigue que y : 22, luego g' : 22zt ,cou io qui: 1a ecuación dada se convierte en z'--(tartr)z : --
y como , -- grl2 , se ct;nchrSre que ia s,¿iución generai de la, ccuación propuesta es
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Como g : 0 es tarnbiérr solucién de la ecuación dada y ella no se puede otrtener a partir 'xla últirna explesión pnra algún valor de C. se dice que es tna saht,r:'ión s'ing'ular.
3. Elncontrar todas 1as soluciorres de la ecuación diferencial * : y + y'.ds
Solución: En este caso, tenemos uila cruación de Bernoulli con n : 3. Haciendo el cambio i¿
variable u * rJl-- 3 : U_2 , se obtiene ia ecuación diferencial (satisfecha por u ) ff + Zr, : -:Esta es una ecuacién lineal y un factor integrani,e es p(r) : expil 2dr) -- a'2". La soluciól
generai es dada por
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