Necesitamos despejar el valor de X de la ecuación, donde el valor de Y es igual a 90. La ecuación general es: aX 3 +bX 2 +cX +d=0 j= b a k= c a l= d a Z 2 = −Z 1 2 + √ ( Z 1 2 ) 2 + q Z 1 Z 1 = [ −q 2 + √ q 2 4 + p 3 27 ] 1 3 + [ −q 2 − √ q 2 4 + p 3 27 ] 1 3 Z 2 = −Z 1 2 + √ ( Z 1 2 ) 2 + q Z 1 Z 3 = −Z 1 2 − √ ( Z 1 2 ) 2 + q Z 1 { j= b a k= c a l= d a { p= −j 2 3 +k q= 2 j 3 27 − kj 3
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Transcript
Necesitamos despejar el valor de X de la ecuación, donde el valor de Y es igual a 90.
La ecuación general es:
a X 3+b X2+cX+d=0
j=ba
k= ca
l=da
Z2 =−Z12
+√(Z12 )2
+ qZ1
Z3 =−Z12
−√(Z12 )2
+ qZ1
Los cálculos están hechos en Excel archivo cubica1
Z1=[−q2 +√ q24 + p3
27 ]13 +[−q2 −√ q24 + p
3
27 ]13
Z2 =−Z12
+√(Z12 )2
+ qZ1
Z3 =−Z12
−√(Z12 )2
+ qZ1
{ j=ba
k= ca
l=da
{ p=− j2
3+k
q=2 j3
27−kj3
Ecuación Cubica
La ecuación cúbica o también conocida como la ecuación de tercer grado es
aquella ecuación que obedece a un polinomio de tercer grado de la forma ax3 +
bx2 + cx +d igual a cero.
Donde el coeficiente “a” es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0
se obtiene unaecuación cuadrática o de grado dos)
Su solución se debe al parecer al matemático italiano Niccolo Fontano Tartaglia
pero muchos afirman que este realmente copió el método de un alumno del
profesor Scipione del Ferro quien nunca publicó nada al respecto.
La historia parece castigar a Tartaglia ya que fue Gerolamo Cardano, después de
engañarlo, el que se encargaría de escribir el método de solución en su famoso
libro "Ars Magna".
Método de solución de la ecuación cúbica
Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨
Reescribiendo la ecuación se tiene forma canónica
Donde y por último
A continuación se hace la sustitución para eliminar el término x2 de
la ecuación
Que simplificando equivale a que también
puede escribirse como
(Ecuación cúbica reducida)
Donde y
Ahora sea en la ecuación reducida
La última ecuación se hace cero si
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Cuyas soluciones son
Sustituyendo ambas soluciones en * se obtiene
Cuyo valor nos sirve para encontrar x dado que
Pero de esta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la
ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones (lo cual se garantiza
gracias al teorema fundamental del álgebra) entre reales y complejas.
Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación
cúbica reducida por
Z - Z1
Siendo
La división es exacta ya que z1 es solución de Z3 + pz + q = 0
Dividiendo se tiene
Por tanto se tiene . Solo nos interesa
el Segundo factor
ya que del primero sabemos que si z = z1 la ecuación se hace cero.
es una ecuación de segundo grado con
soluciones
En conclusión las tres soluciones son
Nuevamente recordando que x = z – j/3
La raíz cuadrada que contiene a nos ayuda a determinar cuántas
soluciones reales o complejas posee la ecuación
Si entonces la ecuación posee una solución real y dos complejas
Si las tres raíces son reales. Donde al menos 2 son iguales.
Si Las tres raíces son reales.
Ejemplos
Primer ejemplo: 2x3+5x2+4x+1 = 0
Se procede por identificar los términos a=2, b=5, c=4 y d=1
Luego se calculan j, k y l que son los que nos permiten encontrar p y q
j = b/a = 5/2, j = 2.5
k = c/a = 4/2, k = 2
l = d/a = 1/2, l = 0.5
,luego ; p = -1/12
, luego ; q = -1/108
Se procede con el cálculo de Z1,Z2 y Z3
Como x = z – j/3 tenemos que sustituir cada una de las zetas encontradas para
encontrar las raíces de la ecuación
x1 = z1 – j/3; x1 = 1/3 – 2.5/3, x1 = - 1/2
x2 = z2 – j/3; x2 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1
x3 = z3– j/3; x3 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1
Tenemos una ecuación cúbica con tres soluciones reales donde dos de ellas son
iguales. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en
particular
Segundo ejemplo: x3 + 2x2 + x + 2 = 0
Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c=1 y d=2
Luego se calculan j, k y l para encontrar p y q
j = b/a = 2/1, j = 2
k = c/a = 1/1, k =1
l = d/a = 2/1, l = 2
,luego ; p = -1/3
, luego ; q = 52/27
Se procede con el cálculo de Z1, Z2 y Z3
x = z – j/3 Se debe sustituir cada una de las zetas encontradas para encontrar las
raíces de la ecuación
x1 = z1 – j/3; x1 = -4/3 – 2/3, x1 = - 2
x2 = z2 – j/3; x2 = 2/3 + i – 2/3, x1 = i
x3 = z3– j/3; x3 =2/3 – i – 2/3, x1 = - i
Esta es una ecuación cúbica con una sola solución real dos imaginarias y dos
complejas conjugadas. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en
particular
Tercer ejemplo: x3 + 2x2 - x - 2 = 0
Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c= -1 y d= -2
A continuación se calculan j, k y l para encontrar p y q
j = b/a = 2/1, j = 2
k = c/a = - 1/1, k = - 1
l = d/a = - 2/1, l = - 2
,luego ; p = -7/3
, luego ; q = -20/27
Como (ya que obtuvimos -1/3) Las tres raíces son reales. El
problema para continuar resolviendo este ejemplo es que debemos calcular las
raíces cúbicas de dos cantidades complejas. Es por eso que debemos encontrar
una fórmula alternativa para este caso.
Caso Irreducible de la Ecuación Cúbica
Si se reescribe como
Por la fórmula de Moivre se sabe que
Sumando ambas igualdades se obtiene
Pero (r es el argumento del número complejo que
equivale a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte
imaginaria)
Por tanto
Se deduce
Para encontrar el ángulo se procede con la
igualdad
Continuando con el ejemplo 3
Encontremos primero el ángulo
Luego los valores de las zetas
x1 = z1 – j/3; x1 = 5/3 – 2/3, x1 = 1
x2 = z2 – j/3; x2 = -4/3 – 2/3, x1 = -2
x3 = z3 – j/3; x3 = -1/3 – 2/3, x1 = -1
Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación de tercer grado
Estas propiedades pueden ser comprobadas por el lector para los tres ejemplos
que se desarrollaron.
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