Echtzeitfähige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkörperdynamik 7. Workshop für Deskriptorsysteme, März 2005, Paderborn Bernhard Burgermeister 1 , Martin Arnold 1 , Benjamin Esterl 2 1 {bernhard.burgermeister,martin.arnold}@mathematik.uni-halle.de Martin–Luther–Universit ¨ at Halle–Wittenberg, FB Mathematik und Informatik, 06099 Halle (Saale) 2 [email protected]TESIS DYNAware Technische Simulation Dynamischer Systeme GmbH, 81379 M¨ unchen 7. Workshop f¨ ur Deskriptorsysteme, Echtzeitf ¨ ahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrk ¨ orperdynamik – p. 1/23
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7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 11/23
Test Baumgarte-VerfahrenPSfrag replacements
Fehler Lage Kreisbahn
α × hβ × h2
log10‖g
(q)‖
0 0.5 1 1.5 2
01
23
4
-4
-2
0
PSfrag replacements
Driftverhalten Kreisbahn
α × hβ×
h2
0 0.5 1 1.5 20
0.51
1.52
2.53
3.54
4.5
11.5
22.5
33.5
4
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 12/23
Stabilisierung durch Projektion
Gesucht: qn+1 mit
g(qn+1) = 0
distM (qn+1, qn+1) → min. (Lubich)
Notwendige Bedingungen:
M(qn+1)(qn+1 − qn+1) + GT (qn+1)µ = 0
g(qn+1) = 0
Lösung durch einen Schritt eines vereinfachten Newton-Verfahrens.
Projektion der Geschwindigkeit durch Lösen eines LGS.
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 13/23
Halbexplizites Eulerverfahren
Berechne λn aus der Bedingung
0 = G(qn+1)un+1 = G(qn+1)un + hG(qn+1)∆un
(M − hJu)∆un = f − GT λn + hfqun
(Index-2-Verfahren)
qn+1 = qn + hun,(
M(qn) − hJu GT (qn)
G(qn+1) 0
)(
∆un
λn
)
=
(
f(qn, un) + hfqun
− 1
hG(qn+1)un
)
un+1 = un + h∆un
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 14/23
Linearisierte GGL-Formulierung
Gear-Gupta-Leimkuhler-Formulierung der MKS-Bewegungsgleichungen:
M(q)q = M(q)u − GT (q)µ (1)
M(q)u = f(q, u) − GT (q)λ (2)
0 = g(q) (3)
0 = G(q)u (4)
Berechne qn+1 aus (1) und (3):
M(qn)(qn+1 − qn) = h(M(qn)un − GT (qn)µ)
0 = g(qn+1)
mit einem vereinfachten Newton-Schritt und dann un+1 aus (2) und (4)
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 15/23
Drift nach Projektion mit 1 Newtonschritt
Satz 1 (BBU 2003): Sei Un eine Umgebung der Lösung q(t) (t ∈ [tn, tn+1]) inder auch die numerische Lösung liegt, so gilt nach einem Newtonschritt zurProjektion der Lagebedingung
‖g(qn+1)‖ ≤ C2,n‖g(qn)‖2 + hC1,n‖g(qn)‖ + h3C0,n
mit Konstanten
C2,n ≥ maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(Pn(·), Pn(·))‖
C1,n ≥ maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(un, Pn(·))‖ + h maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(2An(ξ), Pn(·))‖
C0,n ≥ maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(un, An(ξ))‖ + h maxξ∈Un
‖gqq(ξ)(An(ξ), An(ξ))‖
und Pn := M−1GT (GM−1GT )−1|qn
An(ξ) := Pngqq(ξ)(un, un)
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 16/23
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 21/23
Zusammenfassung
I Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen können mit einerkonstanten Anzahl von Rechenoperationen pro Zeitschritt integriertwerden
I Zur Vermeidung des Drift-Effekts ist eine Stabilisierung notwendig
I Projektionsverfahren benötigen häufig nur einen Schritt derNewton-Iteration
I Vereinfachte Jacobimatrizen erlauben eine schnellere und trotzdemstabile Integration mit dem linear-impliziten Eulerverfahren
I Offene Probleme. große Makroschritte. Fehlerschätzer und Extrapolation. Schaltfunktionen
7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 22/23
Literatur
Literatur[1] J. Baumgarte. Stabilization of constraints and integrals of motion in
dynamical systems. Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering, 1:1–16, 1972.
[2] B. Burgermeister. Echtzeitfähige Zeitintegration vondifferentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkörperdynamik. Master’sthesis, TU München, Zentrum Mathematik, 2003.
[3] E. Hairer and G. Wanner. Solving Ordinary Differential Equations. II. Stiffand Differential-Algebraic Problems. Springer-Verlag, Berlin HeidelbergNew York, 2nd edition, 1996.