PORF. MANUEL F. CORREA MOROCHO MAYO DEL 2012 PRESIN DE TIERRA EN REPOSO ohoK''oo=Peso especifico del suelo = t f = c + o tan| oh = Kooo z A B y o oo o ='h ho o ='Comooo= z,tenemos oh = Ko (z) Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presin de tierra en reposo se estima por larelacin emprica (Jaki,1944) Ko = 1 sen |
Donde | = ngulo de friccin efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados, Massarsch (1979) sugiri la siguiente ecuacin para Ko : ((
+ =100(%)42 . 0 44 . 0IPKoDonde OCR = tasa de preconsolidacin. La tasa de preconsolidacin se define como OCR =presin de preconsolidacin presinde sobrecarga efectiva presente La magnitud de Ko en la mayora de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valores mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas. Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presin de tierra en reposo se aproxima por( ) ( )OCR K Kda econsolida normalment o dada preconsoli o=PRESIN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECO H Peso especfico del suelo = Ko H 221H K Po o =3HH H1 H2 Ko( H1 + H2) Peso especfico saturado del suelo = sat Peso especfico del suelo = wH2 KoH1 Nivel de Aguafretica -(a) (b) F E JK A B I G z + C PRESIN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTESUMERGIDO = H1 H2 KoH1 Distribucin de la presin de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido Ko( H1 + H2) + wH2 (c) Presin efectiva vertical = ) (1 1H z Ho ' + = ' o| | ) (1 1H z H K Ko o o h ' + = ' = ' o o) (1H z uw = uh h+'=o o| | ) ( ) (1 1 1H z H z H Kw o + '+ = 22 2 121) (2121H K H H K H K Pw o o o o +'+ + =| |2222 2 121221H H H H H K Pw o o +'+ + =o Presin efectiva horizontal =Presin total horizontal =TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA Peso especifico del suelo = t f = c + o tan| oh z A B A B (a) AL oO Presin activa de tierra de Rankine Esfuerzo normal (b) Presin activa de tierra de Rankine c A | | Esfuerzo normal D D O C o'O Koo'O o'a a b TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA OC AOCDACCDsen+= = |Pero CD = radio del crculo de falla = 2a oo o''AO = c cot| y 2a oOCo o ' + '=Por lo que 2cot2a oa ocseno o|o o|'+'+'+'=2 2cosa o a osen co o|o o|' '=' + '+o o ||||o osencsenseno a++' = '1cos211TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA Pero o'o = presin de sobrecarga efectiva vertical = z |.|
\| =+245 tan112|||senseny |.|
\| =+ 245 tan1cos |||senSustituyendo la expresin anterior en la ecuacin obtenemos |.|
\| |.|
\| = '245 tan 2245 tan2| | o c zaLa Variacin de o'a con la profundidad. Para suelos sin cohesin, c = 0 y |.|
\| ' = '245 tan2|o oo a|.|
\| =''=245 tan2|oooaaKLa razn de o'a respecto a o'o se llama coeficiente de presin de tierra activa de Rankine, Ka,o aK c 2 c 2tan)245 (|+z (c) a aK c zK 2 (d) 245|+245|+TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVA ESTADO PASIVO DE RANKINE Peso especifico del suelo = t f = c + o tan| oh z A B A B (a) AL oO Presin pasiva de tierra de Rankine Esfuerzo Normal Esfuerzo Normal o'o | | O Presin pasiva de tierra de Rankine C D D' A (b) o'p b Koo'o a |.|
\|+ +|.|
\|+'='245 tan 2245 tan2| |o o co p|.|
\|+ +|.|
\|+ =245 tan 2245 tan2| | c zLa derivacin es similar a la del estado activo de Rankinee |.|
\|+'='245 tan2|o oo po |.|
\|+ = =''245 tan2|oopopKTEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRAPASIVA z pK c 2 pzK (c) (d) 245|245|TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO Muro de retencin en voladizo 245|+245|+z C A H A B (a) La ALa 245|H A ALp A Lp C 245|245|Rotacin de un muro sin friccin respecto al fondo (b) Presin activa o'a Presin en reposo Variacin de la magnitud de la presin lateral de tierra con la inclinacin del muro Presin pasiva o'pPresin de tierra Inclinacin del muro ALa H Inclinacin del muro ALP H DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIN DE LA PRESIN LATERAL DE TIERRA CONTRAMUROS DE RETENCIN RELLENO. SUELO SIN COHESIN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO z Ka a a o o ='=(Nota: c = 0) H Ka a o =221H K Pa a =Caso Activo Cua de falla H 245|+ | c = 0 3H(a) H KaH Pa oa=o'a Cua de falla H 245| | c = 0 (b) KpH 3HPp H op=o'p Caso Pasivo H Kp p p o o ='=221H K Pp p =RELLENO. SUELO SIN COHESIN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDO SOBRECARGA Caso Activo o a aK o o'='q Ka a a='=o oy ( )1H qo o o o + ='=( )1H q Ka a a o o + ='=y Donde o'o y o'a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0 qo o='= o oA la profundidad z = H1, Donde '= sat - w. La Variacin de o'a con la profundidad se muestra . La presin lateral sobre le muro de la presin de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumentalinealmente con la profundidad. En z = H, 2H uw =El diagrama de la presin lateral total oa, es la suma de los diagramas de presin mostrados. La Fuerza Activa total por longitud unitaria del muro es el rea del diagrama de la presin total. Entonces, ( )22 2 1212121H K H H K H k qH K Pw a a a a a + ' + + + =( )2 1H H qo o'+ + ='y ( )2 1H H q Ka a o'+ + ='A la profundidad z = H, H1 H2 H 45+ | 2 Z Nivel del Agua Fretica Cua defalla Sobrecarga = q sat | (a) + H1 H2 ( )2 1H H q Ka ' + +q K H Ka a+1ao '= 2Hwuoa ( )1H q Ka + 2 2H H Kw a + '(b)(c) (d) Distribucin de la presin activa de tierra de Rankine contra un muro de retencin con relleno De un suelo sin cohesin parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga qKa Caso Pasivo o p pp Ko o ' = '( )22 2 1212121H K H H K H K qH K Pw p p p p p + ' + + + =RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL Caso Activo a z a aK c K 2 = ' o0 2 = a o aK c z K aoKcz2=o Para la condicin no drenada, esto es,| = 0, Ka = tan245= 1, y c = cu (cohesin no drenada) tenemos uocz2=Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensin en la interfaz suelo-muro hasta una Profundidad zo H1 H2 H 45 - | 2 Z Nivel del Agua Fretica Cua de falla Sobrecarga = q sat | (a) | + H1 H2 ( )2 1H H Kp ' +q K H Ka a+1po '= 2Hwuop ( )1H q Kp + 2 2H H Kw p + '(b)(c) (d) qKa pqKDistribucin de la presin pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retencin con relleno De un suelo sin cohesin parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga H 45+ | 2 Cua defalla (a) Z H KaDistribucin de la presin activa de tierra de Rankine contra un muro de retencin conrelleno de un suelo cohesivoaK c 2 (d) a aK c H K 2 H - = aK c 2zo H - zo oa (c)(b) La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del rea del diagrama de presin total cH K H K Pa a a2212 = Para la condicin | = 0 H c H Pu a2212 = ( )||.|
\| =aa a aKcH c K H K P2221222 221 ccH K H Ka a+ =Para el clculo de la fuerza activa total, es comn tomar en cuenta las grietas de tensin. Como no existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo despus del desarrollo degrietas de tensin, la distribucin de la presin activacontra el muro entre z = 2cl( \Ka) y , H esla nica considerada. En este caso Para la condicin | = 0, 222 221uu aCH c H P + =Caso Pasivo Muestra el mismo muro de retencin con relleno similar al considerado. La presin pasiva de Rankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuacin] c K z Kp p p2 + =' oEn z = 0, c Kp p2 = oY en z = H, c K H Kp p p2 + = oH 45 - | 2 Cua defalla (a) Z Distribucin de la presin activa de tierra de Rankine contra un muro de retencin con Relleno de un suelo cohesivo (b) op pK c 2 H KpLa fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el rea de los diagramas depresin como cH K H Kp Pp p2212+ = Para la condicin | = 0, Kp = 1 y H c H Pu p2212+ = EJEMPLO Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en lafigura, y determine tambin la posicin de la resultante SolucinPara determinarla fuerza neta, ya que c = 0, tenemos z K Ka o a a o o ='='3130 130 111= + =+=sensensensenKa||5 m = 15.7 KN/m3 | = 30c = 0 (a) 5 m 26.2kN/m2 (b) 65.5 KN/m2 1.67 m 1.67 m 5 m 235.5 kN/m2 (c) 588.8 kN/m El diagrama de la distribucin de presin se muestra Fuerza activa( )( ) 2 . 26 521=aPm kN/ 5 . 65 =La distribucin de la presin total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo del muro. Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que z K Kp o p p p o o o = ' = = '35 . 0 15 . 0 111=+=+=||sensenKpEn z = 0, o'p = 0; en z = 5m, o'p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2. La distribucin de la presin pasiva total el muro se muestra. ahora ( )( ) m kN Pp/ 8 . 588 5 . 235 521= =La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro. EJEMPLO 2 Si el muro de retencin mostrado no puede moverse, Cul ser la fuerza lateral por longitud unitaria del muro? Solucinsi el muro no puede moverse, el relleno ejercer una presin de tierra en reposo. Entonces( ) z K K h ho o o o o o = ' = = '| sen Ko =1o 5 . 0 30 1 = = sen KoY en z = 0, o'h = 0; en 5m, o'h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2 El diagrama de distribucin de presin total se muestra ( )( ) m kN Po/ 3 . 98 3 . 39 521= =EJEMPLO 3 Un muro de retencin que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condicin no drenada (| = 0)del relleno, determine los siguientes valores: a. La profundidad mxima de la grieta de tensin b. Pa antes de que ocurra la grieta de tensin c. Pa despus de que ocurra la grieta de tensin5 m 39.3 kN/m2 98.3 KN/m 1.67 m Arcilla blanda saturada = 15.7 kN/m3 | = 0 Cu = 17 kN/m2 6 m (a) 2.17m 3.83m 60.2 kN/m2 (b) 34 kN/m2 SolucinPara | = 0, Ka = tan245= 1c y c = cu. De la ecuacin, para la condicin no drenada, tenemos u ac z 2 = oEn z = 0, ( )( )2/ 34 17 2 2 m kN cu a = = = oEn z = 6m, ( )( ) ( )( )2/ 2 . 60 17 2 6 7 . 15 m kNa= = oLa variacin de oa con la profundidad se muestra a. De la ecuacin, la profundidad de la grieta de tensin es igual a( )( )mczuo17 . 27 . 1517 2 2= = =b. Antes de que ocurra la grieta de tensinH c H Pu a2212 = o ( )( ) ( )( ) m kN Pa/ 6 . 78 6 17 2 6 7 . 15212= =c. Despus de que ocurre la grieta de tensin, ( )( ) m kN Pa/ 3 . 115 2 . 60 17 . 2 621= =Nota: La Pa precedente tambin se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuacin EJEMPLO 4 Se muestra un muro de retencin sin friccin. a. Determine la fuerza activa Pa, despus de que ocurre la grieta de tensin. b. Cul es la fuerza pasiva, Pp? Solucin a. Dado | = 26, tenemos 39 . 026 126 111= + =+=sensensensenKa||De la ecuacina o a a aK c K 2 ' = = ' o o o153.6 kN/m2 51.2kN/m2 (c) 4 z = 2.96m 17.31kN/m2 (b) z=1.04m -6.09kN/m2 4m = 15kN/m3 | = 26c = 8kN/m2 (a) q = 10 kN/m2 En z = 0 ( )( ) ( )( )2/ 09 . 6 99 . 9 9 . 3 39 . 0 8 2 10 39 . 0 m kNa a = = = ='o oEn z = 4 m ( ) ( )( ) | | ( )() 99 . 9 3 . 27 39 . 0 8 2 15 4 10 39 . 0 = + = = 'a ao o2/ 31 . 17 m kN =De este diagrama vemos que z z =431 . 17 09 . 6o m z 04 . 1 =Despus deque ocurre la grieta de tensin( )( ) ( )( ) m kN z Pa/ 62 . 25 31 . 17 96 . 22131 . 17 421=|.|
\|= =Dado | = 26, tenemos 56 . 25616 . 04384 . 126 126 111= = +=+=sensensensenKp||De la ecuacin( )( ) ()2/ 2 . 51 6 . 25 6 . 25 8 56 . 2 2 10 56 . 2 m kNp p= + = + = = ' o oDe nuevo, en z = 4m, oo = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2 y ( )( ) ()2/ 8 . 204 8 56 . 2 2 70 56 . 2 m kNp p= + = ='o oEn z = 0, o'o = 10 Kn/m2 y c K Kp o p p p2 + ' = = ' o o oLa distribucin de op (=o'p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es ( )( ) ( )( ) m kN Pp/ 512 2 . 307 8 . 204 6 . 153 4214 2 . 51 = + = + =EJEMPLO Se muestra un muro de retencin. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitariaDe muro. Determine tambin la posicin de la resultante Solucindado c = 0, sabemos que o'a = Kao'o. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente depresin activa de tierra de Rankine es()3130 130 11= + = =sensenK Ka a1.2m Arena1 = 16.5kN/m3, |1 = 30, c1= 0 Nivel agua fretica6m (a) Arena2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3 |2= 35C2 = 0 Muro sin friccin Para el estrato inferior, ( )271 . 05736 . 14264 . 035 135 12= = + = =sensenK Ka aEn z = 0, oo = o'o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior),oo = o'o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2 ( )( )21/ 6 . 6 8 . 1931m kN Ko a a a=|.|
\|= ' = ' = o o oDe nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior)oo = o'o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y ( )( )( )22/ 37 . 5 8 . 19 271 . 0 m kN Ko a a a= = ' ' = o o oEn z = 6 m,( )( ) ( )( )2/ 87 . 64 81 . 9 2 . 19 8 . 4 5 . 16 2 . 1 m kNo= + ' oy ( )( )( )22/ 58 . 17 87 . 64 271 . 0 m kN Ko a a= ='='o oLa variacin de o'a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro soncomo sigue En z = 0, u = 0 En z = 1.2m, u = 0 En z = 6m, u = (4.8)(w) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2 (b)(c) + 5.37 1.2 0 6 17.5847.1 6 1.2 0 o'a (kN/m2) u (kN/m2) z (m) z (m) 6.6 1.2 6 1.8m 64.685.37 6.6 oa (kN/m2) 0 z (m) = (d) Pa 1 2 3 La variacin de u con la profundidad se muestra, y la variacin de o ( presin activa total) entonces ( )( ) ( )( ) ( )( ) 37 . 5 68 . 64 8 . 42137 . 5 8 . 4 2 . 1 6 . 621|.|
\|+ +|.|
\|=aPm kN/ 08 . 172 34 . 142 78 . 25 96 . 3 = + + =La posicin de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. As entonces ( )( ) ( )m z 8 . 108 . 17238 . 434 . 142 4 . 2 78 . 2532 . 18 . 4 96 . 3=|.|
\|+ +|.|
\|+=MURO DE RETENCIN CON FRICCIN 3H(a) Caso activo (+o) C B H A' DA (b) 245|+245|++o Pa 3H(c) Caso activo (-o) C B H A' D A 245|+245|+-o Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla. (e) 3H(d) Caso pasivo (+o) C B H A' DA 245|245|+o Pp 3H(f) Caso pasivo (-o) C B H A 245|-o 245|A' A' TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB Caso Activo u H W 90+ u- | 90 - u + o o Pa | | - o D A C | F B o (a) Presin activa de Coulomb: (a) cua de falla de prueba; (b) polgono de fuerzas 90 + u + o - | + | F | - | W 90 - u - o Pa (b) La ley de los senos, tenemos ( ) ( ) | | | | o u =+ + + senPsenWa90o ( )( )WsensenPa| | o u| |+ + +=90La ecuacin precedente se puede escribir en la forma ( ) ( ) ( )( ) ( )((
+ + + =| | o u o | u| | o u | u90 coscos cos2122sen sensenH PaDonde = peso especifico del relleno. Los valores de , H, u, o, |, y o son constantes, y es la unica Variable. Para determinar el valor crtico de | para Pa, mxima, tenemos 0 =| ddPaDespus de resolver la Ec., cuando la relacin de | se sustituye en la Ec., obtenemos la presin activa de tierra de Coulomb como 221H K Pa a =Donde Ka es el coeficiente de la presin activa de tierra Coulomb, dado por ( )( )( ) ( )( ) ( )222cos cos1 cos coscos((
+ ++ +=o u | oo | | ou o uu |sen senKaCaso Pasivo 221H K Pp p =Donde Kp = coeficiente de presin de tierra pasiva para caso de Coulomb, o ( )( )( ) ( )( ) ( )222cos cos1 cos coscos((
+ + +=o u | oo | | ou o uu |sen senKpu H W 90 + u + | 90 - u + o | A C B o (a) Pp o | F F [180 - (90 - u + o) (| + |)] Pp 90 - u + o | + | W (b) Presin pasiva de coulomb: (a) Cua de falla de prueba (b) Polgono de fuerzas ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIN 221H K Pa a =Donde |.|
\| =+=245 tan112|||sensenKaH Wc B 3Ho Pa (coulomb) A (a) H Wc B A (o) Wc 3HWs Pa (Rankine) C1 KaH H Wc 3Ho Pa (coulomb) A (o) o (b) H Wc B A Wc 3H'Ws Pa (Rankine) C2 H' o o Anlisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retencin de gravedad con relleno granular o B El valor de Pa(Rankine) se da por la relacin 221H K Pa a'= Donde 2BC H= 'y | o o| o oo2 22 2cos cos coscos cos coscos + =245 ( tan112||| =+=sensenKaDonde o = talud de superficie del terreno
