-
Testarea ipotezelor statistice
-
Etapele verificrii ipotezelor statisticeIdentificarea ipotezelor (H0,H1) ce trebuie testateAlegerea testului statisticSpecificarea nivelului de semnificaieStabilirea regiunii critice RcStabilirea unor presupuneri referitoare la populaia ce va fi eantionat (ex: normalitate)Calcularea valorii testului pe baza datelor din eantionUtilizarea valorii testului pentru a calcula p-value si respingerea H0 dac p-valueLuarea deciziei statistice si aplicarea ei
-
I. Teste pentru media populaiei: dispersia 2 este cunoscutTestul zSe formuleaz ipotezaSe extrage un eantion aleator din populaie i se calculeaz mediaSe calculeaz valoarea statisticii z:
Se stabilete pragul de semnificaie (de regul 0,05)Se compar valoarea calculat z cu o valoare tabelat z (valoare critic) i se ia decizia de acceptare/respingere
-
TESTIpoteza nul H 0 Ipoteza alternativ H A Deciziabilateralm = m0 m m0 unilateral dreaptam m0 m > m0 unilateral stngam m0 m < m0
-
Regiunea critic a) b) c)Regiunea critic pentru: a) test bilateral; b) test unilateral dreapta; c) test unilateral stnga
-
ExempluSe tie c vnzrile medii zilnice ale unui magazin alimentar sunt de 8000 lei, cu o abatere standard de 1200 lei.Magazinul organizeaz mai multe campanii publicitare pentru creterea vnzrilor.Pentru a vedea dac a crescut volumul vnzrilor ca efect al publicitii, se nregistreaz vnzrile zilnice pe o perioad de 64 zile i se obine un volum mediu zilnic de 8250 lei.Se poate afirma, folosind o probabilitate de 95%, c volumul mediu al vnzrilor este semnificativ mai mare n urma campaniei publicitare?
-
Soluie-testul zVariabila de interes: X volumul mediu al vnzrilor presupunem o distribuie normal Dispersia populaiei este cunoscut, deci aplicm testul z.
Ipotezele (test unilateral dreapta):H0: 0H1: > 0
Pragul de semnificaie: Valoarea critic: z(0,05)=1,65
-
Valoarea testului:
Verificarea: z=1,67 > z(0,05)= 1,65 => respingem H0 => acceptam H1 : putem afirma cu probabilitatea de 95% c volumul mediu al vnzrilor n urma capaniei publicitare este semnificativ mai mare dect volumul mediu nainte de efectuarea campaniei publicitare.
-
RecomandriUn volum mare al eantionului (n30) este adecvat cnd utilizm procedura de testare utilizat n aceast seciune (testul z)Dac n< 30 trebuie avut n vedere distribuia populaiei eantionate i anume:Dac populaia e normal distribuit, procedura de testare e cea pe care am descris-o i poate fi utilizat ptr orice volum al eantionuluiDac populaia nu e normal distribuit, dar e aproape simetric, pentru un volum mic al eantionului, procedura de testare poate furniza rezultate acceptabile.
-
II. Teste pentru media populaiei () : dispersia 2 este necunoscutTestul tSe estimeaz dispersia populaiei cu dispersia de eantion:
Se aplic testul t. Se calculeaz valoarea statisticii:
Valorile critice se obtin din tabelele repartiiei t (Student), n funcie de nivelul de semnificaie ales, cu n-1 grade de libertate
-
Regiunea critic-testul t a) b) c)Regiunea critic pentru a) test bilateral; b) test unilateral dreapta; c) test unilateral stnga
-
Exemplul 1 testul tUn productor de bere afirm c volumul unei cutii este de 0.33 litri. Inspectorii de calitate vor s verifice acest lucru i selecteaz aleator un eantion de 16 cutii.n urma prelucrrii datelor, s-au obinut urmtoarele rezultate:
Confirm datele afirmaia productorului? Folosii un nivel de ncredere de 95%.
-
Variabila de interes: X volumul unei cutii de bere presupunem o distribuie normal Dispersia populaiei este necunoscut - va trebui estimat:
Volumul mediu ipotetic: Volumul mediu din eantion:
Pragul de semnificaie:
-
Ipotezele:
Valoarea critic:
Valoarea testului:
Verificarea:
Decizia : cu probabilitatea 95% nu sunt suficiente motive pentru a respinge ipoteza nul.
-
Ex. 2. Conducerea unei companii apeleaz la 5 experi pentru a previziona profitul n anul curent. Valorile previzionate: 2,60; 3,32; 1,80; 3,43; 2,00 (mld lei, preurile anului anterior). tiind c profitul companiei n anul anterior a fost de 2,01 mld. lei, media previziunilor experilor este semnificativ mai mare dect profitul anului anterior (pentru = 0,05)?
Rezolvare. Media previziunilor experilor este mld. lei, cu dispersia:
i abaterea medie ptratic:
-
Testarea ipotezei statistice:H0: = 2,01,H1: > 2,01 (test unilateral dreapta).
t,n-1 = t0,05;4 = 2,132 => regiunea critic: t > t,n-1 Cum t=1,874 < t0,05;4=2,132, nu putem respinge ipoteza c media profitului previzionat de cei 5 experi pentru anul curent este mai mic dect profitul anului trecut, de 2,01 mld. lei.
-
RecomandriAplicabilitatea procedurii de testare n cazul n care 2 e necunoscut, depinde de distribuia populaiei eantionate i de mrimea eantionului.Cnd populaia e normal distribuit, procedura de testare furnizeaz acelai rezultat pentru orice n.Cnd populaia nu e normal distribuit, procedura de testare furnizeaz rezultate aproximative:Pentru n30 rezultatele furnizate sunt bune n majoritatea cazurilorDac n< 30 i populaia e aproximativ normal distribuit, rezultatele furnizate sunt acceptabileDac populaia prezint asimetrie puternic, atunci este recomandat utilizarea eantioanelor mai mari de 50 uniti.
-
Testarea ipotezei privind proporia populaieiPentru variabile alternative (variabile cu 2 variante: admis/respins, DA/NU):media p n colectivitatea general (proporia succeselor) este raportul dintre nr. cazurilor afirmative (cele care ndeplinesc condiia cerut) i numrul total de cazuri;dispersia n colectivitatea general e p(1-p), iar abaterea medie ptratic este media pentru eantion e notat cu w, dispersia w(1-w), abaterea medie ptratic
Pentru testarea ipotezelor statistice privind proporia este necesar ca np5 i n(1-p)5 numai n acest caz distribuia proporiei este aproximativ normal distribuit.
-
Ipoteza nul indic faptul c proporia este egal cu o valoare specificat n timp ce ipoteza alternativ rspunde la una dintre cele trei ntrebri:
dac proporia este diferit de valoarea specificat (test bilateral): dac proporia este mai mare dect valoarea specificat (test unilateral dreapta):
dac proporia este mai mic dect valoarea specificat (test unilateral stnga): .
-
Testul statistic pentru proporia p este:
Regiunea critic (Rc) este dat de:
sau pentru testul bilateral; pentru testul unilateral dreapta; pentru testul unilateral stnga.
-
Ex. Managerul unui lan de magazine consider (n urma unei analize financiare) c pentru un nou produs comercializarea este profitabil dac procentul cumprtorilor care ar dori s achiziioneze produsul este mai mare de 12%. El selecteaz 400 de cumprtori poteniali i afl c 52 dintre acetia vor achiziiona produsul. Pentru o probabilitate de 99% sunt suficiente dovezi care s conving managerul s comercializeze produsul?RezolvareIpotezele sunt: (test unilateral dreapta). Testul statistic este:
Cum i z= 1,25 < 2,33,rezult c nu ne aflm n regiunea critic (Rc), deci nu avem suficiente dovezi s respingem ipoteza nul (procentul cumprtorilor 12%) recomandarea este s nu comercializeze produsul.
