-
154
III.8.BR AKIMIN
MANYETK ALANI
III.8.0l. MANYETK ALAN VE BOT-SAVART YASASI
Hareket halindeki bir elektrik yk etrafndaki uzayda bir manyetik
alan oluturur. Bir manyetik alan
iinde hareket eden yklerede manyetik kuvvet etkir. Bu blmde bir
iletken iinde hareket eden
yklerin daha ak olarak yklerin hareketi sonunda oluan elektrik
akmnn iletken etrafnda
oluturaca manyetik alan incelenecektir. Akmlar tarafndan
oluturulan manyetik alanlara ait ilk
denel gzlemler Oersted tarafndan l820 ylnda yaplmtr. Oersted,
iinden akm geen bir telin
altnda bulunan bir pusulann, uzun ekseni tele dik olacak ekilde
bir duruma geldiini gzlemitir.
Daha sonra Biot , Savart ve Ampere tarafndan yaplan deneyler
sonunda, iinden akm geen bir
iletkenin, etrafndaki uzayn bir noktasndaki manyetik alan
deerini veren bantlar elde edilmitir.
Genel olarak bir akmn, etrafndaki uzayn herhangi bir noktasnda
oluturduu manyetik alan iddeti,
akmn ynne ve dorultusuna, iddetine, akmn geometrik ekline ( akmn
getii
iletkenin ekli, dairesel selonoid,doru biiminde, vb olmas ) ve
akm eviren ortamn cinsine
baldr.
zerinden I akm geen bir devrenin elemanter bir dl akm elemann
dnelim. Bu akm
elemanndan r uzaklkta ve akm eleman ile as yapan bir P
noktasndaki dB manyetik alan iddeti vektrel olarak (rb birim
vektrdr. . Daha ak olarak r = rb r dir .)
-
155
bdlxrdB 2rIk= (01.a)
veya byklk olarak
dB kIdI
r= sin2 (01.b)
bantsyla verilmektedir ( ekil 01 ).
ekil 01
Bu bant ilk kez 1820 ylnda Biot tarafndan teklif edilmitir. P
noktasnda akm elemannca
oluturulan dB alannn dorultusu ve yn ekil 0l'de gsterilmitir. dB
vektr, dl 'nin eksenine dik
bir dzlem iinde bulunur ve dl ile P 'yi dl ile birletiren
izginin belirttii dzleme diktir. Bunun
sonucu olarak, manyetik alan izgileri, akm elemannn eksenine dik
dzlemde bulunan dairelerdir.
Bu alan izgilerinin ynleri, akm elemann, ba parmak akmn ynn
gsterecek
ekilde sa el iine alarak kavramakla bulunur. Bu durumda kavrayan
parmaklar manyetik alan
ynn gsterir.
(0l.b) bantsna gre, bir akm elemannn oluturduu manyetik alan,
elemann ekseni zerindeki
btn noktalarda sfrdr nk bu noktalarda Sin0 = 0 dr. Akm elemanna
dikey olan bir dzlem iindeki alanda Sin 90 = 1 olacandan maksimum
deerde olur.
SI birim sisteminde, I amper , dl m. ve dB Weber / m2 ( T )
olarak alnr. Bu sisteme gre k
sabitinin deeri,
-
156
k Wb= =
410 7 / .m A veya Tm/A ( 02.a )
veya Tm/A ( 02.b ) o Wb m A= 4 10 7 / .
dir. Buna gre O serbest uzayn geirgenlii adyla anlan bir
sabittir. Sonlu uzunlukta bir telin ele alnan uzayn bir noktasnda
oluturduu manyetik alann iddeti, devreyi kuran btn akm
elemanlarnn dB alanlarnn katklarnn toplamna eit olacandan (01.a)
eitliinin integrali
alnarak,
bdlxr == 2rI4BdB (03)
eklinde elde edilir (rb birim vektr olmak zere , r yerdeitirme
vektrnn r = rb r olduuna
dikkat ediniz. ).
Manyetizmadaki Biot-Savart yasasyla elektrostatiin Coulomb yasas
arasnda benzerlik vardr.
rnein Idl akm eleman bir manyetik alan oluturur, buna karlk bir
q nokta yk elektrik alan
oluturur. Nokta ykn elektrik alan gibi, manyetik alann bykl de
akm elemanndan olan
uzakln karesi ile ters orantl olarak deiir. Bu iki alann ynleri
oldukca farkdr. Nokta ykn
oluturduu elektrik alan ykten kan dorular boyuncadr. pozitif
nokta yk durumunda E nokta
ykten alann hesapland noktaya ynelir. Fakat bir akm elemannn
oluturduu manyetik alan,
hem akm elemanna hem de yarap vektrne diktir. Bu yzden iletken,
kat
dzleminde bulunuyorsa dB, P noktasnda kat dzleminden da doru, P
noktasnda ie doru
ynelmitir (ekil 02).
P
r
I r
dlP
ekil 02
-
157
III.8. 02. BELRL UZUNLUKTA VE OK UZUN
DORUSAL LETKENN MANYETK ALANI
Belli bir uzunlukta dorusal bir akmn kendisinden a uzaklktaki
bir A noktasnda oluturduu
manyetik alan aadaki gibi hesaplanr.letkenin ularnda I ile r
arasndaki alar l ve 2 olsun. Her akm elemannn A 'da oluturaca dB
alan sa el avu ii kuralna gre ekil dzlemine dik ve ie
doru ynl olduklarndan bunlar skaler olarak toplanabilirler.A
noktas ile iletken arasndaki en ksa
uzaklk a nn iletkeni kestii noktay balang olarak alrsak,(03)
bantsna gre (ekil 05),
a
I
2
r1
L = +L2
L = -L1
r1
ekil 03
Br
dlL
L=
+ 4 2
sin
ve deiken olarak as alnrsa,
r a atg
a d= = =sin sin l dl 2
olacandan
Ba
a da
d= =
4 42 2 21
2
1
2 / sin
.sin
sin sin .
-
158
(B )a
=
4 1
cos cos 2 (04)
elde edilir.
Tel sonsuz uzun olarak alnrsa = 0, = 180o olacandan (04) bants 1
2
BI
an= 4
2 ( 0 5 )
haline dnr. (05) bants kullanlarak dorusal iletkenlerden oluan
bir elektrik devresinin
manyetik alann hesaplayabiliriz.
III 8. 03. AMPER'N DEVRESEL YASASI
Hareket halindeki ykler yada akmlar manyetik alanlar
olutururlar. Akm tayan iletken yksek
simetriye sahipse ( silindir, selonoid, toroid gibi ) manyetik
alan Amper yasas ile hesaplanr.
Biot - Savart yasasnn bir integral ekli olan Ampare devresel
yasas,manyetik alan idsdetinin
uzakla bal olarak deimedii blgelerde B nin hesaplanmas iin
kullanlr. Bu yasa
B l.d I= (06)
eklindedir. Buradaki izgi integrali, iletim akmnn iinden getii
blgeyi evreleyen herhangi
kapal yol zerinden alnr. Bantnn sol taraf bir skalar arpm
olduundan (06) eitlii
B dlcos = I (07)
olarak verilebilir. Son bantda B cos , B'nin dl zerindeki
bileenidir. Bantdaki izgisel integral, eri boyunca keyfi olarak
seilen pozitif dolanma ynnde ilerledike B cos dl deerlerinin
toplanacan anlatmaktadr. Genelde saat ibrelerinin tersi dolanm yn
seilmektedir. Bantnn sa
tarafndaki I ise, kapal erinin iinden geen akmlarn cebirsel
toplamn yani net akm
gstermektedir.
-
159
Buna rnek olarak ekil 04.a daki durum iin I = I1 - I 2
olacaktr.Bu uygulamada B nin saat
ibrelerinin ters dolanm iin, ekil 04.a . dzlemden da doru kan
akmlar pozitif ie doru
irenler negatif kabul edilmektedir. Buda sa el kuralna uygun
olmaktadr. ekil04.a daki I3 akm
kapal erinin dnda kaldndan net akmn hesaplanmasnda ele alnmaz
.
ekil 04.a. Sayfa dzlemine dik iletkenden geen ayr akma Ampere
yasasnn uygulanmas.
ekil 04.a. da verilen duruma Ampere yasasn uygularsak,
)II(dlCos.B 210 =
olduunu grrz.
Bu bantnn B 'nin bulunmasnda nasl kullanlacana dair ikinci bir
rnek verelim, zerinden
yukar doru I akm geen ok uzun dorusal bir iletkenden a
uzaklktaki bir noktadaki B 'nin
deerini hesaplyalm. ekil 04.b de bu sistemin simetri gerei alan
izgileri merkezleri tel zerinde
olan ve tele dik dairelerdir. Bu daireler daireler zerinde alnan
bir noktadaki , o noktraya teet B nin
yn sa el kural ile belirlenir.
.
B B
I
aa
aaB
ekil 04.b. zerinden I akm geen iletkenden belli bir a uzaklnda B
nin bulunmas
-
160
kmdan a uzaklktaki yar apl daire zerinde ele alnan her hangi bir
noktadaki B 'nin deeri
ayndr. Buna gre integral yoluyla dairenin evresini bulabiliriz.
B vektr ele alnan noktada bu
daireye teet olduundan dl ' ile ayn dorultuludur ve = 0 'dr. B
'nin deeri yol boyunca sabit olduundan B integralin dna karlabilir
ve ( 07 ) bants
B dl Io=
olur. ntegralin deeri 2 a 'dr ve akm yalnzca bir tane olduundan
I = I olacaktr. Bylece
B Ia
=
42
(08)
bulunur.
III.8.04. K PARALEL AKIM ARASINDAK KUVVET,
AKIM DDET BRM AMPER'N TANIMI.
zerinden Akm geen bir 1 iletkeninin evresinde bir manyetik alan
oluaca, eer buna yakn bir
yerde dier bir paralel 2 iletkeni varsa 1 'den oluan manyetik
alann 2' de bir etki oluturaca aktr.
Ayrca 2' nin de 1 'de benzer etkiyi yarataca aktr. Bu karlkl
etkileim sonunda bir
elektromanyetik kuvvet ortaya kacaktr.Bu kuvvetin nedeni ise
iletkenlerden birinin dierinin etki
alannn iinde bulunmasdr.
l
-
161
1 I1
F1B2a a
F22 I2
a
ekil 05. inden akm geen iki iletken arasndaki kuvvet.
ekil 05 den, iinden I2 akm geen 2 iletkeninin kendinden a
uzaklkta iinden I2 ile ayn ynl akm
geen iletkende oluturduu manyetik alan
BI
ao
22
2=
dr. Blm III.7.07. deki bantya gre 1 telinin uzunluuna etkiyen Fl
1 kuvveti,
F I B I Ia
I Ia
o o1 1 2 1
2 1
2 2= =
=l l
l
2 (09)
ve telin birim uzunluuna etkiyen kuvvette,
F I
ao1 1
2l = I2 (09.a)
olarak bulunur.
ekil 05 de 1 iletkeninden hareket ederek 2 iletkenindeki
manyetik alan ve F2 kuvvetini hesaplasaydk
bu F2 kuvveti F1 le deerce ayn, fakat zt ynl olurdu.
-
162
I1
I2
F
CA
o
I1I2
F
o
F F
B daB ie Ynl
(a) (b)
ekil 06. lerinden ayn ve zt ynde akm geen iki paralel iletkene
etkiyen kuvvetler.
ekil 06 da ilerinden ayn ynl ve zt ynl akmlar geen iki paralel
iletkene etkiyen kuvvetleri
incelediimizde;
Zt ynl paralel akmlar birbirini iter
Ayn ynl paralel akmlar birbirini eker,
kuraln buluruz. Bu kural her trl ekillenmedeki akmlara uygulanr
ve akmlar arasndaki bu
etkileimlerin elektrik motorlarnda ve teknolojik uygulamalarda
nemi byktr.
SI birim sisteminde, drdnc temel birim olarak akm iddeti birimi
Amper, k=o/4 = 10-7 W/m.A alnarak tanmlanmtr.(09.a ) bantsna gre
Amper, bolukta l m aralkl ok uzun iki paralel
iletkenden getiinde her iletken zerinde ve iletkenin metresi
bana 2 10-7 Newton'luk bir kuvvet
oluturan akm iddeti olarak tarif edilir.
-
163
III.8.05. DARESEL LETKENN MERKEZ VE EKSEN
ZERNDEK BR NOKTADA MANYETK ALAN
Dairesel bir iletkenin yarap R ve ondan geen akm I ise, dairesel
iletkenin merkezindeki manyetik
alan hesaplayabiliriz. Dairesel iletkenin sonsuz kk dl akm
elemanlarndan olutuunu kabul
edersek, her elemann dairesel iletkenin merkezinde oluturduu dB
manyetik alanlar ayn yn ve
dorultulu olacaklardr (ekil 07,a.). Her eleman iin r=R ve =90o
olacandan Ampere yasasndan
( )B dBR
dlR
RoR
o= = =
4 4
220
2
2
BR R
o o= =
2 42 (10)
Dairesel iletken N sarml bir bobin ise son bant
B NR
o= 2
(11)
eklini alr.ekil 07,b 'de byle bir dairesel iletkenin alan
izgileri gsterilmitir.
dl1dl 2
dl3dln
dBn
dB3dB2
dB1
I
(a) (b)
ekil 07.a.b. Dairesel bir iletkenin merkezindeki manyetik alan
ve bunun alan izgileri.
-
164
Byle bir dairesel iletkenin merkezinden geen ve dairesel
iletkenin dzlemine dik simetri ekseni
zerindeki bir P noktasnn manyetik alan deeri hesaplanabilir
(ekil 08).
letkende seilen bir dl akm elemannn P noktasndaki dB manyetik
alann inceleyelim. Buna gre dl
ile r arasndaki a =90o olacak ve dB, dl ile P nin oluturduu
dzlem iinde ve r 'ye dik olacaktr. Bu durumda dB, biri akmn
zerindeki yatay bileen dBsin ve eksene dik bileen dBcos olmak zere
iki bileene ayrlabilir. P noktasnda oluan manyetik alana bu
bileenlerden yalnzca yatay
olann katks vardr, dikey bileenin dBcos deerleri toplandklar
zaman ikier ikier birbirlerini yok ederler.
ekil 08den grlecei gibi , manyetik alann yatay dBx=dBsin
bileenleri btn akm elemanlar iin ayn dorultulu ve ayn ynl
olduklarndan bunlarn P noktasndaki bilekesi bir tek sarml
iletken iin aadaki gibi,
ekil 08.Dairesel bir iletkenin simetri ekseni zerindeki bir
noktada manyetik alan deeri
ir
x
R r
dlY
Z
X dBcos=dBx
dBsindB
( )B dBr
dlr
Rxo o
R= = = cos cos cos
4 422
0
2
2
-
165
BR
ro=
2 2
cos (12)
cos= ve r = R + xRr
2 2 2 olduundan,
Br
o= 2
2
3
R veya ( )B R xo= +
2
2
2 2 3 2
R/ (13)
olarak elde edilir.
lmein merkezindeki manyetik alan iin (13) de x=0 dr ve
buradan
BIRo
= 2
(14)
bulunur. lmekten ok uzakta x>>R olduundan
BIR
xo=
2
32 (r>>R iin)
elde edilir.Elektrik dipol momentinde olduu gibi manyetik dipol
momentide = I. S bantsyla verilir. Buna gre bir ilmein manyetik
dipol momenti =I (R2) olacandan (15) bants
Bx
o=
2 2 3 (15)
eklini alr.
-
166
I
ekil 09 inden akm geen dairesel bir ilmein manyetik alan
izgileri,
burada alt taraf sanki S kutbu st ise N kutbu gibi davranr.
ekil 09 da embersel bir akm ilmeinin manyetik alan izgileri
kolaylk iin bir dzlemde
gsterilmektedir.Bu akm ilmeinin alt taraf sanki S kutbu yukar
tarafda N kutbu gibi davranr.
Ayrca bu akm ilmeinin ilmekten ok uzakta manyetik alan izgileri
biimsel olarak, bir elektrik
dipolnn izgilerine zdetir.
III.8.06. HELMHOLTZ BOBNLER
Teknolojide ve aratrma laboratuvarlarnda snrl bir blgede bir
manyetik alana gereksinim
duyulmaktadr. Bu tip bir manyetik alan oluturmak amacyla
Helmholtz bobinleri ad verilen bir
sistem kullanlr. Bu bobinler yaraplar a ve birbirine paralel
olan ve dzlemleri arasndaki uzaklkta
a kadar olan iki bobinden olumu bir sistemdir (ekil 10).
a aI I
a a
ekil 10. ematik Helmholtz bobinleri
-
167
N sarml a yarapl dairesel bir iletkenin (Bobinin) ekseni
zerindeki ve bobin merkezinden b
uzaklktaki manyetik alan iddeti bobinin ekseni boyunca
( )BR
R b
o=+
2
2
2 2 3 2
/
bantsna gre abucak azalr. Bu azalmay ifade eden (13) bantsnn bye
gre deiimi ekil11,a
'da gsterilmitir. ekilden izlenecei gibi manyetik alan ancak
bobinin merkezi yanndaki ok kk
uzaklklar iin dzgn olarak kabul edilebilir.
B
b Oa/2
a
a
a
aa
b
(a) bir bobinin manyetik alan (b) Helmholtz bobinlerinin
manyetik alan
ekil 11 a.b. Bir bobinin ve Helmholtz bobinlerinin manyetik
alanlar
N sarml tek bir bobin kullanlacana, N sarml Helmloltz bobinleri
kullanlarak, bunlardan C
merkezi yaknnda belli bir uzaklk boyunca dzgn manyetik alan elde
edilir. C noktasnda her iki
bobin tarafndan oluturulan manyetik alan deeri, b = a /2
olacandan
B = 2 5a5
NI8
2aa
NIa2 02/32
2
20 =
+
( 1 6 )
-
168
olarak bulunur. ekil 11.b.de Helmholtz bobinlerinin alan
gsterilmitir.Bobinlerin tam ortasnda
geni bir dzgn alan blgesi meydane gelir. Bu blge ekil 11.b de
taral ksm olarak
gsterilmitir.Bu taral aralkta orta noktadan yatay eksen zerinde
uzaklatka bir bobine ait B
azlmasn dierinin B artmas karlayarak dzgn alan sistemi
korunur.
III.8.07. BR SELONODN EKSEN BOYUNCA
MANYETK ALAN
L uzunluu R yarapndan olduka byk olan bir selenoide ideal
selenoid denilmektedir. Byle bir
ideal selenoidin simetri ekeseninde ve ulerndaki manyetik alann
hesaplayalm. Byle bir ideal N
sarml bir selenoid bobinin iinden geen akmn, herhengi bir
noktada olturduu manyetik alan, o
noktada selenoidin her sarmnn oluturduu manyetik alanlarn
bilekesidir. Selonoidin ekseni
zerindeki bir P noktasndaki ak younluunu bulmak iin P'den eksen
dorultusunda x kadar uzakta
bulunan, selonoidin bir dx elemanter uzunluunu ele alalm (ekil
12). Selenoidin sarm says N ve
uzunluu 1 ise, uzunluk birimindeki sarg says N/1 olacaktr. Buna
gre dx uzunluundaki sarm
saysda (N / l) dx olacaktr.
x
P
dx
ekil 12. deal bir selenoidin iindeki ve ularndaki manyetik alann
hesaplanmas
Uzunluu dx olan elemandaki akm ideti I tarafndan P noktasnda
oluturulan manyetik alan (l3)
bantsna gre
( ) dxLNI
RxR
2dB 2/322
2o
+=
olur. r = ( x 2 + R 2 ) alnr ve son bantya iletilirse ,
-
169
dxrR
LNI
2dB 3
20=
elde edilir. Burada x yerine deiken olarak as kullanlr ve
x Rtg
x R d R R x= d = - ve r sin sin ( )22 2= = +
deerleri bantya iletilirse ,
B N do=
2
l sin
(B No= 2
l cos cos ) ( 17 )
bulunur. Bu bant, sadece selenoidin iine deil, dndaki herhangi
bir nokta iinde geerlidir. Uzun
bir selonoidin iinde ve eksen zerindeki her hangi bir noktada (
merkezde ) bir noktada =0 ve =180o olacandan byle bir noktadaki
manyetik alan
B No= l ( merkezindeki manyetik alan ) ( 1 8 )
olacaktr. Bu tr bir selonoidin eksen zerindeki ularndaki bir
noktadada manyetik alan deeri, =0 ve =90o olduundan,
B NI= 0 2. l (ularndaki manyetik alan ) ( 19 )
dir. Bir selonoidin oluturduu manyetik alannn kuvvet izgileri
ekil 13' de gsterilmitir.Bu ideal
selenoidin sol taraf sanki bir mknatsn S kutbu sa tarafd N kutbu
gibi davranr. Manyetik alan
izgileri N kutbundan kp S kutbundan girerler.
-
170
ekil 13 . deal bir selenoidin manyetik alan izgileri.
Bu selenoidin sol taraf sanki bir mknatsn S kutbu gibi , sa
taraf N kutbu gibi davranr.
ekil 13 deki ideal selenoide Ampere yasasn uygulayarak onun
merkezindeki manyetik alam ifadesini
bulabiliriz. Bunun iin ,PQMK dikdrtgeninin drt kenar boyunca
B.dl nin integralini alarak
Ampere yasasn uygularz . PQ kenar boyunca bu blgede B = 0
olduundan bunun toplam etkiye
katks sfrdr. PM ve KQ kenarlarnn her ikisindende gelen katk her
iki haldede B , dl ye dik
olduundan sfr olacaktr. MK boyunca = 0 olacak ve bu yol boyunca
B sabit kabul edilecektir. Bylece MKQP kapal dikdrtgen yol boyunca
dl.B nin deeri :
B.dl = B. MK + 0 + 0 + 0 = 0 I
olur. Burada MK uzunluundaki sarm says n , selenoidin uzunluu L
ve toplam sarm says N ise,
n = MNLN
olur. Buna gre :
B ( MN ) = 0 n I = 0 I.MNLN
Olacandan, buradan,
B = 0 LNI
( 19.a )
Elde edilir. Bu bant , daha nce ayn selenoid iin hesaplanan ( 19
) bantsyla ayndr.
-
171
I.8.08. MANYETZMADA GAUSS YASASI
Bir yk iine alan kapal bir yzeyden geen elektrik alan aksnn, net
ykle orantl olduunu Gauss
yasasna gre grmtk. Buna gre kapal yzeyden geen elektrik alan
izgilerinin says yalnzca
iteki net yke baldr. Manyetik alanlar iin bu durum daha
deiiktir. Manyetik alan izgileri
srekli olup kapal ilmekler olutururlar. Akmlardan oluan manyetik
alan izgileri herhangi bir
noktadan balayamaz ya da bir noktada sona eremez. ekil 14 deki
ubuk mknatsn manyetik alan
izgileri bu olguyu aklamaktadr.
N
kapal yzey
S
B=0
ekil 14
Herhangi bir kapal yzeye giren alan izgilerinin says, bu yzeyden
kan alan izgilerinin saysna
eittir. Buna gre kapal yzeyden geen net manyetik ak sfrdr. Bu
durum elektrik dipolnn
yklerinden birini saran kapal bir yzey durumuna terstir (ekil
15); orada net elektrik aks sfr
deildir.
-
172
kapal yzey
E0
ekil 15
Manyetizmadaki Gauss yasas, herhangi bir kapal yzeyden geen net
manyetik aknn (B) her zaman sfr olduunu belirtir, buna gre
B d= =B S 0 (20)
dir. Bu sonu yaltlm manyetik kutuplara (tek kutuplara) bugne
dein rastlanmam olmas
olgusuna dayanmaktadr. Tek bir kutup belkide evrende hi yoktur,
varsa bile lm teknolojisi bunu
imdilik alglayamamaktadr. Manyetik alann imdilik bilinen
kaynaklar yalnzca manyetik dipoller
(akm ilmekleri) dir. Manyetik maddeler iin bile durum ayndr.
Maddelerdeki tm manyetik olaylar
elektronlar ve ekirdeklerden kaynaklanan manyetik dipol momneti
(etkin akm ilmekleri) cinsinden
aklanabilmektedir.
III.8.09. GENELLETRLM AMPER YASASI
VE MAXWELL DENKLEMLER
Hareket halindeki ykler yada akmlar manyetik alan olutururlar.
Akm tayan iletken simetrik
yapya sahipse;
B l = o d I
-
173
eklindeki Amper yasas kullanlarak manyetik alan hesaplanabilir.
Buradaki izgi integrali, iletim
akmn iinden getii blgeyi evreleyen herhangi bir kapal yol
zerinden alnabilmektedir. Bir
kondansatrde herhangi bir andaki yk Q ise iletim akm
IdQdt
=
ile verilir. Bu iletim akm zamanla deimiyorsa yukardaki biimiyle
verilen Amper yasas geerlidir.
Maxwell, Amper yasasndaki bu snrlamay kaldrp yasay tm hallere
uygulayabilmek amacyla
genelletirmitir.
kondansatr plakalar
-Q
+QS1 yzeyi
S2 yzeyi
A yolu ekil 16
Maxwel in deiimini aklayabilecek bir sisteme rnek ekil 16 da
verilmitir. Burada yklenmekte
olan bir kondansatr olsun. I akm zamanla deiiyorsa ( alternatif
akm A.A) plakadaki yk de
deiecektir. Fakat plakadan plakaya hibir akm gemeyecektir. ekil
15 deki A yolunu evreleyen
S1 ve S2 gibi iki yzey ele alalm. Amper yasasnn dzeltilmemi hali
bu A yolu boyunca izgi
integralinin OI olduunu aklar. T burada P yolunu evreleyen
herhangi bir
yzeyden geen toplam akmdr. A yolu S1 i evrelemektedir ve akm S1
den gemektedir. Bylece
integralin deeri OI olacaktr. Akm S2 yi evrelediinde S2 den
hibir iletim akm gemediinden sann levhalar arasnda da iletim akm
olmadna gre, akmn sreksiz oluundan kaynaklanan bir
yetersizlik vardr. Maxwell (06) bantsnn sa tarafna Id
yerdeitirme akm denen
Iddtd o
E= (21)
-
174
eklinde ek bir terim ilave etmitir. Burada E d= E S ile
tanmlanan elektrik aksdr. letim akmndaki sreksizlii, sa yklenirken
veya boalrken levhalar arasndaki deiken alann
oluturduu Id akm ortadan kaldrr. (04) Amper bantsna Id terimi
eklenirse, boluk iin
B l = + = + d I I I ddto d o o o E ( ) (22)
eklindeki Amper-Maxwell yasasna ait bant elde edilir.Bu bantya
gre;
manyetik alanlar, iletim akmlar ve de deiken elektrik alanlar
oluturur.
(22) bants boluk iin geerlidir. Manyetik bir ortamda Amper
yasasnn tam olarak geerli
olabilmesi iin (22) bantsna Im eklinde bir mknatslanma akm ilave
edilmesi gerekir. Mikro
lekte Im akm da iletim akm I kadar nemli olmaktadr.
I.8.10. RNEK PROBLEMLER
l) Amper devresel yasas ile ekil 13 'deki selenoidin merkezi
blgesindeki manyetik alan deerini
hesaplaynz.
zm :stenilen blgedeki manyetik ak dzgn ve selonoidin eksenine
paralel olduundan kapal
integral yolu olarak MKOP dikdrtgeni seilebilir. Bu durumda KO
ve MP kenarlar manyetik alana
dik olduklarndan =90o ve integral sfr olur. PO bobinin dnda ve
oradada manyetik ak olmad iin OP boyunca B=0 olacaktr. Bu koullarda
(07) bantsndan
( )BMK
I0 0 0 0+ + + =
elde edilir. Her sarmdan geen akm sayfa dzlemine dik ve ynleri
ekil 13 'deki gibidir. Buna gre
dikdrtgensel yolun dzleminden geen toplam akm iddeti, I =n'
olacaktr. Burada n' dikdtgenin MK uzunluundaki sarm saysdr.
Selonoidin toplam sarm says N uzunluu l ise,
n N L MK' = / olacaktr.Buradan
-
175
( )BMK
n I NIMKL0 = =' olacandan,
B N I N I= = 0 0
44
l l I
bulunur. Biz selonoidin bu tr manyetik alan deerini, Blm
III.8.08' de uzun hesaplamalar sonunda
elde edebilmitik.
2) Kenarlar 2a olan N sarml karesel bir bobinden I deerinde akm
gemektedir. Bu bobinin
merkezindeki manyetik alan deerini bulunuz (ekil 17).
I135O
45 O
2a
2a
a
B
ekil 17.rnek problem 2.
zm, ekil 17' ye gre, karesel bobinin merkezinde, her kenarn
oluturaca manyetik alan iddeti
ve yn ayn olacandan (04) bantsnn drt kere toplanmas gerekir.
cos /1 2 2= ve cos /2 2 2= olduundan (04) bantsna gre
( )B Ia
Cos Cos= 0
14 2 den B Nao=
2
elde edilir.
-
176
3) ekil 18' deki uzun iletkenden geen akm iddeti 30 Amp. ve
dikdrtgensel bobinden geen akm
iddeti 20 Amp. dir. Bobine etkiyen bileke kuvveti bulunuz. l=30
cm. , b= 8 cm. ve a= l cm.
ekil 18.rnek problem 3.
kiyen itme kuv ti (07)
0 = 10-7 .4 Tm/A veya Wb/mA uuna gre
20Amp
8cm
1cm
Bobinin uzak kenerna et ve ifadesinden r r rF F Fi 0 = +
ld
F li = l . . 0 2 . . ..
= 0, . N.-7 -330 20 0 30 09
4 0
e yakn kenara etkiyen ekme kuvveti v
F l = l . . . ..
= , . N-7 -30 230 20 03001
36 0
-
177
buna gre yatay ve uzun tele etkiyen ynl bileke kuvvet
r.
eki manyetik alan iddetini,
-)selonoidin bir merkez kesitinden geen manyetik aky
hesaplaynz.
zm, a- 18 bantsna re
F i= F - F = , l N. -33 2 0
d
4) Bir selonoidin uzunluu l m. ortalama ap 3 cm., her birisi 850
sarml be tabaka sarm vardr ve
sarmlardan geen akm iddeti 5 Amp.dir. a-)Bobinin merkezind
b
B N I = / l = .850.5,510
2,67.10 T-2 74 10. it olduundan manyetik ak = B S cos ve b-
Selenoidin merkezinde B sab = 0o, S= R2
S=7,07.10-4 m2 olduundan
= B S = 2,67.10-2 . 7,07.10-4 = 1,89.10-5 W.
ulunur.
II.8.11. PROBLEMLER
t etmektedir. Buna gre akmn manyetik alannn
areketli elektrona uygulad kuvveti hesaplaynz.
evap,2,403. 10-20 N.
rtgen ereveden 5 Amp.'lik akm geiyor.
unun merkezindeki manyetik alan deerini hesaplaynz.
b
I
l) Uzun dorusal bir iletkenden geen akm iddeti 1,5 Amp.dir. Bir
elektron, telden 0,l m.uzakta tele
paralel olarak 5 104 m/sn hzla akm ynnde hareke
h
C
2) Uzunluu 40 cm. genilii 10 cm. 100 sarml bir dikd
B
-
178
Cevap ; 0,00412 T.
bileke alann
e olmaldr. Bu hesaplanan deerlere gre
evap , a-I2 =2 Amp. dik bize ynl. b-B0=22. 10-7 T. c -Bs= 16,4
.10-7 T.
km rn
deeri 20 Amp.dir. Bu karesel sistemin merkezindeki manyetik
alann deerini hesaplaynz. .
ekil 19.Problem 3 ekil 20.problem 4.
detleri eit ve zt ynldr. Tellerden eit
zaklktaki bir A noktasndaki manyetik alan deerinin
3) ekil 19' daki st telden geen akm I1 =6 Amp. ve ie dik
ynldr.a-P noktasndaki
sfr olmas iin I2 akmnn deeri ve yn n
b-Q 'daki , c - S ' deki bileke alan bulunuz.
C
4) ekil 20' da birbirine paralel drt uzun telden ekildeki gibi
akmlar gemektedir ve bu a la
20 cm
20 cm 20 cm
20 cm 50 cm
50 cm
100 cm
80 cm
60 cm
S
P
I = 6 Amp
I
1
2
5) Aralklar a olan iki uzun telden geen akm id
u
( )B Ia b a= +2 40 2 2 olduunu gsteriniz (ekil 21).
-
179
ab P
ekil 21.Problem 5
6) ekil 22'deki sistemde lm uzunluundaki CD iletkeni, CD
eklemlerinde kolayca
kayabilmektedir.AB iletkeni ile CB iletkeninden geen akm iddeti
50 Amp.dir. CD iletkeninin
ktlesi 5. 10-3 kg/ m dir. AB iletkenindeki akm nedeniyle oluan
manyetik kuvvet nedeniyle CD
iletkeninin ykselebilecei denge yksekliini bulunuz.
Cevap: 1, 02 cm.
DC
BI
A b
a a
ekil 22.Problem 6. ekil 23.Problem 8
7) Kenarlar 20 cm. uzunluunda dzgn altgen bir iletken ereveden
100 Amp.lik bir akm
gemektedir. Bu sistemin merkezindeki manyetik alan deerini
hesaplaynz.
Cevap:3. 10-4 T.
8) Her birinin yarap a olan ve ilerinden ayn ynl ve eit akmlar
geen, iki dairesel sarmn
dzlemleri paralel ve aralarndaki uzaklk b dir. Sarmlardan
birinin merkezindeki manyetik alan
deerini hesaplaynz (ekil 23).
-
180
Cevap:
( )B
Ia
aa b
00
2
32 2
32
21 1= +
+
9) Herbirinin yarap 20 cm. ve sarm says 50 olan iki dairesel
bobin, dzlemleri birbirine paralel ve
aralarndaki uzaklk 20 cm. olamak zere monte edilmilerdir.
Bobinlerin her birinden 10/ Amp.lik akm, a- ayn ynl geerken, b- Zt
ynl geerken, bunlarn ortak ekseninin merkezindeki manyetik
alan deerini hesaplaynz.
Cevap : a -B a = 7,15 .10-4 T b-BT = 0
10.) Uzunluu 20 cm., ap 10 cm., sarm says 200 olan ve zerinden
2/ Amp. akm geen ksa bir selonoidin ekseni zerinde ve bir ucundan 5
cm. uzaklkta bir noktadaki manyetik alan deerini
hesaplaynz.
Cevap : B = 6 , 64 .10-4 T.
11.) R yarapl tahta bir krenin yzeyi zerine,ince bir iletken
telden bitiik ve N sayda sarm
sadece bir tabaka halinde ve sarmlarn dzlemi krenin eksenine dik
olmak zere ve krenin yzeyini
tamamen rtmek zere sarlmtr. Sarglardan geen akm iddeti I ise
krenin merkezindeki manyetik
alan deerini hesaplaynz.
Cevap : BNIR
= 04
12.) Sper iletken telden yaplm 12cm 16cm boyutlarndaki dikdrtgen
eklindeki ilmekten 30A lik akm gemektedir. lmein merkezindeki
manyetik akan hesaplaynz.
C. N = 120 sarm.
13.) Toplam uzunluu 60cm olan sk sarlm bir selonoidden geen akm
iddeti 2A olduunda
manyetik alan 12.10-5T dr. Bu verilere gre selonoidin sarm saysn
hesaplaynz.
C. N = 90 sarm.
14.) Bir fzyon reaktrnn manyetik alan kangallar i yarap 0,7m ve
d yarap 1,3m olan toroid
biimindedir. Toroidin ii plazma ile doludur. Toroidin kaln
tellerden oluan 900 sarmm varsa
-
181
bunlarn herbirinden 14000A geiyorsa a) i yarap boyunca b) d
yarap boyunca manyetik alan
iddetini hesaplaynz.
C . a : Bi = 3,6 T , b : B = 1,94 T.
15.) Elektronun atom ekirdei etrafnda r yarapl yrngede
dolanmasnn bir peryoduna karlk
oluturduu akm iddeti I = e v / 2 r olduuna gre, N. Bohr un 1913
de nerdii hidrojen atomu modeklinde bir elektron protondan
5,3.10-11m uzakta ember eklindeki yrngede 2,2.106m/s hzla
dolanmaktadr. Elektronun hareketinin protonun bulunduu konumda
oluturduu manyetik alan
iddetini bulunuz.
C. = I . S = 9,3 .10 24 A m2
16.) Toplam uzunluu 8 olan bir tel paras yatay x eksenine gre
art y ekseni boyunca yarap 2 cm olan yarm ember ekline
getirilmitir. Bu durumdaki sistemin sol tarafndan sa tarafna
doru
6A iddetinde bir akm gemektedir. emberin merkezindeki manyetik
alann deerini ve ynn
bulunuz.
C. B = 3. 10 5 T. Sayfa dzlemine dik ve ie doru.
17.) akan imek ksa bir zaman sresinde 104 A.lik akm
tayabilmektedir. Yldrmn dt
noktadan 50 m uzakta oluturaca manyetik alan deerini
bulunuz.
C. 4.10 -5 T.
18.) Corafi ekvatorda dou bat ynnde yerletirilen dorusal bir tel
parasna bu noktada etkiyen
yerkrenin manyetik alannn yatay bileeninin deeri 3,3.10- 5 T.
dr. Telim birim uzunluunun
ktlesi 2.10 3 kg/m olduuna gre , telden geen akmn deeri ne
olmaldrki bunun
oluturduu manyetik kuvvet telin arln dengeleyebilsin ?.
C. 594 A douya doru.
I.8.10. RNEK PROBLEMLER