卒業論文 高温壁面に衝突する液滴の分子動力学シ …3 記号表 a 表面積 F 力 k バネ定数 kB ボルツマン定数 L 系の一辺の長さ m 質量 N...

第 2章 計算方法 12

22 カットオフ

Lennard-Jonesポテンシャルは分子間距離の６乗に反比例するまた一般に等方的な系では

１つの分子に対して距離 rrarrr+drの球殻の内部に存在する分子の数は rの 2乗に比例するそ

のため Lennard-Jonesポテンシャルによる力の和は距離の増加にともなって収束するそこで

実際の計算では Lennard-Jonesポテンシャルに関してあるカットオフ距離 rcで計算をうち切

り計算負荷を軽減したしかし単純にうち切るのみでは rcの位置でポテンシャルが不連続

となりエネルギー保存が成り立たなくなるそこで rcの位置で値が 0 となるようにシフト

させたポテンシャルがしばしば用いられる

( )

13

minus

minus

13

minus

=612612

4cc

S rrrrr σσσσεφ (22)

しかしこのポテンシャルではrcの位置で力が不連続となってしまうそこで本研究ではrc

の位置で微分の値も 0となるようなポテンシャル

( )

13

minus

minus

13

minus

+

13

minus

=6122612612

47364ccccc

SF rrrr

rrrrr σσσσσσεφ (23)

( )

13

minus

+

13

minus

minus= 2

612612

21224ccc

SF

rr

rrrrrdrrd σσσσεφ (24)

を使用した

一般にカットオフ距離 rcの値としては25σ から 55σ 程度が用いられることが多いが

圧力や表面張力のような力が問題となる場合にはカットオフが極めて重要な影響を及ぼすこ

とが知られている本研究で問題となるぬれ性についても予備的計算によってrc を小さく

するとかなり変化することが分かったそこで本研究では現実的に計算時間との兼ね合い

で妥協できる値として rc = 35σ を採用した

第 2章 計算方法 13

23 数値積分法

231 Verlet法

分子を古典力学の Newton の運動方程式に従う質点であるとみなせるとするこのとき分

子 iの運動は位置 xiに関する微分方程式

2

2

dtdm i

iixF = (25)

で表されるここで Fiは分子 i に働く分子間力の総和でありmiは分子の質量である分子

動力学法ではこの運動方程式を数値積分することにより分子 i の時刻 t における位置 xi(t)

を計算する

微小時間∆tについて xiを 2時の項まで Taylor展開すると

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i

iii

iiii m

tttttdt

tdtdt

tdtttt Fvxxxxx22

2

2

22 ∆+∆+=∆+∆+=∆+ (26)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i

iii

iiii m

tttttdt

tdtdt

tdtttt Fvxxxxx22

2

2

22 ∆+∆minus=∆+∆minus=∆minus (27)

ここでviは分子 iの速度である両式の和と差から

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i

iiii m

ttttttt Fxxx 22 ∆+∆minusminus=∆+ (28)

( ) ( ) ( ) ttttt

t iii ∆minusminus∆+∆

= xxv21 (29)

が導かれるこれが Verlet 法であるしかしこの方法では(29)式において二つの大きな項

（O(∆t0)）の差に小さな項（O(∆t0)）を加えるため誤差が大きい

そこで本研究では速度を

( )i

iii m

tttttt Fvv ∆+

∆minus=

∆+22

(210)

から求め位置を

( ) ( )

∆+∆+=∆+2tttttt iii vxx (211)

から求める方法を使用したこの方法を蛙跳び法（leap-frog method）と呼びVerlet法と特に

区別する場合もある(211)式において

( ) ( ) tttt

tt iii ∆minusminus∆

=

∆minus xxv 12

(212)