Aplicação de Wavelets em Problemas de Otimização Dinâmica com Adaptação de Malhas Dyego dos Santos Silva (EQ/UFRJ) Orientadores: Prof. Evaristo C. Biscaia Jr. - PEQ/COPPE/UFRJ Prof. Argimiro R. Secchi - PEQ/COPPE/UFRJ Eng. Lizandro de Sousa Santos - PEQ/COPPE/UFRJ
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Dyego dos Santos Silva (EQ/UFRJ) Orientadores: Prof. Evaristo C. Biscaia Jr. - PEQ/COPPE/UFRJ Prof. Argimiro R. Secchi - PEQ/COPPE/UFRJ Eng. Lizandro de.
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Aplicação de Wavelets em Problemas de Otimização Dinâmica com Adaptação de
Malhas
Dyego dos Santos Silva(EQ/UFRJ)
Orientadores: Prof. Evaristo C. Biscaia Jr. - PEQ/COPPE/UFRJ
Prof. Argimiro R. Secchi - PEQ/COPPE/UFRJ Eng. Lizandro de Sousa Santos - PEQ/COPPE/UFRJ
Introdução
A otimização dinâmica (também conhecido como problema de controle ótimo), segundo FEEHERY (1998), requer a determinação do perfil temporal de um conjunto de variáveis de controle de um sistema dinâmico e que maximize (ou minimize) uma dada medida de performance (função objetivo):Exemplo Ilustrativo: Controle Ótimo Singular -Chachuat, B., Optimal Control, Class Notes, 2006.
0
2
1
1 2
2
1 2
1( ) :
2
( )
( )
( ) ( ) 0
10 ( ) 10
ft
t
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J u x t dt
x x u t
x u t
x t x t
u t
Função Objetivo
Modelo
Restrições
Variável de Controle
O que é Otimização Dinâmica
Otimização Dinâmica
Métodos Indiretos: baseados no Princípio de Máximo de PONTRYAGIN (PMP), 1963.
Métodos Diretos
Princípio numérico de resolução
Programação dinâmica Iterativa
Sequencial
Simultâneo
(SHLEGEL, 2004, SOUZA, 2007)
Métodos de Resolução
SOUZA (2007): Apenas a variável de controle é discretizada (Reduzida necessidade de manipulação no sistema de equações),
Abordagem Direta Sequencial
Abordagem Direta Sequencial
Exemplos de parametrização:
Características:
Reduzida necessidade de manipulação do sistema de equações;
Parâmetros da expressão funcional estimados a cada iteração.
Estudos Relevantes:
POLLARD e SARGENT (1970), HICKS e RAN (1971): Influência da parametrização da variável de controle;
BINDER e SHLEGEL (2004): Utilização de malhas adaptativas para parametrização da variável de controle.
Abordagem Direta Sequencial
Proposta de Estudo
I) Aplicação de wavelets utilizando a abordagem direta sequencial de resolução;
II) Comparação entre as técnicas utilizadas com a abordagem sequencial com discretização uniforme da malha.
Estudo de Caso:
Reator Isotérmico Operando em Batelada Alimentada (Sirinavasan et al., 2003).
Wavelets
Ferramenta matemática para decompor funções hierarquicamente (MALLAT, 1986). A análise wavelet permite transformar a informação de um sinal em coeficientes que podem ser manipulados ou usados para reconstruir o sinal.
Características:Ortogonalidade;As wavelets têm suporte compacto, ou seja, são localizadas espacialmente, tendo valores diferentes de zero em um intervalo finito.
BINDER et al., (2000) foram os primeiros a utilizarem wavelets para avaliação dos pontos em potencial da malha.SHLEGEL (2004) tese de doutorado centrada no uso de wavelets.
Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
1) Obtenção do sinal de dados:
0t 1t 2t Nt
0u 1u 2u nu
2) Decomposição da malha pela transformada wavelets:
, ,J K J Kd f t dt /2, 0,02 2j jJ K t k
Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
3) Filtragem de dados (Threshold):
Limiarização Universal (Donoho e Johnstone,1994):
)ln(2
,,2,1
,,2,1,
,,2,1,
nw
Tiwd
TiWtWfWy
Titfy
iii
iii
iii
Variante Heurística
Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
4) Reconstrução do sinal
ttftuJ K
KJKJ
,,)(
Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
0t 1t 2t Nt
0u 1u 2u nu
Descarta pontos que nãocontribuem para a solução
Inclui pontos prospectivos
Estudo de Caso: Reator Isotérmico Operando em Batelada Alimentada (Sirinavasan et al. , 2003)
abaa c
V
Fcck
dt
dc 1
binbbbab cc
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dt
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221 2
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VV
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00,,0,,21
VcccVcccV
c binbabinbad
inbC ,
F
d
c
b
a
C
C
C
C
2A B C B D
Objetivo: maximizar a função:
ffcf tVtct
Manipulando )(tF (variável de controle: u(t)),
( )
max
tal que
fF t
t
maxmin FtFF
max,
max,
dffd
bffb
ctc
ctc
Número de mols do produto C no tempo final
Resultados
Número de estágios ns Tempo de cálculo (s) Função Objetivo