Л.Э.Эльсгольц ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов серии 8 ЧАСТЬ I 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Введение 9 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 15 § 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 15 § 2. Уравнения с разделяющимися переменными 19 § 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными 24 § 4. Линейные уравнения первого порядка 27 § 5. Уравнения в полных дифференциалах 32 § 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения dy/dx=f(x,y) 39 § 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка 61 § 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной 68 § 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения 75 Задачи к главе 1 82 Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого 85 § 1. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения п-го порядка 85 § 2. Простейшие случаи понижения порядка 87 § 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 93 § 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера 107 § 5. Линейные неоднородные уравнения 113 § 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера 124 § 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 137 § 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний 147 § 9. Понятие о краевых задачах 159 Задачи к главе 2 165 Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 168 § 1. Общие понятия 168 § 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка 171
424
Embed
dy/dx=f x,y - nsu.rusgol'dz_Dif_ur_i_var_isch.pdfСлучай малого коэффициента при производной высшего порядка 230 ... Эйлера
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Л.Э.Эльсгольц ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии 8 ЧАСТЬ I 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Введение 9 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 15 § 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 15 § 2. Уравнения с разделяющимися переменными 19 § 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися
переменными 24
§ 4. Линейные уравнения первого порядка 27 § 5. Уравнения в полных дифференциалах 32 § 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения
dy/dx=f(x,y) 39
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка 61 § 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно
производной 68
§ 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения
75
Задачи к главе 1 82 Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого 85 § 1. Теорема существования и единственности для дифференциального
уравнения п-го порядка 85
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка 87 § 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 93 § 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 137 § 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных
колебаний 147
§ 9. Понятие о краевых задачах 159 Задачи к главе 2 165 Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 168 § 1. Общие понятия 168 § 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем
сведения к одному уравнению более высокого порядка 171
§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций 178 § 4. Системы линейных дифференциальных уравнений 181 § 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами 192
§ 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений n-го порядка
199
Задачи к главе 3 201 Глава 4. Теория устойчивости 203 § 1. Основные понятия 203 § 2. Простейшие типы точек покоя 206 § 3. Второй метод А. М. Ляпунова 215 § 4. Исследование на устойчивость по первому приближению 221 § 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней
многочлена 227
§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка 230 § 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях 234 Задачи к главе 4 238 Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка 241 § 1. Основные понятия 241 § 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных
первого порядка 243
§ 3. Уравнения Пфаффа 255 § 4. Нелинейные уравнения первого порядка 260 Задачи к главе 5 278
ЧАСТЬ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Введение 280 Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами 284 § 1. Вариация и ее свойства 284 § 2. Уравнение Эйлера 292
§ 3. Функционалы вида ∫1
0
)',...,',',,...,,,( 2121
x
xnn dxyyyyyyxF
305
§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка 308 § 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых
переменных 312
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме 317 § 7. Некоторые приложения 320 Задачи к главе 6 324 Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые
другие задачи 327
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами 327 § 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида 334
∫1
0
)',',,,(x
x
dxzyzyxF
§ 3. Экстремали с угловыми точками 338 § 4. Односторонние вариации 346 Задача к главе 7 349 Глава 8. Достаточные условия экстремума 351 § 1. Поле экстремалей 351 § 2. Функция E(x, y, p, y') 357 § 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду 368 Задачи к главе 8 373 Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум 375 § 1. Связи вида ϕ(x, y1ь y2,..., yn)=0 375 § 2. Связи вида ϕ(x, y1ь y2,..., yn, y'1ь y'2,..., y'n)=0 382 § 3. Изопериметрические задачи 385 Задачи к главе 9 393 Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах 394 § 1. Прямые методы 394 § 2. Конечно-разностный метод Эйлера 395 § 3. Метод Ритца 397 § 4. Метод Канторовича 406 Задачи к главе 10 412 Ответы и указания к задачам 414 Рекомендуемая литература 421 Предметный указатель 422
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Асимптотически устойчивое решение
204 Бернулли уравнение 30 Бесселя уравнение 139 — функции 141—143 Бигармоническое уравнение 317 Близость кривых 285, 286 Брахистохрона 281, 304, 332, 364 Вариации постоянной метод 28 Вариационная задача 281 — — в параметрической форме
317—320 — — на условный экстремум 375—
393 — —, прямые методы решения 394—
413 — — с подвижными границами
327—350 Вариационное исчисление 281 — —, основная лемма 295 Вариационный принцип 281, 320 Вариация 284, 288, 289, 309, 313 Вейерштрасса функция 359 Векторная линия 245 — поверхность 244 Взаимности принцип 388 Влияния функция 123, 161 — 165 Вронского определитель 97, 185 Галеркина метод 410 Гамильтона — Якоби уравнение 370 Гамма-функция 140 Геодезическая линия 282, 381 Голономные связи 382 Граничная задача 13, 159
Грина функция 161 — 165 Гурвица теорема 227 Дикритический узел 211 Динамическая система 170 Дирихле задача 315 Дифференциальное уравнение 9 — — Бернулли 30 — — Бесселя 139 — — в полных дифференциалах 32 Дифференциальное уравнение в
частных производных 10 — — — — — первого порядка 241—
279 — — высшего порядка 85—167 — —, интеграл 20 — —интегрирование 10 — —,— с помощью рядов 137—146 — — Клеро 73 — — Лагранжа 73 — — линейное высшего порядка
93—106, 113—124 — — — неоднородное с
постоянными коэффициентами 124—136
— — — однородное с постоянными коэффициентами 107—110
— — — первого порядка 27 — — —, фундаментальная система
решений 100 — —, не решенное относительно
производной 68 — —, общее решение 15, 86 — —, общий интеграл 20, 32 — — обыкновенное 10 — — однородное 25 — —, операторный метод решения
129—136 — —, особое решение 57, 78 — —, периодические решения 143—
146 — —, порядок 10 — — Пфаффа 255 — —, решение 10, 169
— функционал 287 Липшица условие 40 Ляпунова второй метод 215 — теорема 215, 217 — функция 215 Максимум функционала 289 — — сильный 290 — — слабый 290 — — строгий 289 Малкина теорема 235 Малого параметра метод 147—158 Метрическое пространство 48 Минимум функционала 289 Минимум функционала сильный 290 — — слабый 290 Наклон поля 351 Наложения принцип 114, 189 Начальная задача 13 Неголономные связи 382 Непрерывный функционал 285, 286 Неустойчивое решение 204 Неустойчивый предельный цикл 226 — узел 208, 211 — фокус 209 Общее решение дифференциального
уравнения 15, 86 Общий интеграл дифференциального
уравнения 20 Обыкновенное дифференциальное
уравнение 10 Огибающая 74 Оператор линейный
дифференциальный 94, 183 Операторный метод решения
дифференциальных уравнений 129—136
— многочлен 129 Определитель Вронского 97, 185 Оптимальная функция 391 Оптимальное управление 391 Особая интегральная кривая 78 — точка 57 Особое решение дифференциального
уравнений 221 Первый интеграл 89, 179 Периодические решения
дифференциального уравнения 143—146
Периодичности условия 157 Плотность функции Лагранжа 324 Покоя точка 171, 205 Поле собственное 351 — центральное 351 — экстремалей 352 Полная интегрируемость уравнения Пфаффа 256 Полное пространство 48 Полный интеграл 261 Полуустойчивый предельный цикл
226 Порядок дифференциального
уравнения 10 Последовательных приближений
метод 199 Предельный цикл 23, 226 — — неустойчивый 226 — — полуустойчивый 226 — — устойчивый 226
Пространство метрическое 48 — полное 48 — равномерной сходимости 50 — фазовое 12, 170 Прямые методы в вариационном
пространство 50 Расстояние 48 Резонанс 145, 152 Риккати уравнение 31 Ритца метод 397—406 Рунге метод 64, 201 Связи голономные 382 — неголономные 382 Связный экстремум 282 Седло 59, 208 Сжатых отображений принцип 48 Сильный экстремум 290, 360 Системы дифференциальных
уравнений 168—202 — линейных дифференциальных
уравнений 181—192 — — — — с постоянными
коэффициентами 192—199 Слабый экстремум 290, 359, 360 Собственное поле 351 Специальные решения 253 Стационарного действия принцип
320 Строгий экстремум 290 Суперпозиции принцип 114, 189 Трансверсальности условие 331, 336 Узел 58 — дикритический 211 — неустойчивый 208, 211 —- устойчивый 207, 211 Управление оптимальное 391 Управляющая функция 391 Уравнения в частных производных
10
— — — — первого порядка 241 — 279
Уравнивание 61 Условный экстремум 282, 375—393 Устойчивое' решение (по Ляпунову)
204 — — по отношению к постоянно
действующим возмущениям 236
Устойчивый предельный цикл 222 — узел 207, 211 — фокус 209 Фазовая траектория 170 Фазовое пространство 12, 170 Фокус 59 — неустойчивый 209 — устойчивый 209 Фундаментальная система решений
100 Функционал 280, 284 — линейный 287 — непрерывный 285, 286 Характеристик метод 268 Характеристики 245, 248, 254, 268,