Page 1
1
Тема 5 Приближение сплайнами§1 Эрмитовы сплайны
Пусть на сетке
заданы значения
Определение:
( ) ( ),ii xfxy =
−====+== ∑
=++
n
iiniiiih abhbxaxnihxxx
1011
_
,,;,...,1,:ω
( ) ( ) ;...,,0, nixfxy ii =′=′
( ) ( ) [ ] ;1,0,,, 13 −=∈∀∈ + nixxxxPxS iii
( ) [ ] ;1,baСxS ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ;...,,0,, nixfxSxfxS iiii =′=′=
Page 2
2
( ) ;1,...,0,32 −=+++= nixbxaxdсxS iiii
( ) ( ) ( ) ( );1,...,0,
62
32
−=−+−+−′+= nixx
bxx
axxyyxS ii
iiiii
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ;1...,,0,,
,,
11
11
−=′=′′=′==
++
++
nixfxSxfxS
xfxSxfxS
iiii
iiii
( ) ( ) ( ) ( ),
62
31
21
11ii
iii
iiiiii
xxb
xxaxxyyxS
−+−+−′+= ++++
( ) ( ) ( ),
2
2i
iiii
xxbxxayxS
−+−+′=′
( ) ( ) ( ),
2
21
11ii
iiiiii
xxbxxayxS
−+−+′=′ +++
Page 3
3
,2
12
1
1121
−−′+′
=+
++
+ i
iiii
ii h
yyyy
hb
( ) ,62 1
31
21
11 +++
++ =++′+= ii
ii
iiiii yh
bh
ahyyxS
( ) ,2 1
21
11 ++
++ ′=++′=′ ii
iiiii yh
bhayxS21+× ih
31+× ih
,224611
111
31
31 ++
+++++ ′+′−′−−=
− i
ii
iiiiiii
i
hy
hyhyyy
hhb
,333211
111
21
21 ++
+++++ ′+′−′−−=
− i
ii
iiiiiii
i
hy
hyhyyy
hha
,3
26
1
11
1
−+′+′
−=+
++
+ i
iiii
ii h
yyyy
ha
Page 4
4
Полиномиальные сплайны
Пусть на сетке
заданы значения
Определение полиномиального сплайна степени m дефекта k:
( ) ( ) ;,...,0, nixfxy ii ==
−====+== ∑
=++
n
iiniiiih abhbxaxnihxxx
1011
_
,,;,...,1,:ω
( ) ( ) [ ] ;1,0,0,,, 1 −=≥∈∀∈ + nimxxxxPxS iimim
( ) [ ] ;1,, mkСxS kmbam ≤≤∈ −
( ) ( ) ;,,...0, nixfxS ii ==
Page 5
5
§2 Нелокальные кубические сплайны
Пусть на сетке
заданы значения
Определение:
( ) ( ) ;,...,0, nixfxy ii ==
−====+== ∑
=++
n
iiniiiih abhbxaxnihxxx
1011
_
,,;,...,1,:ω
( ) ( ) [ ] ;1,0,,, 13 −=∈∀∈ + nixxxxPxS iii
( ) [ ] ;2,baСxS ∈
( ) ( ) ;,,...0, nixfxS ii ==
Page 6
6
Краевые условия1.
2.
3.
4.
( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′=′′=′
( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′′=′′′′=′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );,, bSaSbSaSbSaS ′′=′′′=′=
( ) ( ) ( ) ( );00,00 1111 −′′′=+′′′−′′′=+′′′ −− nn xSxSxSxS
ax =0 bxn =1x 1−nx
( )xP 0,3 ( )xP 1,3 ( )xP n 2,3 − ( )xP n 1,3 −
Page 8
8
§3 Построение сплайна через наклоны
Введем обозначения
( ) ( ) ( ) ;, iiiiii myxSyxfxS =′=′==
( ) ( ) ;,,...0,, niMxSmxS iiii ==′′=′
( ) ( ) ( ) ( );1,...,0,
62
32
−=−+−+−′+= nixx
bxx
axxyyxS ii
iiiii
( ) ( ) ( ),
2
2i
iiii
xxbxxayxS
−+−+′=′
,3
26
1
11
1
−++−=+
++
+ i
iiii
ii h
yymm
ha
,2
12
1
1121
−−+=+
++
+ i
iiii
ii h
yymm
hb
Page 9
9
( ) ( ) [ ]1,, +∈−+=′′ iiiii xxxxxbaxS
( ) ( ) [ ]iiiii xxxxxbaxS ,, 1111 −−−− ∈−+=′′
( ) ( ),00 +′′=−′′ ii xSxS
iiii ahba =+ −− 11
+−−=
−−++
+−− +
+
+
+
−−−−
3
26
2
12
3
26 1
1
1
1
1111 ii
i
ii
ii
iiii
i
ii
i
ii
i
mm
h
yy
hh
yymm
h
mm
h
yy
h
21
21
111
1
1
22
3
2
3
2
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
h
yy
h
yy
h
mm
h
mm
h
mm −
+
+−−
+
+ −+−=+++−+3×
Page 10
10
−+−=+
++ −
+
+−
++
+2
121
11
11
1 311
2i
ii
i
ii
i
i
iii
i
i
h
yy
h
yy
h
m
hhm
h
m
1
1
+
+
+×
ii
ii
hh
hh
;1;;11
1 =++
=+
=++
+ii
ii
ii
ii
ii hh
h
hh
h µλλµ
−+−=++ −
+
++−
i
iii
i
iiiiiiii h
yy
h
yymmm 1
1
111 32 µλλµ
nn mmmmni ,,...,,;1,...,1 110 −−=ig
Page 11
11
1 ( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′=′′=′
( ) ( );,0 bfmafm n ′=′=
−−
100...0
2...0
......
0...20
0...02
0...0001
11
22
11
nn λµ
λµλµ
( )
( )
′
′
−
bf
g
g
g
af
n 1
2
1
...
−
n
n
m
m
m
m
m
1
2
1
0
...=
Page 12
12
2 ( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′′=′′′′=′′
( ) ( ) ( )afmm
h
yy
haxabaaS ′′=
+−−==−+=′′3
26 10
1
01
10000
( )afh
h
yymm ′′−−=+
232 1
1
0110
( ) ( ) ( )bfxbbabS nnn ′′=−+=′′ −−− 111
( )n
nnnnn h
yybf
hmm 1
1 32
2 −−
−+′′=+
( )bfh
yymm
h
mm
h
yy
h n
nnnn
n
nn
n
nn
n
′′=
−−++
+−− −−−− 1111
2
12
3
26
0g=
ng=
Page 13
13
−−
210...0
2...0
......
0...20
0...02
0...0012
11
22
11
nn λµ
λµλµ
−
n
n
g
g
g
g
g
1
2
1
0
...
−
n
n
m
m
m
m
m
1
2
1
0
...=
Page 14
14
3. Условие периодичности
( ) ( ) ( ) ( ),..., 11 xfxfbfaf n == +
,..., 110 mmmm nn == +
,...,...,, 112211 µµ === +++ nnn hhhh
121101 2:1 gmmmi =++= λµ
nnnnn gmmmni =++= +− 111 2: λµ112112 gmmm n =++ µλ
nnnn gmmm =++ − 2111 µλ
Page 15
15
−−
20...
2...0
......
0...20
0...02
...002
11
33
22
11
nn
nn
µλλµ
λµλµ
µλ
−
n
n
g
g
g
g
g
1
3
2
1
...
−
n
n
m
m
m
m
m
1
3
2
1
... =
Page 16
16
4
обозначим
( ) ( ) ( ) ( );00,00 1111 −′′′=+′′′−′′′=+′′′ −− nn xSxSxSxS
( ) [ ]1,, +∈=′′′ iii xxxbxS
,10 bb =
−−+=
−−+
2
1212221
010121 2
12
2
12
h
yymm
hh
yymm
h,
6
21h×
,12
1 γ=hh
( )
−−−=−−+ 21
2
12
1
012
21
2110 21 γγγ
h
yy
h
yymmm
Page 17
17
−+−=++=1
011
2
12121101 32:1
h
yy
h
yymmmi µλλµ
( )
−−−=−−+ 21
2
12
1
012
21
2110 21 γγγ
h
yy
h
yymmm
( ) ( ) =+++− 21112
21111 2 γµλγµµ mm
1µ×
( )1
011
2111
2
12 23h
yy
h
yy −++−= µγµλ
Page 18
18
упростим выражения
=++=+
++=+− 11122
21
21
21
2111 112 γλλλγµµ
h
h
hh
h
( ) 12
12
21
111 1111 γγλ +=+
++=++=
h
hh
hh
h
11112111 γγλλγµλ =+=+
( )111112111 232323 γλγλλγµλ +=+=+
Page 19
19
Задание: исключая из правого краевого условия и последнего
уравнения системы линейных алгебраических уравнений для
наклонов, самостоятельно получить уравнение
( ) =++ 21111 mm γγ( )
1
011
2
1211 23
h
yy
h
yy −+−+= µγλ
( ) =++ −− 12 1 nnnn mm γγ
nm
( )n
nnn
n
nnnn h
yy
h
yy 11
1
211 23 −
−−
−−−
−+−+= λγµ
1g
1ˆ −ng1−
=n
nn h
hγ
Page 20
20
+
+
−−
nn
nn
γγλµ
λµλµ
γγ
10...0
2...0
......
0...20
0...02
0...001
22
33
22
11
−
−
1
2
2
1
ˆ
...
ˆ
n
n
g
g
g
g
−
−
1
2
2
1
...
n
n
m
m
m
m
=
Page 21
21
• Задание:
Построить формулы для вычисления кубического нелокального
сплайна через моменты для всех четырех типов краевых
условий.• Указания.
( ) ( ) ( ) ( );1,...,0,
62
32
−=−+−+−+= nixx
bxx
axxсyxS ii
iiiii
( ) ( ) ( ),
2
2i
iiii
xxbxxaсxS
−+−+=′
( ) ( )( ) ( ) 111,
,
+++ =+=′′==′′−+=′′
iiiiiiii
iii
MhbaxSMaxS
xxbaxS
( ) 11 ++ −= iiii hMMb
Page 22
22
( ) ,62 1
31
21
11 +++
++ =+++= ii
ii
iiiii yh
bh
ahсyxS
( )11
311
1
21
1
1
62 ++
++
+
+
+
+ −−−−=ii
iii
i
ii
i
iii hh
hMM
h
hM
h
yyc
( )iii
i
iii MM
h
h
yyc 2
6 11
1
1 +−−= ++
+
+
( ) [ ]iii
iiiii xxh
bhaсxS , на ,2 1
2
111 −−−− ++=′
( ) [ ]1, на +=′ iiii xxсxS
Page 23
23
§4 Задачи дифференцирования и интегрирования
1. Сплайн определен через наклоны.
( ) ,ii mxS =′
( ) ( ) ==∑∫∫−
=
+dxxSdxxS
n
i
x
x
b
a
i
i
1
0
1
( ) ( ) ( ) ( );1,...,0,
62
32
−=−+−+−+= nixx
bxx
axxmyxS ii
iiiii
21
11
1
122 ++
++ −++= i
iii
ii hmm
hyy
( ) ( ) ( ) =−+−+′=′2
2i
iiii
xxbxxayxS
( ) ( ),
2
6
3
26
1
112
1
21
1
1
1
−−+−+
+−−−+=+
++
+
+
+
+
+ i
iiii
i
iii
i
ii
i
ii h
yymm
h
xxmm
h
yy
h
xxm
Page 24
24
2. Сплайн определен через моменты.
( )
( ) ( )ii
iii
ii
xxh
MMMxS
MxS
−−+=′′
=′′
+
+
1
1
,
( ) ( ) ,1
0
1
dxxSdxxSn
i
x
x
b
a
i
i∑∫∫
−
=
+=
( ) ( ) ( ) ( )2
26
2
1
11
1
1
1 i
i
iiiiii
i
i
ii xx
h
MMxxMMM
h
h
yyxS
−++−++−−=′+
++
+
+
+
31
11
1
242 ++
++ +−+= i
iii
ii hMM
hyy
Page 25
25
§5 Метод монотонной прогонки
niFuCuBuA iiiiiii ,...,0,11 ==++ +−
,0,00 == nCA
xx0...0
xxx...0
......
0...xxx0
0...0xxx
0...00xx
Page 26
26
прямой ход прогонки
111 +++ += iiii uu βα
( ) iiiiiiiii FuCuBuA =+++ +1βα
iii
iiii
iii
ii BA
AFu
BA
Cu
+−+
+−= + α
βα 1
1+iα1+iβ
iii
ii BA
C
+−=+ α
α 1
iii
iiii BA
AF
+−=+ α
ββ 1
01000 FuCuB =+
0
01
0
00 B
Fu
B
Cu +−=
0
01 B
C−=α0
01 B
F=β
1,1 −= n,...i
Page 27
27
обратный ход прогонки
алгоритм: 1. 2.
3.
4.
111 +++ += iiii uu βα
nnnn uu βα =−−1
nnnnn FuBuA =+−1nnn
nnnn AB
AFu
αβ
+−=
0,...,2,1 −−= nni
11, βαn,...i ,2=ii βα ,
nu
0,...,2,1 −−= nniiu
Page 28
28
§6 Вычислительная устойчивость монотонной прогонки
а) существование и единственность решения системы
в) ни один знаменатель в формулах не равен нулю
с) обеспечивается устойчивость счета по рекуррентным
формулам
,,...,0 ,
,0,0,0 0
niCAB
CACA
iii
nii
=+≥==≠≠
1≤iα
условие монотонности
,,...,0 ,0
,0,0,0 0
niCAB
CACA
iii
nii
=≤++==>>
Page 29
29
0>≥−≥−≥+ kkkkkkkkk CABABBA αα
0
01 B
C−=α 11 ≤α
ki,i ,...,2 1 =≤α 11 ≤+kα
знаменатель числитель
если нет хотя бы одного строгого неравенства в определении
???0,AВAВAB nnnnnnnn =−=−≥+ αα
Доказательство
!!!,0=−>−≥+ nnnnnnnn AВAВAB αα
Page 30
30
Устойчивость счета по рекуррентным формулам
Пусть при вычислениях по формулам
ni,i ,...,1 1 =≤α
111~
+++ += mmm uu δ
оценим погрешность
=+= +++ 111~~
mmmm uu βα
111 +++ += iiii uu βα
( ) 111111 ++++++ +=++= mmmmmmm uu δαβδα
mδ
111 +++ ≤≤ mmmm δδαδ