81 Développer, factoriser pour résoudre 3 3 1 Avec le vocabulaire 1. Associer à chaque expression un terme A B × −A différence produit A B + A B A B − 1 A inverse quotient opposé somme 2. Écrire la somme de 1 et du carré de x + 3. 3. Écrire le quotient de 3 par la somme de 2 et de 4 x . 2 Avec des transformations Donner dans chaque cas la bonne réponse. 1. 5 2 x ( ) est égal à : a. 5 2 x b. 10 2 x c. 25 2 x d. 25 10 2 + + x x 2. x − ( ) 2 2 est égal à : a. x 2 4 + b. x 2 4 − c. x x 2 4 4 − − d. x x 2 4 4 − + 3. 2 3 x x + est égal à : a. 5 b. 2 3 + x c. 2 3 1 + d. autre 4. La forme factorisée de 4 12 9 2 x x − + est : a. 2 3 2 x + ( ) b 2 3 2 3 x x − ( ) + ( ) c. 2 3 2 x − ( ) d. 4 3 9 xx − ( ) + 3 Avec l’égalité « Est-il vrai que, pour n’importe quelle valeur de x, on a 5 10 2 7 4 2 x x x − + = − ? » – Léa a répondu : « Oui, c’est vrai. En effet, si on remplace x par 3, on a : 5 3 10 3 2 17 2 × − × + = et 7 3 4 17 × − = . » – Myriam a répondu : « Non, ce n’est pas vrai. En effet, si on remplace x par 0, on a 5 0 10 0 2 2 2 × − × + = et 7 0 4 4 × − =− . » Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l’exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi. 4 Avec des équations Donner dans chaque cas la (ou les) bonne(s) réponse(s). 1. −2 est solution de l’équation : a. 2 0 x = b. − − = x x 2 2 0 c. 4 1 1 x + =− 2. L’équation 4 3 7 6 x x − = + a pour solution a. 3 b. 9 11 c. −3 d. 12 3. L’équation 2 1 3 0 x x + ( ) − − ( ) = a pour solution(s) : a. 0,5 et 3 b. 2 c. − 4 d. − 0,5 et 3
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Transcript
81
Développer, factoriser pour résoudre 33
1 Avec le vocabulaire1. Associer à chaque expression un terme
A B× −A diff érence produit
A B+
A
B
A B−
1
A
inverse quotient
opposé somme
2. Écrire la somme de 1 et du carré de x + 3.
3. Écrire le quotient de 3 par la somme de 2 et de 4 x .
2 Avec des transformationsDonner dans chaque cas la bonne réponse.
1. 5 2x( ) est égal à :
a. 5 2x b. 10 2x
c. 25 2x d. 25 10 2+ +x x
2. x −( )2 2 est égal à :
a. x2 4+ b. x2 4−
c. x x2 4 4− − d. x x2 4 4− +
3. 2 3x
x+
est égal à :
a. 5 b. 23+x
c. 2 3
1
+ d. autre
4. La forme factorisée de 4 12 92x x− + est :
a. 2 3 2x +( ) b 2 3 2 3x x−( ) +( )
c. 2 3 2x −( ) d. 4 3 9x x −( )+
3 Avec l’égalité« Est-il vrai que, pour n’importe quelle valeur de x,
on a 5 10 2 7 42x x x− + = − ? »
– Léa a répondu : « Oui, c’est vrai. En eff et, si on
remplace x par 3, on a : 5 3 10 3 2 172× − × + = et
7 3 4 17× − = . »
– Myriam a répondu : « Non, ce n’est pas vrai.
En eff et, si on remplace x par 0, on a
5 0 10 0 2 22× − × + = et 7 0 4 4× − = − . »
Une de ces deux élèves a donné un argument qui
permet de répondre de façon correcte à la question
posée dans l’exercice.
Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.
4 Avec des équationsDonner dans chaque cas la (ou les) bonne(s)
réponse(s).
1. −2 est solution de l’équation :
a. 2 0x =b. − − =x x2 2 0
c. 4
1 1x
+ = −
2. L’équation 4 3 7 6x x− = + a pour solution
a. 3 b. 9
11
c. −3 d. 12
3. L’équation 2 1 3 0x x+( )− −( ) = a pour solution(s) :
a. 0,5 et 3 b. 2
c. − 4 d. − 0,5 et 3
82
1 Égalité : pour tout x ou pas ?
Voici des algorithmes de calcul associés à quatre fonctions f, g, h et k.
Fonction f• ajouter 3
• multiplier par 2
• soustraire 6
Fonction g• ajouter 1
• élever au carré
• soustraire 1
• soustraire le carré du nombre de départ.
Fonction h• élever au carré
• soustraire le nombre de départ
• ajouter 2
Fonction k• soustraire 1
• élever au carré
• multiplier par −12
• ajouter le double du cube du nombre de départ
1. Calculez les images de 1 et de 2 par chacune des fonctions f, g, h et k.
Qu’observez-vous ? Formulez une conjecture.
2. Calculez les images de 3 par chacune des fonctions f, g, h et k.
Confi rmez-vous votre conjecture ? Sinon, faites une nouvelle conjecture.
3. Calculez les images de 4 par chacune des fonctions f, g et k.
Confi rmez-vous votre conjecture ? Sinon, faites une nouvelle conjecture.
4. Peut-on être sûr de cette conjecture ?
2 Reconnaître la structure d’une expression 1. a. Recopier l’arbre de calcul ci-contre
(ou l’imprimer sur le site) et compléter les cases
oranges par les résultats des opérations
indiquées dans les cases vertes.
b. L’expression obtenue à la fi n est-elle une
somme ou un produit ? De quels termes ou
de quels facteurs ?
c. Dresser un arbre amenant à x x +( )+2 1
à partir de :
Est-ce une somme ? un produit ?
2. Recopier les expressions ci-dessous.
Entourer :
– en bleu celles qui sont des sommes,
– en rouge celles qui sont des produits,
– en vert celles qui sont des quotients.
a. x x2 + b. x x +( )+2 3 c. x x+( ) −( )1 2 d. 2 4 2x +( ) e. x2
3+
f. x −1
3 g. 2 4 12x +( ) − h.
x xx
+( )−( )
3
1 i. x
xx x
−−( )
+( )1
22 j.
xx
2
21
−( ) −
3
… × … … × …
…+ …
a
x 2 1
Comprendre ce que signifi e une égalité « pour tout x » et comment la démontrer. Travailler la notion d’équation et de solution.
Préparer les factorisations et la résolution des équation produit ou équation quotient.
Aide
Reconnaître
la structure d’une
expression.
83Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
3 Choisir la bonne forme
1. Représenter graphiquement sur le même écran de la calculatrice les fonctions f, g et h
défi nies sur R par :
f x x x( ) = −2 2 8– ; g x x x( ) = ( ) +( )– 4 2 ; h x x( ) = −( ) −1 92 .
Qu’observe-t-on ? Expliquer et démontrer.
2. Calculer f 0( ), f 1( ) , f 4( ), f 3( ) en choisissant à chaque fois l’expression qui demande le
moins de calcul.
4 Trois stratégies pour une équation …
Pour résoudre l’équation x x x6 4−( ) = , trois élèves procèdent diff éremment :
Théo : Je prends ma calculatrice. Je rentre X X6 4−( ) en Y1 et X en Y2.
Je règle le pas de la table de valeurs à 0,1 en partant de −2 et j’explore la table de valeurs
pour trouver quand Y1 et Y2 sont égales.
Manon : Je prends ma calculatrice. Je rentre X X6 4−( ) en Y1 et X en Y2.
Je trace les courbes et j’utilise l’outil Trace de ma calculatrice.
Karim : Moi j’écris x 6x - 4 = x( ) , je simplifi e par x et je fi nis les calculs.
1. a. Quelle(s)solution(s) chaque élève va-t-il donner ?
b. Préciser s’il s’agit de solutions exactes ou approchées.
2. Citer des avantages et des inconvénients de chacune des méthodes utilisées.
5 Équation produit et équation quotient
1. a. Entrer sur une calculatrice les trois fonctions
f : x x� 2 4− , g : x x� − 3, h : x x x� 2 4 3−( )× −( ) .
b. Faire affi cher la table de valeurs à partir de -1 avec un pas de 0,5.
c. Lire sur cette table des valeurs de x telles que h x( ) = 0.
Que constate-t-on sur f x( ) et g x( ) pour ces valeurs de x ?
d. Existe-t-il d’autres valeurs de x telles que h x( ) = 0 ? Pourquoi ?
e. Pour quelles valeurs de x a-t-on x x+( )× ( ) =4 3 1 0– ?
2. a. Modifi er la fonction h sur la calculatrice en h : x xx
� 2 4
3
−−
.
b. Dans la table de valeurs, déterminer :
– une valeur de x telle que h x( ) = 0 ;– une valeur de x telle que le calcul de h x( ) renvoie un message d’erreur.
Que constate-t-on sur f x( ) ou g x( ) dans chaque cas ? Expliquer.
c. Si on entre sur la calculatrice la fonction � défi nie par � x xx
( ) = +−
1
3 6,
pour quelle(s) valeur(s) de x aura-t-on un message d’erreur dans la table de valeurs ?
Pour quelle(s) valeur(s) de x aura-t-on � x( ) = 0 ?
Interpréter graphiquement puis démontrer une égalité pour tout x. Anticiper un calcul pour choisir la « bonne forme ».
Revoir ce que signifi e «être solution d’une équation». Résoudre graphiquement une équation. Introduire la notion d’équations équivalentes.
Introduire les « équations produits » et les « équations quotients ». Utiliser ET et OU et préciser leur sens.
84
1 Égalité « pour tout x » et équation
A. Égalité « pour tout x »Un nombre possède plusieurs écritures. Par exemple, 0,5 ;
12
24
50100
; ; sont diff érentes
écritures d’un même nombre. De même plusieurs expressions algébriques peuvent
correspondre à la même fonction.
Égalité « pour tout x »● Quelle que soit la valeur par laquelle on remplace x dans les expressions
x x−( ) +( )−3 1 5, x x2 2 8− − , x x−( ) +( )4 2 on obtient le même résultat.
On écrit : pour tout réel x, x x x x x x−( ) +( )− = − − = −( ) +( )3 1 10 2 8 4 22 .
● Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) = −( ) +( )−3 1 10.
On a aussi f x x( ) = − × −2 2 8 et f x x x( ) = −( ) +( )4 2 pour tout réel x.
Pour calculer des images ou antécédents par f, pour étudier des propriétés de f, on peut
utiliser l’une ou l’autre de ces expressions, la mieux adaptée.
ExempleOn calcule facilement f 4( ) avec f x x x( ) = −( ) +( )4 2 car f 4 4 4 4 2 0( ) = −( )× +( ) = .
B. ÉquationLes expressions 2 1x − et x2 4− ne sont pas égales pour tout réel x.
Par exemple, pour x = 0, 2 1x − prend la valeur −1 et x2 4− la valeur − 4.
En revanche, pour x = 3, on a 2 1 2 3 5x − = × = et x2 24 3 4 5− = − = .
● Quand x prend la valeur 3, on a bien l’égalité 2 1 42x x− = − :
on dit que 3 est solution de l’équation 2 1 42x x− = − .● Résoudre une équation c’est chercher toutes les solutions de cette équation.
2 Développer, factoriser
Développer une expression c’est l’écrire sous la forme d’une somme.
Factoriser une expression c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
A. Les propriétés
Pour tous réels k, a, b, c, d :
● distributivité
développer
k a b k a k b× +( ) = × + ×
factoriser● double distributivité
développer
a b c d a b a d b c b d+( )× +( ) = × + × + × + ×
● identités remarquables
développer
a b a a b b+( ) = + × × +2 2 22
a b a a b b−( ) = − × × +2 2 22
a b a b a b+( )× −( ) = −2 2
factoriser
Attention, il ne faut pas confondre :
3 3 3 92 2 2 2 2x x x x( ) = ( ) = =× × et 3 3 2 3 9 62 2 2 2+( ) = + × × + = + +x x x x x
85Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
1 Égalité : pour tout x ou pas ?
ÉnoncéLes égalités suivantes sont-elles vraies pour tout réel x ?
a. 1 2 12+ + = +x x x b. x x x+( ) − −( ) =1 1 42 2 .
Solutiona. On peut tester sur quelques valeurs :
• pour x = 0 , on a bien 1 12+ + =x x et 2 1 1x + =• pour x = 1, on a aussi 1 32+ + =x x et 2 1 3x + =• pour x = 2, 1 72+ + =x x mais 2 1 5x + = et 7 5≠ .
Donc l’égalité n’est pas vraie pour tout réel x.
b. On peut tester « à la main » ou à la calculatrice
avec Y1 X X= +( ) − −( )1 12 2 et Y2 4X= .
L’égalité semble vraie pour les valeurs de x choisies.
Démontrons-la en développant : pour tout x réel,
x x x x x x+( ) − −( ) = + + − − +( )1 1 2 1 2 12 2 2 2
donc x x x x x x+( ) − −( ) = + + − + −1 1 2 1 2 12 2 2 2
Donc x x x+( ) − −( ) =1 1 42 2 pour tout x réel.
Voir exercices 22 et 23
2 Développer puis choisir la bonne forme
Énoncé
AB=8 et M appartient à AB[ ]. AMEF et MBGH sont des carrés. On pose x = AM avec x ∈[ ]0 ; 8 .
L’aire totale de la fi gure est � x x x( ) = + −( )2 28 .
1. Démontrer que, pour tout x de 0 ; 8[ ],� x x x( ) = − +2 16 642 et � x x( ) = + −( )32 2 4 2.
2. Calculer � 4( ) puis montrer que � �x( ) ( )� 4 pour tout x de 0 ; 8[ ]. Interpréter en terme d’aire.
Solution1. Développons « à la main » ou avec un logiciel l’expression
de � x( ). Pour tout x de 0 ; 8[ ],� x x x( ) = + −( )2 28
� x x x x( ) = + − +2 264 16
� x x x( ) = − +2 16 642 .
De même, pour tout x de 0 ; 8[ ],32 2 4 32 2 8 16 2 16 642 2 2+ −( ) = + − +( ) = − +x x x x x .
On retrouve la même expression donc, pour tout x de 0 ; 8[ ], � x x( ) = + −( )32 2 4 2.
2. Utilisons la dernière expression de � x( ) : � 4 32 2 0 32( ) = + × = .
Un carré est toujours positif ou nul donc 2 4 2x −( ) l’est aussi.
De � x x( ) = + −( )32 2 4 2, on déduit que � x( )� 32 donc � �x( ) ( )� 4 pour tout x de 0 ; 8[ ].L’aire est minimale pour x = 4 donc pour M milieu de AB[ ].
A
F E
M
H G
B
Avec Xcas
Méthode
Pour démontrer
que pour tout x réel,
f gx x( ) = ( ), on peut transformer :• f x( ) pour arriver à g x( ).• g x( ) pour arriver à f x( ).• f x( ) et g x( ) pour arriver à une même 3e expression (comme dans cet exercice).• f gx x( ) − ( ) pour obtenir 0.
Conseil
Bien observer les expres-
sions de f x( ) pour choisir
celle qui est la mieux adap-
tée à la question posée.
Méthode
Pour démontrer que
deux expressions :
• ne sont pas « égales
pour tout x », il suffit de trouver une valeur de x pour laquelle il n’y a pas égalité : c’est un contre-exemple ;• sont « égales pour tout
x », des exemples ne suffi-sent pas. Il faut le démontrer par le calcul algébrique (« avec x »).
Voir exercices 40 et 41
86
MéthodeOn peut aussi factoriser en utilisant un logiciel de calcul formel, voir exercice résolu 4 page suivante.
B. En pratique : comment factoriser une expression ?
Pour factoriser une expression « à la main » on analyse sa structure et on se pose un cer-
tain nombre de questions.
Q1 : Est-ce une somme (ou une différence) ? De combien de termes ?
Q2 : Chaque terme est-il un produit ou peut-on l’écrire comme un produit ?
Quels sont les facteurs dans chaque terme ? Y a-t-il un facteur commun à tous les
termes ?
Sinon, Q3 : Peut-on utiliser une identité remarquable ?
Sinon, Q4 : Peut-on factoriser d’abord une partie de l’expression pour faire apparaître un
facteur commun ou une identité remarquable ?
Sinon, on développe en espérant pouvoir ensuite factoriser.
Exemple 1 Factoriser f x x x x( ) = +( ) −( )+ +( )1 2 3 4 1 .
Q1 Cette expression est une somme de deux termes. f x x x x( ) = +( )× −( ) × +( )+1 2 3 4 1
Q2 Chaque terme est un produit de deux facteurs. f x x x x( ) = +( ) −( ) +( )× ×+1 2 3 4 1
x +( )1 est un facteur commun aux deux termes. f x x x x( ) = +( ) −( ) +( )× ×+1 2 3 4 1
On factorise. f x x x( ) = +( ) −( )( )× +1 2 3 4
On réduit le second facteur. f x x x( ) = +( ) +( )×1 2 1 pour tout x réel.
Exemple 2 Factoriser g x x x( ) = − +( )16 12 2
Q1 C’est une diff érence de deux termes. g x x x( ) = +( )−16 12 2
Q2 Les termes sont des produits sans facteur
commun.
Q3 On a une diff érence de deux carrés a b2 2− . g x x x( ) = ( ) − +( )4 12 2
On utilise a b a b a b2 2− = −( )× +( ). g x x x x x( ) = ( )− +( )( ) ( )+ +( )( )×4 1 4 1
On réduit chaque facteur. g x x x x x( ) = −( ) + +( )− ×4 1 4 1
g x x x( ) = −( ) +( )×3 1 5 1 pour tout x réel.
Exemple 3 Factoriser h x x x( ) = − + −( )2 9 3 3
Q1, Q2, Q3 : h x( ) est une somme de trois termes.
On ne voit ni identité remarquable ni facteur
commun.
Q4 On peut factoriser x2 9− : x x x2 9 3 3− = −( ) +( )×
Ceci fait apparaître x −( )3 h x x x x( ) = −( ) +( ) −( )× ×+3 3 3 3
comme facteur commun dans h x( ) h x x x x( ) = −( ) +( ) −( )× ×+3 3 3 3
et permet de factoriser. h x x x( ) = −( ) +( )( )× +3 3 3
On fi nit en réduisant. h x x x( ) = −( ) +( )×3 6 pour tout x réel.
87Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
Voir exercices 52 à 57
3 Factoriser des expressions algébriques
Énoncé
Factoriser : a. 4 4 12x x+ + b. 4 62x x+ c. x +( ) −1 252
d. 9 12 42x x− + e. x x+( ) − +( )1 3 12 f. 4 42x x+
Solutiona. C’est une somme de trois termes dans laquelle on reconnaît la forme a ab b2 22+ + :
4 4 1 22 2 21 1 12 2 2 2x x x x x+ + = ( ) + × × + = +( ) pour tout x réel.
b. C’est une somme de deux termes, chacun est un produit et le facteur x est en commun :
4 6 4 6 4 62x x x x x x x+ + += = ( )× × × donc 4 6 4 62x x x x+ = +( )× pour tout x réel.
c. C’est une diff érence de deux carrés de la forme a b2 2− :
x x xx x x+( ) − = − = −( )× +( ) = −( )×+( ) +( ) +( )1 25 41 1 15 5 52 2 2 ++( )6 pour tout x réel.
d. C’est une somme de trois termes dans laquelle on reconnaît la forme : a ab b2 22− +9 12 4 23 3 32 2 22 2 2 2x x x x x− + = − × × + = −( )( ) pour tout x réel.
e. x x x x x+( ) − +( ) = +( ) +( ) +( )× ×−1 3 1 1 1 3 12
= +( ) +( )( )× −x x1 1 3
= +( ) −( )×x x1 2 pour tout x réel.
f. 4 2x x+ est une somme de deux termes, mais x n’est pas un produit !
On écrit x x= ×1 pour obtenir un produit, d’où :
4 4 1 4 12x x x x x x x+ = = ( )× × ×+ + pour tout x réel.
Voir exercices 45 à 51
4 Factoriser « à la main » par étapes ou avec un logiciel
ÉnoncéFactoriser : a. f x x x( ) = −4 3 b. g x x x x( ) = +( ) −( ) + +1 4 3 3
c. h x x x( ) = − +2 20 502 d. p x x x( ) = − +2 8 12 .
Solutiona. f x x x x x x x x x x x +( ) = − = = ( ) = −( )( )× × × ×− −4 4 1 4 1 2 1 2 13 2 2 pour tout x réel.
b. On factorise d’abord 3 3x + en 3 1× +( )x : g x x x x( ) = +( ) −( ) + +( )1 4 3 1 .
Ceci fait apparaître x +( )1 comme facteur commun donc g x x x( ) = +( ) × − +( )1 4 3 .
On réduit : g x x x( ) = +( ) × −( )1 1 pour tout x réel.
c. On factorise d’abord 2 20 502x x− + en 2 10 252x x− +( ).
Ceci fait apparaître x x2 10 25− +( ) qu’on peut factoriser en utilisant une identité remarquable :
h x x x x( ) = − +( ) = −( )2 10 25 2 52 2 pour tout x réel.
d. p x( ) est une somme de trois termes mais ce n’est pas une identité remarquable,
il n’y a pas de facteur commun et pas de factorisation partielle immédiate !
On peut utiliser un logiciel de calcul formel comme Xcas.
Pour aller plus loin On pourrait « à la main » partir de l’identité remarquable
x x x2 28 16 4− + = −( ) et écrire x x−( ) = ( )+4 42 p .
On en déduit que p x x x x x x( ) = −( ) − = − −( ) − +( ) = −( ) −( )4 4 4 2 4 2 6 22 .
Aides2 est le produit ¥
est le produit ¥ 1En particulier x x= ×1.
88
3 Résoudre graphiquement une équation
Soit k un nombre réel et f et g deux fonctions.
Équation f kx( ) = Équation f gx x( ) = ( ) Exemple : f x( ) = 2
x
yy = 2
O 1 2
1
2
�f
Les solutions sont 1 et 2.
Exemple
x
y
1
1
0,5
O
�f
�g
La solution est 1.
4 Résoudre algébriquement une équation
Deux équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.
PropriétéPour transformer une équation en une équation équivalente, on peut utiliser les
transformations suivantes :
• T1 : Développer, factoriser, réduire certains termes.
• T2 : Ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l’équation.
• T3 : Multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre non nul.
• Équations du premier degré
Ce sont celles qui s’écrivent sous la forme a b c dx x+ = + (a, b, c, d sont des réels). On peut
les résoudre directement grâce aux transformations ci-dessus.
• Autres équations
– Si après développement l’équation est équivalente à une équation du premier degré, on
développe puis on résout.
– Sinon on transforme l’équation en une équation équivalente dont un membre est nul
pour pouvoir appliquer les propriétés suivantes.
Propriétés● Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
¥ = 0 si et seulement si = 0 OU = 0.
● Un quotient est nul si et seulement si son numérateur et nul et son dénominateur non nul :
= 0 si et seulement si = 0 ET π 0 .
Méthode générale
1. On place k sur l’axe Oy( ).
2. On repère tous les points de la courbe
d’ordonnée k.
3. On lit leurs abscisses : ce sont les solutions.
Méthode générale
1. On repère les points communs aux deux
courbes.
2. On lit les abscisses de ces points : ce sont
les solutions.
Si deux équations (E) et ′( )E sont équivalentes,
on note :E E( ) ′( )⇔ .
On lit(E) équivaut à ′( )E .
si et seulement si traduit aussi une équivalence :voir page 353.
89Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
ÉnoncéRésoudre les équations suivantes graphiquement puis par le calcul.
a. E123 3 2 2( ) + − = − −: x x x b. E2
2 21 3 1( ) −( ) + = −: x x x
Solution
a. On représente les fonctions f et g telles f x x x( ) = + −3 3 22 et g x x( ) = − − 2.
Les courbes (écran 1) semblent avoir deux points d’intersection d’abscisses 0 et
environ −1,3. On conjecture deux solutions à l’équation : 0 et environ −1,3.
Par le calcul. Cette équation n’est pas du premier degré.
• On rassemble les termes dans le 1er membre pour obtenir un
2nd membre égal à 0 (T2) : E123 4 0( ) ⇔ + =x x
• On factorise (T1) : E1 3 4 0( ) ⇔ +( ) =x x
• Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :
E1 0( ) ⇔ =x OU 3 4 0x + =
E1 0( ) ⇔ =x OU x = − 4
3
Il y a deux solutions : 0 et − 4
3 (lu −1,3 graphiquement).
b. On peut conjecturer graphiquement −2 comme solution (écran 2) mais il est
diffi cile de lire sur la calculatrice le nombre de solutions. Cette équation équivaut
à une équation du 1er degré après développement et réduction (T1) :
E22 22 1 3 1( ) ⇔ − + + = −x x x x
E2 2( ) ⇔ = −x .
L’équation a en fait pour seule solution − 2.
Méthode
Pour conjecturer les solutions
d’une équation,
on peut utiliser les courbes tracées par la calculatrice et l’outil Trace. Attention, rien ne dit qu’il n’y a pas d’autres solu-tions en dehors de l’écran !
écran 2
Méthode
Pour résoudre une équation du
1er degré :
– on développe et on réduit si nécessaire chaque membre.– on isole les inconnues dans un membre.– on finit la résolution (en appliquant T3 ).
Voir exercices 67 à 72
Voir exercices 61 à 64, 83 à 87
écran 1
Aide
Résoudre une équation
du second degré.
Travaux pratiquesTravaux pratiques
90
1 Une longueur minimale Déterminer le minimum d’une fonction.
On veut réserver une zone rectangulaire d’aire 1 800 m² pour créer une
cressonnière au bord d’une rivière.
On souhaite l’entourer de grillage sauf le long de la rivière.
Problème étudiéQuelles sont les dimensions de la zone qui nécessitent le moins de grillage
possible ? ■
ABCD représente la cressonnière. On note x et y les longueurs en mètres de ses
côtés et L x( ) la longueur du grillage.
1. Quelle information possède-t-on sur le rectangle ABCD ?
En déduire y en fonction de x.
2. Démontrer que pour tout x � 0 , L x xx
( ) = +21 800
.
3. Conjecturer à l’aide de la courbe de L la longueur minimale m de grillage
nécessaire.
4. Démontrer ce résultat en écrivant L mx( )− sous une forme adaptée.
Pour aller plus loinLe grillage doit être acheté par rouleaux de longueur 50 m. On veut acheter le moins de grillage possible et ne pas
découper le grillage ! Quelles dimensions peut avoir la zone ?
Aide : On démontrera que, pour tout x � 0 , L xx x
x( )− =
−( ) −( )150
2 15 60.
2 Couper en 2, encore et encore : la dichotomie Résoudre une équation par dichotomie.
A Le « juste prix »Un élève volontaire V choisit le prix entier P en euros d’un objet entre 0 € et 256 €. Il le note sur un papier mais ne le
dit pas à la classe. La classe doit trouver ce prix selon la règle ci-dessous :
On notera au tableau le n° de l’étape et l’intervalle dans lequel se trouve le prix.
• Étape 1 : Un élève propose le prix « du milieu » : 128 €. V répond : « c’est plus cher », « c’est moins cher » ou « c’est
juste ». On note au tableau le n° de l’étape, le prix proposé et l’intervalle dans lequel se trouve le prix cherché.
• Étape 2 : Un élève propose à nouveau le prix « du milieu » et on continue comme à l’étape 1.
On continue ainsi jusqu’à trouver le juste prix et
on indique le nombre de propositions qu’il a fallu faire pour le trouver.
1. Jouer 2 ou 3 fois à ce jeu en changeant le prix P choisi.
2. Calculer les longueurs des intervalles à chaque étape.
Que constate-on ?
A
B C
x x
y
D
Dichotomie vient du grec et signifie
« coupure en deux parties ».
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre
Travaux pratiquesTravaux pratiques
91
B Résolution approchée d’une équationOn ne sait pas résoudre en classe de seconde l’équation x3 5= .
On peut chercher en revanche une valeur approchée de la solution (ou des solutions).
1. Localisation des solutions
a. Avec la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la fonction f : x x� 3 et le nombre de solutions de
l’équation f x( ) = 5. On admettra ces deux conjectures pour la suite.
b. Vérifi er que la solution appartient à l’intervalle a b; , ;[ ]= [ ]1 2 2 .c. De quelles façons pourrait-on procéder avec la calculatrice pour obtenir une valeur approchée
à 10 1− près de la solution ? à 10 2− près ? à 10 4− près ? (Ne pas le faire.)
2. Une dichotomie à la main
a. Étape 1 : On propose le milieu 1,6 de l’intervalle 1 2 2, ;[ ].
Calculer f 1 6,( ) à la calculatrice. Est-il plus petit ou plus grand que 5 ?
Dans quel intervalle se trouve la solution : 1 2 1 6, ; ,[ ] ou 1 6 2, ;[ ] ?
b. On continue de même. Recopier et compléter le tableau pour les 6 premières étapes.
Étape n° Proposition L’image est … � �5 5ou( ) La solution appartient à a b;[ ] avec
début a = 1 2, b = 2
1 1,6 a = b =
…
c. Quelle valeur approchée de la solution à 10-1 près peut-on
fournir ? à 10 2− près ?
3. Un algorithme pour aller plus loin
On souhaite écrire un algorithme qui affi che l’intervalle
obtenu après un nombre suffi sant d’étapes pour que la
longueur de cet intervalle soit inférieure à une longueur �
donnée. Par exemple, si on veut une valeur approchée de
la solution 0,01 près, on choisira � = 0 01, .
Recopier et compléter l’algorithme suivant :
VARIABLES : a, b, p, � nombres
ENTRÉES : Saisir les bornes a et b de l’intervalle de
départ a b�( ) et saisir la longueur �souhaitée
TRAITEMENT : Tantque b a− � … Faire
pa b
=+( )2
Si p3 5� Alors a prend la valeur …
Sinon … prend la valeur …
FinSi
FinTantque
SORTIES : Affi cher a et b
Pour aller plus loin Programmer l’algorithme et donner une valeur approchée
de la solution de x3 5= à 10 5− près.
Les équations que l’on sait résoudre de façon exacte en
seconde sont de types très particuliers. Les mathéma-
ticiens eux-mêmes savent résoudre beaucoup d’équa-
tions de façon exacte mais pas toutes ! De nombreux
problèmes concrets, par exemple concernant la recher-
che spatiale, conduisent à des équations très comple-
xes, souvent en grand nombre. Les mathématiciens
développent alors des algorithmes pour trouver avec
de puissants ordinateurs des valeurs approchées des
solutions.
Travaux pratiquesTravaux pratiques
92
3 Créer une jauge Résoudre un problème concret à l’aide des TICE (Geoplan-Geospace, logiciel de calcul formel).
Problème étudiéCréer une jauge sur la partie transparente de la boîte indiquant le volume de sucre contenu dans la boîte en
indiquant par des graduations tous les 30 cm3 le volume de sucre qu’elle contient (on suppose la boîte
posée sur une surface plane horizontale). ■
On modélise la boîte par le solide ABCDEFGH représenté ci-dessus dont les faces sont des rectangles ou des trapèzes
rectangles. De plus, AB cm= 10 , AE cm= 9 , EF cm= 1 , AD cm= 4 .
A PréliminaireReproduire la face ABFE en vraie grandeur avec AM cm= 5 . On souhaite créer la jauge en indiquant sur le segment
AE[ ] les volumes correspondants à diff érentes hauteurs de sucre.
B En explorant la figure sur GeospaceOuvrir la fi gure disponible sur le site.
1. a. Créer un point M libre sur AE[ ] et le plan p parallèle au plan ABC( ) passant par M.
b. Faire affi cher la longueur AM.
2. a. Créer N, P, Q puis le solide ABCDMNPQ.
b. Faire calculer et affi cher le volume de ABCDMNPQ.
3. Proposer une façon de créer la jauge.
Appelez le professeur pour montrer votre travail.
C En utilisant une expression algébrique.Soit h = AM en cm. Le volume de sucre en cm3 est V h h h( ) = − +2 402 .
1. Proposer d’autres façons de créer la jauge.
2. Créer la jauge à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
Expliquer la démarche sur un exemple.
Pour aller plus loinPlacer O point d’intersection des droites AE( ) et BF( ) et calculer MN en fonction de h.
Donner la nature du solide ABCDMNPQ et retrouver l’expression de V h( ) en fonction de h.
D’après académie de Nantes.
A
EH
MP
N
Q
FG
D
BC
Aide Geospace
• Créer, Points, Points libres, Sur
un segment.
Créer, Plan, Parallèle à un plan.
• Créer, Affi chage, Longueur d’un
segment.
• Calculer le volume par :
Créer, Numérique, Calcul
géométrique, Volume d’un solide.
Le faire affi cher par : Créer,
Affi chage, Variable numérique
déjà défi nie.
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 93
Sans crayon, sans calculatrice
1 Calculer : a. 23
5
3
10× − b. 4
3
8
5
6× × .
2 Calculer : a. 10 % de 720 b. 30 % de 200.
3 Calculer : a. 90 % de 800 b. 99 % de 200.
4 Évaluer 24,6 % de 120 €.
5 De quel pourcentage augmente-t-on un prix quand
on le multiplie par 1,2 ?
6 Calculer les coordonnées du milieu de AB[ ] avec :
A −( )2 1; et B 61
2; −( ).
7 ABC est un triangle rectangle en A.
AB = 4 et BC = 6. Calculer AC.
8 Réduire 45 5− .
9 Le point A 2 3;( ) appartient-il à la droite d’équation
y x= − + 5 ?
10 Calculer l’angle ACD�
de la fi gure ci-contre.
11 Développer :
a. 2 1 2x −( )b. 4 1 4 1x x−( ) +( ).
12 Développer : a. 31
31x x −( ) b. 3 7 2x −( )
13 Quel est le terme en x2 obtenu en développant et
réduisant x x+( ) + −( )2 4 12 2 ?
14 Quel est le terme en x obtenu en développant et
réduisant 3 4 2x x+( ) −( ) ?
15 Développer et réduire 2 1 1x x+( ) +( ).
16 On sait que : 2 3a b− = et 2 5a b+ = .
Calculer 4 2 2a b− .
17 Factoriser : a. 9 6 12x x+ + b. 4 642x −
18 Factoriser x x+( ) + +( )1 4 12 .
19 Résoudre l’équation 3 1 5x x+ = − .
20 Résoudre l’équation x x2 5 0+ = .
A
B
D
C
60°
?
Entraînement
Égalité « pour tout x » ou équation ?
21 Ces deux programmes donnent-ils toujours le même
résultat quand on les applique à des nombres réels ?
Programme 1
Soustraire 2
Élever au carré
Ajouter 1
Programme 2
Soustraire 4
Multiplier par le
nombre de départ
Ajouter 5
22 Soit f x x( ) = 3 et g x x( ) = sur �.
1. Calculer les images de − 1 , 0 et 1 par f et g.
2. A-t-on f gx x( ) = ( ) pour tout x réel ?
23 Tracez sur la calculatrice les courbes représentatives
des fonctions f et g défi nies sur � par f x x x( ) = −( ) +( )1 3
et g x x( ) = +( ) −1 42 . Que constatez-vous ? Expliquez.
Aide : exercice résolu 1
24 Vrai ou faux ?
a. x x2 1 1+ = + pour tout x réel.
b. x x x x3 21 1 1− = −( ) + +( ) pour tout x réel.
Aide : exercice résolu 1
25 Apprendre à contrôler ses calculs
Soit f la fonction défi nie sur � par f x x x( ) = −( ) +( )2 3 42 .
Hélios a développé f x( ) en 4 16 9 363 2x x x+ − − et
Manon en 4 16 9 363 2x x x+ − + .
1. Calculer l’image de 0 d’après ces trois formes.
Que peut-on en déduire pour Hélios et Manon ?
2. Calculer l’image de 1 par f. Qu’en déduit-on ?
Conseil : des tests simples, par exemple sur l’image de 0 permettent de repérer certaines erreurs, mais pas toutes…
26 Parmi les nombres − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; quels sont
ceux qui sont solutions de l’équation ?
a. x x+ = −3 5 12 b. 3 04x x− =
c. xx
+−
=2
10 d. x x3 2=
27 1. Vérifi er que − 1 et 3 sont solutions de l’équation
E : x x x3 2 9 9 0+ − − = .
2. Soit S l’ensemble des solutions de l’équation E.
Que peut-on écrire (expliquer) ?
a. S = −{ }1 3; b. S ⊂ −{ }1 3; c. −{ } ⊂ S1 3;
94
Développer
D’autres exercices sont disponibles sur le site.Pour les exercices 28 à 36 écrire sans parenthèses les expressions données puis les réduire.
28 a. 2 3x x( )× ( ) b. 2 3x x( )× +( )c. 2 3+( )× ( )x x d. 2 3+( )× +( )x x
29 a. 4 2x( ) b. 4 2+( )x
c. x −( )4 2 d. 4 2−( )x
30 a. 3 2 6 4× −( )+ × −( )x x b. 61
31 12x x+( )−
c. 3
412
16
5− +( )x d. 2
1
23 1x x+( )− +( )
31 a. x −( )3 2 b. x +( )4 2
c. 2x −( )3 2 d. x x−( ) +( )2 2
32 a. 2 6 2x +( ) b. 3 5 2x −( )
c. 5 3 5 3x x−( ) +( ) d. x x+( ) −( )2 12
33 a. 2 3 2−( )t b. 1
36
2
a −( )c. x2 2
3−( ) d. x 2 42−( )
34 a. 2 1 4x x−( ) −( ) b. 2 3 3 2 1x x x+( )− −( )
c. x x+( ) − −( )3 2 22 d. 3 2 1 2t −( )( )
35 a. 4 3 22 2x x−( ) − +( ) b. x x x+( ) −( )1 2
c. 2 1 3 1x x x−( ) +( ) +( ) d. 2 1 22y y−( ) +( )
allumettes. À quelle étape utilisera-t-on exactement
321 allumettes ?
1re étape 2e étape 3e étape
74 En continuant cet algorithme de construction, à
quelle étape a-t-on besoin de 439 carrés ?
1er étape 2e étape 3e étape
75 Après une augmentation de 8 % un article coûte
18,90 €. Quel était son prix initial ?
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 97
76 Après une diminution de 15 % un article coûte
22,10 €. Quel était son prix initial ?
77 Rappeler les formules de calcul
du volume d’une sphère de rayon R et
d’un cylindre de même rayon et de
hauteur h.
Peut-on trouver h pour qu’ils aient
le même volume ?
Résoudre une équation
78 Peut-on résoudre chacune des équations suivantes
(sans la transformer) en appliquant la règle : « un produit
est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul » ?
Si oui, la résoudre.
a. x x−( ) +( ) =1 2 3 0 b. x x2 3 0+( ) =c. 4 5 02x x+ = d. 2 3 6 1x x+( ) +( ) =e. 2 5 1 0x x−( ) +( ) = f. 2 5 4 1 0x x−( ) +( )− =
79 Après avoir factorisé le premier membre s’il ne l’est
pas, résoudre les équations suivantes :
a. 3 2 5 0x x +( ) = b. 5 12 02x x+ =c. x x3 5 0− = d. 2 1 1 0x x−( )× +( ) =
80 Même exercice que le 79 avec :
a. 5 02x x+ = b. x x3 4 0+ =c. x x3 22 0− = d. 4 1 02x − =
81 Apprendre à prévoir les calculs
Exemple Dans 2 3 52x x+ − , on dit que : 2 2x est le « terme
en x2 », 3 x est le « terme en x » et −5 le « terme constant ».
1. Dans chacun des cas suivants, sans faire le
développement complet, déterminer de tête le « terme
en x2 » que l’on aurait en développant :
a. A x x x( ) = +( )1 b. B x x x( ) = + −( )2 2 2
c. C x x( ) = −( )2 1 2 d. D x x x( ) = −( ) +( )4 1 4
2. En déduire parmi les équations suivantes celles qui
vont se ramener à une équation du premier degré après
développement. Résoudre celles-ci uniquement.
a. A Bx x( ) = ( ) b. A Cx x( ) = ( )c. C Dx x( ) = ( ) d. A Dx x( ) = ( )
82 L’équation suivante se ramène-t-elle en développant
à une équation du 1er degré ? Si oui, la résoudre.
a. 2 1 3 12 2x x x x−( )− = + +( )b. 3 1 1 3 4 02x x x+( ) − +( ) +( ) =c. 3 4 4 52 2− +( ) = +( )−x x x
R
R
h
Pour les exercices 83 à 87, résoudre les équations données
83 a. 4 32x x= b. 2 1 3 0x x−( ) +( ) =
c. 3 1 5 1x x x−( ) = −( ) d. 2 3 32x x+ = +
Aide : exercice résolu 6
84 a. x −( ) =2 02 b. 2 1 4x x−( ) −( )c. x x+ −( ) = −2 1 d. x x −( ) = −2 1
85 a. x x+( ) − =1 16 02 2 b. 3 2 03 2x x+ =
c. 2 53 2x x= d. 16 242x x=
86 a. x x +( ) = −4 4 b. x x+( ) − +( ) =1 1 03 2
c. 4 2 6 2 12x x x− = −( ) d. x x+( ) − − =2 3 6 02
87 a. 9 4 2 12x x x− = − b. 2 1 4 12 2x x+( ) = −
c. 4 1 2 1 2 32x x x+( ) = +( ) −( ) d. x 4 16 0− =
88 Proposer une équation ayant pour solutions :
a. 4 b. 2 et 0
c. 2 et − 2 d. −2 , 2
3 et 4
89 Soit l’équation 3 2 3 23 2x x x= + − .
1. Grâce à la calculatrice trouver des solutions en
précisant si ce sont des solutions exactes ou approchées.
2. Résoudre avec un logiciel de calcul formel.
Aide : exercices résolus 6 et 4
90 Résoudre à l’aide d’un logiciel de calcul
formel les équations suivantes :
a. x x2 2 1 0− − = b. x x x3 25 5 3− = −
91 Choisir la « bonne forme »
Soit f x x x x( ) = −( ) + +( )−4 2 5 172 .
1. Démontrer que pour tout x réel, on a :
f x x x( ) = + −3 2 12 et f x x x( ) = −( ) +( )3 1 1 .
2. Quelle est la forme développée de f x( ) ? Quelle est la
forme factorisée de f x( ) ?
3. Traiter chacune des questions suivantes, en choisissant
la forme qui vous semble la mieux adaptée :
a. Calculer f 0( ) b. Résoudre f x( ) = 0
c. Calculer f −( )1 d. Résoudre f x( ) = − 1
98
92 Choisir la « bonne forme »
Soit f x x( ) = +( ) −1 162 . Grâce aux résultats ci-dessous obtenus sur Xcas, choisir l’expression de f x( ) la mieux
adaptée pour :
a. résoudre f x( ) = 0
b. résoudre f x( ) = − 16
c. résoudre f x( ) = − 15
d. déterminer le
minimum de f sur �.
Pour aller plus loin
Démontrer par le calcul les résultats obtenus sur Xcas.
93 Choisir la « bonne forme »
Soit g la fonction défi nie par g x x x( ) = − + −2 8 82 sur � et �
g sa courbe représentative.
1. Démontrer que pour tout x réel, g x x( ) = − −( )2 22
.
2. Déterminer le point d’intersection de �g
et de l’axe des
ordonnées.
3. Déterminer s’ils existent les points d’intersection de la
courbe �g
avec l’axe des abscisses.
4. Déterminer les abscisses des points de �g
ayant pour
ordonnée − 8.
94 Sans calculatrice
Associer à chaque courbe ci-dessous la fonction f, g ou h
qu’elle représente avec :
f x x x( ) = −( ) −( )1 3 g x x x( ) = − +( ) −( )2 1 4
h x x x( ) = +( ) +( )1
22 4
Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3
95 Soit f x x x x( ) = − +4 24 363 2 sur �.
1. Factoriser f x( ) .
2. Déterminer les points d’intersection de la courbe
représentative de f avec l’axe des abscisses.
96 ALGORITHMIQUE Dichotomie
Soit f la fonction défi nie par f x x x( ) = +2 sur I = [ ]0 4; .
1. Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de
f et le nombre de solutions de l’équation f x( ) = 4 sur
l’intervalle I.
2. Utiliser l’algorithme de dichotomie (voir page 91)
entre a = 0 et b = 4 pour trouver une valeur approchée
de la solution de cette équation à 0,1 près. (On pourra
présenter les résultats dans un tableau analogue à celui
de la page 91).
Pour aller plus loin Adapter l’algorithme de la page 91 à cet exercice.
97 ALGORITHMIQUE Dichotomie
Même énoncé que l’exercice 96 pour la fonction f défi nie
par f x x x( ) = − +3 3 2 sur I = −[ ]1 1; et l’équation f x( ) = 1.
98 Existe-t-il des nombres réels égaux à la moitié de
leur carré ? Au double de leur carré ?
99 Dans une parcelle carrée
de côté x (en m), on creuse un
bassin carré en laissant sur deux
des côtés une bordure de
largeur 3 m.
1. Parmi les expressions suivantes,
indiquer celle(s) qui donne(nt)
l’aire de la bordure :
a. x x+( ) −3 2 2 b. 6 x c. 6 9x −d. x x2 23− −( ) e. x x −( )3
2. Pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire de la bordure est-elle
27 m² ?
100 Un terrain carré a pour côté x (en m).
On augmente un côté de 20 m et on diminue un autre de
10 m pour obtenir un rectangle qui a la même aire que le
carré. Que vaut x ?
101 Le volume de la boîte
ABCD est un carré de côté 10 cm. On enlève un même
carré à chaque coin de ABCD pour obtenir le patron d’une
boîte.
A
D C
P N
M R B
1. Montrer que le volume de la boîte est
V = × − ×( )AM AM10 2 2.
2. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, déterminer
comment obtenir une boîte de 72 cm3.
102 Stratégies
Donner plusieurs stratégies possibles pour résoudre de
façon exacte ou approchée l’équation : 3 5 4 22x x x− = + .
x
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 99
Avec des quotients
103 On dispose de deux conducteurs ohmiques, l’un
de résistance R1 4= Ω et l’autre de résistance inconnue R2. En les associant en parallèle, on mesure la résistance équivalente Réq = 3 Ω. Déterminer R2.
Rappel
104 Résoudre les équations suivantes :
a. xx
−+
=1
10 b.
2 100
xx+ = c.
xx− =1
3
105 Résoudre les équations suivantes :
a. x
x− =1
42 b.
x xx
2 2 1
10
+ +−
= c.
2
32
2 60
x
x
−
−=
106 Vrai ou Faux ?
Est-il exact d’écrire, pour tout réel x non nul,
a.
1
2 1
2x x= ? b.
1
2
1
2x
x= ?
107 1. Choisir un nombre strictement positif et lui
ajouter son inverse. Recommencer plusieurs fois et
donner la plus petite somme obtenue.
2. Soit g x xx
( ) = + 1 pour tout x ∈ +∞] [0 ; .
a. Démontrer que g xx
x( )− =
−( )2
1 2
.
b. En déduire le minimum de g sur 0 ; +∞] [ et pour
quelle valeur de x il est obtenu.
108 Soit a un nombre réel strictement positif.
1. Quelle est l’aire de ce rectangle ?
a
1
a
2. Exprimer le périmètre P a( ) de ce rectangle.
3. Montrer que P aa
a( ) = +
−( )4
2 1 2
pour tout a � 0.
4. Quel est le périmètre minimal pour un tel rectangle ?
109 On prend deux nombres strictement positifs. La
somme des inverses de ces deux nombres est-elle toujours
égale à l’inverse de la somme de ces deux nombres ?
R1
1R1
1R2
1Req
= +
R2
Un peu de logique
110 ET, OU et négation
Les nombres réels p, q, r, s, t sont tels que :
pqr = 1, rst = 0 et spr = 0.
Quels nombres doivent être égaux à 0 ?
Source : SATsource : SAT
111 Les significations de « un »
Vrai ou faux ?
1. Un entier qui se termine par 3 a son carré qui se
termine par 9.
2. Un entier qui se termine par 5 a son carré qui se
termine par 25.
3. Un entier qui se termine par 9 a son carré qui se
termine par 81.
112 Négation
1. Cette proposition est-elle vraie ou fausse ?
« Pour tout nombre entier naturel n, n n2 11 11+ + est un
nombre premier ».
2. Écrire la négation de cette proposition.
Analyser une production
113
La fonction f est représentée
ci-contre.
1. Lire graphiquement le
minimum de f.
2. Résoudre graphiquement
l’équation f x( ) = 0 .
3. La fonction f est défi nie
sur −[ ]1 3; par f x x x( ) = − +2 2 0 99, .
Critiquer les résultats précédents.
114 À vous de corriger !
Des élèves ont résolu l’équation 3 4 2 5− −( ) = +x x .
1. Trouver et expliquer les erreurs commises :
Clara Paul Leila3 4 2 5− −( ) = +x x− = + +2 2 4x x− =6 3 xx = − 2