Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Détermination de la conductivité thermique d'unmatériau composite par homogénéisation périodique
Inuence de la résistance thermique de contact
Abdelghani MATINE
MASTER 2 : Ingénierie mathématique
Dirigé par : Nicolas BOYARD Yvon JARNY
Patrice CARTRAUD Gregory LEGRAIN
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
PLAN
1 Etude mathématique
Présentation du problème
Développement asymptotique
Justication mathématique
2 Résultats numériques
Implémentation
Validation en 1D
Validation en 2D
3 Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Dénition
Première approche
deuxième approche
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Introduction généralepourquoi on s'intéresse à l'homogénéisation des composites
Les composites sont de plus en plus utilisés en aéronautique car :
1 grande résistance à la fatigue
2 faible vieillissement sous l'actionde l'humidité et de la chaleur
3 insensibles aux produitschimiques comme les graisses,huiles, liquides hydrauliques,peintures, pétrole...
Connaitre la conductivité thermique eective d'un matériau
permet :1 de calculer le champ de température dans une piéce pour des C.L données.
2 d'utiliser ce résultat pour prédire l'évolution des propriétés thermomécaniquesdans les conditions d'utilisation
Pour calculer la conductivité eective il y'a deux possibilités :1 détermination expérimentale
2 par le calcul(notre objectif)
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
INTRODUCTION : Qu'est ce que c'est l'homogénéisation
Dénition
Calculer les propriétés d'un matériau homogéne ctif équivalent à
un matériau hétérogène à partir de sa microstructure et des
propriétés de chacune de ses constituants.
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
Homogénéisation périodiqueDescription géométrique
On s'intéresse à l'homogénéisation périodique car le developpement
mathématique est connu lorsque le matériau a une structure
périodique
Fig.: Un matériau périodique Ω dans R²
Géométrie
1 Domaine Ω
2 DomaineΩm : lamatrice
3 Domaine Ωf : les fibres
Variables
1 Macroscopique x = zL
2 Microscopique y = zλ
3 Echelle ε = λL
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
Equation de la chaleur
L'équation de la chaleur en régime stationnaire sans source de
chaleur et avec un contact imparfait s'écrit sous la forme :
Equations
8>>>>>>><>>>>>>>:
divy (Am (y)∇yumε (x, y)) = 0 dans Ωm
divy“Af (y)∇yufε (x, y)
”= 0 dans Ωf
−Am (y)∇yumε (x, y) .−→n = −Af (y)∇yufε (x, y) .−→n sur Ωf−m = Ωm ∩ Ωf
−Am (y)∇yumε (x, y) .−→n = hλ“umε (x, y)− ufε (x, y)
”sur ∂Ωf−m = Ωm ∩ Ωf
uε = 0 sur ∂Ω
1 h = 1Rtc
2 Bi = hλAm
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
La formulation variationnelle
La formulation variationnelle est :
Formulation variationnelle(trouver uε ∈ H1
0 (Ω) tels que∀ v ∈ H10 (Ω) on a :´
Ω∇yv.A.∇yuεdΩ +´∂Ωf−m
hλ“umε (x, y)− ufε (x, y)
” `vm (x, y)− vf (x, y)
´ds = 0
On applique le théorème de LAX-MILGRAM pour prouver
l'existence et l'unicité de la solution
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
Introduction
On fait l'hypothèse que le champ de température admet un développementasymptotique à l'ordre 2 :
Développement asymptotique(uε (x, y) = u0 (x, y) + εu1 (x, y) + ε2u2 (x, y) +O
`ε²´
v (x, y) = v0 (x, y) + εv1 (x, y) + ε2v2 (x, y) +O`ε²´
On injecte ce développement dans la formulation variationnelle ,et on regroupe lestermes selon leur puissance, nous obtenons :
(´Ω∇yv0.A.∇yu0dΩ +
´∂Ωf−m
λh“um0 − u
f0
” “vm0 − v
f0
”ds)ε0
(´Ω∇yv0.A.∇xu0 +∇yv0.A.∇yu1 +∇xv0.A.∇yu0 +∇yv1.A.∇yu0 +´∂Ωf−m
λh““um0 − u
f0
” “vm1 − v
f1
”+“um1 − u
f1
” “vm0 − v
f0
””= 0)ε1
(´Ω`∇xv0.A.∇xu0 +∇xv0.A.∇yu1 +∇yv1.A.∇xu0 +∇yv1.A.∇yu1
´+´
∂Ωf−mhλ“um1 − u
f1
” “vm1 − v
f1
”)ε2 = 0
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
Equations
ε0 =⇒(u0 est continue
u0 (x, y) = u0 (y)
ε1 =⇒ pas d′information
ε2 =⇒
8<:1 :´Ω∇xv0.A.
`∇xu0 +∇yu1
´= 0
2 :´Ω`∇yv1.A.
`∇xu0 +∇yu1
´´dΩ +
´∂Ωf−m
λh“um1 − u
f1
” “vm1 − v
f1
”= 0
On fait le changement pour séparer les deux variables x et y
u1 (x, y) = −∇xu0 (x)w (y)
Equation 1 :P3i=1
´Ω∇xv0.A
`ei −∇ywi
´ ∂u0(x)∂xi
= 0
Equation 2´Ω
“∇yv1.A.
∂u0(x)∂xi
`ei −∇ywi
´”dΩ +
´∂Ωf−m
λh“wmi − w
fi
” “vm1 − v
f1
”∂u0(x)∂xi
=
0
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
Passage à la limite
=⇒︸︷︷︸ε→0
Equation 1 :P3i=1
´Ω∇xv0.A
`ei −∇ywi
´ ∂u0(x)∂xi
= 0
Equation 2´Ω
“∇yv1.A.
∂u0(x)∂xi
`ei −∇ywi
´”dΩ +
´∂Ωf−m
λh“wmi − w
fi
” “vm1 − v
f1
”∂u0(x)∂xi
=
0
Equationmacroscopique :divx
`A∗∇xu0
´= 0
A∗i,j =1
mes(ΩCel)
´ΩCel
A (x, y) .`ej −∇ywj
´.ei
Equationmicroscopique :´ΩCel
`∇yv1.A
`ei −∇ywi
´´dy +
´∂ΩCel
λh“wmi − w
fi
” “vm1 − v
f1
”ds = 0
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
Passage à la limite
=⇒︸︷︷︸ε→0
Equation 1 :P3i=1
´Ω∇xv0.A
`ei −∇ywi
´ ∂u0(x)∂xi
= 0
Equation 2´Ω
“∇yv1.A.
∂u0(x)∂xi
`ei −∇ywi
´”dΩ +
´∂Ωf−m
λh“wmi − w
fi
” “vm1 − v
f1
”∂u0(x)∂xi
=
0
Equationmacroscopique :divx
`A∗∇xu0
´= 0
A∗i,j =1
mes(ΩCel)
´ΩCel
A (x, y) .`ej −∇ywj
´.ei
Equationmicroscopique :´ΩCel
`∇yv1.A
`ei −∇ywi
´´dy +
´∂ΩCel
λh“wmi − w
fi
” “vm1 − v
f1
”ds = 0
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
Résumé
Finalement pour résoudre le problème homogénéisé :
Problème homogénéisé
divx (A∗∇xu0) = 0A∗i,j = 1
mes(ΩCel)
´ΩCel
A (x, y) . (ej −∇ywj) .ei
On suit les étapes suivantes :1 Resoudre l′equationmicroscopique´
ΩCel(∇yv1.A (ei −∇ywi)) dy +
´∂ΩCel
λh“wmi − w
fi
”“vm1 − v
f1
”ds = 0
2 Calculer les composantes du tenseur homogeneise :A∗i,j = 1
mes(ΩCel)
´ΩCel
A (x, y) . (ej −∇ywj) .ei
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
Introduction
On s'intéresse au cas particulier Rtc = 0(contact parfait)
problème hétérogène
Trouver uε ∈ H10 (Ω)tels que ∀v ∈ H1
0 on a :´Ω∇xv.A.∇xuεdx = 0
problème homogéne
Trouver u0 ∈ H10 (Ω)tels que ∀v ∈ H1
0 on ait´Ω∇xv.A
∗.∇xu0dx = 0A∗i,j = 1
mes(ΩCel)
´ΩCel
A (x, y) . (ej −∇ywj) .ei
Le but est de démontrer que uε 7−→ u0quand ε→ 0
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique
Etapes de la démonstration
1 uεest borné, donc on peut extraire une sous suite qui converge vers u∗dansH1
0 (Ω)
2 Montrer que A.∇xuε → σ∗faible dans L2 (Ω)
3 limε→0
´Ω∇xv.A.∇xuε =
´Ω∇xv.σ
∗ = 0
4 σ∗ = A∗.∇u∗
5 par unicité on conclut que u∗ = u0
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Logiciels utilisés
1 COMSOL MultiphysicsrCe logiciel utilise les éléments nis pour résoudreles équations aux dérivées partielles
2 MATLAB
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Implémentation
Algorithme 2.1 Algorithme pour calculer Ahom
programme calcul Ahom
==Création de la géométrie
==propriété thermique aux domaines
Km
Kf
==conditions de périodicité
==densité du maillage
==résoudre le problème de w :´ΩCel
`∇yv1.A
`ei −∇ywi
´´dy +
´∂ΩCel
λh“wmi − w
fi
” “vm1 − v
f1
”ds = 0
==intégration
A∗i,j = 1mes(ΩCel)
´ΩCel
A (x, y) .`ej −∇ywj
´.ei
n programme
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
On considère la cellule élémentaire suivante :
Hypothèses
1 km = 1W/m.K
2 kf = 50W/m.K
3 l = 1
4 l1 = l3 = 0.8
5 l2 = 0.2
Solution exacte
Kexacte =“kf (l1+l3)+kml2
lkfkm+ 2Rtc
l
”−1
Rtc(m2K/W ) Bi Kexacte Khom
10−4 104 1,243 1,2420.1 10 1,213 1,220103 10−3 10−4 10−4
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Inuence du nombre de Biot
Hypothèses
1 km = 0.2W/m.K
2 taux de fibre = 20%
Remarques
1 L′effet deBi sur Ahom estquasiment nulle partir 500
2 toutes les courbes convergentvers la courbe qui correspondau contact parfait
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Validation avec un composite bicouche
On considére la cellule élémentaire :
Hypothèses
1 λa = 5W/m.K
2 λb = 0.2W/m.K
3 Cb = 0, 4
4 Ca = 0, 6
Remarque
La solution exacte
dans le cas d'un
composite
bicouche est
connue
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Comparaison avec la solution exacte
Rtc : petite (1− Cb)λa + Cbλb 0
0λaλb
cbλa+(1−Cb)λb
! Rtc : grande„(1− Cb)λa + Cbλb 0
0 0
«
Rtc : moderee0@ (1− Cb)λa + Cbλb 0
0
„Cbλa+(1−Cb)λb
λaλb+ 2lRtc
«−1
1A
Rtc Bi aexactxx ahomxx aexactxy ahomxy aexactyx ahomyx aexactyy ahomyy
1 10−5 5.105 3.080 3.079 0 10−14 0 0 0.470 0.468
2 10−1 50 3.080 3.079 0 10−7 0 0 0.429 0.439
3 105 5.10−5 3.080 3.079 0 10−11 0 0 0 10−7
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Validation avec la littérature
On considère la cellule élémentaire :
Hypothèses
1 km = 1W/m.K
2 taux de fibre = 30%
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Validation avec la littérature
La conductivité(W/m.K)Bi Homogénéisé Litérature
10−7 0,537 0,53710−5 0,537 0,53710−3 0,538 0,53810−2 0,542 0,54110−1 0,570 0,5711 0,789 0,77210 1,113 1,111102 1,211 1,209103 1,221 1,220105 1,222 1,222107 1,222 1,2221010 1,222 1,222
Tab.: kf = 2W/m.K
La conductivité(W/m.K)Bi Homogénéisé Litérature
10−7 0,537 0,53710−5 0,537 0,53710−3 0,538 0,53810−2 0,542 0,54110−1 0,578 0,5721 0,825 0,81510 1,490 1,474102 1,776 1,768103 1,809 1,807105 1,813 1,812107 1,813 1,8121010 1,813 1,812
Tab.: kf = 50W/m.K
Code validé en 1D
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Milieu isotrope
Hypothèses
1 km = 0.2W/m.K
2 Bi = 5000
3 taux de fibre = 60%
Remarque
Lemilieu obtenu estisotrope
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Inuence du nombre de Biot
Hypothèses
1 km = 0.2W/m.K
2 taux de fibre =60%
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D
Inuence du taux de bre
Hypothèses
1 km = 0.2W/m.K
2 kf = 100W/m.K
Remarques
1 Apartir de bi = 500 il n′y a plusd′influence de bi sur Ahom
2 si le taux de fibre est grandalorsAhom est grande
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
Qu'est ce que c'est le VER et pourquoi le calculer ?
Dénition
On peut dénir le VER comme le volume contenant les hétérogénéités representativesde la microstructure et présentant les trois caractéristiques suivantes :
1 Ses propriétés eectives sont égales à celles du matériau hétérogène
2 Les propriétés calculées sur un VER ne doivent pas dépendre de la localisationdu VER.
3 Les résultats fournis par les descripteurs morphologiques de la microstructuredoivent être equivalents qu'ils soient appliqués au matériau hétérogène ou auVER.
Intérèts
un gain très important en terme de temps decalcul .
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
Principe
principe
L'idée consiste àréaliser des calculs despropriétés eectives surune fenêtre dont lataille augmente, etd'étudier la convergencedes propriétés calculéesen fonction de la taillede la fenêtre
Erreur relative
2 ∗ ecart−typemoyenne×
√n
dénition
V ER = max L ⊂ Ω/n = 1 et erreur relative ≤ valeur de tolerance
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
Algorithme
Algorithme 3.1 Algorithme pour calculer le V ER
programme calcul VER
==une boucle pour découper l'image en sous images
==Conserver que les bres et les parties des bres qui
sont à l'intérieur de la petite fenêtre
==Imposer les proriétées thermiques
Km
Kf
==proprieté thermique aux limites
==Conditions de périodicités
==Calculer Ahom
==calculer le taux de fibren programme
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
Image aléatoire
Carctéristiques
1 taille = 3000∗3000pixels2
2 taux de fibre = 53%
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
VER taux de bre
Remarques
1 On observe que le taux de bre est légèrement supérieur à 52% ce qui est unpeu moins de ce qu'on attendait
2 L'erreur relative tend à diminuer lorsque la taille d'image considérée augmente,ce qui est normal car on se rapproche du VER
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
VER conductivité thermique
Remarques
1 Le milieu obtenu est isotrope
2 L'erreur relative de axx diminue lorsque la taille de l'image augmente
3 pas d'inuence de Bi sur le VER
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
Image réelle
Caractéristiques
1 taille = 3475∗2865pixels2
2 taux de fibre = 52.5%
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
VER taux de bre
Remarques
1 L'erreur relative est plus elevée par rapport celle de l'image aléatoire. Ceci peutêtre expliqué par la présence des interplis
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
VER Conductivité thermique
Remarques
1 Contrairement à cequi a été observéavec l'imagealéatoire, axx et ayyn'ont pas les mêmesvaleurs (axx < ayy )
2 l'erreur relativeassociée à axx n'apas le mêmecomportement quecelle de ayy
3 dans ce casVER=max(VER(axx),
VER(ayy))
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
comparaison
Le tableau ci-dessous résume les VER déterminés pour l'image aléatoire et l'imageréelle pour lesquels l'erreur relative tolérée est inférieure ou égale à 9%
Image VER(Vf)(pixels2) VER pour Ahom( kfkm
= 50,50<Bi<50000)(pixels2)
aléatoire(Vf=53%) 300× 300 300× 300réelle(Vf=52,5%) 700× 700 900× 900
Remarques
La diérence entre les VER des deux images peut être expliquée par :
1 Les bres dans l'image aléatoire sont proches les unes des autres, donc ladispersion du taux de bre et de la conductivité est plus faible pour des imagesde petites tailles, contrairement à l'image réelle où les interplis augmente ladispersion des paramètres calculés
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
principe
principe
On génère des images de tailles200,300,600,800,1200 complètementindépendantes et qui ne se recouvrent pas,chaque image ayant un taux de bre de 40%, eton calcule les propriétés eectives. Cetteapproche a été eectuée pour des imagesaléatoires
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
VER conductivité thermique
Remarques
1 Le milieu est isotrope
2 L'erreur relative est très faible en comparaison avec la première approche
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
comparaison avec la première approche
Le tableau ci-dessous résume le VER associé à la conductivité homogénéiséedéterminées pour l'image aléatoire issue de la première approche et l'image issue de ladeuxième approche. L'erreur relative tolérée est inférieure ou égale à 6% :
Image VER pour Ahom( kfkm
= 50,5<Bi<50000)(pixels2)
Première approche(Vf=40%) 400× 400Image(deuxème approche)(Vf=40%) 200× 200
Remarques
On remarque que le VER associé à la conductivité homogénéisée de deuxièmeapproche a été divisé par 2 par rapport à la première approche. On peut supposer quecette diérence est lié au caractère totalement indépendant des images utilisée lors decette deuxième approche
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
Conclusion
Conclusion
Lors de ce travail nous avons eectué :1 Développement d'un modèle d'homogénéisation périodique à l'aide du
developpement asymptotique pour estimer le tenseur de conductivité thermiqueéquivalent d'un composite unidirectionnel dans le cas d'un contact imparfait
2 Implémentation des équations obtenus dans le logiciel Comsol parprogrammation MATLAB
3 Validation des résultats numériques avec les solutions exactes et des résultatsprovenant de la littérature dans le cas 1D et 2D
4 Détermination du volume élémentaire représentatif (VER)d'un matériau
composite unidirectionnel, pour cela :
1 Developper des programmes sous MATLAB permettant de calculer lesdiérentes propriétés étudiées
2 Appliquer la première approche sur des images aléatoires et des imagesréelles
3 Appliquer la deuxième approche sur des images aléatoires
Abdelghani MATINE
Etude mathématiqueRésultats numériques
Détermination d'un volume élémentaire représentatif
DénitionPremière approchedeuxième approche
Perspectives
1 Dans cette étude le modèle homogénéisé a été établi dans le cas d'un matériautrès grand, il serait interessant de prendre en compte l'eet des bords pour desmatériaux de taille nie
2 La détermination du VER avec le modèle d'homogénéisation a été établi pourdes images en 2D. La généralisation en 3D devrait suivre les mêmes étapes pourobtenir le tenseur homogénéisé dans les trois directions principales, nous devonsutiliser des images otenues par microtomographie par rayon X. Ceci impliquetout un travail préalable de traitement d'images.
Abdelghani MATINE