Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Ders Notları Dr. Serkan Aksoy Bu ders notları Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi (Prof. Dr. Mithat İdemen), 1992 kitabı temel alınarak, hazırlanmıştır. Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy ([email protected]) ile temasa geçiniz.
13
Embed
Dr. Serkan Aksoy - KDFT Ders Notlarıabl.gtu.edu.tr/dosya/102/~saksoy/Lecture Notes/Lecture... · 2020. 2. 12. · yakınsaklık katsayısı hesabının yapılması için d’Alembert
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
Kompleks
Değişkenli
Fonksiyonlar
Teorisi
Ders Notları
Dr. Serkan Aksoy
Bu ders notları Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi (Prof. Dr. Mithat İdemen), 1992 kitabı temel alınarak,
hazırlanmıştır. Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy ([email protected]) ile temasa geçiniz.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
İçindekiler
1. KOMPLEKS DÜZLEM ------------------------- 3
1.1. Kompleks Sayılar ------------------------------------------------------------------------------------------ 3 1.2. Metrik ve Limit Kavramı -------------------------------------------------------------------------------- 3
2. KOMPLEKS FONKSİYONLAR -------------- 3
2.1. Kompleks Düzlemde Bölgeler ------------------------------------------------------------------------- 3 2.2. Kompleks Fonksiyon & Riemann Yüzeyi ----------------------------------------------------------- 4
2.2.1. Kare Fonksiyonu ve Tersi ------------------------------------------------------------------------------------ 4 2.2.2. Üstel Fonksiyon ve Logaritma ------------------------------------------------------------------------------ 4 2.2.3. Cos ve ArcCos Fonksiyonları -------------------------------------------------------------------------------- 5 2.2.4. Sin ve Arcsin Fonksiyonları ---------------------------------------------------------------------------------- 5 2.2.5. Dallanma Noktası ve Mertebeleri -------------------------------------------------------------------------- 5
8.1. Hilbert Problem ------------------------------------------------------------------------------------------- 11 8.2. Wiener-Hopf Problemi ---------------------------------------------------------------------------------- 11
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
3
1. KOMPLEKS DÜZLEM
1.1. Kompleks Sayılar
’in esas argümanı ( ) olmak üzere, genel argümanı
( ) ( )
olarak yazılabilir ( ). Kompleks sayılarda
olmak üzere, buradan √ iken
( )
ifadesi Trigonometrik Gösterilim olarak bilinir. Her ( )'ya
tek bir karşılık gelirken, tersi yanlıştır.
deMoivre formülü:
, ( ) ( )- ( ) ( )
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
Çarpım
( ) ,
, ( ) ( )-
Üs
( )
⁄
⁄
⁄ [ (
) (
)]
Eşlenik kavramı
( ) ( )
, | | , ( )
* +
* +
| | | | | | | | | |
| | | || |
( ) ( ) ( )
1.2. Metrik ve Limit Kavramı
( ) | | kompleks uzayda Metrik olarak
tanımlanmak üzere, | | olacak biçimde
varsa dizisi yakınsak olup, limiti 'dır.
Cauchy Teoremi: Her için ( ) bulunabilsin. Öyleki
( ) iken | | ise dizi Yakınsaktır. Eğer
( ) ’den bağımsız ise Düzgün Yakınsaktır. Serinin mutlak
değerlerinin toplamı ile elde edilen seri yakınsaksa, seri
Mutlak Yakınsak'tır denilir (| | ise ıraksak, | |
Mutlak Yakınsak'tır).
Abel Teoremi: Bir kuvvet serisi noktasında yakınsak ise,
| | yarıçaplı daire içindeki tüm noktalarda Mutlak
Yakınsaktır. | | olmak üzere, daire içinde yakınsaklık
düzgündür (Yani ( ) , ( ) , iken
|∑
| Düzgün Yakınsak'tır).
yakınsaklık katsayısı hesabının yapılması için d’Alembert
|
| ⁄ ve Cauchy | |
⁄ ⁄
kriterleri uygulanır.
2. KOMPLEKS FONKSĠYONLAR
2.1. Kompleks Düzlemde Bölgeler
Kompleks uzayda her parça Bölge adını alır ve bölge içinde | | ise Sonlu (Sınırlı) Bölge denilir. iken | | olmak üzere tüm noktalar içte ise Açık Bölge, bölge
sınırında noktaların hepsini içeriyorsa Kapalı Bölge denilir.
Sonlu bir bölgede her ( ) noktası basit bir çizgi ile
birleştirilebiliyorsa Bağımlı Bölge, aksi halde Bağımsız Bölge
denilir. Bu çizgiler ötelemeyle üst üste çakıştırılabiliyorsa
Basit Bağımlı Bölge, aksi takdirde Basit Olmayan Bağımlı
Bölge denilir.
Basit bağımlı olmayan bölgede tane delik varsa, bu bölgeye
Bağımlı Bölge denilir ve kesim ile basit bağımlı hale
dönüştürülür. Sonlu olmayan bölgelerde durum farklıdır.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
4
2.2. Kompleks Fonksiyon & Riemann Yüzeyi
'e yalnız 1 eleman karşı gelirse Yalınkat Fonksiyon,
aksi halde Yalınkat Olmayan Fonksiyon denilir.
2.2.1. Kare Fonksiyonu ve Tersi
olmak üzere her 'e bir karşılık gelirken, her 'ya
bir karşılık gelmez.
;
} ve ’e hiperboller karşılık gelir.
iki farklı nokta: Kesim yapılarak tek nokta bulunup,
ters fonksiyon hesaplanabilir.
√ : Seçilen kol yazımda belirsizdir. İkinci
seçim (negatif reel sayılara karekök karşı gelmemesi) ele
alınsın.
Bu karekök kesimine Asal Kol denilir. Tüm kesim çizgileri ve
orijin bu kola dâhil değildir. Çünkü , ’a dönüşür. Buna göre ( ) noktalarına kesim çizgisinin bir uç noktası
olarak Dallanma Noktası (kesim çizgisine dâhil değil) denilir.
orjini kuşatıyorsa: (İkinci dönüşte ’e gelir).
orjini kuşatmıyorsa:
Her yaprağa Riemann Yüzeyi denilir. Fonksiyonun bir yaprakta
aldığı değerden hareketle, kesim çizgisi üzerinden geçerek
diğer yapraktaki değerini bulmaya Analitik Devam İlkesi
denilir.
2.2.2. Üstel Fonksiyon ve Logaritma
( )
}
⁄
peryodik fonksiyon olup, peryodu ’dir. O halde * + bandı üzerinde aldığı değerleri
( ) noktalarında da alır.
’in tersini düşünürsek asal kolu gösterir.
Asal Kol: Negatif reel eksen boyunca kesilmiş kol
düzlemini ( * + bandında) birebir-bir dönüştürür.
Burada pozitif reel sayıların logaritmaları belirli ve reeldir.
Daha farklı kesimlerde mümkün olmaktadır.
| | ( ) , ( )
sayısının durumu
Asal kol durumunda ( )
Bu durumda
( )
ve noktaları ’nin dallanma noktalarıdır.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
5
2.2.3. Cos ve ArcCos Fonksiyonları
’de kosinüs periyodik olduğundan, farklı ’ler tek bir ’ya karşılık gelir. Bu durumda geri dönüş hiperbollar ile aşağıdaki gibi olur.
}
}
Asal kol: , Diğer kol:
Logaritmik olarak
. √ /
, ve dallanma noktalarıdır.
2.2.4. Sin ve Arcsin Fonksiyonları
Asal kol:
.
/
Logaritmik olarak
. √ /
, ve dallanma noktalarıdır.
2.2.5. Dallanma Noktası ve Mertebeleri ( )’nın bir dallanma noktası ise, bunun
etrafında ( )’inci dönüşle hep aynı ( ) değerinden
elde ediliyorsa, bu noktaya ’inci Mertebeden Dallanma
Bu durum ’ın ve ’ye bağlı olduğunu gösterir. Özel olarak
( ) bulunursa Süreklilikten, sadece ( ) bulunursa Düzgün
Süreklilikten bahsedilir.
3.2. Fonksiyonun Türevi
( ) fonksiyonu için
( ) ( )
limiti sınırlı ve belirli ise, bu değere ( )'in Türevi denilir.
Türevin varlığı noktasında ( )'in sürekliliğini gösterir. Eğer ( ) belli bölgesinin
- Tüm noktalarında tanımlı
- Belirli ve sürekli bir türeve sahip ise
( ) tek değerli (diferansiyelli) denilir. Tek türeve sahip
fonksiyonlara Regüler Fonksiyon denilir (Açık, Kapalı
bölgelerde yada Noktada regülerlik tanımı yapılabilir). Eğer
( ), noktası hariç her yerde regüler, fakat 'da
regüler değilse noktasına ( )'in Ayrık Tekil Noktası denilir.
3.3. Regüler Fonksiyon & Cauchy Denklemi
, iken, 'e göre türev ( ,
)
( )
( )
'e göre türev ( , )
( )
( )
Bu türevlerin eşit olması için
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
6
olmalıdır. Bu denklemler Cauchy-Riemann Diferansiyel
Denklemleri olarak (yeter koşullar) bilinir. Türevin Riemann
yaprağı sayısı, fonksiyonun Riemann yaprağı sayısından az
olabilir. Buna örnek olarak, aşağıdaki fonksiyon verilebilir.
: Sonsuz sayıda yapraklı
⁄ √ ⁄ : İki yapraklı
( )'in noktası ve civarında türevi varsa (Cauch-Riemann
denklemlerini sağlıyorsa, kuvvet serisi açılımı mümkünse) o
noktada Analitik'tir denilir.
3.4. Reel ve Sanal Kısımların Harmonikliği
( ) 'de regüler (her mertebeden türevli) olmak
üzere
olduğu ispat edilebilir. Bu durumda ( ) Harmonik Fonksiyon
adını alır.
3.5. Reel – Sanal & Sanal – Reel Kısım
Cauchy denklemlerinde ( ) biliniyorsa, ( )’nin bir sabit farkı ile bileneceği açık olup ( ( ⁄ ) ( ⁄ ) )
( ) ∫
burada ( ) olarak integral yazılır. ( ) 'de
denklemini sağladığından, eğrisel integralin yoldan
bağımsızlığını garantileyen ⁄⁄ eşitliği
sağlandığından, eğer basit bölge ise eğrisel integralin
yolundan bağımsız olarak ( )’ye ( )’nin Harmonik
Eşleniği adı verilir. ( )’nin tek değerli bulunabilmesi için
basit bölge olmalı, değilse basit bölgeye dönüştürülmelidir.
3.6. Konform Dönüşüm - Geometrik Anlam
Türevi sıfırdan farklı regüler bir fonksiyon ile yapılan
dönüşümlerde açı korunur. Bu dönüşüme Konform Dönüşüm
denilir ve dönüşümün Jakobiyeni | ( )| 'e eşittir. Laplace
denkleminin dönüşümü Kendi Kendine olduğundan ilginçtir.
Eğer ve bağımlı ve sonlu bölgeler ise aralarında Laplace
denklemine benzer bir dönüşüm bulunabilir. Bu durum daha
genel olarak Riemann Dönüşüm Teoremi olarak bilinir.
4. KOMPLEKS ĠNTEGRAL
4.1. Eğrisel Ġntegral
Kendisini kesmeyen çizgiye basit eğri denilmek üzere
( ) ve ( ) fonksiyonlarının birinci mertebeden
türevleri eğrisinin tümünde var ve sürekli ise düzgün yay,
yayların birleşimine eğri adı verilir. Buradan
∑ ( )( )
serisinin toplamı 'nın seçiminden bağımsız sonlu bir limite
giderse
∫
∫ ( )
integrali oluşur. Eğer ∑ ( ) serisindeki fonksiyonlar
sonlu ve basit bağımlı bölgesinde regüler ve seri düzgün
yakınsak ise, bu durumda herhangi bir eğri üzerinden seri
terimlerinin her bir elemanının toplamı biçiminde alınacak
integral de düzgün yakınsaktır. ( ) iken ve 'ler
üzerinde sürekli iseler olmak üzere
∫ ( )
∫ ∫
integrali eğrisi kapalı (yönü sola veya sağa) iken de
doğrudur. Kompleks integraller reel integrallerin tüm
özelliklerine sahiptir.
4.2. Cauchy Teoremi & Yola Bağımlılık
Basit bağımlı bir bölgede ( ) regülerse, ∮ ( )
olup,
integralin yoldan bağımsızlığını gösterir. Benzer biçimde basit
bağımlı olmayan bölgelerde kesimle basit bağımlı bölge haline
getirilerek, integral aşağıdaki gibi değerlendirilir.
∮ ( )
∮ ∮
∮
∮
Cauchy teoremini tersi Morera Teoremi olup, doğrudur.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
7
Burada ve ’in yönleri aynı ise
∮ ( ) ∮ ( )
∮ ( )
’in yoldan bağımsız olması Cauchy teoremini
sağlaması, yani regüler olmasını gerektirir.
4.3. Ġntegralin Temel Formülü
basit bağımlı bölgesinde integral yola bağlı olmadığından
( ) integrali
( ) ∫ ( )
olmak üzere sabit iken, diğer uç noktasının bir fonksiyonu
olarak yazılabilir. Bu kapsamda ispat etmek mümkündür ki
( ) ( )
sağlanır. Bu durumda B içinde türevi sıfır olan fonksiyon bir
sabit olacağından
∫ ( ) ( )
halini alır. için integral 0 olacağından ( )
olmalıdır. Buradan
∫ ( ) ( ) ( )
formülü, bir integralin, integre edilecek fonksiyonu türev
kabul eden herhangi bir fonksiyonun integrasyon çizgisi
boyunca artımına eşit olduğunu söyler.
4.4. Ġntegral Limit Değeri (Jordan Teoremi)
| | veya | | olmak üzere
( )
∫ ( )
where can be zero valued.
| | veya | | olmak üzere
( )
∫ ( )
where can be zero valued.
| | iken ve olmak üzere
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
5. CAUCHY FORMÜLÜ
5.1. Sonlu & Sonsuz Bölge Cauchy Formülü
Basit veya basit bağımlı olmayan bir bölgede (sonlu bölge)
noktası hariç regüler olan bir ( ) fonksiyonu için
∫ ( )
( )
∫
∫
( ) ( )
olmak üzere
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( )
⏟
sağlanır. Sağdaki integralin sıfır olduğu ispat edilebilir ve
( )
∫
( )
formülü Cauchy Formülü olarak bilinir. Regüler ve kapalı
eğrileri dışında kalan bölgesinde için
(sonsuz bölge) ( ) düzgün olarak regüler oluyorsa,
Cauch formülü yine geçerlidir.
5.2. Regüler Fonksiyonun Türevi
Basit ve çok bağımlı sonlu bir bölgesi içinde regüler olan
( ) fonksiyonunun ’inci mertebeden türevinin aşağıdaki gibi olduğu ispat edilebilir.
( )
∫
( )
( )
Söz konusu bölgede ( ) sürekli ( ) türevlerine sahip ise,
tüm mertebeden türevlerde mevcuttur.
5.3. Rezidü Kavramı
( ) fonksiyonu ’da süreksizse ( ) ( )( )
fonksiyonu ’da regüler olmakla beraber ( )( )
fonksiyonuna ’da regüler olmayıp, bu değere
( )’in ’da ’inci mertebeden bir Kutbu denilir. Kutup
civarında ( ) fonksiyonu
( ) ∑
( )
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
8
olarak yazılabilir. Burada katsayısına ( )’in ’da
Rezidüsü, adı verilir. Bu durumda integral
∫ ( )
∑
|
olur ve
( )
* ( )( )
+|
olarak
yazılabilir. Bölge solda kalırsa +, sağda kalırsa – ile çarpılır.
5.4. Sonsuz Serilerin Toplamı
Sonlu sayıda kutuplarına sahip ( ’dan hiçbiri olmayan) ve bunun dışındaki bölgelerde regüler olan
( ) fonksiyonu göz önüne alınsın. Bu durumda ( ) ile ilgili
sonsuz seri toplamı aşağıda gibi yazılabilir.
∑ ( ) ∑ * ( ) ( )+
5.5. Kaldırılabilen Türden Tekillikler
( ) fonksiyonu bir bölgesinde hariç her noktada
regüler ve tüm bölgede sınırlı ise, fonksiyonun ’daki
tekilliği kaldırılabilen türden olup, ( ) tekillik noktasında
limit değer olarak tanımlandığı durumda ( ) fonksiyonu
bölgesinin tümünde regüler olacaktır. Bu durum kutupları
mevcut olan bir ( ) fonksiyonu ters çevrilmesi durumunda,
bu kutupların artık ( )⁄ için regüler olduğu söylenebilir.
5.6. Liouville Teoremi
Cauchy formülünün bir diğer sonucu da eğer bir fonksiyon
tüm düzlemde sınırlı ve sonlu her bölgede regülerse, bu
fonksiyon bir sabitten ibarettir biçiminde olup Liouville
Teoremi olarak bilinir. Liouville teoremi ( ) ve ( )
fonksiyonlarına uygulanırsa, sonlu her için regüler olan bir
fonksiyonun reel veya sanal kısmı bütün düzlemde sınırlı ise,
bu fonksiyon bir sabitten ibarettir biçimini alır. Benzer
biçimde bütün sonlu düzlemde harmonik ve bütün düzlemde
üstten (veya alttan) sınırlı olan bir fonksiyonun bir sabitten
ibaret olduğu da açıktır.
5.7. Maksimum Mutlak Değer Ġlkesi
( ) bir bölgesinde regüler ve özdeşleyin sabit değilse, | ( )| maksimum değerini ancak çevrede alır. Bu teorem
( ) fonksiyonuna uygulanırsa, bir bölgesinde harrmonik
bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini ancak
çevrede alacağı sonucu çıkartılır. Eğer içinde hiç bir noktada
( ) sıfır olmuyorsa ve ise ( )⁄ fonksiyonuna
yukarıdaki ilke uygulanarak | ( )|'in minimum değerini ancak
çevrede alacağı söylenebilir.
5.8. Ortalama Değer Teoremi
Bir bölgesinde regüler ( ) fonksiyonun bölge içindeki
herhangi bir noktasındaki değeri, fonksiyonun merkezli
herhangi bir daire üzerindeki değerlerin Aritmetik
Ortalamasına eşittir. Bu durum bölgesinde harmonik bir
fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini ancak 'nin
çevresinde alacağını da gösterir.
5.9. Weierstrass Teoremi
Kompleks terimli ( ) ( ) serisinin terimleri sonlu
bir bölgesinde regüler olsunlar. Eğer bu seri bölge sınırı
üzerinde yakınsak ise
- 'de de düzgün yakınsak
- Toplamı 'nin içinde regüler bir fonksiyondur. - Seri 'nin içinde terim terim istenildiği kadar türetilebilir. - Türevlerden elde edilen serinin içinde var olan
bölgesinde düzgün yakınsaklığı iddia edilebilir.
- Fonksiyon dizileri içinde benzer durum geçerlidir.
5.10. Taylor Serisi
| | dairesi içinde regüler her fonksiyon bu daire
içinde ( )'nin bir kuvvet serisi ile ifade edilebilir. Bir
bölgesinde ayrık tekil noktaları bulunan ( ) fonksiyonu göz
önüne alınsın. ( ) regüler olduğu bir noktası civarında
Taylor Serisine
( ) ∑ ( )
olarak açılabilir. Burada ( ) ⁄ .. Bu
serinin yakınsaklık yarıçapı 'ye en yakın tekil nokta ise
| | ile verilir. Bu daire içinde her bölgede Taylor
serisi düzgün ve mutlak yakınsaktır. Taylor serisinin bazı
sonuçları
civarında regüler bir ( ) fonksiyonunun kendisi ve
( )'inci mertebeye kadar türevleri noktasında sıfır
olsun. Bu durumda 'nin sözü geçen civarında ( )
olmak üzere
( ) ( ) [ ( )
( )
( )
( ) ]
( ) ( )
yazılabilir ve noktası ( )'nin Katlı Bir Sıfırı’dır
denilir. ( ) fonksiyonu sözü edilen civarda regülerdir ve
için sıfırdan farklı ve sonlu bir değere sahiptir. Bu
civarda ( ) olmadıkça sonlu olmak zorundadır.
( ) 'da regüler ve farklı noktalarında ( )
( ) ise, 'nın bir civarında ( ) ’dır. Çünkü
süreklilikten ( ) ( ) 'dır. O halde noktası
bir sıfırdır, fakat ayrık değildir.
Teklik Teoremi: ( ) ve ( ) fonksiyonları bölgesinde
regüler olsunlar. dizisi içinde bir noktasına yakınsamak
koşulu ile, her için ( ) ( ) ise tüm bölgesi
içinde ( ) ( )'dir. Bir diğer anlamda regüler bir ( )
fonksiyonun limiti içinde bulunan bir dizi üzerindeki
değerleri verilirse, bu fonksiyon tek bir şekilde belli olur.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
9
5.11. Laurent Serisi
halkası içinde regüler ( ) fonksiyonu
( ) ∑
( )
şeklinde Laurent Serisi'ne açılabilir. Laurent serisi
içerisinde kalan halkasında düzgün yakınsaktır. Negatif
kuvvetlerden oluşan kısım Esas (Principal), diğer kısım
Regüler kısımdır.
5.12. Tekil Noktası & Fonksiyon Sınıfları
( ) fonksiyonunun ayrık bir tekil noktası olsun.
a) 'a yakın tüm değerleri için ( ) sınırlı ise, bu tekillik
Kaldırılabilir Türden Tekillik adını alır.
b) iken ( ) ise tekillik bir Kutup'tur.
c) iken ( ) sınırlı değil, fakat sonsuzda değil ise (yani
'in 'a gidişine göre farklı değerler alır ve bu değerler
arasında sonsuzda vardır) Esaslı Tekil Nokta adını alır.
Kesilmemiş tüm düzlemde ve düzlemin her sonlu parçasında
bir fonksiyonunun tekil noktaları sadece kutuplardan
oluşuyorsa Meromorfik'tir denilir. Tekil noktası sonsuzda olan
fonksiyona Tam Fonksiyon denilir. Böyle bir fonksiyon için
sonsuz noktası bir kutupsa bu fonksiyon mecburen bir
polinomdur (rasyonel tam fonksiyon), sonsuz noktası bir esaslı
tekil nokta ise Transandant Fonksiyon adını alır.
5.13. Mittag – Leffler Formülü
( ) meromorfik bir fonksiyon iken, bu fonksiyonun kutupları
| | | | | | olmak üzere
( ) ( ) ( )
( )
∑ [ (
) ]
Mittag-Leffler formülü olarak bilinen bu ilişki kutupları
aracılığı ile Meromorfik fonksiyonların analitik ifadesine
imkan sağlar.
5.14. Parametreye Bağlı Ġntegraller
( ) ∫ ( )
türü integrale Parametreye Bağlı İntegral denilir ve
- , - ve ve sonlu olmak üzere ( ) sürekli ve
her için ’ye göre regüler ise, içerisinde ( ) regülerdir.
- , - aralığının sonlu olmaması durumunda, inregralin ’de düzgün yakınsak olması koşulu ile içinde ( ) regülerdir.