Dr. Gróf Gyula: hotan fejezetek

H TAN FEJEZETEK a H s ramlstechnika

M szaki Managereknek cm trgyhoz

El ads Jegyzet

Dr. Grf Gyula

BME Energetikai Gpek s Rendszerek Tanszk www.energia.bme.hu

2005.

BME M

szaki Manager H s ramlstechnika, H tan

Grf Gyula, 2005. 2

El sz A Budapesti M szaki s Gazdasgtudomnyi Egyetem M szaki Manager szakn el adott H - s ramlstechnika cm trgy H tan fejezeteinek elsajttst segtend kszlt e jegyzet. A m szaki H tan kt fontos tmakrbe enged bepillantst a manager szakos hallgatknak: a termodinamika s h tvitel alapjaival ismerteti meg ket. A trgy el adsainak sz ks keretei termodinamikbl csak nhny alapvet fogalom bevezetst, a f ttelek rvid ismertetst az idelis gzok egyszer llapotvltozsait s a kapcsold llapotjelz megvltozsok szmtsi mdjait valamint nhny alapvet krfolyamat, a termikus hatsfok bemutatst teszi lehet v. A h tvitel tmakrb l a h terjeds mdjait, az egyszer geometrij testek stacionrius h vezetsnek, h tvitelnek tovbb a h cserl kkel kapcsolatos egyszer sszefggsek trgyalsra szortkozik. A jegyzet kt hosszabb, a Termodinamika s a H kzls tmakreit kln-kln trgyal jegyzetekb l kerlt kiemelsre, rvidtsre, gy az ebb l add esetleges hibkrt az olvas elnzst krem.

Bzva abban, hogy a kpzsben rszvev hallgatk a tanulmnyaikhoz hasznosnak tartjk e jegyzetet, eredmnyes tanulst kvnok.

Budapest, 2005.

Grf Gyula

BME M szaki Manager H s ramlstechnika, H tan

Grf Gyula, 2005. 1

Bevezets Az anyagok tulajdonsgainak tanulmnyozsa, atomos felptsk, az atomokra vonatkoz trvnyszer sgek feltrsn keresztl sok tudomnyg tmakre. Az anyagok bizonyos, fontos tulajdonsgai kztt olyan tulajdonsgok is vannak, amelyeket az anyagszerkezet konkrt ismerete nlkl is megismerhetnk. Trtnelmileg, ilyen sszefggsek feltrsa, a termodinamika kialakulsa meg is el zte az anyagok bels szerkezetnek megismerst. A termodinamika megszletst NICOLAS SADI CARNOT ltal, a legjobb hatsfok gp megptsnek krdsvel kapcsolatos vizsglataival azonosthatjuk, mely a g zgpnek, mint az ipari forradalom egyik legfontosabb berendezsnek tanulmnyozsval kezd dtt. Mi trtnjen a munkt vgzett g zzel? Alkohollal nagyobb hatkonysggal zemeltethet -e a g zgp? Milyen tulajdonsg anyagot kellene a vz helyett hasznlni, hogy jobb gpet pthessnk? Ezekre a krdsekre keresve a vlaszt, a tanulmnyozsok mintegy mellktermkeknt derltek ki az anyagok bizonyos tulajdonsgaira vonatkoz, az anyag szerkezetnek teljes ismerete nlkl felismert sszefggsek. Tegyk hozz, hogy CARNOT idejben az energia megmaradsnak elvt mg nem ismertk. CARNOT felismerse mint a termodinamika valamennyi eredmnye ltszlag igen egyszer : Nem lehetsges adott h mrskleten egy rendszerrel egyszerre h t kzlni s e h t munkv alaktani, gy, hogy a rendszerben vagy a krnyezetben semmi ms vltozs ne menjen vgbe. (E megfogalmazsban az utols kikts igen lnyeges.) Ma ezt a felismerst a termodinamika II. F ttelnek nevezzk, melynek tbb CARNOT-ot kvet megfogalmazst is ismerjk. Kiegsztve CARNOT ttelt az energia megmarads ttelvel, amit I. F ttelnek neveznk, azt mondhatjuk, hogy a termodinamika lnyegt megismertk. Ilyen egyszer lenne a termodinamika? A vlasz igen is meg nem is. A termodinamika lnyegi megfogalmazsai valban egyszer ek, de azok alkalmazsai, az egyes jelensgek, a klnbz gpekben lejtszd folyamatok mennyisgi lersa bonyolult s sszetett tudomnny teszik termodinamikt. A h mechanikai munkv alakthatsgnak vizsglata mellet kevss a figyelem kzppontjban a h terjeds mechanizmusnak tanulmnyozsa is a kutatsok trgyv vlt. FOURIER 1822-ben megjelent m ve nem csak a h tan fejl dse szempontjbl jelent s hanem a matematikai-fizika korszaknak, egy j tudomnygnak a megindtjaknt is tekinthetnk r azzal, hogy els nek adta meg egy transzport folyamat trelmleti lerst. Alkalmazott mdszereinek nyomdokn szlettek meg az egyb transzport folyamatok lersai, mint a villamos tltsek ramlsnak 1827-ben OHM ltali, diffzinak 1855-ben FICK ltali lersa. A h tan tudomnynak igazi fejl dse a XIX. szzad utols vtizedeiben vette kezdett. A h vezets mellett a h terjeds egyb forminak felismerse s lersa mr a modernkor tudomnyos eredmnye, amely eredmnyekhez elengedhetetlen volt a matematika mdszeres alkalmazsa s fejl dse. A huszadik szzad elejn kerlt kidolgozsra a ksrleti adatoknak a hasonlsg elmleten alapul feldolgozsnak s ltalnostsnak mdszertana. A jelensgek mennyisgi lershoz differencilegyenletek (egyenletrendszerek) fellltsn s megoldsn keresztl juthatunk el. Sok esetben nem a leregyenletek, hanem a megolds un. peremfelttelei annyira sszetett teszik a matematikailag megfogalmazott feladat megoldst, hogy kzvetlen ksrleti eredmnyeken alapul, (flempirikus) sszefggsek hasznlata elkerlhetetlen. A technikai gyakorlat legtbb esetben a gpek, berendezsek klnbz folyamatai igen bonyolultak. Az sszetett folyamatok tanulmnyozsban, a szksges berendezsek megalkotsnak folyamatban, fontos a szerepe a lnyeges tnyez k felismersnek s a kzttk fennll fizikai trvnyszer sgek megllaptsnak kpessge. A bonyolult feladatoknak gy, bizonyos rtelemben kzelt megoldsa, a mrnki gyakorlat eredmnyes, ltalnos mdszere. Az energia talaktsval s terjedsvel kapcsolatos folyamatok, gpek tervezsi s zemeltetsi krdseit is az elmondottakkal jellemezhetjk legjobban, ezrt nem tlz az a megllapts, hogy a termodinamika s a h kzls alapvet trvnyeinek s sszefggseinek ismerete nlkl a legtbb mrnki tevkenysg sem vgezhet eredmnyesen.


Grf Gyula, 2005. 2

1. TERMODINAMIKAI ALAPFOGALMAK

1.1. Rendszerek, llapotjelz k, idelis gz A termodinamika az energia egyik formbl msikba trtn talakulsval s az ehhez kapcsold anyagtulajdonsgokkal, illetve e tulajdonsgoknak az energiatalakulsi folyamatokban val vltozsaival foglalkoz tudomny. Az sszes tudomnyghoz hasonlan, a termodinamika is tapasztalati tnyekre, az azokbl lesz rt trvnyszer sgekre pl. A tapasztalati eredmnyekre tmaszkod alapvet sszefggseit f tteleknek nevezzk. A klasszikus termodinamika ltal hasznlt szemlletmd, ezzel az ltala hasznlatos fogalmak nagy rsze felttelezi, hogy a rendszer nagyszm (AVOGADRO szm nagysgrend x1023) elemi rszecskb l ll, s nem ignyli, hogy ismereteink legyenek az egyes rszecskk viselkedsr l, azaz makroszkopikus jelensgek vizsglatval s lersval, makroszkopikus szemlletben foglalkozik. A statisztikus mechanika az, mely a nagyszm elemi alkotrsz viselkedsnek tlagos rtkeib l vezeti le a vizsglt jelensgre, tulajdonsgra vonatkoz sszefggseit. A termodinamika vizsglatai az n. termodinamikai rendszerre vonatkoznak. A termodinamikai rendszeren, ahogy a termodinamikban ezt hasznljuk, valsgosan vagy kpzeletben, bizonyos szempont vagy szempontrendszer szerint kivlasztott anyagmennyisget vagy trrszt rtnk. Minden, ami a kivlasztsunkbl kimaradt (anyag s/vagy trrsz), az a rendszer krnyezete. A rendszert a krnyezett l az n. hatrol fal vlasztja el, ami lehet valsgos vagy kpzeletbeli, s ppen ennek a hatrol falnak a tulajdonsgai hatrozzk meg azt, hogy a rendszer s a krnyezete kztt milyen termszet (energia) klcsnhatsok jhetnek ltre. A termodinamikai rendszert zrt rendszernek tekintjk s nevezzk, ha vizsglatunk trgyt tmegcsert megakadlyoz mdon hatroltuk el. Azaz rviden gy fogalmazhatunk, hogy a rendszer zrt, ha a tmege adott, azaz nincs tmegcsere a krnyezettel. A termodinamikai rendszert nyitott rendszernek nevezzk, ha a rendszer s a krnyezete kztt tmegtranszport van. Mivel a m szaki gyakorlat szmos folyamata kapcsn ez a tmegtranszport az id ben lland mrtk , a nyitott rendszer kifejezst is ebben a sz kebben rtelmezett mdon, azaz a stacionrius mdon tramolt rendszerek megnevezsre fogjuk hasznlni. Stacionrius mdon tramlott a rendszer a kvetkez k teljeslsekor:

a be- illetve kilp tmegram id ben lland, egymssal megegyez , aminek kvetkeztben a rendszerben tartzkod tmeg mennyisge lland,

be- s kilp anyagramok jellemz i a rendszerhatron id ben llandk, a krnyezettel val klcsnhatsok id ben llandk.

A rendszer zrt, vagy nyitott volta, egyb, ms klcsnhatsokra korltozst nem jelent, azaz mind a zrt, mind a nyitott rendszer s a krnyezete kztt mechanikai, termikus stb. klcsnhatsok megvalsulhatnak, az elhatrol fellet tjrhatsgnak megfelel en. A 1.1. bra egy-egy technikai folyamatot brzol, a zrt s a nyitott rendszerre pldaknt.


Grf Gyula, 2005. 3

tengely

ellen rzfel let

g z ki

g z bemechan ika imunka

llandtmeg

ellen rz fel let

mechan ika imunka

1.1. bra Plda zrt s nyitott rendszerre

Mivel a termodinamikai sszefggsek matematikai alakjai, azaz az egyenletek, annak megfelel en vltoznak, hogy milyen (zrt vagy nyitott) rendszerre vonatkoznak, fontos tisztzni a problma megoldsa el tt, hogy az adott jelensget, folyamatot milyen rendszerknt tudjuk megfelel en lerni. A termodinamikai rendszerekben lv anyagokat termodinamikai kzegnek, rviden kzegnek szoks nevezni. Azokat a mennyisgeket, amelyek a rendszer llapotrl tjkoztatnak, llapotjelz knek nevezzk. (pl. nyoms, trfogat, h mrsklet, bels energia) Vannak ms mennyisgek, melyek nem llapotjelz i a rendszereknek, hanem a folyamatokhoz kapcsoldnak. (pl. munka, h ) Az llapotjelz ket a rendszer kiterjedshez val viszonyuk lapjn kt csoportra oszthatjuk: Extenzv mennyisgek azok, melyek a rendszer kiterjedsvel arnyosak (pl. tmeg, trfogat, sszes energia, stb.) Ezeknek a mennyisgeknek a szmrtkeit az egyes rszekre vonatkoz szmrtkek sszegzsvel hatrozhatjuk meg. A tovbbiakban a tmeg kivtelvel, nagy bet vel fogjuk jellni az extenzv mennyisgeket, pl. trfogat V, sszes energia E, bels energia U, entalpia H, stb. Az extenzv llapotjelz k alaptulajdonsga teht additivits. Ugyanakkor a legtbb extenzv llapotjelz re megmaradsi ttelek is rvnyesek, de pl. az entrpira nem. Intenzv mennyisgek azok, amelyek szmrtke fggetlen a rendszer kiterjedst l, s egyenslyban a szmrtkk minden pontban azonos. Az intenzv llapotjelz ket szoks a folyamatok un. hajter ivel is azonostani. Fajlagos mennyisgeknek nevezzk a tmegegysgre vonatkoztatott extenzv llapotjelz ket (pl. fajtrfogat, fajlagos bels energia, stb.) s a tmegegysgre vonatkoztatott nem llapotjelz mennyisgeket is (pl. fajlagos munka, fajlagos h , stb.). A fajlagos mennyisgeket kisbet s rsmddal jelezzk, mgpedig ugyanazzal a bet vel mint amely mennyisgb l szrmaztattuk. (Pl. fajtrfogat v=V/m, fajlagos bels energia u=U/m, fajlagos munka w=W/m, stb.) A fenti osztlyozsn tl a p,v,T llapotjelz ket mint termikus llapotjelz ket, a bels energit, entalpit, entrpit mint kalorikus llapotjelz ket szoks megklnbztetni. Termodinamikai egyenslynak nevezzk azt az llapotot, s az ilyen llapot rendszert magra hagyott, vagy izollt rendszernek nevezzk, amelyre fennll:

termikus egyensly, azaz a h mrsklet minden pontban azonos. mechanikai egyensly, a nyoms minden pontban azonos. fzisok egyenslya, a fzisok mennyisge lland. kmiai egyensly, a kmiai sszettel lland.


Grf Gyula, 2005. 4

A termodinamikai egyenslyrl s az intenzv llapotjelz kr l szl a termodinamika 0. F ttele:

Egymssal klcsnhatsban lv rendszereknek, egyenslyban annyi egyenl szmrtk intenzv tulajdonsguk van, ahny klcsnhatssal szemben az elhatrol falak tjrhatak. Minden egyes klcsnhatshoz tartozik a termodinamikai rendszernek egy-egy olyan tulajdonsga, amelyek egyez sge a szksges s elgsges felttele az adott klcsnhatsban lv egyenslynak. Ezeket a tulajdonsgokat empirikus intenzits paramtereknek nevezzk, mivel e paramterek skljt empirikusan kell megllaptani. Egyszer rendszerek esetn ilyen paramter a nyoms s a h mrsklet.

A h mrsklet a termikus klcsnhats intenzits paramtere, melynek meghatrozsra szolgl eszkz a h mr . H mrsklet mrs cljra alkalmas minden olyan anyagtulajdonsg, amely egyrtelm fggvnye a h mrskletnek. Clszer en, valamely knnyen mrhet tulajdonsgot alkalmazunk. Ilyen tulajdonsg lehet pl. kapillris cs ben lv folyadkoszlop hosszsga, lland nyomson a trfogat, lland trfogat mellett a nyoms, elektromos ellenlls, termo-elektromos feszltsg, kristly (pl. kvarc) rezgsi frekvencija stb. Brmely hatst is vlasztva, szksg van jl reproduklhat alappontokra, melyekhez az adott tulajdonsg, adott krlmnyek kztti mr szmait hozzrendeljk. Az alappontok kztt, valamilyen, megegyezsen alapul sklt alkalmazunk. Ilyen sklk mr szmai a CELSIUS fokban, FAHRENHEIT fokban mrt h mrskletrtkek. Ugyanakkor hasznljuk az abszoltnak nevezett h fok sklt, melynek skla osztsa egyezik a CELSIUS skla osztsval s a nullpontja a vals rendszerekkel elrhetetlen termodinamikai llapothoz rendelt, n. abszolt nullapontban van, melyhez a 273.15 C = 0 K rtk tartozik. Megklnbztetsl az empirikus skla szerinti h mrskletet t-vel, az abszolt vagy termodinamikai skla szerintit T-vel jelljk, mrtkegysge pedig a fokjel nlkli K-val jellt KELVIN. A termodinamikai rendszer llapotjelz i egyenslyi llapotban nem fggetlenek egymstl, a kzttk fennll sszefggst llapotegyenletnek nevezzk. A gz s folyadk halmazllapot kzeg llapotjelz i kztt fennll az

( )f m p V T, , , = 0 (1.1) alak egyenlet, amelyb l 1 kg anyagmennyisgre kapjuk, hogy

v v p T= ( , ) , vagy p p v T= ( , ) , vagy T T p v= ( , ) . Azaz az egy komponens , egyenslyi rendszerben, egy fzis esetn kt llapotjelz rtket vehetnk fel egymstl fggetlenl, azaz a rendszer kt szabadsgfok. llapotvltozson azt rtjk, amikor a termodinamikai rendszer valamilyen (kezd ) llapotbl egy msik (vgs ) llapotba kerl. Amikor a folyamat egyms utni, egymstl elemi (vgtelenl kicsi) mrtkben klnbz , egyenslyi llapotok sorozatn keresztl jn ltre, az llapotvltozst egyenslyi llapotvltozsnak nevezzk. Ebben az esetben az llapotegyenlet rvnyes az llapotvltozs teljes menetre. A technika valsgos folyamatainak jelent s rszt, nagyon j kzeltssel ilyen llapotvltozsnak tekinthetjk. Amennyiben nem kvnjuk valamennyi llapotjelz rtkt mrssel meghatrozni egy llapotvltozs sorn, illetve az llapotvltozs tnyleges vgrehajtsa nlkl szeretnnk a folyamat eredmnyeknt kialakul llapotjelz rtkeket meghatrozni, (pl. folyamatok megtervezsekor) szksgnk van az llapotjelz k kztti sszefggsek ismeretre.

Az 1.2. bra egy lland kmiai sszettel egyenslyi rendszer jellegzetes n. llapotfellett brzolja p-v-T koordinta rendszerben. llapotfelletnek az egyenslyi rendszer llapotjelz i ltal a p-v-T koordinta rendszerben alkotott felletet nevezzk.


Grf Gyula, 2005. 5

GZ

FOLYADK+G Z

kritikus pont

SZILRD+G Z

SZILRD

SZILRD+FOLYADK

p

v

nyomskonstans

T

hrmas llapot

FOLYADK

vonal

kritikus izoterma

TlhevtettG Z

1.2. bra Fagyskor sszehzd rendszer pvT llapotfellete

gy az llapotfellet minden egyes pontja egy-egy olyan p-v-T rtkhrmast jelent, melyet a rendszer egyenslyi llapotban tapasztalhatunk. Mint az 1.2. bra alapjn is megtlhetjk, az llapotfelletet annak bonyolultsga miatt, egyetlen sszefggssel lerni, jelenlegi ismereteink szerint nem tudjuk. A gyakorlat legtbb esetben erre nincs is szksgnk, mert az llapotvltozsok kezdeti- s vgllapotai ltalban a p-v-T rtkeinek egy-egy sz kebb tartomnyn bell helyezkednek el, gy elgsges lehet csak az adott tartomnyra rvnyes sszefggs alkalmazsa.

Az (1.1) llapotegyenlet legegyszer bb alakja az idelis gzra vonatkozik, mely fizikai modell, az alkot rszecskk (atomok, molekulk) kztt a tkletesen rugalmas tkzsen kvl, minden egyb klcsnhatst figyelmen kvl hagy:

p vT

= lland. (1.2)

A tapasztalatok szerint, klnbz h mrskleteken a nyoms cskkentse esetben az (1.2) szerinti hnyados minden gzra, egy mlnyi mennyisg, azaz azonos szm molekula (egy atomosoknl atom) esetben ugyanazon az rtkhez, az Ru =

8314 Joluekmol K n. univerzlis gzllandhoz tart. (1.3. bra) Egy adott anyag gzra, amg a nyomsa nem tlsgosan magas vagy a h mrsklete nem tl alacsony rtk , ms szval a s r sge elg kicsi, hasznljuk az idelis gz

p v mM

R Tu = (1.3)

llapotegyenletet, ahol az M, kg/kmol az adott anyag molekulatmege.


Grf Gyula, 2005. 6

Az (1.3) egyenlet azonban egyltaln nem hasznlhat folyadkokra, s a valsgos gzok esetben is sok esetben nem elg pontos a gyakorlat szmra.

A hromdimenzis llapotfellet szemlletes, de nem tl alkalmas eszkz, gy tekintsk a Z=pv/RT kifejezst, az n. rel faktort (kompresszibilitst). A mrsek tanulsga szerint a valsgos gzok esetben az idelis gznak megfelel Z=1 rtket mg igen magas h mrskleten is csak megkzeltik, mg elrni csak a nulla nyomson rnk el. Az 1.3. bra a nyoms fggvnyben mutatja a Z kompresszibilits rtkre kapott mrsi eredmnyeket. (A Tk s pk a kritikus llapothoz tartoz h mrsklet s nyoms rtk.) Megllapthatjuk, hogy mg gzok esetben is az (1.3) egyenlett l val eltrs jelent s. A mondott problma megoldsra lehetsges egyik lehet sgnk, hogy az anyagok llapotjelz i kztti sszefggseket empirikus egyenletekkel rjuk le. Az ilyen tpus llapotegyenletekkel, mivel kzvetlenl az adott kzegre vonatkoz mrsi eredmnyek matematikai interpretcii, egy-egy kzeg llapotjelz it a legpontosabban szmthatjuk, klnsen a szmtstechnika mai elterjedtsge s fejlettsge mellet.

pk 12pk

T k

8pk

Folyadk

Gz

1

Vonz er k miat t azidelisnl kisebb tr fogat

Taszt er k miat t azidelisnl nagyobb tr fogat

T kKrit ikuspon t

1.2T k

0.9T k

5T k

1.2T k2.5T k

20T k

0.9T k p

pvRT

pvRT

> 1

pvRT

< 1

1.3. bra A Z=pv/RT vltozsnak jellege


Grf Gyula, 2005. 7

2. A TERMODINAMIKA I. S II. F TTELE 2.1. A h s a munka fogalma

Az energia megmaradsnak elve a termszettudomnyok egyik legfontosabb alapttele. A termodinamika I. F ttele nem ms, mint az energia megmarads elvnek megfogalmazsa termodinamikai rendszerekre, azaz a munka, a h s a rendszer (bels )energija kztti kapcsolatot rja le. Az I. F ttel matematikai megfogalmazsa el tt a munka s a h , mint kt alapvet mennyisg meghatrozsra trnk ki. Az I. F ttel a termodinamikai folyamatok valsgos lejtszdsrl nem ad felvilgostst. A minden energiaforma egyenrtk sgre kimondott megllapts arra utal, hogy az (energia)talaktats az energiaformk kztt tetszs szerinti irnyban megvalsthat. A tapasztalatok azonban azt mutatjk, hogy ez nem gy van, s ezt a tnyt a termodinamikban a II. F ttel mondja ki, mellyel a fejezet msodik fele foglalkozik.

A H Amennyiben kt, a krnyezett l elszigetelt rendszert kapcsolatba hozunk egymssal, az llapotjelz k megvltozsnak oka a kt rendszer kztti energiaram (energiatranszport). Egy adott rendszer h mrsklete sokfle hats kvetkeztben vltozhat meg, a tovbbiakban csak az eltr h mrsklet rendszerek kapcsolatba kerlse miatti h mrskletvltozsukat s ezek kivlt okt vizsgljuk.

T IIV1T I T

V2

Tm

m

2.1. bra Krnyezetkt l elszigetelt, termikus kapcsolat rendszerek

Tekintsk a 2.1. bra alapjn a krnyezettkt l tkletesen elszigetelt I. s II. rendszereket. Az II. rendszer egy srldsmentesen mozg dugattyval lezrt, hengerben lv gz, melynek TII h mrsklete nagyobb, mint a merev fal h szigetelt tartlyban lv gz TI h mrsklete. A kt rendszer h mrsklete egy id utn azonoss vlik. A mindkt rendszer kls hatsoktl mentes h mrskletvltozsnak oka a msik, (t le klnbz h mrsklet ) rendszer jelenlte s h mrskletnek megvltozsa. A klasszikus termodinamika kialakulst kvet en BROWN ksrleteib l tudjuk, hogy az alkot rszecskk rendezetlen mozgsnak sebessg tlagrtke a h mrsklet nvekedsvel n , ami azt is jelenti, hogy a kinetikus energijuk n . gy az I. rendszer h mrskletnek nvekedse a rendszerbe lp energia kvetkezmnye. A II. rendszer h mrskletnek cskkense az alkot rszecskk kinetikus energijnak cskkensnek kvetkezmnye. Megllapthatjuk teht, hogy a kt rendszer h mrskletnek kiegyenlt dst, energinak az egyik rendszerb l (nett tmeg transzport nlkl) a msikba jutsa okozza. Azt az energia mennyisget, mely kt klnbz rendszer kztt, azok h mrskletbeli klnbsgk miatt az egyik rendszert l a msik rendszernek taddik, h nek nevezzk. A fizika fejl dstrtnetnek bizonyos szakaszn a h nek anyagi termszetet tulajdontottak. Ebben az id ben a h anyagnak az egyik testb l a msikba trtn ramlsval magyarztk a klnbz h mrsklet testek h mrskletnek kiegyenlt dst.


Grf Gyula, 2005. 8

A h csere, h ramls, h leads, h felvtel stb. kifejezseink ugyan erre utalhatnak, de megismtelve a pr sorral korbbi defincinkat: a h nem ms, mint h mrsklet klnbsg okozta energiatranszport, s ha ennek tudatban hasznljuk a fenti kifejezseket, az rtelemzavart elkerlhetjk. Az el bbi defincinak megfelel en a h t, mint a rendszer hatrn traml energia mennyisget hatrozhatjuk meg. Ami tovbb azt is jelenti, hogy sem a rendszerben trolt energival nem azonosthat s nem is az adott rendszer llapotjelz je. A h tlpve a rendszer hatrt, a rendszert alkot elemi rszek (atomok, molekulk, szubatomi rszecskk) potencilis s/vagy kinetikus energijt nveli, vagy ppen az emltett energik cskkense a forrsa annak a h nek, mely a rendszerb l kilp. Annak a h nek az el jelt tekintjk pozitvnak, amely az adott rendszer fel ramlik s negatvnak a rendszerb l tvozt. Az adott rendszerrel kapcsolatos sszes h jellsre a Q-t hasznljuk, a tmegegysgre fajlagostott mennyisgt q-val jelljk, a szoksos nagybet -kisbet hasznlatnak megfelel en. Azt a folyamatot, melyet nem ksr h ram a rendszer s a krnyezete kztt, adiabatikusnak nevezik, s ugyancsak adiabatikus az a rendszer, melyet olyan hatrol fellet vlaszt el a krnyezett l, mely a h ram megjelenst megakadlyozza. (Valjban adiatermikus rendszerrr l s falrl van sz pontosan, az adiabatikus fal a termikus s anyagramhoz kttt klcsnhatst egyarnt megakadlyozza.) A h mennyisgnek rtke az adott folyamat kezdeti s vgllapota kztti folyamattl (tjtl) fgg s nem hatrozhat meg pusztn a folyamat kezdetekor s befejezsekor rvnyes llapotjelz k ismerete alapjn. (Azt, hogy az adott mennyisg (elemi) megvltozsa (=differencia ) az el bbi tulajdonsggal br, bizonyos sszefggsekben a norml differencitl val megklnbztetsl d val fogjuk jellni a tovbbiakban.)

A MUNKA A mechanikai rtelemben vett munka a hater s az irnyba es elmozduls szorzata, amint azt a mechanikai tanulmnyainkbl tudjuk. A termodinamikai rendszerrel kapcsolatosan minden energia (klcsn)hatst, ami nem h mrsklet klnbsg okn jn ltre, munknak neveznk. Munkrl csak valamely folyamat kapcsn van rtelme beszlnnk, a folyamat vgeztvel mr csak a munka eredmnye ltezik, azaz az energia talakulsa egyik formbl egy msikba. A munka, mint a h , a rendszerhatron a folyamat sorn tlp energia mennyisge. A legklnbz bb folyamatok elektromos, mgneses, kmiai, stb. sorn trtn energia rammal, valsgos vagy virtulis szerkezet kzbeiktatsval, egy adott tmeget emelhetnk fel adott magassggal, vagy sllyesztennk kell adott magassggal a folyamat ltrehozshoz s a fellp potencilis energia nvekeds(cskkens) az adott folyamat munkjnak eredmnye (forrsa). A munka, a h vel megegyez en a folyamattl (tjtl) fgg mennyisg s nem hatrozhat meg pusztn a folyamat kezdeti s vgllapotban rvnyes llapotjelz k ismerete alapjn. Az elmondottakat ltalnosan megfogalmazva, a munka a rendszer hatrfelletn fellp energiatranszport-mennyisg, melyet a klcsnhatshoz tartz s a h mrsklett l klnbz intenzv llapotjelz k inhomogenitsa hoz ltre.


Grf Gyula, 2005. 9

2.1. tblzat Egyes klcsnhatsok munkjnak kiszmtsa Klcsnhats megnevezs Intenzv jellemz Extenzv jellemz Munka

Ld = Mechanikai

lineris F er x elmozduls Fdx rotcis M nyomatk szgelforduls Md trfogati p nyoms V trfogat pdV

felleti felleti feszltsg F fellet dF Tmegtranszport fzisvltozs kmiai potencil m anyagmennyisg dm Elektrosztatikus elektrosztatikus

potencil e elektromos tlts de

Elektromos polarizci E elektromos trer ssg

P elektromos polarizci

EdP

Mgneses polarizci H mgneses trer ssg

J mgneses polarizci HdJ

/tvve a M szaki Fizika II. ktet Termodinamika fejezetb l. / A munka jellsre L illetve l bet ket hasznljuk az sszmunka s a fajlagos munka megklnbztetsre. Egy rendszer munkjt negatvnak tekintjk, ha a folyamat sorn a rendszerb l energit kapunk s pozitvnak, ha a folyamat ltrehozshoz (kls ) energia szksges. Valamennyi egyenl re a termikust kivve klcsnhatshoz hozzrendelhetnk, a folyamatot ltrehoz (fenntart) intenzv llapotjelz t, mely egy hozztartoz/hozzrendelt extenzv mennyisg megvltozst vltja ki a folyamat sorn. A munka mennyisge az intenzv llapotjelz s a hozzrendelt extenzv llapotjelz megvltozsnak szorzata. A klnbz klcsnhatsokhoz tartoz munka kiszmtsi sszefggseket a 3.1. tblzat tartalmazza.

2.2. Az I. F ttel zrt s nyitott rendszerekre JOULE 1843-as, hres, jl ismert ksrletvel megllaptotta a munka s a h (termikus energia) egyenrtkt. Megllaptsnak ltalnos megfogalmazsa a termodinamika I. F ttele. Egy krfolyamat sorn (ahol a rszfolyamatok sorozatnak eredmnyeknt a kiindulskori s vgpontbeli llapotjelz k azonos rtk ek) a rendszer s a krnyezete kztt az energiaforgalom ered jnek zrusrtk nek kell lennie, azaz

0

( ) 0dL dQdL dQ

+ =

+ =

(2.1)

Tekintsk a 2.2. bra szerinti az AB illetve az AC folyamatokbl ll, un. krfolyamatokat:

2 1

1 2

( ) ( ) 0A B

dQ dL dQ dL+ + = (2.2a)

2 1

1 2

( ) ( ) 0A C

dQ dL dQ dL+ + = (3.2b)


Grf Gyula, 2005. 10

1

C

B

A

llapot jelz 1

2

llapot jelz 2

2.2. bra Kt krfolyamat az I. F ttel megfogalmazshoz

(2.2a) s (2.2b) alapjn kvetkezik, hogy

1 1

2 2

( ) ( ) 0B C

dQ dL dQ dL+ + = (2.3)

ami azt jelenti, hogy2

1

( )dQ dL+ mennyisg a folyamatoktl fggetlenl mindkt folyamat

esetn azonos, azaz fggetlen magtl az llapotvltozsoktl s csak az adott folyamat kezdeti s vg llapotbeli llapotjelz k hatrozzk meg rtkt, azaz maga is egy llapotjelz s az adott rendszer teljes energijnak nevezzk:

2

2 11

( )E E dQ dL Q L = + = + (2.4)

Bevezetve a vg s a kezdeti llapotbeli llapotjelz klnbsgre a jellst, (azaz E E Evg kezd= ) a (2.4) egyenletet gy rhatjuk :

Q L E+ = (2.5) Mivel az energia llapotjelz , elemi megvltozsa (differencija) is t fggetlen, gy (2.5) elemi vltozsokat (differencikat) tartalmaz differencilis alakja :

dQ dL dE+ = (2.6) A rendszer energija (E) a kinetikus energibl (KE), a potencilis energibl (PE) s valamennyi, az el bbi energia formkon kvli sszes energibl az un. bels energibl (U) ll, azaz :

zgwue

zgmwmUE

++=

+

+=

2

22

2

(2.7)

ahol w a sebessg, z pedig a rendszer slypontjnak egy vlasztott 0 szintt l mrt tvolsga s g a gravitcis gyorsuls rtke. A bels energia (U), melyet az el bbiekben definiltunk a rendszer extenzv llapotjelz je, a rendszert alkot elemi rszecskk teljes energijnak makroszkopikus megjelensi formja. (A fajlagos bels energia jellse u.) Amennyiben a mozgsi s a potencilis energia vltozsa elhanyagolhat a folyamatok sorn, az lland tmeg , azaz zrt rendszerre az I. F ttel kvetkez alakjait rhatjuk fel: vges vltozsokra


Grf Gyula, 2005. 11

1,2 1,2 2 1Q L U U U+ = = . elemi megvltozsra

dQ dL dU+ = . vges vltozsra, fajlagos jellemz kkel (2.8)

1,2 1,2 2 1q l u u u+ = = .

elemi megvltozsra, fajlagos jellemz kkel dq dl du+ = .

u 2,p2,w 2T 2,v2

tengely

ellen rztr foga t

W t

Q

z=0 szin t

m

mz2

z1

u 1,p1,w 1T 1,v1

2.2. bra tramolt rendszer az I. F ttel megfogalmazshoz A termodinamikai rendszerek jelent s rszben az llapotjelz k rtkeit nem a tmeghez kttten ismerjk, hanem a tr adott pontjaiban, ahogy pl. azt egy adott (ellen rz )trfogaton val keresztl ramlsnl (a be s a kilpsi keresztmetszetben) a 2.2 bra szemllteti.

++=+beki

pvempvemLQ )()( . (2.9)

A be- s a kilpsi pontokban az 1 kg kzeg (=fajlagos)energija a kvetkez

e u g zbe = + + 1 12

12w

; e u g zki = + + 2 22

22w

. (2.10)

Az ellen rz trfogatba a be- s kilp energiknak egyenl eknek kell lenni, gy az I. F ttel 2 21 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2( ) ( )2 2tw wQ L m u g z p v m u g z p v+ = + + + + + + + . (2.11)

Mind belpsi s kilpsi pontban szksges a kinetikus s helyzeti energia mellet az u+pv szorzat kiszmtsa. A bels energia s a pv szorzat sszege maga is llapotjelz , aminek entalpia a megnevezse. Az entalpia bevezetsvel (3.11) egyenletet gy rhatjuk

)2

()2

( 222

221

21

11 zgwhmzgwhmLQ t +++++=+ . (2.12)

u p v h1 1 1 1+ = . u p v h2 2 2 2+ = . (2.13) Amennyiben az id egysgenknti be s a kilp kzegek tmege azonos s lland, (lland tmegram) 1 kg tmegnek a rendszeren val tramlst kvetve a (2.12) egyenlet

POTKINt eehlq ++=+ (2.14) alak, ahol:

22

22beki

KINww

e = , a fajlagos kinetikus energia vltozs.


Grf Gyula, 2005. 12

)( bekiP zzge = , a fajlagos potencilis energia vltozs. A technikai rendszerekben az entalpia vltozshoz kpest a kinetikus energia s a potencilis energia vltozsa tbbnyire elhanyagolhat, gy a (2.12) s (2.14) sszefggseket legtbbszr gy rhatjuk:

HLQ t =+ . (2.15a) hlq t =+ . (2.15b)

A (2.15a,b) a stacionriusan tramolt, nyitott rendszerekre vonatkoz I. F ttel, melyet differencilis alakban gy runk :

dHLdQd t =+ . (2.15c) dhldqd t =+ . (2.15d)

A nylt rendszerek munkjt technikai munknak is nevezzk. Ahhoz, hogy a rendszerbe m kg kzeg bekerljn, beLVp = 11 = belpsi munkt kell vgeznnk, mg a kilpsnl

kiLVp = 22 = kilpsi munkt vgez a rendszer azltal, hogy az m kg kzeg a krnyezetbe kilp. Az raml kzeg munkja teht a folyamat fizikai munkjnak s a be- illetve kilpsi munknak az ered je lesz, azaz :

kibeft LLLL += . (2.16)

1

2

p pbe

pki

vbe vk v

lki

lbe

2.3. bra A fizikai s technikai munka kapcsolata.

A trfogat vltozsi (fizikai) munka egyenslyi, srldsmentes folyamatokra az llapotvltozst brzol grbe alatti terlet, azaz:

=2

1

pdvl f , pdvdl f = . (2.17)

A technikai munka a (2.16) sszefggs s a 3.3 bra alapjn egyenslyi, srldsmentes folyamatokra a pki21pbe terlet, azaz llapotvltozst brzol grbe s a p tengely kztti terlet, azaz:

=2

1

vdplt , vdpdlt = . (2.18)

Az llapotvltozsoknak teht a technikai s a fizikai munkjt is meg tudjuk hatrozni. Azt, hogy a kt munka kzl tnylegesen melyik lesz egy adott rendszer munkjval egyenl , az dnti el, hogy milyen maga a rendszer :

zrt rendszer munkja = az llapotvltozs fizikai munkja nyitott rendszer munkja = az llapotvltozs technikai munkja

Az el bbiekb l gy t nhet, mintha ktfle munkavgzs trtnne. Valjban arrl van sz, hogy a nyitott rendszeren trtn tramls kvetkeztben szksgszer en fellp belpsi


Grf Gyula, 2005. 13

munka nveli, a kilpsi munka cskkenti az llapotvltozsbl szrmaz (fizikai) munkt s e hrom (fizikai rtelm ) munka eredmnyt nevezzk technikai munknak. (shaft work = tengely munka a szemlletes angol elnevezs) Az entalpia s a technikai munka hasznlata egyszer bb teszi a folytonos m kds (nyitott rendszerek) gpek energia folyamatainak lerst.

2.3. Az tlagos s a valdi fajh k A klnfle kzegek azonos mennyisg h hatsra, klnbz mrtk h mrsklet vltozst mutatnak. A h mrsklet vltozs mrtke azonban nem csak a kzlt h mennyisgt l, hanem mdjtl is fgg, gy sszehasonltanunk, csak az azonos krlmnyek kztti h mrsklet vltozsok mrtkt lehet. Amennyiben lergztjk az h kzlsi folyamatot, az sszehasonlthatsg lehet sgt megteremtve, a klnfle anyagok egysgnyi tmeg mennyisgnek esetben, az egysgnyi h mrsklet vltozshoz szksges h mennyisge az egyes anyagok sajtos tulajdonsga, a fajlagos h kapacits lesz, amit fajh nek neveznk. Az elmondottaknak megfelel en, valamely rgztett krlmny h kzls sorn a

( )c tm

dQdt

=

1. (2.19)

sszefggssel definilt mennyisget valdi fajh nek nevezzk, mely ltalnos esetben a h mrsklet fggvnye. Amennyiben vges h mrsklet vltozsokat valstunk meg, az ehhez szksges h mennyisgt a

Q m c t dtt

t

1 21

2

,( )= (2.20)

hatrozott integrl kiszmtsval kapjuk meg. Mivel a gyakorlatban sok esetben van szksgnk a vges h mrsklet vltozst eredmnyez h mennyisgnek meghatrozsra, clszer a

( ) ( )c tt t

c dt

t

=

1

0 0

(2.21)

sszefggssel definilt n. tlagos fajh alkalmazsa. Az (2.21) szerinti, a t-t0 tartomnyban rvnyes tlagos fajh rtkeket mint a h mrsklet fggvnyt, alkalmasan vlasztott t0 bzisrtk, pl. 0C, esetben tblzatos formban szoks megadni. Tetsz leges, t2-t1 h mrsklet rtkek kztt a kzlt h mennyisgt ekkor gy szmtjuk, mint a t2-t0 s t1-t0 h mrsklet hatrok kztt kzlt h klnbsgt, azaz

( ) ( )[ ]Q Q Q m c t t c t t1 2 0 2 0 1 2 2 0 1 1 0, , ,= = , (2.22) ahonnan a t2-t1 tartomny tlagos fajh jre, t0=0 vlaszts esetn kapjuk, hogy

cc t c t

t t1 22 2 1 1

2 1,

=

. (2.23)

Mivel mrssel csak vges vltozsokat tudunk meghatrozni, megmrni az (2.21) szerinti tlagos fajh t tudjuk, ahonnan a valdi fajh t a

( ) ( ) ( ) ( )c t c t t t dc tdt= + 0 (2.24)


Grf Gyula, 2005. 14

sszefggs alapjn hatrozhatjuk meg.

p rhuzamosok

t

c,c

r in t

( )c t

( )t t dcdt

0 t-t0

t

c(t)

t

c,c

r in t

( )c t

( )t t dcdt

0 t-t0

prhuzamosok

t

c(t)

2.4. bra A valdi fajh szerkesztssel val meghatrozsa Az (2.24) egyenletet alapjn a c(t) rtknek grafikus meghatrozst az 2.4. bra mutatja progresszv s degresszv tlagos fajh fggvny esetben. Amint azt az (2.24) alapjn s az 2.4. bra alapjn is lthatjuk, a valdi s tlagos fajh eltrsnek mrtke az tlagos fajh meredeksgt l s menett l fgg, gy a valdi fajh lehet nagyobb, vagy kisebb mint az tlagos fajh . Ha az tlagos fajh menetnek jelent s a meredeksge egy adott h mrskleten, akkor ott a valdi fajh igen nagy rtk lehet, amit az anyag bels struktrjnak talakulsra fordtd energia szksglettel tudunk megmagyarzni. Utalva a meghatrozs krlmnyeire, megklnbztetnk lland nyomson p indexszel jellve s lland trfogaton v indexszel jellve mrt fajh t. A fajh k sszekapcsoljk az h kzlst s a h mrsklet vltozst, ezltal a bels energia s az entalpia fggvnyekben is megjelennek. A bels energia fggvnyt ltalnosan a h mrskletnek s a fajtrfogatnak a fggvnyeknt felrva, azaz u=u(T,v), aminek megvltozst gy rjuk

du uT

dT uv

dvv T

=

+

. (2.25)

Az entalpia fggvnyt a h mrskletnek s a nyomsnak a fggvnyeknt el lltva, azaz h=h(T,p), ennek megvltozst gy rjuk

dh hT

dT hp

dpp T

=

+

. (2.26)

Az lland trfogaton s az lland nyomson val h kzlsnl, az (2.25) s (2.26) egyenletek jobboldali sszegnek msodik tagjai elt nnek, mivel rendre a dv=0 illetve a dp=0. Ennl fogva, az ilyen krlmnyek kztt meghatrozott valdi fajh knek az (2.25) illetve (2.26) egyenletek jobboldaln megmarad tagok szorztnyez inek kell lennik, azaz

cu

Tv v=

illetve c

hTp p

=

. (2.27)

Ezzel az (2.25) s (2.26) egyenletek alapjn a bels energia megvltozsa


Grf Gyula, 2005. 15

du c dT uv

dvvT

= +

(2.28)

s az entalpia megvltozsa pedig

dh c dT hp

dppT

= +

(2.29)

alakban rhat. Az idelis gz bels energia s entalpia fggvnye csak a h mrsklet fggvnye, gy az (2.28) s (2.29) egyenletek idelis gzok esetben a kvetkez k:

( )du c T dTv= ,illetve ( )dh c T dTp= . (2.30) Az (2.30) sszefggst az idelis gz n. kalorikus llapotegyenletnek nevezzk.

Az (2.28) s (2.9.) kifejezsek u

v T

s

hp T

tagjainak meghatrozsra meghaladja e

kurzus kereteit.

2.4. Reverzibilits, a II. F ttel, entrpia

2.4.1. REVERZIBILITS S SPONTN FOLYAMATOK Egy llapotvltozs megvalsulshoz szksges, hogy legalbb egy intenzv llapotjelz re nzve ne legyen egyensly a rendszeren bell vagy a rendszer s a krnyezet kztt. Abban az esetben, ha a klnbsg (az egyenslytl val eltrs) elemi mrtk (=vgtelenl kicsi) a rendszer egyenslyinak tekinthet s az llapotjelz k rtkei kielgtik az llapotegyenletet. Azt az llapotvltozst, mely az el bb emltett elemi mrtk klnbsgek sorozataknt ll el , egyenslyi folyamatnak nevezzk. Ebben az esetben a folyamat teljes szakaszra rvnyes az llapotegyenlet s az ilyen folyamatokat folytonos vonallal brzoljuk az llapotjelz k alkotta koordinta rendszerben. Azt a folyamatot, mely az el bbi felttelnek nem tesz eleget, azaz az egyenslytl val eltrse vges mrtk , azaz nem egyenslyi llapotokon keresztl trtnik, nem egyenslyi llapotvltozsnak nevezzk. Az ilyen folyamatok nem rhatk le termodinamikai (makroszkopikus) llapotjelz kkel. Az egyenslyi folyamat defincijbl nem kvetkezik, hogy annak vgtelen lassnak is kell lennie. Az llapotvltozs sebessgnek csak az llapotjelz k kztti kiegyenlt dsi folyamatok sebessghez kpest kell kis sebessg nek lennie. gy pldul egy robbanmotor hengerben lejtszd folyamat jl lerhat egyenslyi llapotvltozsokkal. Amikor egy llapotvltozs sorn az llapotjelz k megvltozsa mellett a rendszerb l a krnyezet fel ( vagy az ellenkez irnyban) adott mennyisg energiakzls trtnik akkor ennek kvetkeztben a krnyezetben is vltozs ll be. Ha egy pontosan megegyez , de ellenttes irny llapotvltozs sorn az adott rendszerrel az eredeti energiakzlssel megegyez mennyisg s fajtj, ellenttes rtelm energia kzlst vgrehajtva, mind a rendszer, mind a krnyezetnek eredeti, az llapotvltozs el tti, llapota helyre ll, akkor a folyamatot vagy llapotvltozst reverzibilisnek (megfordthatnak) nevezzk. Tekintsk, mint az egyik legegyszer bb rendszert, a srldsmentesen mozg dugattyval elltott, h szigetelt hengerbe zrt gzt. A dugatty lass, kismrtk elmozdtsakor a gz nyomsa megn , az elmozdt er t megszntetve a dugatty az eredeti pozcijba mozdul vissza, mikzben a gz nyomsa az indulsi rtk lesz, a krnyezetben semmilyen vltozst nem indukltunk, gy ezt a folyamatot nevezhetjk a defincink szerint reverzibilisnek. A valsgban a pldafolyamat megvalsulsra tett feltteleink (pl. a srlds hinya) nem teljeslnek, gy ahhoz, hogy a megvalsult folyamatot reverzibilisnek tekinthessk, bizonyos


Grf Gyula, 2005. 16

hatsok jelenltt l el kell tekintennk, ami azt is jelenti, hogy a valsgban megfordthat folyamatot nem tallunk, az pusztn a vizsglataink megknnytshez szksges absztrakci. Sok esetben azonban folyamatok megvalsulsi feltteleit brmilyen mdon is idealizltaknak tekintjk, a reverzibilits felttelei mg gy sem teljeslnek. Pldaknt emlthetjk a klnbz gzok, folyadkok diffzijt, keveredst, az olddsi folyamatokat, klnbz h mrsklet rendszerek h mrsklet kiegyenlt dst, kinetikus energinak, elektromos energinak bels energiv alakulst. Az emltett folyamatoknak kt alapvet tulajdonsga van, egyrszt pusztn a folyamatbl nyert energia visszavezetsvel nem valsthat meg az eredeti llapot visszalltsa, ahhoz plusz, a krnyezetb l szrmaz energia szksges, msrszt spontn mdon az emltett folyamatok fordtott irny lefolyst sosem tapasztaljuk, az ilyen folyamatokat nevezzk irreverzibilisnek, azaz nem-megfordthatnak. A termodinamika I. F ttele kimondja a h s a mechanikai munka egyenl sgt ez alapjn szmtjuk ki pl. egy becsapd lvedk h mrsklet vltozst azonban semmilyen informcit sem nyjt arra vonatkozan, hogy a bels energia milyen mrtkben alakthat vissza munkv. Elvileg az emltett lvedk ismt felgyorsulhatna, mikzben a h mrsklete az eredeti rtk re cskken, ez az I. F ttelt nem srten. A tapasztalat szerint azonban ez sosem kvetkezik be, a lvedk ismtelt felgyorstst csak jabb, a krnyezetb l szrmaz munkval tehetjk meg. Az eredeti mozgsenergia, h v alakulva, mintegy elvsz a szmunkra. Az energinak a munka formj transzportjt s a h formj transzportjt sszehasonltva, azt llapthatjuk meg, hogy az energinak h formjba val transzportja esetn, annak csak bizonyos rszt tudjuk visszaalaktani munkv, azaz valami visszafordthatatlan dolog trtnik. Az anyagot felpt rszecskk rendezetlen mozgst vgeznek, gy valamely energiaformnak h v, majd bels energiv alaktsa, azt jelenti, hogy rendezett mozgsformk alakulnak rendezetlenn. Fordtott esetben, bels energibl, azaz rendezetlen mozgsformkbl kvnunk rendezett mozgsformkat el lltani, amit teljes mrtkben nem lehet megvalstani. Ennek a tapasztalatnak trvnyknt val megfogalmazsa a termodinamika II. F ttele, mely egy olyan, j llapotjelz t vezet be, amelynek segtsgvel lehetsges a folyamatok megfordthatsgnak s megvalsthatsgnak vizsglata.

2.4.2. A TERMODINAMIKA II. F TTELE A termodinamika II. F ttelnek tbb egymssal egyenrtk klasszikus megfogalmazst ismerjk. CLAUSIUS szerint, A h magtl sem kzvetve, sem kzvetlenl nem ramlik alacsonyabb h mrsklet helyr l magasobb h mrsklet helyre. PLANCK szerint, Nem lehetsges olyan, folyamatosan m kd gpet szerkeszteni, mely m kdse sorn nem trtnik ms, csak egy sly felemelse, s egy h tartly leh lse. KELVIN szerint, Nem lehetsges olyan krfolyamat, melynek sorn egy h tartlybl elvont h , minden egyb hats nlkl, teljes egszben munkavgzsre lenne fordthat. OSTWALD szerint Nem kszthet olyan periodikusan dolgoz gp, amely munkt tudna vgezni kizrlag krnyezete termikus energijnak rovsra. (A msodfaj perpetuum mobile lehetetlensge.) FARKAS GYULA 1895-ben a kvetkez formban fogalmazta meg a II. F ttelt: Egyetlen termodinamikai rendszer sem juttathat adiabatikusan olyan llapotba, melybe pusztn h mrskletnek vltoztatsval tvihet . CARATHEODORY 1909-b l szrmaz megfogalmazsa nagymrtkben hasonlt FARKAS GYULA gondolatmenetre, de annl sokkal elvontabb. Brmely termodinamikai llapot kzelben vannak olyan llapotok, melyek az el bbib l adiabatikus ton nem rhet k el. Ez az


Grf Gyula, 2005. 17

adiabatikus elrhetetlensg elve. Az adott llapotbl adiabatikus ton elrhet llapotok kztti munka mindig potencilos (teljes differencil, llapotjelz ) s a bels energia megvltozst adja. Ha az llapot adiabatikus ton nem rhet el, a munka nem llapotjelz , s az adott llapot elrshez szksges mg egy nem mechanikai energiatranszport is. Egyszer rendszerek esetben ez a termikus energia. A fentiekben felsorolt megfogalmazsok kzs jellemz je, hogy valaminek a nemltezst, vagy megvalsthatatlansgt fejezi ki. A termszeti trvnyek azonban ltalban pozitv lltsokat tartalmaznak, azaz valamely dolognak, folyamatnak a ltezst mondjk ki. Azltal, hogy a II. F ttel megfogalmazsa negatv lltsokat tartalmaz, nehz felismerni a jelent sgt s lnyegnek pozitv tartalmt. Ha a II. F ttelt az entrpia ltezsnek kimondsval, s bizonyos tulajdonsgainak rgztsvel fogalmazzuk meg, akkor a nagyszer fizikai jelent sge megragadhat. A termodinamika II. F ttele, ahogy azt az el z ekben kit ztk, megfogalmazva matematikai alakban, kt rszb l ll:

Minden egyenslyban lv termodinamikai rendszernek van kt olyan llapotfggvnye: S s T (ahol T csak az empirikus h mrsklet fggvnye), melyek segtsgvel a rendszer brmely kicsiny kvzistatikus s reverzibilis llapotvltozsa esetben a felvett h mennyisg

dQ T dSrev = alakban fejezhet ki. Az S llapotfggvnyt entrpinak, a T-t pedig abszolt termodinamikai h mrskletnek nevezzk.

Valsgos (spontn lejtszd) folyamatok esetben a magra hagyott rendszerek entrpija csak nvekedhet.

A ttel eredeti alapgondolatt CARNOT fejtette ki 1824-ben. A gondolat risi jelent sgt CLAUSIUS ismerte fel (1850.), majd KELVIN-nel egytt (1851.) megalapozta a termodinamika II. F ttelt, amit a fenti formban EHRENFEST, AFANASZJEVA s RUARK (1920.) fogalmaztak meg. Az entrpia grg eredet sz, melynek eredeti jelentse megfordtst, talaktst jelent, hasznlatt CLAUSIUS vezette be 1859-ben annak megjellsre, hogy az energia milyen irnyban alakul t egyik megjelensi formjbl a msikba. A fenti ttel alapjn kimondhat, hogy az entrpia a termikus klcsnhatshoz tartoz extenzv paramter. A h mrskletet, mint intenzv paramtert mr korbban definiltuk. A klnbz klcsnhatsokkal kapcsolatos energia transzport mennyisgi meghatrozst tartalmazza a 2.1 tblzat. Eddig hinyzott a termikus klcsnhatsra, a tbbi klcsnhatsra mr ismert alak, azokkal formlisan megegyez sszefggs. A II. F ttel ppen ezt mondja ki, gy ltalnos rvny v vlt, hogy tetsz leges klcsnhatsra, a klcsnhatssal kapcsolatos energiatranszport = a hajter t kpvisel intenzv llapotjelz rtknek s a hozz kapcsold extenzv llapotjelz megvltozsnak szorzata.

2.4.3. KRFOLYAMATOK S AZ I. S II. F TTEL.


Grf Gyula, 2005. 18

A krfolyamatok az energia talaktsban rendkvl fontos szerepet jtszanak. Mind a villamos energiatermelsben mind a kzlekedsben alkalmazott berendezsek tbbnyire krfolyamatokat valstanak meg. A krfolyamatokat megvalst berendezseket abban az esetben ha energit h formjban vezetnk be egy magasabb h mrskleten s mechanikai munkt nyernk a folyamatbl h er gpnek nevezzk. Energinak mechanikai munkknt val bevezetsvel a krfolyamat m kdsnek eredmnye h nek alacsonyabb h mrsklet helyre val tovbbtsa, az ilyen krfolyamatokat h t gpekben vagy h szivattykban valsthatjuk meg. A krfolyamatok lnyege, hogy valamely kiindulsnak tekintett llapotbl, sorozatos llapotvltozsok kvetkeztben a munkakzeg ismtelten a kiindulsi llapotba kerl. A krfolyamatok megvalstsa sorn a folyamatok lehetnek megfordthatk vagy nem megfordthatk, egyenslyiak illetve nem egyenslyiak. A tovbbiakban csak egyenslyi, megfordthat folyamatok sorozatbl ll krfolyamatokkal foglalkozunk. Az egyenslyi llapotvltozsokat brzolhatjuk pl. p-V diagramban, amint a 2.5. bra mutatja.

2.5. bra Krfolyamatok a p-v diagramban

A krfolyamat vezetsnek irnytl fgg en, az ramutat jrsval megegyez vagy azzal ellenttes lehet a krljrsi irny. A krfolyamat ltal kzre zrt terletet kiszmtva, az els esetben pozitv mg az utbbi esetben negatv el jel mennyisg addik. A munkra bevezetett el jel szably miatt, dL pdV= , az els esetben negatv munkt, mg a msodik esetben pozitv munkt kapunk. Teht ha a krfolyamat irnya az ra jrsval megegyezik, a kapott munka negatv s a rendszer fell a krnyezet fel irnyul. Amennyiben az irny az el bbiekkel ellenttes, a kapott munka pozitv s a krnyezet fell irnyul a rendszer fel.

Alkalmazzuk az I. f ttelt krfolyamatra! Legyen a rendszer zrt:

==+ 0dUdLdQ (2.31) Mivel a bels energia llapotjelz , a (2.31) egyenlet jobboldaln az integrl eredmnye nulla. A baloldalon ll mennysgek teht azonos abszolt rtk ek, de ellenttes el jel ek. A krfolyamat vezetse sorn az adiabatikus folyamatok kivtelvel a h formj energia transzport vagy a krfolyamatban szerepl rendszer fel vagy a krnyezet fel irnyul. Az el bbit nevezzk bevezetett h nek Qbe, az utbbit pedig elvezetett h nek, Qel. Ezekkel a defincikkal a (2.31.) egyenlet formja a kvetkez lesz:

Oelbe LQQ = (2.32) Legyen a krfolyamat nyitott rendszerek sszekapcsolsval megvalstva:

==+ 0dHdLdQ t (2.33) Mivel a entalpia llapotjelz , a (2.33) egyenlet jobboldaln az integrl eredmnye nulla. A baloldalon ll mennysgek teht azonos abszolt rtk ek, de ellenttes el jel ek. A krfolyamat vezetse sorn az adiabatikus folyamatok kivtelvel a h formj energia transzport vagy a krfolyamatban szerepl rendszer fel vagy a krnyezet fel irnyul. Az


Grf Gyula, 2005. 19

el bbit nevezzk bevezetett h nek Qbe, az utbbit pedig elvezetett h nek, Qel. Ezekkel a defincikkal a (2.33.) egyenlet formja a kvetkez lesz:

Oelbe LQQ = (2.34) Teht akr zrt rendszerben, akr nyitott sszekapcsolt rendszerekben valstjuk meg a krfolyamatot, a krfolyamat munkjt a bevezetett s elvezetett h abszolt rtkeinek klnbsgvel szmthatjuk.

A krfolyamatok hatkonysgt az un. termikus hatsfokkal jellemezhetjk. Ez a krfolyamat m kdse sorn szmunkra hasznos energia mennyisget vonatkoztatja a krfolyamat fenntartshoz szksges energia mennyisghez. A kiszmtsnak mdja a h er gp, h szivatty s h t gp krfolyamatok esetn eltr , az albbiak szerint:

A krfolyamat h er gp, a krljrs az ramutat jrsval megegyezik:

be

O

be

elbe

QL

QQQ

=

= (2.34)

A krfolyamat h szivatty, a krljrs az ramutat jrsval ellenttes:

O

el

elbe

elHSZIV L

QQQ

Q=

= (2.35)

A krfolyamat h szivatty, a krljrs az ramutat jrsval ellenttes:

O

be

elbe

beHGP L

QQQ

Q=

= (2.36)

Az entrpia defincija alapjn a bevezetett s az elvont h t egyarnt felrhatjuk a kvetkez formban is: =

2

1

S

Sbe TdSQ , =

1

2

S

Sel TdSQ . Az S1-S2 ton h bevezetst, az S2-S1 ton

h elvonst felttelezve. Abban az esetben ha a h bevezets s a h elvons egyarnt csak izotermikus mdon, azaz lland h mrskleten trtnik, egy sajtos krfolyamat az eredmny, melyet Carnot krfolyamatnak hvunk. Ez a krfolyamat a P-v s a T-s diagramban a kvetkez mdon brzolhat:

2.6. bra Carnot krfolyamat T-S s P-V diagramban

A Carnot krfolyamat fontos szerepet tlt be. Valamennyi lehetsges krfolyamat vezets (alak) kzl ennek a krfolyamatnak a legnagyobb a termikus hatsfoka. Mindez azt jelenti, hogy a tbbi megvalstott krfolyamatot a Carnot krfolyamathoz szoks hasonltani, olyan


Grf Gyula, 2005. 20

formban, hogy a h bevezets s h elvons folyamatainak entrpia vltozsa alapjn egy tlagos h bevezetsi s h elvonsi h mrskletet hatroznak meg. Ezen tlagos h mrskleteknek a technikailag megvalsthat h mrskletekhez val viszonya utal a vizsglt krfolyamat javtsnak termodinamikai lehet sgeire. A Carnot krfolyamat hatsossgai a m kdtets szerint:

be

elbe

be

elbe

TTT

QQQ

=

=

elbe

el

elbe

elHSZIV TT

TQQ

Q

=

=

elbe

be

elbe

beHGP TT

TQQ

Q

=

=

Az el bbiekben bevezetett tlagos Tbe s Tel meghatrozsval nyert Carnot krfolyamatot egyenrtk Carnot-krfolyamatnak nevezzk. A Tbe s Tel rtkeit az albbi sszefggsek alapjn hatrozhatjuk meg:

,

1 2

11212

=

=

S

S

bebe TdSSSSS

QT =2

1

S

Sbe TdSQ (2.37)

,

1 1

21212

=

=

S

S

elel TdSSSSS

QT =1

2

S

Sel TdSQ (2.38)


Grf Gyula, 2005. 21

3. EGYSZER MODELLEK. AZ IDELIS GZ

3.1. Az idelis gz modell

Eddigi megllaptsaink minden termodinamikai rendszerre rvnyes, elvont megllaptsok voltak, melyek a gyakorlati letben felmerl szmtsok megoldsra kevss alkalmasak. Clszer teht a valsgot olyan egyszerstett modellel lernunk, melyet szmtsokra kell pontossggal fel tudunk hasznlni. A gyakorlat egyik ilyen, nagyon sokat hasznlt modellje az idelis gz modell. R. BOYLE mr 1660-ban felismerte, hogy a gzok trfogatnak s nyomsnak szorzata adott h mrskleten lland, majd L. J. GAY-LUSSAC 1802-ben felfedezte, hogy ez a szorzat arnyosan vltozik a h mrsklettel. A tovbbi kutatsok azonban kidertettk, hogy a valsgos gzok nem egyforma mrtkben kvetik R. BOYLEE. MARIOTTE s L. J. GAY-LUSSAC trvnyt, hanem sikerlt megllaptani, hogy ezek a gztrvnyek csak akkor rvnyesek, ha a vizsglt gzok nyomsa elg kicsiny, valamint h mrskletk jval kritikus h mrskletk (ennek rtelmezst lsd ks bb) fltt van. A 3.1. tblzatban sszefoglaltuk nhny gz kritikus h mrsklett. Ebb l lthatjuk, hogy a legtbb gz szobah mrskleten magasan a kritikus pontjnak h mrsklete felett van, gy ha nyomsa nem tlsgosan nagy, akkor eleget tesz j kzeltssel az idelis gzra vonatkoz egyenleteknek (klasszikus gztrvnyek).

3.1. tblzat Gz Tkritikus, C He 267,9 H2 239,9 Ne 228,7 N2 147,1 leveg 141,7 O2 118,8 CO2 31,05

Azokat a kzegeket, melyeknek termikus llapotegyenlete pV N T=

alakban rhat fel, ahol = 8,314 J/(molK), az egyetemes (univerzlis) gzlland s N a gz mol-ban kifejezett mennyisge, tovbb igaz rjuk, hogy

( ),U f T N= , azaz a bels energia csak a h mrsklet s anyagmennyisg fggvnye, valamint

( ),H f T N= , azaz az entalpia csak a h mrsklet s anyagmennyisg fggvnye, idelis gznak nevezzk.


Grf Gyula, 2005. 22

Ha az anyagmennyisget a m szaki gyakorlatnak megfelel en a tmeggel adjuk meg, akkor a fenti egyenletek a kvetkez formt veszik fel:

mpV TM

= , ( ),U f T m= , ( ),H f T m= .

A fenti egyenletben M az illet gz molris tmege kg/mol egysgben. Az M

hnyadost

specifikus gzllandnak nevezzk s R-rel jelljk.

3.2. Az idelis gz fajh i

A korbbi definciknak megfelel en az izobr fajh t a

.

dd pp ll

qc

T=

= ,

mg az izochor fajh t a

.

dd vv ll

qc

T=

=

sszefggssel definiltuk. ltalnos esetben mr igazoltuk, hogy az izobr fajh nagyobb, mint az izochor fajh . Ezt belthatjuk abbl is, hogy izobr llapotvltozs esetben a kzlt h nem csak a bels energia nvelsre, hanem munkavgzsre is fordtdik.

3.2.1. AZ IZOCHOR FAJH

Induljunk ki az I. F ttel egy trendezett alakjbl

d d d d dd d d d

q u p v u vpT T T T

+= = + .

Ha a bels energit T s v fggvnynek tekintjk: u(T, v), akkor megvltozsa felrhat ( ) ( )d d dd T vu u uv TT v T = +

alakban. Ezt az sszefggst az el z egyenletbe behelyettestve azt kapjuk, hogy

( ) ( )d dd dd d d

T v

u uv T

q vv Tc p

T T T

+

= = + ,

melyet rendezve az

( ) ( ) ddv Tu u vc pT v T = + + egyenlethez jutunk. Izochor llapotvltozs esetben v= ll., kvetkezskppen dv= 0, teht az egyenlet a kvetkez alakot lti:


Grf Gyula, 2005. 23

( )vv

uc

T

= .

ltalnos esetben induljunk ki az els Tds egyenlet bevezetse sorn kapott ( ) ( )d d d

v v

u pu T T p v

T T

= + - (*)

egyenletb l, valamint az idelis gz pv RT=

llapotegyenletb l, melyek felhasznlsval a (*) egyenlet ( )d d d

v

u R RTu T T v

T v v

= + -

alakban rhat fel, amib l kvetkezik, hogy ltalnos esetben a bels energia megvltozsa idelis gz esetben

d dvu c T= mdon szmthat.

3.2.2. AZ IZOBR FAJH

Korbban mr ltalnos esetben megmutattuk, hogy az izobr s az izochor fajh klnbsge

( ) ( )2p vp T

v pc c T

T v

- = -

mdon szmthat ki. Ismt felhasznlva az idelis gz llapotegyenlett

( )2 2 22 2 2 2 21p v R R pc c T RT T RT Rp v p R T - = - - = = , azaz idelis gz esetben az izobr fajh pp a specifikus gzlland rtkvel nagyobb az izochor fajh rtknl. Vizsgljuk megy, hogy idelis gz tetsz leges llapotvltozsa esetn hogyan szmthat az entalpia! A msodik Tds egyenlet kapcsn bevezettk az ltalnos h(T, p) fajlagos entalpia fggvnyt:

( )d d dpp

vh c T v T pT

= + - .

Ismt felhasznlva az idelis gz llapotegyenlett

d d d dp pRT Rh c T T p c T

p p = + - =

egyenlethez jutunk. A fajh k hnyadosra korbban bevezetett p vc ck = fajh viszony (adiabatikus kitev ) s a specifikus gzlland ismeretben az idelis gz fajh i az

1vR

c = k -

1pR

ck

= k -

sszefggsekkel kiszmthatk.


Grf Gyula, 2005. 24

3.3. Az idelis gz entrpiafggvnye

Az idelis gz entrpijnak szmtshoz az

( ),S f T V= fggvnyt hasznljuk fel. Induljunk ki az entrpia

d QSTd

=

definil egyenletb l, valamint az I. F ttel zrt rendszerre differencilis formban felrt dU Q W= d + d

egyenletb l. Idelis gz esetben a bels energia elemi kis megvltozsa d dvU mc T= ,

az elemi kis llapotvltozs munkja dW p Vd = -

Tovbb, mivel idelis gzra

m TpM V

= , mindezekb l kvetkezik, hogy az entrpia elemi kis megvltozsa

( )d dd V T VS m c T M V= + . Az integrlst elvgezve az entrpia megvltozsa:

2 22 1

1 1ln lnV

T VS S S m c RT V

D = - = + ,

illetve fajlagos mennyisgekkel

2 22 1

1 1ln lnV

T vs s s c R

T vD = - = + .

Hasonl gondolatmenet alapjn levezethet a kvetkez sszefggs is

d dd pT pS m c

T M p = - , ill.

2 22 1

1 1ln lnp

T pS S S m c RT p

D = - = - ,

fajlagos egysgekkel

2 22 1

1 1ln lnp

T ps s s c R

T pD = - = - .

3.4. Idelis gz llapotvltozsai

Korbban mr definiltuk azokat a specilis llapotvltozsokat melyekkel, mint kzeltsekkel a valsgos folyamatokat lerjuk. A kvetkezkben vizsgljuk meg, hogy az egyes llapotvltozsok esetben milyen sszefggseket tallunk az


Grf Gyula, 2005. 25

idelis gz egyes llapotjelzi kztt. ltalban jellje a kzeg llapotjelzit a folyamat eltt 1 index, mg a folyamat utn 2 index. Az izochor llapotvltozs sorn a tekintetbe vett rendszer trfogata lland ( )1 2V V V= = , ezt az idelis gz llapotegyenletbe behelyettestve, majd a kt llapotegyenlet hnyadost kpezve az eredmny:

1 1

2 2

p Tp T

= .

Az izobr llapotvltozs sorn hasonl gondolatmenettel levezethet az

1 1

2 2

v Tv T

=

sszefggs.

Az izoterm llapotvltozs esetben az m TM

szorzat rtke lland, ennek megfelel en az 1 1 2 2p V p V=

egyenlet rhat fel. Kvzistatikus s adiabatikus folyamatoknl igaz, hogy 0Qd = s d dVU mc T= , az I. F ttelb l kvetkez en

d dVmc T p V= - . Az idelis gz llapotegyenletnek felhasznlsval

( )d d dVmc p V V p mRp V+ = - . Felhasznlva az izobr s izochor fajh k kztti sszefggst az egyenlet a kvetkez alakot lti:

d d 0p Vc p V c V p+ = . A vltozkat sztvlasztva

d d 0pV

cp Vp c V+ =

egyenlethez jutunk. A pV

c

ck = mennyisg felhasznlsval vgezzk el a fenti egyenlet

integrlst, melynek eredmnye: log log ll.p V+ k =

Kvetkezskppen a 1 1 2 2 ll.p V p Vk k= =

egyenlethez jutunk, melyet az adiabatikus llapotvltozs POISSON-egyenletnek neveznk. Az idelis gz llapotegyenletnek felhasznlsval a h mrsklet s a trfogat kztti kapcsolat

1 11 1 2 2T V T Vk- k-= , azaz

12 1

1 2

T VT V

k-= ,

mg a h mrsklet s a nyoms kzti sszefggs a

1 11 2 12p T p Tk k

k- k-= , azaz

12 2

1 1

T pT p

k-k=

egyenlettel rhat le.


Grf Gyula, 2005. 26

A politropikus llapotvltozs. Az egyszer llapotvltozsokhoz hasonlan a politropikus llapotvltozsnl is rtelmezhetnk fajh t, mgpedig az n. politropikus fajh t. lland szmrtke a pillanatnyi folyamattl fgg, jellse: nc . Kiszmtsnak mdja

1 1p V

n V Vc c n

c c cn n

-- k

= - =

- -

.

A legtbb esetben a politropikus fajh negatv. Ennek megfelel en expanzi (h mrskletcskkens) esetn a h t kell kzlni a kzeggel, mg kompresszi esetn (h mrskletnvekeds) h t kell elvonni. Az

p n

V n

c cn

c c

-

=

-

gynevezett politropikus kitev bevezetsvel a politropikus llapotvltozs egyenletei formailag megegyeznek az adiabatikus llapotvltozsra felrt sszefggssekkel, csupn k helyre az egyenletekben n kerl. Idelis gzok eddig ismertetett llapotvltozsi kzl a politropikusat tekinthetjk a legltalnosabbnak, hiszen itt egyszerre vltoznak a rendszer llapotjelz i, mikzben mind munkavgzs, mind pedig h forgalom is fellp. Mindezekb l kvetkezik, hogy a mr korbban ismertetett llapotvltozsokat mint a politropikus llapotvltozsa specilis eseteit tekintsk. Teht, ha a politropikus llapotvltozs egyenleteiben

1n = , akkor az izotermikus; n = k , akkor az adiabatikus;

0n = , akkor az izobr; n = , akkor az izochor llapotvltozs megfelel egyenleteihez jutunk. A 3.1. brn berajzoltunk egy adott ponton tmen llapotvltozsi vonalakat pv diagramban.

p

v

izobr

izochor

izoterm

(norml) polit ropikus

adiabat ikus

3.1. bra. Idelis gz llapotvltozsi vonalai p-v diagramban


Grf Gyula, 2005. 27

3.4.1. EGYSZER LLAPOTVLTOZSOK MUNKJA S H FORGALMA

A kvzistatikus llapotvltozsok zrt rendszer esetben rtelmezett fizikai munkjt a

2

1

dV

Vp V- ,

mg a nyitott rendszer esetre rtelmezett technikai munkjt

2

1

dp

p

V p

sszefggssel kell meghatrozni. Az egyes llapotvltozsok esetn a megfelel llapotjelz k kztti sszefggseket a fenti egyenletekbe behelyettestve a kvetkez sszefggsekhez jutunk, melyet a Hiba! A hivatkozsi forrs nem tallhat.. tblzat foglal ssze. Hasonl gondolatmenettel juthatunk el az egyszer llapotvltozsok h forgalmnak kiszmtst ler sszefggsekhez. A kiindul egyenlet a

d dxQ c T= sszefggs, ahol xc az llapotvltozsnak megfelel fajh t jelenti. Az egyes llapotvltozsok esetre a megfelel behelyettestseket elvgezve az eredmnyeket a 3.2. tblzatban foglaljuk ssze.

3.2. tblzat llapotvltozs Munka, W H , Q

Zrt rendszer Nyitott rendszer Izobr ( )2 1p V V- ( )2 1pmc T T- Izochor ( )2 1V p p- ( )2 1Vmc T T-

Izoterm 21

lnVmRTV

2

1lnVmRT

V

2

1lnVmRT

V

Adiabatikus ( )2 1Vmc T T- =

( )1 1 2 21

1p V p V-k -

( )2 1pmc T T- =

( )1 1 2 21 p V p Vk

-k -

Politropikus ( )1 1 2 2

11

p V p Vn

-

-

=

( )2 11R

m T Tn

-

-

( )1 1 2 21n p V p V

n-

-

=

( )2 11nR

m T Tn

-

-

( )2 1nmc T T-

3.4.2. AZ IDELIS GZ TS DIAGRAMJA

Az eddigiek sorn az llapotvltozsokat tbbnyire pV, ill. pv diagramban brzoltuk. A gyakorlatban sokkal clszerbb e folyamatokat TS, ill. Ts diagramban brzolnunk. A kvetkezkben bemutatjuk az idelis gz Ts diagramjt. A fajlagostott llapotjelzk hasznlatt a nyitott rendszerek


Grf Gyula, 2005. 28

tlnyom tbbsge indokolja. A korbban definilt, ill. levezetett sszefggsek alapjn idelis gz Ts diagramjban az egyes lland rtk llapotvltozk vonalt a 3.2. bra mutatja. A fajlagos entrpia nulla pontjt a 0p = 1 bar,

0T = 273,15 K llapotjelzkkel megadott pontba helyeztk, azaz ( )0 0 0,s f T p= = 0 J/(kgK). A levegt a kvetkez jellemzkkel vettk figyelembe:

R = 287 J/(kgK), k = 1,4. Mivel idelis gz esetn a bels energia s az entalpia csak a h mrsklet fggvnye, s mint korbban megllaptottuk lineris fggvnye, ezrt az ll.u = s ll.h = vonalak a Ts diagramban vzszintes egyenesek. A Ts diagram hasznlatt indokolja, hogy ebben a diagramban az llapotvltozsi grbe alatti terlet a kzlt, ill. elvont h t jelenti a folyamattl fgg en, valamint reverzibilis krfolyamat esetben a krfolyamat grbje ltal kzrezrt terlet a munkt adja. Irreverzibilis folyamatok esetn szemlletesen kvethet k az entrpiavltozsok. A3.3. brn az idelis gz llapotvltozsi vonalait is berajzoltuk, ahogy azt a 3.2. bra esetben tettk.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

c p

c v s , J/ (kgK)

T , K p 1 = 1 bar

p 2 = 4 bar p 3 = 8 bar p 4 = 16 bar

4 = 0,125 m3/ kg v 3 = 0,25 m3/ kg v

2 = 0,5 m3/ kg v

1 = 1 m3/ kg v

3.2. bra. Leveg, mint idelis gz Ts diagramja

s

T izochor izobr

izoterm

polit ropikus

adiabat iku

c n

3.3. bra. Idelis gz llapotvltozsi vonalai T-s diagramban


Grf Gyula, 2005. 29

H VITEL 1. A h terjeds mechanizmusa, lersa

1.1. A h terjeds alapvet formi Az energia h mrsklet klnbsg kvetkeztben trtn trbeli terjedse ltalban igen sszetett folyamatok eredmnye. A h terjedsnek mennyisgi lershoz a kvetkez hrom elklnthet elemi folyamat formt szoks megklnbztetni: 1.H

vezets az energia trbeli terjedsnek az a formja amikor a h egy kzeg egyik - magasabb h mrsklet - rszb l annak msik rsze fel trtn "ramlsa" sorn a kzeget alkot rszecskk elmozdulsa nem szmottev illetve rendezetlen. (Pldul az egyik vgn melegtett rd msik vge is felmelegszik, az energia a rd melegebb vgt l h vezetssel jut a msik vghez.) A h vezets konkrt mechanizmusa a klnbz kzegek esetben azonban lnyegesen klnbzik egymstl. Gzokban az atomok, molekulk rendezetlen mozgsa miatti tkzseknek s a diffzinak kvetkeztben terjed az energia. A fmekben a h kt prhuzamos, majdnem fggetlen mechanizmus rvn terjed, egyrszt a kristly rcsot alkot atomok rezgse ltal msrszt a szabad elektronok diffzija rvn. A nem fmes anyagok s folyadkok esetn az energia terjedse rugalmas elemi hullmok rvn valsul meg.

2.H

szllts (konvekci) az energia trbeli terjedsnek az a mdja, amely a kzeget alkot rszecskk rendezett elmozdulsnak (ramlsnak) kvetkeztben valsul meg. A kzeg ramlst okozhatja a h mrsklet klnbsg miatti s r sg vltozsbl szrmaz felhajt er , ekkor szabad ramlsnak, amennyiben valamilyen kls mechanikai hats az ramls okozja, knyszertett ramlsnak nevezzk a jelensget. (Pldul szabad ramls a kzponti f ts raditorai ltal felmelegtett leveg felfel trtn ramlsa, mg knyszertett az ramls a hajszrt ventilltora ltal a f t spirlon tfvott leveg esetben.) A szilrd testek s a folyadkok (gzok) rintkez felletein keresztl trtn h terjedst h tadsnak nevezzk. Ez a mechanizmus nem a h terjeds kln formja, hanem h vezets, h szllts s olykor h sugrzs egyttes megvalsulsa melletti sszetett folyamat. raml kzegek esetben a folyadkok (gzok) sajt h vezetse a h szlltshoz kpest jelentktelen az raml kzeg nagy rszben, azonban a szilrd fellettel rintkez , raml folyadk esetben mindig tallunk egy vkony (hatr)rteget amelyen bell a h terjeds h vezets rvn valsul meg.

3.H sugrzs az energia trbeli terjedsnek elektromgneses hullmok formjban megvalsul folyamata, ami kzvett kzeg szksgessge nlkli mechanizmus. E folyamat a h vezetst l s h szlltstl eltr termszet , folyamatos energia talakuls rvn valsul meg, azaz a h elektromgneses sugrzss majd a tr egy msik pontjn az elektromgneses sugrzs ismt h v alakul. A terjeds mechanizmusbl kvetkez en a h mrskletnek a terjeds irnyban nem kell monoton cskkennie. (Pldul a Napbl a Fldre elektromgneses sugrzs formjban rkez energia dnt rsze a fldfelsznen, illetve a lgkrben h v alakul.) A szobah mrsklet trgyak esetben a h sugrzs szerepe sok esetben a tbbi energia terjedsi formhoz kpest elhanyagolhat, de a h mrsklet nvekedsvel egyre jelent sebb vlik.

A valsgban a h terjeds a fenti formk egyidej kombincijaknt valsul meg s nmagukban, tiszta formban ritkn lpnek fel. Nagyon sokszor (pl. h vesztesg kiszmtsa sorn) elklnthetjk egymstl a h vezetst, h szlltst s h sugrzst, majd azok ered jeknt szmthatjuk ki a h mennyisg tnyleges rtkt. A m szaki gyakorlatban sok


Grf Gyula, 2005. 30

esetben valamely h terjedsi forma lnyeges tlslya rvnyesl, ilyenkor elegend lehet az adott (pl. csak konvektv) h terjeds lersa. A h terjeds mindhrom fenti formja lehet id ben llandsult (stacionrius) illetve vltoz (instacionrius) folyamat.

1.2. Fourier-trvny, h vezetsi tnyez Fourier (1822) trvnye szerint egy homogn testben a h ram a cskken h mrskletek irnyba mutat, arnyos a terjeds irnyban hosszegysgenknti h mrsklet vltozssal, s az erre az irnyra mer leges keresztmetszettel. Ez az sszefggs u.n. empirikus trvny, azaz a jelensg, itt a h vezets, megfigyelsn alapul. A trvnyt matematikailag megfogalmazva az 1. bra jellseivel:

&Q F dtdx

= (1.1) ahol: &Q a h ram, az F felleten id egysgenknt tramlott energia, mrtkegysge: W

a h vezetsi tnyez , az adott test anyagjellemz je, mrtkegysge: WmK

F a h vezet keresztmetszet, mrtkegysge: m2 dtdx

a h mrskleteloszls hely szerinti differencilhnyadosa azaz a hosszegysgenknti

h mrsklet vltozs, mrtkegysge: Km

A h ram s a keresztmetszet hnyadosa, &&

q QF

= a h rams r sg, azaz a fellet-

egysgenknti h ram, mrtkegysge Wm K2

, s ezzel a Fourier trvny:

&q dtdx

= (1.2)

t+dtt dx

F t2

dx

t1

x

&Q

&Q&Q

1.bra Fourier trvnyhez

A Fourier trvnyben bevezetett h vezetsi tnyez az anyag fizikai jellemz je, s azt fejezi ki, hogy mekkora a h rams r sg 1 K/m hosszegysgenknti h mrsklet vltozs esetn, azaz:

= &qdtdx

(1.3)

A h vezetsi tnyez szmrtke az adott anyag szerkezett l s termodinamikai llapottl fgg rtk. Meghatrozsa igen bonyolult feladat, tbbnyire valamely h vezetsi folyamat laboratriumi krlmnyek kztt megvalstott mrsi eredmnyei alapjn trtnik. A


Grf Gyula, 2005. 31

m szaki gyakorlat szmra klnfle kziknyvek, tblzatok tartalmazzk a szksges adatokat. (Egyes intzmnyek fizikai jellemz ket tartalmaz adatbzisai az Interneten is elrhet ek.) A vizsglt testek klnbz rszeinek eltr h mrsklete miatt a h vezetsi tnyez h mrsklett l val fggst a pontosabb szmtsoknl figyelembe kell venni. A legtbb anyag esetben a h mrsklett l val lineris fggs, vagyis a = 0(1+bt) alak sszefggs hasznlata megfelel pontossg eredmnyt ad. Nhny, a gyakorlati szmtsoknl gyakrabban el fordul anyag h vezetsi tnyez jt ms anyagjellemz vel egytt a Fggelkben kzlt tblzatokban talljuk meg.

1.3. A h tads s a h tadsi tnyez (Newton leh lsi trvnye) A szilrd testekben lejtszd h vezetsi folyamatokat a legtbb esetben az okozza, hogy azok a felszni h mrskletkt l eltr h mrsklet folyadkkal (gzzal) rintkeznek. A szilrd felszn s a folyadk hatron t val h terjeds a h szlltsnl emltetteket megismtelve a h tads. (Megjegyezzk, hogy nem csak szilrd felleten, de folyadk felsznen is trtnhet h tads.) A h tads alapegyenlete Newton nyomn:

& ( )Q F t tw foly= (1.4) ahol: &Q a szilrd test felsznr l a folyadknak tadott h ram, W

F a folyadkkal rintkez fellet, m2 tw a test felsznnek h mrsklete, C, vagy K tfoly a folyadk h mrsklete, C, vagy K a h tadsi tnyez , W/m2K

A test felszne s a folyadk kztti h ram fenti felrsakor feltteleztk, hogy a teljes felszn h mrsklete azonos (izotermikus), s a folyadk egyetlen h mrsklettel jellemezhet . A h tadsi tnyez ilyen mdon trtn bevezetsvel egy sszetett folyamat kt leglnyegesebb paramtert, a h mrsklet klnbsget s a felletet kiemelve, valamennyi egyb fizikai hatst (ramls jellege, sebessg, stb.) a h tadsi tnyez maga - szmrtkvel - fejezi ki. Ks bbiekben a h tadsi tnyez nek az emltett tnyez kt l val fggsre s meghatrozsra visszatrnk.

1.4. Stefan Boltzmann trvny, h sugrzs

Minden anyag a h mrsklett l fgg en klnbz mrtkben bocst ki energit elektromgneses sugrzs formjban. Ugyanakkor a krnyezett l folyamatosan sugrzs ri a testeket. Ennek egy rsze visszaver dik, egy rszt elnyel dik, s a technikai gyakorlat legtbb teste esetben teresztr l tbbnyire nincs sz. gy a testek sugrzsos h transzportja mindig ktirny, azaz folyamatosan sugroznak s nyelnek is el elektromgneses sugrzst. A sugrzsos energiatranszport ltrejtthez nincs szksg kzegre, ebb l kvetkezik, hogy a trben a h mrsklet eloszlsnak sem kell folytonosnak lennie. A sugrzsi tulajdonsgok mind a hullmhosszsgtl, mind a sugrzs irnytl fgghetnek. A legtbb esetben azonban a trgyakat minden irnyban azonos sugrzsi tulajdonsgokkal ruhzhatjuk fel s a hullmhossztl val fggst l is eltekintnk. Az ilyen testeket diffz, szrke testeknek nevezzk. Az ilyen testek felletegysgenknt sugrzssal a krnyezetk fel kibocstott energijt a Stefan Boltzmann trvny alapjn szmthatjuk:

E Te = 04

(1.5) ahol:


Grf Gyula, 2005. 32

Ee a felletegysgenknti energia , W/m2 0=5.67 10-8 W/(m2K4) a Stefan-Boltzmann lland a fellet feketesgi foka T a fellet abszolt h mrsklete, K

2.Id ben llandsult (stacioner) h vezets 2.1.Skfalak (lemezek) h vezetse Ha a h ram irnyra mer leges kiterjeds a vastagsghoz kpest kell en nagy, a homogn anyag skfalban vastagsg irny, egydimenzis h vezets lp fel. A skfal egyik felsznn legyen a h mrsklet t1, mg a msikon t2. A Fourier-trvny integrlsval ebben az esetben a skfalon tmen h ramot az albbiak szerint szmthatjuk:

t2

t1

x

t

2.bra H mrsklet eloszls skfalban

&( )Q F t t=

1 2

a h mrsklet eloszls:

t tt t

x=

11 2

vagy

t tQ

Fx=

1&

(2.1)

Mivel a h terjeds irnyban a keresztmetszet lland, gy az (1.1) szerint a h mrsklet differencilhnyadosa (hosszegysgenknti h mrsklet vltozs) is lland, a skfalban kialakul h mrsklet eloszls pedig egyenes lesz.

1.plda: Szmtsuk ki, hogy mekkora a h ram s a h rams r sg az 1 cm vastag, 0.2x0.2 m fellet PVC lemezben, ha a h mrsklet az egyik oldalon 40 C, a msik oldalon pedig 80 C.

Megolds: A fggelk tblzatbl a PVC h vezetsi tnyez je 0.17 W/mK, gy behelyettestve az adatokat a (2.1) kpletbe a h ram rtke:

&. . .

( ).

.Q = =017 0 2 0 2 80 400 01

27 2WmK

mC

m W 2

o

a h ram s r sg pedig:

&.

. .

q =

=

27 20 2 0 2

680 W m

Wm2 2

2.2.H ellenlls, elektromos analgia. A (2.1) egyenletet trendezve gy, hogy a h mrsklet klnbsg maradjon a jobboldalon, kapjuk:

&QF

t t

=

1 2

(2.2)

R Fh = ( ) u.n. h

ellenlls bevezetsvel a Fourier trvnynek az Ohm trvnnyel val

analgija nyilvnval:


Grf Gyula, 2005. 33

&Q R t th = 1 2 I R U = (2.3) A villamos feszltsg s az R ellenllson tfoly elekromos ram kapcsolata ppgy lineris, mint h vezets sorn a h mrsklet klnbsg hatsra bekvetkez h ram - h mrsklet klnbsg kapcsolat, s mindkt esetben egy ellenlls jelleg (anyagjellemz kb l s geometriai adatokbl szmthat) mennyisg az arnyossgi tnyez . A h ellenlls fogalmt kiterjeszthetjk ms h terjedsi formk esetre is. Tekintsk pldul az (1.4) h tads alapegyenlett. trendezve gy, hogy a jobb oldalon csak a h mrsklet klnbsg, mint az energia terjedsnek oka maradjon, a h ram mellet megjelen tnyez t a h tads h ellenllsaknt definilhatjuk:

&QF

t t

RF

w foly =

=

1

1

(2.4)

A h ellenlls fogalmnak alkalmazsa a h ramok szmtsban igen hatkony. A sorosan ill. prhuzamosan kapcsolt ellenllsokra vonatkoz sszegz sszefggsek felhasznlsval klnbz , sszetett h terjedsi esetekben is egyszer en hatrozhatjuk meg a h ramot, illetve vezethetjk le a szksges szmtsi sszefggseket.

2.3 H tvitel A felleti h mrskletek ismeretben meghatroztuk a sklemezben a h ramot. Tekintsnk azonban egy olyan sklemezt, amely kt klnbz , lland h mrsklet folyadkot vlaszt el a 3. bra szerint. Kvessk a melegebb folyadk ltal szlltott energia terjedsnek folyamatt a hidegebb folyadk fel! A melegebb kzeg oldalon h tads trtnik a folyadk s a sklemez felszne kztt. A sklemezen h vezetssel tjut energit vgl a sklemez hidegebb folyadkkal rintkez felletn trtn h tads eredmnyeknt, a hidegebb folyadk elszlltja. Az energia terjeds el z ekben ismertetett folyamatt h tvitelnek nevezzk s a h tadsi tnyez k ismeretben a h ramot kvetkez en hatrozhatjuk meg:

tf2

tf1

tw1

tw2

12

& ( ) ( ) ( )Q F t t F t t F t tf w w w w f= = = 1 1 1 1 2 2 2 2 ,

amib l trendezve kapjuk: & &QF

t t Q Rf w11

1 1 = =

1

& &QF

t t Q Rw w

= = 1 2

& &QF

t t Q Rw f12

2 2 2 = =

3.bra A h tvitel h mrsklet viszonyai

Az egyenleteket sszeadva:

& ( ) &( )

QF F F

t t Q Rf f ii

1 11 2

1 2

+ + = =

A h ramot kifejezve: &

( )( ) ( )

( )

QF F F

t tR

t tf fi

i

f f=+ +

=

1

1 11

1 2

1 2 1 2

(2.5)


Grf Gyula, 2005. 34

A kt raml kzeg kztti h ramot teht meghatrozza a kzttk lv h mrsklet klnbsg s az ered h ellenlls reciproka. Ez utbbi mennyisget felrhatjuk a kvetkez formban gy, hogy egy u.n. vonatkoztatsi fellet s egy h tadsi tnyez dimenzij mennyisg szorzata legyen:

1R

k Fi

v= (2.6)

A k -t h tviteli tnyez nek nevezzk. A sklemez esetn a vonatkoztatsi felletknt a sklemez fellete termszetes mdon addik, mivel a h vezet keresztmetszet s a h tad fellet mrete azonos. A k h tviteli tnyez t kifejezve kapjuk:

k =+ +

11 11 2

( )

(2.7)

2.4.Rteges skfal (lemez) h vezetse, h tvitele Tbb rteg skfalak esetn valamennyi rtegre rvnyes a (2.1) sszefggs, tovbb a h ram valamennyi rtegben azonos. A 4. bra jellseivel rhatjuk:

1 2 3t1

1 2 3

Q

t4

t2

t3

t

x

4.bra A rteges fal h vezetse

&( ) ( ) ( )Q F t t F t t F t t= = =

1 1 2

1

2 2 32

3 3 43

Innen az egyes h mrsklet klnbsgeket kifejezve: &Q

Ft t

=

1

11 2 azaz

&Q R t th = 1 1 2

&QF

t t

=

2

22 3 azaz

&Q R t th = 2 2 3

&QF

t t

=

3

33 4 azaz

&Q R t th = 3 3 4

egyenleteket sszegezve:

a h ramot kifejezve:

&

( )QF

t t + + =

1

1

2

2

3

21 4 ; & ( )Q R R R t th h h + + = 1 1 1 1 4

&( )

( )Q F t t=

+ +

1 4

1

1

2

2

3

2

; &Q t tR R Rh h h

=

+ +1 4

1 1 1 (2.8)

A h ramot az egyes rtegekre vonatkoz sszefggsek felrsa nlkl, kzvetlenl felrhattuk volna, ugyanis a soros ellenllsokra vonatkoz sszegzsi szably alkalmazsval az egyes rtegek h ellenllsnak ered jt felrva, a rtegeken traml h , a sorbakapcsolt ellenllsokra kapcsolt hajter , itt (t1-t4) s az ered ellenlls hnyadosa. A fentiek abban az esetben rvnyesek ha az egyes rtegek idelisan kapcsoldnak egymshoz, azaz a kzttk lv kontaktus a h ram szmra nem jelent ellenllst. A valsgban sok esetben ez a felttelezs nem teljesl. Ilyenkor a rtegek kztti h ellenllst is figyelembe kell vennnk, ami azt jelenti, hogy az ered h ellenlls kiszmtsnl az egyes rtegek ellenllsval sorbakapcsoldva a kontaktusok h ellenllst is szmtsba vesszk. A kontaktus h ellenllsa (Rk) abbl addik, hogy a rtegek a felleti rdessgk miatt nem rintkeznek tkletesen egymssal. Az gy fellp rs tlagos () vastagsga s a rst kitlt anyag () h vezetsi tnyez je ismeretben rtke megbecslhet (Rk/). A pontos rtk ltalban csak laboratriumi mrsekkel hatrozhat meg. Az sszefggsek tetsz leges, n szm rteg esetre kiterjesztve:


Grf Gyula, 2005. 35

&( )Q F t tn

i

i

n=

+

1 1

1

azaz &( )Q t t

R

n

hin

=

+

1 1

1

(2.9)

Rteges falon keresztl trtn h tvitel esetn:

&

( )( )Q

F F F

t ti

i

n f f=+ +

11 1 11 2 1

1 2

(2.10)

ki

i

n=

+ +

11 11 2 1

(2.11)

2.plda: Szmtsuk ki egy hrom rtegb l ll falazatban a h rams r sget s a rtegek csatlakozsi pontjaiban a h mrskleteket. Az egyes rtegek adatai a kvetkez k: 20 cm vastag beton, = 1 W/mK; 10 cm vastag h szigetels, = 0.04 W/mK; s 2 cm vastag nedvessg szigetels, = 0.2 W/mK. A beton felsznnek h mrsklete 30 C a vzszigetels pedig -5 C.

Megolds: A h ellenlls alkalmazsval a megolds (ld. 4. brt):

R q

t t R q t t R q

he

h h

= + + = =

=

= = = = + = + =

0 21

0 10 04

0 020 2

2 8 30 5 12 5

30 0 21

12 5 27 5 5 0 020 2

12 5 3 752 1 1 3 4 3

. .

.

.

.

. &( ( ))

.

&.

. . &.

.

. .

KmW

ezzel: 2.8

W m

C C

2

2

o o

2.5. Hengerhj (hengeres fal) h vezetse, h tvitele Az 5.bra szerinti homogn hengerhj anyagnak h vezetsi tnyez je , a bels s kls palstjain a h mrsklet lland, t1 s t2, a megfelel sugarak pedig r1 s r2. Egy tetsz leges r1 < r < r2 sugar palston a h ram a Fourier trvny szerint:

r1 r2

t2

t1

t

&Q

r

5.bra Hengerhj h vezetse

&Q F dtdr

rL dtdr

= = pi2

&Q drr

r dtr

r

t

t

1

2

1

2

2 = pi

& ln ( )Q rr

r t t2

11 22= pi

&

ln( )( )Q

r

r

t t= 2

2

1

1 2pi

(2.12)

A (2.12) egyenletb l a sugr fggvnyben a h mrskletet kifejezve: t r t

t tr

r

r

rt

QL

r

r( )

lnln

&

ln= = 1 1 22

1

11

12 pi

A hengerhj h ellenllsa pedig:


Grf Gyula, 2005. 36

R

r

r

Lh=

ln 21

2 pi (2.13)

A hengerhj egysgnyi hosszsg (1m-es darabjnak ) h ramt s ennek megfelel en az egysgnyi hosszsg hengerhj h ellenllst kapjuk az el z sszefggsekb l az L=1m helyettestssel s ezt az L indexknt val feltntetetsvel jelezzk ( &QL , RhL). A hengerhj h vezetsre felrt (2.12) sszefggst a skfalra vonatkoz egyszer bb alak egyenlett alakthatjuk:

& ( )Q F t tL e= 1 2 (2.14)

A (2.14) kifejezsben a = r r2 1 a cs falvastagsg, az F F FF Fe =2 1

2 1ln( / ) pedig az

egyenrtk h vezet keresztmetszet, ahol Fi=2ripi . Az gy felrt sszefggst hasznlhatjuk egyb nem hengeres falban lejtszd h vezets esetben is, ha teljesl a h vezet keresztmetszetnek a h ram irnyban val lineris vltozsa. A (2.14) csak akkor nyjt valban egyszer stst a (2.12) egyenlethez kpest, ha az Fe szmtst egyszer bb tudjuk tenni. Vkonyfal hengerhjak esetben (r2/r1 2) alkalmazhatjuk a kvetkez sszefggst:

F r r r re m m= =+22

2 1pi ahol

A h ramot gy a grblet elhanyagolsval a hengerfal kitertse rvn kapott skfalra vonatkoz sszefggssel szmtjuk, az elkvetet hiba pedig kisebb mint 4%, ami a gyakorlat szmra elfogadhat pontossg. Hengerhjon keresztl trtn h tvitel esetben a hengerhj h ellenlsa sorba kapcsoldik a henger kls s bels felletein trtn h tads h ellenllsval. A henger bels fellete s az raml folyadk kztti h tadsi tnyez 1 , a folyadk h mrsklete t1 s a kls oldalon ugyanezen adatok 2 s t2 . A kt raml kzeg kztt a h ram:

&

ln( / ) ( )Qr L

r r

L r L

t tf f=+ +

11

2 21

21 12 1

2 2

1 2

pi pi pi

(2.15)

A vonatkoztatsi fellet megvlasztsa a skfalakkal sszehasonltva nem addik olyan termszetessggel. Vlaszthatjuk akr a bels , akr a kls felletet, vagy valamilyen kzepes rtket. Az egyenrtk h vezet keresztmetszetet vlasztva vonatkoztatsi felletnek, a h tviteli tnyez t a kvetkez kppen fejezhetjk ki:

k FF

FF

Fee e

=

+ +

1

1 1 2 2

(2.16)

Tbbrteg hengerhj esetn, megismtelve skfalakra alkalmazott eljrst kapjuk: &

ln

( )ln

Q t tr

r

L

L t tr

r

n

i

i

i

n

n

i

i

i

n

=

=

+

+

+

+

1 11

1

1 11

12

2

pi

pi

3.plda:


Grf Gyula, 2005. 37

Egy h t

kzeget szllt, 120/100 aclcs vezetk bels falnak h mrsklete -10 C. 100 mm vastag, =0.045 W/mK h vezetsi tnyez j szigetels van kv lr l a cs vezetken. A szigetels kls felsznnek h

mrsklete 25 C. Szmtsuk ki a vezetk 1m darabjba beraml h ramot! Megolds: Kt egymssal sorbakapcsolt hengerhj h ellenllst felrva kapjuk:

R

Q

= + = + =

= =

ln

.

ln

.

. . .

& ( ).

.

6050

2 46 5

16060

2 0 0452 8 10 0 2993 0 29959

10 25 10 29959

116 8

4pi pi

mKW

Wm

A negatv el jel azt jelenti, hogy a h ram a sugr nvekedsvel ellenttes, azaz kvlr l befel irnyul. Vegyk

szre, hogy ha az aclcs figyelmen kvl hagysval szmoltunk volna, a h ram rtke alig vltozna. A gyakorlatban ezt valahnyszor alkalmazhatjuk amikor az acl szerkezet h ellenllsa h szigetelssel sorba kapcsoltan szerepel.

2.6. Gmbhjak h vezetse, h tvitele A 7.bra szerinti homogn gmbhj anyagnak h vezetsi tnyez je , a bels s kls felsznn a h mrsklet lland, (t1 s t2) a megfelel sugarak r1 s r2. Egy tetsz leges r1 < r < r2 sugar gmbfelleten a h ram a Fourier trvny szerint:

t1

t2

r1

r2

dr

r

r

t

7.bra Gmbhj h vezetse

&Q F dtdr

rdtdr

= = pi4 2

&Q drr

dtr

r

t

t

21

2

1

2

4 = pi

& ( ) ( )Qr r

t t1 1 41 2

1 2 = pi

&( ) ( )Q t t

r r

r r

r rt t=

=

41 1

41 2

1 2

1 2

2 11 2

pi pi

(2.17)

A (2.17) egyenletb l a sugr fggvnyben a h mrskletet kifejezve: t t

Qr r

tt t r r

r r r r= =

11

11 2 1 2

2 1 141 1 1 1& ( ) ( ) ( )

pi

A gmbhj h ellenllsa pedig: R r r

r rh =

2 1

1 24pi (2.18)

Az Fe egyenrtk h vezet keresztmetszet alkalmazsval a gmbhj h ramt gy rhatjuk: & ( )Q F t te=

1 2 (2.19)

A (2.19) sszefggsben a = r r2 1 a gmbhj vastagsga, az F r re = 4 1 2pi pedig az egyenrtk h vezet keresztmetszet. A gmbhjon trtn h tvitel esetn a korbbiaknak megfelel en a bels oldali folyadk h mrsklet t1 s a h tadsi tnyez 1, valamint a kls oldalon ennek megfelel en t2 s 2:

& ( )Q

r

r r

r r r

t t=+

+

41 1

12

1

2 11 2 2

22

1 2pi

(2.20)


Grf Gyula, 2005. 38

A h tviteli tnyez t akr a bels F r1 124= pi , a kls F r2 2

24= pi vagy az Fe felletre kifejezhetjk. Tbbrteg gmbhj esetn, megismtelve pl. a skfalakra alkalmazott eljrst kapjuk:

&( )Q t t

r r

r r

n

i i

i i i

n=

+

+

+

1 1

1

11

4pi

4.plda: Egy flgmb alak kemence belsejben 300 C-os a fstgz h mrsklete. A kemencn kvl a leveg h mrsklete 20 C. A kemencefal bels oldaln a h tadsi tnyez rtke 25 W/m2K, a kls oldaln pedig 12 W/m2K. A kemence falvastagsga 20 cm s az tmr je 1m. A falazat anyagnak h vezetsi tnyez je 0.4 W/mK. Hatrozzuk meg mekkora a h vesztesg a kemence boltozaton keresztl s a kls felszn a h mrsklett!

Megolds: Az ered h ellenllst felrva a flgmbre:

Rr

r r

r r rb b

k bk b k b

= +

+ =12 2

12

0 2802 2 pi .

KW

, amivel a h ram: &Q t tR

fg lev=

=

1000 W

A kls felszn h mrsklete t tQ

rk lev

k k= + =

&

2472 C

o

2.7. Rudak (bordk) h vezetse A szilrd testr l a krnyezete fel val h tadst tbbflekppen nvelhetjk. Ennek egyik lehetsges mdja a h tad fellet nagyobbtsa, ami pl. a felleten kialaktott bordk alkalmazsval rhet el. A kvetkez kben a felletb l kinyl testek (rudak) h vezetsvel foglalkozunk. A krnyezeti h mrsklett l eltr t h mrsklet esetn a rd h vezetse miatt a rd palstjnak h mrsklete is (a t t l val tvolsgtl fgg en) klnbzni fog a krnyezeti h mrsklett l s h tads trtnik a palst s a krnyezete kztt. llandsult llapotban a rd t keresztmetszetn a rdba lp h ram egyenl a palston leadott h rammal. A rd h mrsklet hosszirny vltozsnak meghatrozshoz felttelezzk, hogy a rdban csak hosszirny, egydimenzis h vezets jtszdik le, azaz a hosszra mer leges keresztmetszeten belli h mrsklet klnbsgek elhanyagolhatak. A 8. bra szerinti prizmatikus rd tvnek h mrsklete (t0), a rd palstja mentn a h tadsi tnyez () s a rudat krlvev kzeg h mrsklete (t) lland. A

Dr. Gróf Gyula: hotan fejezetek

Documents