Dr Esad Jakupović-i Dio Knjige

Dr ESAD JAKUPOVIĆDr DRAGOLJUB MIRJANIĆ

FIZIKA I BIOFIZIKA

Banja Luka, februar 2008. godine

PANEVROPSKI UNIVERZITET APEIRON

B A NJ A L U K A

Prof. dr Esad JakupovićProf. dr Dragoljub Mirjanić

FIZIKA I BIOFIZIKA

Recenzija:Prof. dr ZORAN AvramovićProf. dr DUŠAN Starčevć

Izdavač:Panevropski univerzitet "APEIRON"

Banja Luka1. izdanje, godina 2008.

Odgovorno lice izdavača, DARKO Uremović

Urednik:JOVO Vojnović, prof.

Lektor/korektor:SLAVICA Lukić, prof.

DTP i likovno/grafička obrada:DUŠAN Stranatić

Štampa:"ART-PRINT", Banja Luka,

p.o., grafika - dizajn - marketingBanja Luka

Odgovorno lice štamparije: VLADIMIRA Stijak- Ilisić

Tiraž 250 primjeraka

EDICIJA:Fundamentalne nauke – Fundamentum phusiké

knj. 1

ISBN 978-99938-29-70-6

SADRŽAJ

1. PREDGOVOR ............................................................................................................................................ 3

2. MEHANIKA ................................................................................................................................................ 4

Fizika i njena podjela .................................................................................................................................. 4

Metode fizičkog istraživanja ........................................................................................................................ 5

Podjela fizičkih veličina, međunarodni sistem mjera ................................................................................... 6

Jedinica dužine ........................................................................................................................................... 9

Jedinica mase ........................................................................................................................................... 11

Jedinica za vrijeme ................................................................................................................................... 12

3. KINEMATIKA ............................................................................................................................................ 14

Mehaničko kretanje, materijalna tačka, podjela mehanike ........................................................................ 14

Putanja, put i brzina .................................................................................................................................. 15

Ubrzanje ................................................................................................................................................... 20

Podjela kretanja ........................................................................................................................................ 21

Uniformno (ravnomjerno) kretanje ............................................................................................................ 25

Jednako ubrzano krertanje ....................................................................................................................... 28

Atvudova mašina ...................................................................................................................................... 33

Slobodan pad ............................................................................................................................................ 35

Slaganje kretanja ...................................................................................................................................... 41

Slaganje kretanja istog pravca .................................................................................................................. 42

Slaganje kretanja različitih pravaca ........................................................................................................... 43

Slaganje kretanja iste vrste ....................................................................................................................... 43

Slaganje kretanja raznih vrsta ................................................................................................................... 44

Vertikalni hitac, hitac naniže ..................................................................................................................... 44

Horizontalni hitac ...................................................................................................................................... 46

Kosi hitac .................................................................................................................................................. 49

4. DINAMIKA MATERIJALNE TAČKE ......................................................................................................... 54

Sila ............................................................................................................................................................ 54

Njutnovi zakoni ......................................................................................................................................... 55

Prvi Njutnov zakon, inercijalni sistemi ....................................................................................................... 55

Drugi Njutnov zakon .................................................................................................................................. 59

Drugi Njutnov zakon u neinercijalnim (ubrzanim) referentnim sistemima .................................................. 63

Težina, teška i inertna masa ..................................................................................................................... 64

Gustoća, specifična težina, specifična zapremina ..................................................................................... 66

http://www.apeiron-uni.eu/LC/_Users/ejakupovic/Courses/EJAKUPOVIC633982191571718750/_SCORM/sr-SP-Latn_Fizika_i_biofizika-E.Jakupovic.htm#__RefHeading___Toc191202745%23_Toc191202745

































Treći Njutnov zakon (zakon akcije i reakcije) ............................................................................................ 68

Impuls sile i količina kretanja .................................................................................................................... 70

Zakon održanja količine kretanja ............................................................................................................... 72

Primjena zakona održanja količine kretanja .............................................................................................. 75

Sile trenja .................................................................................................................................................. 77

Suho trenje klizanja ................................................................................................................................... 78

Trenje kotrljanja ........................................................................................................................................ 81

Otpor sredine ............................................................................................................................................ 81

Sile kod kružnog kretanja .......................................................................................................................... 82

Tehničke primjene centrifugalne sile ......................................................................................................... 86

Mehanički rad ........................................................................................................................................... 88

Snaga (Efekat) .......................................................................................................................................... 91

Energija ..................................................................................................................................................... 92

Kinetička energija ...................................................................................................................................... 93

Potencijalna energija ................................................................................................................................. 94

Gravitaciona potencijalna energija ............................................................................................................ 95

Elastična potencijalna energija ................................................................................................................. 96

Zakon održanja energije ........................................................................................................................... 97

5. TOPLOTA I TEMPERATURA ................................................................................................................. 100

Temperaturne skale ................................................................................................................................ 100

Celzijusova temperaturna skala .............................................................................................................. 101

Reomirova temperaturna skala ............................................................................................................... 101

Farenhatjova temperaturna skala ........................................................................................................... 101

Termodinamička temperaturna skala ...................................................................................................... 101

Termometri ............................................................................................................................................. 102

Živin termometar ..................................................................................................................................... 103

Gasni termometar ................................................................................................................................... 103

Metalni termometar ................................................................................................................................. 104

Termometar sa električnim otporom ....................................................................................................... 104

Termoelemenat ....................................................................................................................................... 104

Optički pirometar ..................................................................................................................................... 104

Specijalni termometri .............................................................................................................................. 105

Promjene dimenzija čvrstih tijela s temperaturom ................................................................................... 106

Linearno širenje ...................................................................................................................................... 106

Promjena površine čvrstih tijela s temperaturom .................................................................................... 107

Promjena zapremine čvrstih tijela s temperaturom ................................................................................. 108

Termičko naprezanje .............................................................................................................................. 108

Bimetali ................................................................................................................................................... 110







































Promjena zapremine tečnosti s temperaturom ........................................................................................ 110

Anomalija širenja vode ............................................................................................................................ 112

6. KINETIČKA TEORIJA GASOVA ............................................................................................................ 114

Raniji pogledi o prirodi toplote ................................................................................................................. 114

Braunovo kretanje ................................................................................................................................... 114

Molekularni zraci, Šternov eksperiment .................................................................................................. 115

Osnovne postavke kinetičke teorije gasova ............................................................................................ 116

Džul - Bernulijeva jednačina ................................................................................................................... 116

Srednja kinetička energija molekula i temperatura .................................................................................. 118

Brzina molekula gasa .............................................................................................................................. 120

Izvođenje empirijskih zakona stanja gasa pomoću zakona kinetičke teorije gasova ............................... 121

Bojl-Mariotov, Gej-Lisakov, Šarlov zakon ............................................................................................... 121

Avogadrov zakon .................................................................................................................................... 122

Daltonov zakon ....................................................................................................................................... 123

Grahamov zakon ..................................................................................................................................... 123

Principi ravnomjerne raspodjele energije, unutrašnja energija idealnog gasa ......................................... 124

Princip ekviparticije i odnos specifičnih toplota ....................................................................................... 125

Maksvelov zakon respodjele brzina ........................................................................................................ 127

Srednje brzine molekula i najvjerovatnija brzina ..................................................................................... 130

7. PRENOŠENJE (PROSTIRANJE) TOPLOTE ......................................................................................... 134

Načini prenošenja toplote ....................................................................................................................... 134

Provođenje toplote .................................................................................................................................. 135

Videman- Francov zakon ........................................................................................................................ 138

Prenošenje toplote strujanjem ................................................................................................................ 139

Prenošenje toplote zračenjem ................................................................................................................ 140

Zakoni zračenja ...................................................................................................................................... 142

Apsorpaciona i emisiona moć zračenja ................................................................................................... 142

Kirhofov zakon zračenja .......................................................................................................................... 144

Štefan-Bolcmanov zakon ........................................................................................................................ 146

Vinov zakon pomjeranja .......................................................................................................................... 147

Rejeli-Džinsov zakon .............................................................................................................................. 148

Plankov zakon ........................................................................................................................................ 149

8. MEHANIKA LOKOMOTORNOG SISTEMA ČOVJEKA .......................................................................... 154

Elementi lokomotornog sistema .............................................................................................................. 154

Zglobovi .................................................................................................................................................. 155

Dvoosni zglobovi ..................................................................................................................................... 155

Višeosni zglobovi .................................................................................................................................... 156

Mišići ....................................................................................................................................................... 156







































Prosta poluga .......................................................................................................................................... 157

Klasifikacija prostih poluga ...................................................................................................................... 158

Klasifikacija poluga po vrsti .................................................................................................................... 158

Sistem poluga ......................................................................................................................................... 160

Biomehanički aspekt osteogeneze .......................................................................................................... 161

Mehanički model adaptacije forme kosti ................................................................................................. 163

Međumolekulske sile ............................................................................................................................... 164

Priroda međumolekulski sila ................................................................................................................... 164

Elastičnost i plastičnost ........................................................................................................................... 165

Elastičnost pri istezanju i savijanju .......................................................................................................... 166

Hukov zakon za savijanje ....................................................................................................................... 167

Energetika koštane frakture .................................................................................................................... 167

Impulsna sila ........................................................................................................................................... 169

Biomehanika tečnosti .............................................................................................................................. 171

Njutnov zakon viskoznosti ....................................................................................................................... 171

9. OSCILATORNO KRETANJE .................................................................................................................. 173

Uopšte o oscilovanju ............................................................................................................................... 173

Harmonijske oscilacije ............................................................................................................................ 175

Brzina i ubrzanje kod harmonijskih oscilacija .......................................................................................... 176

Energija harmonijskog titranja ................................................................................................................. 179

Harmonijski oscilator ............................................................................................................................... 181

Matematičko klatno ................................................................................................................................. 183

Fizičko klatno .......................................................................................................................................... 186

Reverziono klatno ................................................................................................................................... 188

Torziono klatno ....................................................................................................................................... 189

Primjene klatna ....................................................................................................................................... 190

FUKO-vo klatno ...................................................................................................................................... 191

Određivanje momenta inercije pomoću klatna ........................................................................................ 192

10. TALASNO (VALNO) KRETANJE ........................................................................................................... 193

Spregnute oscilacije ................................................................................................................................ 193

Prostiranje talasa u elastičnoj sredini ...................................................................................................... 194

Linijski talasi ............................................................................................................................................ 195

Transverzalni talas .................................................................................................................................. 195

Površinski i prostorni talasi ..................................................................................................................... 198

Brzina prostiranja talasa ......................................................................................................................... 199

Jednačina ravnomjernog i sfernog talasa ............................................................................................... 203

Jednačina ravnomjernog talasa koji se prostire u proizvoljnom smjeru .................................................. 208

Opšta talasna jednačina ......................................................................................................................... 210







































Energija talasa, fluks energije, intenzitet talasa ...................................................................................... 212

Apsorpcija energije talasa ....................................................................................................................... 217

Hajgensov princip ................................................................................................................................... 218

Odbijanje (refleksija) talasa ..................................................................................................................... 219

Prelamanje (refrakcija) talasa ................................................................................................................. 222

Savijanje (difrakacija) talasa ................................................................................................................... 224

Polarizacija talasa ................................................................................................................................... 225

Interferencija talasa ................................................................................................................................. 226

Stojeći talasi ............................................................................................................................................ 230

Jednačina stojećeg talasa ....................................................................................................................... 232

11. ZVUČNE POJAVE ................................................................................................................................. 234

Priroda zvuka, opseg frekvencija zvuka .................................................................................................. 234

Postanak i širenje zvuka ........................................................................................................................ 234

Zvučni talasi ............................................................................................................................................ 235

Brzina zvuka ........................................................................................................................................... 238

Odbijanje, prelamanje, savijanje i interferencija zvuka ............................................................................ 240

Zvučni udari ............................................................................................................................................ 242

Vrste zvuka ............................................................................................................................................. 243

Oscilovanje žica ...................................................................................................................................... 244

Oscilovanje štapova ................................................................................................................................ 246

Oscilovanje vazdušnih stubova ............................................................................................................... 247

Oscilacija ploča i membrana ................................................................................................................... 249

Rezonancija i rezonatori ......................................................................................................................... 250

Dopler - fizoov efekat .............................................................................................................................. 253

Osjećaj zvuka ......................................................................................................................................... 255

Apsorpcija zvuka ..................................................................................................................................... 257

Ultrazvuk ................................................................................................................................................. 259

Primjene ultrazvuka ................................................................................................................................ 261

12. OPTIKA .................................................................................................................................................. 263

Uvodna razmatranja ................................................................................................................................ 263

Pravolinijsko prostiranje svjetlosti ........................................................................................................... 264

Brzina svjetlosti ....................................................................................................................................... 266

Remerova metoda .................................................................................................................................. 266

Majkelsonova metoda ............................................................................................................................. 269

Optika pokretnih sredina i teorija relativnosti .......................................................................................... 270

Specijalna teorija relativnosti .................................................................................................................. 271

Galilejove i Lorencove transformacije koordinata .................................................................................... 271

Posljedice Lorencovih transformacija ...................................................................................................... 275







































Duplerov efekat u optici .......................................................................................................................... 278

Fotometrija .............................................................................................................................................. 279

Fotometri ................................................................................................................................................. 286

Geometrijska optika ................................................................................................................................ 287

Odbijanje (refleksija) svjetlosti ................................................................................................................ 288

Ravno ogledalo ....................................................................................................................................... 290

Zakonitosti kod ravnih ogledala ............................................................................................................... 291

Primjena ravnih ogledala ........................................................................................................................ 293

Sferna ogledala ....................................................................................................................................... 293

Ispupčeno ogledalo ................................................................................................................................. 295

Jednačina sfernog ogledala .................................................................................................................... 296

Ispupčeno ogledalo ................................................................................................................................. 297

Likovi kod sfernih ogledala ...................................................................................................................... 299

Likovi kod udubljenog ogledala ............................................................................................................... 299

Primjene sfernih ogledala ....................................................................................................................... 301

Prelamanje svjetlosti ............................................................................................................................... 302

Totalna refleksija ..................................................................................................................................... 305

Laser ....................................................................................................................................................... 307

Karakteristike laserskog zračenja ........................................................................................................... 310

Primjena lasera ....................................................................................................................................... 311

Holografija ............................................................................................................................................... 311

Opći biofizički osnovi laserske diagnostike i terapije u biomedicini ......................................................... 313

Interakcija laserskog zračenja i biološkog tkiva ....................................................................................... 314

13. ELEKTROMAGNETIZAM ....................................................................................................................... 319

Struja i otpor ........................................................................................................................................... 319

Gustina struje .......................................................................................................................................... 321

Električni otpor provodnika. Omov zakon u diferencijalnom i integralnom obliku .................................... 323

Zavisnost otpora od temperature. Supraprovodnost ............................................................................... 326

Supraprovodnici ...................................................................................................................................... 327

Omov zakon, linearni elemnti električnog kola ........................................................................................ 328

Džul - Lencov zakon ............................................................................................................................... 329

Rad i snaga električne struje ................................................................................................................... 332

Provodnici, izolatori, poluprovodnici ........................................................................................................ 333

14. KOLA JEDNOSMJERNIH STRUJA ....................................................................................................... 338

Elektromotorna sila ................................................................................................................................. 338

Omov zakon za nerazgranata strujna kola .............................................................................................. 339

Razlika potencijala, kolo sa nekoliko izvora EMS ................................................................................... 340

Kirhofova pravila ..................................................................................................................................... 342







































Redno i paralelno vezivanje otpornika .................................................................................................... 344

Redno (serijsko) vezivanje otpornika. ..................................................................................................... 344

Paralelno vezivanje otpornika. ................................................................................................................ 345

Mjerni instrumenti .................................................................................................................................... 346

Struja punjena i pražnjenja kondenzatora ............................................................................................... 351

Magnetno polje ....................................................................................................................................... 355

Lorencova sila ......................................................................................................................................... 360

Specifično naelektrisanje čestica ............................................................................................................ 362

Bejnbridžov spektrograf masa ................................................................................................................ 363

Ciklotron i sinhrotron ............................................................................................................................... 364

Magnetne boce ....................................................................................................................................... 366

Holov efekat ............................................................................................................................................ 368

Dejstvo magnetnog polja na struju .......................................................................................................... 369

Strujna kontura u megnetnom polju ........................................................................................................ 371

Potencijalna energija strujne konture u magnetnom polju ....................................................................... 372

Magnetno polje struje - Amperova teorema ............................................................................................ 373

Bio-Savar-Laplasov zakon ...................................................................................................................... 373

Primjena Bio-Savar-Laplasovog zakona ................................................................................................. 375

Magnetna indukcija beskonačnog pravog strujnog provodnika ............................................................... 375

Magnetna indukcija kružne struje ............................................................................................................ 376

Međusobno djelovanje magnetnih struja ................................................................................................. 378

Amperova teorema ................................................................................................................................. 381

Magnetna indukcija solenoida i torusa .................................................................................................... 383

Elektromagnetizam ................................................................................................................................. 385

Elektromagnetna indukcija ...................................................................................................................... 385

Faradejevi eksperimenti .......................................................................................................................... 385

Magnetni fluks ......................................................................................................................................... 387

Faradejev zakon indukcije ...................................................................................................................... 388

Lorencovo pravilo .................................................................................................................................... 390

Vrtložne ili Fukoove struje ....................................................................................................................... 392

Skin efekat .............................................................................................................................................. 392

Indukovano električno polje .................................................................................................................... 393

Betatron .................................................................................................................................................. 395

Magnetne osobine materijala .................................................................................................................. 396

Magnetne osobine atoma ....................................................................................................................... 396

Orbitalni magnetni moment elektrona ..................................................................................................... 396

Spinski magnetni moment elektrona ....................................................................................................... 399

Ukupni magnetni moment atoma ............................................................................................................ 399







































Magnetizam jezgra .................................................................................................................................. 400

Klasifikacija magnetnih materijala ........................................................................................................... 400

Magnetizacija .......................................................................................................................................... 401

Dijamagnetizam ...................................................................................................................................... 403

Paramagnetizam ..................................................................................................................................... 409

Feromagnetizam ..................................................................................................................................... 411

Magnetna histereza ................................................................................................................................ 413

15. OSNOVE KVANTNE MEHANIKE .......................................................................................................... 415

Toplotno zračenje i klasična fizika ........................................................................................................... 415

Planckov zakon toplotnog zračenja ......................................................................................................... 416

Fotoelektrični efekt i klasična fizika ......................................................................................................... 416

Einsteinova teorija fotoelektričnog efekta ................................................................................................ 417

Dualna priroda elektromagnetnog zračenja ............................................................................................ 418

De Brogleova hipoteza o valnoj prirodi čestica ....................................................................................... 418

Fizičko značenje čestičnih valova ........................................................................................................... 420

Heisenbergov princip neodređenosti ....................................................................................................... 422

Schrödingerova valna jednačina ............................................................................................................. 424

Atom i procesi u atomu ........................................................................................................................... 425

Rutherfordov nuklearni model atoma ...................................................................................................... 425

Linijski spektri atoma ............................................................................................................................... 426

Bohrova teorija atoma ............................................................................................................................. 427

Atom u kvantnoj mehanici ....................................................................................................................... 431

Spin, Paulijev princip ............................................................................................................................... 433

Kvantni prijelazi u atomu ......................................................................................................................... 435

Luminiscencija ........................................................................................................................................ 436

Stimulirana emisija zračenja ................................................................................................................... 437

Laseri i njihova primjena ......................................................................................................................... 438

Magnetne osobine atoma ....................................................................................................................... 440

Magnetna rezonancija ............................................................................................................................. 442

Elektronska paramagnetna rezonancija .................................................................................................. 442

Nuklearna magnentna rezonancija ......................................................................................................... 443

16. OSNOVE NUKLEARNE FIZIKE ............................................................................................................. 445

Građa atomske jezgre ............................................................................................................................. 445

Međudjelovanje nukleona u jezgri ........................................................................................................... 447

Energija veze jezgre i defekt mase ......................................................................................................... 448

Nuklearne reakcije. Nuklearna energija .................................................................................................. 449

Radioaktivnost ........................................................................................................................................ 452

Zakoni radioaktivnosti ............................................................................................................................. 454







































Radioaktivni nizovi .................................................................................................................................. 455

Primjena radioaktivnih izotopa u medicini ............................................................................................... 456

Elementarne čestice ............................................................................................................................... 458

Kvarkovi .................................................................................................................................................. 461

1. LITERATURA ......................................................................................................................................... 463






1. PREDGOVOR

Udžbenik „FIZIKA I BIOFIZIKA“ je namjenjena studentima tehničkih fakulteta, medicine, stomatologije, ..., studentima fakulteta zdravstvene njege i drugih srodnih fakulteta koji proučavaju FIZIKU. Fizika predstavlja fundament svake prirodne nauke. Osnovni cilj svake savremene univerzitetske nastave osposobiti studente da mogu prihvatiti nova dostignuća nauke.Fizika je kao fundamentalna nauka o prirodi prisutna na fakultetima svih prirodnih disciplina. Uzeto je u obzir i to da se udžbenikom mogu koristiti, kako oni koji FIZIKU izučavaju po skraćenom programu,tako i oni koji je izučavaju po znatno širem programu. Predstavu o MATERIJI udžbeniku daje SADRŽAJ. Pri formiranju udžbenika pošlo se od dubokog ubjeđenja, potvrđenog višegodišnjom praksom , da u udžbeniku treba uvijek ići od posebnog ka opštem. Ovaj put omogućuje studentima da brže i bolje usvoje materiju, a osim toga sam proces učenja čini očiglednijim i postupnijim.Uz pružanje osnovnih fizikalnih znanja najvažni je zadatak nastave FIZIKE da formira naučno-materijalistički pogled na svijet i da studente nauči fizikalno razumjeti i u preksi primjenjivati fizikalne zakonitosti. U obradi sadržaja korištene su savremene tendencije u nastavi FIZIKE koje polaze od jedinstva FIZIKE kao NAUKE i duboke međusobne povezanosti njenih različitih oblasti. Matemetički aparat koji se koristi uglavnom ne izlazi iz okvira tradicionalnih kurseva matematike. Mnoga teoriska izvođenja data su ipak u potpunosti, najčešće sa svim pojedinostima. Postoji mnogo udžbenika FIZIKE koji obrađuju ovu materiju, i autor se koristio mnogim od njih da bi prilagodio objašnjavanja pojedinih pojava nivoa znanja i potrebama studenata kojima je udžbenik namjenjen.Kako je FIZIKA osnova mnogim naučnim i istraživačkim disciplinama, ovaj će udžbenik zasigurno naći čitaoce i u širem krugu inžinjera, nastavnika i dr.Kolegama Prof. dr Zoranu Avramoviću i Prof. dr Dušanu Starčeviću zahvaljujem se na korisnim pimjedbama i sugestijama koje su dali nakon pregleda rukopisa.

Banjluka, Februara 2008 Autor

2. MEHANIKA

Fizika i njena podjela

Fizika je riječ grčkog porijekla (φιδις = priroda) . Pod prirodom podrazumjevamo cjelokupnost svih tijela (biljke životinje, nebeska tijela itd.), dakle, skup svega što postoji. Budući da su tijela samo razni oblici materije, izlazi da je materija sve što objektivno postoji.

Materija se stalno kreće i mjenja, pa su sva zbivanja u prirodi samo razni oblici kretanja materije. Kretanje materije odvija se u prostoru i vremenu, tako da su prostor i vrijeme oblici postojanja materije. Materija u svome kretanju podliježe nekim promjenama. Ove promjene koje se zbivaju s materijom nazivamo prirodnim pojavama. Nauke koje proučavaju zakone po kojima se zbivanja prorode pojave nazivamo prirodnim naukama. U prirodne nauke spada i fizika.

Već smo rekli da naziv fizika dolazi od grčke riječi „fizis“ što znači priroda. Prema tome, fizika je nekad bila nauka o prirodi uopšte. Kada se nauka o prirodi razgranala, uvidjelo se da među prirodnim pojavama postoje izvjesne srodnosti, pa se nauka o prirodi podijelila u više zasebnih nauka, koje se međusobno razlikuju i po objektima koje istražuju i po metodama koje se kod tih istraživanja primjenjuju.

Fizika izučava najopštije zakonitosti koje vladaju u materijalnom svijetu. Ove zakonitosti odnose se na nastanak strukture materije, kao i na njeno kretanje i transformisanje, a u podjednakoj mjeri važe za neživu i živu materiju. Na osnovu ovako definisane oblasti izučavanja fizike, očigledno je da ona predstavlja osnovu svih prirodnih i tehničkih nauka. Veoma je teško definisati šta je fizika i povući stroge granice te nauke prema srodnim.Fizika objašnjava prirodu i zakone interakcije između atoma i molekula i zobg toga predstavlja osnovu hemije.Fizički zakoni o interakciji između elektromagnetnih polja i naelektrisanja ugrađeni su u temelje elektrotehnike i radiotehnike.Procesi na zvijezdama nisu ništa drugo već različiti tipovi nuklearnih reakcija, pa se zato astrofizika može smatrati jednom specifičnom oblasti fizike.Kretanje nebeskih tijela regulisano je gravitacionim silama, što znači da je i nebeska mehanika izgrađena na bazi fizičkih zakona.Fizički zakoni takođe leže u osnovi otpornosti materijala, građevinske tehnike, termodinamike i ostalih tehničkih nauka.Fizika je zašla u domen biologije i danas se u ovoj nauci kao i u medicini uveliko primjenjuju metode fizike.Budući da izučava osnovne zakonitosti materijalnog svijeta, fizika se razvijala veoma brzo i neprestalno je usavršavala svoje metode. Možemo govoriti o povratnoj sprezi između saznajnih procesa i fizike. Porast obima naših saznanja o prirodi usavršavao je fiziku i njene metode, a ova je opet, usavaršavajući svoje metode proširivala naše saznajne horizonte.Podstrek za razvoj fizike bile su praktične potrebe ljudi. Mehanikastarih Egipćana i Grka iznikla je neposredno u vezi sa pitanjima koja je postavila tadašnja građevinska i vojna tehnika. Pored eksperimentisanja Arhimeda i Herona, fizika u starom vijeku nije napredovala, jer je proizvodna snaga robova bila jeftinija i nije bilo podstreka za razvojem fizike, odnosno tehnike. Od antičkog doba pa do renesanse nije načinjen neki veliki napredak u fizici, pa prema tome i u tehnici. U doba renesanse zanatska i industrijska radinost, prekomorska putovanja, ratne vještine itd. postavili su svijetu razne tehničke zadatke. Tako pod uticajem razvoja tehnike krajem 17. I početkom 18. stoljeća došlo je do krupnih naučnih otkrića. Početkom 19. stoljeća primjenom parnih mašina u industriji postaje aktuelno pitanje –„kako da se na najpovoljniji način toplota pretvori u rad“. Ovaj problem riješio je francuski inžinjer Sadi Karno i njegov rad poslužio je kao temelj za razvoj termodinamike. Vidimo da potrebe praktičnog života dovode do novih fizičkih otkrića, a ova opet služe kao baza za dalji razvoj tehnike.Fizika je doživjela naročito buran razvitak u 20. stoljeću. Početkom ovog vijeka paralelno su nastjale teorije relativnosti, koje predstavljaju i uopštene klasične mehanke i elektrodinamike i kvantna teorija koja objašnjava zakonitosti pojava u mikrosvijetu. Danas je fizika ustanju da objasni sve fenomene, koje naši mjerni instrumenti registruju. To ne znači da fizika ne podliježe daljem usavršavanju. Razvojem tehnike stvaraju se novi, osjetljiviji, mjerni instrumenti, koji proširuju naša saznanja o materijalnom svijetu, a ova nova saznanja svakako utiču na dalje usavršavanje fizičkih teorija.Osvrnimo se još na podjelu fizike po oblastima. Svaka od ovih oblasti izučava određene oblike kretanja i transformisanja materije. Prema oblastima izučavanja, fizika se dijeli na: mehaniku, molekularnu fiziku, elektromagnetizam, optiku, atomsku fiziku i nuklearnu fiziku.Mehanika izučava kretanje tijela u prostoru, molekularna fizika haotično kretanje velikog broja atoma i molekula. Elektromagnetizam izučava elektromagnetna polja, naelektrisanja i interakciju između polja i naelektrisanja, dok je

zadatak optike da prouči zakone prostiranja elektromagnetnog zračenja i njegovu interakciju sa materijom. Atomska fizika izučava kvantne pojave u atomskom jezgru, na osnovu kvantnih zakonitosti.Naglasimo da navedena podjela nema apsolutni karakter i da ne postoje oštre granice između pojedinih dijelova fizike. Naprotiv, različite oblasti fizike se često prožimaju, a još češća je pojava da se ideje, mtode i prilazi iz jedne oblasti prenose i koriste u nekoj drugoj oblasti.

Metode fizičkog istraživanja

Prvobitno su se fizička istraživanja zasnivala na posmatranju (opservaciji) pojava onako kako se ona zbivaju u prirodi. Tako, na primjer, sistematskim posmatranjem pomračenja Sunca i Mjeseca moglo se unaprijed utvrditi kada će se ove pojave dogoditi, mada ih ljudi nisu znali objasniti. Isto tako ljudi su se od davnina služili polugom iako nisu znali uslov za ravnotežu, a gradili su čamce iako nisu znali zakon plivanja.Ovakvo ispitivanje zasnovano na direktnom posmatranju i opisivanju pojava bez ikakvog mjerenja i upoređivanja naziva se kvalitativno.

Iskustvo je pokazalo da su kvalitativna ispitivanja nedovoljna za nauku. Ako želimo neku prirodnu pojavu upoznati i proučiti moramo vršiti određena mjerenja i upoređivanja. Ovakvo ispitivanje zasnovano na mjerenjima i upoređivanjima naziva se kvantitativno. Kvantitativna ispitivanja zahtjevaju duže i češće ispitivanje prirodnih pojava. Redovno su pojave koje se u prirodi zbivaju, da tako kažemo same od sebe, skup veoma različitih pojava. Običnose takva pojava kompleks od mnogo pojava i zbog te svoje kompleksnosti često se niti ne može pravo uočiti šta je uzrok a šta posljedica. Pojave u prirodi se dešavaju bez naše volje i ako ih želimo proučavati moramo čekati kad će se one dogoditi. Kompleksnost tih pojava u prirodi a i čekanja na njih kad nam ih priroda pruži otežavaju njihovo proučavanje. Zbog toga je nastala potreba da se prirodne pojave izazivaju odgovarajućim spravama. Ovako reprodukovanje prirodnih pojava odgovarajućim spravama nazivamo eksperimentom. Važnost eksperimenta nije samo u tome što ga možemo izvesti kad hoćemo i koliko puta hoćemo pod raznim okolnostima, nego i u tome što ga možemo učiniti takvim da određenu prirodnu pojavu „očistimo“ od svih nepoželjnih uticaja koje je prate u složenoj stvarnosti.

Koliko je bitan eksperiment za tumačenje prirodnih pojava dokaz nam je razvitak fizike od vremena kada se ona počela služiti eksperimentom kao metodom svoga rada. Možemo smatrati Galileo Glalileja (1564-1642) kao prvog koji je svjesno uveo eksperiment u fizikalna istraživanja. Zbog toga ga možemo smatrati ocem fizike onakve kakvu je danas imamo. Na osnovu eksperimentalnih podataka nastojimo napisati matematički izraz koji povezuje mjerenje veličine. Ovako nađeni matematički izraz, koji veže fizikalne veličine naziva se fizikalni zakon. Štaviše fizika je u izvjesnim slučajevima tahtjevala pronalazak i razvitak novih grana matematike, kada se dotadašnja matematika pokazala nedovoljnada objasni fizičke pojave. Na primjer, Njutn je za objašnjenje problema trenutne brzine pronašao i upotrijebio infinitezimalni račun. Na osnovu izloženog možemo zaključiti da je eksperiment osnov fizikalne spoznaje.Druga metoda fizike , teoretska, nastoji povezati čim veći broj fizikalnih zakona tako da nađe ono što je svim tim zakonima zajedničko. To onda matematički formulira i postavi kao vrhovni zaon, tj. Stvara se teorija. Iz teorije se onda pojedinačni zakoni izvode matematičkim putem. Za stvaranje teorije činimo pretpostavke ili hipoteze, ali tekve koje na osnovu pojedinačnih zakona izgledaju vjerovatne. Snaga teoretske metode leži u tome što ona može izvesti i takav pojedinačni zakon, koji još nije eksperimentalno pronađen. Ako eksperimentalna metoda potvrdi ovako izveden zakon, onda teorija postaje ispravna. Ako gane potvrdi tj. ako on nije u skladu sa iskustvom, onda teoriju treba doraditi ili odbaciti. Pri postavljanju teorija moramo obratiti pažnju na hipoteze jer pogrešne hipoeze vode stranputici i lutaju u nauci. Međutim, dobre hipoteze odigrale su važnu ulogu u otkrivanju novih saznanja. Na primjer, flogistonska teorija toplote bila je u suprotnosti sa činjenicom da se mehaničkim radom razvija toplota. Zato je ova teorija odbačena i zamjenjena mehaničkom teorijom toplote.Možemo zaključiti, eksperimentalna metoda je induktivna (od jednostavninjeg ka složenom), a teoretksa deduktivna (od opšteg ka pojedinačnom).

Podjela fizičkih veličina, međunarodni sistem mjera

Broj fizičkih veličona koje uvodimo radi opisivanja fizičkih pojava može biti veoma velik. Međutim, pojave u fizici su povezane međusobno, te se može postaviti kvantitativna veza između pojedinih fizičkih veličina. Tu vezu obično izražavamo u vidu neke matematičke relacije. Pomoću ovih relacija mogu se iz jednih veličina izvoditi druge, nove veličine, pa se broj veličina može reducirati. Međutim, iskustvo nam pokazuje da ćemo u redukciji broja fizičkih veličina

konačno doći do takvih koje ne možemo svesti jedne na druge. Takve veličine, koje zehtjevaju definisane „a priori“ zovemo osnovnim fizičkim veličinama. Sve ostale veličine koje možemo računskim putem izvesti iz osnovnih zovemo izvedenim fizičkim veličinama.

Osnovne fizičke velićine ne možemo u fiziku uvesti čistim jednačinama, tj. fizičkim zakonom.Današnji razvoj fizike pokazuje da se čitavo područje pojava koje istražuje savremena fizika, da prikazati pomoću slijedećih osnovnih fizičkih veličina koje odgovaraju nezavisnim područjima fizike:

Mehaničke veličine, Termička veličina, Električnaveličina Optička (fotometrijska) veličina i Atomistička veličina.

U principu, izbor navedenih osnovnih veličina je u svakom području fizike slobodan. Od izbora osnovnih veličina zavisi sistem mjera. Danas se u fizici upotrebljava internacionalni sistem mjera (Systeme Internecional des Unites, skraćeno SI), kod koga su za osnovne veličine uzete:

dužina Oznaka - lmasa oznaka - mvrijeme oznaka - ttemperatura oznaka - Tjačina el. energije oznaka - ijačinasvjetlosti oznaka - Ikoličina tvari mol

Odlukom niza međunarodnih konferencija za mjere i tegove prohvaćene su slijedeće jedinice koje su osnovne u SI sistemu:

za dužinu metar - mza masu kilogram - kgza vrijeme sekunda - sza temperaturu Kelvin -Kza jačinu el. energije Amper - Aza jačinu svjetlosti kandela - cdza količinu tvari mol - mol

Od osnovnih mjernih jedinica grade se veće ili manje jedinice dodavanjem odgovarajućih prefiksa ispred simbola jedinice i tako se dobivaju jedinice koje su 10, 10², 10³ itd. puta veće ili manje od osnovne jedinice. U SI sistemu upotrebljavaju se ovi prefiksi:

Prefiks za povećanje jedinice

Oznaka Faktor povećanja

Prefiks za smanjenje jedinice

Oznaka Faktor Smanjenja

deka (deca) da 10 deci d 10-1

hekto (hecto) h 102 centi c 10-2

kilo k 103 mili (milli) m 10-3

mega M 106 mikro (micro) μ 10-6

giga G 109 nano n 10-9

tera T 1012 piko (pico) p 10-12

peta p 1015 femto f 10-15

heksa (exa) E 1018 ato (atto) a 10-18

Međutim, veće ili manje jedinice zamasu, koja već u svom imenu sadrži prefiks, izvode se dodavanjem odgovarajućeg prefiksa nar rijeć gram, a oznaka prefiksa piše se uz simbol g. Na primjer mg, a ne µkg.Pored sedam navedenih osnovnih veličina i njihovih jedinica u upotrebi su i dvije dopunske bezdimenzionalne jedinice i to ugao i prostorni ugao.

Jedinica za ugao u ravni kod kojeg su dužina luka i radius jednaki (sl. 1.1). U opštem slučaju

φ(rad) = l

rUglu od 360o odgovara ugao od

22

r

r

radijana.

Prema tome je

360 1801 57,29578 57 17 '44,8 ''

2rad

Formula za preračunavanje je:r

Sl. 1.1.

α

l

( ) 360 : 2

( )180

rad

rad

Jedinica za prostorni ugao je steradijan (oznaka: sr). Steradijan je jednak prostornom uglu kupe sa tjemenom u središtu lopte koja na površini lopte zahvata površinu jednaku kvadratu radijusa lopte. U opštem slučaju je:

2( )

Ssr

R

Čitavom prostoru oko središta lopte odgovara prostorni ugao od 4π(sr), jer je:

2

2

44L

Rsr

R

Budući da jednake površine S na lopti mogu imati različite oblike, to izlazi da jednaki prostorni uglovi mogu biti vrlo različiti po svom obliku. Sve ostale fizičke veličine izvode se iz ovih onsovnih veličina pomoću fizičkih zakona, koji se izražavaju matematičkim relacijama. Ako, na primjer, izvedenu fizičku veličinu sa osnovnim veličinama masom M, vremenom T i dužinom L povezuje fizički zakon oblika:

LX M

T

kaže se da veličina X ima dimenziju

[X]=[MLT-1]

te će se fizička veličina X mjeriti izvedenom jedinicom kg ms-1.

Od navedenih osnovnih veličina prve tri, tj. dužina, masa i vrijeme su osnovne veličine u mehanici, pa ćemo se pobliže upoznati sa jedinicama ovih triju osnovnih veličina. O ostalim jedinicama biće govora kad se budu proučavale ostale oblasti fizike.

Primjeri:

1. Koliko radijana ima ugao α=23o

Rješenje:Iz odnosa 23o: φ(rad) = 180 o: izlazi da je:

23( ) 0,401( )

180rad rad

2. Koliko stepeni ima ugao φ = 1,2rad?

Rješenje: Iz odnosa αo:1,2(rad) = 180 o: izlazi da je:

1,2 18068,789

68 ,47 '20 ''

oo o

o o

Jedinica dužine

Izbor jedinice za mjerenje dužine kod raznih naroda bio je različit. Stari su narodi obično za jedinicu dužine uzimali dijelove čovječijeg tijela, kao što su: palac, lakat, korak, pedalj, col, aršin itd. Ovakav proizvoljan izbor za mjerenje dužina bio je nepodesan ne samo za trgovinu među narodima, već i za nauku. Praktične potrebe života tražile su da se ustanovi jedinstvena internacionalna jedinica, koja bi bila podesna za naučne i praktične svrhe. Za izbor ove jedinice postojali su razni prijedlozi naučnika.

Pariška akademija nauka je 1790. godine obrazovala komisiju čiji je zadatak bio da odredi jedinicu za mjerenje dužine. U komisiji su bili tadašnji najpoznatiji naučnici: Laplas, Lagranž, Lavoazije, Kulon, Borda i dr.

Komisija je predložila da se za jedinicu uzme dužina 40-milionitog dijela onog Zemljinog meridijana koji prolazi kroz Pariz (sl. 1.2.). Tako izabrana jedinica dobila je naziv metar (grč. metron = mjera).Dužina metra utvrđena je na osnovu mjerenja izvršenih od 1792 do 1798. na onom dijelu Pariškog meridijana koji se nalazi između Denkerka i Barcelone. NA osnovu ovih mjerenja načinjen je 1799. godine prototip (etalon) metra tj. prametar od smjese 90% platine i 10% iridijuma, jer je ova smjesa najotpornija od atmosferskih i drugih uticaja. Presjek etalona je oblika slova X. Prametar se čuva u Međunarodnom birou za mjere i utege u kutiji gdje se stalno održava jednaka temperatura i vlaga. Izrađeno je više kopija ovog prametra za ostale države koje su potpisale konvencije o metru.

Kasnijim mjerenjima se pokazalo da taj etalon nije baš 10 – milioniti dio kvadranta meridijana, nego da je kraći

sa 0,6858 mm. Zato se odustalo od prvobtine definicije metra, pa se od 1875. godine metar definisao kao „razmak na 0o između dva srednja zareza na prametru“. Ova definicija je služila sve do 1960. godine kada je prihvaćena definicija metra zasnovana na spektroskopskim mjerenjima. Dva su razloga uslovila ovo redefinisanje:

W E

N

PARIZ

Sl. 1.2.

1. Saznanje da se spontanom rekristalizacijom zapremina tijela može promjeniti sama od sebe, tj. uzorak prametra nije stabilan i

2. veliki napredak u interferometrijskim mjerenjima.

Jedanaesta međunarodna konferencija za mjere i utege 1960. godine uvela je zvanično , tzv. „optički metar“ kao standard za dužinu. Ista konferencija je prihvatila slijedeću definiciju metra:

- 1 metar (m) je dužina jednaka 1.650763, 73 talasnih dužina zračenja u vakuumu koje odgovara prijelazu atoma kriptona 86Kr iz stanja 2p10 u stanje 5d5.

Procjenjuje se da greška pri ovakvoj reprodukciji metra nije veća od 10 – milionitog dijela metra. Osim toga optički metar nije izložen vremenskim promjenama i ne može se uništiti, izgubiti ili oštetiti.Sa spravama za mjerenje dužina u fizici (šublerom, mikrometarskim zavrtnjem, sferometrom, katetometrom) upoznaćemo se na časovima Laboratorijskog fizičkog praktikuma, pa o njima ovdje nećemo govoriti. Površina je izvedena veličina. Dobija se tako da međusobno množimo dvije dužine. Kažemo da dužina ima dimenziju [L], a onda površina ima dimenziju:

[S] = [L·L] = [L2]

Jedinica za mjerenje površine je kvadratni metar (m2) tj. kvadrat strane 1m.Manje jedinice od m2 su; dm2, cm2, mm2. Izlazi da je:

1m2=102dm2=104cm2, 106mm2

Veće jedinice od m2 su:- kvadrati dekametar (dam2) = 102m2 = 1ar (a)- kvadratni hektometar (hm2)) = 104m2 = 1 ha- kvadratni kilometar (km2) = 106m2.

Zapremina je izvedena veličina; dobija se tako da međusobno množimo tri dužine. Zapremina ima dimenziju:

[V] = [L· L· L] = [L3]

Jedinica za mjerenje zapremine je kubni metar (m3) tj. kocka čija je ivica 1m.Manje jedinice su:

- kubni decimetar (dm3) = 10-3m3

- kubni centimetar (cm3) = 10-6m3

- kubni milimetar (mm3) = 10-9m3

Posebna jedinica za mjerenje zapremine u fizici je litar ( l ), kojom se vrlo često izražavaju zapremine tečnosti i gasova. Zapremina od 1 litra uzima se kao zapremina 1 kg čiste vode na +4°C. Lako je naći da je

1 litar (l) = 1,000028 dm 3

dok se u praksi uzima

1 (l) = 1 dm3 = 103 cm.

Sprava za mjerenje zapremine tečnosti su obično: menzura, pipeta, bireta i piknometar (sl. 1.3).

Sl.1.3.

Menzura je stakleni cilindar sa odjeljcima u ml tj. cm3 računajući od dna pojedinog odjeljka. Zapreminu nekog tijela mjerimo uranjanjem tijela u vodu koja se nalazi u menzuri. Pipeta (franc. pipe = cijev) je uskla staklena cijev sa jednim proširenjem. Na gornjem dijelu cijevi nalazi se označena crtica, koja pokazuje zapreminu tečnosti u ml kad je ispunjena do crtice.Bireta je slična pipeti, ali s tom razlikom što ona na kraju imaslavinu i skalu po odjeljcima, tako da se može ispustiti određena zapremina tečnosti.Piknometar je staklena bočica sa staklenim čepom koji je kroz sredinu probušen tako da se može tačno ispuniti nekom tečnošću.

Sa praktičnom upotrebom ovih sprava upoznaćemo se na laboratorijskom praktikumu, pa o tome ovdje nećemo govoriti.

Jedinica mase

Pri proučavanju kretanja uočavamo da se svako tijelo suprostavlja promjeni stanja mirovanja ili kretanja koje vrši. Tijela teže da ostanu u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja i odupiru se svakoj promjeni svog stanja. Osobina svih tijela da se odupiru promjeni kretanja zove se inercija (lat. inertio = ljenost, tromost). Inercija je, dakle, zajednička osobina svih tijela. Da bi se tijelu promjenila brzina treba na njega djelovati neko drugo tijelo, odnosno, ako mi to kratko kažemo, treba na njega djelovati sila. Iskustvo nam govori da se različita tijela različito, u većoj ili majoj mjeri, opiru promjeni stanja kretanja. Znači da sva tijela nisu jednako inertna, odnosno postoji mjera za inerciju. Mjera za inerciju tijela zove se masa. Dakle, masa je osobina tijela i možemo reći da je masa otpor tijela protiv promjene brzine tijela.

Masa svakog tijela ostaje nepromjenjena veličina pri svim njegovim fizičkim promjenama. Na primjer, masa određene količine vode ostaje ista bilo da se ona nalazi u čvrstom, tečnom ili gasovitom stanju.

Jedinica za mase, kao što smo rekli je kilogram. Prvobitno (1799) kiogram je definisan kao masa koju ima 1 dm3 čiste vode na +4°C. Prema ovoj masi napravljen je etalon u obliku jednakostraničnog valjka prečnika 39mm, sastavljen 90% platine i 10% iridijuma. Legura platine i iridijuma odlikuje se velikom tvrdoćom i otpornošću na koroziju, tj. veoma je malo podvrgnuta hemijskom uticaju sredine u kojoj se nalazi. Ovaj međunarodni etalon kilograma čuva se u Međunarodnom birou za mjere i utege u Sevru kraj Pariza.Kasnijim mjerenjima je utvrđeno da napravljeni etalon ima masu koja je za 0,028 grama veća od mase 1 dm3 čiste vode na +4°C. Zato se odlukom I. Međunarodne konferencije za mjere i tegove 1889. godine, a potvrđenoj metričkom konvencijom 1901. godine, mijenja definicija kilograma i definiše ovko:

- 1 kilogram (kg) je masa međunarodnog etalona kilograma koji se čuva u Sevru kraj Pariza.

Sprave pomoću kojih međusobno upoređujemo tj. mjerimo mase zovu se vage.

Menzura Pipeta Bireta Piknometar

Jedinica za vrijeme

Sve pojave u prirodi traju duže ili kraće vrijeme. Prema tome za mjerenje vremena ufizici su važni intervali, a ne epohe tj. kada se nešto dogodi. Da bi se moglo mjeriti vremenske intervale treba imati neku periodičnu promjenu, tj. da se neki događaj ponavlja u jednakim vremenskim intervalima. Prema tome, mjerenje vremena usko je vezano sa periodičnim kretanjem. Ljudi su od davnina uočili pravilnost smjenjivanja dana i noći, kao i godišnjih doba, pa su još babilonski astronomi kao jedinicu vremena uzeli trajanje jednog sunčevog dana.

Sunčev da je vrijeme koje protekne između dvije uzastopne kulminacije (konjukcije) Sunca (Sunce prolazi kroz meridijan). Sunčevi dani nisu međusobno jednaki.

U astronomiji se koristi i zvjezdani dan , a to je vrijeme koje prođe između dvije uzastopne kulminacije neke zvijezde stajaćice. Zbog rotacije Zemlje oko Sunca (sl. 1.4.) zvjezdani dan je nešto kraći (za 256 s) od sunčevog dana, jer se tokom jedne godine Zemlja okrene u odnosu na Sunce jedanput manje nego prema nekoj zvjezdi stajaćici, što se može razumjeti iz slike.

Busdući da svi sunčani dani, zbog nejednolikog kretanja Zemlje oko Sunca, nisu jednaki uvodi se srednji sunčev dan, kao srenja vrijednost sunčevih dana u toku jedne godine. U fizici je jedinica vremena sekunda (s) bila prvobitno definisana kao 84.400-ti dio srednjeg sunčevog dana. Do broja 86.400 dolazi se kada se vrijeme trajanja dana od 24 sata pretvori u sekunde (24x60x60=86.400). Ova definicija je vrijedila do 1956. godine.

Precizna mjerenja su pokazala da rotacija Zemlje oko osi nije sasvim konstantna. Zato se 1956. godine definicija sekunde osnivala na vrtnji Zemlje oko Sunca, pa je definicija sekunde glasila:

- 1 sekunda je 31.556.925,9747-ti dio tropske godine i to 1900.

Tropska godina se definiše kao vrijeme između dvije uzastopne proljetne ravnodnevnice. Današnja definicija sekunde zasniva se dakle na fizičkim mjerenjima, čija je preciznost i reproduktibilnost premašila astronomsku.

Zd A Z Sd A

1

Sl. 1.4.

Instrumenti za mjerenje vremena zovu se satovi (eng.=Watch, Njem.=Uhr). U starom vijeku upotrebljavani su sunčani, vodeni i pješčani satovi. Prvi savršeniji i tačniji sat konstruisan je 1657. godine, kada je Hajgens dotadašnjim satima dodao regulator u vidu klatna.

Za tačno mjerenje vremena pri posmatranju fizičkih pojava služi nam hronoskop (štoperica). Pored hronoskopa često se služimo i metronomom (sl. 1.5.). To je sprava koja može da otkucava sekunde i dijelove sekunde. Upotrebkjava se u muzici za davanje taktova. Metronom je konstruisao bečki mehaničar Melcel (Melzel, 1813. godine). Kako se služimo spravama za mjerenje vremenskih intervala u fizici upoznaćemo se sa časovima Laboratorijskog praktikuma.

Sl. 1.5.

3. KINEMATIKA

Mehaničko kretanje, materijalna tačka, podjela mehanike

Sva tijela se nalaze u stalnom kretanju. Nema ni jednog tijela u prirodi za koje bi se moglo reći da je u apsolutnom miru. Međutim, kad govorimo o mehaničkom kretanju onda mislimo na promjenu položaja tijela prema drugim tijelima tj. prema okolini. To kretanje se posmatra tako da se jedno tijelo uslovno smatra nepokretnim i u odnosu na njega određuje kretanje drugog tijela. Na primjer, na brodu se mogu posmatrati relativna kretanja putnika u odnosu na brod, bez obzira na to što se brod kreće. Isto tako, kretanje tijela oko nas najčešće posmatramo kao relativna u odnosu na Zemlju, ne vodeći računa o njenom kretanju.

U astronomiji se posmatra kretanje nebeskih tijela u odnosu na Zemlju, iako je poznato da se Zemlja kreće u odnosu na ta tijela. Prema tome, svako kretanje je relativno i možemo reći da je mehaničko kretanje mijenjanje položaja tijela prema drugim tijelima za koja uslovno smatramo da miruju.

Ova kretanja se najpristupačnija svakodnevnom iskustvu, te nam se zato zakoni mehanike, koja izučava ovakva kretanja, čine jednostavnim i logičnim daleko više nego na primjer zakoni kvantne mehanike, koji opisuju pojave koje ne možemo da doživimo svojim čulima.Da bismo izučavali kretanje tjela treba da definišemo u odnosu na koje nepokretno tijelo (ili grupu nepokretnih tijela) se tijelo kreće. Takvo tijelo (ili grupa tijela) izabrano za taj cilj naziva se uporedno tijelo ili sistem referencije. Izbor referentnog sistema nije jednostavan jer ni jedno tijelo u svemiru ne miruje.

Za praktične račune, radi opisivanja kretanja, zamisli se neki koordinatni sistem nepomično vezan s tijelima koja predstavaljaju sistem referencije. Najčešće se primjenjuje Dekartov pravougli sistem u ravni ili prostoru. U zavisnosti od vrste problema referentni sistem mogu činiti zidovi predavaone, površina Zemlje ili čak određeni sistem zivjezda. Kada se tijelo kreće, onda njegove koordinate omogućuju da se odredi njegov položaj u prostoru. Pri proučavanju kretanja tijela u velikom broju slučajeva mogu se zanemariti dimenzije tijela. To se dešava u onim slučajevima kada su dimenzije tijela mnogo puta manje od dimenzija sa kojima se susrećemo u uslovima datog zadatka. Tijelo, čije dimenzije u određenom zadatku možemo zanemariti, nazivamo materijalnom tačkom. Na primjer, u astronomiji pojedina nebeska tijela se smatraju kao materijalne tačke, pošto su njihove dimenzije zanemarljivo male prema dimenijama vasione. Iako se dimenzije materijalne tačke zanemaruju, ipak se ne gubi iz vida da ta tačka ima masu, pa čak i u ogromnim količinama. Pitanje o tome da li se određeno konkretno tijelo može smatrati materijalnom tačkom ili ne, ne zavisi samo od dimenzija tijela već i ciljeva zadatka. Jedno te isto tijelo u nekim slučajevima može se smatrati materijalnom tačkom, dok se u drugim slučajevima mora posmatrati kao prostorno tijelo. Tako na primjer, pri izračunvanju putanje artiljerijskog zrna, zrno možemo smatrati materijalnom tačkom, ali ako želimo uzeti u obzir i otpor vazduha, onda moramo računati njegovim dimenzijama i oblikom.

Mehaniku kao nauku razvili su Galilo Galilej (1564-1642) i isak njutn (1643-1727). Ova mehanika je nazvana lasičnom mehanikom. Zakoni ove mehanike se odlično slažu s iskustvom dok se radi o kretanjima tijela čije su dimenzije velike prema atomskim i čije su brzine malene prema brzini svjetlosti. Za atomske dimenzije treba klasičnu mehaniku proširiti tako da postane valna mehanika, a za područje velikih brzina treba tu mehaniku preraditi, kako je učinio Ajnštajn u svojoj teoriji relativnosti. Iako je područje važnosti klasične mehanike ograničeno, ipak je njezino proučavanje od vrlo velike koristi prvo zato, jer se pomoću nje daju riješiti skoro svi tehnički problemi, i drugo zato jer je ona neuporedivo jednostavnija od mehanika koje su gore pomenute.

Mehanika se dijeli na tri dijela: kinematiku, dinamiku i statiku.

Kinematika (grč. kinema = kretanje) izučava kretanje tijela nezavisno od uzroka koji uslovljavaju to kretanje.Dinamika (grč. dinamis = sila) izučava kretanje tijela u vezi sa uzrocima (silama) koji uslovljavaju ovakav ili onakav karakter kretanja.Statika (lat. stare = stajati) ispituje uslove ravnoteže tijela. S obzirom da je ravnoteža poseban slučaj kretanja, zakoni statike postaju kao prirodna posljedica zakona dinamike.

Prema objektu istraživanja mehanika se dijeli na:

- mehaniku materijalne tačke; - mehanika čvrstih tijela;- mehanika kontinuuma, koja obuhvata teoriju elastičnosti i mehaniku fluida.

Putanja, put i brzina

Linija koja spaja sve tačke u prostoru kroz koje prolazi materijalna tačka M pri kretanju naziva se putanja ili trajektorija (sl. 2.1.)

Sl. 2.1.

Putanja može biti prava ili kriva linija te kretanje prema obliku putanje može biti pravolinijsko i krivolinijsko. Dio putanje, na primjer od tačke A do tačke B (sl. 2.1.), koji materijalna tačka M pređe uodređenom vremenskom intervalu, naziva se put (oznaka: s).Ako se u svakom trenutku vremena može odrediti položaj materijalne tačke, moguće je postaviti zavisnost između pređenog puta i proteklog vreman. Ta zavisnost predstavlja funkciju vremena.

s = s(t)

i zove se zakon puta. Znači, da bi se u svakom trenutku odredio položaj materijalne tačke na putanji potrebno je znati: zakon puta i putanju (trajekciju).Položaj tačke A u odnosu na koordinantni početak O (referentna tačka) može se odrediti pomoću njenih koordinata x, y, z ili pomoću radijus vektora r

(vektor položaja OA = r

). Pri kretanju materijalne tačke, radijus vektor r

, opštenito

govoreći, mijenja se i po intenzitetu i po pravcu.

Posmatrajmo kretanje materijalne tačke po proizvoljnoj putanji (sl. 2.2.). Neka se materijalna tačka u trenutku t našla u položaju A, koji je određen vektorom položaja r

. poslije kratkog vremenskog intervala ∆t (nazvaćemo ga

elementarnim) tačka je prešla elementarni put ∆s (položaj B), a vektor položaja r

dobio je elementarni položaj ∆ r

.

Obrazujmo omjer r

t

koji se zove srednja brzina, tj. sV

)))))))))))))) r

t

. (2. 1)

Z A (x, y, z) B Z M

O Y X

y x

Za dazi t intenzitet i pravac vektora ∆ r

/∆t zavisi od veličine vremenskog intervala ∆t. Smanjićemo ∆t (smrazmjerno će se, takođe, msanjivati ∆s i ∆ r

) promatrajući pri tome

ponašanje omjera ∆ r

/∆t. Pokazaće se da će se, kad dobijemo dosta male vrijednosti ∆t, vektor ∆ r

/∆t prestati da mijenja, kako

po intenzitetu tako i po pravcu. To znači da će, kad ∆t teži prema nuli, omjer ∆ r

/∆t

težiti određenoj graničnoj vrijednosti.

Napomena: Simbolom ∆ (delta) koristićemo se u dva slučaja:

a) Za označavanje dijela bilo koje veličine. Na primjer, u promatranom slučaju ∆t je dio od čitavog vremena u toku kojeg se

vrši kretanje, ∆s je bio puta, tj. dio od čitavog puta koji prelazi tačka.b) Za označavanje povećanja (prirasta) bilo koje veličine. U datom slučaju ∆ r

je povećanje radijus vektora r

za vrijeme ∆t.

Ta granična vrijednost obilježava se sa V))))))))))))))

i naziva brzinom materijalne tačke u kretanju u trenutku t (lat. velocitas = brzina) tj.

0limt

rV

t

))))))))))))))

(2. 2)

U matematici se veličina, jednaka

0limt

y

x

gdje je y skalarna ili vektorska funkcija skalara x [y = y(x)] naziva derivacijom (izvodom) y po x i označava simbolom:

dy

dx ili y'(x)

U fizici je uobičajeno da se derivacija veličina po vremenu obilježava sa simbolom odgovarajuće veličine s tačkom iznad nje, na primjer

dxx

dt ,

drt

dt ,

drr

dt

itd.

Prema izloženom izlazi da je

0limt

r d rv r

t dt

))))))))))))))))))))))))))))

(2. 3)

tj. brzina je diferencijalni količnik vektora položaja i vremena ili brzina je prvi izvod radijus vektora po vremenu. Kao što slijedi iz njene definicije, brzina je vektorska veličina. Ovako definisana brzina se zove trenutna brzina.

Kako je radijus vektor: r

= x(t) i

+ y(t) j

+ z(t) k

, to se brzina V))))))))))))))

može napisati kao

Sl. 2.2.

dr dxv i

dt dt

)))))))))))))))))))))))))))) dy dz

j kdt dt

(2. 4)

odnosno

v

=x i

+ y j

+ zk

(2. 5)

Intenzitet brzine je: 2 2 2v x y z (2. 6)

Iz slike 2.2 vidimo da vektor ∆ r

za fiksirane tačke A iB ne zavisi od izbora centra O. Ako se, naime, centar premjesti u tačku O, vidimo da se r ne mijenja, pa se ne mijenja ni granična vrijednost.Prema slici 2.3 vidimo da je vektor ∆ r

/∆t sjekanta putanje. Pri graničnom prijelazu (sl. 2.3) tačke presjecanja toga

vektora sa putanjom sve više se približavaju jedna drugoj (∆s teži prema nuli), slijevajući se u jednu tačku, zbog čega se sjekanta pretvara u tangentu.sDakle, vektor brzine v

ima pravac tangente na putanju u odgovarajućoj tački, a usmjeren je u pravcu kretanja

tačke (sl. 2.3.). U skladu sa formulom (2.3.) intenzitet vektora brzine može se iskazati na slijedeći način:

| |v v)))))))))))))) | |

lim | | limt o t o

r r

t t

(2. 7)

Elementarni puz ∆s (slika 2.4.b) različit je, u opštem slučaju, od modula elementarnog priraštaja |∆ r

|.

Sl. 2.4.

Sl. 2.3.

Međutim, kad se ∆t smanjuje razlika između ∆s i |∆ r

| postaje sve manja i za 0t ∆s se (s velikom tačnošću)

podudara sa |∆ r

|. Na osnovu toga možemo napisati:

0 0

| | | |lim lim ,t t

r s r dsodnosno

t t dt dt

odakle se za intenzitet (modul) brzine dobija slijedeća formula:

0limt

s dsV s

t dt

(2. 8)

tj. intenzitet brzine je diferencijalni količnik puta i vremena ili brzina je prvi izvod puta po vremenu.Kod pravolinijskog kretanja ∆ r

ima pravac putanje, pa i vektor brzine v

ne mijenja pravac, pa se brzina ne mora

tretirati vektorski već se može napisati u skalarnom obliku, kao

dsv s

dt (2. 8)

Iz ove jednašine možemo izračunati dužinu puta, ako znamo brzinu:

ds = v dt

odakle je

0ts vdt (2. 9)

ili

2 2 20ts x y z dt (2. 10)

Ako se tijelo kreće jednoliko pravolinijski tj. ako u jednakim vremenskim intervalima prelazi puteve jednake dužine, onda je brojna vrijednost brzine tj. odnos ∆s/∆t u svakoj tački putanje konstantan. Međutim taj količnik ∆s/∆t imaće različite vrijednosti u raznim tačkama putanje ako se tijelo kreće promjenljivo, tj. u jednakim intervalima vremena ∆t prelazi nejednake intervale puta ∆s. Tada odnos ∆s/∆t daje srednju brzinu u datom intervalu vremena, tj.

s

sv

t

(2. 11)

Srednja brzina je ona stalna brzina kojom bi tijelo pri jednolikom kretanju prešlo isti put ∆s za isto vrijeme ∆t kao kod promjenljivog kretanja. Odstupanje srednje brzine od trenutne brzine je pri malim intervalima vremena obično zanemarljivo malo, te se može praktično zanemariti.

Jedinica za brzinu je:

11 1m

mss

a čita se metar u sekundi.

Ubrzanje

Jedna od veličina koja doprinosi određivanju karaktera kretanja je: ubrzanje ili akceleracija (lat. acceleratio = ubrzanje). Neka je na proizvoljnoj putanji (sl. 2.5a) u trenutku t materijalna tačka bila u položaju A sa brzinom v

, a u

trenutku t1 u položaju B za brzinom v

1, onda se promjene brzine 1v v v

u vremenskom intervalu t1-t=∆t zove

se srednje ubrzanje pokretne tačke, tj.

(2. 12)

a b Sl. 2.5.

Kao što vidimo sa slike 2.5a brzine v

i 1v

se u opštem slučaju rzlikuju i po intenzitetu i po pravcu. Ako se vektor

brzine 1v

translatorno pomjeri u tačku A dobiće se vektor prirasta brzine ∆ v

. Vektor ∆ v

ima drugi pravac i smjer u

odnosu na brzinu v

i usmjeren je ka konkavnoj strani krivulje. Pravac srednjeg ubrzanja sa

)))))))))))))) poklapa se s pravcem ∆

v

.

Srednje ubrzanje sa

)))))))))))))) se u opštem sličaju razlikuje od trenutnog ubrzanja a

u tački A i po pravcu i po intenzitetu.

Razlika će biti manja ukoliko je vremenski interval ∆t manji. Može se zaključiti da će srednje ubrzanje sa

)))))))))))))) dostići

vrijednost trenutnog ubrzanja a

u graničnom slučaju AB →0, odnosno vremenski interval ∆t→0. Vektor a

je

prema tome granična vrijednost vektora sa

)))))))))))))), tj.

a

0limt

V dVV

t dt

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

(2. 13)

tj. ubrzanje je diferencijalni količnik vektora brzine i vremena. Ubrzanje a

usmjereno je ka konkavnoj strani putanje (sl 2.5b).

Kako je v dr

dt

možemo pisati:

a 2 2

2

dr d rdr

dt dt dt

(2. 14)

tj. ubrzanje je drugi izvod vektora položaja po vremenu.S obzirom na ranije izloženo (derivacija u radijus vektora) po skalarnom parametru (t) možemo pisati da je:

(2. 15)

a intenzitet ubrzanja

: (2. 16)

U slučaju pravolinijskog kretanja vektori a

i v

su istog pravca, pa se jednašina (2.13) može napisati u skalarnom obliku:

(2. 17)

tj. ubrzanje je prvi izvod brzine po vremenu.

Kako je ds

vdt

dobivamo:

(2. 18)

ili riječima, ubrzanje je drugi izvod puta po vremenu.

Jedinica za ubrzanje je:

22

1 1m

mss

a čita se: metar u sekundi za sekundu.

Podjela kretanja

Prema obliku putanje kretanje se dijela na pravolinijska , ako je putanja prava linija (kao što je kod slobodnog padanja, vertikalnog hica i lsl.) i krivolinijska, ako je putanja kriva linija (kao što je kod horizontalnog i kosog hica, kretanja Zemlje oko Sunca itd).S obzirom na brzinu, kretanja dijelimo na jednolika i promjenljiva (nejednolika). Jednoliko kretanje je ono kretanje kod kojeg je brzina konstantna. Budući da je brzina vektorska veličina, jednoliko kretanje može biti samo pravolinijsko.Promjenljivo kretanje je tako kretanje kod kojeg se brzina mjenja s vremenom. Pravolinijsko kretanje je promjenljivo ako se mijenja intenzitet brzine, dok je svako krivolinijsko kretanje ustvari promjenljivo kretanje, jer i kad se ne mijenja intenzitet brzine mijenja joj se pravac, a promjena pravca izaziva promjenu vektora brzine.

Promjenljivo kretanje može biti: jednako promjenljivo (kod kojeg je ubrzanje a

= const) i nejednako promjenljivo

(ubrzanje a

≠ const).Kod krutog tijela se međusobni položaj njegovih tačaka u toku kretanja ne mijenja, a svaka tačka opisuje svoju trajektoriju. S obzirom na međusobne odnose trajektorija pojedinih tačaka tijela, kretanje dijelimo na: translatorno, rotaciono i oscilatorno.

Translatorno kretanje (linearno pomjeranje) je tako kretanje kod kojeg svaka prava ili ravan tijela ostaje sama sebi paralelna (sl. 2.6). Ako se na primjer tijelo iz položaja I premjesti u položaj II, onda je njegova proizvoljna prava AB prešla u položaj A1B1, tako da je ostala sama sebi paralelna.Ako su se tačke A i B kretale po pravim linijama, translacija je pravolinijska (sl. 2.6a), a ako po krivim linijama, onda je krivolinijska (sl. 2.6b). Sve tačke tijela kreću se po putanjama istog oblika. Prema tome, pri translaciji tijela dovoljno je posmatrati kretanje samo jedne tačke tijela, jer svi dijelovi tijela prelaze potpuno podudarne putanje.

a) b) Sl. 2.6.

Rotaciono kretanje (rotacija) je takvo kretanje pri kojem se sve tačke tijela kreću po krugovima čiji se centri nalaze na pravoj koja se zove osa rotacije. Tačke koje su dalje od ose kreću se brže od tačaka koje su bliže osi, dok tačke na osi miruju (sl. 2.7).

a) b)

Sl. 2.7.

Oscilatorno kretanje (oscilovanje) je takvo kretanje kod kojeg se tijelo kreće po pravoj ili po luku čas na jednu čas na drugu stranu od položana u kome se nalazilo prije početka oscilovanja (sl. 2.8).Primjeri:

1. Date su jednačine kretanja mateijalne tačke:

x=20 t2+5,y=15t2+3,z=0Po kojoj krivulji se kreće tačka?

Rješenje:Eliminišemo parametar t iz jednačine kretanja:

2 5

20

xt

pa je

Sl. 2.8.

5

15 320

xy

odakle je poslije sređivanja: 3x – 4y – 3 = 0

Sl. 2.8.Dakle, tačka se kreće po po pravoj putanji.

2.Kretanje tačke dato je parametarskim jednačinama:

x = 3t2, y = 6t, z = 0

a) Odredi brzinu kretanja nakon vremena t = 4s;b) koliki ugao zatvara vektor brzine sa osi x u vremenu t = 4s?c) Po kojoj krivulji se kreće tačka?

Rješenje:

Znamo da je:

6 , 6, 0

6 6

v xi y j zk

x t y z

v t i j

Intenzitet brzine ta t = 4s iznosi:2 2 2 2 2 236 36 6v x y z t t b

Vrijednost brzine za t = 4s iznosi:

4 6 16 1 6 17 24,8m

vs

b) Ugao što ga vektor brzine zaklapa na osi x naći ćemo iz

6 10,25

6 4 4

14

y

x

o

vtg

v

c) iz x = 3t2, y = 6t, z = 0 eliminišemo t:

2

, 36 36

yyt x

y2 = 12x Putanaj je parabola u ravni x,y.3. Kretanje u prosotru dato je jednačinama:

x = 3cos2t, y = 3sin2t, z = 6tOdredi intenzitet brzine i ubrzanja.

Rješenje:x = -6sin2t, y = 6cos2t, z = 6

v

=-6sin2t · i

+ 6 cos2t · j

+6 k

Intenzitet brzine je:

2 2 2 2

2 2 2 2

2

36sin 2 36cos 2 36 6 sin 2 cos 2 1 6 1 1

6 2

12cos 2 , 12sin 2 , 0

12cos 2 12sin 2

144cos 2 144sin 2 12 cos 2 sin 2

12

v t t t t

mv

sx t y t z

a t i t j

a t t t t

ma

s

4. Neka se tačka kreće u ravni po zakonu:x = 75cos4t2 y = 75sin4t2

gdje su x i y izraženi u cm, a t u sekundama. Odrediti:a) jednačinu putanje po kojoj se kreće materijalna tačka;b) brzinu poslije vremena t = 5s.Rješenje: a) Eliminišemo parametar t. Iz gornjih jednačina dobivamo:

2 22 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

cos 4 , cos 4 sin 475 75 75

sin 4 , 7575

x yxt t t

yt x y

tj. kretanje tačke je po centralnoj kružnici radijusa 75cm.

b) 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

5

75sin 4 (8 ) 75 8 sin 4

75cos 4 (8 ) 75 8 cos 4

75 64 (sin 4 cos 4 ) 600 /

600 5 300 / 30

x t t t t

y t t t t

v x y t t t tm s

mv cm s

s

5. Kretanje materijalne tačke vrši se po pravolinijskoj trajektoriji prema relaciji:s = 4t2+3t s[m], t[s]

Izračunati:

a) početnu brzinu i brzinu koju dostigne po isteku treće sekunde;b) ubrzanje materijalne tačke,Rješenje:

0

3

2

)

8 3

3

8 3 3 27

)

8

a

dsv t

dtm

vs

mv

sb

dv ma

dt s

Uniformno (ravnomjerno) kretanje

Ako se materijalna tačka kreće po pravoj putanji i pri tome u jednakim vremenskim intervalima, prelazi jednake puteve, kretanje se zove uniformno. To je, dakle jednoliko pravolinijsko kretanje. Ovakvom vrstom kretanja teže da se kreću tijela prepuštena sama sebi, odnosno svojoj inerciji, te se ovako kretanje često naziva i inercijalno kretanje.Kod uniformnog kretanja brzina je konstantna, tj. ne mijenja se ni po intenzitetu ni po pravcu, pa je ubrzanje jednako nuli. Ovakav uslov može se napisati kao:

,v const a o

(2. 19)

Prema obrascu ds

vdt

slijedi ds = vdt, odakle je dužina puta:

0 0s t to ds vdt v dt

a nakon integracije:s = vt (2. 20)

tj. pređeni put jednak je proizvodu brzine i vremena, odnosno put je proporcionalan vremenu. Jednačina (2. 20) određuje zakon puta jednolikog pravolinijskog kretanja.Iz formule (2.20) slijedi da je pri uniformnom kretanju brzina jednaka količniku puta i vremena za koji je taj put prijeđen:

sv

t (2. 21)

U skladu sa (2.21) možemo reći da je kod uniformnog kretanja brzina brojno jednaka putu koji pokretna tačka pređe u jedinici vremena.Kada je odnos s/t stlana, onda se može izračunati iz bilo kog intervala puta i vremena odnosno:

3 3 11 2 2 1

1 2 3 2 1 3 1

...s s ss s s s

vt t t t t t t

što se može napisati kao:

sv

t

(2. 22)

dakle, kod ovog kretanja pojam srednje brzine izjednačuje se sa pojmom trenutne brzine.Strogo uzevši ni jedno kretanje u prirodi ne može biti potpuno uniformno, jer takvo kretanje nastaje samo pri trenutnom djelovanju sile (na primjer; pri sudaru) ili kad prestane djelovanje sile koja je pokretala tijelo, a na njega ne djeluje nikakva druga sila. Samo u tim slučajevima brzina je konstantna. Kod krivolinijskog kretanja, čak i kad je intenzitet brzine konstantan, uvijek se mijenja pravac brzine. Stoga svako krivolinijsko kretanje ustvari je promjenljivo kretanje. Na primjer, kretanje voza je promjenljivo kretanje. Ono može biti jednoliko samo na jednom dijelu ravnog puta.Dijagram puta i brzine uniformnog kretanja

Iz matematike nam je poznato da se svaka funkcionalna zavisnost dviju veličina može pomoću pravouglog koordinatnog sistema predstaviti određenom linijom koja se zove grafikon ili dijagram funkcije. Prema tome i onsovne kinematičke jednačine, koje iskazuju, zakone po kojima se vrše promjene puta, brzine ili ubrzanja u zavisnosti od vremena, mogu se predstaviti grafički. Takve linije koje pokazuju zavisnost između elemenata kretanja zovemo kinematičkim dijagramima.Dijagram puta kod jednolikog kretanja naći ćemp iz zakona puta

s = v · tako na apscisu nanesemo vrijeme t, a na ordinatu put s- Ako na apscisu nanesemo jednake intervale vremena:

a) Sl. 2.9. b)

2 1 3 2 ...t t t t t , onda su i prevaljeni putevi u tim vremenskim intervalima:

2 1 3 2 ...x x x x x uvijek jednaki (sl. 2.9a). Kada to nacrtamo u koordinatnom sistemu (t,s) dijagram puta je prava koja prolazi kroz koordinanti početak.Vidimo da je:

sv tg

t

(2. 23)

tj. brzina je koeficijent pravca x = v·t. Čim je brzina veća, tim je prava koja predočuje put strmija i obrnuto.Dijagram brzine u koordinantnom sistemu (t,v) je prava paralelna sa osom t, tj. v = const. (sl. 2.9b).put x = v·t od časa t1 do časa t2 predočen je površinom paralelograma ABCD na slici 2.9b.Primjeri:1. Dva mala tijela otpočnu istovremeno da se kreću uniformno različitim pravolinijskim putanjama. Za vrijeme t= 15s, oba tijela prijeđu ukupno rastojanje s = 360m pri čemu je odnos njihovih brzina v1:v2=5:7.Kolike su brzine v1:v2 tih tijela?

Rješenje:

1 2

1 2

15

360

: 5 : 7

?, ?

t s

s m

v v

v v

Za vrijeme t prvo tijelo pređe put s1=v1 t, a drugo tijelo s2=v2 t.Kako je s1+s2=s i v1:v2 = 5:7 biće:

1 2

1 2

2 1

1 1 1 1

1

2 1

: 5 : 7

75

7 12 5;

5 5 12

5 360 5 36010

12 15 1807 7

10 145 5

v t v t s

v v

v v

sv v t s v t s v

t

mv

sm

v vs

pa je rastojanje između tijela u tom trenutku

3 900 1600 3 2500 3 50

150

d km

d km

Jednako ubrzano krertanje

Rekli smo da je pravolinijsko kretanje promjenljivo ako materijalna tačka krećući se po pravoj putanji u jednakim vremenskim intervalima prelazi puteve različite dužine. Promjenljivo kretanje može biti: ubrzano ili usporeno, već prema tome da li intenzitet brzine pokretne tačke raste ili opada.Promjenljivo kretanje kod kojeg je ubrzanje konstantno (a = const) naziva se jednako ubrzano kretanje.

Jednako ubrzano kretanje nastaje kad na materijalnu tačku počne da djeluje stalna sila čiji se pravac poklapa sa pravcem brzine tačke. Ako je materijalna tačka prije početka djelovanja stalne sile bila u miru, nstaće jednako ubrzano kretanje bez početne brzine (o ovome ćemo detaljnije govoriti kasnije).

Brzinu u trenutku t možemo naći iz izraza:

dva

dt

odakle je:

dv adt

Uzimajući da je u početnom trenutku kretanja (t0=0) pokretna tačka imala brzinu v

0, a na kraju vremeneskog intervala t

brzinu v

, onda je

0

.v t

v odv a dt

))))))))))))))

Kako je ubrzanje a konstantno i po veličini i po smjeru, možemo faktor a

izvući ispred znaka integrala, pa otegralenjem dobivamo:

0v v a t ))))))))))))))

odnosno

0v v at ))))))))))))))

(2. 24)

Kod pravolinijskog kretanja v

, 0v

)))))))))))))) i a

su istog pravca i kolinearni su sa putem. Kad su vektor ubrzanja a

i vektor

početne brzine 0v

)))))))))))))) istog smjera, kretanje je jednako ubrzano, a ako su suprotnog smjera kretanje je jednako

uspoereno.

Na osnovu linearnosti vektora: 0v

)))))))))))))), v

i a

sa putem izraz (2.24) se može napisati u skalarnom obliku:

0 ,v v at (2. 25)

gdje se znak „+“ odnosi na jednako ubrzano, a znak „-“ na jednako usporeno kretanje.

Izraz za put naći ćemo iz relacije:ds

vdt

odnosno

0( )ds vdt v at dt

Integracijom od nule do proizvoljnog momenta vremena t dobivamo:

0 0( )t t t

o o os v at dt v dt a tdt

odnosno:

20

as v t t

t (2. 26)

Jednačina (2.26) predstavlja zakon puta za jednako ubrzano (usporeno) kretanje. Eliminacijom t iz jednačina (2.25) i (2.26) dobivamo brzinu na kraju pređenog puta

20 2v v as

Ako materijalna tačka krene iz stanja mirovanja (v0 = 0) onda obrasci za brzinu u put poprimaju oblik:

2, , 22

av at s t v as (2. 27)

Budući da se brzina kod jednako ubrzanog kretanja ravnomjerno povećava (smanjuje), to je srednja brzina u nekom intervalu vremena data aritmetičkom sredinom početne (v0) i krajnje brzine (v)

0

2s

v vv

Kako je ubrzanje konstantno, te se ono poklapa sa srednjim ubrzanjem,

s

va a

t

tj. kod jednako ubrzanog kretanja ubrzanje je prirast brzine u jedinici vremena. Obrasce za jednako ubrzano kretanje možemo izvesti indukcijom tj. zaključivanjem. Neka je u trenutku

0t o , brzina vo

Na kraju t1=1s brzina je v1=vo+aNa kraju t2=2s brzina je v2=v1+a=v0+2aNa kraju t3=3s brzina je v3=v2+a=v0+3a itd.Na kraju vremena t brzina je v=v0+at.

izraz za put možemo odrediti iz s=vst

gdje je 0 0 002 2 2s

v v v v at atv v

srednja brzina. prema tome je

20 02 2

at as v t v t t

Na slikama 2.10a, 2.10b i 2.10c dati su dijagrami ubrzanja, brzine i puta kod ove vrste kretanja.Kako je kretanje jednako ubrzano bez početne brzine, biće:

2

6 /2

35

v m s ma

t s s

Izs 2

2

as t nalazimo da je vrijeme

32 70 102264

2

st s

a

2. Iz puščane cijevi duge l =0,6m izleti tane brzinom v=900m/s. Koliko je ubrzanje i koliko je vrijeme kretanja metka u kroz cijev?

Rješenje: 0,6

900 /

?, ?

l m

v m s

a t

Sl. 2.10

Iz izraza za brzinu na kraju puta 2v as imamo

2

22

2 4 24

2 2

2

9 1081 10

67,5 102 2 ,6 1,2

v al

mv m ms

al o m m s s

Vrijeme kretanja metka kroz cijev je:

3

42

9001,3 10 .

67,5 10

mv st s

mas

3. kolika će biti brzina vozila nakon t =2 min ako se počelo ubrzavati od početne brzine v0=72km/h i ako je za to vrijeme prevalilo put od 4800m? koliko je ubrzanje vozila?

Rješenje:

0

2min 120

72 / 20

4800

t s

mv km h

ss m

Budući da je kretanje jednako ubrzano, srednja brzina je:

0

2s

v vv

a put:

0

2

v vs t

odakle je

02s v t vt

02 9600 20 120 9600 2400 7200120

120 120 120

60

s v tv

tm

vs

Ubrzanje nalazimo iz:

20

2

60 20 40 1/

120 120 3

0,33

v va m s

tm

ss

4. Neko vozilo se kreće pravolinijski brzinom v0=54km/h. Svake sekunde ova brzina se smanjuje za 0,01m/s2.

a) kolika je brzina vozila nakon 0,5 min i koliki je put prevalilo vozilo za to vrijeme?b) Koliki put još mora vozilo prevaliti da bi se posve zaustavilo i za koje vrijeme?

Rješenje:

0

1 1

54 / 2

0,5min 15

0,1min 30

) ?, ?

) ?, ?

v km h

mt

sa s

a s v

b s t

a)

0

2 00

15 0,1 30 15 3 12

12

15 1230 27 15 405

2 2405

mv v at

sm

vs

v vas v t t t m

ts m

b) Iz

00 0 1 1

1

21 1 1

1

12, 0

0,1

120

0,112 120 14400 1440 720

2 2

720

vv v at v at t

a

t s

as vt t

s m

Atvudova mašina

Zakone za jednako ubrzano kretanje možemo eksperimentalno izvesti pomoću Atvudove mašine (Atwood, 1784). Tih uređaja ima u raznim izvedbama. Mi ćemo opisati onaj koji nam stoji na raspolaganju (sl. 2.11).

To je drveni stub visine oko 2m podijeljen je na centimetre, koji na vrhu ima kotur K. Obod tog kotura ima fini žlijeb tako da se preko kotura može prebaciti tanak konac ili žica. Na krajevima konca vise dva tega G 1 i G2 jednakih masa (m1=m2), tako da su tegovi u ravnoteži, ma gdje da se nalazili pored metarske skale. Međutim čim na jedan teg stavimo preteg P mase mp, taj će se teg podizati. Preteg uvjek stavljamo na onaj teg koji se nalazi pored metarske podjele, kako bismo lakše mjerili dužine puteva koje pređe teg sa pretegom u pojedinim sekundama.

Stavljanjem pretega P na desni teg nastala je razlika u težinama tegova, te preteg P svojom težinom djeluje kao sila konstantne jačine i utezi na Atvudovoj mašini se kreću jednako ubrzano. Teg G1 sa pretegom P kreće se jednako ubrzano s ubrzanjem a prema dolje, dok se teg G2 s istim ubrzanjem a kreće prema gore. Znači da se mase m1, mp i m2

kreću istim ubrzanjem a u istom smjeru (sl. 2.12).

Ubrzanje koje dobija sistem pri kretanju, zavisiće od veličine tegova pretega, tj. od njihovog odnosa.Kod naše mašine uzimamo: m1=m2=196g, mp=8g i dodamo teg G1 još 2g radi savlađivanja trenja u osovini kotura i inercije kotura. Pri ovakvim uslovima nalazimo da je:

- na put na kraju prve sekunde: s1=10cm=10·1- na put na kraju druge sekunde: s2=40cm=10·22

- na put na kraju treće sekunde: s3=90cm=10·32

- na put na kraju četvrte sekunde; s3=160cm=10·42

Iz dobivenih rezultata nalazimo da je:

2 2 2 21 2 3 4: : 1 : 2 : 3 : 4s s s s

(2. 28)

tj. kod jednako ubrzanog kretanja bez početne brzine putevi na krajevima pojedinih sekundi odnose se kao

kvadrati preoteklih vremena.

Iz dobivenih mjerenja nalazimo da je dužina puta na kraju vremena t jednaka proizvodu kvadrata vremena sa konstantnim faktorom 10, tj.

s=10·t2

Napomenimo da ovaj konstantni faktor ima vrijednost 10 baš u navedenom slučaju. Inače, njegova vrijednost zavisi od odnosa masa tegova o pretega. Zato možemo staviti taj faktor ima vrijednost k, pa je

s=kt2 (2. 29)

Uzmemo li da je t = 1 nalazimo da je konstanta k jednaka brojnoj vrijednosti puta pređenog u prvoj sekundi.Potražimo puteve pređene u pojedinim uzastopnim sekundama:

- put u prvoj sekundi: p1 = s1 = 10cm = 10·1

- put u drugoj sekundi: p2 = s2 – s1 = 40 – 10 = 30cm = 10·3

- put u trećoj sekundi: p3 = s3 – s2 = 90 – 40 = 50cm = 10·5

-

Uradimo li proporciju dobićemo:p1 : p2 : p3 : ...= 1 : 3 : 5 : ...

tj. kod jednako ubrzanog kretanja bez početne brzine pređeni putevi u uzastopnim jedinicama vremena odnose se kao uzastopni neparni brojevi.

Sl. 2. 11.

Sl. 2.12.

iz ogleda na Atvudovoj mašini možemo naći i trenutne brzine na krajevima pojedinih sekundi. U tu svrhu stavljamo prsten A (sl. 2.11) na onim mjestima na kojima je bio teg sa pretegom pri kretanju u trenutku u kojem želimo odrediti trenutnu brzinu.Ako želimo odrediti brzinu na kraju prve sekunde, onda prsten postavljamo na 10cm od polaznog položaja, jer je sistem prevalio toliki put za jednu sekundu. Uloga prstena je da propusti teg, a zadrži preteg i od tog trenutka teg G 1 će se kretati jednoliko onom brzinom koju je imao u momentu skidanja pretega, tj. brzinom koju je imao na kraju prve sekunde, baš kad je prestalo dejstvo sile, tj. težine pretega. Sada treba da odredimo mjesto do koga će stići teg G1 po isteku naredne sekunde, tj. od trenutka kada je prsten zadržao preteg. To određujemo pomoću pločice B (sl. 2.11) u koju udari teg G1 po isteku jedne sekunde. Put AB koji prevali teg G1 za jednu sekundu, krećući se jednoliko, brojno je jednak traženoj brzini.Pri našem izboru tegova na Atvudovoj mašini dobijamo ove rezultate:

Određujemo brzinu na kraju

Daljina na koju treba staviti

Proteklo vrijeme u sekundama kad je Put AB pređen i jednoj sek. tj. trenutna brzina na krajevima pojed. sek. cm/sPrsten A

cmPločicu B

cmPreteg P

zadržan kod ATeg G1 udario kod B

Prve sekunde 10 30 1 2 30-10=20

Druge sekunde 40 80 2 3 80-40=40

Treće sekunde 90 150 3 4 150-90=60

Dobili smo da je trenutna brzina na kraju:- prve sekunde v1 ≠ 20cm/s = 20 · 1- druge sekunde v2 = 40cm/s = 20 ·2- treće sekunde v3 = 60cm/s = 20 ·3

tj. brzina je proporcionalna vremenu:v = 20t (2. 31)

gdje je faktor proporcionalnosti dva puta veći od faktora k, pa možemo pisaTI:v = 2k·t (2. 32)

Iz podataka za brzine na krajevima pojedinih sekundi vidimo da i prirast brzine svake sekunde iznosi 20cm/s, tj. ubrzanje je pri ovim uslovima na Atvudovoj mašini:

a ≠ 20cm/s2

ilia = 2k (2. 33)

Dakle, kod jednako ubrzanog kretanja bez početne brzine, ubrzanje je brojno jednako dvostrukom putu koj tijelo pređe u prvoj sekundi.Zamjenom (2.33) do (2.32) dobivamo:

v ≠ at (2. 34)Iz jednačine (2.33) nalazimo da je:

k = 2

ak

a kako je s = kt2 dobivamo izraz za put:

2

2

as t (2. 35)

Eliminacijom t iz jednačina (2.34) i (2.35) dobivamo da je brzina na kraju pređenog puta s:

2v as (2. 36)

Slobodan pad

Ako tijelo podignemo iznad površine Zemlje pa mu izmaknemo podlogu, onda ono pada na nju vertikalno, ako tome ne smeta neki uzrok. Budući da Zemlja ima loptast oblik izlazi da se pravci puteva pri padanju tijela poklapaju sa pravcima radijusa Zemlje, odnosno da ti pravci prolaze kroz centar Zemlje (sl. 2.13).

Ogledima je utvrđeno da se tijela pri padanju kreću jednako ubrzano. To znači da na tijelo koje pada djeluje konstantna sila usmjerena ka centru Zemlje. Stoga se došlo na misao da Zemlja privlači sva tijela ka svome centru izvjesnom silom koja se zove zemljina teža. Sila kojom Zemlja djeluje na tijlo zove se težina tijela. Ako tijelo pada samo pod djelovanjem teže (vlastite težine) bez uticaja drugih sila i to u specijalnom slučaju da je prije početka tog kretanja mirovalo, takvo kretanje zovemo slobodni pad.Slobodno padanje se, strogo uzevši, može izvesti samo u bezvazdušnom prostoru. Pri padanju u vazduhu se pored sile teže

javlja i otpor vazduha. Ako pustim iz ruke papirić da pada (sl. 2.14) on se spušta prema podu po nepravilnoj putanji, koja kod

ponavljanja pokusa svaki put

drugačije izgleda. Tu očito osim težine djeluje i otpor vazduha, pa prema tome ovo nije po našoj definiciji slobodni pad. Međutim, kada pada tijelo manjih dimenzija, a znatne mase (metalna kugla) trenje sa vazduhom se može zanemariti, te se u ovakvom slučaju i padanje u vazduhu približuje slobodnom padanju.Mjerenjima je utvrđeno da sva tijela pri slobodnom padanju dobivaju isto ubrzanje, kojeg ćemo obilježiti sa g (lat. gravis = težina, tj. ubrzanje zbog težine) i zove se ubrzanje sile teže ili gravitacija. Otuda izlazi da za slobodno pad važe isti zakoni kao i za jednako ubrzano kretanje bez početne brzine gdje se ubrzanje a zamjenjuje sa ubrzanjem g.Budući da se padanje vrži uvjek po vertikali, to se putevi označuju kao vertikalne visine h, pa će jednačina za slobodno padanje biti:

2,2

gv g t h t (2.37)

Eliminacijom t iz jednačine (2.37) dobija se brzina tijela na kraju puta

2v gh

(2. 38)Iz mjerenje puta, odnosno brzine, kod slobodnog pada može se numerički odrediti g.Budući da je ovakvo mjerenje teško direktno izvršiti jer tijelo brzo pada, mi ćemo se koristiti Atvudovom mašinom.Iz eksperimenata na mđini našli smo da su putevi na krajevima pojedinih sekundi:

- s1 = 10cm

- s2 = 40cm

- s3 = 90cm

To je nastalo zbog toga što je težina pretaga mase mp = 8g pokretala sistem mase m1 + m2 + mp = 400g. Kada bi preteg slobodno padao, onda bi težina pretega davala ubrzanje samo masi pretega tj. 50 puta manjoj masi, pa bi sam preteg padao 50 puta brže. Prema tome, putevi pretega pri slobodnom padu bili bi (sl. 2.15).

- s1 = 10cm · 50 = 500cm = 5m - s2 = 40cm · 50 = 2000cm = 20m - s3 = 90cm · 50 = 4500cm = 45m itd.

Putevi u pojedinim uzastopnim sekundama kod slobodnog pada su: - s1 = 5m

- s2 = s2- s1 = 15m - s3 = s3 – s1 = 25m

Kako je ubrzanje kod svakog jednako ubrzanog kretanja brojno jednako dvostrukom putu kojeg tijelo pređe u prvoj sekundi, izlazi da je, prema našim mjerenjima:

Sl. 2.13.

Sl. 2.14.

0 s 01 s 5 m

2 s 20 m

3 s 45 m

Sl. 2.15

210

mg

s

Tačnijim mjerenjima je utvrđeno da ubrzanje g zavisi od mjesta na kojem mjerenje vršimo, a mijenja se, uglavnom, s geografskom širinom. Na ekvatoru ubrzanje g je najmanje i iznosi 9,78m/s2, dok je na polovima najveće i iznosi 9,83m/s2. Kao normalno ubrzanje uzima se ubrzanje na mjestima geografske širine 450o, gdje ono iznosi:

g = 29,80665

mg

s

što ćemo zaokružiti na g = 9,81m/s2. Ova zavisnost može se izraziti slijedećom jednačinom:

3 2 6 2 72

9,78049(1 5,288 10 sin 5,9 10 sin 3 10 )m

g Hs

gdje je φ – geogrefska širina, a H – nadmorska visina u metrima.

Ubrzanje g zavisi i od udaljenosti tijela od centra Zemlje. Međutim, kad se padanje vrši s visina koje su male prema radijusu Zemlje (R = 6378km), onda je promjena ubrzanja g zanemarljivo mala, te se g

)))))))))))))) može smatrati konstantnom

veličinom.

Slobodni pad je prvi eksperimentalno proučio Galileo Galilej (1564-1642.), puštajući da padaju jednake kugle različitih masa sa kosog tornja u svom rodnom gradu Pizi. Našao je da tijela, bez obzira na masu, padaju jednako „brzo“. Do Galileja je vladalo Aristotelovo mišljenje da teža tijela padaju „brže“.Naime sva tijela pri padanju kreću se kroz vazduh te se javlja otpor vazduha. Zato tijelo pri padanju kroz vazduh u početku povećava brzinu, a kad otpor vazduha toliko poraste da se izjednači sa silomZemljine teže (težinom tijela), tijelo nastavlja da se kreće jednoliko (granična brzina). Kako otpor vazduha raste sa kvadratom brzine (F = ksv2), izlazi da tijela koja imaju veliku površinu prema svojoj težini (lišće, pahuljice, itd.) padaju dosta sporo. Zbog toga u vazduhu „brže“ padaju teža tijela nego lakša. To je i navelo Aristotela da izvede općenit zaključak.

Da sva tijela pri slobodnom padu dobivaju isto ubrzanje pokazao je Njutn pomoću cijevi tzv. Njutnova cijev (sl. 2.16). U Staklenoj cijevi dovoljne širine i približno jedan metar dugoj nalaze se tri predmeta: metalna kuglica, papirić i ptičije pero. Krajevi cijevi su nepropusno zatvoreni plastičnim (mesinganim) poklopcima. Na jednoj od ovih je slavina (pipa) pomoću koje se iz cijevi može izvući vazduh. Ako je slavina otvorena, onda je vazduh u cijevi jednako gust kao i u sobi. Cijev držeći u rukama naglo preokrenemo iz jednog vertikalnog položaja u drugi. Spomenuti predmeti u cijevi padaju na dno onim redom kako su nabrojani. Razlika je očigledna.

Ako vakuum pumpom isišemo vazduh iz cijevi, pa ponovimo opisano preokretanje cijevi, sva tri predmeta padaju zajedno na dno cijevi. Dakle, u vakuumu sva tijela padaju jednako. Kod slobodnog pada kretanje zavisi o tome kako je tijelo veliko, od kakvog je materijala i kojeg oblika.

Naše razmatranje o slobodnom padu završimo sa ovim ogledom. Uteg leži na dasci koju držimo u rukama.

Sl. 2.16.

Sl. 2.17.

Sl. 2.15.

Ispod utega je umetnuta limena ploča, koju vuče u stranu napeta opruga ili gumena vrpca (sl. 2.17). Ako mirno držimo dasku, napetost opruge ne može izvući ploču ispod

utega, jer se tome opire trenje. Čim pustimo sve skupa da pada, ploča izleti ispod utega. Za vrijeme padanja nema pritiska na podlogu, pa prema tome niti trenja, koje bi držalo ploču na mjestu. Dakle, uteg koji slobodno pada zajedno sa svojom podlogom ne pritišće na tu podlogu. Ovaj ogled možemo izvesti i tako da čvrsto držeći dasku sa utegom skočimo sa stolice (ili stola). Za vrijeme našeg padanja ploča izleti za vrijeme padanja. Mi ne osjećamo da uteg pritišće dasku. Dakle, dok padamo, predmeti koje držimo u ruci su za nas izgubili težinu.

Varijanta gornjeg eksperimenta prikazana je na slici (2.18).

Primjeri:

1. Na kojoj se visini nalazi balon s koga kamen slobodno pada 5,6s?

Rješenje:

2

5,6

9,81 /

?

t s

g m s

h

Kamen pri slobodnom padu pređe put:

2 22

9 19,81 (5,6 )

2 2

4,905 31,36

153,8

mh t s

s

h m

h m

2. U neki ponor se pusti kamen da slobodno pada. Zvuk udara kamena o vodu čuje se poslije vremena t = 6s od momenta puštanja kamena. Kolika je dubina ponora? Uzeti da je g = 10m/s2, a brzina zvuka u vazduhu v = 340m/s.Rješenje:

2

5

10 /

340 /

?

t s

g m s

v m s

h

Sl. 2.18.

Neka je t1 vrijeme padanja kamena. Tada je dubina ponora 21

1

2h gt .

Zvuk od dna ponora do vrha dođe za vrijeme t –t1, pa je dubina također: h = v(t-t1). Prema tome je:

21 1

1( )

2gt v t t

odakle je

21 1

2 20

v vt t t

g g

odnosno zamjenom:

1 168 340 0t t Realan korijen ove jednačine je t1 = 4,6s, pa je dubina ponora h = 340 (5-4,6) tj.

h = 136m3. U vertikalnom oknu nalazi se mjesto A za l = 15m više nego mjesto B. Iz oba mjesta puste se da slobodno padaju dvije kugle i to iz mjesta B za ∆t = 0,5s kasnije nego iz A.

Kugle istovremeno padnu na dno okna. Izračunati puteve koje su kugle prešle i vrijeme padanja kugle iz tačke B.Rješenje:

15

0,5

?

?

?

l m

t s

h

t

H

Neka je t vrijeme padanje kugle B, onda je t + ∆t vrijeme padanja kugle A. Prema slici je:

2

2

1( )

21

2

H l h g t t

h gt

Zamjenom jednačine (2) u (1) dobivamo:

2 2 21 1( 2 )

2 2l gt g t t t t

Sređivanjem i zamjenom vrijednosti za l, g i ∆t dobivamo:1

15 9,81 0,5 9,81 0,252

15 4,905 1,225

4,905 13,775

13,7752,8

4,905

2,8

t

t

t

t s

t s

Sl. 2.19.

Put kugle B je: 219,81 2,8 38,7

2h m

Kugla je prešla put: 15 38,7 53,7

53,7

H l h m

H m

4. Malj za nabijanje šipova slobodno pada s visine 1,22m. Za njegovo podizanje potrebno je 5 puta više vremena nego za padanje. Odrediti broj udara malja u minuti.

Rješenje:

2

2 1

1,22

9,81 /

5

?

h m

g m s

t t

n

Vrijeme padanja malja t1 nađemo iz:

21 1

2

2 2,440,2487

2 9,81

0,5

g hh t odakle je t

g

t s

Vrijeme utrošeno na jedan udar i vraćanje malja u prvobitan položaj iznosi

t = t1 = t2 = t1 + 5t1 = 6t2 = 6·0,5s = 3sBroj udara malja u minuti je:

1min 6020

3

sn udara

t s

Dva tijela su počela slobodno padati s iste visine, jedno za drugim nakon 5s. Nakon koliko vremena, od početka padanja prvog tijela, rastojanje između tijela će biti 196m?

Rješenje:

2 1

2

1

5

9,80 /

196

?

t t s

g m s

l m

t

Visina padanja prvog tijela:2

1 1

1

2h gt

a visina padanja drugog tijela:

2 22 2 1

1 1( 5)

2 2h gt g t

Rastojanje među tijelima je:

2 21 2 1 1

2 21 1 1

2 21 1 1

1

1

1

1 1( 5)

2 21 1

9,8 9,8( 10 25) 1962 2

4,9 4,9 49 122,5 196

49 318,5

318,56,5

49

6,5

l h h gt g t

t t t

t t t

t

t s

t s

Slaganje kretanja

Kad u mirnom vazduhu pada kapljica kiše, putanja joj je vertikalna prava. Međutim, ako puše vjetar kišne kapi padaće koso na Zemlju. U prvom slućaju kapljica se kretala samo pod uticajem jedne sile. – Zemljine teže, pa kažemo da je kapljica vršila prosto kretanje. U drugom slučaju, pored Zemljine teže na kapljicu je djelovala i sila vjetra. Obje sile djelovale su nezavisno jedna od druge, ali usljed istovremenog djelovanja tih sila nastalo je jedno rezultujuće kretanje. U drugom slučaju pored Zemljine teže, na kapljicu je djelovala i sila vjetra. Obje sile djelovale su nezavisno jedna od druge, ali usljed istovremenog djelovanja tih sila nastalo je jedno rezultujuće kretanje kapljice, koje se naziva složenim kretanjem. Opštenito, složeno kretanje nastaje kad god neko tijelo treba istovremeno da izvrši dva ili više prostih kretanja. Prosta kretanja iz kojih nastaje složeno kretanje zovu se komponetna kretanja.

Oblik putanje i brzina složenog kretanja zavise od toga da li su komponentna kretanja ista ili različite vrste, da li su istih ili različitih pravaca i da li se vrše u istoj ravni ili u različitim ravninama. Kretanja po istom pravcu zovu se kolinearna, a kretanja koja se vrše u istoj ravni zovu se komplanarna. posmatrajmo različite slučajeve slaganja kretanja.

Slaganje kretanja istog pravca

Ako u vozu, koji na neko vrijeme ∆t prelazi put s1 = 100m, neki putnik prolazi kroz vagone u smjeru kretanja voza tako da za to isto vrijeme prijeđe put od s2 = 12m, onda će rezultujuće kretanje putnika biti pravolinijsko, a dužina puta (s) koji prijeđe za vrijeme ∆t iznosiće 112m u odnosu na posmatrača na Zemlji.Zaključujemo da je dužina rezultujućeg puta putnika

s = s1 + s2 (2. 39)a rezultujuća brzina putnika u odnosu na prugu:

v = v1 + v2 (2. 40)

Dakle, pri slaganju dva komonentna kretanja istog pravca i smjera – rezultujuće kretanje je istog pravca i smjera, a dužina puta jednaka je zbiru dužina puteva komponentnih kretanja. Putevi su vektorske veličine, te na slaganje kretanja možemo primjeniti pravila vektorskog računa. U opisanom slučaju putevi s1 i s2 su vektori 1s

i 2s

istog pravca i smjera, pa je intenzitet vektorskog zbira jednak zbiru intenziteta

komponenata (sl. 2.19).

Ako se putnik u pomenutom vozu kreće suprotno od smjera kretanja voza, onda će njegovo rezultujuće kretanje opet biti pravolinijsko, ali će dužina pređenog puta za vrijeme ∆t iznositi s = 88m od polazne tačke u odnosu na prugu. Prema tome, rezultujući put iznosi:

s = s1 - s2 (2. 41)a rezultujuća brzina putnika:

v = v1 – v2 (2. 42)

Dakle, pri slaganju dva komponentna kretanja istog pravca a suprotnog smjera, rezultujuće kretanje ima isti pravac, smjer veće komponente, a dužina puta jednaka je razlici puteva komponentnih kretanja.

Slaganje kretanja različitih pravaca

Razmotrimo sada slučaj kada tijelo istovremeno vrši dva kretanja čiji pravci zatvaraju neki ugao. Pri tome razlikujemo da li su oba komponentna kretanja iiste vrste (oba jednolika ili oba jednako ubrzana) ili su različite vrste , (npr. jedno jednoliko, a drugo jednako ubrzano).

Slaganje kretanja iste vrste

Ovakav slučaj imamo pri kretanju čamca preko rijeke. Dva uzorka djeluju na kretanje čamca: vlastito kretanje čamca (motor, vesla) i kretanje rijeke. Neka je vlastito kretanje čamca jednoliko u smjeru OA, a kretanje rijeke jednoliko u smjeru OB (sl. 2.20a). Kada rijeka ne bi tekla, čamac bi poslije tri sekunde dospio u tačku A 3. Kada motor čamca ne bi radio, riječna struja bi kretala čamac u smjeru OB i poslije tri sekunde čamac bi dospio u tačku B 3. Međutim, pri istovremenom djelovanju riječne struje i motora, čamac će po isteku tri sekunde dospjeti u tačku C3.

U ovom slučaju čamac se neće kretati ni pravcem komponente OA3 ni pravcem komponente OB3, već pravcem dijagonale OC3 paralelograma OA3C3B3 koji je određen komponentnim putevima OA3 i OB3. To je zakon paralelograma kretanja. Iz slike 2.20a vidimo da je rezultujuće kretanje jednoliko pravolinijsko.

Sada razmotrimo slaganje dva promjenljiva kretanja iste vrste, na primjer, dva jednako ubrzana kretanja. Na slici 2.20b prikazana je konstrukcija složenog kretanja tačke O, koje nastaje iz dva jednako ubrzana kretanja duž komponentnih putanja OA i OB. Tačka O će se kretati po dijagonali OC3 paralelograma OA3C3B3O.Kao što vidimo, rezultujuće kretanje je jednako ubrzano pravolinijsko kretanje. Posmatrani čamac na slici došao bi u tačku C3 i tada bi prvo izvršio kretanje u pravcu OA3, a zatim u pravcu A3C3 koji je paralelan sa OB3. Na osnovu toga i izvršenih eksperimenata utvrđen je princip nezavisnosti kretanja ili princip superpozicije.

Sl. 2.19.

Sl. 2.20.

Ako jedno tijelo istovremeno vrši dva ili više prostih kretanja, onda ono dolazi na isto mjesto kao kada bi ta kretanja vršila ponaosob jedno za drugim ma kojim redom.Slaganje kretanja iste vrste možemo pokazati raznim ogledima. Na vrhu štapa N (sl. 2.21a) učvršćenoj na horizontalnoj dasci M, zavežemo konac na čijem slobodnom kraju visi teg A. Kada teg stavimo u dubog stakleni cilindar S (menzuru), onda će konac u njemu imati vertikalan položaj. Ako cilindar miruje, a konac vučemo naviše uz zid cilindra, onda će teg za neko vrijeme prijeći put AB.Ako odvežemo konac i teg stavimo u cilindar, pa cilindar pomjerimo po dasci M, onda će teg prijeći put AC za isto vrijeme za koje je prešao i put AB.

Na papiru nacrtamo iz tačke A duži puteva AB i AC. Na tim dužinama konstruišemo paralelogram ABCD i povučemo dijagonalu AD. Zavežemo teg za konac, stavimo ga u cilindar, a papir postavimo vertikalno iza njega tako da se teg poklapa sa tačkom A na papiru. Ako sada cilindar pomjerimo po dasci u pravcu AC, onda teg A vrši kretanje u pravcu AC, a istovremeno i u pravcu AB, pa će rezultujuće kretanje biti u pravcu AD, tj. u pravcu dijagonale (sl. 2.21b)

Slaganje kretanja raznih vrsta

Neka je jedno komponentno kretanje jednoliko, na primjer u pravcu OA (sl. 2.22), a drugi promjenljivo, na primjer jednako ubrzano u pravcu OB. Tačke C1, C2, C3,... u koje dispjeva tačka 0 na krajevima pojedinih sekundi, spojene daju izlomljenu liniju. Ova izlomljena linija će se sve više približavati krivoj liniji ukoliko je vremenski interval, u kome smo vršili slaganje manji. U ovom slučaju kriva je jedna grana parabole koja počinje u tački 0. Ovakav slučaj nalazimo kod horizontalnog i kosog hica.

Na osnovu izloženog možemo zaključiti:Slaganjem dva kretanja iste vrste ali različitih pravaca nastaje pravolinijsko kretanje, slaganjem dva kretanja raznih vrsta i raznih pravaca nastaje krivolinijsko kretanje.

Vertikalni hitac, hitac naniže

Kretanje tijela, koje je izbačeno početnom brzinom 0v

u polju sile Zemljine teže, naziva se hitac. Pretpostavlja se da u toku kretanja tijela ne postoji sila trenja i da se kretanje odvija malim visinama iznad Zemlje (g= const). U zavisnosti od toga pod kojim je uglom u odnosu na površinu Zemlje tijelo izbačeno razlikujemo: vertikalni, horizontalni i kosi hitac.

Sl. 2.21.

Sl. 2.22.

Vertikalnim hicem nazivamo kretanje tijela koje je bačeno vertikalno uvis početnom brzinom 0v

. Po zakonu inercije tijelo bi se trebalo kretati jednolikom brzinom 0v

, ali na

njega djeluje istovremeno Zemljina teža naniže, pa je njegovo kretanje složeno kretanje iz dva kretanja istog pravca, a suprotnog smjera. Rezultujuće kretanje je jednako usporeno.

Po pravilu za slaganje brzina rezultujuća brzina tije biće:

0 gv v v (2. 43)

gdje je 0v

- početna brzina a gv

- brzina usljed djelovanja Zemljine teže.

Intenzitet brzine nakon vremena t od početka izbacivanja je:

0v v gt (2. 44)

Rezultujući put će biti:

0 gs s s (2. 45)

gdje je 0s

put kojeg tijelo pređe jednolikim kretanjen brzinom

0v

, a gs

put kojeg tijelo pređe za vrijeme t usljed djelovanja sile Zemljine teže. Dužina puta s, odnosno visina h,

poslije vremena t od početka izbacivanja je:

20 2

gh v t t (2. 46)

Iz jednačina (2.44) i (2.46) možemo izračunati 4 veličine.

a) Vrijeme uspona T je vrijeme za koje tijelo dospije u najvišu tačku. U najvišoj tački putanje brzina tijela je v = 0, pa iz jednačine (2.44) dobivamo da je vrijeme uspona:

0vTg

(2. 47)

b) Maksimalna visina ili visina penjanja H dobićemo ako vrijeme uspona uvrstimo u jednačinu (2.46):

(2. 48)c) Brzina v' kojom tijelo ponovo padne na Zemlju je ustvari brzina kod slobodnog pada na kraju puta H:

2200 0

0

' 2 22

'

vV gH g v v

g

V v

tj. tijelo padne na Zemlju onom brzinom kojom je izbačeno.

2 2 2 22 0 0 0 0 0

0 0 2

20

2 2 2 2

2

v v v v vg gH v T T v

g g g g g

vH

g

Sl. 2.23.

Sl. 2.23.

d) Vrijeme padanja T' je vrijeme za koje tijelo slobodno padne sa visine H, pa iz jednačine:

2

2

gH T

dobivamo:

2 20 0 0

2

2 2'

2

v v vT H T

g g g g g

tj. vrijeme padanja jednako je vremenu uspona.

Hitac naniže je složeno kretanje iz dva kretanja istog pravca i istog smjera pa je pređeni put i brzina poslije vremena t od početka izbacivanja:

(2. 49)

(2. 50)

Horizontalni hitac

Horizontalni hitac je kretanje tijela koje se izbaci sa neke visine, u horizontalnom pravcu, početnom brzinom v 0. Horizontalni hitac, je ustvari, složeno kretanje iz jednolikog kretanja u smjeru izbacivanja tj. paralelno s horizontom i jednako ubrzanog kretanja (slobodnog padanja) zbog istovremenog djelovanja Zemljine teže. Po horizontalnoj komponenti OX (sl. 2.24) tijelo bi se kretalo jednolikom brzinom 0v

, pa bi na kraju 1, 2, 3, ... sekunde

tijelo bilo u položajima A1, A2, A3, ... Duž vertikalne komponente OY tijelo vrši slobodno padanje, pa bi se na krajevima uzastopnih sekundi nalazilo u položajima B1, B2, B3, ... gdje je OB1≈5m. Rezltujuće kretanje dobije se po zakonu paralelograma kretanja i tačke C1, C2, C3, ..., su položaji kroz koje prolazi tijelo krajem pojedinih sekundi. Spajanjem ovih tačaka dobijemo putanju horizontalnog hica, za koju ćemo pokazati da predstavlja jednu granu parabole s početkom u tački O.

Odredimo sada jednačinu putanje horizontalnog hica. Postavimo pravougli koordinantni sistem tako da pravac horizontalne komponente kretanja uzmemo za osu C, a pravac vertikalne komponente kretanja za osu Y (sl. 2.24). Položaj tijela u ma kom trenutku određuje njegove koordinate x i y, tj. komponente puta.Horizontalna komponenta puta iznosi:

20

0

2

gs v t t

v v g

x = v0 · t

(2. 51)jer bi se tijelo po osi x kretalo jednoliko brzinom v0. Vertikalna komponenta puta je:

12

2y gt (2. 52)

jer duž ose y tijelo slobodno pada.

Jednačine (2.51) i (2.52) predstavljaju parametarske jednačine horizontalnog hica.

Eliminacijom vremena t kao zajedničkog parametra dobivamo:

2202

gy x

v (2. 53)

što predstavlja jednačinu putanje horizontalnog hica. Vidimo da je putanja horizontalnog hica parabola, čije je tjeme u tački iz koje je tijelo izbačeno.

Brzina u datoj tački putanje ima pravac tangente na putanji u toj tački. Komponenta brzine u horizontalnom smjeru iznosi vx = v0, a u vertikalnom smjeru jednaka je intenzitetu brzine kod slobodnog pada, tj. v y = g·t. Veličina rezultante dobiva se po Pitagorinoj teoremi:

2 2 2 2 20x yv v v v g t (2. 54)

Vidimo da brzina kod horizontalnog hica raste sa vremenom, ali ne linearno kao kod slobodnog pada.

Na osnovu jednačine (2.53) intenzite brzine možemo napisati i u obliku:

2 2 2 2 2 20 0 0

12 2

2v v g t v g gt v gy (2. 55)

tj. intenzitet brzine raste kada raste ordinata pokretne tačke.

Sl. 2.24.

Pravac i smjer brzine u ma kojoj tački putanje određujemo pomoću ugla što ga vektor brzine v zaklapa sa pozitivnim smjerom x ose. Sa slike vidimo da je

(2. 56)

Iz jednačine (2.56) zaključujemo da ugao raste kada x raste.

Ako je tijelo izbačeno u horizontalnom pravcu sa visine H (sl. 2.24) onda se može izračunati njegov domet D uvrštavanjem u jednačinu (2.53) y = H i x = D, pa dobivamo

202v

D Hg

Iz jednačine (2.51) i (2.52) razabiremo da kod horizontalnog hica u istim vremenskim razmacima. bez obzira kolika je početna brzina v0, tijelo padne do jednake dubine (sl. 2.25). To znači da će tijelo pasti na Zemlju uvijek po isteku onog istog vremena koje mu je bilo potrebno da slobodno padne s nivoa odakle je započelo da se kreće. Ovaj zaključak možemo provjeriti eksperimentalno pomoću Levijevog aparata (Löwy) prikazanog na slici 2.26.

U nedostatku levijevog aparata, eksperiment se može izvesti i sa dva kovana novčića, od kojih jedan leži na uglu stola, a drugi na ravnalu kojeg držimo naslonjenog na sto pored novčića. Kada naglo udarimo ravnalom novčić na stolu, on dobiva početnu brzinu u horizontalnom smjeru, a novčić sa ravnala slobodno pada. Oba istovremenp šadnu na zemlju.

0 0 0

20

vy

x

v gt h xtg

v v v

gtg x

v

Sl. 2.25.

Kod horizontalnog hica jasno uočavamo istinitost zakona nezavisnosti kretanja. Na osnovu tog zakona razumljivo je zašto tijelo pušteno iz ruke udari uvjek na isto mjesti na podu vagona, bez obzira da li on miruje ili se kreće.

Za posmatrača u vozu tijelo pada, u oba slučaja, vertikalno naniže, jer je posmatrač u relativnom miru u vagonu tj. kreće se u horizontalnom pravcu istom brzinom kao i tijelo, te zbog toga svojim čulima ne može da utvrdi kretanje tijela u horizontalnom pravcu, nego samo njegovo padanje naniže. Za posmatrača izvan vagona, putanja tijela koje pada u vagonu ima izgled parabola.

Kosi hitac

Kosim hicem naziva se kretanje tijela koje je izbačeno početnom brzinom 0v

pod oštrim uglom α

u odnosu na horizont u polju Zemljine teže. Kosi hitac je složeno kretanje iz jednolikog kretanja u pravcu izbacivanja i slobodnog pada. Ugao α što ga pravac početne brzine 0v

zaklapa sa horizontom, zove se nagibni ili elevacioni ugao.

Ako po zakonu nezavisnosti kretanja smatramo da tijelo prvo izvrši jedno, a zatim drugo komponentno kretanje istog

trajanja, rezultujući putanju kosog hica možemo konstrukcijom dobiti ovako: Na pravoj OA u smjeru 0v

uzmemo jednake odsječke OA1 = A2A2 = A2A3 = A3A4 = ... = v0 (sl. 2.27). Dužine ovih

odsječaka predstavljaju puteve koje bi tijelo prelazilo u pojedinim sekundama krećući se jednoliko po pravoj OA. Iz tačaka A1, A2, A3, ... u kojima bi tijelo trebalo da se nalazi po isteku 1, 2, 3, ... sekunde, povučemo vertikalne duži A 1B1,

Sl. 2.26.

Sl. 2.27.

Sl. 2.26.

A2B2, A3B3, A4B4, ... koje se odnose kao kvadrati vremena tj. kao 1:4:9:16, ..., gdje je A 1B1≈5m (

21 1

91 5

2A B m ) put koje tijelo pređe u prvoj sekundi kod slobodnog pada. Tada su A2B2, A3B3, A4B4 putevi

kod slobodnog pada prijeđeni na krajevima druge, treće, četvrte sekunde. Kod kosog hica tijelo će se, dakle, na krajevima pojedinih sekundi nalaziti u tačkama B1, B2, B3 ..., tj. na paraboli, koja ima obje svoje grane.

Rastojanje od horizonta do tjemena parabole zove se visina kosog hica, a rastojanje između polazne tačke O i tačke B do koje se tijelo dobaci, zove se daljina dometa ili domet kosog hica.

Da odredimo položaj tijela u ma kom trenutku potrebno je izvesti jednačinu kosog hica. Ovo složeno kretanje, čija putanja leži u jednoj ravni, može se rastaviti na uniformno pravolinijsko kretanje duž x – ose i na jednako usporeno

kretanje duž y – ose (sl. 2.28).

Komponente početne brzine v0 su:

0 0 0 0cos sinx yv v i v v (2. 57)

a komponente brzine v

u trnutku t su:

(2. 58)

Horizontalna komponenta puta x je put kojeg tijelo pređe u vremenu t konstantnom brzinom vx, tj.:

x = vxt = v0cosα·t (2. 59)Komponenta puta duž ose y tj. puta kojeg tijelo pređe u vremenu t kao vertikalni hitac iznosi:

2 20 ' 0

1 1sin

2 2yy v t gt v t gt (2. 60)

Jednačine (2.59) i (2.60) su parametarske jednačine kosog hica. Eliminacijom t iu jednačine (2.59) i (2.60) dobivamo:

22 202 cos

gy xtg x

v (sl. 2. 61)

što predstavlja jednačinu putanje kosog hica. Vidimo da je ovo kvadratna funkcija (y = ax + bx2), a graf kvadratne funkcije je parabola. Dakle, putanja kosog hica je parabola. Ako u jednačinu (2.61) stavimo α = 0 dobićemo:

Sl. 2.28.

0 0

0 0

cos

sin

x x

y y

v v v

v v gt v gt

2202

gy x

v

a to je jednačina horizontalnog hica. Znak ,, - '' se javlja što je u ovom slučaju osa y usmjerena prema gore. Sada ćemo odrediti najvažnije elemente kosog hica.

a) Domet kosog hicaDomet Dx ćemo izračunati ako stavimo u jednačinu putanje kosog hica da je y = 0. jer putanja tada presjeca x - osu (sl. 2.29):

22 20

2 20

2 cos

( )2 cos

gO x tg x O

v

gx tg x O

v

Imamo da je jedno rješenje x = 0, a to je početna tačka

putanje O (0,0). Drugo rješenje dobivamo iz:

2 202 cos

gtg x O

v

odakle je:

(2. 62)Maksimalni domet će biti kada je sin2α najveći, a to je kad je sin2α = sin900 = 1, tj. kad

je α = 450.Zbog identiteta:

sin2α = sin (180 - 2α) = sin2·(90 - α)izlazi da se domet neće pomjeriti ako pucamo pod uglom elevacije α ili 90 - α. Koji ćemo ugao pri pucanju izabrati zavisi o tome što želimo postići. Ako, na primjer, kod vatrenog oružja treba dobiti što veći „brisani prostor“ upotrijebit ćemo manji elevacioni ugao (položena, rezantna putanja), a kad gađamo zaklonjene ciljeve uzećemo veći elevacioni ugao (ubacna putanja) kao što

se čini kod haubica, merzera i minobacača (sl. 2. 30).

Zavisnost oblika putanje kosog hica i daljine dometa od veličine elevacionog ugla i početne brzine možemo pokazati ako za jedan štap (sl. 2. 31) na jednakim rastojanjima vežemo konce čije dužine stoje u odnosima 1:4:9:16: ... (Hagenbahov aparat). Na donjem kraju svakog konca nalazi se mala obojena kuglica. Naginjanjem štapa uz zid ili školsku tablu prema horizontu, pložaj kuglice određivat će oblik putanje za dati elevacioni ugao. Promjenom veličine jednakih rastojanja između svaka dva konca možemo dobiti oblik putanje za razne početne brzine pri istom elevacionom uglu.

22 2 200 0

20

sin2 sin cos2 cos 2sin coscos

sin 2

x

x

vtg v vX D g g

g

vD

g

Sl 2.30.

Sl. 2. 30.

Sl. 2. 29.

b) Visina kosog hicaPo principu nezavisnosti kretanja tijelo se podiže naviše kao

vertikalni hitac početnom brzinom 0 yv

. Maksimalna visina

vertikalnog hica je:20

2yvHg

Ako u ovoj jednačini zamjenimo v0y= v0·sinα, izlazi da je visina kosog hica:

2 20 sin

2

vH

g

(2. 63)

Vidimo da visina kosog hica zavisi od elevacionog ugla. Najveća visina biće ako je α = 90o i iznosiće:

20

2

vH

g

a to je sutvari, maksimalna visina vertikalnog hica.

c) Vrijeme trajanja kosog hicaVrijeme T za koje se tijelo kreće kao kosi hitac odredićemo iz komponenti puta duž ose y, stavljajući da je: y = 0, tj:

20

0

sin2

( sin ) 02

go v t t

gt v T

odakle je t = 0 jedno rješenje koje odgovara početnom položaju, dok je drugo rješenje:

02 sinvT

g

(2. 64)

vrijeme trajanja kosog hica.

d) Vrijeme uspona

Vrijeme TH za koje se tijelo penje po svojoj putanji možemo naći iz vertikalne komponente vy brzine v

. U najvišoj tački putanje je: vy = 0, pa je:

v0·sinα - g·TH = 0odakle je vrijeme uspona:

0 sinH

vT

g

(2. 65)

Vidimo da je 2H

TT , što znači da se tijelo jednako dugo penje do tjemena, kao što pada od tjemena do horizonta.

e) Intenzitet trenutne brzineIntenzitet trenutne brzine u ma kojoj tački M putanje (sl. 2. 28) je:

Sl. 2. 31.

(2. 66)

Kada tijelo udari u podlogu, onda je y = 0 pa je v = v0, tj. tijelo udari u podlogu brzinom koja je po intenzitetu jednaka intenzitetu početne brzine.

Napomena:

Gornje jednačine za putanju kosog hica vrijede, ako nema otpora vazduha. Zbog otpora vazduha 0v

nije konstantna, već se vremenom smanjuje. Zbog toga silazni krak putanje nije jednak ulaznom, a i visina kosog hica je znatno manja. Ovakva kriva zove se balistička kriva (sl. 2. 32). Nauka koja proučava ovakve putanje, zove se balistika i ima veliki značaj za artiljeriju.

2 2 2 2 20 0

2 2 2 2 2 20 0 0

2 2 2 2 20 0 0

20

cos ( sin )

cos sin 2 sin

(sin cos ) 2 ( sin ) 22

2

x yv v v v v g t

v v v gt g t

gv v g v t t v gy

v v gy

Sl. 2. 32.

4. DINAMIKA MATERIJALNE TAČKE

Sila

Iskustvo pokazuje da nijedni tijelo ne može promjeniti stanje kretanja ili mirovanja bez utjecaja drugih tijela. Na primjer, kola koja miruju, točkovi vodenice ili lokomotive neće se nikada sami pokrenuti. Ako su kola promjenila svoje mjesto - onda ih je pomjerio čovjek ili konj, voda okreće točkove vodenice, a vodena para točkove lokomotive. Dakle, promjena stanja kretanja nekog tijela uzrokovanja je interakcijom sa drugim tijelima.

Ako se o uže objesi jedno tijelo, uže se zateže. Objesi li se još jedno tijelo, zatezanje užeta postaje veće. Prema tome, interakcija dva tijela može biti različita po svojoj jačini. Otuda i mogučnost da se ta interakcija prikazuje i mjeri nekom fizičkom veličinom. Fizička veličina koja služi kao mjera za interakciju, odnosno za uzajamno dejstvo tijela naziva se sila. Egzaktno, prema njutnu, sila je uzrok promjene kretanja tijela bilo po veličini ili po smjeru. Jedno tijelo može djelovati na drugo tijelo na razne načine. Ta dva tijela mogu biti u međusobnom dodiru ili povezana. Na primjer, jedno tijelo može vući ili guratu drugo tijelo neposrednim dodirom. Osim toga, tijelo može izazvati promjenu kretanja drugog tijela i bez neposrednog dodira. Na primjer, gravitaciono privlačenje tijela, privlačenje ili odbijanje naelektrisanih tijela, promjena brzine tijela u magnetnom polju drugog tijela, itd., sve su to uzajamna dejstva jednih tijela na druga posredstvom tzv: fizičkih polja. I za takve interakcije dva ili više tijela uzima se kao mjera fizička veličina koja se naziva sila.Prema tome sila u fizici ima mnogo širi smisao od pojma sile u svakodnevnom iskustvu, koji je obično povezan sa naprezanjem čovječijih ili životinjskih mišića.Sila nije pristupačna direktnom posmatranju niti direktnom mjerenju. Sile možemo prepoznati samo po njihovom djelovanju.

Priroda sile kao fizičke veličine odmah se uočava na ma kojem primjeru uzajamnog dejstva dva tijela. Ako, naime, jedno tijelo djeluje na drugo tijelo tako da ga privlači ka sebi, onda je očigledno da je sila kao mjera tog privlačenja okarakterisana najprije: intenzitetom ili jačinom. (Uzajamno privlačenje može biti veće ili manje jačine). Zatim ga karakteriše: pravac u kome se interakcija vrši i najzad smjer u kojem se interakcija javlja. Jasno je da su ovo karakteristike vektorskih veličina. Prema tome, sila je vektorska veličina. Sama riječ vektor vodi projeklo od latinske riječi veko, vehere = vući, što je povezano sa uzajamnim dejstvom tijela, odnosno sa silom. Silu ćemo obično označavati sa F

)))))))))))))).

Uobičajeno je da se u fizici govori o dejstvu sile, iako ustvari jedno tijelo djeluje na drugo ili polje na tijelo. Ne gubeći iz vida da se radi o interakciji između tijela, ili polja i tijela i mi ćemo se služiti istim izrazima.Rekli smo da se pod dejstvom sile mjenja brzina tijela, odnosno nastaje ubrzanje. Međutim, sila može djelovati na tijelo, a da se ono ne pomjera u cjelini, ali se može deformisati pod uticajem sile itd. Na primjer, ako spužvu pritisnemo, ona se deformiše. Sve ove razne slučajeve tretiraju razne oblasti fizike ponaosob.

Na osonovu do sada izloženog možemo reći: Sila je uzrok promjeni stanja kretanja tijela ili njegovoj deformaciji.

Kao mjera za silu može se uzeti veličina deformacije koju sila prouzrokuje na nekom tijelu (na primjer: izduženje opruge). Takav način mjerenja sile zove se statičko mjerenje sile. Kao mjera za silu mogli bi uzeti za koliko se promjeni brzina neke određene mase kad na nju djeluje sila. Mjerenje sile pomoću ubrzanja kojeg ta sila daje tijelu određene mase zove se dinamičko mjerenje sile.Dio mehanike, koji proučava kretanje tijela u vezi sa uzrocima, tj. silama koje uslovljavaju ovakav ili onakav karakter kretanja, zove se dinamika (grčki: dinamis = sila). Pitanje odnosa sile i kretanja zapravo je centralno pitanje dinamike.

Njutnovi zakoni

Osnovu takozvane klasične ili njutnovske mehanike čine tri prirodna zakona dinamike, koje je prvi jasno uočio Isak Njutn (Isac Newton, 1643 - 1727) i formulisao 1687. godine u djelu „Philosophiae naturalis principia mathematica“ ili u prijevodu „Matematički principi prirodne nauke“.

To naravno ne znači da je mehanika počela sa Njutnom. Njemu je na tom polju prethodilo mnogo ljudi, među kojima je svakako najistaknutiji bio Galileo Galilej. Njutnovi zakoni nastali su kao rezultat uopštavanja velikog mnoštva eksperimentalnih činjenica. Galilej je proučavanjem ubrzanog kretanja postavio temelje Njtnovoj formulaciji tri zakona.

Njutnovska mehanika u toku dva stoljeća postigla je takve ogromne uspjehe da se smatralo da objasniti bilo kakvu fizičku pojavu znači svesti je na mehanički proces koji se potčinjava Njutnovim zakonima. Međutim, sa razvojem nauke otkrivene su nove činjenice koje se nisu mogle ukolpiti u okvire klasične mehanike.Otkriće teorije relativnosti (Ajnštajn, 1905.) dovelo je do izgradnje „mehanike velikih brzina“ ili relativističke mehanike. Nova mehanika ipak nije dovela do negiranja stare klasične mehanike. Jednačine relativističke mehanike u graničnoj vrijednosti (za brzine, koju su male u poređenju sa brzinom svjetlosti) prelaze u jednačine klasične mehanike. Prema time, klasična mehanika ušla je u relativističku mehaniku kao njen poseban slučaj.

Dvadesetih godina našeg vijeka nastala je kvantna mehanika kao rezultat razvitka fizike atoma. Jednačine kvantne mehanike takođe daju u graničnoj vrijednosti (za mase velike u poređenju sa masom atoma) jednačine klasične mehanike. To znači da je klasična mehanika ušla u kvantnu mehaniku u svojstvu njenog graničnog slučaja.Prema tome, razvoj nauke nije opovrgao klasičnu mehaniku, već je samo pokazao njenu ograničenu primjenljivost. Klasična mehanika, koja se zasniva na Njutnovim zakonima, ostaje mehanika tijela velikih masa (u poređenju sa masom atoma), koja se kreću malim brzinama (u poređenju sa brzinom svjetlosti).

Prvi Njutnov zakon, inercijalni sistemi

Iskustvo pokazuje da se ni jedno tijelo, koje je u relativnom miru, samo od sebe neće pokrenuti nego tek pod dejstvom kakvog drugog tijela, tj. sile. Na primjer, da bismo pokrenuli vagon koji se nalazi u miru na kolosjeku moramo na njega djelovati silom naših mišića. Pri tome najveće naprezanje moramo upotrijebiti baš u trenutku kada započinje njegovo kretanje. Međutim, kada je vagon u kretanju, onda ga možemo dalje kretati sa manjim naprezanjem, dok je potrebno veliko naprezanje da se vagon zaustavi.

Ovu osobinu svih tijela, koja se ispoljava kao težnja da održavaju svoju brzinu nepomjenljivom, uočio je Galilej (1609. godine) i nazvao ju je postojanošću ili inercijom (latinski: inertia = lijenost). Pri ovome se pretpostavlja održavanje kako veličine tako i pravca brzine.Inercija se jasno ispoljava baš onda kada spoljašnji uzroci mijenjaju brzinu tijela. To potvrđuju mnogi primjeri iz iskustva.

- Kada stojimo u kolima, pa kola naglo krenu naprijed, gornji dio tijela trgne se unazad; ako se kola naglo zaustave, tijelo nam poleti naprijed. U prvom slučaju naše tijelo je težilo da ostane u miru, a u drugom nastojalo da se kreće.

- Poslije pokretanja tijela njegova inercija se ispoljava u težnji da zadrži već dobivenu brzinu. Na primjer, onaj koji iskače iz vagona (tramvaja) trči u pravcu kretanja vagona (tramvaja). Automobil ili voz produžuju svoje kretanje i poslije zaustavljanja rada mašine.

- Usljed inercije tijelo teži da zadrži i pravac svoje brzine. Na primjer, ako se vozimo u kolima koja naglo skreću, mi padamo u suprotnu stranu. Isto tako biciklistima je teško skrenuti na okukama ako se kreću velikom brzinom.

Do Galileja i Njutna u nauci je vladalo Aristotelovo učenje o ravnomjernom kretanju tijela. Smatralo se da se tijelo kreće samo dotle dok na njega djeluje neko drugo tijelo, odnosno sila. Galilej je međutim otkrio da se jednoliko pravolinijsko kretanje vrši bez uticaja sile. To je bila velika novost u nauci, te ni mnogi Galilejevi savremenici nisu u prvi mah razumjeli pojam inercije. njutn je ovoj činjenici dao definitivnu naučnu formulaciju i ovu osobinu tijela prihvatio kao aksiom i formulisao ga ovako:

Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja sve dok dejstvom spoljnih sila nije prinuđeno da svoje stanje promjeni.

Drugim riječima, tijelo održava stečenu brzinu kada prestanu djelovati sile ili kada na njega ne djeluju sile.

Matematički izraz prvog Njutnovog zakona, odnosno zakona inercije, je vrlo jednostavan:

., 0v const ili a

(3. 1)

Gornji uslov je moguć samo kada na tijelo ne djeluje nikakva spoljašnja sila, tj.

0F ))))))))))))))

Proizvod mase i brzine tijela naziva se količina kretanja i označava se sa , ( ).k k m v

Uvođenjem ovog pojma, zakon inercije se može matematički formulisati i u slijedećem obliku:

m v const

(3. 2)

Dakle, u odsustvu dejstva sila na tijelo količina kretanja tog tijela ostaje konstantna. U specijalnom sličaju može biti: v

= 0, odnosno: 0m v

, a to je sličaj mirovanja.

Tvrdnja sadržanja u prvom zakonu nije nipošto očigledna. Naime, pokrenuto tijelo trebalo bi produžiti kretanje istom brzinom i istim pravcem. Ovu tvrdnju, pod okolnostima na Zemlji, nemoguće je dokazati jer se potrebni uslovi ne mogu ostvariti. Nemoguće je istovremeno otkloniti sva spoljnja djelovanja: Zemljinu težu, trenje, otpor sredine, koja sprečavaju kretanje. Ukoliko su ove smetnje manje, utoliko će se tijelo duže kretati. Na primjer, kugla bačena istom brzinom po zemlji, dasci i glatkom ledu najdalje će se otkotrljati po ledu i putanja će joj biti pravolinijska.Važno je istaći da se u odsustvu sila stečena brzina održava kao vektorska veličina. Ako se tijelo kreće po ma kakvoj krivoj liniji, a to znači da se kreće ubrzano, pa u nekom momentu prestane dejstvo sile, onda tijelo zadrži stečenu trenutnu brzinu. Tijelo se više neće kretati po krivoj liniji nego po pravoj, koja je tangenta na putanju u onoj tački koja prikazuje položaj tijela u momentu prestanka dejstva sile (blato sa točkovima automobila).

Sve je ovo precizno obuhvaćeno opštom formulacijom prvog Njutnovog zakona kretanja.

Iz iskustva poznata jednolika pravolonijska kretanja nisu kretanja po inerciji, već kretanja u uslovima u kojima se više dejstava na tijelo međusobno poništavaju. Na primjer, na vozilo djeluje sila vuče, a opet se ono kreće jednoliko. U ovom slučaju osim vučne sile djeluje i sila trenja (i otpot vazduha) koja se uravnotežuje sa vučnom silom. Na ovoj činjenici zasniva se i Aristotelovo mišljenje da je za jednoliko kretanje potrebna sila. Zbog inercije ne može se ni brzina jednog tijela momentalno prenijeti na drugo tijelo, već je zato potrebno neko kratko vrijeme. Navedimo neke primjere:

- Metak iz puške probija prozorsko okno samo na onom mjestu na kome neposredno udari, jer taj dio prsne prije nego što se brzina metka prenese na ostale dijelove stakla.

- Ako čašu poklopimo komadom kartona na koji smo stavili metalni novčić, pa karton naglo povučemo u horizontalnom pravcu, novčić će pasti u čašu; ako karton lagano vučemo novčić će ostati na njemu.

Zašto?

- Ako za konac A, koji je pričvršćen za stativ S (sl. 3. 2). objesimo teg G na kome je privezan drugi konac B iste dužine i jačine, pa lagano vučemo donji konac, onda će

se prekinuti gornji konac, jer se pored zatezanja tega vrši zatezanje i naše ruke. Ako naglo povučemo donji

konac, onda će se ovaj prekinuti prije nego što se zatezanje prenese na gornji konac.

- Eksperiment Leonarda da Vinčija je lijep primjer za inerciju (sl. 3. 3). Iz stuba sagrađenog od drvenih okruglih ploča možemo zgodnim udarcem izbiti bilo

koju od ploča a da se stub pri tome ne sruši. Trenje između ploče koju izbijamo i ploča koje su ispod i iznad ove, djeluje prekratko vrijeme da bi moglo pokrenuti te ploče.

Sl 3. 1.

Sl 3. 2.

Sl. 3. 2.

Prvi Njutnov zakon ne može se primjeniti u svakom sistemu referencije. Razmotrimo dva sistema referencije koji se jedna u odnosu na drugi kreću izvjesnim ubrzanjem. Ako tijelo u odnosu na jedan sistem miruje, to će se u odnosu na drugi, očigledno, kretati sa ubrzanjem. Iz toga slijedi da prvi Njutnov zakon nije ispunjen istovremeno u oba sistema.

Sistem referencije u kojem važi prvi Njutnov zakon zove se inercijalni sistem. Sistem referencije u kojem se prvi njutnov zakon ne ispunjava zove se neinercijalni referentni sistem.

Inercijalnih sistema ima beskonačno mnogo. Svaki sistem referencije, koji se kreće u odnosu na neki inercijalni sistem jednoliko pravolinijski, sa svoje strane biće inercijalan. To proističe iz pravila slaganja brzina. Razmotrimo kretanje tačke M u dva sistema referencije: S (xoy) i S' (x'o'y'), (sl. 3. 4).

Neka se sistem S' u odnosu na sistem S kreće konstantnom brzinom: 0v

. Označimo brzinu tačke M u odnosu na

sistem S' sa 'v

. Kretanje te tačke u odnosu na sistem S slagaće se iz kretanja zajedno sa sistemom S' koji se vrži

brzinom 0v

i kretanjem u sistemu S' koji se vrši brzinom 'v

. Brzina tačke M u odnosu na sistem K biće, prema tome, jednaka:

0 'v v v

odakle izlazi da je:

0'v v v

Budući da je 0v

konstantna i ako je v

konastantno onda je i 'v

konstantno. Prema tome, ako je sistem S inercijalan, to će i sistem S', koji se kreće jednoliko u odnosu na sistem S, biti inercijalan. Gorni stav je tzv. klasični princip relativnosti. On tvrdi da su svi inercijalni sistemi ekvivalentni, te da se oblik fizičkih zakona ne smije mijenjati ako se oni izražavaju u raznim inercijalnim sistemima. Ovaj princip se može iskazati i tvrdnjom da apsolutna brzina nema smisla, jer se ni na koji način ne može izmjeriti.Eksperimentalnim putem je dokazano da je inercijalan sistem referencije i onaj čiji je centar Sunce. Taj sistem se zove heliocentrični sistem referencije. Zemlja u odnosu na Sunce kreće se po krivolinijskoj putanji (elipsa), a i okreće se oko svoje ose. Zbog toga se sistem referencije koji je povezan sa Zemljinom površinom kreće u ubrzano u odnosu na heliocentričini sistem i, prema tome, nije inercijalan. Međutim, ubrzanje tog sistema je toliko malo da ga praktično možemo smatrati inercijalnim.

Drugi Njutnov zakon

Prvi njutnov zakon karekteriše silu kao uzrok promjene brzine tijela, ali on ne daje kvantitativnu vezu između sile i promjene brzine koju ta sila izaziva. O odnosu sile i promjene kretanja koju ona izaziva govori drugi Njutnov zakon.

Posmatranjem kretanja tijela pod dejstvom sile uočeno je da postoji prosta ralacija između intenziteta kretanja koju ona izaziva. Pri posmatranju slobodnog padanja uočeno je da sva tijela dobivaju isto i stalno ubrzanje. Kod slobodnog

Sl. 3. 3.

Sl. 3. 4.

padanja kretanje biva pod dejstvom stalne sile, tj. težine tijela. Ubrzanje ostaje stalno, te se može zaključiti da konstantna sila izaziva uvjek konstantno ubrzanje.Posmatranjem kretanja tijela pos strmoj ravni uočeno je da je ubrzanje utoliko veće ukoliko je nagib strme ravni veći, odnosno ukoliko je sila u pravcu strme ravni veća.

Prva sistematska ispitivanja i provjeravanja pomenutih odnosa vršena su na Atvudovoj mašini, pa ćemo i mi iz eksperimenta na Atvudovoj mašini doći do drugog Njutnovog zakona. Postupaćemo onako kako je već ranije opisano kod izvođenja zakona za jednako ubrzano kretanje. Izvešćemo tri grupe eksperimenata.

1. Na krajevima konca objesimo dva jednaka tega G1 i G2 čije su mase m1 = m2 = 98g i na desni teg G1

dodamo preteg P mase mp = 4g. Preteg svojom težinom djeluje kao konstantna sila F koja msi m = m1 + m2 + mp = 98g + 98g + 4g = 200g saopštava ubrzanje. Cio sistem se kreće jednako ubrzano, pa

iz zakona puta: 21

2s at možemo izračunati

ubrzanje, mjereći pređeni put za neko određeno vrijeme. Pri ovim uslovima dobiva se da je ubrzanje a = 20cm/s2.(Na primjer, za t = 2s teg G1 pređe put s = 40cm), (sl. 3. 5).

2. Ako na preteg P dodamo još jedan preteg mase 4g, onda preteg P' ima masu mp' = 8g, pa je sila F1 koja djeluje na sistem dva puta veća (F1 =2F), dok možemo smatrati da se masa sistema nije promjenila i da je m1 = m = 200g. Mjereći sada ubrzanje naći ćemo da ono iznosi a 1 = 40cm/s2. (Na primjer, za vrijeme t = 1s, teg sa pretegom pređe put s = 20cm, (sl. 3. 5b).

3. Na tegove G1 i G2 navrnemo tegove jednakih masa, tako da mase tegova G1' i G2' iznose: m1' = m2' = 196g, dok ostavimo isti preteg P' mase 8g. Sada težina pretega. tj. sila F1' = F1 = 2F, djeluje na masu m' = 196 + 196 + 8 = 400g i saopštava joj ubrzanje. Pri ovim uslovima dobiva se da je ubrzanje a' = 20cm/s2. (Na primjer, za vrijeme t = 2s teg G1' sa pretegom P' pređe put s = 40cm), (sl. 3. 5c).

Kad uzmemo u obzir navedene podatke i sredimo ih, dobijamo ovu tabelu:

Iz poadataka 1. i 2. vidimo da je masa sistema tegova u oba slučaja bila ista, ali je dva puta veća sila istoj masi saopštila dva puta veće ubrzanje, pa zaključujemo:

Ubrzanje koje različite sile daju istoj masi upravo su proporcionalna jačinama tih sila, tj:

a : a1 = F : F1

ili možemo reći da je ubrzanje upravo proporcionalno sili:

a ∝ F (3. 3)

a) b) c) Sl. 3. 5.

iz podataka 2. i 3. vidimo da je u oba slučaja djelovala ista sila, ali je ubrzanje a 1 koje je dobio sistem tegova kad mu je masa bila: m = 200g, dva puta veća od ubrzanja a' koje je dobio sistem kada mu je masa bila m' = 400g. Budući da je masa m dva puta manja od mase m', izlazi:

Ubrzanja koja ista sila daje raznim masama obrnuto su proporcionalna tim masama, tj:

a1 : a' = m' : m1

ili možemo reći da je ubrzanje obrnuto proporcionalno masi:

1a

m (3. 4)

Jednačine (3. 3) i (3. 4) možemo napisati u obliku:

F

a km

(3. 5)

gdje je: k - faktor proporcionalnosti, pa možemo zaključiti:

Ubrzanje, koje dobija pokrenuta masa zbog djelovanja neke sile, upravo je proporcnionalno jačini te sile, a obrnuto proporcionalno masi.

Odabraćemo sistem jedinica takav da faktor proporcionalnosti bude jednak jedinici (k = 1). Budući da je sila vektor i smjer ubrzanja se popdudara sa smjerom sile, jednačina (3. 5) se može napisati u vektorskom obliku:

Fa

m

))))))))))))))

odnosno:

F m a ))))))))))))))))))))))))))))

(3. 6)

Jednačina (3. 6) je osnovna jednačina klasične mehanike i ona predstavlja matematičku formulaciju drugog njutnovog zakona. Jednačina (3. 6) predstavlja osnovnu jednačinu kretanju materijalne tačke.

Jednačina Fa

m

))))))))))))))

kazuje da ubrzanje koje sila saopštava tijelu zavisi samo od sile i mase tijela. To znači, ubrzanje

ne zavisi od toga da li se tijelo na koje je djelovala sila nalazilo u miru ili kretanju. Kako se kretanje može vršiti ili suljed inercije ili pod djelovanjem neke sile, izlazi da je djelovanje jedne sile nezavisno od toga da li na tijelo djeluju neke druge sile. Ovaj zaključak koji proizilazi iz drugog Njutnovog zakona zove se princip nezavisnosti djelovanja sila.Razmljivo je da će završno kretanje tijela pod ukupnim dejstvom nekoliko sila biti drugo, nego pod dejstvom svake od njih posebno, ali i u tom slučaju svaka sila saopštava ono ubrzanje koje bi dala ona sam. Tako, na primjer, teža saopštava tijelu isto ubrzanje i u vakuumu i u vazduhu, ali otpor vazduha mijenja završno kretanje, dok ne mijenja djelovanje teže. Svoj drugi zakon Njutn je formulisao u obliku F m a

)))))))))))))))))))))))))))). njegova formulacija u prijevodu glasi:

Promjena kretanja proporcionalna je sili koja djeluje na tijelo i vrši se u prevcu dejstva sile.

Ako se izborom jedinica podesi da faktor proporcionalnosti bude jednak jedinici, onda je matematički izraz Njutnove formulacije drugog zakona:

( )d m vF

dt

))))))))))))))

(3. 7)

Gornji zakon možemo iskazati na slijedeći način:

Brzina promjene količine kretanja jednaka je sili koja djeluje i ima istu orjentaciju kao i sila.

U klasičnoj fizici masa se smatra konstantnom veličinom, te promjena kretanja nastaje samo promjenom brzine kretanja, odnosno:

( )m v m v

pa se zakon može napisati u obliku:

dvF m m a

dt

))))))))))))))))))))))))))))

(3. 8)

tj. sila je jednaka proizvodu mase tijela i ubrzanja koje ta sila izaziva.

Postoje eksperimentalni dokazi da je masa tijela funkcija njegove brzine i da se povećava sa povećanjem brzine prema jednaćini:

0

2

21

mm

v

c

(3. 9)

gdje je: m0 = konstanta koja se naziva „masa u miru“, c = je brzina svjetlosti (c = 3·10 8m/s), a v = brzina tijela u odnosu na referentni sistem posmatrača. Ako je: v = 0, onda je m = m0, a ako je v = c, masa je beskonačna.

Lorenc i Ajnštajn (Lorentz, Einstein) izveli su jednačinu (3. 9) pomoću teoretskih argumenata zasnovanih na relativističkim razmatranjima i ona je bila neposredno provjerena na eksperimentima za brzinu elektronima i ionima.

Kod puščanog taneta v

c iznosi oko 3·10-6 i očigledno je da pri ovim brzinama za sve praktične svrhe masa jednaka

masi u miru (m = m0). S druge strane, elektron ubrzan potencijalnom razlikom samo od 105 volta ima veću brzinu od 0,6c, tako da je povećanje mase s brzinom od najveće važnosti kada je riječ o atomskim i subatomskim česticama koje su ubrzane potencijalnim razlikama od nekoliko miliona volta.Iako je Njutn smatrao da je masa konstantna, svoj zakon nije izrazio u obliku: F m a

)))))))))))))))))))))))))))), već u obliku:

( )d m vF

dt

))))))))))))))

(3. 10)

koji se može primjeniti i kada masa nije konstantna.Može se lako vidjeti da se izraz za prvi Njutnov zakon može dobiti iz drugog Njutnovog zakona. Ako u jednačinu (3. 10) stavimo 0F

)))))))))))))), dobijamo:

( )0

d m v

dt

No, ako je promjena ma kakve veličine jednaka nuli, onda je ta veličina konstantna, tj: ako je ( ) 0m v

onda je:

mv const

a to je matematički izraz zakona inercije.

Iz izraza: F = m ·a izvodi se jedinica za silu. To je ona sila koja jedinici mase daje jedinicu ubrzanja. Jedinica za silu je 1 njutn (1N). Njutn je sila koja masi od jednog kilograma daje ubrzanje od 1m/s2.

Prema definiciji je:

2 21 1 1 1

m kgmN kg

s s

Drugi Njutnov zakon u neinercijalnim (ubrzanim) referentnim sistemima

Njutnovi zakoni u do sada navedenim oblicima važe samo u inercijalnim referentnim sistemima.Neinercijalni referentni sistemi se kreću ubrzano u odnosu na inercijalne referentne sisteme.

Razmotrimo drugi zakon u neinercijalnim referentnim sistemima. Pretpostavimo da jedan neinercijalni referentni sistem S ima u odnosu na inercijalni referentni sistem S' ubrzanje 0a

. Ako je Na

ubrzanje tijela u odnosu na neinercijalni

(ubrzani) referenti sistem, onda je ubrzanje a

tijel u odnosu na inercijalni sistem:

0Na a a

Drugi Njutnov zakon može se sada napisati u obliku:

0( )Nm a m a a

odnosno:

0NF m a m a ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

(3. 11)

Dakle u neinercijalnom sistemu moramo uvijek ubrzanje Na

dodati 0a

.

Ako navedemo izraz:

0 0F m a ))))))))))))))))))))))))))))

možemo pisati:

0 NF F m a ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

(3. 12)

Sila F))))))))))))))

je „realna sila“ koja djeluje na tijelo, a 0 0F m a ))))))))))))))))))))))))))))

je tzv. „inercijalna sila“. Ta sila nije realna, (često se zove „fiktivna sila“), ona se javlja zbog neinercije tijela.

Lijeva strana jednačine (3. 12) predstavlja rezultantnu „realne“ i „inercijalne“ sile. Ova rezultanta sila je jednaka proizvodu mase tijela i ubrzanja u odnosu na ubrzani neinercijalni sistem.Kada se ubrzanje Na

mjeri u odnosu na koordinatni sistem koji se kreće sa tijelom (tijelo u neinercijalnom sistemu

miruje), tada je Na

= 0, dok 0a

postaje ubrzanje tijela a

u odnosu na inercijalni sistem.

Jednačina (3. 12) svodi se na:

0 0F F ))))))))))))))))))))))))))))

(ovo je D'Alambertov princip)

ili:

0 0F m a ))))))))))))))))))))))))))))

tj:

0F m a

(3. 13)

Kao primjer razmotrimo kretanje tijela (kosmonauta) u kosmičkom brodu koji slobodno pada. Referentni sistem vezan

za brod ima ubrzanje u odnosu na Zemlju kao inercijalni sistem 0a g))))))))))))) )

, te je inercijalna sila 0F mg))))))))))))))))))))))))))))

. Na

kosmonauta u brodu djeluje realna gravitaciona sila: F m g ))))))))))))))))))))))))))))

, pa na osnovu jednačine (3. 13) dobijamo:

0 N

N

F F m a

mg mg m a

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

odnosno:

Na

= 0

Posmatrajmo iz kosmičkog broda, dato tijelo (kosmonaut) se ne ubrzava, iako na njega djeluje stalna realna

gravitaciona sila. Ovo tijelo ne djeluje nikakvom silom na brod ( 0)Nma

i kaže se da ono lebdi. Ovakvo stanje

tijela naziva se „beztežinsko stanje“.

Težina, teška i inertna masa

Zemlja djeluje na sva tijela silom koja se zove sila teže ili sila gravitacije. Zbog teže sva tijela, čim su sprječena da padaju, pritiskuju podlogu koja ih zadržava ili zatežu nit o koju su obješena.

Ukupni pritisak što ga tijelo zbog teže vrši na horizontalnu podlogu ili zatezanje niti kada je tijelo obješeno, zovemo težinom tijela.

Ako se podloga ukloni, onda pod dejstvom ove slike nastaje slobodno padanje tijela, a iskustvo pokazuje da sva tijela koja slobodno padaju dobijaju isto ubrzanje, koje se zove ubrzanje teže ili ubrzanje gravitacije i bilježi se sa g. Sila teže je uvjek orijentisana prema centru Zemlje. Sila teže je specijalan slučaj opšteg zakona gravitacije, o kome će biti riječi kasnije. Budući da težina saopštava tijelu ubrzanje: g

)))))))))))))), onda se ona može tretirati po drugom Njutnovom zakonu. Označimo li

težinu tijela sa G))))))))))))))

, biće

G m g ))))))))))))))))))))))))))))

(3. 14)

Vektori G))))))))))))))

i g))))))))))))))

imaju isti pravac i orijentisani su prema centru Zemlje, odnosno u tehničkoj primjeni vertikalno. Iz

ovoga se vidi da su masa i težina dvije različite veličine. Budući da su vektori G))))))))))))))

i g))))))))))))))

istog smjera, težinu možemo tretirati skalarno.

G = m · g (3. 15)

tj. težina tijela jednaka je proizvodu iz njegove mase i ubrzanja teže na tom mjestu.

Ubrzanje teže zavisi od geografske širine i nadmorske visine. To se javlja zbog spoljoštenosti Zemlje i različite udaljenosti tijela od centra Zemlje. Osim toga, javlja se uticaj zbog okretanja Zemlje oko svoje ose. O ovim pitanjima govorićemo kasnije. Zbog toga se i težina tijela mijenja sa promjenom mjesta na Zemlji. Promjena težine tijela na raznim mjestima geografske širine i na raznim nadmorskim visinama ne može se zapaziti pri mjerenju utezima na terazijama, jer ukoliko se promjeni težina tijela zbog promjene ubrzanja teže, utoliko se promjeni i težina tegova. Promjena težine se može konstatovati samo na dinamometru, čiji se rad zasniva na istezanju opruge, jer sila opruge ne zavisi od gravitacije.

Budući da je težina G sila, to je jedinica za težinu njutn (1N). Tijelo mase 1kg ima težinu:

1 2

2 2

2

: 1 9,83 9,83

: 1 9,78 9,78

45 : 1 9,81 9,81o

mna polu G kg N

s

mna ekvatoru G kg N

s

mna geografske širine G kg N

s

Sila kojom Zemlja privlači etalon mase od 1kg na 45o geograske širine zove se 1 kilopond (kp). Dakle,

1kp = 9,81N

Hiljadu puta manja jedinica je 1 pond (p). Pond je sila kojom Zemlja privlači tijelo mase od jednog grama.

Sila teže djeluje i onda kada je tijelo u miru, odnosno kada tijelo ne dobija nikakvo ubrzanje.Budući da je težina tijela proporcionalna masi, to masu tijela možemo da cijenimo prema sili teže. Ako su težine dva tijela G1 i G2 određene na jednoj te istoj tački Zemljine površine jednake (G1 = G2), onda iz:

m1 · g = m2 · g

slijedi:

m1 = m2

Dakle, ravnotežom na terazijama mjere se ne samo nepoznate težine, nego i njihove mase.Ovakav način mjerenja mase zove se statičko mjerenje mase, a masa dobijena na osnovu težine zove se teškla ili gravitaciona masa.

Ako, pak, masu tijela određujemo po inerciji prema drugom Njutnovom zakonu: F = m · a, odakle je:

Fm

a

onda se ta masa zove inertna (troma) ili inercijalna masa, a ovakav način mjerenja mase zove se dinamilko mjerenje mase.

U svakodnevnom iskustvu uočavamo često ovakve dvije mase. Tako, na primjer, ako hoćemo da procijenimo masu nekog tijela, možemo to tijelo držati mirno u ruci, pri čemu konstatujemo njegovu tešku masu na osnovu težine.Međutim, naročito kod malih tijela, njegovu masu možemo bolje da ocijemo ako tijelo nekoliko puta neizmjenično podignemo naglo naviše i spustimo. Na ovaj način dajemo tijelu ubrzanje, te cijenimo njegovu inercijalnu masu na osnovu sile kojom se ono opire promjeni kretanja.

Teška i inercijalna masa su prema današnjim shvatanjima identične i eksperimentalno se ne može ustanoviti nikakva razlika između njih. Zato se masa može definisati kao veličina otpora tijela protiv promjene kretanja.

Gustoća, specifična težina, specifična zapremina

Poznato je da jednake zapremine različitih tijela (tvari) nemaju jednake mase, niti, pak, jednake mase različitih tijela imaju jednake zapremine.Kod homogenih tijela odnosi između mase, zapremine, težine su konstante koje daju izvjesnu karakteristiku ovih tijela, odnosno materijala od koji su ona načinjena. Ove konstante se vrlo često upotrebljavaju, jer omogućuju da se i za raznovrsna tijela postave opšti obrasci.Odnos iz mase tijela i njegove zapremine zove se gustoća tijela i obilježava sa ρ, pa je za homogeno tijelo:

m

v (3. 16)

Za nehomogena tijela izraz (1) daje srednju ili prosječnu gustoću.Gustoća nam pokazuje kolika je masa jedinica zapremine, pa se gustoća zove još i zapreminska masa.

Dimenzija gustoće je:

33

MM L

L

pa je jedinica za gustoću u SI - sistemu: kg/m3. Često se gustoća izražava u g/cm3. Lako je pokazati da je:

3 31 1000g kg

cm m

Gustoća čiste vode na +4oC je 1g/cm3 = 1000kg/m3.

Iz jednačine (3. 16) nalazimo da je:

m = V · ρ (3. 17)

tj. mas tijela jednaka je proizvodu njegove zapremine i gustoće.

Zapremina jedinice mase homogenog tijela, tj. odnos zapremine i mase tijela zove se specifična zapremina i označava se sa Vs. Specifična zapremina je, prema tome, recipročna vrijednost gustoće, tj:

1s

VV

m (3. 18)

Jedinica za specifičnu zapreminu u SI - sistemu je m3/kg, a često se izražava i u l/kg = m3/dm3.

Specifična težina γ homogenog tijela je odnos iz težine tijela i njegove zapremine:

G

V (3. 19)

Specifična težina pokazuje kolika je težina jedinice zapremine. Za nehomogena tijela jednačina (3. 19) daje srednju specifičnu težinu. Jedinica specifične težine u SI - sistemu je N/m3, a u praksi se često upotrebljava nesistemska jedinica p/cm3.

Iz jednaćine (3. 19) izlazi da je:

G = V · γ

tj. težina tijela jednaka je proizvodu iz njegove zapremine i specifične težine.

Kako je G = m · g to zamjenom u (3. 19) dobijamo:

G m g m

g gV V V

(3. 20)

tj. specifična težina nekog tijela jednaka je proizvodu gustoće i ubrzanja teže na datom mjestu.

Budući da težina tijela zavisi od mjesta na kome je mjerimo, to i specifična težina istog tijela ima različite vrijednosti na različitim mjestima geografske širine.

Kao što smo napomenuli u praksi se najčešće upotrebljavaju jedinice za gustoću g/cm3 a za specifičnu težinu p/cm3, pa su skoro sve tablice u njima izražene. Kada se gustoća tijela izrazi u /cm 3 a specifična težina u p/cm3 onda one imaju iste btojne vrijednosti, što predstavlja povoljnu činjenicu da se mogu izraziti istom tablicom.Sva dosadašnja izlaganja su sporevedena pod pretpostavkom da su tijela čista i da potpuno ispunjavaju prostor koji zauzimaju. Međutim, tijela se nalaze u različitim stanjima u pogledu šupljikavosti, poroznosti, rastresitosti, vlažnosti, itd.Ove činjenice u praksi otežavaju i komplikuju upotrebu opisanih pojmova: gustoće, specifične težine i specifične zapremine.

Gustoća i specifična težina zavise od temperature, jer se tijela pri zagrijavanju obično šire. Zato uz vrijednosti ovih veličina obično se označuje i temperatura. Čvrsta tijela veoma malo mijenjaju zapreminu pri zagrijavanju, pa se promjena gustoće usljed promjene temperature često zanemaruje. Kod tečnih tijela promjene zapremine sa temperaturom su znatno veće, pa se obično uzima u obzir. Gasovi se daleko više šire pri zagrijavanju, a pored toga oni mijenjaju zapreminu i usljed pritiska, pa se pored temperature naznačuje i pritisak. To je obično temperatura od 0oC i pritisak od 1013mb (760 mm Hg).

U donjoj tabeli date su vrijednosti gustoće i specifične težine nekih tijela:

Treći Njutnov zakon (zakon akcije i reakcije)

Treći Njutnov zakon izražava misao da u prirodi nastaju istovremena djelovanja među tijelima, a u isto vrijeme on utvrđuje kvantitativni odnos tih djelovanja.Svako djelovanje tijela jednog na drugo ima karakter uzajamnosti: ako tijelo M 1 djeluje na tijelo M2 nekom silom 21F

))))))))))))))

(kažemo da je to akcija), to će i tijelo M2 sa svoje strane djelovati na tijelo M1 silom 12F))))))))))))))

, koja se zove reakcija (sl. 3. 6).

Sila se, dakle, nikad ne može javiti sama nego uvijek u sudjelovanju sa drugom silom. Na primjer, kad lokomotiva pokreže voz dvije sile vrše zatezanje spojnica između lokomotive i voza: jedna, kojom lokomotiva vuče voz i usmjerena je u pravcu kolosjeka unaprijed i druga, kojom voz djeluje na lokomotivu i usmjerena je unazad.

Sl. 3. 6.

Uzmimo još jedan primjer. Za jedan kraj konca vežemo tijelo tako da ga možemo pokrenuti djelujući rukom na drugom kraju konca (sl. 3. 7). Pri tome obavezno dolazi do zatezanja konca, a jasno je da zatezanje konca ne može da prouzrokuje samo jedna sila, već dvije sile koje djeluju na krajevima konca u suprotnom smjeru.

Eksperimenti pokazuju da su sile kojima tijela djeluju jedno na drugo uvijek jednaka po veličini, a suprotna po smjeru.

Razmotrimo to na slijedećem primjeru.Spojimo dva dinamometra A i B za ekser na kraju stola, kao na slici 3. 8.

Ako rukom

vučemo dinamometar A, onda na ekser E djelujemo silom 1F))))))))))))))

(akcija), koju možemo očitati na dinamometru A.

Istovremeno ekser vuče našu ruku silon 2F))))))))))))))

(reakcija) istu silu možemo očitati na dinamometru B. Oba dinamometra

pokazuju da se sile po intenzitetu jednake (F1 = F2), a suprotno usmjerene ( 1 2F F))))))))))))))))))))))))))))

).Uopštavajući eksperimentalne činjenice slične vrste utvrđen je opšti zakon, koji je Njutn formulisao kao svoj treći zakon mehanike - zakon akcije i reakcije.Prema formulaciji samog Njutna, taj zakon glasi:Akciji uvijek odgovara jednaka i suprotna reakcija; uzajamna djelovanja dva tijela su uvijek jednaka i suprotno usmjerena.U ovoj definiciji sadržani su termini; „akcija“ i „reakcija“, zbog čega može da se stvori predstava o nekoj razlici sila kojima tijela djeluju jedno na drugo. „Akciji“ se nehotice pripisuje glavna, a „reakciji“ potčinjena uloga, što nije uredu.Ustvari, obadvije sile su potpuno ravnopravne.

Koristeći se oznakama sila, koje su prikazane na slici 3. 6., matematički izraz trećeg Njutnovog zakona glasi:

12 21F F))))))))))))))))))))))))))))

(3. 21)

Važno je istaći da ove dvije sile djeluju na razna tijela. Inače bi rezultanta bila jednaka nuli.Kao posljedica trećeg njutnovog zakona izlazi da ako se dva tijela kreću samo pod njihovim međusobnim djelovanjem (izolovano od djelovanja vanjskih tijela) ona dobijaju ubrzanja koja su obrnuto proporcionalna njihovim masama. Neka

je m1 masa tije M1 sa slike: 3. 6, a m2 mas tijela M2. Pod djelovanjem 12 21F i F))))))))))))))))))))))))))))

tijela dobijaju ubrzanja 1 2a i a

,

pa će prema jednačini (3. 21) biti:

1 1 2 2

1 2 2 1

.

: :

m a m a

tj

a a m m

Ovu posljedicu lako uočavamo kod interakcije tijela slične mase. Tada su mjerljiva i njihova ubrzanja.

Sl. 3. 7.

Sl. 3. 8.

Na primjer:- Pri pucanju iz puške (artiljerijskog oružja) barutni gasovi izbace zrno naprijed, a pušku trgnu nazad.- Pri skoku iz čamca na obalu, čamac se vraća unazad.

Često se dešava da je pri međusobnom djelovanju masa jednog tijela znatno veća, pa se ne vidi djelovanje sile reakcije. To je naprimjer slučaj kada odskočimo od tla ili kada kuglica odskače od čvrste podloge. U tom slučaju masa m2 je Zemlja, pa je ubrzanje a2 kojeg dobija Zemlja zanemarljivo mala.Poznat je primjer prividnog paradoksa: zašto konj vuče kola? Po trećem Njutnovon zakonu sila kojom konj vuče kola jednaka je i suprotna sila kojom kola vuku konja. Reklo bi se da će se ove sile poništavati. No, nije tako. Objašnjenje je slijedeće: opirući se o tlo, konj je čvrsto vezan sa Zemljom, dok kola (ako zanemarimo trenje) to nisu. Sila kojom kola djeluju na konja djeluje zapravo na sistem: (konj + Zemlja). Po III Njutnovom zakonu je:

mkola · a = (mkonja + MZemlje) · a1

Očito je masa u zgradi znatno veća, pa je a >> a1 i konj vuče kola.

Da je ovo razmatranje ispravno vidimo kada nastupi poledica. Tada je veza konja sa Zemljom slaba i u tom slučaju konj zaista ne može vuči kola.

Na zakonu akcije i reakcije zasnovano je kretanje raketa kao i nekih živih bića (sipa). Raketa izbacuje velikom brzinom gasove i zbog toga se kreće u suprotnom smjeru (Segnerovo kolo).Kretanje brodova okretanjem elise (propelera) u vodi zasnovano je takođe na ovom zakonu mehanike, jer elisa pokreže vodu, a ova djeluje na brod isto tako jednakom, ali suprotnom silom.Dejstvo sila se ne može ograničiti samo na dva tijela, već uvjek postoji, u većoj ili manjoj mjeri, i uticaj drugih tijela. Međutim, mi ovdje ne uzimamo u obzir taj uticaj, nego dva tijela posmatramo izolovana od okoline.Napominjemo da treći Njutnov zakon ima takođe opšti i osnovni značaj u prirodi. Sva tri Nutnova zakona predstavljaju osnov klasične mehanike. Zato se klasična mehanika naziva još i Njutnovom mehanikom.

Impuls sile i količina kretanja

Među raznovrsnim dejstvima sile karakteristični su slučajevi kada sila djeluje velikim intenzitetom, ali vrlo kratko vrijeme. Na primjer, pri sudaru tijela ili pri eksploziji javlja se kratkotrajno ali intenzivno dejstvo sile. Za vrijeme djelovanja takve sile prevaljeni put je beskrajno mali. Ovakve trenutne sile velikog intenziteta, pri čijem se trajanju dejstva može zanemariti kretanje tijela, nazivamo impulsnim silama.

Prema time, promjena stanja kretanja tijela (tj. promjena veličine i smjera brzine) zavisi ne samo od veličine sile F koja na tijelo djeluje, već i od trajanja njenog djelovanja. Promjena kretanja mora biti proporcionalna kako sili F tako i intervali vremena ∆t u toku kojeg se vršilo djelovanje.Proizvod sile i vremena njenog djelovanja (F · ∆t) zove se impuls sile i označava se sa p

)))))))))))))). Ako vektor sile nije

konstantan, impuls p))))))))))))))

za vrijeme koje je prošlo od momenta t0 do momenta t određuje se izrazom:

0

t

tp F dt ))))))))))))))))))))))))))))

(3. 22)

Prema drugom Njutnovom zakonu je:

(3. 23)

Budući da je masa m konstantna, može se pisti jednačina:

( )F dt d mv ))))))))))))))))))))))))))))

(3. 24)

.

dvF m a m

dttj

F dt m dv

))))))))))))))))))))))))))))

))))))))))))))))))))))))))))

Ako je u trenutku to tijelo imalo brzinu 0v

, u trenutku t poslije djelovanja impulsa p))))))))))))))

imalo brzinu v

, onda integracijom gornje jednačine dobijamo:

(3. 25)

tj. impuls sile jednak je promjeni količine kretanja koju ta sila uzrokuje.

Specijalno, ako je tijelo prije dejstva impulsa bilo u miru, tj. 0 0v

, onda je:

p m v k ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

(3. 26)tj. impuls sije na tijelo, koje je prethodno bilo u miru, jednak je količini kretanja tijela.Ako, dakle, želimo da se tijelo kreće jednoliko, moramo na to tijelo djelovati impulsom. Koliku brzinu će tijelo dobiti ovisi o masi tijela, odnosno o impulsu. Uzmimo da na dvije mase m1 i m2 koje su ustanju mirovanja djeluje isti impuls: p F t

)))))))))))))))))))))))))))). Tada je:

11

22

F t m v

F t m v

))))))))))))))))))))))))))))

))))))))))))))))))))))))))))

gdje su 1v

i 2v

brzine tijel poslije djelovanja impusla p))))))))))))))

.Odavdje je:

1 21 2m v m v

tj. oba tijela dobila su istu količinu kretanja.Gornju jednačinu možemo pisati u obliku:

1 2 2 2

2 1 1 1

m v v t s

m v v t s

(3. 27)

Nismo pisali vektore jer su brzine u istom pravcu. Iz jednačine (3. 27) zaključujemo: putevi nakon istog vremenskog intervala koje prevale tijela nakon što su primila isti impuls odnose se obrnuto nego mase tijela:

1 2

2 1

m s

m s

Mjereći puteve u istom vremenskom intervalu što ih prevale tijela različitih masa nakon što su primila isti impuls, možemo odrediti mase tih tijela. Na taj način određene mase zovu se inercijalne (trome) mase, a način na koji se te mase odrede zove se dinamičko određivanje mase.Prije smo određivali mase tijela pomoću vage na pero (dinamometri), mjereći silu teže koja djeluje na masu. Tim načinom odredili smo tešku masu.Da su inercijalna i teška masa jednake, možemo se uvjeriti ovim eksperimentom. Istom silom kratko vrijeme djelujemo na dva tijela različitih masa, koja se nalaze na rubu stola. Oba tijela padat će isto vtijeme do poda (t), ali će prevaliti različite puteve u horizontalnom smjeru (s1 i s2). Mjereći s1 i s2 odredimo odnos njihovih inercijalnih masa m1 i m2. Zatim dinamometrom odredimo odnos njihovih teških masa.Eksperiment pokazuje da je odnos inercijalnih (tromih) masa jednak odnosu teških masa. Iz gornjih razmatranja zaključujemo: kada pomjeranja tijela pri postojanju udaraca (impulsa) moraju biti zanemarljivo mala, tijela koja trpe udarce grade se masivno, kao što su nakovnji, postolja mašina i dr.Impuls je vektorska veličina kao i količina kretanja. Dimenzija impulsa je:

[F · ∆t] = [M · L · T-1]a jedinica N · s.

0 0 0

0

( )t v v

t v vF dt d mv m dv

odnosno

p m v m v k

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

12 21

12 21

.

F F

tj

F dt F dt

))))))))))))))))))))))))))))

))))))))))))))))))))))))))))

Zakon održanja količine kretanja

Skup od dva ili više tijela nazivamo sistem tijela. Tijela kad ulaze u sistem mogu da interagiraju, kako uzajamno, tako i sa tijelima koja ne ulaze u sistem. U vezi sa tim, sile koje djeluju na tijela sistema mogu se podijeliti na: unutrašnje i vanjske sile. Unutrašnjim silama zvaćemo sile koje djeluju na tijelo od strane ostalih tijela sistema, a vanjskim - sile kojima tijela izvan sistema djeluju na tijelo sistema. U zavisnosti od sila koje djuluju na sistem, sistemi mogu biti: zatvoreni i otvoreni. Sistem je zetvoren ako na njega djeluju samo unutrašnje sile. Ako na sistem sem unutrašnjih djeluju i vanjske sile - sistem je otvoren.Zakon održanja količine kretanja (odnosno impulsa) direktna je posljedica trećeg Njutnovog zakona. Posmatraćemo ga

za zatvoreni (izolovani) sistem.Posmatrajmo zatvoreni sistem od dva tijela masa, m1 i m2. Neka je tijelo A u tački s radijus vektorom 1r

, a

tijelo B u tački s radijus vektorom 2r

(sl. 3. 9).

Neka tijela djeluju međusobno silama 12 21F i F))))))))))))))))))))))))))))

.

Tada je:2

1 112 1 1

22 2

21 2 2

d r dvF m m

dt dt

d r dvF m m

dt dt

))))))))))))))

))))))))))))))

Ove jednačine možemo pisati u obliku:

12 1 11 1

21 2 22 2

( )

( )

F dt m dv d m v

F dt m dv d m v

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Budući da je po trežem Njutnovom zakonu:

(3. 28) pa možemo pisati:

(3. 29)

Sl. 3. 9.

1 21 2

1 21 2

( ) ( )

:

( ) 0

d m v d m v

ili

d m v m v

Sl. 3. 9.

1 21 2

2

1

iii

m v m v const

ili

m v const

Dakle u zatvorenom sistemu u kojem postoje samo dva tijela u interakciji ukupna promjena količina kretanja jednaka je nuli.Integrisanjem jednačine (3.29) dobijamo:

(3. 30)

Drugim riječima, u zatvorenom sistemu od dva tijela u interakciji, zbir količina kretanja je konstantan. Ovaj zaključak vači bez obzira na prirodu sila, koje postoje između dva tijela, a koje mogu biti veoma komplikovane.

Zaključak se lako da proširiti i na sistem od n tijela koja integriraju. Tada je prema (3. 30):

1

1

n

ii

m v const

(3. 31)

tj.iukupna količina kretanja zatvorenog sistema ne mijenja se u toku kretanja. Jednačina (3. 31) predstavlja mtematički izraz zakona održanja količine kretanja, zatvorenog sistema tijela. Ovaj zakon se u mehanici smatra kao jedan od osnovnih i opštevažećih zakona.Ako u nekom zatvorenom sistemu pored unutrašnjih sila djeluju još i neke spoljašnje silje čija je rezultanta F, onda se količina kretanja ovakvog sistema mijenja. Priraštaj ukupne količine kretanja sistema je onda jednak impulsu rezultante spoljašnjih sila, tj:

(3. 32)

(3. 33)

Iz gornjih razmatranja zaključujemo da jedan sistem pod uticajem unutrašnjih sila ne može da izmijeni ukupnu količinu kretanja. Za tu promjenu neophodno je dejstvo spoljašnjih sila.

U svakodnevnom iskustvu susrećemo mnoge primjere zakona održanja količine kretanja. Navedimo neke:- Lokomotiva se ne može pokretnuti samo unutrašnjim silama dejstva pare. Kretanje nastaje usljed vanjske sile

trenja između šina i točkova, odnosno usljed vanjske sile između lokomotive i Zemlje sa kojom su šine povezane. Količina kretanja koju dobija lokomotiva jednaka je količini kretanja koja je tom prilikom predata Zemlji.

- Uzmimo kao drugi primjer slučaj čovjeka na čamcu (sl. 3. 10). Neka na početku čovjek i čamac miruju i neka masa čovjeka m1, a masa čamca m2. Ako zenamarimo sile trenja sa vodom i vazduhom, onda se sistem čovjek - čamac može smatrati zatvorenim (izolovanim). U početku ukupna količina kretanja ovog sistema jednaka je nuli.

1

1

:

n

ii

i

m v F t

ili

p k

))))))))))))) )

))))))))))))))))))))))))))))

Ako čovjek pođe u horizontalnom pravcu po čamcu, brzinom v1, dobiće količinu kretanja m1 · v1. Pri tome će čamac

krenuti u suprotnom smjeru i dobiće količinu kretanja m2 · v2. Ukupna količina kretanja mora ostati jednaka nuli, tj. mora biti:

1 21 2

1 21 2

0

:

m v m v

odnosno

m v m v

Čamac će se kretati sve dok se i čovjek kreće, a kada se čovjek zaustavi i čamac će se zaustaviti. Iz ovoga se vidi da čovjek ne može da dovede u stalno kretanje cijeli sistem djelujući samo unutrašnjim silama na čamac. Za stalno kretanje čamca neophodno je upotrijebiti veslo, odnosno spoljna sila kojom će se djelovati na vodu. Djelovanjem vesla voda se potiskuje unazad, a čamac se kreće unaprijed.Ako sada čovjeka, čamac i vodu smatramo izolovanim sistemo, onda voda dobija količinu kretanja unazad, a čamac sa čovjekom istu količinu kretanja u suprotnom smjeru, tj. unaprijed. Na ovaj način se može postepenim izolovanjem preći cijeli svemir, koji će važiti kao izolovani sistem, čija je ukupna količina kretanja stalna.Zakon o održanju količine kretanja teže se može uočiti u sličajevima kada u izolovani (zatvoreni) sistem spada i zemlja kao ogromna masa. Kada, naprimjer, automobil krene, on dobije izvjesnu količinu kretanja, ali se pri tome ne može uočiti da je istu toliku količinu kretanja dobila i Zemlja u suprotnom smjeru, jer joj je masa ogromna, pa je njena brzina koju pri tom dobije praktino jednaka nuli.

Primjena zakona održanja količine kretanja

a) Balističko klatnoU balistici se zakon održanja količine kretanja primjenjuje za određivanje brzine metka iz vatrenog oružja. Za tu svrhu služi tzv. „balističko klatno“.

Balističko klatno sastoji se od sanduka napunjenog pijeskom koji visi na konopcu (sl. 3. 11).Neka metak mase m brzinom v u horizontalnom pravcu pogodi sanduk sa pijeskom mase M. Usljed toga sanduk zajedno sa metkom dobija istu količinu kretanja koju je imao metak, tj:

m · v = (M + m) · v1

gdje je: v1 - brzina metka i sanduka poslije udara metka. Odavde je brzina metka:

1

M mv v

m

Brzina v1 brojno je jednaka brzini koju tijelo stekne pri slobodnom padanju sa visine h (sl. 3. 11), tj:

1 2· ·v g hKako je h = l - l cosθ = l(1 - cosθ) dobijamo da je:

2 (1 cos )M m

v g lm

Veličine l i θ se lako mjere, pa se iz gornje jednačine izračunava brzina v metka.b) Kretanje rakete i kosmičkih brodova

Sl 3. 10.

Sl. 3. 11.

Karakteristična primjena zakona održanja količine kretanja javlja se kod raketnog pogona. Izolovani sistem, u ovom slučaju, čine raketa i gasovi koji se izbacuju iz rakete kao produkti sagorjevanja.Ako zbir masa konstrukcije rakete i goriva koje se u njoj nalazi u trenutku t označimo sa m = m(t), a brzinu kretanja ove mase u tom trenutku sa v = v(t), tada količina kretanja posmatranog sistema iznosi:

k(t) = m · vU toku infinitezimalnog vremena dt raketa ispusti masu dm produkata sagorjevanja. Ovi produkti sagorjevanja mase dm u odnosu na raketu dobiju brzinu vg, koja zavisi od tipa goriva i načina sagorjevanja, ali se ne mijenja u vremenu. Za račun izbačenih produkata sagorjevanja brzina rakete se promjeni za dv, tako da u trenutku t+dt iznosi v+dv. (Pošto se kretanje rakete i produkata sagorjevanja vrši u istom pravcu, ne uvodimo vektorske oznake).Masa konstrukcije rakete i preostalog goriva je: m+dm, pri čemu je dm<0. Na osnovu toga zaključujemo da je u trenutku t+dt količina kretanja sistema:

k (t + dt) = (m + dm) · (v + dv) + dm[vg + (v + dv)] dm<0

Brzina kretanja produkata sagorjevanja mase dm u odnosu na posmatrača sa Zemlje predstavlja razliku brzine v g koju produkti sagorjevanja (gasovi) dobiju u procesu sagorjevanja i brzine v+dv koju u trenutku t+dt ima raketa.Na osnovu zakona održanja količine kretanja izlazi da je k(t) = k(t+dt) tj.

U trenutku: t0 = 0 ispaljivanja rakete njena brzina jednaka je nuli. Ukupnu masu rakete i goriva u njoj u trenutku t 0

označavamo sa M. Na osnovu toga možemo pisati:( ) ( )

0

v t m t

g M

dmdv v

m

odakle je:

ln( )g

Mv v

m t (3. 34)

Iz jednačine (3. 34) zaključujemo da brzina rakete zavisi od količine produkada sagorjevanja koju ona ispusti tokom leta. Za danas poznata goriva brzina vg iznosi oko 3km/s. U optimalnom slučaju gorivo sačinjava 90% odnosno 9/10

Sl. 3. 12.

mase M. Ako se ono potpuno iskoristi tokom leta, onda je m(t) = M/10, gdje je t moment kada je svo gorivo iskorišteno. Za ovajj slučaj dobijemo maksimalnu brzinu rakete:

vmax = vg · ln 10 = 3km/s · 2,3 ≈ 7km/sOva brzina nije dovoljna da raketu izvede iz polja zemljine teže, pa se zato pri lansiranju koriste višestepene rakete. Vidimo da je brzina izbacivanja pogonskog sredstva važan ograničavajući faktor u maksimalnoj brzini rakete. Zbog toga potiče ideja da se u budućnosti prave rakete koje će reaktivnu silu ostvarivati izbacivanjem svjetlosnih kavanata - fotona.

0g

dv dmm vdt dt

Član dv/dt je ubrzanje rakete a, te prvi član u ovoj jednačini (ma) predstavlja reaktivnu silu rakete F, pa je:

g

dmF v

dt

tj. pogonska sila rakete proporcionalna je izbačenoj masi gasa u jedinici vremena dm/dt i brzine vg isticanja gasova.

Pri startu Apola 11 (koji je odnio kosmonaute na Mjesec) raketni motori su izbacivali 12 tona sagorjelih gasova u sekundi (dm/dt = 12 · 103 kg/s), rauvijajući pogonsku silu F = 3,2 · 107N. Na osnovu ovih podataka izlazi da je brzina isticanja gasova: vg = 2700m/s = 2,7km/s.

Budući da se kretanje raketa zasniva na zakonu održanja količine kretanja, to znači da se one mogu kretati kroz bezvazdušni prostor. To je tzv. princip reaktivnog pogona. Atmosferski vazduh samo ometa kretanje rakete usljed sile trenja. Reaktivni pogon jedino je mogući pogon u astronautici.

Sile trenja

Kada se jedno tijelo kreće bilo po čvrstoj podlozi ili kroz neki fluid na njega između ostalih sila djeluje i sila trenja. Sila trenja se javlja, kada se tijela koja se relativno kreću jedno prema drugom, međusobno dodiruju izvjesnim dijelovima svoje površine.

Sile trenja su uvijek usmjerene nasuprot pravcu kretanja tijela , odnosno nasuprot brzini tijela i nastoje da spriječe kretanje. Zato se pokrenuta tijela prije ili kasnije zaustavljaju, ako su prepuštena sama sebi.

Trenje koje se javlja ili nastaje pri relativnom pomjeranju dva tijela koja se dodiruju zove se vanjsko (spolješnje) trenje. Trenje koje nastaje između dijelova jednog te istog kompaktnog tijela (npr. tečnosti ili gasa) zove se unutrašnje trenje. Trenje između površina dva čvrsta tijela kada između njih nema nikakvog međusloja (na primjer, nekog maziva) zove se suho kretanje. Trenje između čvrstog tijela tečne ili gasovite sredine kao između slojeva kakve sredije, zove se viskozno ili tečno trenje.

Trenje između čvrstih tijela može biti: trenje klizanja i trenja kotrljanja.

Samo trenje je vrlo komolikovanja pojava i mada možemo reći da je trenje posljedica djelovanja međumolekularnih sila na površini tijela, detaljni mehanizam trenja još nije sasvim poznat. Na primjer, pri klizanju dvije ploče jedne preko druge (sl. 3. 13) trenje se tumači postojenjem udubina i izbočina na dodirnim površinama.

Pri relativnom kretanju izbočine upadaju u udubine i javlja se otpor pri kretanju jednog tijela po drugom. Bitnu ulogu imaju i sile adhezije, koje kod uglačanih površina

dobijaju značajne veličine. Prilikom trenja u manjoj ili većoj mjeri dolazi do trošenja,

odnosno kršenja materijala, što zavisi od prirode tijela koja se dodiruju. Opštenito govoreći, pojava trenja je jako složen proces.

Sl. 3. 13.

.

tr

tr

F

N

tj

F N

Zbog ovakve složenosti teorijskog posmatranja trenja izbjegava se empirijskom ispitivanju sile trenja. Proučićemo samo suho trenje, tj. trenje između dvije čvrste površine.

Suho trenje klizanja

Budući da je trenje sila koja djeluje suprotno brzini, to se veličina sile trenja može eksperimentalno odrediti. Za tu svrhu služi tribometar. Tribometar se sastoji iz horizontalne ploče B na koju se stavlja prizma A od materijala čije trenje želimo da ispitamo u odnosu na materijal ploče B (sl. 3. 14a).

Tijelo A vezano je koncem koji je prebačen preko kotura, dok je na drugom kraju konca obješen tas sa tegovima. Pod uticajem težine tegova tijelo A se kreće po tijelu B, a između njih je dodirna površina gdje se javlja sila trenja tangencijalno, tj. u pravcu konca (sl. 3. 14b).

Ako se biranjem tegova podesi da se tijelo kreće jednoliko, onda je veličina sile trenja jednaka težini tegova sa tasom, tj. vučnoj sili. Naime, kada se vučna sila izjednači sa silom trenja tijelo se kreće jednoliko, jer je rezultanta sila koje na njega djeuluju jednaka nuli.

Od čega zavisi trenje klizanja možemo zaključiti izv ovih eksperimenata. Drvenu prizmu težine G stavimo na tribometar (sl. 3. 14) i dodajemo tegove na tas dok se prizma ne počne kretati jednoliko. Pri tome lagano udaramo olovkom po tribomentru. Težina tegova zajedno sa tasom je veličina sile Ftr.

Ako na prizmu A dodajemo tegove sve veće težine, tj. ako povećavamo normalnu silu N, naći ćemo da se povećava i sila trenja. Potražimo li omjere između sile trenja i normalne sile vidjećemo da su ti omjeri međusobno jednaki.

Označimo li vrijednost tih imjera sa μ, možemo pisati:

(3. 35)

(3. 36)

Dakle, sila trenja proporcionalna je normalnoj sili. Faktor proporcionalnosti μ nazova se koeficijent trenja. Ako je podloga horizontalna, kao u našem slučaju, manualna sila jednaka je težini G tijela, pa je:

trF G (3. 37)Eksperimentalno je utvrđeno da sila suhog trenja ne zavisi od veličine dodirnih površina, nego samo od njihovih kvalitetnih osobina. Nezavisnost sile trenja od veličine dodirne površine možemo prikazati eksperimentom kao na slici 3. 15a i 3. 15b.

Sl. 3. 14.

U oba slučaja sile trenja su jednake, iako je dodirna površina u drugom slučaju dva puta manja. To možemo pokazati i ako uzmemo tijelo oblika kvadra kojeg vučemo po podlozi. Sila trenja ne zavisi od toga kojom stranicom se to tijelo tare i drugu površinu. Ovo je tzv. II Kulonov zakon trenja. Koeficijent trenja se može jednostavno odrediti na strmoj ravni (sl. 3.16). Ako se tijelo nalazi na strmoj ravno težina tijela G

)))))))))))))) se razlaže na dvije komponente - komponentu: sinF G

))))))))))))))))))))))))))))

u pravcu strme ravni i normalnu komponentu: cosN G ))))))))))))))))))))))))))))

. Na osnovu (sl. 3. 15) može se napisati da je sila trenja:

costrF N G ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Ako se ugao strme ravni podesi tako da tijelo klizi niz strum ravan stalnom brzinom (v = const.), onda su sile

trF i F)))))))))))))))))))))))))))) u ravnoteži pa je:

sin cosG G )))))))))))))))))))))))))))) (3. 38)

odnosno:sin

costg

(3. 39)Ova jednačina omogućuje da se mjerenjem nagibnog ugla strme ravni odredi koeficijent trenja. Ugao α pri kojem tijelo počinje da klizi jednoliko, zove se granični ugao mirovanja. Trenje se javlja kako pri kretanju tijela tako i pri pokušaju da se izazove kretanje. U slučaju mirovanja sila trenja spriječava kretanje tijela sve

dok spoljašnja sila ne dostigne vrijednost sile trenja. Trenje pri mirovanju zove se statičko trenje (trenje mirovanja) za razliku od dinamičkog ili kinetičkog trenja koje se javlja pri kretanju tijela i o kojem je do sada bilo riječi.Eksperimentalno je utvrđeno da je maksimalna vrijednost statičkog trenja proporcionalna normalnoj sili, a faktor proporcionalnosti μ0 zove se statički koeficijent trenja ili koeficijent trenja mirovanja. Sila statičkog trenja F0 može, dakle poprimiti sve vrijednosti od nule do μ0 · N, tj.

0 0F N (3. 40)Ovaj izraz predstavlja I Kulonov zakon trenja.

Sl. 3. 15.

Sl. 3. 16.

Sl. 3. 17.

Dakle, da bismo pokrenuli tijelo po horizontalnoj podlozi moramo na njega djelovati silom: 0 0F N . Iskustvo pokazuje da se sila trenja smanjuje kada se tijelo počne kretati po podlozi, tj:

μ < μ0 (3. 41)Naglasimo da koeficijent trenja zavisi od prirode tijela koja se dodiruju i obrađenosti dodirnih površina, kao i od brzine kretanja tijela. Koeficijent trenja ima najveću vrijednost (μ0) na početku kretanja kada je relativna brzina v = 0.Sa povećanjem brzine njegova vrijednost se smanjuje (sl. 3. 17). Pri malim brzinama ta ovisnost se može zanemariti.Da dobijemo predstavu o veličini koeficijenta trenja u donjoj tabeli je dato nekoliko vrijednosti za μ0 koje su utvrđene eksperimentalnim putem:

Trenje kotrljanja

Trenje kotrljanja potčinjava se istim zakonima kao i trenje klizanja, ali je koeficijent trenja u tom slučaju znatno manji. Zato u praksi nastojimo da trenje klizanja preobratimo u trenje kotrljanja gdje god je to moguće. To se postiže da tijelo stavimo na kola ili ako ispod njega postavimo

valjkaste grede (sl. 3. 18b).Kod kretanja kola imamo trenje

kotrljanja točkova na podlozi i trenje klizanja osovine u njenom ležištu (blazini). Ovo posljednje smanjujemo podmazivanjem. Da se trenje svede na još manju mjeru između osovine i ležišta umetne se niz slobodnih kugli ili valjaka (kuglični, valjkasti ležaji) pa se i ovo trenje klizanja preobrati u trenje kotrljanja (sl. 3.18). Sile trenja igraju veliku ulogu u prirodi. Trenje može biti štetno i korisno. Štetno je svuda gdje se za njegovo savlađivanje mora utrošiti beskoristan rad, na primjer za kretanje mehanizam u mašinama. U tom slučaju nastojimo da ga što više smanjimo, podmazivanjem ili pretvaranjem trenja klizanja u trenje kotrljanja, gdje god je to moguće.Trenje je često i veoma korisna sila u životu i tehnici. Bez trenja život bio nemoguć. Hodanje kretanje vozila, vezivanje konopaca, ukivanje, zvartanje, šivanje i tkanje, transmisija, kočenje vozila, itd., moguće je samo zbog trenja. Sjetimo se samo poteškoća koje doživljavaju pješaci ili transportna sredstva za vrijeme poledice, kada trenje između površine puta i stopala pješaka, odnosno točkova vozila znatno smanjilo.

Otpor sredine

Iz iskustva znamo da rukom lakše mašemo kroz vazduh nego kroz vodu. To znači da se voda jače opire kretanu tijela no vazduh, tj. otpor vode je veći od otpora vazduha. Mešutim, i u istoj materijalnoj sredini razna tijela trpe različit otpor, jer on ne zavisi samo od gustoće sredine nego i od nekih drugih faktora. Zbog otpora sredine brzina tijela tijela opada. Pod otporom sredine podrazumjevamo otpor koji se javlja pri kretanju čvrstog tijela kroz neki fluid, tj. tečnost ili gas. Zašto se javlja otpor sredine i od čega on zavisi možemo zaključiti iz ovog razmatranja.

Sl. 3. 18.

Pri kretanju tijelo mora otklanjati djeliće sredine na koje nailazi, tj. mora savlađivati njihovu inerciju, koheziju i međusobno kretanje. Zbog toga otpor sredine raste sa njenom gustoćom. Isto tako otpor sredine raste s brzinom tijela i veličinom njegovog glavnog presjeka, jer ukoliko se tijelo brže kreće i ukoliko je veći presjek, utoliko u svakoj sekundi otklanja veći broj njenih djelića. Ispitivanjem je utvrđeno da je otpor sredine sve veći ukoliko tijelo jače poremeti raspored njenih slojeva i ukoliko se iz tijela obrazuju veći vrtlozi sredine, što zavisi od oblika tijela. Eksperimentalno je utvrđeno da je jačina otpora sredine:

F = k · S · v2 (3. 42)gdje je: v = brzina tijela, S = površina glavnog presjeka a k = konstanta čija vrijednost zavisi od obilika tijela i od viskoznih svojstava sredine i zove se koeficijent otpora. Na primjer, za glicerin je k mnogo veći nego za ovdu. Koeficijent otpora određuje se eksperimentalno.Zavisno od oblika, tijela istog glavnog presjeka imaće razlićite koeficijente otpora. Na slici (3. 19) su prikazani profili nekih tijela jednakih glavnih presjeka sa vrijednostim odgovarajućih koeficijenata otpora k, kada se ona kreću u vazduhu u smjeru koji pokazuje strijelica:

Vidi se da

najmanji otpor daje tijelo koje ima oblik kišne kapi, koja slobodno pada kroz vazduh. Stoga kažemo da je obliaerodinamičkih linija. Zbog toga da se smanji otpor vazduha, tijelima koja se brzo kreću (avion, automobil) dajemo aerodinamičan oblik.Budući da otpor sredine djeluje suprotno brzini, to će se tijelo kretati jednoliko od trenutka kada se otpor sredine izjednači sa silom koja pokreće tijelo. Ovu brzinu kojom se tijelo kreće jednoliko, a na njega djeluje stalna sila, zovemo graničnom brzinom. Za najveću kišnu kapljicu granična brzina iznosi oko 8 m/s, a za padobran 5 m/s.

Sile kod kružnog kretanja

Sl. 3. 19.

Dr Esad Jakupović-i Dio Knjige

Documents